Third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics
We prove the unique solvability of the third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics containing the second time derivative in a rectangular domain.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1633 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507452114468864 |
|---|---|
| author | Apakov, Yu. P. Апаков, Ю. П. Апаков, Ю. П. |
| author_facet | Apakov, Yu. P. Апаков, Ю. П. Апаков, Ю. П. |
| author_sort | Apakov, Yu. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We prove the unique solvability of the third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple
characteristics containing the second time derivative in a rectangular domain. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.951.2
Ю. П. Апаков, А. Х. Жураев (Наманган. инж.-строит. ин-т, Узбекистан)
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧA ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
We prove the unique solvability of the third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple
characteristics containing the second time derivative in a rectangular domain.
Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками, що мiстить другу похiдну за часом, доведено одно-
значну розв’язнiсть третьої крайової задачi у прямокутнiй областi.
1. Введение и постановка задачи. Дифференциальные уравнения в частных производных
третьего порядка рассматриваются при решении задач теории нелинейной акустики и в гидро-
динамической теории космической плазмы, фильтрации жидкости в пористых средах. В сово-
купности всех уравнений третьего порядка особое место занимают так называемые уравнения
с кратными характеристиками. В работе [1], на основании свойств вязкости и теплопровод-
ности газа, из системы Навье – Стокса было получено уравнение третьего порядка с кратными
характеристиками, содержащими вторые производные по времени
uxxx + uyy -
\nu
y
uy = uxuxx, \nu = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}. (1)
Уравнение (1) при \nu = 1 описывает осесимметричный поток, а \nu = 0 — плоско-параллельный
поток [2].
Первые результаты по уравнению третьего порядка с кратными характеристиками были
получены в работах H. Block [3]. L. Catabriga в работе [4] для уравнения D2n+1
x u - D2
yu =
= 0 построил фундаментальные решения в виде двойного несобственного интеграла и изучил
свойства потенциала. В работах [5, 6] построены фундаментальные решения, выраженные
через вырожденные гипергеометрические функции, изучены их свойства и найдены оценки
при | t| \rightarrow \infty . Также отметим работы [7 – 18], в которых рассмотрены краевые задачи для
уравнения третьего порядка.
В настоящей статье изучается третья краевая задача для уравнения третьего порядка с
кратными характеристиками в прямоугольной области. Рассмотрим уравнение
Uxxx - Uyy +AUxx +BUx + CUy +DU = 0,
где A,B,C,D \in R. Заметим, что заменой
U(x, y) = u(x, y)e -
A
3
x+C
2
y
это уравнение преобразуется к виду
uxxx - uyy + aux + cu = 0, (2)
где
c\bigcirc Ю. П. АПАКОВ, А. Х. ЖУРАЕВ, 2018
1274 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧA ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 1275
a = - A2
3
+B, c =
2A3
27
+
C2
4
- AB
3
+D.
В дальнейшем будем считать, что c > 0, a > 0.
В области D =
\bigl\{
(x, y) : 0 < x, y < 1
\bigr\}
рассмотрим следующую задачу.
Задача \bfitB 1 . Найти в области D решение уравнения (2) из класса C3,2
x,y(D) \cap C2,1
x,y
\bigl(
D
\bigr)
,
удовлетворяющее краевым условиям
\alpha u(x, 0) + \beta uy(x, 0) = 0, 0 \leq x \leq 1,
\gamma u(x, 1) + \delta uy(x, 1) = 0, 0 \leq x \leq 1,
(3)
u(0, y) = \varphi 1(y), u(1, y) = \varphi 2(y), ux(1, y) = \varphi 3(y), 0 \leq y \leq 1, (4)
где \varphi i(y) \in C3[0, 1], i = 1, 3, — заданные функции, причем
\alpha \varphi i(0) + \beta \varphi \prime
i(0) = 0, \gamma \varphi i(1) + \delta \varphi \prime
i(1) = 0.
Здесь \alpha , \beta , \gamma , \delta — постоянные числа, причем \alpha 2 + \beta 2 \not = 0, \gamma 2 + \delta 2 \not = 0.
Отметим, что аналогичные задачи исследованы в работе [19] для случая a = c = 0.
