On the equicontinuity of one family of inverse mappings in terms of prime ends
For a class of mappings satisfying upper modular estimates with respect to families of curves, we study the behavior of the corresponding inverse mappings. In the terms of prime ends, we prove that the families of these homeomorphisms are equicontinuous (normal) in the closure of a given domain.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1632 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507450650656768 |
|---|---|
| author | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Salimov, R. R. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | For a class of mappings satisfying upper modular estimates with respect to families of curves, we study the behavior of the corresponding inverse mappings. In the terms of prime ends, we prove that the families of these homeomorphisms are equicontinuous (normal) in the closure of a given domain. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА
ОБРАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ В ТЕРМИНАХ ПРОСТЫХ КОНЦОВ
For a class of mappings satisfying upper modular estimates with respect to families of curves, we study the behavior of
the corresponding inverse mappings. In the terms of prime ends, we prove that the families of these homeomorphisms are
equicontinuous (normal) in the closure of a given domain.
Вивчається локальна поведiнка обернених гомеоморфiзмiв для класу вiдображень, в якому виконуються верхнi оцiн-
ки модуля сiмей кривих. У термiнах простих кiнцiв просторових областей доведено, що сiм’ї таких гомеоморфiзмiв
одностайно неперервнi (нормальнi) в замиканнi заданої областi.
1. Введение. Основные определения и обозначения, использующиеся в настоящей статье,
могут быть найдены в статьях [1, 2] и монографиях [3, 4].
В сравнительно недавней публикации авторов [5] установлено свойство равностепенной
непрерывности для отображений, обратные к которым являются так называемыми Q-гомеомор-
физмами — наиболее простейшими обобщениями квазиконформных отображений по О. Мартио
(см. [3], гл. 4). Отметим, что речь идет здесь о равностепенной непрерывности с локально
связными границами, однако для областей с более общими типами границ данный вопрос
до сих пор не исследован. В данной работе мы несколько усилим упомянутые результаты,
рассматривая более широкие типы областей, для которых указанные утверждения имеют место.
При этом речь пойдет о равностепенной непрерывности упомянутых отображений в терминах
простых концов, так как даже их непрерывное продолжение на границу в поточечном смысле,
вообще говоря, не гарантируется.
Приведем некоторые определения и формулировки основных результатов работы. Всюду
далее D — область в \BbbR n, n \geq 2, m — мера Лебега в \BbbR n.
Следующие определения могут быть найдены в работе [2]. Пусть \omega — открытое множество
в \BbbR k, k = 1, . . . , n - 1. Непрерывное отображение \sigma : \omega \rightarrow \BbbR n называется k-мерной поверх-
ностью в \BbbR n. Поверхностью будет называться произвольная (n - 1)-мерная поверхность \sigma в
\BbbR n. Поверхность \sigma : \omega \rightarrow D называется жордановой поверхностью в D, если \sigma (z1) \not = \sigma (z2)
при z1 \not = z2. Далее мы иногда будем использовать \sigma для обозначения всего образа \sigma (\omega ) \subset \BbbR n
при отображении \sigma , \sigma вместо \sigma (\omega ) в \BbbR n и \partial \sigma вместо \sigma (\omega ) \setminus \sigma (\omega ). Жорданова поверхность
\sigma в D называется разрезом области D, если \sigma разделяет D, т. е. D \setminus \sigma имеет больше одной
компоненты, \partial \sigma \cap D = \varnothing и \partial \sigma \cap \partial D \not = \varnothing .
Последовательность \sigma 1, \sigma 2, . . . , \sigma m, . . . разрезов области D называется цепью, если:
1) \sigma i \cap \sigma j = \varnothing для всех i \not = j, i, j = 1, 2, . . . ;
2) \sigma m - 1 и \sigma m+1 содержатся в различных компонентах D \setminus \sigma m для всех m > 1;
3) \cap dm = \varnothing , где dm — компонента D \setminus \sigma m, содержащая \sigma m+1.
Согласно определению, цепь разрезов \{ \sigma m\} определяет цепь областей dm \subset D таких, что
\partial dm \cap D \subset \sigma m и d1 \supset d2 \supset . . . \supset dm \supset . . . . Две цепи разрезов \{ \sigma m\} и \{ \sigma \prime
k\} называются
эквивалентными, если для каждого m = 1, 2, . . . область dm содержит все области d\prime k, за
исключением конечного числа, и для каждого k = 1, 2, . . . область d\prime k также содержит все
c\bigcirc Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2018
1264 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА . . . 1265
области dm, за исключением конечного числа. Конец области D — это класс эквивалентных
цепей разрезов D.
Пусть K — конец области D в \BbbR n, \{ \sigma m\} и \{ \sigma \prime
m\} — две цепи в K, dm и d\prime m — области,
соответствующие \sigma m и \sigma \prime
m. Тогда
\infty \bigcap
m=1
dm \subset
\infty \bigcap
m=1
d\prime m \subset
\infty \bigcap
m=1
dm,
и, таким образом,
\infty \bigcap
m=1
dm =
\infty \bigcap
m=1
d\prime m , т. е. множество I(K) =
\infty \bigcap
m=1
dm зависит только от K и
не зависит от выбора цепи разрезов \{ \sigma m\} . Множество I(K) называется телом конца K.
