Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev spaces
For systems of ordinary differential equations on a compact interval, we investigate the character of solvability of the most general linear boundary-value problems in Sobolev spaces. We find the indexes of these problems and obtain a criterion of their well-posedness.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1638 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507461288460288 |
|---|---|
| author | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. |
| author_facet | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. |
| author_sort | Atlasiuk, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | For systems of ordinary differential equations on a compact interval, we investigate the character of solvability of the most
general linear boundary-value problems in Sobolev spaces. We find the indexes of these problems and obtain a criterion of
their well-posedness. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
О. М. Атласюк, В. А. Михайлець (Iн-т математики НАН України, Київ)
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI
У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА
For systems of ordinary differential equations on a compact interval, we investigate the character of solvability of the most
general linear boundary-value problems in Sobolev spaces. We find the indexes of these problems and obtain a criterion of
their well-posedness.
Дослiджено характер розв’язностi найбiльш загальних лiнiйних крайових задач у просторах Соболєва для систем
звичайних диференцiальних рiвнянь на скiнченному iнтервалi. Знайдено iндекси таких задач та встановлено кри-
терiй їх коректної розв’язностi.
1. Вступ. Дослiдження розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь є суттєвою час-
тиною багатьох задач сучасного аналiзу та його застосувань (див., наприклад, [1] та наведену
там бiблiографiю). Для загальних лiнiйних крайових задач умови фредгольмовостi та неперерв-
ної залежностi розв’язкiв вiд параметра встановленi I. Т. Кiгурадзе у [2, 3]. Отриманi результати
набули подальшого розвитку в роботах другого з авторiв та його учнiв [4 – 6]. Нещодавно цi
дослiдження поширено на бiльш загальнi класи фредгольмових крайових задач, пов’язаних iз
рiзними функцiональними банаховими просторами [7 – 10]. Такi задачi мають ряд специфiч-
них особливостей, яких немає у звичайних крайових задачах, i потребують нових пiдходiв та
методiв. Їх розробцi i присвячено цю статтю.
2. Постановка задачi. Нехай задано скiнченний iнтервал [a, b] \subset \BbbR та параметри
\{ m,n, r\} \subset \BbbN , 1 \leq p \leq \infty .
Позначимо через Wn
p := Wn
p ([a, b];\BbbC ) комплексний простiр Соболєва i покладемо W 0
p := Lp.
Аналогiчно позначимо простори Соболєва вектор-функцiй (Wn
p )
m := Wn
p ([a, b];\BbbC m) i матриць-
функцiй (Wn
p )
m\times m := Wn
p ([a, b];\BbbC m\times m), елементи яких належать функцiональному простору
Wn
p . Норми у цих просторах позначимо через \| \cdot \| n,p; вони є сумами вiдповiдних норм у
Wn
p всiх елементiв векторно- або матричнозначної функцiї. З контексту завжди зрозумiло, про
норму в якому саме просторi (скалярних функцiй, вектор-функцiй чи матриць-функцiй) йде
мова. Якщо m = 1, то всi цi простори збiгаються. Як вiдомо, простори Wn
p є банаховими; вони
сепарабельнi тодi i лише тодi, коли p < \infty .
Розглянемо лiнiйну крайову задачу для системи m диференцiальних рiвнянь першого по-
рядку
Ly(t) := y\prime (t) +A(t)y(t) = f(t), t \in (a, b), (1)
By = c, (2)
де матриця-функцiя A(\cdot ) належить простору (Wn - 1
p )m\times m, вектор-функцiя f(\cdot ) — простору
(Wn - 1
p )m, вектор c — простору \BbbC r, а B є лiнiйним неперервним оператором
B : (Wn
p )
m \rightarrow \BbbC r. (3)
Вектори i вектор-функцiї вважаємо записаними у виглядi стовпцiв. Пiд розв’язком крайової
задачi (1), (2) розумiємо вектор-функцiю y(\cdot ) \in (Wn
p )
m, яка задовольняє рiвняння (1) майже
c\bigcirc О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, 2018
1324 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1325
скрiзь (при n \geq 2 скрiзь) на (a, b), та рiвнiсть (2), яка задає r скалярних крайових умов.
