Inequalities for inner radii of symmetric disjoint domains
We study the following problem: Let $a_0 = 0, | a_1| = ... = | a_n| = 1,\; a_k \in B_k {\subset C}$, where $B_0, ... ,B_n$ are disjoint domains, and $B_1, ... ,B_n$ are symmetric about the unit circle. It is necessary to find the exact upper bound for $r^{\gamma} (B_0, 0) \prod^n_{k=1} r(B_k, a_k...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1634 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507454797774848 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Vyhovs'ka, L.V. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Vyhovs'ka, L.V. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:25Z |
| description | We study the following problem: Let $a_0 = 0, | a_1| = ... = | a_n| = 1,\; a_k \in B_k {\subset C}$, where $B_0, ... ,B_n$ are disjoint domains, and $B_1, ... ,B_n$ are symmetric about the unit circle. It is necessary to find the exact upper bound for
$r^{\gamma} (B_0, 0) \prod^n_{k=1}
r(B_k, a_k)$, where $r(B_k, a_k)$ is the inner radius of Bk with respect to $a_k$.
For $\gamma = 1$ and $n \geq 2$, the problem was solved by L. V. Kovalev. We solve this problem for $\gamma \in (0, \gamma_n], \gamma_n = 0,38 n^2$,
and $n \geq 2$ under the additional assumption imposed on the angles between the neighboring line segments $[0, a_k]$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.54
А. К. Бахтин, И. В. Денега, Л. В. Выговская (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ
СИММЕТРИЧНЫХ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ
We study the following problem: Let a0 = 0, | a1| = . . . = | an| = 1, ak \in Bk \subset \BbbC , where B0, . . . , Bn are
disjoint domains, and B1, . . . , Bn are symmetric about the unit circle. It is necessary to find the exact upper bound for
r\gamma (B0, 0)
\prod n
k=1
r(Bk, ak), where r(Bk, ak) is the inner radius of Bk with respect to ak.
For \gamma = 1 and n \geq 2, the problem was solved by L. V. Kovalev. We solve this problem for \gamma \in (0, \gamma n], \gamma n = 0.38n2,
and n \geq 2 under the additional assumption imposed on the angles between the neighboring line segments [0, ak].
Розглянуто таку задачу: Нехай a0 = 0, | a1| = . . . = | an| = 1, ak \in Bk \subset \BbbC , де B0, . . . , Bn — взаємно непе-
ретиннi областi i B1, . . . , Bn — симетричнi вiдносно одиничного кола. Знайти точну верхню межу для добутку
r\gamma (B0, 0)
\prod n
k=1
r(Bk, ak), де r(Bk, ak) — внутрiшнiй радiус областi Bk вiдносно точки ak.
Для \gamma = 1 i n \geq 2 цю задачу розв’язав Л. В. Ковальов. У данiй роботi одержано розв’язок цiєї задачi для
\gamma \in (0, \gamma n], \gamma n = 0,38n2 i n \geq 2 при додатковiй умовi на кути мiж сусiднiми лiнiями сегментiв [0, ak].
Задачи о максимизации произведения внутренних радиусов непересекающихся областей хо-
рошо известны в геометрической теории функций комплексной переменной [1 – 15]. Одна из
задач такого рода рассматривается в данной статье.
Пусть \BbbN и \BbbR — множество натуральных и вещественных чисел соответственно, \BbbC — ком-
плексная плоскость, \BbbC = \BbbC
\bigcup
\{ \infty \} – расширенная комплексная плоскость или сфера Римана,
\BbbR + = (0,\infty ). Пусть r(B, a) — внутренний радиус области B \subset \BbbC относительно точки a \in B
(см., например, [1, 5]). Внутренний радиус области B связан с обобщенной функцией Грина
gB(z, a) области B соотношениями
gB(z, a) = - \mathrm{l}\mathrm{n} | z - a| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B, a) + o(1), z \rightarrow a,
gB(z,\infty ) = \mathrm{l}\mathrm{n} | z| + \mathrm{l}\mathrm{n} r(B,\infty ) + o(1), z \rightarrow \infty .