Борелева функция \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] называется допустимой для семейства \Gamma кривых \gamma в \BbbR n,
если
\int
\gamma
\rho (x)| dx| \geq 1 для всех (локально спрямляемых) кривых \gamma \in \Gamma (т. е. произвольная кривая
\gamma семейства \Gamma имеет длину, не меньшую 1, в метрике \rho ). В этом случае пишем \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} \Gamma .
Модулем семейства кривых \Gamma называется величина M(\Gamma ) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\rho \in adm \Gamma
\int
D
\rho n(x) dm(x). При
этом если \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma = \varnothing , то полагаем M(\Gamma ) = \infty . Кроме того, положим M(\Gamma ) := Mn(\Gamma ).
Далее, как обычно, для множеств A, B и C в \BbbR n \Gamma (A,B,C) обозначает семейство всех
кривых, соединяющих A и B в C.
Следуя [6], будем говорить, что конец K является простым концом, если K содержит цепь
разрезов \{ \sigma m\} такую, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
M
\bigl(
\Gamma (C, \sigma m, D)
\bigr)
= 0
для некоторого континуума C в D, где M — модуль семейства \Gamma (C, \sigma m, D).
Будем говорить, что граница области D в \BbbR n является локально квазиконформной, если
каждая точка x0 \in \partial D имеет окрестность U, которую можно отобразить квазиконформным
отображением \varphi на единичный шар \BbbB n \subset \BbbR n так, что \varphi (\partial D \cap U) является пересечением \BbbB n
с координатной гиперплоскостью. Говорим, что ограниченная область D в \BbbR n регулярна, если
D может быть квазиконформно отображена на область с локально квазиконформной границей.
Из определения следует, что области с локально квазиконформной границей являются слабо
плоскими (см. [2]), т. е. для каждой точки x0 \in \partial D выполнено такое условие: для каждой
окрестности U точки x0 и для любого числа P > 0 найдется окрестность V \subset U точки x0
такая, что
M
\bigl(
\Gamma (E,F,D)
\bigr)
\geq P (1)
для любых континуумов E и F в D, пересекающих \partial U и \partial V. В силу замечания 13.10 [3]
произвольные QED-области имеют слабо плоские границы.
Замечание 1. Как следует из теоремы 4.1 в [6], при квазиконформных отображениях g
области D0 с локально квазиконформной границей на область D в \BbbR n, n \geq 2, существует
естественное взаимно однозначное соответствие между точками \partial D0 и простыми концами
области D и, кроме того, предельные множества C(g, b), b \in \partial D0, совпадают с телом I(P )
соответствующих простых концов P в D.
Если DP является пополнением регулярной области D ее простыми концами, а g0 —
квазиконформным отображением области D0 с локально квазиконформной границей на D, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1266 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
оно естественным образом определяет в DP метрику \rho 0(p1, p2) =
\bigm| \bigm| \widetilde g0 - 1(p1) - \widetilde g0 - 1(p2)
\bigm| \bigm| , где\widetilde g0 — продолжение g0 в D0, упомянутое выше.
Если g\ast является другим квазиконформным отображением некоторой области D\ast с ло-
кально квазиконформной границей на область D, то соответствующая метрика \rho \ast (p1, p2) =
=
\bigm| \bigm| \widetilde g\ast - 1(p1) - \widetilde g\ast - 1(p2)
\bigm| \bigm| порождает ту же самую сходимость и, следовательно, ту же самую
топологию в DP , что и метрика \rho 0, поскольку g0\circ g - 1
\ast является квазиконформным отображени-
ем между областями D\ast и D0, которое по теореме 4.1 из [6] продолжается до гомеоморфизма
между D\ast и D0.
В дальнейшем будем называть данную топологию в пространстве DP топологией простых
концов и понимать непрерывность отображений F : DP \rightarrow D\prime
P именно относительно этой
топологии.
Отображение f : D \rightarrow \BbbR n условимся называть Q-отображением, если f удовлетворяет
соотношению
M
\bigl(
f(\Gamma )
\bigr)
\leq
\int
D
Q(x)\rho n(x) dm(x) (2)
для произвольного семейства кривых \Gamma в области D и каждой допустимой функции \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} \Gamma .
Пусть (X, d) и (X \prime , d \prime ) — метрические пространства с расстояниями d и d \prime соответственно.
Семейство \frakF отображений f : X \rightarrow X \prime называется равностепенно непрерывным в точке x0 \in
\in X, если для любого \varepsilon > 0 найдется такое \delta > 0, что d\prime
\bigl(
f(x), f(x0)
\bigr)
< \varepsilon для всех f \in
\in \frakF и всех x \in X таких, что d(x, x0) < \delta . Говорят, что \frakF равностепенно непрерывно, если
\frakF равностепенно непрерывно в каждой точке из x0 \in X. Всюду далее, если не оговорено
противное, d — одна из метрик в пространстве простых концов относительно области D,
упомянутых выше, а d\prime — евклидова метрика.
Согласно [7], область D в \BbbR n будем называть областью квазиэкстремальной длины (со-
кращенно QED-областью), если M
\bigl(
\Gamma (E,F,\BbbR n)
\bigr)
\leq AM
\bigl(
\Gamma (E,F,D)
\bigr)
для конечного числа
A \geq 1 и всех континуумов E и F в D. Для областей D, D\prime \subset \BbbR n, z0, x0 \in D, z0 \not = x0,
z\prime 0, x
\prime
0 \in D\prime , z\prime 0 \not = x\prime 0, и произвольной измеримой по Лебегу функции Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ],
Q(x) \equiv 0 при x \not \in D, обозначим через \frakH z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ) семейство всех гомеоморфизмов f :
D \rightarrow D\prime , f(D) = D\prime , удовлетворяющих соотношению (2) для произвольной \rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m} \Gamma , таких,
что f(z0) = z\prime 0, f(x0) = x\prime 0. Обозначим через ED пространство простых концов области D.
Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим, что область D в \BbbR n, n \geq 3, регулярна, а область D\prime огра-
ничена, имеет локально квазиконформную границу и одновременно является QED-облас-
тью, Q \in L1(D) и, кроме того, I(P1) \cap I(P2) = \varnothing для любых различных простых кон-
цов P1, P2 \subset ED, где, как обычно, I(P ) обозначает тело простого конца P \subset ED. Тогда
каждый элемент g семейства \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ), состоящего из всех обратных гомеомор-
физмов \{ g = f - 1 : D\prime \rightarrow D\} , где отображение f \in \frakH z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ), может быть
продолжен по непрерывности до отображения g = f - 1 : D\prime
P \rightarrow DP , причем семейство
\frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ), состоящее из всех продолженных таким образом отображений g :
D\prime
P \rightarrow DP , g \in \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ), является равностепенно непрерывным в D\prime
P .
Для областей D, D\prime \subset \BbbR n, z0, x0 \in D, z0 \not = x0, z\prime 0, x
\prime
0 \in D\prime , z\prime 0 \not = x\prime 0, и произвольной
измеримой по Лебегу функции Q(x) : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ], Q(x) \equiv 0 при x \not \in D, обозначим через
Rz0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ) семейство всех гомеоморфизмов f : D \rightarrow D\prime , f(D) = D\prime , f \in W 1,n
loc (D),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА . . . 1267
f - 1 \in W 1,n
loc (D
\prime ), для которых KI(x, f) \leq Q(x) при почти всех x \in D (KI(x, f) — внутренняя
дилатация отображения f в точке x) и таких, что f(z0) = z\prime 0, f(x0) = x\prime 0. В качестве следствия
из теоремы 1 на основании теорем 8.1 и 8.6 [3] имеем следующее.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 семейство обратных отображений g = f - 1, f \in
\in Rz0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D,D\prime ), является равностепенно непрерывным в D\prime
P , если Q \in L1(D).
2. Леммы о непрерывном продолжении обратных отображений. Как обычно, жордано-
вой дугой будем называть гомеоморфизм \gamma : I \rightarrow \BbbR n, где I — отрезок в \BbbR . В дальнейшем, если
недоразумение невозможно, кривая \alpha : [a, b] \rightarrow \BbbR n и ее носитель | \alpha | =
\bigl\{
x \in \BbbR n : \exists t \in [a, b] :
\alpha (t) = x
\bigr\}
отождествляются.
\bigl(
Однако иногда для того, чтобы подчеркнуть эту разницу, мы так-
же используем в тексте обозначение | \alpha | .
\bigr)
Следуя следствию 1.5.IV [8] и определению тополо-
гической размерности (см. [8], определение III, [1], гл. III), получаем следующее утверждение.
Лемма 1. Если топологическая размерность множества A, лежащего в области D \subset \BbbR n,
не превышает n - 2, то A не разбивает область D, т. е. множество D\setminus A является связным.
Следующее утверждение сформулировано и доказано в [2] (лемма 1).
Лемма 2. Каждый простой конец P регулярной области D в \BbbR n, n \geq 2, содержит цепь
разрезов \sigma m, лежащую на сферах Sm с центром в точке x0 \in \partial D и с евклидовыми радиусами
rm \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty .
Для дальнейшего изложения нам понадобится определение кольцевого Q-отображения в
точке x0 (см. [3], гл. 7). Хотя основные результаты статьи не содержат в явном виде утвер-
ждений, касающихся кольцевых Q-отображений, отдельные результаты, приводимые ниже,
полезно установить в максимальной степени общности. (Такой подход позволит в дальней-
шем указать приложения к классам Соболева и Орлича – Соболева; см., например, [2].) Пусть
x0 \in D, тогда отображение f : D \rightarrow \BbbR n будем называть кольцевым Q-отображением в точке
x0 . Для некоторого r0 = r(x0) и произвольных сферического кольца A = A(x0, r1, r2), центри-
рованного в точке x0, радиусов r1, r2, 0 < r1 < r2 < r0 = r(x0), и любых сфер Si = S(x0, ri)
отображение f удовлетворяет соотношению M
\bigl(
f(\Gamma (S1, S2, D))
\bigr)
\leq
\int
A
Q(x)\cdot \eta n
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x)
для каждой измеримой функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
r2\int
r1
\eta (r)dr \geq 1. (3)
Из определений видно, что произвольное Q-отображение является также и кольцевым Q-
отображением в произвольной точке x0 \in D. Следующие два утверждения доказаны в работе
[2] в пространстве \BbbR n для несколько иных классов отображений (см. лемму 4 и теорему 1), а
также на плоскости в случае тех же классов (см. лемму 6.1 и теорему 6.1 в [1]). Доказательство
этих утверждений не содержит существенных отличий от упомянутых случаев, однако для
полноты изложения приведем их полностью.