2. Oсновные результаты.
Теорема единственности. Если \alpha \beta \leq 0, \delta \gamma \geq 0, то задача B1 имеет единственное
решение.
Теорема существования. Если функции \varphi i(y) = C3[0, 1] и \alpha \varphi i(0) + \beta \varphi \prime
i(0) = 0, \gamma \varphi i(1) +
+ \delta \varphi \prime
i(1) = 0, \varphi \prime \prime
i (0) = \varphi \prime \prime
i (1) = 0, i = 1, 3, то решение задачи существует.
При доказательстве теоремы существования используется следующая лемма.
Лемма. Краевая задача
X \prime \prime \prime + aX \prime + \nu X = 0,
X(0) = X(1) = X \prime (1) = 0
(5)
имеет только тривиальное решение.
3. Доказательство полученных результатов. Доказательство теоремы единствен-
ности. Предположим обратное, т. е. пусть u1(x, y) и u2(x, y) являются решениями задачи
B1. Тогда u(x, y) = u1(x, y) - u2(x, y) является решением однородной задачи B1 из обла-
сти D.
Рассмотрим тождество
u(uxxx - uyy + aux + cu) = 0,
или
\partial
\partial x
(uuxx) -
1
2
\partial
\partial x
\bigl(
u2x
\bigr)
- \partial
\partial y
(uuy) + u2y +
a
2
\partial
\partial x
\bigl(
u2
\bigr)
+ cu2 = 0.
Интегрируя это тождество по области D, имеем\int \int
D
\partial
\partial x
(uuxx)dxdy -
1
2
\int \int
D
\partial
\partial x
(u2x)dxdy -
\int \int
D
\partial
\partial y
(uuy)dxdy+
+
\int \int
D
u2ydxdy +
a
2
\int \int
D
\partial
\partial x
(u2)dxdy + c
\int \int
D
u2dxdy = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1276 Ю. П. АПАКОВ, А. Х. ЖУРАЕВ
Учитывая граничные условия и требуя, чтобы \alpha \not = 0, \gamma \not = 0 из условия (3), имеем
\delta
\gamma
1\int
0
u2y (x, 1)dx - \beta
\alpha
1\int
0
u2y(x, 0) dx+
+
1
2
1\int
0
u2x (0, y) dy +
\int \int
D
u2y(x, y) dx dy + c
\int \int
D
u2 dx dy = 0.
Принимая во внимание условие теоремы единственности и c > 0, получаем u(x, y) \equiv 0 в D.
В случаях \beta \not = 0, \delta \not = 0; \alpha \not = 0, \delta \not = 0 и \gamma \not = 0, \beta \not = 0 аналогично получаем равенство
u(x, y) \equiv 0 в D.
Теорема единственности доказана.
Доказательство леммы. Предположим обратное, т. е. пусть X(x) \not = 0. Рассмотрим тож-
дество
X(X \prime \prime \prime + aX \prime + \nu X) = 0,
или \biggl(
XX \prime \prime - 1
2
(X \prime )2 +
a
2
X2
\biggr) \prime
+ \nu X2 = 0.
Интегрируя это тождество по области 0 < x < 1 и учитывая краевые условия, получаем
1
2
\bigl(
X \prime (0)
\bigr) 2
+ \nu
1\int
0
X2 dx = 0,
а так как \nu > 0, то X(x) \equiv 0.
Лемма доказана.
Доказательство теоремы существования. Решение задачи будем искать методом разде-
ления переменных
u(x, y) = X(x)Y (y). (6)
Тогда из уравнения (2) следует, что
X \prime \prime \prime Y - X Y \prime \prime + aX \prime Y + cX Y = 0,
X \prime \prime \prime + aX \prime
X
- Y \prime \prime
Y
= - c, - c = - v + \mu .
Отсюда имеем
X \prime \prime \prime + aX \prime + \nu = 0, (7)
Y \prime \prime + \mu Y = 0. (8)
Для нахождения функции Y (y) рассмотрим задачу
Y \prime \prime + \mu Y = 0,
\alpha Y (0) + \beta Y \prime (0) = 0,
\gamma Y (1) + \delta Y \prime (1) = 0.