Системой непересекающихся областей называется конечный набор произвольных областей
\{ Bk\} nk=1, n \in \BbbN , n \geq 2, таких, что Bk \subset \BbbC , Bk \cap Bm = \varnothing , k \not = m, k,m = 1, n.
Пусть n \in \BbbN , n \geq 2. Множество точек An :=
\bigl\{
ak \in \BbbC : k = 1, n
\bigr\}
называется n-лучевой
системой, если | ak| \in \BbbR +, k = 1, n, и 0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} a2 < . . . < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} an < 2\pi . Введем
обозначения Pk = Pk(An) := \{ w : \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}w < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} ak+1\} , an+1 := a1, \alpha k :=
1
\pi
\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}
ak+1
ak
,
\alpha n+1 := \alpha 1, k = 1, n,
\sum n
k=1
\alpha k = 2.
Рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. При каждом фиксированном \gamma \in (0, n] найти максимум функционала
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak),
где B0, B1, B2, . . . , Bn, n \geq 2, — взаимно непересекающиеся области в \BbbC и B1, . . . , Bn
симметричны относительно единичной окружности, a0 = 0, | ak| = 1, k = 1, n, ak \in Bk \subset \BbbC ,
k = 0, n, и описать все экстремали.
c\bigcirc А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА, Л. В. ВЫГОВСКАЯ, 2018
1282 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИММЕТРИЧНЫХ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 1283
Эта задача относится к классу экстремальных задач с так называемыми свободными полю-
сами на окружности. Впервые внимание специалистов к исследованию экстремальных задач,
которым соответствуют квадратичные дифференциалы, полюсы которых не фиксированы, а
имеют определенную свободу, привлек в 1968 году П. М. Тамразов в работе [6]. В 1974 г.
Г. П. Бахтина [7, 8] применила идею П. М. Тамразова к задачам о неналегающих областях. В
этих работах был сформулирован ряд интересных задач для неналегающих областей со сво-
бодными полюсами на единичной окружности. Такие задачи в дальнейшем получили название
„экстремальных задач со свободными полюсами”. В работах [1, 10, 11] разработан весьма
эффективный метод разделяющего преобразования, с помощью которого удалось решить неко-
торые трудные задачи со свободными полюсами на окружности. В частности, задача 1 является
одной из задач со свободными полюсами на единичной окружности и в случае \gamma = 1 была
сформулирована в качестве открытой проблемы в работе [1]. Для n \geq 2 и \gamma = 1 ее решил
Л. В. Ковалев [3, 4]. Однако для значений \gamma \not = 1 задача 1 долгое время не поддавалась реше-
нию. И только в 2017 г. в работе [12] эта проблема полностью исследована в случае n = 2 и
\gamma \in (0, 2]. В настоящей работе задача 1 исследуется при значениях \gamma \not = 1 и n \geq 2. Справедливо
следующее утверждение.