Лемма 3. Пусть D и D\prime — регулярные области в \BbbR n, n \geq 2, P1 и P2 — разные простые
концы областей D и \sigma m, m = 1, 2, . . . , — цепь разрезов простого конца P1 из леммы 2,
лежащая на сферах S(z1, rm), z1 \in I(P1), с ассоциированными областями Dm. Предположим,
что функция Q интегрируема по сферам
D(r) =
\bigl\{
x \in D : | x - z1| = r
\bigr\}
= D \cap S(z1, r)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1268 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
для некоторого множества E чисел r \in (0, d) положительной линейной меры, где d = rm0
и m0 — минимальное из чисел таких, что область Dm0 не содержит последовательностей
точек, сходящихся к P2. Если f является кольцевым Q-гомеоморфизмом D на D\prime в точке z1,
а \partial D\prime — слабо плоской (т. е. выполнено условие (1)), то
C(f, P1) \cap C(f, P2) = \varnothing .
Заметим, что в силу метризуемости пополнения DP области D простыми концами (см. при-
веденное выше замечание) число m0 в лемме 3 всегда существует.
Доказательство. Выберем \varepsilon \in (0, d) так, что E0 :=
\bigl\{
r \in E : r \in (\varepsilon , d)
\bigr\}
имеет положи-
тельную линейную меру. Такой выбор возможен в силу полуаддитивности линейной меры и
исчерпания E = \cup Em, где Em =
\bigl\{
r \in E : r \in (1/m, d)
\bigr\}
, m = 1, 2, . . . . Пусть S1 = S(z1, \varepsilon ),
S2 = S(z1, d). Заметим, что функция \eta (t) =
1
Itq
1
n - 1
x0 (t)
, I =
\int d
\varepsilon
dr
rq
1
n - 1
x0 (r)
, удовлетворяет со-
отношению (3) при r1 = \varepsilon и r2 = d, поэтому из определения кольцевого Q-отображения и
теоремы Фубини следует, что
M
\bigl(
f(\Gamma (S1, S2, D))
\bigr)
\leq \omega n - 1
In - 1
< \infty . (4)
Предположим, что C1 \cap C2 \not = \varnothing , где Ci = C(f, Pi), i = 1, 2. По построению существует m1 >
> m0 такое, что \sigma m1 лежит на сфере S(z1, rm1) с rm1 < \varepsilon . Пусть D0 = Dm1 , D\ast \subseteq D \setminus Dm0 —
область, ассоциированная с цепью разрезов простого конца P2, и y0 \in C1 \cap C2.
Заметим, что можно выбрать r0 > 0 так, что S(y0, r0)\cap f(D0) \not = \varnothing и S(y0, r0)\cap f(D\ast ) \not = \varnothing .
Действительно, так как y0 \in C1 \cap C2, то, в частности, y0 \in f(D0), откуда следует, что в
произвольной окрестности U = B(y0, r1) точки y0 имеется точка x1 \in B(y0, r1)\cap f(D0). Точно
так же y0 \in f(D\ast ) и, значит, в этой же окрестности U найдется точка x2 \in B(y0, r1) \cap f(D\ast ).
Пусть r0 := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ | y0 - x1| , | y0 - x2| \} . Заметим, что по построению f(D0) \cap B(y0, r0) \not = \varnothing \not =
\not = f(D0) \setminus B(y0, r0) и f(D\ast ) \cap B(y0, r0) \not = \varnothing \not = f(D\ast ) \setminus B(y0, r0). Тогда в силу теоремы 1 [9]
(гл. 5, § 46) S(y0, r0) \cap f(D\ast ) \not = \varnothing \not = S(y0, r0) \cap f(D0), что и требовалось установить.
Обозначим \Gamma = \Gamma (D0, D\ast , D). Тогда согласно принципу минорирования из (4) следует, что
M
\bigl(
f(\Gamma )
\bigr)
\leq M
\bigl(
f(\Gamma (S1, S2, D))
\bigr)
< \infty .
Пусть M0 > M
\bigl(
f(\Gamma )
\bigr)
— конечное число. Из условия слабой плоскости \partial D\prime следует, что
найдется r\ast \in (0, r0) такое, что
M(\Gamma (E,F,D\prime )) \geq M0
для всех континуумов E и F в D\prime , пересекающих сферы S(y0, r0) и S(y0, r\ast ). Однако эти
сферы могут быть соединены непрерывными кривыми c1 и c2 в областях f(D0) и f(D\ast ) и, в
частности, для этих кривых
M0 \leq M
\bigl(
\Gamma (c1, c2, D
\prime )
\bigr)
\leq M
\bigl(
f(\Gamma )
\bigr)
.
Полученное противоречие опровергает предположение, что C1 \cap C2 \not = \varnothing .
Лемма 3 доказана.
Теорема 2. Пусть D и D\prime — регулярные области в \BbbR n, n \geq 2. Если f — кольцевой Q-
гомеоморфизм D на D\prime в каждой точке x0 \in \partial D и Q \in L(D), то f - 1 продолжается до
непрерывного отображения D\prime
P на DP .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА . . . 1269
Доказательство. По теореме Фубини (см., например, [10]) множество
E(x0) =
\bigl\{
r \in (0, d(x0)) : Q| D(x0,r) \in L(D(x0, r))
\bigr\}
\forall x0 \in \partial D,
где d(x0) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in D | x - x0| и D(x0, r) = D \cap S(x0, r), имеет положительную линейную
меру, поскольку Q \in L(D). Согласно сделанным во введении замечаниям, без ограничения
общности можем считать, что область D\prime имеет слабо плоскую границу.