Розв’язки рiвняння (1) заповнюють простiр (Wn
p )
m, коли його права частина f(\cdot ) пробiгає
простiр (Wn - 1
p )m. Це випливає з леми 1 (див. п. 4). Тому крайова умова (2) є найбiльш
загальною для цього рiвняння. Вона охоплює як усi вiдомi типи класичних крайових умов:
задачi Кошi, дво- та багатоточковi, iнтегральнi та мiшанi задачi, так i ряд некласичних задач.
Останнi можуть мiстити похiднi шуканих функцiй порядку k \leq n.
Iз вiдомих результатiв функцiонального аналiзу [11] випливає, що кожний з операторiв B в
(3) при 1 \leq p < \infty допускає однозначне аналiтичне зображення
By =
n - 1\sum
k=0
\alpha ky
(k)(a) +
b\int
a
P (t)y(n)(t)dt, y(\cdot ) \in (Wn
p )
m, (4)
де матрицi \alpha k належать \BbbC r\times m, а матриця-функцiя P (\cdot ) належить Lp\prime ([a, b];\BbbC
r\times m),
1
p
+
1
p\prime = 1.
У випадку p = \infty формула (4) також задає деякий оператор B \in L((Wn
\infty )m;\BbbC r), але iснують
й iншi оператори цього класу, що визначаються iнтегралами Радона за скiнченно-адитивними
мiрами [12].
Основна мета даної статтi полягає в доведеннi фредгольмовостi задачi (1), (2) i знаходженнi
її iндексу. Крiм того, буде встановлено критерiй однозначної скрiзь розв’язностi цiєї задачi.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати статтi. Їх доведення наведено в
п. 5.
Запишемо неоднорiдну крайову задачу (1), (2) у виглядi лiнiйного операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c),
де (L,B) — лiнiйний оператор у парi банахових просторiв
(L,B) :
\bigl(
Wn
p
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m \times \BbbC r. (5)
Нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор T : X \rightarrow Y, де X i Y — банаховi простори,
називають фредгольмовим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T i коядро Y/T (X) скiнченновимiрнi. Якщо
цей оператор фредгольмовий, то його область значень T (X) замкнена в Y, а iндекс
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(Y/T (X))
є скiнченним (див., наприклад, [13], лема 19.1.1).
Теорема 1. Лiнiйний оператор (5) є обмеженим i фредгольмовим з iндексом m - r.
Сформулюємо критерiй оборотностi оператора (L,B), тобто умову, за якої неоднорiдна
крайова задача (1), (2) має єдиний розв’язок i вiн неперервно залежить вiд правих частин
диференцiального рiвняння та крайової умови.
Позначимо через Y (\cdot ) \in (Wn
p )
m\times m єдиний розв’язок (матрицант) лiнiйного однорiдного
матричного рiвняння вигляду (1) з початковою умовою Кошi
Y \prime (t) +A(t)Y (t) = 0, t \in (a, b), Y (a) = Im, (6)
де Im — одинична (m\times m)-матриця.
У випадку, коли r = m, покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1326 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
[BY ] :=
\left( B
\left( y1,1(\cdot )
...
ym,1(\cdot )
\right) . . . B
\left( y1,m(\cdot )
...
ym,m(\cdot )
\right)
\right) . (7)
Числова квадратна матриця [BY ] порядку m утворюється в результатi дiї оператора B на
вiдповiднi стовпчики (з тими ж номерами) матрицанта Y (\cdot ) матричної задачi Кошi (6).
Теорема 2. Оператор (L,B) є оборотним тодi i тiльки тодi, коли r = m i матриця [BY ]
невироджена.