Теорема. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, \gamma n], \gamma n = 0, 38n2. Тогда для любой n-лучевой
системы точек An, принадлежащей единичной окружности и такой, что 0 < \alpha k \leq y0/
\surd
2\gamma ,
y0 \approx 1,76, k = 1, n, и любого набора взаимно непересекающихся областей Bk, a0 = 0 \in B0 \subset
\subset \BbbC , ak \in Bk \subset \BbbC , k = 1, n, причем области Bk, k = 1, n, имеют симметрию относительно
единичной окружности | w| = 1, выполняется неравенство
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r (Bk, ak) \leq
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - 2\gamma
n2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n2+ \gamma
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n -
\surd
2\gamma
n+
\surd
2\gamma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\surd
2\gamma
. (1)
Знак равенства в этом неравенстве достигается, когда ak и Bk, k = 0, n, являются соот-
ветственно полюсами и круговыми областями квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = - \gamma w2n + 2(n2 - \gamma )wn + \gamma
w2(wn - 1)2
dw2. (2)
Доказательство. Рассмотрим систему функций \pi k(w) =
\bigl(
e - i\theta kw
\bigr) 1
\alpha k , k = 1, n. Семей-
ство функций \{ \pi k(w)\} nk=1 называется допустимим для разделяющего преобразования областей
Bk, k = 0, n, относительно углов \{ Pk\} nk=1. Пусть \Omega
(1)
k , k = 1, n, обозначает область плоско-
сти \BbbC \zeta , полученную в результате объединения связной компоненты множества \pi k(Bk
\bigcap
P k),
содержащей точку \pi k(ak), со своим симметричным отражением относительно вещественной
оси. В свою очередь, через \Omega
(2)
k , k = 1, n, обозначим область плоскости \BbbC \zeta , полученную
в результате объединения связной компоненты множества \pi k(Bk+1
\bigcap
P k), содержащей точку
\pi k(ak+1), со своим симметричным отражением относительно вещественной оси, Bn+1 := B1,
\pi n(an+1) := \pi n(a1). Кроме того, \Omega (0)
k будет обозначать область плоскости \BbbC \zeta , полученную в
результате объединения связной компоненты множества \pi k(B0
\bigcap
P k), содержащей точку \zeta = 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1284 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА, Л. В. ВЫГОВСКАЯ
со своим симметричным отражением относительно вещественной оси. Обозначим
\pi k(ak) := \omega
(1)
k = 1, \pi k(ak+1) := \omega
(2)
k = - 1, k = 1, n, \pi n(an+1) := \omega (2)
n .
Из определения функций \pi k следует, что
| \pi k(w) - 1| \sim 1
\alpha k
| ak|
1
\alpha k
- 1| w - ak| , w \rightarrow ak, w \in Pk,
| \pi k(w) + 1| \sim 1
\alpha k
| ak+1|
1
\alpha k
- 1| w - ak+1| , w \rightarrow ak+1, w \in Pk,
| \pi k(w)| \sim | w|
1
\alpha k , w \rightarrow 0, w \in Pk.
Используя результаты работ [1, 10, 11], имеем неравенства
r (Bk, ak) \leq
\left[ r
\bigl(
\Omega
(1)
k , 1
\bigr)
r
\bigl(
\Omega
(2)
k , - 1
\bigr)
1
\alpha k
| ak|
1
\alpha k
- 1 1
\alpha k - 1
| ak|
1
\alpha k - 1
- 1
\right]
1
2
, k = 1, n, (3)
r (B0, 0) \leq
\Biggl[
n\prod
k=1
r\alpha
2
k
\bigl(
\Omega
(0)
k , 0
\bigr) \Biggr] 1
2
. (4)
Из неравенств (3), (4) получаем соотношение
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
n\prod
k=1
\Bigl[
r
\bigl(
\Omega
(0)
k , 0
\bigr) \Bigr] \gamma \alpha 2
k
2
n\prod
k=1
\left[ r
\Bigl(
\Omega
(2)
k , - 1
\Bigr)
r
\bigl(
\Omega
(1)
k , 1
\bigr)
1
\alpha k - 1\alpha k
| ak|
1
\alpha k - 1
- 1| ak|
1
\alpha k
- 1
\right]
1
2
=
=
n\prod
k=1
\alpha k
\Biggl[
n\prod
k=1
r\gamma \alpha
2
k
\bigl(
\Omega
(0)
k , 0
\bigr)
r
\bigl(
\Omega
(1)
k , 1
\bigr)
r
\bigl(
\Omega
(2)
k , - 1
\bigr) \Biggr] 1
2
.
