Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables
We consider the following compositions of entire functions $F(z) = f \bigl( \Phi (z)\bigr) $ and $H(z,w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w))$, where f$f : C \rightarrow C, \Phi : C^n \rightarrow C,\; \Phi_1 : C^n \rightarrow C, \Phi_2 : C^m \rightarrow C$, and establish conditions guaranteeing the equival...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1639 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507461901877248 |
|---|---|
| author | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. |
| author_facet | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. |
| author_sort | Bandura, A. І. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | We consider the following compositions of entire functions $F(z) = f \bigl( \Phi (z)\bigr) $
and $H(z,w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w))$, where
f$f : C \rightarrow C, \Phi :
C^n \rightarrow C,\; \Phi_1 : C^n \rightarrow C, \Phi_2 : C^m \rightarrow C$, and establish conditions guaranteeing the equivalence of boundedness of the $l$-index of the function $f$ to the boundedness of the $L$-index of the function $F$ in joint variables, where $l$ :
$C \rightarrow R_{+}$ is a continuous function and $$L(z) = \Bigl( l\bigl( \Phi (z)\bigr)
\bigm| \frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_1}\bigm| ,..., l \bigl( \Phi (z) \bigr) \bigm|\frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_n} \bigm| \Bigr).$$
Under certain additional
restrictions imposed on the function $H$, we construct a function $\widetilde{L} $ such that $H$ has a bounded $\widetilde{ L}$ -index in joint variables
provided that the function $G$ has a bounded $L$-index in joint variables. This solves a problem posed by Sheremeta. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.555
А. I. Бандура (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу),
О. Б. Скаскiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ОБМЕЖЕНIСТЬ \bfitL -IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ
КIЛЬКОХ ЗМIННИХ
We consider the following compositions of entire functions F (z) = f
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
and H(z, w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w)), where
f : \BbbC \rightarrow \BbbC , \Phi : \BbbC n \rightarrow \BbbC , \Phi 1 : \BbbC n \rightarrow \BbbC , and \Phi 2 : \BbbC m \rightarrow \BbbC , and establish conditions guaranteeing the equivalence of
boundedness of the l-index of the function f to the boundedness of the L-index of the function F in joint variables, where l :
\BbbC \rightarrow \BbbR + is a continuous function and L(z) =
\Bigl(
l
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)
\partial z1
\bigm| \bigm| \bigm| , . . . , l\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)
\partial zn
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) . Under certain additional
restrictions imposed on the function H, we construct a function \widetilde L such that H has a bounded \widetilde L-index in joint variables
provided that the function G has a bounded L-index in joint variables. This solves a problem posed by Sheremeta.
Розглядаються такi композицiї цiлих функцiй: F (z) = f(\Phi (z)) та H(z, w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w)), де f : \BbbC \rightarrow \BbbC , \Phi :
\BbbC n \rightarrow \BbbC , \Phi 1 : \BbbC n \rightarrow \BbbC , \Phi 2 : \BbbC m \rightarrow \BbbC . Знайдено умови, якi забезпечують рiвносильнiсть обмеженостi l-iндексу
функцiї f та обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних функцiї F, де l : \BbbC \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя, а
L(z) =
\Bigl(
l
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)
\partial z1
\bigm| \bigm| \bigm| , . . . , l\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)
\partial zn
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) . Для функцiї H з деякими додатковими обмеженнями побудовано
таку функцiю \widetilde L, що H має обмежений \widetilde L-iндекс за сукупнiстю змiнних тодi, коли функцiя G має обмежений
L-iндекс за сукупнiстю змiнних. Це розв’язує проблему, сформульовану М. М. Шереметою.
1. Вступ. У цiй статтi будемо дослiджувати обмеженiсть L-iндексу за сукупнiстю змiнних
деяких композицiй цiлих функцiй.
Введемо деякi стандартнi позначення. Нехай \BbbR n i \BbbC n, n \in \BbbN , — n-вимiрнi дiйсний i
комплексний векторнi простори вiдповiдно. Позначимо \BbbZ + = \BbbN \cup \{ 0\} , \BbbR + = (0,+\infty ), \bfzero =
= (0, . . . , 0) \in \BbbR n, \bfone j =
\Bigl(
0, . . . , 0, 1\underbrace{} \underbrace{}
j-й член
, 0, . . . , 0
\Bigr)
. Для K = (k1, . . . , kn) \in \BbbZ n
+ будемо писати
\| K\| = k1 + . . . + kn, K! = k1! . . . kn!. Для A = (a1, . . . , an) \in \BbbC n, B = (b1, . . . , bn) \in \BbbC n
використовуватимемо такi записи без порушення умов iснування цих виразiв: A \pm B = (a1 \pm
\pm b1, . . . , an \pm bn), AB = (a1b1, . . . , anbn), A/B = (a1/b1, . . . , an/bn), AB = ab11 ab22 . . . abnn .
Запис A < B означає, що aj < bj для всiх j \in \{ 1, . . . , n\} ; подiбним чином визначається
вiдношення A \leq B.
Замкнений полiкруг
\bigl\{
z \in \BbbC n : | zj - z0j | \leq rj , j \in \{ 1, . . . , n\}
\bigr\}
позначимо через Dn[z0, R].
Для частинної похiдної цiлої функцiї F (z) = F (z1, . . . , zn) будемо використовувати запис
F (K)(z) =
\partial \| K\| F
\partial zK
=
\partial k1+...+knF
\partial zk11 . . . \partial zknn
, де K = (k1, . . . , kn) \in \BbbZ n
+.