(9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧA ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 1277
Действуя так, как в работе [19], для нахождение собственных значений получаем трансцен-
дентное уравнение
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\surd
\mu =
\alpha \gamma + \delta \beta \mu
\surd
\mu (\gamma \beta - \alpha \delta )
,
откуда следует, что
\surd
\mu n = \pi n + \varepsilon n, где \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \varepsilon n = 0, или \mu n = O(n2) при n \rightarrow \infty .
Соответствующие собственные функции имеют вид
Yn(y) = \alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
\mu ny - \beta
\surd
\mu n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\surd
\mu ny. (10)
Ортогональность системы функций (10) доказывается так же, как и в работе [19].
Найдем норму собственных функций Yn(y) в L2[0, 1]. Имеем
\bigm\| \bigm\| Yn(y)\bigm\| \bigm\| 2 = 1\int
0
Y 2
n (y) dy =
1
2
\bigl(
\alpha 2 + \beta 2\mu n - \alpha \beta
\bigr)
+
+
\biggl(
\beta 2\surd \mu n
4
- \alpha 2
4
\surd
\mu n
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2
\surd
\mu n +
\alpha \beta
2
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} 2
\surd
\mu n =
1
2
\beta 2\mu n
\biggl(
1 +O
\biggl(
1
\surd
\mu n
\biggr) \biggr)
. (11)
Характеристическое уравнение (7) принимает вид
m3 + am+ \nu = 0. (12)
Корни уравнения (12) имеют вид
m1 = - 2\alpha , m2,3 = \alpha \pm i\beta , \alpha = - 1
2
(u+ \upsilon ), \beta =
\surd
3
2
(u - \upsilon ),
где
u =
3
\sqrt{}
- \nu
2
+
\sqrt{}
\nu 2
4
+
a3
27
, \upsilon =
3
\sqrt{}
- \nu
2
-
\sqrt{}
\nu 2
4
+
a3
27
,
а так как a > 0, \nu > 0, то
\nu 2
4
+
a3
27
> 0.
Общее решение уравнения (7) запишется в виде
Xn(x) = C1ne
- 2\alpha nx + e\alpha nx
\bigl(
C2n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C3n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr)
, (13)
где Cin — произвольные постоянные. Согласно формуле (6) функции
un(x, y) =
\bigl(
C1ne
- 2\alpha nx + e\alpha nx
\bigl(
C2n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C3n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr) \bigr)
Yn(y)
являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3).
В силу линейности и однородности уравнения (2) сумма частных решений является также
решением уравнения (2). То же справедливо и для ряда
u(x, y) =
\infty \sum
n=1
\bigl(
C1ne
- 2\alpha nx + C2ne
\alpha nx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C3ne
\alpha nx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr)
Yn(y). (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1278 Ю. П. АПАКОВ, А. Х. ЖУРАЕВ
Требуя от функции u(x, y) выполнения краевых условий (4), получаем систему уравнений
A1n = C1n + C2n,
A2n = e - 2\alpha nC1n + e\alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nC2n + e\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nC3n, (15)
A3n = - 2\alpha ne
- 2\alpha nC1n + e\alpha n(\alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n - \beta n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n)C2n + e\alpha n(\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)C3n,
где
Ain =
1
\| Yn\| 2
1\int
0
\varphi i (\eta )Yn (\eta ) d\eta , i = 1, 2, 3. (16)
Определитель этой системы
\Delta = e2\alpha n
\bigl(
\beta n - e - 3\alpha n (3\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)
\bigr)
.
Предположим, что \Delta = 0, тогда существуют постоянные C\ast
1 , C\ast
2 , C\ast
3 , одновременно не все
равные нулю, удовлетворяющие системе
C\ast
1 + C\ast
2 = 0,
e - 2\alpha nC\ast
1 + e\alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nC
\ast
2 + e\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nC
\ast
3 = 0,
- 2\alpha ne
- 2\alpha nC\ast
1 + e\alpha n(\alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n - \beta n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n)C
\ast
2 + e\alpha n(\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)C
\ast
3 = 0.
Отсюда следует, что функция
Vn(x) = C\ast
1 e
- 2\alpha nx + e\alpha nx
\bigl(
C\ast
2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C\ast
3 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr)
является решением краевой задачи (5), но по доказанной лемме должно быть
C\ast
1 e
- 2\alpha nx + C\ast
2 e
\alpha nx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C\ast
3 e
\alpha nx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx \equiv 0,
но это невозможно в силу линейной независимости функций e - 2\alpha nx, e\alpha nx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx, e
\alpha nx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx.