Согласно теореме 1 работы [12], справедлива оценка
r\gamma \alpha
2
k
\bigl(
\Omega
(0)
k , 0
\bigr)
r
\bigl(
\Omega
(1)
k , 1
\bigr)
r
\bigl(
\Omega
(2)
k , - 1
\bigr)
\leq
\leq 21 - \gamma \alpha 2
k
\left[ 22\gamma \alpha
2
k+6
\bigl(
\alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 2\gamma \alpha 2
k\bigl(
2 - \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2 - \alpha k
\surd
2\gamma )2\bigl(
2 + \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2+\alpha k
\surd
2\gamma )2
\right] 1
2
. (5)
Знак равенства в (5) достигается, когда \Omega
(0)
k , \Omega
(1)
k и \Omega
(2)
k являются круговыми областями
квадратичного дифференциала
Q(z)dz2 = -
(4 - 2\alpha 2
k\gamma )z
2 + 2\alpha 2
k\gamma
z2(z2 - 1)2
dz2. (6)
Таким образом, выполняется неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИММЕТРИЧНЫХ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 1285
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\leq
n\prod
k=1
\alpha k
\left[ n\prod
k=1
21 - \gamma \alpha 2
k
\left[ 22\gamma \alpha
2
k+6 \cdot
\bigl(
\alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 2\gamma \alpha 2
k\bigl(
2 - \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2 - \alpha k
\surd
2\gamma )2\bigl(
2 + \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2+\alpha k
\surd
2\gamma )2
\right] 1
2
\right]
1
2
.
Отсюда получаем
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\leq
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n n\prod
k=1
\bigl(
\alpha k
\sqrt{}
2\gamma
\bigr)
2
1 - \gamma \alpha 2
k
2
\left[ 22\gamma \alpha
2
k+6
\bigl(
\alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 2\gamma \alpha 2
k\bigl(
2 - \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2 - \alpha k
\surd
2\gamma )2\bigl(
2 + \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2+\alpha k
\surd
2\gamma )2
\right] 1
4
=
=
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n n\prod
k=1
\left[ 28
\bigl(
\alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 2\gamma \alpha 2
k+4
\bigl(
2 - \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
\bigl(
2 - \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 2\bigl(
2 + \alpha k
\surd
2\gamma
\bigr) 1
2
(2+\alpha k
\surd
2\gamma )2
\right]
1
4
=
=
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n n\prod
k=1
\left[ 28 x
x2
k+4
k
(2 - xk)
1
2
(2 - xk)2(2 + xk)
1
2
(2+xk)2
\right] 1
4
,
где xk = \alpha k
\surd
2\gamma , xk \in (0, y0].
Рассмотрим функцию
\Psi (x) = 28xx
2+4(2 - x) -
1
2
(2 - x)2(2 + x) -
1
2
(2+x)2 , x \in (0, 2].
Пусть F (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\bigl(
\Psi (x)
\bigr)
(см. рис. 1).
Тогда F \prime (x) = 2x \mathrm{l}\mathrm{n}x+ (2 - x) \mathrm{l}\mathrm{n}(2 - x) - (2 + x) \mathrm{l}\mathrm{n}(2 + x) +
4
x
(см. рис. 2). Функция
F \prime \prime (x) = \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
x2
4 - x2
\biggr)
- 4
x2
строго возрастает на (0, 2) и существует y0 \approx 1,76 такое, что
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}F \prime \prime (x) \equiv \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n} (x - y0).
Таким образом, функция \Psi (x) логарифмически выпукла вверх на интервале (0, y0]. Поскольку
xk \in (0, y0], k = 1, n, то имеет место соотношение
1
n
n\sum
k=1
\mathrm{l}\mathrm{n}\Psi (xk) \leq \mathrm{l}\mathrm{n}\Psi
\left( \sum n
k=1
xk
n
\right) .
Это равносильно тому, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1286 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА, Л. В. ВЫГОВСКАЯ
Рис. 1. График функции y = F (x).
Рис. 2. График функции Y = F \prime (x).
\mathrm{l}\mathrm{n}
\Biggl(
n\prod
k=1
\Psi (xk)
\Biggr) 1
n
\leq \mathrm{l}\mathrm{n}
\biggl(
\Psi
\biggl(
2
n
\sqrt{}
2\gamma
\biggr) \biggr)
.
Отсюда окончательно имеем
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n n\prod
k=1
\bigl[
\Psi (xk)
\bigr] 1
4 \leq
\leq
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n\biggl[
\Psi
\biggl(
2
n
\sqrt{}
2\gamma
\biggr) \biggr] n
4
.