Нехай L(z) = (l1(z), . . . , ln(z)), де lj(z), j \in \{ 1, 2, . . . , n\} , — додатнi неперервнi функцiї
змiнної z \in \BbbC n.
Цiла функцiя F (z) називається функцiєю обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних
[8, 9], якщо iснує таке число m \in \BbbZ + , що для всiх z \in \BbbC n та J = (j1, j2, . . . , jn) \in \BbbZ n
+
справджується нерiвнiсть
c\bigcirc А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ, 2018
1334 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБМЕЖЕНIСТЬ L-IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 1335\bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
J !LJ(z)
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (K)(z)
\bigm| \bigm|
K!LK(z)
: K \in \BbbZ n
+, \| K\| \leq m
\Biggr\}
. (1)
Найменше m, для якого нерiвнiсть (1) виконується, називається L-iндексом за сукупнiстю
змiнних функцiї F та позначається через N(F,L). Якщо lj(zj) \equiv 1, j \in \{ 1, 2, . . . , n\} , то цiла
функцiя називається функцiєю обмеженого iндексу за сукупнiстю змiнних [16, 19, 23 – 25]. Слiд
зазначити, що є працi, де розглядається поняття обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних
для функцiй, аналiтичних в одиничнiй кулi [6, 7] та одиничному полiкрузi [12].
Для R \in \BbbR n
+, j \in \{ 1, . . . , n\} та L(z) = (l1(z), . . . , ln(z)) визначимо
\lambda 1,j(z0, R) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
lj(z)/lj(z
0) : z \in Dn
\bigl[
z0, R/L(z0)
\bigr] \bigr\}
, \lambda 1,j(R) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z0\in \BbbC n
\lambda 1,j(z0, R),
\lambda 2,j(z0, R) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
lj(z)/lj(z
0) : z \in Dn
\bigl[
z0, R/L(z0)
\bigr] \bigr\}
, \lambda 2,j(R) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z0\in \BbbC n
\lambda 2,j(z0, R),
\Lambda k(R) = (\lambda k,j(R), . . . , \lambda k,n(R)), k \in \{ 1, 2\} .
Через Qn позначимо клас таких функцiй L(z), що для кожного R \in \BbbR n
+ виконується нерiвнiсть
0 < \Lambda 1(R) \leq \Lambda 2(R) < +\infty .
На сьогоднi про властивостi цiлих функцiй обмеженого iндексу опублiковано багато праць
(див. бiблiографiю в [7, 8, 21]). Проте лише п’ять дослiджень присвячено обмеженостi iндексу
композицiї цiлих та аналiтичних функцiй однiєї змiнної [17, 18, 20 – 22]. Зокрема, найзагаль-
нiший результат про композицiю отримав В. О. Кушнiр [18], який дослiджував аналiтичнi в
довiльних областях з \BbbC функцiї.
Багатовимiрний випадок [2, 4] дослiджено лише для складених функцiй вигляду
f
\Bigl( \sum n
j=1
zjmj
\Bigr)
i f(z1z2), де m = (m1, . . . ,mn) \in \BbbC n — фiксований вектор. У вказаних
роботах вивчалися так званi цiлi функцiї обмеженого L-iндексу за напрямком (див. їхнi власти-
востi також у [5, 8]). Нещодавно згаданий вище результат В. О. Кушнiра було узагальнено для
цього класу функцiй [13] з дещо слабшими обмеженнями. Натомiсть композицiя цiлих функ-
цiй обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних ще нiким не розглядалася. Тому природно
постає таке питання: Нехай f : \BbbC \rightarrow \BbbC — цiла функцiя обмеженого l-iндексу, \Phi : \BbbC n \rightarrow \BbbC —
цiла функцiя i l : \BbbC \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя. Якою повинна бути неперервна функцiя L :
\BbbC n \rightarrow \BbbR n
+, щоб складена функцiя f
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
мала обмежений L-iндекс за сукупнiстю змiнних?
М. М. Шеремета запропонував розглянути загальнiше питання: Нехай G : \BbbC 2 \rightarrow \BbbC —
цiла функцiя обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiнних, \Phi 1 : \BbbC n \rightarrow \BbbC та \Phi 2 : \BbbC m \rightarrow \BbbC —
цiлi функцiї, L : \BbbC 2 \rightarrow \BbbR + — неперервна функцiя. Якою повинна бути неперервна функцiя \widetilde L :
\BbbC n+m \rightarrow \BbbR n
+, щоб складена функцiя H(z, w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w)) мала обмежений \widetilde L-iндекс за
сукупнiстю змiнних?
У данiй статтi ми дамо вiдповiдi на сформульованi питання.
Зазначимо також, що М. М. Шеремета у [22] висловив гiпотезу про обмеженiсть iндексу в
\BbbC \setminus \{ 1\} функцiї f
\biggl(
q
(1 - z)n
\biggr)
, де f — цiла функцiя однiєї змiнної, q \in \BbbC , n \in \BbbN .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1336 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
2. Основнi результати. Для доведення основного твердження нам потрiбна така теорема.
Теорема 1 [10]. Нехай L належить Qn. Цiла функцiя F має обмежений L-iндекс за су-
купнiстю змiнних тодi i тiльки тодi, коли iснують такi p \in \BbbZ + та c \in \BbbR +, що для кожного
z \in \BbbC n виконується нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: | J\| = p+ 1
\Biggr\}
\leq c\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (K)(z)
\bigm| \bigm|
LK(z)
: | K\| \leq p
\Biggr\}
. (2)
В. К. Хейман [15] довiв теорему 1 для цiлих функцiй обмеженого iндексу у випадку однiєї
змiнної (n = 1, L(z) \equiv 1). М. М. Шеремета [20] узагальнив її для цiлих функцiй обмежено-
го l-iндексу, але також однiєї змiнної. Пiзнiше було отримано це твердження [1, 8] для цiлих
функцiй кiлькох змiнних обмеженого L-iндексу за напрямком. Тут ми скористаємося сформу-
льованим результатом для дослiдженння цiлих функцiй кiлькох змiнних обмеженого L-iндексу
за сукупнiстю змiнних. Зазначимо, що теорема Хеймана є досить зручною для вивчення вла-
стивостей цiлих розв’язкiв рiвнянь з частинними похiдними та звичайних диференцiальних
рiвнянь [3, 8, 11, 14].