4. Допомiжнi результати. Встановимо допомiжнi твердження, якi будуть використанi в
п. 5 при доведеннi теорем 1 i 2. Деякi з цих тверджень мають i самостiйний iнтерес.
Лема 1. Нехай матриця-функцiя A належить (Wn - 1
p )m\times m. Якщо диференцiйовна функ-
цiя y : [a, b] \rightarrow \BbbC m є розв’язком рiвняння (1) для деякої правої частини f \in (Wn - 1
p )m, то
y належить (Wn
p )
m. Бiльше того, якщо f пробiгає весь простiр (Wn - 1
p )m, то розв’язки
рiвняння (1) пробiгають увесь простiр (Wn
p )
m.
Доведення. Нехай для деякого f \in
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
диференцiйовна вектор-функцiя y є розв’яз-
ком рiвняння (1). Доведемо, що y належить
\bigl(
Wn
p
\bigr) m
. Враховуючи, що A i f є принаймнi
неперервними на [a, b], маємо
y\prime = f - Ay \in
\bigl(
C(0)
\bigr) m
.
Звiдси випливає, що y належить
\bigl(
C(1)
\bigr) m \subset (Lp)
m. Бiльше того,\bigl(
y\prime \in
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m \Rightarrow y \in
\bigl(
Wn
p
\bigr) m \bigr)
. (8)
Справдi, якщо y\prime належить
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
для деякого цiлого числа n, то
y\prime = f - Ay \in
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
,
i тому y належить
\bigl(
Wn
p
\bigr) m
. Включення y \in (Lp)
m i властивiсть (8) обумовлюють потрiбне
включення y \in
\bigl(
Wn
p
\bigr) m
.
Доведемо останнє твердження леми. Для довiльного f \in
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
iснує розв’язок y рiв-
няння (1). Як щойно було показано, y належить
\bigl(
Wn
p
\bigr) m
. Це, враховуючи очевидну iмплiкацiю
y \in
\bigl(
Wn
p
\bigr) m \Rightarrow Ly \in
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
,
доводить останнє твердження леми.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай матриця-функцiя Y (\cdot ) \in (Wn
p )
m\times m невироджена для кожного t \in [a, b].
Тодi обернена матриця-функцiя Y - 1(\cdot ) належить (Wn
p )
m\times m.
Доведення проведено спочатку для скалярного випадку m = 1 методом математичної iндук-
цiї по n \in \BbbN .
Нехай n = 1. За умовою, функцiя Y (\cdot ) належить W 1
p , а тому абсолютно неперервна i не
дорiвнює нулю на множинi [a, b]. Звiдси випливає, що майже скрiзь функцiя Y - 1(\cdot ) дифе-
ренцiйовна i
\bigl(
Y - 1
\bigr) \prime
(\cdot ) = - Y \prime (\cdot )Y - 2(\cdot ). Оскiльки функцiя Y (\cdot ) вiдокремлена вiд нуля i Y \prime (\cdot )
належить Lp, то функцiя
\bigl(
Y - 1
\bigr) \prime
(\cdot ) належить Lp. Отже, Y (\cdot ) - 1 належить W 1
p .
Припустимо, що висновок леми 2 правильний для деякого номера n = k \in \BbbN . Доведемо,
що її висновок правильний i для n = k+1. За умовою, Y (\cdot ) належить W k+1
p i Y (t) \not = \{ 0\} для
довiльного t \in [a, b]. Тому Y - 1(\cdot ) належить W k
p за iндуктивним припущенням. Отже, функцiя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1327\bigl(
Y - 1
\bigr) \prime
(\cdot ) = - Y \prime (\cdot )Y - 2(\cdot ) належить простору W k
p , оскiльки вiн є банаховою алгеброю. Таким
чином, Y - 1(\cdot ) належить W k+1
p .
Отже, для випадку m = 1 лему доведено.