\bigl(
Если это не так, то
следует рассмотреть вспомогательное квазиконформное отображение g области D\prime на область
D \prime \prime с локально квазиконформной границей. Такое отображение существует по определению
регулярной области. В частности, D \prime \prime имеет слабо плоскую границу, что непосредственно
видно из определения локально квазиконформной границы. Отображение \varphi := g \circ f так же,
как и f, будет кольцевым Q-гомеоморфизмом на D. Установив заключение теоремы для \varphi , мы
установим тем самым и заключение теоремы 2, использовав соотношение f - 1 = \varphi - 1 \circ g.)
Заметим, что для произвольного \zeta 0 \in \partial D\prime множество C(f - 1, \zeta 0) состоит из одной точки
\xi 0 \in ED, где ED — пространство простых концов области D. В самом деле, если есть не
менее двух последовательностей xk \rightarrow \zeta 0 при k \rightarrow \infty и yk \rightarrow \zeta 0 при k \rightarrow \infty таких, что
f - 1(xk) \rightarrow P1 \in ED и f - 1(yk) \rightarrow P2 \in ED при k \rightarrow \infty , P1 \not = P2, то \zeta 0 \in C(f, P1)\cap C(f, P2),
что противоречит утверждению леммы 3.
Таким образом, мы имеем продолжение f - 1 на D\prime такое, что C(f - 1, \partial D\prime ) \subset DP \setminus D.
Покажем, что C(f - 1, \partial D\prime ) = DP \setminus D. Действительно, если P0 — простой конец в D, то
найдется последовательность xn \rightarrow P0 при n \rightarrow \infty . Вследствие компактности D и D\prime можно
считать, что xn \rightarrow x0 \in \partial D и f(xn) \rightarrow \zeta 0 \in \partial D\prime при n \rightarrow \infty . Последнее означает, что
P0 \in C(f - 1, \zeta 0).
Покажем наконец, что продолженное отображение g : D\prime \rightarrow DP непрерывно в D\prime . Дей-
ствительно, пусть \zeta n \rightarrow \zeta 0 при n \rightarrow \infty , \zeta n, \zeta 0 \in D\prime . Если \zeta 0 — внутренняя точка области
D\prime , доказываемое утверждение очевидно. Пусть \zeta 0 \in \partial D\prime , тогда выберем \zeta \ast n \in D\prime так, что
| \zeta n - \zeta \ast n| < 1/n и \rho (g(\zeta n), g(\zeta
\ast
n)) < 1/n, где \rho — одна из метрик, указанных в замечании 1. По
построению g(\zeta \ast n) \rightarrow g(\zeta 0), поскольку \zeta \ast n \rightarrow \zeta 0 и, значит, g(\zeta n) \rightarrow g(\zeta 0) при n \rightarrow \infty .
Теорема 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. I. Не ограничивая общности рассуждений, согласно замеча-
нию 1 можно считать, что D\prime
P = D\prime .
Поскольку область D\prime является QED-областью, каждый обратный гомеоморфизм f - 1
имеет непрерывное продолжение на границу D\prime в силу теоремы 2. Осталось показать равно-
степенную непрерывность семейства отображений \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ) в D\prime .
II. Покажем сначала, что \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ) равностепенно непрерывно в D\prime \setminus \{ z\prime 0, x\prime 0\} .
Предположим противное, т. е. найдется y0 \in D\prime , x\prime 0 \not = y0 \not = z\prime 0, и \varepsilon 0 > 0, такие, что для любого
m \in \BbbN существуют ym \in D\prime с | ym - y0| < 1/m и элемент f - 1
m \in \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ), для
которых
\rho (f - 1
m (ym), f - 1
m (y0)) \geq \varepsilon 0, (5)
где \rho — одна из метрик из замечания 1. Так как f - 1
m непрерывным образом продолжаются на
D\prime , найдутся последовательности zm, xm \in D\prime такие, что
| zm - ym| < 1/m, | xm - y0| < 1/m, m \rightarrow \infty ,
и при этом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1270 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
\rho
\bigl(
f - 1
m (ym), f - 1
m (zm)
\bigr)
< 1/m, \rho
\bigl(
f - 1
m (xm), f - 1
m (y0)
\bigr)
< 1/m. (6)
Тогда из (5) следует, что
\rho
\bigl(
f - 1
m (zm), f - 1
m (xm)
\bigr)
\geq \varepsilon 1, (7)
где \varepsilon 1 > 0 — некоторое фиксированное число. Поскольку DP является компактом, то можно
считать, что для некоторых P 1
0 , P
2
0 \in DP выполнены условия
f - 1
m (zm) \rightarrow P 1
0 , f - 1
m (xm) \rightarrow P 2
0 , m \rightarrow \infty . (8)
В частности, из (6) и (8) в силу неравенства треугольника следует, что
f - 1
m (y0) \rightarrow P 2
0 \in DP , m \rightarrow \infty .
В силу неравенства (7)
\rho (P 1
0 , P
2
0 ) \geq \varepsilon 1/2.
Не ограничивая общности можно считать, что при всех m \in \BbbN выполнены включения
f - 1
m (zm) \in Dm и f - 1
m (xm) \in D\prime
m, где Dm и D\prime
m — последовательности областей, соответству-
ющие P 1
0 , P
2
0 \in DP (в случае, когда P 1
0 либо P 2
0 — внутренние точки области D, в качестве
области Dm либо D\prime
m берем последовательности открытых шаров, стягивающихся к P 1
0 либо
P 2
0 соответственно). Можно считать, что x0 \not = P 1
0 , z0 \not = P 2
0 и Dk \cap D\prime
l = \varnothing при всех k, l \in \BbbN .