Введемо такi позначення:
\nabla \Phi (z) =
\biggl(
\partial \Phi (z)
\partial z1
, . . . ,
\partial \Phi (z)
\partial zn
\biggr)
та | \nabla | \Phi (z) =
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)\partial z1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi (z)\partial zn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) .
Основним результом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 2. Нехай f — цiла функцiя в \BbbC , \Phi — цiла функцiя в \BbbC n така, що для деякого
p i для всiх z \in \BbbC n, k \in \{ 1, . . . , n\} та J = (j1, . . . , jn) \in \BbbZ n
+ \setminus \{ \bfzero \} , \| J\| \leq p, виконуються
нерiвностi
\partial \Phi (z)
\partial zk
\not = 0 та
| \Phi (J)(z)| \leq C| \nabla | \Phi (z)J , C \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0. (3)
Нехай функцiя l \in Q така, що l(w) \geq 1 (w \in \BbbC ) та L \in Qn, де L(z) = l
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
| \nabla | \Phi (z). Цiла
функцiя f має обмежений l-iндекс тодi i тiльки тодi, коли F (z) = f
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
має обмежений
L-iндекс за сукупнiстю змiнних.
Доведення. Покажемо, що
F (K)(z) = f (\| K\| )\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigl( \nabla \Phi (z)
\bigr) K
+
\| K\| - 1\sum
j=1
f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
Qj,K(z), (4)
де
Qj,K(z) =
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+\bfone np\bfone n+...+KpK=K
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq j - 1
cj,K,p\bfone 1 ,...,pK
\bigl(
\Phi (\bfone 1)(z)
\bigr) p\bfone 1 . . . \bigl( \Phi (\bfone n)(z)
\bigr) p\bfone n . . .
\bigl(
\Phi (K)(z)
\bigr) pK ,
та cj,K,p\bfone 1 ,...,pK
— деякi невiд’ємнi цiлi коефiцiєнти, K \in \BbbZ n
+.
Встановимо також таку формулу:
f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
=
F (k\bfone i)(z)\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) k +
1\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) 2k k - 1\sum
j=1
F (j\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) j \widetilde Qj,k(z), (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБМЕЖЕНIСТЬ L-IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 1337
де \widetilde Qj,k(z) =
\sum
m1+...+kmk=2(k - j)
bj,k,m1,...,mk
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1 . . . (\Phi (k\bfone i)(z))mk
i bj,k,m1,...,mk
, i \in \{ 1, . . . , n\} , k \in \BbbZ +, — деякi цiлi коефiцiєнти.
Скористаємося методом математичної iндукцiї для доведенння формул (4), (5). Очевидно,
що K = \bfone i, i \in \{ 1, . . . , n\} , та рiвностi (4) i (5) виконуються. Припустимо, що вони справджу-
ються для K = S. Доведемо їх для K = S + \bfone i, i \in \{ 1, . . . , n\} . Обчислимо частинну похiдну
за змiнною zi в (4):
F (S+\bfone i)(z) = f (\| S\| +1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S+\bfone i + f (\| S\| )\bigl( \Phi (z)\bigr) n\sum
k=1
sk
\bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S - \bfone k\Phi (\bfone k+\bfone i)(z)+
+
\| S\| - 1\sum
j=1
\Bigl(
f (j+1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
\Phi (\bfone i)(z)Qj,S(z) + f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
Q
(\bfone i)
j,S (z)
\Bigr)
=
= f (\| S\| +1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S+\bfone i+
+f (\| S\| )\bigl( \Phi (z)\bigr) \Biggl( \Phi (\bfone i)(z)Q\| S\| - 1,S(z) +
n\sum
k=1
sk
\bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S - \bfone k\Phi (\bfone k+\bfone i)(z)
\Biggr)
+
+
s - 1\sum
j=2
f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \Bigl(
\Phi (\bfone i)(z)Qj - 1,S(z) +Q
(\bfone i)
j,S (z)
\Bigr)
+ f \prime \bigl( \Phi (z)\bigr) Q(\bfone i)
1,S (z).
Оскiльки
n\sum
k=1
sk
\bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S - \bfone k\Phi (\bfone k+\bfone i)(z) + \Phi (\bfone i)(z)Q\| S\| - 1,S(z) =
=
n\sum
k=1
sk
\bigl(
\nabla \Phi (z)
\bigr) S - \bfone k\Phi (\bfone k+\bfone i)(z)+
+
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+\bfone np\bfone n+...+SpS=S
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq \| S\| - 2
c\| S\| - 1,S,p\bfone 1 ,...,pS
(\Phi (\bfone 1)(z))p\bfone 1 . . .
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) 1+p\bfone i . . . (\Phi (S)(z))pS =
=
\sum
\bfone 1m\bfone 1+...+\bfone nm\bfone n+...+SmS=S+\bfone i
0\leq m\bfone 1+...+m\bfone n\leq \| S\| - 1
\~c\| S\| ,S+\bfone i,p\bfone 1 ,...,pS
(\Phi (\bfone 1)(z))m\bfone 1 . . .