Значит, \Delta \not = 0.
Согласно лемме система уравнений (15) имеет единственное решение вида
C1n =
1
\Delta
\bigl(
\beta ne
2\alpha nA1n - e\alpha n(\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)A2n + e\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nA3n
\bigr)
,
C2n =
1
\Delta
\bigl(
- e - \alpha n (3\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)A1n+
+e\alpha n(\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n + \beta n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n)A2n - e\alpha n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nA3n),
C3n =
1
\Delta
\bigl(
e - \alpha n (3\alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n - \beta n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n)A1n+
+ e\alpha n
\bigl(
- 2\alpha ne
- 3\alpha n - \alpha n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n + \beta n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta n
\bigr)
A2n +e\alpha n
\bigl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta n - e - 3\alpha n
\bigr)
A3n
\bigr)
.
Если ряд (14) и его производные uxxx, uyy сходятся равномерно по обеим переменным в
области D, то он дает классическое решение задачи B1. Докажем равномерную сходимость
ряда (14) в области D. Из (14) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧA ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 1279
\bigm| \bigm| u(x, y)\bigm| \bigm| \leq \infty \sum
n=1
\bigl(
| C1n| e - 2\alpha nx + | C2n| e\alpha nx + | C3n| e\alpha nx
\bigr)
| Y (y)| .
Оценим первое слагаемое:
| C1n| e - 2\alpha nx \leq e - 2\alpha nxe2\alpha n
e2\alpha n
\bigm| \bigm| \Delta \bigm| \bigm| \bigl\{
| \alpha n| | A1n| + e - \alpha n (| \alpha n| + | \beta n| ) | A2n| + e - \alpha n | A3n|
\bigr\}
\leq
\leq (| A1n| + | A2n| + | A3n| )M1,
аналогично
| C2n| e\alpha nx \leq (| A1n| + | A2n| + | A3n| )M2,
| C3n| e\alpha nx \leq (| A1n| + | A2n| + | A3n| )M3.
Тогда получим
\bigm| \bigm| u(x, y)\bigm| \bigm| \leq \infty \sum
n=1
(| A1nYn(y)| + | A2nYn(y)| + | A3nYn(y)| ). (17)
Оценим выражение
\bigm| \bigm| AinYn(y)
\bigm| \bigm| :
| AinYn(y)| \leq
| Yn(y)|
\| Yn\| 2
1\int
0
\varphi i (\eta )Yn (\eta ) d\eta .
Учитывая
| Yn(y)| \leq | \alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
\mu ny - \beta
\surd
\mu n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\surd
\mu ny| \leq | \alpha | + | \beta | \surd \mu n,
получаем
| AinYn(y)| \leq
\bigl(
| \alpha | + | \beta | \surd \mu n
\bigr) 2
\| Yn\| 2
1\int
0
\varphi i (\eta ) d\eta .
Выражение
\bigl(
| \alpha | + | \beta | \surd \mu n
\bigr) 2
\| Yn\| 2
при n \rightarrow \infty , т. е. при \mu n \rightarrow \infty , ограничено, так как из (11)
следует, что \bigl(
| \alpha | + | \beta | \surd \mu n
\bigr) 2
\| Yn\| 2
=
\alpha 2 + 2 | \alpha \beta | \surd \mu n + \beta 2\mu n
\| Yn\| 2
\rightarrow 2.
Отсюда заключаем, что начиная с некоторого номера n выполняется неравенство
| Ain| | Y (y)| < B
1\int
0
| \varphi i (\eta )| d\eta , i = 1, 3,
где B > 2. Интегрируя по частям и принимая во внимание условие (16), получаем оценки
| \varphi i| \leq Ni
| \varphi \prime \prime \prime
in|
n3
, i = 1, 3.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1280 Ю. П. АПАКОВ, А. Х. ЖУРАЕВ
Тогда
| AinYn| \leq 2Ni
| \varphi \prime \prime \prime
in|
n3
, i = 1, 3. (18)
Оценка (17) с учетом (18) принимает вид
| u(x, y)| \leq 2M4Ni
\infty \sum
n=1
| \varphi \prime \prime \prime
in|
n3
< \infty , i = 1, 3.