Используя конкретное выражение для \Psi (x), получаем неравенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ВНУТРЕННИХ РАДИУСОВ СИММЕТРИЧНЫХ НЕНАЛЕГАЮЩИХ ОБЛАСТЕЙ 1287
r\gamma (B0, 0)
n\prod
k=1
r(Bk, ak) \leq
\biggl(
1\surd
2\gamma
\biggr) n
\left[
28
\biggl(
2
n
\surd
2\gamma
\biggr) \bigl( 2
n
\surd
2\gamma
\bigr) 2
+4
\biggl(
2 - 2
n
\surd
2\gamma
\biggr) 1
2
\bigl(
2 - 2
n
\surd
2\gamma
\bigr) 2\biggl(
2 +
2
n
\surd
2\gamma
\biggr) 1
2
\bigl(
2+ 2
n
\surd
2\gamma
\bigr) 2
\right]
n
4
=
=
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
2\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - 2\gamma
n2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n2+ \gamma
n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| n -
\surd
2\gamma
n+
\surd
2\gamma
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\surd
2\gamma
.
Таким образом, неравенство (1) доказано. Выполняя в (6) замену переменной по формуле
z = 2w
n
2 /(1+wn), получаем квадратичный дифференциал (2). Знак равенства в неравенстве (1)
проверяется непосредственно.
Теорема доказана.
Рассмотрим класс T = \{ fk\} nk=0 систем однолистных функций, которые отображают еди-
ничный круг U = \{ w \in \BbbC : | w| \leq 1\} на взаимно неналегающие области \{ Bk\} nk=0 (причем
области \{ Bk\} nk=1 симметричны относительно единичной окружности) так, что
f0(0) = 0, | fk(0)| = 1.
Тогда из доказанной теоремы для класса T следует такое утверждение.
Следствие. Пусть n \in \BbbN , n \geq 2, \gamma \in (0, \gamma n], \gamma n = 0,38n2. Тогда для произвольной
системы функций \{ fk\} nk=0 \in T выполняется неравенство
| f \prime
0(0)| \gamma
n\prod
k=1
| f \prime
k(0)| \leq
\bigm| \bigm| f \prime (0)
0 (0)
\bigm| \bigm| \gamma n\prod
k=1
\bigm| \bigm| f \prime (0)
k (0)
\bigm| \bigm| .
Знак равенства в этом неравенстве достигается для системы функций \{ fk\} nk=0 \in T такой,
что f
(0)
k (U) = B
(0)
k , f
(0)
k (0) = a
(0)
k , a
(0)
0 = 0, где B
(0)
k , a
(0)
k , k = 0, n, — соответственно
круговые области и полюсы квадратичного дифференциала (2).
Литература
1. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи
мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3 – 76.
2. Бахтина Г. П. О конформных радиусах симметричных неналегающих областей // Современные вопросы
вещественного и комплексного анализа. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. – С. 21 – 27.
3. Ковалев Л. В. О внутренних радиусах симметричных неналегающих областей // Изв. вузов. Математика. –
2000. – 6. – С. 80 – 81.
4. Ковалев Л. В. О трех непересекающихся областях // Дальневост. мат. сб. – 2000. – 1. – С. 3 – 7.
5. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
6. Тамразов П. М. Экстремальные конформные отображения и полюсы квадратичных дифференциалов // Изв.
АН СССР. Сер. мат. – 1968. – 32, № 5. – С. 1033 – 1043.
7. Бахтина Г. П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих областях:
автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
1288 А. К. БАХТИН, И. В. ДЕНЕГА, Л. В. ВЫГОВСКАЯ
8. Бахтина Г. П. Об экстремизации некоторых функционалов в задаче о неналегающих областях // Укр. мат.
журн. — 1975. – 27, № 2. – С. 202 – 204.
9. Бахтина Г. П. Экстремумы коэффициентов однолистных функций без общих значений // Геометрическая
теория функций и топология: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981. – С. 9 – 15.