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m\bfone i . . .
\bigl(
\Phi (S)(z)
\bigr) mS =
= Q\| S\| ,S+\bfone i
(z),
Q
(\bfone i)
1,S (z) =
\sum
JpJ+...+SpS=S
\| J\| \geq 2
c1,S,0,...,pS
\Bigl(
pJ(\Phi
(J)(z))pJ - 1
\bigl(
\Phi (J+\bfone i)(z)
\bigr) pJ+\bfone i
+1
. . .
\bigl(
\Phi (S)(z)
\bigr) pS + . . .
. . .+ pS
\bigl(
\Phi (J)(z)
\bigr) pJ . . . \bigl( \Phi (S)(z)
\bigr) pS - 1
\Phi (S+\bfone i)(z)
\Bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1338 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
=
\sum
JmJ+...+(S+\bfone i)mS+\bfone i
=S+\bfone i
\| J\| \geq 2
\~c1,S+\bfone i,0,...,pS
\bigl(
\Phi (J)(z)
\bigr) mJ . . .
\bigl(
\Phi (S)(z)
\bigr) mS
\bigl(
\Phi (S+\bfone i)(z)
\bigr) mS+\bfone i =
= Q1,S+\bfone i(z)
та
\Phi (\bfone i)(z)Qj - 1,S(z) +Q
(\bfone i)
j,S (z) =
=
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+\bfone np\bfone n+...+SpS=S
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq j - 2
cj - 1,S,p\bfone 1 ,...,pS
\bigl(
\Phi (\bfone 1)(z)
\bigr) p\bfone 1 . . . \bigl( \Phi (\bfone i)(z)
\bigr) 1+p\bfone i . . .
\bigl(
\Phi (S)(z)
\bigr) pS+
+
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+\bfone np\bfone n+...+SpS=S
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq j - 1
cj,S,p\bfone 1 ,...,pS
\Bigl(
p\bfone 1(\Phi
(\bfone 1)(z))p\bfone 1 - 1(\Phi (\bfone 1+\bfone i)(z))p\bfone 1+\bfone i
+1 . . .
. . . (\Phi (S)(z))pS + . . .+ pS(\Phi
(J)(z))pJ . . . (\Phi (S)(z))pS - 1\Phi (S+\bfone i)(z)
\Bigr)
=
=
\sum
\bfone 1m\bfone 1+...+\bfone nm\bfone n+...+(S+\bfone i)mS+\bfone i
=S+\bfone i
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq j - 1
\~cj,S+\bfone i,m\bfone 1 ,...,mS+\bfone i
(\Phi (\bfone 1)(z))m\bfone 1 . . .
. . .
\bigl(
\Phi (S)(z)
\bigr) mS
\bigl(
\Phi (S+\bfone i)(z)
\bigr) mS+\bfone i =
= Qj,S+\bfone i(z),
отримуємо (4) iз S + \bfone i замiсть K.
Пiсля диференцiювання за змiнною zi з рiвностi (5) одержуємо
f (s+1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
=
F (s+1)\bfone i(z)\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) s+1 - s\Phi (2\cdot \bfone i)(z)F (s\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) - s - 2
+
+
s - 1\sum
j=1
\Bigl\{
F ((j+1)\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) j - 2s - 1 \widetilde Qj,s(z)+
+F (j\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) j - 2s - 2
\Bigl(
(j - 2s)\Phi (2\cdot \bfone i)(z) \widetilde Qj,s(z) + \Phi (\bfone i)(z) \widetilde Q(\bfone i)
j,s (z)
\Bigr) \Bigr\}
=
=
F (s+1)\bfone i(z)\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) s+1 + F (s\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) - s - 2
\Bigl(
- s\Phi (2\cdot \bfone i)(z) + \widetilde Qs - 1,s(z)
\Bigr)
+
+
s - 1\sum
j=2
\Bigl\{
F (j\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) j - 2s - 2
\Bigl(
\Phi (\bfone i)(z) \widetilde Q(\bfone i)
j,s (z) + (j - 2s)\Phi (2\cdot \bfone i)(z) \widetilde Qj,s(z) + \widetilde Qj - 1,s(z)
\Bigr) \Bigr\}
+
+F (\bfone i)(z)
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) - 2s - 1
\Bigl(
(1 - 2s)\Phi (2\cdot \bfone i)(z) \widetilde Q1,s(z) + \Phi (\bfone i)(z) \widetilde Q(\bfone i)
1,s (z)
\Bigr)
.
Оскiльки
- s\Phi (2\cdot \bfone i)(z) +Q\ast
s - 1,s(z) = ( - s+ bs - 1,s,0,1,...,0)\Phi
(2\cdot \bfone i)(z) + bs - 1,s,2,0,...,0
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) 2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБМЕЖЕНIСТЬ L-IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 1339
=
\sum
m1+2m2+...+sms+
+(s+1)ms+1=2
\~bs,s+1,m1,...,ms+1
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1 . . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms
\bigl(
\Phi ((s+1)\bfone i)(z)
\bigr) ms+1 =
= \widetilde Qs,s+1(z),
(1 - 2s)\Phi (2\cdot \bfone i)(z) \widetilde Q1,s(z) + \Phi (\bfone i)(z) \widetilde Q(\bfone i)
1,s (z) =
= (1 - 2s)
\sum
m1+2m2+...+sms=
=2s - 2
b1,s,m1,...,ms
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1
\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms+
+
\sum
m1+2m2+...+sms=
=2s - 2
b1,s,m1,...,ms
\Bigl\{
m1
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1
\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms+
+m2
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1
\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2 - 1\bigl(
\Phi (3\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m3+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms + . . .
. . .+ms
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\cdot \bfone i)(z)
\bigr) ms - 1
\Phi ((s+1)\bfone i)(z)
\Bigr\}
=
=
\sum
m1+2m2+...+sms+
+(s+1)ms+1=2s
\~b1,s+1,m1,...,ms+1
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1 . . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms
\bigl(
\Phi ((s+1)\bfone i)(z)
\bigr) ms+1 =
= \widetilde Q1,s+1(z)
та
\Phi (\bfone i)(z) \widetilde Q(\bfone i)
j,s (z) + (j - 2s)\Phi (2\cdot \bfone i)(z) \widetilde Qj,s(z) + \widetilde Qj - 1,s(z) =
=
\sum
m1+2m2+...+sms=
=2(s - j)
bj,s,m1,...,ms
\Bigl\{
m1
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1
\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms + . . .
. . .+ms
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1+1\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2 . . .
\Bigl(
\Phi (s\cdot \bfone i)(z)
\Bigr) ms - 1
\Phi ((s+1)\bfone i)(z)
\biggr\}
+
+(j - 2s)
\sum
m1+2m2+...+sms=
=2(s - j)
bj,s,m1,...,ms
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1
\bigl(
\Phi (2\cdot \bfone i)(z)
\bigr) m2+1
. . .
\bigl(
\Phi (s\bfone i)(z)
\bigr) ms+
+
\sum
m1+2m2+...+sms=
=2(s - j)+2
bj - 1,s,m1,...,ms
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1 . . .
\Bigl(
\Phi (s\cdot \bfone i)(z)
\Bigr) ms
=
=
\sum
m1+2m2+...+sms+
+(s+1)ms+1=2(s+1 - j)
\~bj,s+1,m1,...,ms+1
\bigl(
\Phi (\bfone i)(z)
\bigr) m1 . . .
\Bigl(
\Phi ((s+1)\bfone i)(z)
\Bigr) ms+1
=
= \widetilde Qj,s+1(z),
одержуємо (5) з s+ 1 замiсть k.
Нехай f — цiла функцiя обмеженого l-iндексу. За теоремою 1 виконується нерiвнiсть (2).
Зважаючи на (3) та (4), з (2) маємо, що для K = S + \bfone i при \| S\| = p справджується
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1340 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
\bigm| \bigm| F (K)(z)
\bigm| \bigm|
LK(z)
\leq
\bigm| \bigm| f (\| K\| )\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \bigm|
LK(z)
| \nabla | \Phi (z)K +
\| K\| - 1\sum
j=1
\bigm| \bigm| f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| | Qj,K(z)|
LK(z)
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 0 \leq k \leq p
\Biggr\} \left( C +
p\sum
j=1
\bigm| \bigm| Qj,K(z)|
lp+1 - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \nabla | \Phi (z)K
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 0 \leq k \leq p
\Biggr\} \left( C +
+
p\sum
j=1
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+\bfone np\bfone n+...+KpK=K
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n\leq j - 1
cj,K,p\bfone 1 ,...,pK
\bigm| \bigm| (\Phi (\bfone 1)(z))p\bfone 1 . . .(\Phi (\bfone n)(z))p\bfone n . . .(\Phi (K)(z))pK
\bigm| \bigm|
lp+1 - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
| \nabla | \Phi (z)K
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 0 \leq k \leq p
\Biggr\} \left( C +
p\sum
j=1
\sum
n1+2n2+...+(p+1)np+1=p+1
0\leq n1\leq j - 1
cj,K,p\bfone 1 ,...,pK
C
\| K\|
1
lp+1 - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
\right) \leq
\leq C2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 0 \leq k \leq p
\Biggr\}
.
Використовуючи (5), можна оцiнити зверху дрiб
\bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk(\Phi (z))
:
\bigm| \bigm| f (k)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \leq
\bigm| \bigm| F (k\bfone i)(z)
\bigm| \bigm|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| k +
k - 1\sum
j=1
\bigm| \bigm| F (j\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| | \widetilde Qj,k(z)|
lk
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| 2k - j
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 1 \leq \| J\| \leq k
\Biggr\} \left( 1 +
k - 1\sum
j=1
| \widetilde Qj,k(z)|
lk - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| 2(k - j)
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 1 \leq \| J\| \leq k
\Biggr\}
\times
\times
\left( 1 +
k - 1\sum
j=1
\sum
m1+...+kmk=2(k - j)
| bj,k,m1,...,mk
|
\bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| m1 . . .
\bigm| \bigm| \Phi (k\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| mk
lk - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| 2(k - j)
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 1 \leq \| J\| \leq k
\Biggr\} \left( 1 +
k - 1\sum
j=1
\sum
m1+...+kmk=2(k - j)
| bj,k,m1,...,mk
| C2(k - j)
1
lk - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
\right) \leq
\leq C3\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 1 \leq \| J\| \leq k
\Biggr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБМЕЖЕНIСТЬ L-IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 1341
Звiдси отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: | J\| = p+ 1
\Biggr\}
\leq C2C3\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (K)(z)
\bigm| \bigm|
LK(z)
: 0 \leq \| K\| \leq p
\Biggr\}
. (6)
Отже, за теоремою 1 з нерiвностi (6) випливає, що функцiя F має обмежений L-iндекс за
сукупнiстю змiнних.