Более того, поскольку по условию теоремы тела простых концов P 1
0 и P 2
0 не пересекаются,
можно считать, что
Di \cap D\prime
i = \varnothing \forall i \in \BbbN . (9)
Заметим, что (9) справедливо и в случае, когда в качестве хотя бы одного из P i
0 берется
внутренняя точка области D.
III. Построим последовательность кривых \alpha m следующим образом. Кривую \alpha 1 определим
как произвольную дугу, соединяющую точки x0 и f - 1
1 (z1) \in D1 в области D. Затем соединим
точки f - 1
1 (z1) и f - 1
2 (z2) внутри области D1 некоторой дугой \gamma 1 и определим \alpha 2 как объ-
единение \alpha 1 и \gamma 1. И так далее. На некотором m-м шаге построим кривую \alpha m, которая будет
определяться как кривая \alpha m - 1, объединенная с дугой \gamma m - 1, где \gamma m - 1 — произвольная дуга,
соединяющая точки f - 1
m - 1(zm - 1) и f - 1
m (zm) в области Dm - 1. И так далее. Ясно, что
A :=
\infty \bigcup
m=1
| \alpha m|
имеет топологическую размерность 1 как счетное объединение замкнутых 1-мерных множеств
(см. [8], теорема III 2, гл. III, разд. 3). В таком случае по лемме 1 множество A не разделяет
D и никакую подобласть D\ast \subset D. Более того, A является замкнутым относительно D, так
что множество D \setminus A является областью. В самом деле, если последовательность xk \in A и
xk \rightarrow x0 \in D при k \rightarrow \infty , то возможны два случая: 1) либо найдутся k0 \in \BbbN такие, что m0 \in
\in \BbbN : xk \in | \alpha m0 | при всех k \geq k0; 2) либо для некоторых возрастающих последовательностей
натуральных чисел kl, ml, l = 1, 2, . . . , найдутся элементы xkl \in A \setminus | \alpha ml
| . В первом случае
x0 \in A, ибо | \alpha m0 | замкнуто, как конечное объединение замкнутых множеств, а второй случай
невозможен, поскольку тогда должно быть x0 \in
\infty \bigcap
m=1
Dm \subset \partial D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА . . . 1271
IV. Построим последовательность кривых \beta m следующим образом. Кривую \beta 1 определим
как произвольную дугу, соединяющую точки z0 и f - 1
1 (x1) \in D\prime
1 в области D \setminus A. Затем соеди-
ним точки f - 1
1 (x1) и f - 1
2 (x2) в D\prime
1\setminus A некоторой дугой \delta 1 и определим \beta 2 как объединение \beta 1
и \delta 1. И так далее. На некотором m-м шаге построим кривую \beta m, которая будет определяться
как кривая \beta m - 1, объединенная с дугой \delta m - 1, где \delta m - 1 — произвольная дуга, соединяющая
точки f - 1
m - 1(xm - 1) и f - 1
m (xm) в области D\prime
m - 1 \setminus A. И так далее.
V. Заметим, что найдется такая постоянная C > 0, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
| \alpha m| , | \beta m|
\bigr)
\geq C \forall m \in \BbbN , (10)
где
| \gamma | := \{ x \in D : \exists t : \gamma (t) = x\} .
Действительно, как легко видеть, | \beta m| \cap Dk = \varnothing и | \alpha m| \cap D\prime
k = \varnothing при всех m \in \BbbN , всех
k \geq k0 и некотором k0 \in \BbbN . Таким образом, | \alpha m| \subset | \alpha k0 - 1| \cup Dk0 , а | \beta m| \subset | \beta k0 - 1| \cup D\prime
k0
,
причем в силу соотношения (9) множества C1 := | \alpha k0 - 1| \cup Dk0 и C2 := | \beta k0 - 1| \cup D\prime
k0
являются
непересекающимися компактными подмножествами в \BbbR n, а значит, отстоят друг от друга на
расстоянии не меньше некоторого C > 0. Тем более | \alpha m| и | \beta m| отстоят друг от друга не
меньше, чем на C, что и доказывает соотношение (10).
VI. Пусть \Gamma m — семейство кривых, соединяющих множества \alpha m и \beta m в D, тогда функция
\rho (x) =
\left\{
1
C
, x \in D,
0, x /\in D,
является допустимой для семейства \Gamma m, и кроме того, так как fm являются Q-гомеоморфиз-
мами в D, то
M(fm(\Gamma m)) \leq 1
Cn
\int
D
Q(x) dm(x) := c(C) < \infty , (11)
поскольку Q \in L1(D).
VII. В рассматриваемом случае zm, x\prime 0 \in fm(\alpha m), и поскольку по построению zm \rightarrow y0 \not =
\not = x\prime 0, то найдется постоянная \delta 1 > 0 такая, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} (fm(\alpha m)) \geq \delta 1 > 0 при всех m \in \BbbN .