10. Дубинин В. Н. О произведении внутренних радиусов „частично неналегающих” областей // Вопросы метри-
ческой теории отображений и ее применение. – Киев: Наук. думка, 1978. – С. 24 – 31.
11. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48 – 66.
12. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Денега И. В. Экстремальное разбиение комплексной плоскости с фиксированными
полюсами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2017. – 14, № 1. – С. 34 – 38.
13. Bakhtin A. K., Denega I. V. Addendum to a theorem on extremal decomposition of the complex plane // Bull. Soc.
Sci. Let. Łódź. Sér. Rech. Déform. – 2012. – 62, № 2. – P. 83 – 92.
14. Бахтин А. К. Оценки внутренних радиусов для взаимно непересекающихся областей // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. – 2017. – 14, № 1. – С. 25 – 33.
15. Дженкинс Дж. А. Однолистные функции и конформные отображения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 256 с.
Получено 19.07.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-1634 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:35Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ff/5b4fcebca458d81a79bd4355a05afbff.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16342019-12-05T09:21:25Z Inequalities for inner radii of symmetric disjoint domains Неравенства для внутренних радиусов симметричных неналегающих областей Bakhtin, A. K. Vyhovs'ka, L.V. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. We study the following problem: Let $a_0 = 0, | a_1| = ... = | a_n| = 1,\; a_k \in B_k {\subset C}$, where $B_0, ... ,B_n$ are disjoint domains, and $B_1, ... ,B_n$ are symmetric about the unit circle. It is necessary to find the exact upper bound for $r^{\gamma} (B_0, 0) \prod^n_{k=1} r(B_k, a_k)$, where $r(B_k, a_k)$ is the inner radius of Bk with respect to $a_k$. For $\gamma = 1$ and $n \geq 2$, the problem was solved by L. V. Kovalev. We solve this problem for $\gamma \in (0, \gamma_n], \gamma_n = 0,38 n^2$, and $n \geq 2$ under the additional assumption imposed on the angles between the neighboring line segments $[0, a_k]$. Розглянуто таку задачу: Нехай $a_0 = 0, | a_1| = ... = | a_n| = 1,\; a_k \in B_k {\subset C}$, де $B_0, ... ,B_n$ — взаємно неперетиннi областi i $B_1, ... ,B_n$ — симетричнi вiдносно одиничного кола. Знайти точну верхню межу для добутку $r^{\gamma} (B_0, 0) \prod^n_{k=1} r(B_k, a_k)$, де $r(B_k, a_k)$ — внутрiшнiй радiус областi $B_k$ вiдносно точки $a_k$. Для $\gamma = 1$ i $n \geq 2$ цю задачу розв’язав Л. В. Ковальов. У данiй роботi одержано розв’язок цiєї задачi для $\gamma \in (0, \gamma_n], \gamma_n = 0,38 n^2$ i $n \geq 2$ при додатковiй умовi на кути мiж сусiднiми лiнiями сегментiв $[0, a_k]$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1634 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 9 (2018); 1282-1288 Український математичний журнал; Том 70 № 9 (2018); 1282-1288 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1634/616 Copyright (c) 2018 Bakhtin A. K.; Vyhovs'ka L.V.; Denega I. V. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Vyhovs'ka, L.V. Denega, I. V. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. Бахтин, А. К. Выговская, Л.В. Денега, И. В. Inequalities for inner radii of symmetric disjoint domains |
| title | Inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| title_alt | Неравенства для внутренних радиусов симметричных неналегающих областей |
| title_full | Inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| title_fullStr | Inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| title_full_unstemmed | Inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| title_short | Inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| title_sort | inequalities for inner radii of symmetric disjoint
domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1634 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT vyhovs039kalv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT denegaiv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT bahtinak inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT vygovskaâlv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT denegaiv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT bahtinak inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT vygovskaâlv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT denegaiv inequalitiesforinnerradiiofsymmetricdisjointdomains AT bakhtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT vyhovs039kalv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT vygovskaâlv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT bahtinak neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT vygovskaâlv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej AT denegaiv neravenstvadlâvnutrennihradiusovsimmetričnyhnenalegaûŝihoblastej |