Тепер, навпаки, припустимо, що F є функцiєю обмеженого L-iндексу за сукупнiстю змiн-
них. Тодi вона задовольняє (2). Беручи до уваги (3) та (5), для \| K\| = p+ 1 отримуємо\bigm| \bigm| f (p+1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lp+1
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \leq
\bigm| \bigm| F ((p+1)\bfone i)(z)
\bigm| \bigm|
lp+1
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| p+1 +
p\sum
j=1
\bigm| \bigm| F (j\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \widetilde Qj,p+1(z)
\bigm| \bigm|
lp+1
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| 2p+2 - j
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 0 \leq \| J\| \leq p
\Biggr\} \left( C +
p\sum
j=1
\bigm| \bigm| \widetilde Qj,p+1(z)
\bigm| \bigm|
lp+1 - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| 2(p+1 - j)
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 0 \leq \| J\| \leq p
\Biggr\}
\times
\times
\left( C +
p\sum
j=1
\sum
m1+...+(p+1)mp+1=2(p+1 - j)
| bj,p+1,m1,...,mp+1 |
\bigm| \bigm| \Phi (\bfone i)(z)
\bigm| \bigm| m1 . . . | \Phi ((p+1)\bfone i)(z)| mp+1
\right) \leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 0 \leq \| J\| \leq p
\Biggr\}
\times
\times
\left( C +
p\sum
j=1
\sum
m1+...+(p+1)mp+1=2(p+1 - j)
| bj,p+1,m1,...,mp+1 | C
2p+2 - 2j
1
lp+1 - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
\right) \leq
\leq C4\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
: 0 \leq \| J\| \leq p
\Biggr\}
.
Використовуючи (4), одержуємо оцiнку
\bigm| \bigm| F (J)(z)
\bigm| \bigm|
LJ(z)
\leq
\bigm| \bigm| f (\| J\| )\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \bigm| | \nabla | \Phi (z)J
LJ(z)
+
\| J\| \sum
j=1
\bigm| \bigm| f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm| | Qj,J(z)|
LJ(z)
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lj
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 1 \leq j \leq \| J\| - 1
\Biggr\} \left( 1 +
\| J\| - 1\sum
j=1
| Qj,J(z)|
l\| J\| - j
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
| \nabla | \Phi (z)J
\right) \leq
\leq C5\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{
| f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr)
|
lj
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 1 \leq j \leq p
\Biggr\}
.
Звiдси випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1342 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ\bigm| \bigm| f (p+1)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lp+1
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \leq C4C5\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Biggl\{ \bigm| \bigm| f (j)
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) \bigm| \bigm|
lj
\bigl(
\Phi (z)
\bigr) : 0 \leq j \leq p
\Biggr\}
.
Тому за теоремою 1 функцiя f має обмежений l-iндекс.
Теорему 2 доведено.
Тепер отримаємо вiдповiдь на загальнiшу проблему М. М. Шеремети, сформульовану у
вступi.
Теорема 3. Нехай L \in Q2, G : \BbbC 2 \rightarrow \BbbC — цiла функцiя обмеженого L-iндексу за сукупнiс-
тю змiнних, \Phi 1 : \BbbC n \rightarrow \BbbC та \Phi 2 : \BbbC m \rightarrow \BbbC — цiлi функцiї такi, що
\partial \Phi 1(z)
\partial zk
\not = 0,
\partial \Phi 2(w)
\partial wl
\not = 0,
та \bigm| \bigm| \Phi (J)
1 (z)
\bigm| \bigm| \leq C| \nabla | \Phi 1(z)
J ,
\bigm| \bigm| \Phi (I)
2 (w)
\bigm| \bigm| \leq C| | \nabla | \Phi 2(w)
I , C \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} > 0, (7)
для всiх z \in \BbbC n, w \in \BbbC m, J \in \BbbZ n
+, I \in \BbbZ n
+, k \in \{ 1, . . . , n\} , l \in \{ 1, . . . ,m\} , \| J\| \leq p, \| I\| \leq p,
де p = N(G,L) вибрано iз нерiвностi (2).
Тодi H(z, w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w)) має обмежений \widetilde L-iндекс за сукупнiстю змiнних, де
\widetilde L(z, w) = \biggl( l1(\Phi 1(z))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi 1(z)
\partial z1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , l1(\Phi 1(z))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi 1(z)
\partial zn
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
l2(\Phi 2(w))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi 2(w)
\partial w1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , . . . , l2(\Phi 2(w))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \Phi 2(w)
\partial wm
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) \in Qn+m.
Доведення. Нехай G = G(v1, v2), v1 = \Phi 1(z), v2 = \Phi 2(w). Як i в теоремi 2, методом
математичної iндукцiї можемо встановити формулу
\partial \| J\| +\| I\| H(z, w)
\partial zJ\partial wI
=
\partial \| J\| +\| I\| F (v1, v2)
\partial v
\| J\|
1 \partial v
\| I\|
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v1=\Phi 1(z)
v2=\Phi 2(w)
\cdot (\nabla \Phi 1(z))
J(\nabla \Phi 2(w))
I+
+
\sum
\| K1\| +\| K2\| \in \{ 1,...,\| J\| +\| I\| - 1\}
\| K1\| \in \{ 0,...,\| J\| \} ,\| K2\| \in \{ 0,...,\| I\| \}
\partial \| K1\| +\| K2\| F (v1, v2)
\partial v
\| K1\|
1 \partial v
\| K2\|
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| v1=\Phi 1(z)
v2=\Phi 2(w)
Q
\bigl(
z, w; \| K1\| + \| K2\| , J, I
\bigr)
, (8)
де
Q(z, w; k, J, I) =
\sum
\bfone 1p\bfone 1+...+JpJ=J,\bfone 1s\bfone 1+...+IsI=I
0\leq p\bfone 1+...+p\bfone n+s\bfone 1+...+s\bfone m\leq k - 1
ck,J,I,p\bfone 1 ,...,pJ ,s\bfone 1 ,...,sI\times
\times
\bigl(
\Phi
(\bfone 1)
1 (z)
\bigr) p\bfone 1 . . . \bigl( \Phi (J)
1 (z)
\bigr) pJ \bigl( \Phi (\bfone 1)
2 (w)
\bigr) s\bfone 1 . . . \bigl( \Phi (I)
2 (w)
\bigr) sI ,
ck,J,I,p\bfone 1 ,...,pJ ,s\bfone 1 ,...,sI — деякi цiлi невiд’ємнi коефiцiєнти.