Аналогично, xm, z\prime 0 \in fm(\beta m), и поскольку по построению xm \rightarrow y0 \not = z\prime 0, то найдется
постоянная \delta 2 > 0 такая, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} (fm(\beta m)) \geq \delta 2 > 0 при всех m \in \BbbN . Кроме того, заметим,
что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fm(\alpha m), fm(\beta m)) \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty . Согласно свойству сближающихся континуумов
(см. теорему 2.3 и замечание 2.8 в [3]),
M(\Gamma (fm(\alpha m), fm(\beta m),\BbbR n)) \rightarrow \infty , m \rightarrow \infty . (12)
Поскольку D\prime является QED-областью, то из (12) следует, что M(fm(\Gamma m)) \rightarrow \infty при m \rightarrow
\rightarrow \infty , что противоречит соотношению (11). Полученное противоречие свидетельствует о том,
что семейство отображений \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(D)P , D\prime
P ) равностепенно непрерывно в точке y0.
VIII. Для завершения доказательства нам осталось показать, что семейство отображений
\frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ) также является равностепенно непрерывным в точках x\prime 0 и z\prime 0. Рас-
смотрим для определенности случай точки x\prime 0 (случай точки z\prime 0 рассматривается аналогично).
Предположим противное, т. е. найдется \varepsilon 0 > 0 такое, что для любого m \in \BbbN существуют
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1272 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
xm \in D\prime с | xm - x\prime 0| < 1/m и элемент f - 1
m \in \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ) такие, что\bigm| \bigm| f - 1
m (xm) - x0
\bigm| \bigm| \geq \varepsilon 0.
Поскольку пространство DP компактно, мы можем считать, что для некоторого P0 \in DP ,
P0 \not = x0, выполнено
\rho (f - 1
m (xm), P0) \rightarrow 0, m \rightarrow \infty .
Пусть Dm, m = 1, 2, . . . , — последовательность областей, соответствующих простому
концу P0 (если это точка в области D, то, как и прежде, в качестве последовательности Dm
используем шаровые окрестности, сжимающиеся в точку). Можно считать, что f - 1
m (xm) \in Dm
для всех m \in \BbbN .
Поскольку по условию область D регулярна, то она квазиконформно отображается на
некоторую область D0 с локально квазиконформной границей, которая по теореме Лиувилля
не может совпадать с \BbbR n, а также, вследствие локальной квазиконформности границы, с \BbbR n \setminus
\{ b\} для некоторой точки b \in \BbbR n. В силу взаимно однозначного соответствия между \partial D0 и
ED найдутся не менее двух простых концов P1, P2 \subset ED, P1 \not = P2. Выберем в качестве
P1 \subset ED произвольный простой конец, не совпадающий с P0. В качестве вспомогательной
последовательности ym рассмотрим произвольную последовательность, сходящуюся к P1.
В силу компактности DP можно считать, что последовательность ym сходится к некото-
рой граничной точке \zeta 0 \in \partial D. Поскольку f1 — гомеоморфизм, то C(f1, \zeta 0) \subset \partial D\prime . Вслед-
ствие компактности D\prime найдется подпоследовательность номеров m1
k такая, что f1(ym1
k
) схо-
дится к некоторой граничной точке \xi 1 \in \partial D\prime . Тогда найдется номер k1 \in \BbbN такой, что
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (f1(ym1
k1
), \partial D\prime ) < 1. Положим l1 := m1
k1
. Рассмотрим последовательность ym, m > l1.
Поскольку f2 — гомеоморфизм, то C(f2, \zeta 0) \subset \partial D\prime . В силу компактности D\prime найдется под-
последовательность номеров m2
k такая, что f2(ym2
k
) сходится к некоторой граничной точке
\xi 2 \in \partial D\prime . Тогда найдется номер k2 \in \BbbN такой, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
f2(ym2
k2
), \partial D\prime \bigr) < 1/2. Положим
l2 := m2
k2
. И так далее. В результате бесконечного процесса получаем последовательность ylk
такую, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
fk(ylk), \partial D
\prime \bigr) < 1/k. Положим zk := ylk . Тогда
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (fk(zk), \partial D
\prime ) < 1/k, k = 1, 2, . . . , (13)
причем последовательность zk также сходится к простому концу P1. Переходя, если нужно, к
подпоследовательности, можем считать, что zi \in D\prime
i и выполнено условие (9).
Построим, как и в пунктах III и IV, последовательности кривых \alpha m и \beta m следующим
образом. Кривую \alpha 1 определим как произвольную дугу, соединяющую точки x0 и z1 в D.
Затем соединим точки z1 и z2 внутри области D\prime
1 некоторой дугой \gamma 1 и определим \alpha 2 как
объединение \alpha 1 и \gamma 1. И так далее. На некотором m-м шаге построим кривую \alpha m, которая
будет определяться как кривая \alpha m - 1, объединенная с дугой \gamma m - 1, где \gamma m - 1 — произвольная
дуга, соединяющая точки zm - 1 и zm в области D\prime
m - 1. И так далее. Как и прежде, положим
A :=
\infty \bigcup
m=1
| \alpha m| ,
при этом A имеет топологическую размерность 1, как счетное объединение замкнутых 1-
мерных множеств (см. [8], теорема III, [2], гл. III, разд. 3). В таком случае по лемме 1 множество
A не разделяет D и никакую подобласть D\ast \subset D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОДНОГО СЕМЕЙСТВА . . . 1273
Построим также последовательность кривых \beta m следующим образом. Кривую \beta 1 опреде-
лим как произвольную дугу, соединяющую точки z0 и f - 1
1 (x1) \in D1 в области D \setminus A так,
чтобы | \alpha 1| \cap | \beta 1| = \varnothing , что возможно в силу леммы 1. Затем соединим точки f - 1
1 (x1) и f - 1
2 (x2)
внутри области D1 \setminus A некоторой дугой \delta 1 и определим \beta 2 как объединение \beta 1 и \delta 1. И так
далее. На некотором m-м шаге построим кривую \beta m, которая будет определяться как кри-
вая \beta m - 1, объединенная с дугой \delta m - 1, где \delta m - 1 — произвольная дуга, соединяющая точки
f - 1
m - 1(xm - 1) и f - 1
m (xm) в области Dm - 1 \setminus A. И так далее.