Доведемо її у випадку m \geq 2. Як вiдомо,
Y - 1(t) =
1
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t)
Y T (t). (9)
Тут Y T (\cdot ) — транспонована матриця-функцiя, утворена алгебраїчними доповненнями еле-
ментiв матрицi-функцiї Y (\cdot ). За умовою, Y (\cdot ) належить (W k+1
p )m\times m, тодi Y T (\cdot ) належить
(W k+1
p )m\times m, оскiльки функцiональний клас W k+1
p утворює банахову алгебру. Тому, викори-
стовуючи доведений вище факт i рiвнiсть (9), отримуємо, що i Y - 1(\cdot ) належить (W k+1
p )m\times m .
Лему 2 доведено.
Введемо метричний простiр невироджених матриць-функцiй
\scrY n
p := \{ Y (\cdot ) \in (Wn
p )
m\times m : Y (a) = Im, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t) \not = 0 \forall t \in [a, b]\}
iз метрикою
dn,p(Y,Z) := \| Y (\cdot ) - Z(\cdot )\| n,p.
Теорема 3. Нелiнiйне вiдображення
A(\cdot ) \mapsto \rightarrow Y (\cdot ), (10)
яке кожнiй матрицi-функцiї A(\cdot ) \in (Wn - 1
p )m\times m ставить у вiдповiднiсть єдиний розв’язок Y (\cdot )
матричної задачi Кошi (6), є гомеоморфiзмом банахового простору (Wn - 1
p )m\times m на метричний
простiр \scrY n
p .
Доведення теореми розiб’ємо на три частини.
Лема 3. Нелiнiйне вiдображення (10) є бiєкцiєю простору (Wn - 1
p )m\times m на метричний
простiр \scrY n
p .
Доведення проведемо iндукцiєю за параметром n \in \BbbN .
Доведемо лему 3 у випадку n = 1. Нехай A(\cdot ) \in (Lp)
m\times m , а Y (\cdot ) — єдиний розв’язок задачi
(6). Оскiльки Y (\cdot ) належить (Lp)
m\times m (як неперервна функцiя) i Y \prime (\cdot ) = - A(\cdot )Y (\cdot ) належить
(Lp)
m\times m, то Y (\cdot ) належить (W 1
p )
m\times m. З єдиностi розв’язку задачi Кошi (6) випливає, що
Y (\cdot ) \in \scrY 1
p однозначно визначається за коефiцiєнтом A(\cdot ) \in (Lp)
m\times m. Тому вiдображення (10)
є iн’єктивним.
Доведемо сюр’єктивнiсть вiдображення. За формулою Лiувiлля – Якобi (див., наприк-
лад, [14])
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (a) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
a
\mathrm{s}\mathrm{p}A(s)ds
\right) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left( t\int
a
\mathrm{s}\mathrm{p}A(s)ds
\right) \not = 0,
тому матриця Y (t) невироджена для довiльного t \in [a, b]. Тодi iснує обернена матриця Y - 1(t)
i рiвняння (6) можна записати у такому виглядi:
A(t) = - Y \prime (t)Y - 1(t). (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1328 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
Але Y \prime (\cdot ) належить (Lp)
m\times m, а Y - 1(\cdot ) — (W 1
p )
m\times m за лемою 2. Тому добуток цих матриць-
функцiй A(\cdot ) \in (Lp)
m\times m i вiдображення (10) є сюр’єктивним, а отже i бiєктивним.
Припустимо, що висновок леми 3 правильний для деякого номера n = k \in \BbbN . Доведемо,
що її висновок правильний i для n = k + 1. Нехай A(\cdot ) \in (W k
p )
m\times m \subset (W k - 1
p )m\times m , а Y (\cdot ) —
єдиний розв’язок задачi (6). За iндуктивним припущенням Y (\cdot ) належить \scrY k
p . Тому Y \prime (\cdot ) =
= - A(\cdot )Y (\cdot ) \in (W k
p )
m\times m, оскiльки W k
p — банахова алгебра. Отже, Y (\cdot ) належить (W k+1
p )m\times m.