Також можна довести, що
\partial j+iG(v1, v2)
\partial vj1\partial v
i
2
\bigm| \bigm| \bigm| v1=\Phi 1(z)
v2=\Phi 2(w)
=
\partial j+iH(z, w)
\partial zj\partial wi
(\Phi
(\bfone 1)
1 (z))j(\Phi
(\bfone 1)
2 (w))i
+
1
(\Phi
(\bfone 1)
1 (z))2j(\Phi
(\bfone 1)
2 (w))2i
\times
\times
\sum
1\leq p+s\leq j+i - 1
p\leq j,s\leq i
\partial p+sH(z, w)
\partial zp\partial ws
\bigl(
\Phi
(\bfone 1)
1 (z)
\bigr) p\bigl(
\Phi
(\bfone 1)
2 (w)
\bigr) s \widetilde Qp,s,j,i(z, w), (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБМЕЖЕНIСТЬ L-IНДЕКСУ КОМПОЗИЦIЇ ЦIЛИХ ФУНКЦIЙ КIЛЬКОХ ЗМIННИХ 1343
де
\widetilde Qp,s,j,i(z, w) =
\sum
m1+...+jmj+n1+...+ini=
=2(i+j - p - s)
bj,k,m1,...,mk
\bigl(
\Phi
(\bfone 1)
1 (z)
\bigr) m1 . . .
\bigl(
\Phi
(j\bfone 1)
1 (z)
\bigr) mj\times
\times
\bigl(
\Phi
(\bfone 1)
2 (w)
\bigr) n1 . . .
\bigl(
\Phi
(i\bfone 1)
2 (w)
\bigr) ni
та bj,k,m1,...,mk
— деякi цiлi числа.
Використовуючи (8) та (9), можна встановити за аналогiєю iз доведенням теореми 2, що
цiла функцiя H задовольняє нерiвнiсть (2). Тодi за теоремою 1 функцiя H має обмежений\widetilde L-iндекс за сукупнiстю змiнних.
Теорему 3 доведено.
Зауваження. Теорема 3 узагальнюється на випадок, коли G : \BbbC p \rightarrow \BbbC . Для того щоб
уникнути громiздких формулювань i викладок, ми обмежилися випадком p = 2.
Лiтература
1. Бандура А. I., Скаскiв О. Б. Цiлi функцiї обмеженого L-iндексу за напрямком // Мат. студ. – 2007. – 27, № 1. –
С. 30 – 52.
2. Бандура А. I., Скаскiв О. Б. Цiлi функцiї обмеженого i необмеженого iндексу за напрямком // Мат. студ. –
2007. – 27, № 2. – С. 211 – 215.
3. Bandura A. I., Skaskiv O. B. Sufficient sets for boundedness L-index in direction for entire functions // Mat. Stud. –
2008. – 30, № 2. – P. 177 – 182.
4. Bandura A. I., Skaskiv O. B. Boundedness of L-index in direction of functions of the form f(\langle z,m\rangle ) and existence
theorems // Mat. Stud. – 2014. – 41, № 1. – P. 45 – 52.
5. Бандура А. I., Скаскiв О. Б. Логарифмiчна похiдна за напрямком та розподiл нулiв цiлої функцiї обмеженого
L-iндексу за напрямком // Укр. мат. журн. – 2017. – 69, № 3. – С. 426 – 432.
6. Bandura A., Skaskiv O. Analytic in an unit ball functions of bounded L-index in joint variables // Ukr. Mat. Visn. –
2017. – 14, № 1. – P. 1 – 15.
7. Bandura A., Skaskiv O. Analytic functions in the unit ball. Bounded L-index in joint variables and solutions of
systems of PDE’s. – Beau-Bassin: LAP Lambert Acad. Publ., 2017. – 100 p.
8. Bandura A., Skaskiv O. Entire functions of several variables of bounded index. – Lviv: Publ. I. E. Chyzhykov, 2016. –
128 p.
9. Bandura A. I., Bordulyak M. T., Skaskiv O. B. Sufficient conditions of boundedness of L-index in joint variables //
Mat. Stud. – 2016. – 45, № 1. – P. 12 – 26.
10. Бандура А. Новi критерiї обмеженостi L-iндексу за сукупнiстю змiнних для цiлих функцiй // Мат. вiсн. Наук.
т-ва iм. Т. Шевченка. – 2016. – 13. – С. 58 – 67.
11. Bandura A., Skaskiv O., Filevych P. Properties of entire solutions of some linear PDE’s // Appl J. Math. and Comput.
Mech. – 2017. – 16, № 2. – P. 17 – 28.
12. Bandura A. I., Petrechko N. V., Skaskiv O. B. Analytic functions in a polydisc of bounded L-index in joint variables
// Mat. Stud. – 2016. – 46, № 1. – P. 72 – 80.