Отсюда следует, что ряд (14) сходится абсолютно и равномерно. Докажем равномерную сходи-
мость
\partial 2u
\partial y2
. Из (14) имеем
\partial 2u
\partial y2
=
\infty \sum
n=1
\bigl(
C1ne
- 2\alpha nx + C2ne
\alpha nx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C3ne
\alpha nx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr)
Y \prime \prime
n (y),
где \bigm| \bigm| Y \prime \prime
n (y)
\bigm| \bigm| \leq - \mu n
\bigl(
\alpha \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\surd
\mu ny - \beta
\surd
\mu n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\surd
\mu ny
\bigr)
= - \mu nYn(y).
Тогда
\partial 2u
\partial y2
=
\infty \sum
n=1
\bigl(
C1ne
- 2\alpha nx + C2ne
\alpha nx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta nx+ C3ne
\alpha nx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\beta nx
\bigr)
( - \mu n)Yn(y),
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2u
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \infty \sum
n=1
\bigl(
| C1n| e - 2\alpha nx + | C2n| e\alpha nx + | C3n| e\alpha nx
\bigr)
| \mu n| | Yn(y)| \leq
\leq M4
\infty \sum
n=1
\bigl(
| A1nYn(y)| + | A2nYn(y)| + | A3nYn(y)|
\bigr)
| \mu n| .
Учитывая \mu n = O(n2), получаем \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2u
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2M4Ni
\infty \sum
i=1
| \varphi \prime \prime \prime
in|
n
.
Используя неравенства Коши – Буняковского и Бесселя [20], имеем\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2u
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2M4Ni
\sqrt{} \infty \sum
i=1
| \varphi \prime \prime \prime
in|
2
\sqrt{} \infty \sum
i=1
1
n2
\leq 2M4Ni
\sqrt{}
2 \| \varphi \prime \prime \prime
in\|
2
\sqrt{}
\pi 2
6
= 2M4Ni
\pi \surd
3
\bigm\| \bigm\| \varphi \prime \prime \prime
in
\bigm\| \bigm\| < \infty ,
где
\infty \sum
i=1
\bigm| \bigm| \varphi \prime \prime \prime
in
\bigm| \bigm| 2 = 2
\bigm\| \bigm\| \varphi \prime \prime \prime
in
\bigm\| \bigm\| 2
L2(0,1)
, i = 1, 3,
n\sum
i=1
1
n2
=
\pi 2
6
.
Учитывая уравнения (2), для
\partial 3u
\partial x3
тоже получаем аналогичную оценку. Отсюда заключаем, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 3u
\partial x3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| и
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial 2u
\partial y2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| сходятся абсолютно и равномерно.
Теорема существования доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
ТРЕТЬЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧA ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА . . . 1281
Литература
1. Рыжов О. С. Асимптотическая картина обтекания тел вращения со звуковым потоком вязкого и теплопрово-
дящего газа // Прикл. математика и механика. – 1965. – 29, вып. 6. – С. 1004 – 1014.
2. Диесперов В. Н. О функции Грина линеаризованного вязкого трансзвукового уравнения // Журн. вычислит.
математики и мат. физики. – 1972. – 12, № 5. – С. 1265 – 1279.
3. Block H. Sur les equations lineaires aux derives parielles a carateristiques multiples // Ark. Mat., Astron. Fis. Note
1. – 1912. – 7, №. 13. – P. 1 – 34; Note 2. – 1912. – 7, №. 21. – P. 1 – 30; Note 3. – 1912-1913. – 8, №. 23. – P. 1 – 51.
4. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caratteristiche multiple //
Rend. Sem. Mat. Univ. Padava. – 1961. – 31. – P. 1 – 45.
5. Джураев Т. Д, Апаков Ю. П. Об автомодельном решении одного уравнения третьего порядка с кратными
характеристиками // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. – 2007. – № 2(15). – C. 18 – 26.
6. Джураев Т. Д., Апаков Ю. П. К теории уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, содержащего
вторую производную по времени// Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 1. – С. 40 – 51.
7. Apakov Yu. P., Rutkauskas S. On a boundary problem to third order PDE with multiple characteristics // Nonlinear
Anal.: Model. and Control. – 2011. – 16, № 3. – P. 255 – 269.