Пусть \Gamma m — семейство кривых, соединяющих множества \alpha m и \beta m в D. Аналогично
тому, как это сделано в пункте V, доказывается справедливость соотношения вида (10), откуда
следует оценка вида (11).
Заметим, что в таком случае fk(zk), x
\prime
0 \in fk(\alpha k) и в силу (13) найдется постоянная \delta 1 > 0
такая, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} (fk(\alpha k)) \geq \delta 1 > 0 при всех k \geq k0. Аналогично, xk, z\prime 0 \in fk(\beta k) и, поскольку
по построению, xk \rightarrow x\prime 0 \not = z\prime 0, найдется постоянная \delta 2 > 0 такая, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} (fk(\beta k)) \geq \delta 2 > 0
при всех k \in \BbbN . Кроме того, заметим, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}
\bigl(
fk(\alpha k), fk(\beta k)
\bigr)
\rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Согласно
свойству сближающихся континуумов (см. теорему 2.3 и замечание 2.8 в [3]),
M
\bigl(
\Gamma
\bigl(
fk(\alpha k), fk(\beta k),\BbbR n
\bigr) \bigr)
\rightarrow \infty , k \rightarrow \infty . (14)
Поскольку D\prime является QED-областью, то из (14) следует, что M(fk(\Gamma k)) \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty ,
а это противоречит соотношению (11). Полученное противоречие свидетельствует о том, что
семейство отображений \frakH - 1
z0,x0,z\prime 0,x
\prime
0,Q
(DP , D\prime
P ) равностепенно непрерывно в точке x0.
Теорема 1 доказана.
В настоящей статье рассматривается случай n \geq 3. Случай n = 2 требует поисков иного
подхода, поскольку методы доказательства основного результата существенно опираются на
лемму 1. Понятно, что эта лемма нарушается, вообще говоря, при n = 2. Вопрос о равно-
степенной непрерывности не только обратных Q-гомеоморфизмов, но и обратных кольцевых
Q-гомеоморфизмов, является открытым: семейства кривых, использующиеся в доказательстве
теоремы 1, шире семейств кривых, соединяющих концентрические сферы.
Литература
1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Укр. мат. вiсн. – 2015. – 12,
№ 1. – С. 27 – 66.
2. Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И. К теории простых концов для пространственных областей // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 4. – С. 467 – 479.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Science +
Business Media, LLC, 2009.
4. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach. – New York
etc.: Springer, 2012.
5. Севостьянов Е. А. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой //
Мат. труды. – 2012. – 15, № 1. – С. 178 – 204.
6. Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math. – 1979. – 35. – P. 13 – 40.
7. Gehring F. W., Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal mappings // J. Anal.
Math. – 1985. – 24. – P. 181 – 206.
8. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. – Princeton: Princeton Univ. Press, 1948.
9. Куратовский К. Топология: В 2 т. – М.: Мир, 1969. – Т. 2.
10. Сакс С. Теория интеграла. – М.: Изд-во иностр. лит., 1949.
Получено 26.02.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1632 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:31Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5c/05063e3203d516a7622773c307d7b65c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16322019-12-05T09:21:25Z On the equicontinuity of one family of inverse mappings in terms of prime ends О равностепенной непрерывности одного семейства обратных отображений в терминах простых концов Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. For a class of mappings satisfying upper modular estimates with respect to families of curves, we study the behavior of the corresponding inverse mappings. In the terms of prime ends, we prove that the families of these homeomorphisms are equicontinuous (normal) in the closure of a given domain. Вивчається локальна поведiнка обернених гомеоморфiзмiв для класу вiдображень, в якому виконуються верхнi оцiнки модуля сiмей кривих. У термiнах простих кiнцiв просторових областей доведено, що сiм’ї таких гомеоморфiзмiв одностайно неперервнi (нормальнi) в замиканнi заданої областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1632 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1264-1273 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1264-1273 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1632/614 Copyright (c) 2018 Salimov R. R.; Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. On the equicontinuity of one family of inverse mappings in terms of prime ends |
| title | On the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| title_alt | О равностепенной непрерывности одного семейства
обратных отображений в терминах простых концов |
| title_full | On the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| title_fullStr | On the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| title_full_unstemmed | On the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| title_short | On the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| title_sort | on the equicontinuity of one family of inverse mappings
in terms of prime ends |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1632 |
| work_keys_str_mv | AT salimovrr ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT sevost039yanovea ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT salimovrr ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT sevostʹânovea ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT salimovrr ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT sevostʹânovea ontheequicontinuityofonefamilyofinversemappingsintermsofprimeends AT salimovrr oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov AT sevost039yanovea oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov AT salimovrr oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov AT salimovrr oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostiodnogosemejstvaobratnyhotobraženijvterminahprostyhkoncov |