З єдиностi розв’язку задачi Кошi випливає, що Y (\cdot ) належить \scrY k+1
p , тобто вiдображення (10)
при n = k + 1 є iн’єктивним.
Доведемо сюр’єктивнiсть вiдображення. Оскiльки Y (\cdot ) належить (W k+1
p )m\times m, то похiдна
Y \prime (\cdot ) належить (W k
p )
m\times m , i згiдно з лемою 2 маємо включення Y - 1(\cdot ) \in (W k+1
p )m\times m. То-
дi добуток - Y \prime (\cdot )Y - 1(\cdot ) належить (W k
p )
m\times m. А тому, оскiльки справджується рiвнiсть (11),
матрична функцiя A(\cdot ) теж належатиме банаховому простору (W k
p )
m\times m. Це означає, що кож-
ному матрицанту Y (\cdot ) \in \scrY k+1
p вiдповiдає, згiдно з формулою (11), деяка матриця-функцiя
A(\cdot ) \in (W k
p )
m\times m.
Лему 3 доведено.
Лема 4. Розв’язок Y (\cdot ) \in \scrY n+1
p задачi (6) неперервно залежить вiд коефiцiєнта A(\cdot ) \in
\in (Wn
p )
m\times m .
Доведення. Треба показати, що зi спiввiдношення
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| n,p \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0+,
випливає, що \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| n+1,p \rightarrow 0. Застосуємо знову принцип математичної iндукцiї за
параметром n \in \BbbN \cup \{ 0\} .
Для цього розглянемо параметризовану числом \varepsilon \in [0, \varepsilon 0] сiм’ю матричних задач
Y \prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )Y (t; \varepsilon ) = 0, t \in (a, b), (12)
Y (a; \varepsilon ) = Im, (13)
де A(\cdot ; \varepsilon ) \in (Lp)
m\times m.
Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконується умова
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| 0,p \rightarrow 0. (14)
Покажемо, що в такому випадку однозначно визначенi розв’язки задач (12), (13) задовольняють
граничне спiввiдношення
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 1,p \rightarrow 0,
яке еквiвалентне такому:
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 1,p := \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 0,p + \| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| 0,p.
Тому достатньо показати, що кожен iз доданкiв у правiй частинi рiвностi прямує до нуля.
Iз умови (14) маємо
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| 0,1 \rightarrow 0.
Як встановлено Я. Д. Тамаркiним [15], iз цього випливає рiвномiрна збiжнiсть матрицантiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1329
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| \infty \rightarrow 0. (15)
Тому \| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| 0,p \rightarrow 0.
Оскiльки простори Соболєва (Wn
p )
m\times m утворюють банахову алгебру, то з (14) i (15) ви-
пливає, що
\| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)Y (\cdot ; 0)\| 0,p \rightarrow 0.
Звiдси, враховуючи рiвнiсть (12), отримуємо, що
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| 0,p \rightarrow 0.
Припустимо, що висновок леми правильний для деякого номера n = k \in \BbbN i розв’язок
Y (\cdot ) \in \scrY k
p задачi (12), (13) неперервно залежить вiд коефiцiєнта A(\cdot ) \in (W k - 1
p )m\times m при \varepsilon = 0.
Доведемо, що її висновок правильний i для n = k + 1. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконано умову
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| k,p \rightarrow 0.
Тодi, оскiльки простори Соболєва утворюють банахову алгебру, зi зробленого припущення
випливає, що
\| A(\cdot ; \varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)Y (\cdot ; 0)\| k,p \rightarrow 0.
Iз рiвняння (12) маємо
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| k,p \rightarrow 0.
Звiдси випливає потрiбне спiввiдношення
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| k+1,p \rightarrow 0.