8. Апаков Ю. П. О решении краевой задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 1. – С. 1 – 11.
9. Апаков Ю. П., Иргашев Б. Ю. Краевая задача для вырождающегося уравнения высокого нечетного порядка //
Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 10. – С. 1318 – 1331.
10. Балкизов Ж. А., Кадзаков А. Х. О представлении решения краевой задачи для неоднородного уравнения
третьего порядка с кратными характеристиками // Изв. Кабардино-Балкар. науч. центра РАН. – 2010. – № 4. –
С. 64 – 69.
11. Юлдашев Т. К. Обратная задача для одного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма в частных
производных третьего порядка // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. – 2014. – №1(34). –
С. 56 – 65.
12. Шубин В. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с разрывным коэффициентом // Вестн. НГУ.
Сер. математика, механика, информатика. – 2012. – 12, № 1. – С. 126 – 138.
13. Ashyralyev A., Aggez N., Hezenci F. Boundary value problem for a third order partal differential equation // First Int.
Conf. Anal. and Appl. Math. (ICAAM 2012): AIP Conf. Proc. – 2012. – 1470. – P. 130 – 133.
14. Ashyralyev A., Simsek S. N. An operator method for a third order partial differential equation // Numer. Funct. Anal.
and Optim. – 2017 . – 38, №. 10. – P. 1341 – 1360.
15. Ashyralyev A., Belakroum Kh., Guezane-Lakoud A. Stability of boundary value problems for third-order partial
differential equations // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – 2017, № 53. – P. 1 – 11.
16. Ashyralyev A., Belakroum Kh., Guezane-Lakoud A. Numerical algorithm for the third-order partial differential equation
with local boundary conditions // AIP Conf. Proc. – 2017. – 1880.
17. Ashyralyev A., Belakroum Kh., Guezane-Lakoud A. Numerical algorithm for the third-order partial differential equation
with nonlocal boundary conditions // AIP Conf. Proc. – 2017. – 1880.
18. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Пространственно-нелокальные задачи с интегральными условиями для диффе-
ренциальных уравнений третьего порядка // Дифференц. уравнения. – 2017. – 53, № 7. – С. 906 – 917.
19. Апаков Ю. П. Решение краевых задач для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками методом
разделения переменных // Узб. мат. журн. – 2007. – № 1. – С. 14 – 23.
20. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 т. – М.: Наука, 1973. – Т. 2. – 447 с.
Получено 17.02.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1633 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:32Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/7fb6dfe33f235e23d7a43ce649e49e96.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16332019-12-05T09:21:25Z Third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics Третья краевая задачa для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Apakov, Yu. P. Апаков, Ю. П. Апаков, Ю. П. We prove the unique solvability of the third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics containing the second time derivative in a rectangular domain. Для рiвняння третього порядку з кратними характеристиками, що мiстить другу похiдну за часом, доведено однозначну розв’язнiсть третьої крайової задачi у прямокутнiй областi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1633 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1274-1281 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1274-1281 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1633/615 Copyright (c) 2018 Apakov Yu. P. |
| spellingShingle | Apakov, Yu. P. Апаков, Ю. П. Апаков, Ю. П. Third boundary-value problem for a third-order differential equation with multiple characteristics |
| title | Third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| title_alt | Третья краевая задачa для уравнения третьего порядка
с кратными характеристиками |
| title_full | Third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| title_fullStr | Third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| title_full_unstemmed | Third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| title_short | Third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| title_sort | third boundary-value problem for a third-order differential
equation with multiple characteristics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1633 |
| work_keys_str_mv | AT apakovyup thirdboundaryvalueproblemforathirdorderdifferentialequationwithmultiplecharacteristics AT apakovûp thirdboundaryvalueproblemforathirdorderdifferentialequationwithmultiplecharacteristics AT apakovûp thirdboundaryvalueproblemforathirdorderdifferentialequationwithmultiplecharacteristics AT apakovyup tretʹâkraevaâzadačadlâuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikami AT apakovûp tretʹâkraevaâzadačadlâuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikami AT apakovûp tretʹâkraevaâzadačadlâuravneniâtretʹegoporâdkaskratnymiharakteristikami |