13. Bandura A. Composition of entire functions and bounded L-index in direction // Mat. Stud. – 2017. – 47, № 2. –
P. 179 – 184.
14. Bordulyak M. T. On the growth of entire solutions of linear differential equations // Mat. Stud. – 2000. – 13, № 2. –
P. 219 – 223.
15. Hayman W. K. Differential inequalities and local valency // Pacif. J. Math. – 1973. – 44, № 1. – P. 117 – 137.
16. Krishna G. J., Shah S. M. Functions of bounded indices in one and several complex variables // Math. essays dedicated
to A. J. Macintyre. – Athens, Ohio: Ohio Univ. Press, 1970. – P. 223 – 235.
17. Кушнiр В. О. Про аналiтичнi в крузi функцiї обмеженого l-iндексу // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2000. –
58. – С. 21 – 24.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1344 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
18. Кушнiр В. О. Аналiтичнi функцiї обмеженого l-iндексу: Дис. . . . канд. фiз.-мат. наук. – Львiв, 2002. – 132 с.
19. Salmassi M. Functions of bounded indices in several variables // Indian J. Math. – 1989. – 31, № 3. – P. 249 – 257.
20. Шеремета М. Н. О целых функциях и рядах Дирихле ограниченного l-индекса // Изв. вузов. Математика. –
1992. – № 9. – С. 81 – 87.
21. Sheremeta M. Analytic functions of bounded index // Lviv: VNTL Publishers, 1999. – 141 p.
22. Sheremeta M. On the l-index boundedness of some composition of functions // Mat. Stud. – 2017. – 47, № 2. –
P. 207 – 210.
23. Nuray F., Patterson R. F. Entire bivariate functions of exponential type // Bull. Math. Sci. – 2015. – 5, № 2. –
P. 171 – 177.
24. Nuray F., Patterson R. F. Multivalence of bivariate functions of bounded index // Matematiche. – 2015. – 70, № 2. –
P. 225 – 233.
25. Patterson R., Nuray F. A characterization of holomorphic bivariate functions of bounded index // Math. Slovaca. –
2017. – 67, № 3. – P. 731 – 736.
Одержано 08.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1639 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:41Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4d/2219a0dcd711e21ab1451f683464f54d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16392019-12-05T09:21:55Z Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables Обмеженість $L$-індексу композиції цілих функцій кількох змінних Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. We consider the following compositions of entire functions $F(z) = f \bigl( \Phi (z)\bigr) $ and $H(z,w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w))$, where f$f : C \rightarrow C, \Phi : C^n \rightarrow C,\; \Phi_1 : C^n \rightarrow C, \Phi_2 : C^m \rightarrow C$, and establish conditions guaranteeing the equivalence of boundedness of the $l$-index of the function $f$ to the boundedness of the $L$-index of the function $F$ in joint variables, where $l$ : $C \rightarrow R_{+}$ is a continuous function and $$L(z) = \Bigl( l\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_1}\bigm| ,..., l \bigl( \Phi (z) \bigr) \bigm|\frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_n} \bigm| \Bigr).$$ Under certain additional restrictions imposed on the function $H$, we construct a function $\widetilde{L} $ such that $H$ has a bounded $\widetilde{ L}$ -index in joint variables provided that the function $G$ has a bounded $L$-index in joint variables. This solves a problem posed by Sheremeta. Розглядаються такi композицiї цiлих функцiй: $F(z) = f(\Phi (z))$ та $H(z,w) = G(\Phi 1(z),\Phi 2(w))$, де $f : C \rightarrow C, \Phi : C^n \rightarrow C,\; \Phi_1 : C^n \rightarrow C, \Phi_2 : C^m \rightarrow C$. Знайдено умови, якi забезпечують рiвносильнiсть обмеженостi $l$-iндексу функцiї $f$ та обмеженостi $L$-iндексу за сукупнiстю змiнних функцiї $F$, де $l : C \rightarrow R_{+}$ — неперервна функцiя, а $$L(z) = \Bigl( l\bigl( \Phi (z)\bigr) \bigm| \frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_1}\bigm| ,..., l \bigl( \Phi (z) \bigr) \bigm|\frac{\partial \Phi (z)}{\partial z_n} \bigm| \Bigr).$$ Для функцiї $H$ з деякими додатковими обмеженнями побудовано таку функцiю $\widetilde{L} $, що $H$ має обмежений $\widetilde{L}$ -iндекс за сукупнiстю змiнних тодi, коли функцiя $G$ має обмежений $L$-iндекс за сукупнiстю змiнних. Це розв’язує проблему, сформульовану М. М. Шереметою. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1639 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1334-1344 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1334-1344 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1639/621 Copyright (c) 2018 Bandura A. І.; Skaskiv O. B. |
| spellingShingle | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title | Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title_alt | Обмеженість $L$-індексу композиції цілих функцій кількох
змінних |
| title_full | Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title_fullStr | Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title_full_unstemmed | Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title_short | Boundedness of $L$-index for the composition of entire functions of several variables |
| title_sort | boundedness of $l$-index for the composition of entire functions of several variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1639 |
| work_keys_str_mv | AT banduraaí boundednessoflindexforthecompositionofentirefunctionsofseveralvariables AT skaskivob boundednessoflindexforthecompositionofentirefunctionsofseveralvariables AT banduraaí boundednessoflindexforthecompositionofentirefunctionsofseveralvariables AT skaskívob boundednessoflindexforthecompositionofentirefunctionsofseveralvariables AT banduraaí obmeženístʹlíndeksukompozicíícílihfunkcíjkílʹkohzmínnih AT skaskivob obmeženístʹlíndeksukompozicíícílihfunkcíjkílʹkohzmínnih AT banduraaí obmeženístʹlíndeksukompozicíícílihfunkcíjkílʹkohzmínnih AT skaskívob obmeženístʹlíndeksukompozicíícílihfunkcíjkílʹkohzmínnih |