Лему 4 доведено.
Лема 5. Коефiцiєнти A(\cdot ; \varepsilon ) \in (Wn
p )
m\times m при \varepsilon = 0 неперервно залежать вiд розв’язкiв
Y (\cdot ; \varepsilon ) \in \scrY n+1
p задачi (12), (13).
Доведення. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ для розв’язкiв задач (12), (13) виконується граничне спiв-
вiдношення
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| n+1,p \rightarrow 0. (16)
Доведемо, що тодi
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| n,p \rightarrow 0.
Iз припущення (16) випливає, що
\| Y \prime (\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)\| n,p \rightarrow 0,
а, згiдно з лемою 2,
\| Y - 1(\cdot ; \varepsilon ) - Y - 1(\cdot ; 0)\| n+1,p \rightarrow 0.
Враховуючи наведенi спiввiдношення i рiвнiсть (11), одержуємо, що при \varepsilon \rightarrow 0+
\| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| n,p = \| Y \prime (\cdot ; \varepsilon )Y - 1(\cdot ; \varepsilon ) - Y \prime (\cdot ; 0)Y - 1(\cdot ; 0)\| n,p \rightarrow 0.
Отже, встановлено бiнеперервнiсть вiдображення
A(\cdot ) \mapsto \rightarrow Y (\cdot ) : (Wn - 1
p )m\times m \rightarrow \scrY n
p .
Лему 5, а разом з нею i теорему 3, доведено.
Встановимо ще одне допомiжне твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1330 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
Лема 6. Для довiльної матрицi-функцiї Y (\cdot ) \in (Wn
p )
m\times m, вектора q \in \BbbC m та лiнiйного
неперервного оператора B : (Wn
p )
m\times m \times \BbbC m є правильною рiвнiсть
B(Y (\cdot )q) = [BY ] q,
де матрицю [BY ] визначено рiвнiстю (7).
Доведення. Нехай матриця-функцiя Y (\cdot ) = (yij(\cdot ))mi,j=1, а вектор-стовпчик q = (qj)
m
j=1.
Позначимо (\alpha i)
m
i=1 = [BY ] q та (\beta i)
m
i=1 = B(Y (\cdot )q). Нехай
B(yk(\cdot ))mk=1 =: (ck)
m
k=1.
При дiї оператора B на матрицю-функцiю Y (\cdot ) отримуємо матрицю
[BY ] = (cij)
m
i,j=1.
Тодi
(\alpha i)
m
i=1 = (cij)
m
i,j=1(qj)
m
j=1 =
\left( m\sum
j=1
cijqj
\right) m
i=1
.
Отже, довiльний елемент \alpha i має вигляд
\alpha i =
m\sum
j=1
cijqj , i \in \{ 1, 2, . . . ,m\} .
Але
(\beta i)
m
i=1 = B
\bigl(
(yij(\cdot ))mi,j=1 \cdot (qj)mj=1
\bigr)
= B
\left( m\sum
j=1
yij(\cdot )qj
\right) m
i=1
=
=
m\sum
j=1
(Byij(\cdot ))mi=1 \cdot qj =
m\sum
j=1
(cij)
m
i=1 \cdot qj =
\left( m\sum
j=1
cij \cdot qj
\right) m
i=1
.
Iз цього випливає, що \alpha i = \beta i, i \in \{ 1, 2, . . . ,m\} .
Лему 6 доведено.
5. Доведення теорем 1 i 2. Обґрунтуємо спочатку неперервнiсть оператора (L,B). Оскiль-
ки оператор B за умовою є лiнiйним i неперервним, то достатньо довести неперервнiсть
оператора L, яка еквiвалентна його обмеженостi. Обмеженiсть лiнiйного оператора
L :
\bigl(
Wn
p
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m
випливає з означення норм у просторах Соболєва Wn
p i того, що кожен iз цих просторiв утворює
банахову алгебру.
Доведемо тепер фредгольмовiсть оператора (L,B) та знайдемо його iндекс. Виберемо де-
який фiксований лiнiйний обмежений оператор Cr,m : (Wn
p )
m \rightarrow \BbbC r. Оператор (L,B) допускає
зображення
(L,B) = (L,Cr,m) + (0, B - Cr,m),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1331
де оператор
(L,Cr,m) :
\bigl(
Wn
p
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m \times \BbbC r,
а другий доданок є скiнченновимiрним оператором. Iз другої теореми стiйкостi (див., напри-
клад, [16], розд. 3, § 1) випливає, що оператор (L,B) є фредгольмовим, якщо оператор (L,Cr,m)
є таким i
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(L,B) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(L,Cr,m).
Тому достатньо довести фредгольмовiсть оператора (L,Cr,m) i знайти його iндекс, вибравши
належним чином оператор Cr,m. Для цього розглянемо три випадки.
1. Нехай r = m. Покладемо
Cm,my := (y1(a), . . . , ym(a)).
Знайдемо нуль-простiр та область значень цього оператора. Нехай y(\cdot ) належить
\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0 i Cm,my = (y1(a), . . . , ym(a)) = 0. Iз теореми про єдинiсть розв’язку
задачi Кошi випливає, що y(\cdot ) = 0. Тому \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cm,m) = 0.
Нехай h \in (Wn - 1
p )m \times \BbbC m i c \in \BbbC m вибрано довiльним чином. Iз теореми 3 випливає, що
iснує вектор-функцiя y(\cdot ) \in (Wn
p )
m така, що
Ly = h, (y1(a), . . . , ym(a)) = c.
Тому \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) =
\bigl(
Wn - 1
p
\bigr) m \times \BbbC m.
2. Нехай r > m. Покладемо
Cr,my := (y1(a), . . . , ym(a), 0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
r - m
) \in \BbbC r.
Знайдемо нуль-простiр оператора (L,Cr,m). Нехай y(\cdot ) належить \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0
i (y1(a), . . . , ym(a)) = 0. Iз теореми про єдинiсть розв’язку задачi Кошi маємо y(\cdot ) = 0.
Запишемо множину значень оператора (L,Cr,m) у виглядi прямої суми двох пiдпросторiв
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cm,m)\oplus (0, . . . , 0\underbrace{} \underbrace{}
r - m
).
Але, як доведено ранiше, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cm,m) = (Wn - 1
p )m \times \BbbC m. Тому \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = r - m.
3. Нехай r < m. Покладемо
Cr,my := (y1(a), . . . , yr(a)) \in \BbbC r.
Доведемо, що
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m) = m - r,
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f} \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}(L,Cr,m) = 0.
Нехай y(\cdot ) належить \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m). Тодi Ly = 0 i (y1(a), . . . , yr(a)) = 0. Розглянемо наступнi
m - r задач Кошi
Lyk = 0, Cm,myk = ek, де k \in \{ r + 1, r + 2, . . . ,m\} ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1332 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
ek := (0, . . . , 0, 1\underbrace{} \underbrace{}
k
, 0, . . . , 0) \in Cm.
Iз теореми 3 випливає, що розв’язки цих задач лiнiйно незалежнi та утворюють базис у пiд-
просторi \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,Cr,m).
Сюр’єктивнiсть оператора (L,Cr,m) випливає iз вже доведеної сюр’єктивностi операто-
ра (L,Cm,m).
Отже, в кожному з трьох випадкiв оператор (L,B) є фредгольмовим з iндексом m - r.
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Згiдно з теоремою 1, оборотнiсть оператора (L,B) рiвносильна тому,
що r = m i \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \{ 0\} . Тому достатньо показати, що умова \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} рiвносильна
виродженостi квадратної матрицi (7).
Нехай \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} . Тодi за лемою 6 iснує нетривiальний розв’язок однорiдного рiвнян-
ня (L,B)y = (0, 0) такий, що
y(\cdot ) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \leftrightarrow (\exists q \in \BbbC m : y(t) = Y (t) \cdot q, [BY ] q = 0),
де вектор q \not = 0. Це означає, що стовпцi матрицi (7) лiнiйно залежнi i сама матриця вироджена.
Навпаки, нехай матриця (7) вироджена. Тодi її стовпцi лiнiйно залежнi. Це означає, що для
деякого вектора q \not = 0
[BY ]q = 0.
Покладемо y(\cdot ) := Y (\cdot )q. Тодi y(\cdot ) \not = 0, Ly = 0 i
By = B(Y (\cdot )q) = [BY ]q = 0
на пiдставi леми 6. Тому y(\cdot ) \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} .
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht,
Boston: VSP, 2004. – xiv + 317 p.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ВИНИТИ. – 1987. –
30. – С. 3 – 103.
4. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
5. Михайлец В. А., Пелехата О. Б., Рева Н. В. Предельные теоремы для решений краевых задач // Укр. мат. журн. –
2018. – 70, № 2. – С. 216 – 223.
6. Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorem for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
7. Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces //
Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658 – 667.
8. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces // J. Math. Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 589 – 599.
9. Hnyp Y. V., Mikhailets V. A., Murach A. A. Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – № 81. – 13 p.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1333
10. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. O. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – № 87. – 16 p.
11. Ioffe A. D., Tihomirov V. M. Theory of extremal problems. – Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979. –
399 p.
12. Dunford N., Schwartz J. T. Linear operators. I. General theory. – New York; London: Intersci. Publ., 1958. – xiv +
858 p.
13. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. III: Pseudo-differential operators. – Berlin: Springer,
1985. – viii + 525 p.
14. Yakubovich V. A., Starzhinskii V. M. Linear differential equations with periodic coefficients. – New York; Toronto:
Halsted Press, 1975. – xii + 386 p.
15. Tamarkin J. D. A lemma of the theory of linear differential systems // Bull. Amer. Math. Soc. – 1930. – 36, № 2. –
P. 99 – 102.
16. Kato T. Perturbation theory for linear operators. – New York: Springer-Verlag, 1966. – xix + 592 p.
Одержано 30.05.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1638 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:41Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/59/7776f432789880c3af8408ce032c8e59.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16382019-12-05T09:21:55Z Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev spaces Фредгольмові одновимірні крайові задачі у просторах Соболєва Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. For systems of ordinary differential equations on a compact interval, we investigate the character of solvability of the most general linear boundary-value problems in Sobolev spaces. We find the indexes of these problems and obtain a criterion of their well-posedness. Дослiджено характер розв’язностi найбiльш загальних лiнiйних крайових задач у просторах Соболєва для систем звичайних диференцiальних рiвнянь на скiнченному iнтервалi. Знайдено iндекси таких задач та встановлено критерiй їх коректної розв’язностi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1638 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1324-1333 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1324-1333 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1638/620 Copyright (c) 2018 Atlasiuk O. M.; Mikhailets V. A. |
| spellingShingle | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev spaces |
| title | Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces |
| title_alt | Фредгольмові одновимірні крайові задачі у просторах
Соболєва |
| title_full | Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces |
| title_fullStr | Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces |
| title_full_unstemmed | Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces |
| title_short | Fredholm one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces |
| title_sort | fredholm one-dimensional boundary-value problems in sobolev
spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1638 |
| work_keys_str_mv | AT atlasiukom fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT mikhailetsva fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT atlasûkom fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT mihajlecʹva fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemsinsobolevspaces AT atlasiukom fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačíuprostorahsobolêva AT mikhailetsva fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačíuprostorahsobolêva AT atlasûkom fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačíuprostorahsobolêva AT mihajlecʹva fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačíuprostorahsobolêva |