Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II
In the second part of the paper, we establish the exact Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda^w$ on the classes of functions $L^{\alpha}_2 (R)$ defined by the fractional derivatives of order $\alpha \in (0,\infty )$ in the space $L_2(R)$. The exact values of the m...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1640 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507463065796608 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, S. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | In the second part of the paper, we establish the exact Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda^w$ on
the classes of functions $L^{\alpha}_2 (R)$ defined by the fractional derivatives of order $\alpha \in (0,\infty )$ in the space $L_2(R)$. The exact
values of the mean $\nu$ -widths for the classes of functions, defined by the generalized characteristics of smoothness $\omega w$ and
$\Lambda w$ are also computed in $L_2(R)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Ун-т им. А. Нобеля, Днепр)
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ
И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ \bfitL \bftwo (\BbbR ). II
In the second part of the paper, we establish the exact Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness \Lambda w on
the classes of functions L\alpha
2 (\BbbR ) defined by the fractional derivatives of order \alpha \in (0,\infty ) in the space L2(\BbbR ). The exact
values of the mean \nu -widths for the classes of functions, defined by the generalized characteristics of smoothness \omega w and
\Lambda w are also computed in L2(\BbbR ).
У просторi L2(\BbbR ) на класах функцiй L\alpha
2 (\BbbR ), означених за допомогою похiдних дробового порядку \alpha \in (0,\infty ),
отримано точнi нерiвностi типу Джексона для характеристики гладкостi \Lambda w, а також обчислено точнi значення
середнiх \nu -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою узагальнених характеристик гладкостi \omega w та \Lambda w.
Данная статья является продолжением работы [1], поэтому в ней сохранена сквозная нумерация
теорем, следствий, замечаний и пунктов, в каждом из которых использована своя двойная нуме-
рация формул. Кроме того, [1] и эту статью следует рассматривать как своеобразное распростра-
нение на случай пространства L2(\BbbR ) идейных подходов, изложенных автором в работах [2 – 4].
6. Наилучшие среднеквадратические приближения целыми функциями экспоненци-
ального типа \bfitsigma \in (\bfzero ,\infty ) на классах \bfitL \bftwo (\BbbR ) и \bfitL \bfitalpha
\bftwo (\BbbR ), \bfitalpha \in (\bfzero ,\infty ), выраженные через
характеристику гладкости \bfLambda \bfitw . Исходя из соотношений (2.26) – (2.29) из [1], для характери-
стики гладкости \Lambda w(f, t), t > 0, произвольной функции f \in L2(\BbbR ) имеем
\Lambda w(f, t) =
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2\scrW (t\tau ) d\tau
\right\}
1/2
, (6.1)
где
\scrW (x) :=
\left\{ 0, если x = 0;
1
x
x\int
0
| w(h)| 2dh, если x \in \BbbR и x \not = 0
\right\} .
Всюду далее полагаем, что комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC принадлежит классу \frakM , т. е.
квадрат ее модуля | w| 2 является непрерывной, четной, ограниченной на всей вещественной оси
\BbbR функцией, которая почти всюду на \BbbR отлична от нуля и такая, что | w(0)| = 0. Из изложенного
очевидно, что и определенная указанным выше способом функция \scrW будет непрерывной,
четной и ограниченной на \BbbR , принимающей положительные значения для любого x \in \BbbR ,
отличного от нуля. Это означает, что функция \scrW принадлежит множеству \BbbG , определенному
в [1].
Полагаем, что функция w \in \frakM такова, что | w| 2 удовлетворяет свойству A [1], т. е. на
множестве 0 \leq x \leq t\ast , t\ast \in (0,\infty ), | w| 2 монотонно возрастает. Здесь t\ast = t\ast (| w| 2) — такое
значение аргумента x, при котором | w(t\ast )| 2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| w(x)| 2 : 0 < x <\infty
\bigr\}
. Если верхняя грань
достигается более чем при одном значении аргумента, то в качестве t\ast берем наименьшее из
них. Также полагаем, что | w| 2 не удовлетворяет свойству B [1], т. е. для значения аргумента\widetilde t\ast , где
\bigm| \bigm| w(\widetilde t\ast )\bigm| \bigm| 2 = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
| w(x)| 2 : t\ast < x < \infty
\bigr\}
, имеем
\bigm| \bigm| w(\widetilde t\ast )\bigm| \bigm| = 0. Если нижняя грань дости-
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10 1345
1346 С. Б. ВАКАРЧУК
гается более чем при одном значении аргумента, то в качестве \widetilde t\ast = \widetilde t\ast (| w| 2) рассматриваем
наименьшее из них.
Исходя из сделанных предположений относительно | w| 2, рассмотрим поведение функции
\scrW (x) на интервале 0 < x <\infty . Так, при 0 < x \leq t\ast получаем
d\scrW
dx
\geq 1
x
\left\{ | w(x)| 2 - 1
x
x\int
0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| w(t)| 2 : 0 \leq t \leq x
\bigr\}
dh
\right\} \geq 1
x
\bigl\{
| w(x)| 2 - | w(x)| 2
\bigr\}
= 0,
т. е. функция \scrW монотонно возрастает на рассматриваемом множестве. Пусть далее t\ast <
< x < \widetilde t\ast + \varepsilon , \varepsilon > 0. Тогда имеем
d\scrW
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x=\widetilde t\ast = - 1\widetilde t\ast
\widetilde t\ast \int
0
| w(h)| 2dh < 0,
т. е. функция \scrW монотонно убывает в некоторой окрестности точки \widetilde t\ast . Следовательно, \scrW не
является монотонно возрастающей функцией на интервале (0,\infty ) и при определенном выборе
| w| 2 функция \scrW может удовлетворять свойству А.
6.1. Для функции \scrW \in \BbbG полагаем \scrW (t\ast ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \scrW (x) : 0 < x < \infty \} , где t\ast = t\ast (\scrW ).
Если значений аргумента, для которых достигается верхняя грань, будет более одного, то в
качестве t\ast рассматриваем наименьшее из них. Функция \scrW \in \BbbG удовлетворяет свойству
A, если на отрезке [0, t\ast ] она монотонно возрастает. Также полагаем \scrW ( \widetilde t\ast ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ \scrW (x) :
t\ast (\scrW ) < x <\infty \} , где \widetilde t\ast = \widetilde t\ast (\scrW ). Если значений аргумента, для которых достигается нижняя
грань, более одного, то в качестве \widetilde t\ast берем наименьшее из них.
Пусть функция \scrW принадлежит \BbbG и удовлетворяет свойству А. Поскольку \scrW ( \widetilde t\ast ) \not = 0, то
на интервале (0, t\ast (\scrW )) существует единственная точка t = t(\scrW ), в которой
\scrW (t) = \scrW (\widetilde t\ast ). (6.2)
Также полагаем
\scrW 0(x) :=
\Bigl\{
\scrW (x), если | x| \leq t(\scrW ); \scrW (t), если t(\scrW ) \leq | x| <\infty
\Bigr\}
. (6.3)
Очевидно, что для любого x \in \BbbR имеем \scrW (x) \geq \scrW 0(x).
Теорема 3. Пусть \sigma принадлежит (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC при-
надлежит классу \frakM , квадрат ее модуля | w| 2 удовлетворяет свойству А, но не удовлетворяет
свойству В; функция \scrW принадлежит множеству \BbbG и удовлетворяет свойству А. Тогда для
любого значения t \in (0, t(\scrW )], где величина t(\scrW ) определяется соотношением (6.2), имеет
место равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\Lambda w(f, t/\sigma )
=
1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.4)
При этом верхняя грань в (6.4) вычисляется по всем функциям f из L2(\BbbR ), которые не экви-
валентны нулю.
Доказательство. Используя соотношения (6.1), (6.3) и (4.5), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1347
\Lambda w(f, u) \geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2\scrW (u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
\geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2\scrW 0(u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
\geq
\geq
\sqrt{}
\scrW 0(u\sigma )
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2d\tau
\right\}
1/2
=
\sqrt{}
\scrW 0(u\sigma )\scrA 0(f), (6.5)
где 0 < u < \infty . Полагая в соотношении (6.5) u = t/\sigma , 0 < t \leq t(\scrW ), получаем \Lambda w(f, t/\sigma ) \geq
\geq
\sqrt{}
\scrW (t)\scrA \sigma (f) или
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\Lambda w(f, t/\sigma )
\leq 1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.6)
Для вычисления оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой части
неравенства (6.6), воспользуемся целой функцией q\sigma +\varepsilon (x) =
\sqrt{}
\pi /2
\bigl(
\lambda \sigma +\varepsilon (x) - \lambda \sigma (x)
\bigr)
, где
\lambda a(x) := a \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(ax), a \in (0,\infty ), \varepsilon \in (0, \sigma \ast ), \sigma \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\sigma , 1/\sigma ), имеющей экспоненциальный
тип, не превышающий \sigma + \varepsilon [1]. В [1] также отмечалось, что преобразование Фурье функции
q\sigma +\varepsilon имеет вид \scrF (q\sigma +\varepsilon , x) =
\bigl\{
1, если \sigma < | x| < \sigma + \varepsilon ; 1/2, если | x| = \sigma или | x| = \sigma +
+ \varepsilon ; 0, если | x| < \sigma или | x| > \sigma + \varepsilon
\bigr\}
, а величина ее наилучшего среднеквадратического
приближения элементами подпространства \BbbB \sigma ,2 равна \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon ) =
\surd
2\varepsilon . Тогда на основании
формулы (6.1) для 0 < u <\infty получаем
\Lambda w(q\sigma +\varepsilon , u) =
\left\{ 2
\sigma +\varepsilon \int
\sigma
\scrW (u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
\leq
\sqrt{}
2\varepsilon \scrW \ast (u(\sigma + \varepsilon )) = \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )
\sqrt{}
\scrW \ast (u(\sigma + \varepsilon )), (6.7)
где
\scrW \ast (x) :=
\bigl\{
\scrW (x), если | x| \leq t\ast (\scrW ); \scrW (t\ast ), если | x| \geq t\ast (\scrW )
\bigr\}
. (6.8)
Очевидно, что для любого x \in \BbbR имеем \scrW (x) \leq \scrW \ast (x). Полагая u = t/\sigma , где 0 < t \leq t(\scrW ),
из (6.7) находим \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )/\Lambda
w(q\sigma +\varepsilon , t/\sigma ) \geq 1/
\sqrt{}
\scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma )). Поскольку q\sigma +\varepsilon \in L2(\BbbR ),
то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\Lambda w(f, t/\sigma )
\geq 1\sqrt{}
\scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma ))
. (6.9)
В силу выбора величины t = t(\scrW ) согласно соотношению (6.2) для произвольного значения
0 < t \leq t(\scrW ) имеем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma )) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
= \scrW (t). Поскольку \scrW (x) является
монотонно возрастающей функцией на множестве 0 \leq x \leq t\ast (\scrW ) и t(\scrW ) < t\ast (\scrW ), то для
произвольного сколь угодно малого положительного числа \delta можно подобрать такое зависящее
от него число \widetilde \varepsilon = \widetilde \varepsilon (\delta ) \in (0, \sigma \ast ), для которого выполняется неравенство 1/
\sqrt{}
\scrW \ast (t(1 + \widetilde \varepsilon /\sigma ) >
> 1/
\sqrt{}
\scrW (t) - \delta . Используя определение верхней грани числового множества, отсюда получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
1/
\sqrt{}
\scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma )) : 0 < \varepsilon < \sigma \ast
\bigr\}
= 1/
\sqrt{}
\scrW (t). Вычисляя далее верхнюю грань по
\varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от правой части неравенства (6.9), с учетом вышеприведенного соотношения имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\Lambda w(f, t/\sigma )
\geq 1\sqrt{}
\scrW (t)
, 0 < t \leq t(\scrW ). (6.10)
Равенство (6.4) следует из формул (6.6) и (6.10).
Теорема 3 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1348 С. Б. ВАКАРЧУК
6.1.1. Для числовой последовательности \scrM 1,m := \{ \mu j = ( - 1)m - j
\bigl(
m
j
\bigr)
, если j = 0, . . . ,m;
\mu j = 0, если j < 0 или j > m\} j\in \BbbZ , m \in \BbbN , участвующей в формировании функции w\scrM (x) :=
:=
\sum
j\in \BbbZ
\mu je
ijx, имеем w\scrM 1,m(x) = (eix - 1)m и | w\scrM 1,m(x)| 2 = 2m(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)m. Учитывая,
что
2m(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x)m =
\biggl(
2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(jh),
получаем
\scrW m(t) :=
1
t
t\int
0
\bigm| \bigm| w\scrM 1,m(h)
\bigm| \bigm| 2dh =
\biggl(
2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(jt).
В частности, при m = 1 отсюда находим \scrW 1(t) = 2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)). Путем соответствующих вы-
числений для функции \scrW 1 получаем t(\scrW 1) \in (2,76; 2,78). Здесь величина t(\scrW 1) определяется
из (6.2), где \widetilde t\ast (\scrW 1) \in (7,72; 7,73). Согласно [1], для f \in L2(\BbbR ) имеем
\Lambda
w\scrM 1,m (f, t) = \Lambda m(f, t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \Delta m
h (f)\| 2dh
\right\}
1/2
, t > 0,
где \Delta m
h (f, x) =
\sum m
j=0
( - 1)m - j
\biggl(
m
j
\biggr)
f(x+jh) почти всюду на \BbbR . Тогда в силу (6.4) для любых
значений 0 < t \leq t(\scrW 1) и 0 < \sigma <\infty записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)
\Lambda 1(f, t/\sigma )
=
1\sqrt{}
\scrW 1(t)
=
1\sqrt{}
2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t))
. (6.11)
Следует отметить, что соотношение (6.11) при более жестком ограничении 0 < t \leq 3\pi /4 было
получено в работе автора [5].
6.1.2. В качестве следующего примера использования теоремы 3 рассмотрим числовую
последовательность \scrM 4 :=
\bigl\{
\mu j = 4/(\pi j)2, если j = 2k + 1, k \in \BbbZ ; \mu j = 0, если j =
= 2\nu , \nu \in \BbbZ \setminus \{ 0\} ; \mu j = - 1, если j = 0
\bigr\}
j\in \BbbZ , которой, согласно (2.10), соответствует принад-
лежащая классу \frakM функция w\scrM 4 с квадратом модуля, имеющим на отрезке - \pi \leq x \leq \pi вид
| w\scrM 4(x)| 2 = 4x2/\pi 2 [1]. В данном случае произвольной функции f \in L2(\BbbR ) ставится в соот-
ветствие определенное почти всюду на \BbbR разностное соотношение \widehat \Delta h(f, x) := \Delta
w\scrM 4
h (f, x) =
= (4/\pi 2)
\sum
j\in \BbbZ
f(x+ (2j + 1)h)/(2j + 1)2 - f(x). Напомним, что разностный оператор \widehat \Delta h в
2\pi -периодическом случае использовался ранее в работе К. В. Руновского и Х.-Ю. Шмейссера
[6] для определения модуля непрерывности \widehat \omega , соответствующего производной Рисса. Таким
образом, согласно (2.25), приходим к следующей характеристике гладкости в L2(\BbbR ):
\widehat \Lambda (f, t) := \Lambda w\scrM 4 (f, t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\| \widehat \Delta h(f)\| 2dh
\right\}
1/2
, t > 0. (6.12)
Поскольку | w\scrM 4 | 2 является четной, 2\pi -периодической функцией, то для любого x \in
\in
\bigl[
(2k - 1)\pi ; (2k + 1)\pi
\bigr]
, k \in \BbbN , получаем | w\scrM 4(x)| 2 = 4(x - 2k\pi )2/\pi 2. Тогда для четной
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1349
функции \scrW \scrM 4(t) := (1/t)
\int t
0
| w\scrM 4(h)| 2 dh, t \not = 0, \scrW \scrM 4(0) := 0, запишем ее представление
на множестве 0 \leq t <\infty :
\scrW \scrM 4(t) =
\left\{ 4t2/(3\pi 2), 0 \leq t \leq \pi ,
4
\bigl(
2k\pi + (t - 2k\pi )3/\pi 2
\bigr)
/(3t), (2k - 1)\pi \leq t \leq (2k + 1)\pi , k \in \BbbN .
(6.13)
Исходя из представления (6.13) очевидно, что функция \scrW = \scrW \scrM 4 удовлетворяет всем требо-
ваниям теоремы 3. Изучая ее поведение при 0 \leq t < \infty , можно убедиться в том, что соот-
ветствующие \scrW \scrM 4 значения t\ast (\scrW \scrM 4) и \widetilde t\ast (\scrW \scrM 4) принадлежат отрезку [\pi , 3\pi ]. Исследование
на экстремум функции \scrW \scrM 4 приводит к нахождению корней уравнения t3 - 3\pi t2 + 3\pi 3 = 0,
принадлежащих [\pi , 3\pi ]. Используя процедуру вычисления корней кубического уравнения с
помощью формул Кордано (см., например, [7], гл. 9, § 38), получаем t\ast (\scrW \scrM 4) = \pi (1 +
+ 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(4\pi /9)) \in (4,232; 4,233) и \widetilde t\ast (\scrW \scrM 4) = \pi (1 + 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi /9)) \in (7,954; 7,955). При этом
значение \scrW \scrM 4(\widetilde t\ast ) = 4
\bigl(
2+ (2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi /9) - 1)3/\pi 2
\bigr)
/
\bigl(
3(1+ 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(2\pi /9))
\bigr)
\in (1,081; 1,082) мень-
ше, чем \scrW \scrM 4(\pi ) = 4/3, т. е. t(\scrW \scrM 4) \in (0, \pi ). Используя данную информацию, а также
формулы (6.2) и (6.13), находим t(\scrW \scrM 4) = (\pi /4)
\sqrt{}
3\scrW \scrM 4(\widetilde t\ast ) \in (2,82; 2,83).
Из вышеприведенного с учетом (6.4), (6.12), (6.13) для любого t \in (0, t(\scrW \scrM 4)] имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L2(\BbbR )
\scrA \sigma (f)\widehat \Lambda (f, t/\sigma ) =
\surd
3\pi
2t
, \sigma \in (0,\infty ).
6.2. Теорема 4. Пусть \sigma принадлежит (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
принадлежит классу \frakM и квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А; \alpha \in [1/2,\infty ); \scrW \in \BbbG .
Тогда для любого значения t \in (0, t\ast (| w| 2)] выполняется равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma )
=
1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.14)
Доказательство. Учитывая [1], что \| \Delta w
h (D
\alpha f)\| 2 =
\int \infty
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2| \tau | 2\alpha | w(h\tau )| 2 d\tau , где
f \in L\alpha
2 (\BbbR ), для произвольного значения u \in (0,\infty ) имеем
\Lambda w(D\alpha f, u) =
\left\{ 1
u
u\int
0
\| \Delta w
h (D
\alpha f)\| 2 dh
\right\}
1/2
=
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2| \tau | 2\alpha \scrW (u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
\geq
\geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2| \tau | 2\alpha \scrW (u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
. (6.15)
Поскольку функция \scrW принадлежит множеству \BbbG , для | \tau | \geq \sigma записываем
Q\alpha (u, \tau ) := | \tau | 2\alpha \scrW (u\tau ) =
| \tau | 2\alpha - 1
u
u| \tau | \int
0
| w(h)| 2 dh. (6.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1350 С. Б. ВАКАРЧУК
Очевидно, что при любом положительном фиксированном значении u величина Q\alpha , как функ-
ция только переменной \tau , будет четной и монотонно возрастающей на множестве \sigma \leq \tau <\infty .
Следовательно, \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
Q\alpha (u, \tau ) : | \tau | \geq \sigma
\bigr\}
= Q\alpha (u, \sigma ). С учетом (6.16) и (4.5) из соотноше-
ния (6.15) получаем
\Lambda w(D\alpha f, u) \geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2Q\alpha (u\tau ) d\tau
\right\}
1/2
\geq
\geq
\sqrt{}
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ Q\alpha (u, \tau ) : \tau \geq \sigma \}
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2d\tau
\right\}
1/2
=
=
\sqrt{}
Q\alpha (u, \sigma ) \scrA \sigma (f) = \sigma \alpha
\sqrt{}
\scrW (u\sigma )\scrA \sigma (f). (6.17)
Полагая u = t/\sigma , где 0 < t \leq t\ast (| w| 2), из (6.17) имеем \Lambda w(D\alpha f, t/\sigma ) \geq \sigma \alpha
\sqrt{}
\scrW (t)\scrA \sigma (f).
Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma )
\leq 1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.18)
Переходя к получению оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в левой
части неравенства (6.18), снова рассматриваем функцию q\sigma +\varepsilon \in L\alpha
2 (\BbbR ), использовавшуюся в
ходе доказательства теоремы 3. Однако предварительно введем следующие обозначения:
| w(x)| 2\ast :=
\bigl\{
| w(x)| 2, если | x| \leq t\ast (| w| 2); | w(t\ast )| 2, если | x| \geq t\ast (| w| 2)
\bigr\}
, (6.19)
\widehat \scrW \ast (t) :=
\left\{ 1
t
t\int
0
| w(h)| 2\ast dh, если t \not = 0; 0, если t = 0
\right\} . (6.20)
Очевидно, что для любого x \in [0,\infty ) имеем | w(x)| 2 \leq | w(x)| 2\ast . Определенная указанным в
(6.20) образом функция \widehat \scrW \ast , когда | w| 2 \in \frakM , является непрерывной на \BbbR , четной, неотрица-
тельной и возрастающей на множестве 0 \leq t <\infty . Используя (6.19), записываем
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (D
\alpha q\sigma +\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| 2 = 2
\sigma +\varepsilon \int
\sigma
\tau 2\alpha | w(h\tau )| 2 d\tau \leq \scrA 2
\sigma (q\sigma +\varepsilon )(\sigma + \varepsilon )2\alpha
\bigm| \bigm| w(h(\sigma + \varepsilon ))
\bigm| \bigm| 2
\ast .
Отсюда в силу соотношения (6.20) для u \in (0,\infty ) получаем
\Lambda w(D\alpha q\sigma +\varepsilon , u) =
\left\{ 1
u
u\int
0
\| \Delta w
h (D
\alpha q\sigma +\varepsilon )\| 2 dh
\right\}
1/2
\leq \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )(\sigma + \varepsilon )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (u(\sigma + \varepsilon )).
Полагая u = t/\sigma , где 0 < t \leq t\ast (| w| 2), из последнего неравенства имеем \Lambda w(D\alpha q\sigma +\varepsilon , t/\sigma ) \leq
\leq \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )(\sigma + \varepsilon )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma )) или
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1351
\sigma \alpha \scrA \sigma (q\sigma +\varepsilon )
\Lambda w(D\alpha q\sigma +\varepsilon , t/\sigma )
\geq 1
(1 + \varepsilon /\sigma )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma ))
. (6.21)
Поскольку, как уже отмечалось, функция q\sigma +\varepsilon принадлежит классу L\alpha
2 (\BbbR ), то, учитывая (6.21),
записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma )
\geq 1
(1 + \varepsilon /\sigma )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma ))
. (6.22)
Так как знаменатель дроби, содержащейся в правой части неравенства (6.22), является мо-
нотонно возрастающей функцией от \varepsilon > 0 при произвольных, но фиксированных значениях
\sigma \in (0,\infty ), t \in (0, t\ast (| w| 2)], \alpha \in [1/2,\infty ) и в силу (6.19), (6.20)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\biggl\{
(1 + \varepsilon /\sigma )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma )) : \varepsilon \rightarrow 0+
\biggr\}
=
\sqrt{}
\scrW (t),
то для любого \delta > 0 существует такое значение \widetilde \varepsilon = \widetilde \varepsilon (\delta ) \in (0, \sigma \ast ), \sigma \ast = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\sigma , 1/\sigma ), для
которого выполняется неравенство
1\biggl\{
(1 + \widetilde \varepsilon /\sigma )\alpha \sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \widetilde \varepsilon /\sigma ))\biggr\} >
1\sqrt{}
\scrW (t)
- \delta .
Отсюда, используя определение верхней грани числового множества, имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \in (0,\sigma \ast )
1
(1 + \varepsilon /\sigma )\alpha
\sqrt{} \widehat \scrW \ast (t(1 + \varepsilon /\sigma ))
=
1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.23)
Вычисляя верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \sigma \ast ) от правой части неравенства (6.22) и используя
(6.23), записываем оценку снизу рассматриваемой экстремальной характеристики:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma )
\geq 1\sqrt{}
\scrW (t)
. (6.24)
Требуемое равенство (6.14) следует из соотношений (6.18) и (6.24), что и завершает дока-
зательство теоремы 4.
6.2.1. Пусть, как и в пп. 6.1.1, числовая последовательность \scrM = \scrM 1,m, m \in \BbbN . Тогда
\scrW m := \scrW \scrM 1,m , \Lambda
w\scrM 1,m = \Lambda m, t\ast (| w\scrM 1,m | 2) = \pi и, согласно теореме 4, для любых t \in (0, \pi ],
\alpha \in [1/2,\infty ) и \sigma \in (0,\infty ) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda m(D\alpha f, t/\sigma )
=
\left\{
\biggl(
2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(jt)
\right\}
- 1/2
.
6.2.2. Пусть, как и в пп. 6.1.2, числовая последовательность \scrM = \scrM 4. Тогда \Lambda w\scrM 4 = \widehat \Lambda ,
t\ast (| w\scrM 4 | 2) = \pi и при любых t, \alpha , \sigma , удовлетворяющих указанным в пп. 6.2.1 условиям, в силу
(6.14) и (6.13) справедливо равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1352 С. Б. ВАКАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\widehat \Lambda (D\alpha f, t/\sigma )
=
\surd
3\pi
2t
.
6.2.3. Рассмотрим далее числовую последовательность \scrM 3 :=
\bigl\{
\mu j = 3/(\pi j)2, если j \in
\in \BbbZ \setminus \{ 0\} ; \mu j = - 1, если j = 0
\bigr\}
j\in \BbbZ . Ей на основании формулы (2.10) соответствует функ-
ция w\scrM 3 \in \frakM , квадрат модуля которой на отрезке - \pi \leq x \leq \pi имеет вид | w\scrM 3(x)| 2 =
= 9x2(1 - | x| /(2\pi ))2/\pi 2 [1]. В данном случае произвольной функции f \in L2(\BbbR ) ставит-
ся в соответствие определенное почти всюду на \BbbR разностное соотношение \Delta h(f, x) :=
:= \Delta w\scrM 3 (f, x) = (3/\pi 2)
\sum
j\in \BbbZ
f(x+jh)/j2 - f(x). Разностный оператор \Delta h : L2(\BbbR ) \rightarrow L2(\BbbR )
был использован С. Ю. Артамоновым в [8] для определения модуля непрерывности \omega \langle \prime \rangle , как
одной из возможных модификаций характеристики гладкости \widehat \omega из [6]. Поскольку в рассмат-
риваемом случае t\ast (| w\scrM 3 | 2) = \pi и для 0 < t \leq \pi имеем \scrW \scrM 3(t) = (1/t)
\int t
0
| w\scrM 3(h)| 2 dh =
= 3t2(3t2 - 15\pi t + 20\pi 2)/(20\pi 2), то для произвольных значений \alpha \in [1/2,\infty ), \sigma \in (0,\infty ) и
t \in (0, \pi ] из (6.14) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)
\Lambda \langle \prime \rangle (D\alpha f, t/\sigma )
=
2
\surd
5\pi
t
\sqrt{}
3(3t2 - 15\pi t+ 20\pi 2)
,
где
\Lambda \langle \prime \rangle (f, t) := \Lambda w\scrM 3 (f, t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta h(f)
\bigm\| \bigm\| 2 dh
\right\}
1/2
, t > 0. (6.25)
6.2.4. Пусть w = \widetilde wm, m \in \BbbN . Тогда | \widetilde wm(x)| 2 = (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x))2m и значение t\ast (| \widetilde wm| 2)
принадлежит отрезку (4,49; 4,51), являясь наименьшим положительным корнем уравнения
tg(x) = x [4]. Как отмечалось в [1], для характеристики гладкости \omega w в данном случае имеем
\widetilde \Omega m(f, t) = \omega \widetilde wm(f, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( \infty \int
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(h\tau ))2m d\tau
\right) : 0 < h \leq t
\right\} , t > 0,
где f \in L2(\BbbR ).
Используя соотношение (6.1), для f \in L2(\BbbR ) полагаем
\widetilde \Lambda m(f, t) := \Lambda \widetilde wm(f, t) =
\left\{
\infty \int
- \infty
| \scrF (f, \tau )| 2\widetilde \scrW m(t\tau ) d\tau
\right\}
1/2
, t > 0, (6.26)
где \widetilde \scrW m(x) :=
\biggl\{
0, если x = 0; (1/x)
\int x
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(h))2m dh, если x \in \BbbR и x \not = 0
\biggr\}
. Тогда из
теоремы 4 в рассматриваемом случае имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\widetilde \Lambda m(D\alpha f, t/\sigma )
=
\left\{
t\int t
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\tau ))2m d\tau
\right\}
1/2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1353
где 0 < t \leq t\ast (| \widetilde wm| 2), \alpha \in [1/2,\infty ), \sigma \in (0,\infty ). В случае, когда m = 1, отсюда получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\widetilde \Lambda 1(D\alpha f, t/\sigma )
=
\left\{ 1 - \mathrm{S}\mathrm{i}(t)
t
+
1
t
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}2(\tau ) d\tau
\right\}
- 1/2
,
где \mathrm{S}\mathrm{i}(t) :=
\int t
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(h) dh — интегральный синус.
6.3. Теорема 5. Пусть \alpha и \sigma принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w :
\BbbR \rightarrow \BbbC принадлежит классу \frakM и квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А; p \in (0, 2];
\scrW \in \BbbG ; x — конечное положительное число; \xi — неотрицательная, измеримая, существенно
ограниченная на отрезке [0, x] функция, которая не эквивалентна нулю;
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau ) := | \tau | 2\alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(\tau t)\xi (t) dt
\right\}
2/p
, (6.27)
где \tau \in \BbbR . Тогда справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
=
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \geq \sigma
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau )
\biggr\} - 1/2
. (6.28)
Доказательство. Полагаем S(f ; t, \tau ) := | \tau | \alpha p| \scrF (f, \tau )| p\scrW p/2(t\tau )\xi (t). Используя соотноше-
ние (6.15), а также применяя обобщенное неравенство Минковского (см., например, [9], гл. I,
п. 1.3), обозначение (6.27) и учитывая, что \eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau ) = \eta w,\alpha ,p,x(\xi , - \tau ), в силу принадлеж-
ности функции \scrW множеству \BbbG записываем
\left\{
x\int
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
x\int
0
\left[ \int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2| \tau | 2\alpha \scrW (t\tau ) d\tau
\right]
p/2
\xi (t) dt
\right\}
1/p
=
=
\left\{
x\int
0
\left[ \int
| \tau | \geq \sigma
\Bigl(
| \tau | \alpha p| \scrF (f, \tau )| p\scrW p/2(t\tau )\xi (t)
\Bigr) 2/p
d\tau
\right]
p/2
dt
\right\}
1/p
=
=
\left\{
x\int
0
\left[ \int
| \tau | \geq \sigma
S2/p(f ; t, \tau ) d\tau
\right]
p/2
dt
\right\}
1/p
\geq
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
\left[ x\int
0
S(f ; t, \tau ) dt
\right] 2/p
d\tau
\right\}
p
2
\cdot 1
p
=
=
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2
\left[ | \tau | \alpha p x\int
0
\scrW p/2(t\tau )\xi (t) dt
\right] 2/p
d\tau
\right\}
1/2
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1354 С. Б. ВАКАРЧУК
=
\left\{
\int
| \tau | \geq \sigma
| \scrF (f, \tau )| 2\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau ) d\tau
\right\}
1/2
\geq
\geq \scrA \sigma (f)
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \geq \sigma
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau )
\biggr\} 1/2
.
Отсюда следует оценка сверху рассматриваемой экстремальной характеристики:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
\leq
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \geq \sigma
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau )
\biggr\} - 1/2
. (6.29)
Перейдем к получению оценки снизу экстремальной характеристики, содержащейся в ле-
вой части неравенства (6.29). Для этого зафиксируем произвольное значение u \in \BbbR , | u| \geq \sigma , и
рассмотрим целую функцию экспоненциального типа \leq | u| + \varepsilon следующего вида: q| u| +\varepsilon (x) :=
:=
\sqrt{}
\pi /2(\lambda | u| +\varepsilon (x) - \lambda | u| ), где \varepsilon \in (0, \widetilde u), \widetilde u := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(| u| , 1/| u| ), \lambda a(x) := a \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(ax), a \in
\in (0,\infty ). Поскольку \scrF (q| u| +\varepsilon , x) =
\bigl\{
1, если | u| < | x| < | u| + \varepsilon ; 1/2, если | x| = | u| или | x| =
= | u| + \varepsilon ; 0, если | x| < | u| или | x| > | u| + \varepsilon
\bigr\}
, то очевидно, что q| u| +\varepsilon принадлежит L\alpha
2 (\BbbR ) и
\scrA \sigma (q| u| +\varepsilon ) =
\surd
2\varepsilon . Учитывая, что
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (D
\alpha q| u| +\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| 2 = 2
\int | u| +\varepsilon
| u|
\tau 2\alpha | w(h\tau )| 2 d\tau , для произволь-
ного t \in (0,\infty ) получаем
\bigl(
\Lambda w(D\alpha q| u| +\varepsilon , t)
\bigr) 2
=
1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (D
\alpha q| u| +\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| 2dh =
=
2
t
t\int
0
\left\{
| u| +\varepsilon \int
| u|
\tau 2\alpha | w(h\tau )| 2d\tau
\right\} dh = 2
| u| +\varepsilon \int
| u|
\tau 2\alpha \scrW (t\tau ) d\tau . (6.30)
Возводя левую и правую части равенства (6.30) в степень p/2, а затем умножая их на функцию
\xi (t) и интегрируя по переменной t в пределах от 0 до x, имеем
x\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha q| u| +\varepsilon , t)
\bigr) p
\xi (t) dt = 2p/2
x\int
0
\left\{
| u| +\varepsilon \int
| u|
\tau 2\alpha \scrW (t\tau ) d\tau
\right\}
p/2
\xi (t) dt. (6.31)
В силу теоремы о среднем имеем
\int | u| +\varepsilon
| u|
\scrW (t\tau ) d\tau = \varepsilon \scrW (ty), где величина y зависит от u, \varepsilon ,
т. е. y = y(u, \varepsilon ) \in (| u| , | u| + \varepsilon ). Используя данный факт, из (6.31) получаем\left\{
x\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha q| u| +\varepsilon , t)
\bigr) p
\xi (t) dt
\right\}
1/p
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1355
\leq \scrA \sigma (q| u| +\varepsilon )(| u| + \varepsilon )\alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ty(u, \varepsilon ))\xi (t) dt
\right\}
1/p
, | u| \geq \sigma .
Следовательно,
\scrA \sigma (q| u| +\varepsilon )\left\{
x\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha q| u| +\varepsilon , t)
\bigr) p
\xi (t) dt
\right\}
1/p
\geq (| u| + \varepsilon ) - \alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ty(u, \varepsilon ))\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
, | u| \geq \sigma .
Поскольку, как уже отмечалось, q| u| +\varepsilon принадлежит L\alpha
2 (\BbbR ), то в силу последнего неравенства
записываем
\chi w,\alpha ,p,\sigma (x) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\left\{
x\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha f, t)
\bigr) p
\xi (t) dt
\right\}
1/p
\geq
\geq (| u| + \varepsilon ) - \alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ty(u, \varepsilon ))\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
, | u| \geq \sigma .
Далее, так как левая часть данного соотношения не зависит от \varepsilon , выполняются неравенства
\chi w,\alpha ,p,\sigma (x) \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{ (| u| + \varepsilon ) - \alpha
\left( x\int
0
\scrW p/2(ty(u, \varepsilon ))\xi (t) dt
\right) - 1/p
: \varepsilon \rightarrow 0+
\right\} \geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
(| u| + 1/n) - \alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ty(u, 1/n))\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
=
= | u| - \alpha
\left\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
x\int
0
\psi n(t) dt
\right\}
- 1/p
, (6.32)
где \psi n(t) := \scrW p/2(ty(u, 1/n))\xi (t), n \in \BbbN , u \in \BbbR (| u| \geq \sigma ) — произвольное фиксированное
число, p \in (0, 2], t \in [0, x] — переменная величина.
Поскольку для функции w \in \frakM квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А, то для
любого x \in \BbbR имеем \scrW (x) \leq | w(t\ast )| 2, где величина t\ast зависит от | w| 2. Так как \xi является
неотрицательной, измеримой, не эквивалентной нулю и существенно ограниченной на отрезке
[0, x] функцией, то \Psi := \{ \psi n\} n\in \BbbN — множество неотрицательных и суммируемых на [0, x]
функций. Пусть e \in [0, x] — произвольное множество и \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(e) — его мера. Поскольку\int
e
\psi n(t) dt \leq | w(t\ast )| p
\int
e
\xi (t) dt \leq | w(t\ast )| p\| \xi \| L\infty ([0,x])\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(e),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1356 С. Б. ВАКАРЧУК
где L\infty ([0, x]) — пространство существенно ограниченных на [0, x] функций, то очевидно, что
для любого \delta > 0 существует такое значение \mu > 0, \mu = \mu (\delta ), что при выполнении для любого
множества e \subset [0, x] условия \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}(e) < \mu неравенство
\int
e
\psi n(t) dt < \delta будет выполняться
для всех n \in \BbbN . Следовательно, функции \psi n, n \in \BbbN , множества \Psi имеют равностепенно
абсолютно непрерывные интегралы. Вследствие того, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
y(u, \varepsilon ) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
= | u| , для
почти всех t \in [0, x] имеем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\psi n(t) : n \rightarrow \infty
\bigr\}
= F (t), где F (t) := \scrW p/2(ut)\xi (t). При
этом последовательность функций \psi 1, \psi 2, . . . сходится к F на отрезке [0, x] и по мере. Тогда
согласно теореме Д. Витали (см., например, [10], гл. II, § 3) из вышеприведенного получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\left\{
x\int
0
\psi n(t)dt : n\rightarrow \infty
\right\} =
x\int
0
F (t) dt
или
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ty(u, 1/n)\xi (t) dt : n\rightarrow \infty
\right\} =
x\int
0
\scrW p/2(ut)\xi (t) dt.
Используя данный факт и (6.27), из (6.32) находим
\chi w,\alpha ,p,\sigma (x) \geq | u| - \alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(ut)\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
=
\bigl\{
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , u)
\bigr\} - 1/2
, | u| \geq \sigma .
Поскольку левая часть данного соотношения не зависит от u, то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\geq \sigma
\bigl\{
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , u)
\bigr\} - 1/2
=
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\tau \geq \sigma
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau )
\biggr\} - 1/2
.
(6.33)
Равенство (6.28) следует из соотношений (6.29) и (6.33), что и завершает доказательство
теоремы 5.
7. Некоторые следствия, вытекающие из теоремы 5. Общий результат, содержащийся в
теореме 5, позволяет при определенных конкретизациях функции w точно вычислить правую
часть равенства (6.28). Этому вопросу и будут посвящены нижеследующие утверждения.
7.1. Следствие 5. Пусть комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC принадлежит классу \frakM ,
а функция \scrW является элементом множества \BbbG . При этом функции | w| 2 и \scrW удовлетворяют
свойству А; \alpha , \sigma \in (0,\infty ); p \in (0, 2]; x \in (0, t(\scrW )/\sigma ]; \xi — неотрицательная, измеримая,
существенно ограниченная на отрезке [0, x] функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда
справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
=
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(\sigma t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
. (7.1)
Доказательство. Используя приведенные в пп. 6.1 определения величин t(\scrW ), t\ast (\scrW ) и\widetilde t\ast (\scrW ), а также в силу геометрических соображений относительно поведения функции \scrW \in \BbbG ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1357
удовлетворяющей на множестве 0 \leq t < \infty свойству А, для произвольных z \in (0, t(\scrW )],
v \in [1,\infty ) и \nu , \delta \in [0,\infty ) имеем v\nu \scrW \delta (vz) \geq \scrW \delta (z). Полагая v = \tau /\sigma , \tau \in [\sigma ,\infty ), z = \sigma t,
где t \in (0, x], \nu = \alpha p и \delta = p/2, отсюда получаем \tau \alpha p\scrW p/2(\tau t) \geq \sigma \alpha p\scrW p/2(\sigma t). Умножая
обе части данного неравенства на функцию \xi (t) и интегрируя обе части полученного таким
образом соотношения по переменной t в пределах от 0 до x, находим
\tau \alpha p
x\int
0
\scrW p/2(\tau t)\xi (t) dt \geq \sigma \alpha p
x\int
0
\scrW p/2(\sigma t)\xi (t) dt.
Следовательно,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\left\{ \tau 2\alpha
\left( x\int
0
\scrW p/2(\tau t)\xi (t) dt
\right) 2/p
: \tau \geq \sigma
\right\} = \sigma 2\alpha
\left\{
x\int
0
\scrW p/2(\sigma t)\xi (t) dt
\right\}
2/p
или, в силу (6.27), \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\eta w,\alpha ,p,x(\xi , \tau ) : \tau \geq \sigma
\bigr\}
= \eta w,\alpha ,p,x(\xi , \sigma ). Поскольку равенство (7.1) выте-
кает из данного факта и (6.27), (6.28), следствие 5 доказано.
7.1.1. Используя изложенную в пп. 6.1.1 информацию, из (7.1) в рассматриваемом случае
имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\Lambda p
1(D
\alpha f, t)\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
=
1\surd
2
\left\{
x\int
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\sigma t))p/2\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
,
где 0 < x \leq t(\scrW 1)/\sigma . Отсюда, в частности, при p = 2, \xi (t) \equiv 1 и x = h/\sigma , где h \in (0, t(\scrW 1)],
получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/2\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int h/\sigma
0
\Lambda 2
1(D
\alpha f, t) dt
\Biggr\} 1/2
=
\bigl\{
2(h - \mathrm{S}\mathrm{i}(h))
\bigr\} - 1/2
.
7.1.2. Используя результаты, изложенные в пп. 6.1.2, из соотношения (7.1) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\widehat \Lambda p(D\alpha f, t)\xi (t) dt
\biggr\} 1/p
=
\surd
3\pi
2
\left\{
x\int
0
tp\xi (t) dt
\right\}
- 1/p
,
где 0 < x \leq t(\scrW \scrM 4)/\sigma . Полагая, например, \xi (t) = tk, где k \in (0,\infty ), отсюда получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha +1\scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\widehat \Lambda p(D\alpha f, t)tk dt
\biggr\} 1/p
=
\surd
3\pi (p+ k + 1)1/p
x1+(k+1)/p
.
7.2. Следствие 6. Пусть комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC принадлежит классу
\frakM и квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А; \sigma \in (0,\infty ); \alpha \in [1/2,\infty ), p \in [1/\alpha , 2];
x \in (0,\infty ) — произвольное фиксированное число. Если функция \xi на интервале (0, x) является
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1358 С. Б. ВАКАРЧУК
измеримой, существенно ограниченной, неотрицательной, не эквивалентной нулю, дифферен-
цируемой почти всюду и при некотором p = \widetilde p почти для всех t \in (0, x) удовлетворяет
условию
\xi (t)(\alpha \widetilde p - 1) - t\xi \prime (t) \geq 0, (7.2)
то для данного \widetilde p справедливо равенство (7.1).
Доказательство. Из соотношения (6.27) очевидно, что для выполнения равенства (7.1) при
указанных в следствии 6 условиях достаточно показать справедливость формулы
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\eta w,\alpha ,\widetilde p,x(\xi , \tau ) : \tau \geq \sigma
\bigr\}
= \eta w,\alpha ,\widetilde p,x(\xi , \sigma ). (7.3)
Для этого при \tau \geq \sigma рассмотрим вспомогательную функцию Q(\tau ) :=
\bigl\{
\eta w,\alpha ,\widetilde p,x(\xi , \tau )\bigr\} \widetilde p/2
=
= \tau \alpha \widetilde p \int x
0
\scrW \widetilde p/2(\tau t)\xi (t) dt, где \alpha , \widetilde p, x — некоторые фиксированные значения, и вычислим ее
производную первого порядка
Q\prime (\tau ) = \alpha \widetilde p\tau \alpha \widetilde p - 1
x\int
0
\scrW \widetilde p/2(\tau t)\xi (t) dt+ \tau \alpha \widetilde p
x\int
0
\xi (t)
\partial
\partial \tau
\scrW \widetilde p/2(\tau t) dt. (7.4)
Используя понятие производной сложной функции, можно убедиться в справедливости ра-
венства
1
t
\partial
\partial \tau
\scrW \widetilde p/2(\tau t) =
1
\tau
\partial
\partial t
\scrW \widetilde p/2(\tau t), где переменные \tau и t принимают положительные
значения. С учетом данного соотношения из (7.4) получаем
Q\prime (\tau ) = \tau \alpha \widetilde p - 1
\left\{ \alpha \widetilde p
x\int
0
\scrW \widetilde p/2(\tau t)\xi (t) dt+
x\int
0
t\xi (t)
\partial
\partial t
\scrW \widetilde p/2(\tau t) dt
\right\} .
Интегрируя по частям второй интеграл, имеем
Q\prime (\tau ) = \tau \alpha \widetilde p - 1
\left\{ x\scrW \widetilde p/2(\tau x)\xi (x) +
x\int
0
\scrW \widetilde p/2(\tau t)\bigl( \xi (t)(\alpha \widetilde p - 1) - t\xi \prime (t)
\bigr)
dt
\right\} . (7.5)
Используя условие (7.2), из (7.5) получаем Q\prime (\tau ) \geq 0 для любого \tau \geq \sigma , т. е. Q является
неубывающей функцией от \tau и, следовательно, справедливо равенство (7.3).
Следствие 6 доказано.
Рассмотрим несколько конкретизаций основного результата в следствии 6.
7.2.1. Пусть \scrM = \scrM 1,m, m \in \BbbN , \scrW m = \scrW \scrM 1,m . Тогда \Lambda
w\scrM 1,m = \Lambda m. Используя
приведенное в пп. 6.1.1 представление функции \scrW m и полагая, что все условия следствия 6
выполнены, для произвольного x \in (0,\infty ) получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\Lambda \widetilde p
m(D\alpha f, t)\xi (t) dt
\biggr\} 1/\widetilde p =
=
\left\{
x\int
0
\left[ \biggl( 2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(j\sigma t)
\right] \widetilde p/2
\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (7.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1359
Несложно проверить, что в случае \widetilde p = 2 и \xi (t) \equiv 1 условие (7.2) выполняется автоматически.
Тогда, полагая x = z/\sigma , где z \in (0,\infty ), с учетом (7.6) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/2\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\Lambda 2
m(D\alpha f, t) dt
\Biggr\} 1/2
=
\left\{ z
\left[ \biggl( 2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{S}\mathrm{i}(jz)
jz
\right] \right\}
- 1/2
.
Если, например, в данном равенстве m = 1, то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/2\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\Lambda 2
1(D
\alpha f, t) dt
\Biggr\} 1/2
=
1\sqrt{}
2(z - \mathrm{S}\mathrm{i}(z))
.
Напомним, что для частного случая \alpha = r \in \BbbN и m = 1 соотношение (7.6) было получено в
работе [5].
7.2.2. Пусть \scrM = \scrM 4. Используя результаты пп. 6.1.2, записываем разложение четной,
непрерывной, 2\pi -периодической функции | w\scrM 4 | 2 в ряд Фурье, а именно | w\scrM 4(x)| 2 = 4/3 +
+ (16/\pi 2)
\sum
k\in \BbbN
( - 1)kk - 2 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kx). Тогда
\scrW \scrM 4(t) :=
1
t
t\int
0
| w\scrM 4(h)| 2 dh =
4
3
+
16
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)kk - 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kt), t \in (0,\infty ).
На основании следствия 6 и данного соотношения для любого x \in (0,\infty ) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\widehat \Lambda \widetilde p(D\alpha f, t)\xi (t) dt
\biggr\} 1/\widetilde p =
\left\{
x\int
0
\scrW \widetilde p/2
\scrM 4
(\sigma t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
=
=
\left\{
x\int
0
\Biggl[
4
3
+
16
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)k
1
k2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(k\sigma t)
\Biggr] \widetilde p/2
\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (7.7)
Пусть \xi = \xi 0, где \xi 0(t) := t. Тогда условие (7.2) принимает вид \widetilde p \geq 2/\alpha . Следовательно,
для \widetilde p \in [2/\alpha , 2], где \alpha \in [1,\infty ), и функции \xi 0 имеет место равенство (7.7). Тогда, например,
при \widetilde p = 2 и x = z/\sigma , где z \in (0,\infty ), получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\widehat \Lambda 2(D\alpha f, t)t dt
\Biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
2z2
\Biggl[
1
3
+
4
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)k
1
k2
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}2
\biggl(
kz
2
\biggr) \Biggr] \Biggr\} - 1/2
. (7.8)
Отметим, что при 0 < z \leq \pi правую часть формулы (7.8) можно представить в эквивалент-
ном виде, использовав для этого многочлен Бернулли B4 (см., например, [11, с. 652, 728, 776]),
т. е.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1360 С. Б. ВАКАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\widehat \Lambda 2(D\alpha f, t)t dt
\Biggr\} 1/2
=
\biggl\{
2
3
z2 - 7\pi 2
45
+
16\pi 2
3
B4
\biggl(
1
2\pi
z +
1
2
\biggr) \biggr\} - 1/2
,
где B4(t) = t4 - 2t3 + t2 - 1/30. Полагая в (7.7) x = z/\sigma , где z \in (0,\infty ), \xi (t) \equiv 1 и \widetilde p = 2,
имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/2\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\widehat \Lambda 2(D\alpha f, t) dt
\Biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
4
3
z +
16
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)k
1
k3
\mathrm{S}\mathrm{i}(kz)
\Biggr\} - 1/2
.
7.2.3. В качестве следующего примера рассмотрим приведенный в пп. 6.2.3 случай,
когда числовая последовательность \scrM = \scrM 3. В данном случае разложение в ряд Фурье
четной, непрерывной, 2\pi -периодической функции | w\scrM 3 | 2 имеет вид | w\scrM 3(x)| 2 = 6/5 -
- (108/\pi 4)
\sum
k\in \BbbN
k - 4 \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kx). Тогда \scrW \scrM 3(t) = 6/5 - (108/\pi 4)
\sum
k\in \BbbN
k - 4 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kt). С учетом
этого факта для произвольного x \in (0,\infty ) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int x
0
\Lambda \widetilde p
\langle \prime \rangle (D
\alpha f, t)\xi (t) dt
\biggr\} 1/\widetilde p =
\left\{
x\int
0
\Biggl[
6
5
- 108
\pi 4
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(k\sigma t)
k4
\Biggr] \widetilde p/2
\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (7.9)
В частности, при \xi = \xi 0 и, следовательно, в силу условия (7.2), где \widetilde p \in [2/\alpha , 2], \alpha \in [1,\infty ),
равенство (7.9) также будет справедливым. Полагая, например, \widetilde p = 2 и x = z/\sigma , где z \in (0,\infty ),
из указанного соотношения получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\Lambda 2
\langle \prime \rangle (D
\alpha f, t)t dt
\Biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
3z2
\Biggl[
1
2
- 18
\pi 4
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}2(kz/2)
k4
\Biggr] \Biggr\} - 1/2
. (7.10)
При 0 < z \leq 2\pi правую часть формулы (7.10) можно представить в эквивалентном ви-
де, использовав многочлен Бернулли B6 (см., например, [11, с. 277, 726 (п. 5.4.2, форму-
ла 7), 777]), т. е.
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\Lambda 2
\langle \prime \rangle (D
\alpha f, t)t dt
\Biggr\} 1/2
=
\biggl\{
3
2
z2 - \pi 2
9
+
24\pi 2
5
B6
\Bigl( z
2\pi
\Bigr) \biggr\} - 1/2
,
где B6(t) = t6 - 3t5 + 5t4/2 - t2/2 + 1/42. Если \xi (t) \equiv 1 и \widetilde p = 2, то из (7.9) при x = z/\sigma ,
z \in (0,\infty ), получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha - 1/2\scrA \sigma (f)\Biggl\{ \int z/\sigma
0
\Lambda 2
\langle \prime \rangle (D
\alpha f, t) dt
\Biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
6
5
z - 108
\pi 4
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{S}\mathrm{i}(kz)
k5
\Biggr\} - 1/2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1361
7.3. Рассмотрим вспомогательную функцию
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi , u) := u2\alpha
\left\{
z\int
0
\scrW p/2(ut)\psi (t) dt
\right\}
2/p
, u > 0. (7.11)
Используя формулу (6.27), где \tau \geq \sigma , и полагая x = \widetilde x, где \widetilde x = z/\sigma , z \in (0,\infty ), \xi (t) := \psi (\sigma t),
с учетом формулы (7.11) записываем
\eta w,\alpha ,p,\widetilde x(\psi , \tau ) = \tau 2\alpha
\left\{
z/\sigma \int
0
\scrW p/2(\tau t)\psi (\sigma t) dt
\right\}
2/p
=
= \sigma 2(\alpha - 1/p)
\left\{ \Bigl( \tau
\sigma
\Bigr) \alpha p
z\int
0
\scrW p/2
\Bigl( \tau
\sigma
t
\Bigr)
\psi (t) dt
\right\}
2/p
= \sigma 2(\alpha - 1/p)\zeta w,\alpha ,p,z(\psi , \tau /\sigma ).
Следовательно,
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\eta w,\alpha ,p,\widetilde x(\psi , \tau ) : \tau \geq \sigma
\bigr\}
= \sigma 2(\alpha - 1/p) \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi , u) : u \geq 1
\bigr\}
. (7.12)
Используя соотношение (7.12), из теоремы 5 получаем следующее утверждение.
Следствие 7. Пусть \alpha и \sigma принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
принадлежит классу \frakM и | w| 2 удовлетворяет свойству А; p \in (0, 2]; z — конечное положи-
тельное число; \psi — неотрицательная, измеримая, существенно ограниченная на отрезке [0, z]
функция, которая не эквивалентна нулю. Тогда справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
(\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma ))p\psi (t) dt
\biggr\} 1/p
=
\biggl\{
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\geq 1
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi , u)
\biggr\} - 1/2
. (7.13)
7.4. Определенный интерес, по мнению автора, представляет вопрос о том, при каких
условиях справедливо равенство
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi , u) : u \geq 1
\bigr\}
= \zeta w,\alpha ,p,z(\psi , 1). (7.14)
Один из возможных ответов на него дает следующее утверждение.
Следствие 8. Пусть \alpha и \sigma принадлежат (0,\infty ); p \in (0, 2]; z \in (0,\infty ) — произвольное
фиксированное число; \psi 0(t) := t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t), где \widetilde \psi — определенная на отрезке [0, z] неотрица-
тельная, невозрастающая, измеримая, суммируемая и не эквивалентная нулю функция. Тогда
справедливо равенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
(\Lambda w(D\alpha f, t/\sigma ))p t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt\biggr\} 1/p
=
\left\{
z\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
- 1/p
. (7.15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1362 С. Б. ВАКАРЧУК
Доказательство. Покажем справедливость соотношения (7.14) при \psi = \psi 0. Для этого
полагаем
\widetilde \psi \ast (t) :=
\Bigl\{ \widetilde \psi (t), если 0 \leq t \leq z; \widetilde \psi (z), если z \leq t <\infty
\Bigr\}
. (7.16)
Используя формулы (7.11) и (7.16), для произвольного u \geq 1 имеем
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi 0, u) = u2\alpha
\left\{
z\int
0
\scrW p/2(ut)t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
2/p
=
=
\left\{
zu\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t/u) dt
\right\}
2/p
=
\left\{
zu\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1 \widetilde \psi \ast (t/u) dt
\right\}
2/p
. (7.17)
Поскольку \widetilde \psi — невозрастающая на отрезке [0, z] функция, то в силу (7.16) для любого t \geq 0
получаем \widetilde \psi \ast (t/u) \geq \widetilde \psi \ast (t). С учетом этого факта для любого u \geq 1 из (7.17) имеем
\zeta w,\alpha ,p,z(\psi 0, u) \geq
\left\{
zu\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1 \widetilde \psi \ast (t) dt
\right\}
2/p
\geq
\geq
\left\{
z\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1\widetilde \psi \ast (t) dt
\right\}
2/p
=
=
\left\{
z\int
0
\scrW p/2(t)t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
2/p
= \zeta w,\alpha ,p,z(\psi 0, 1),
т. е. равенство (7.14) справедливо. Справедливость равенства (7.15) при \psi = \psi 0 следует из
соотношений (7.13), (7.14) и (7.11).
Следствие 8 доказано.
Рассмотрим некоторые конкретизации соотношения (7.15).
7.4.1. Пусть, как и в пп. 6.1.1, \scrM = \scrM 1,m, m \in \BbbN . Тогда на основании равенства (7.15)
для произвольного фиксированного значения z \in (0,\infty ) записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda p
m(D\alpha f, t/\sigma ) t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt\biggr\} 1/p
=
=
\left\{
z\int
0
\left[ \biggl( 2m
m
\biggr)
- 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(jt)
\right] p/2
t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
- 1/p
. (7.18)
Отметим, что в качестве \widetilde \psi можем рассматривать, например, заданные на отрезке [0, z] функции\widetilde \psi \nu (t) := (z - t)\nu , где \nu \in (0,\infty ), t \in [0, z]. Полагая в формуле (7.18) \widetilde \psi = \widetilde \psi 1, p = 2 и \alpha = 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1363
получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda 2
m(f (1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
=
\left\{ z
\left[ 1
6
\biggl(
2m
m
\biggr)
z2 - 2
m\sum
j=1
( - 1)j+1 1
j2
\biggl(
2m
m - j
\biggr)
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(jz))
\right] \right\}
- 1/2
. (7.19)
В случае, когда m = 1, из (7.19) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda 2
1(f
(1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
\biggl\{
z
\biggl[
z2
2
- 2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(z))
\biggr] \biggr\} - 1/2
.
7.4.2. Пусть \scrM = \scrM 4. Используя результаты, изложенные в пп. 6.1.2 и 7.2.2, с учетом
соотношения (7.15) записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\widehat \Lambda p(D\alpha f, t/\sigma )t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt\biggr\} 1/p
=
=
\left\{
z\int
0
\Biggl[
4
3
+
16
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kt)
k2
\Biggr] p/2
t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
- 1/p
. (7.20)
Полагая, например, в формуле (7.20) \widetilde \psi = \widetilde \psi 1, p = 2 и \alpha = 1, для произвольного z \in (0,\infty )
получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\widehat \Lambda 2(f (1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
z
\Biggl[
2
9
z - 7\pi 2
45
+
16
\pi 2
\sum
k\in \BbbN
( - 1)k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kz)
k4
\Biggr] \Biggr\} - 1/2
.
Используя [11, с.726] (п. 5.4.2, формула 6), при 0 < z \leq \pi из последнего равенства имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\widehat \Lambda 2(f (1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
\biggl\{
2
9
z3 - 7\pi 2
45
z +
32
15
\pi 3B5
\biggl(
z + \pi
2\pi
\biggr) \biggr\} - 1/2
,
где B5(t) = t5 - 5t4/2 + 5t3/3 - t/6 — полином Бернулли.
7.4.3. Пусть \scrM = \scrM 3. Исходя из результатов, изложенных в пп. 6.2.3 и 7.2.3, в силу
следствия 8 для произвольного фиксированного значения z \in (0,\infty ) записываем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L\alpha
2 (\BbbR )
\sigma \alpha \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda p
\langle \prime \rangle (D
\alpha f, t/\sigma )t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt\biggr\} 1/p
=
=
\left\{
z\int
0
\Biggl[
6
5
- 108
\pi 4
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kt)
k4
\Biggr] p/2
t\alpha p - 1 \widetilde \psi (t) dt
\right\}
- 1/p
. (7.21)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1364 С. Б. ВАКАРЧУК
Полагая в формуле (7.21) \widetilde \psi = \widetilde \psi 1, p = 2, \alpha = 1, имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda 2
\langle \prime \rangle (f
(1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
\Biggl\{
z
\Biggl[
3
5
z2 - 4\pi 2
35
+
108
\pi 4
\sum
k\in \BbbN
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(kz)
k6
\Biggr] \Biggr\} - 1/2
.
В случае 0 < z \leq \pi правую часть последнего равенства можно записать, использовав многочлен
Бернулли B7 [11, с. 726] (п. 5.4.2, формула 5):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in L1
2(\BbbR )
\sigma \scrA \sigma (f)\biggl\{ \int z
0
\Lambda 2
\langle \prime \rangle (f
(1), t/\sigma )t(z - t) dt
\biggr\} 1/2
=
\biggl\{
3
5
z - 4\pi 2
35
z +
48\pi 3
35
B7
\Bigl( z
2\pi
\Bigr) \biggr\} - 1/2
,
где B7(t) = t7 - 7t6/2 + 7t5/2 - 7t3/6 + t/6.
8. Точные значения средних \bfitnu -поперечников классов функций, определенных с по-
мощью характеристик гладкости \bfitomega \bfitw и \bfLambda \bfitw . Известно, что в случае приближения на \BbbR
целыми функциями или, например, сплайнами указанные множества являются бесконечномер-
ными образованиями и возникает проблема, связанная со сравнением между собой подобных
методов аппроксимации. Один из возможных подходов связан с понятием средней размерности.
Так, К. Шеннон, изучая вопрос „энтропийного” усреднения, рассматривал усредненные харак-
теристики классов случайных функций. А. Н. Колмогоровым был введен соответствующий
детерминированный вариант. Подобного рода характеристика для подпространств функций на
прямой, вытекающая не из понятия энтропии, а из понятия колмогоровского поперечника и на-
званная средней размерностью, была предложена В. М. Тихомировым в [12] и рассматривалась
в работах Динь Зунга и Г. Г. Магарил-Ильяева [13], Динь Зунга [14], Ле Чыонг Тунга [15]. Впо-
следствии это позволило Г. Г. Магарил-Ильяеву в работах [16, 17] определить асимптотические
характеристики подпространств, где в качестве размерности использовалась средняя размер-
ность, и на этой основе ввести понятия ряда средних \nu -поперечников классов функций на
прямой. В результате этого стало возможным сравнивать аппроксимативные свойства подпро-
странства \BbbB \sigma ,2 с аналогичными характеристиками иных подпространств в L2(\BbbR ), имеющих
такую же среднюю размерность, и решать целый ряд экстремальных задач теории аппрок-
симации функций оптимизационного содержания. Точные значения средних \nu -поперечников
различных классов функций были вычислены, например, в работах [16 – 29].
8.1. Непрерывную, возрастающую на множестве [0,\infty ) функцию \Phi такую, что \Phi (0) = 0,
будем называть мажорантой. Символом \scrK \alpha (\omega w,\Phi ), где \alpha \in (0,\infty ), обозначим класс функций
f \in L\alpha
2 (\BbbR ), для которых при любом t \in (0,\infty ) выполняется неравенство \omega w(D\alpha f, t) \leq \Phi (t).
Также для произвольного класса \frakN \subset L2(\BbbR ) полагаем \scrA \sigma (\frakN ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \scrA \sigma (f) : f \in \frakN \} .
Теорема 6. Пусть \nu и \alpha принадлежат (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC
принадлежит классу \frakM и такая, что | w| 2 удовлетворяет свойствам А и В; точка t = t(| w| 2)
определяется следующим образом: | w(t)| 2 = | w(\widetilde t\ast )| 2, где значение \widetilde t\ast = \widetilde t\ast (| w| 2) находится
с помощью формулы (4.3), когда \varphi = | w| 2; \tau \in (0, t ] — произвольное фиксированное число;
мажоранта \Phi при любых \sigma > \nu \pi и t \in (0,\infty ) удовлетворяет условию
\Phi (t)/\Phi (\tau /\sigma ) \geq | w(t\sigma )| \ast /| w(\tau )| , (8.1)
где функция | w| \ast задается соотношением (6.19). Тогда справедливы равенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1365
\Pi \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi )
\bigr)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK \alpha (\omega w,\Phi )
\bigr\}
=
1
| w(\tau )| (\nu \pi )\alpha
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.2)
Здесь оператор \scrL \nu \pi : L2(\BbbR ) \rightarrow \BbbB \nu \pi ,2 определяется формулой (4.4) при \sigma = \nu \pi , а \Pi \nu (\cdot ) — лю-
бой из средних \nu -поперечников: бернштейновский b\nu (\cdot ), колмогоровский d\nu (\cdot ), линейный \delta \nu (\cdot ).
При этом пара (L\alpha
2 (\BbbR ),\scrL \nu \pi ) является экстремальной для среднего линейного \nu -поперечника
\delta \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
, а подпространство \BbbB \nu \pi ,2 является экстремальным для среднего кол-
могоровского \nu -поперечника d\nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
.
Доказательство. Используя соотношение (4.7), для произвольной функции f \in L\alpha
2 (\BbbR )
записываем
\scrA \sigma (f) \leq
1
\sigma \alpha | w(\tau )|
\omega w
\Bigl(
D\alpha f,
\tau
\sigma
\Bigr)
, (8.3)
где \tau \in (0, t]. Поскольку средняя размерность подпространства \BbbB \sigma ,2 равна \sigma /\pi [16], то
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(\BbbB \nu \pi ,2;L2(\BbbR )) = \nu . Исходя из определений рассматриваемых средних \nu -поперечников и
соотношений между ними (см., например, [5, 17, 21 – 26, 28, 29]), а также на основании (8.3) и
определения класса функций \scrK \alpha (\omega w,\Phi ) получаем оценки сверху
\Pi \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq \delta \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK \alpha (\omega w,\Phi )
\bigr\}
= \scrA \nu \pi (\scrK \alpha (\omega w,\Phi )) \leq 1
| w(\tau )| (\nu \pi )\alpha
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.4)
Перейдем к нахождению оценок снизу рассматриваемых экстремальных аппроксимативных
характеристик класса \scrK \alpha (\omega w,\Phi ). Пусть \widehat \sigma := \nu \pi (1 + \varepsilon ), где \varepsilon \in (0, \nu \ast ), \nu \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1/\nu ).
Подпространство целых функций \BbbB \widehat \sigma ,2 удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к
подпространствам, участвующим в определении среднего бернштейновского \nu -поперечника.
При этом его средняя размерность \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl(
\BbbB \widehat \sigma ,2;L2(\BbbR )
\bigr)
= \nu (1+\varepsilon ) и d\nu
\bigl(
\BbbB \widehat \sigma ,2\cap BL2(\BbbR );L2(\BbbR )
\bigr)
= 1,
где BL2(\BbbR ) — единичный шар в L2(\BbbR ). Положив
\rho 1 :=
1
| w(\tau )| (\widehat \sigma )\alpha \Phi
\Bigl( \tau \widehat \sigma \Bigr) , (8.5)
рассмотрим множество \scrB \widehat \sigma (\rho 1) := \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho 1BL2(\BbbR ) = \{ g \in \BbbB \widehat \sigma ,2 : \| g\| \leq \rho 1\} , где \rho 1BL2(\BbbR ) —
шар радиуса \rho 1 в L2(\BbbR ). Покажем справедливость включения
\scrB \widehat \sigma (\rho 1) \subset \scrK \alpha (\omega w,\Phi ) (8.6)
Согласно теореме Винера – Пэли для произвольной функции g \in \BbbB \widehat \sigma ,2 справедливо представле-
ние g(x) = (1/
\surd
2\pi )
\int \widehat \sigma
- \widehat \sigma v(u)eixu du, где v \in L2[ - \widehat \sigma , \widehat \sigma ]. При этом \| g\| =
\Biggl\{ \int \widehat \sigma
- \widehat \sigma | v(u)| 2 du
\Biggr\} 1/2
.
Отсюда и из (2.22) получаем
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (g)
\bigm\| \bigm\| 2 = \widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| v(u)| 2| w(hu)| 2 du \leq | w(h\widehat \sigma )| 2\ast \| g\| 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1366 С. Б. ВАКАРЧУК
где функция | w| 2\ast определена формулой (6.19). Из формулы (3.2) имеем
\| D\alpha g\| =
\left\{
\widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| u| 2\alpha | v(u)| 2 du
\right\}
1/2
\leq (\widehat \sigma )\alpha \| g\| .
Следовательно,
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (D
\alpha g)
\bigm\| \bigm\| \leq (\widehat \sigma )\alpha | w(h\widehat \sigma )| \ast \| g\| . Тогда для произвольной функции g \in \scrB \widehat \sigma (\rho 1)
в силу (8.1) и формулы (8.5) для любого t \in (0,\infty ) записываем
\omega w(D\alpha g, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| \Delta w
h (D
\alpha g)\| : 0 \leq h \leq t
\bigr\}
\leq (\widehat \sigma )\alpha | w(t\widehat \sigma )| \ast \rho 1 = | w(t\widehat \sigma )| \ast
| w(\tau )|
\Phi
\Bigl( \tau \widehat \sigma \Bigr) \leq \Phi (t),
т. е. имеет место соотношение (8.6).
Используя определение среднего бернштейновского \nu -поперечника [16] и формулу (8.5),
получаем
b\nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq \widetilde \frakN \alpha ,\nu (\Phi , \varepsilon )
1
| w(\tau )| (\nu \pi )\alpha
, (8.7)
где
\widetilde \frakN \alpha ,\nu (\Phi , \varepsilon ) :=
1
(1 + \varepsilon )\alpha
\Phi
\biggl(
\tau
\nu \pi (1 + \varepsilon )
\biggr)
. (8.8)
Величина (8.8) является монотонно убывающей функцией от \varepsilon \in (0, \nu \ast ) при фиксированных
значениях остальных параметров \alpha и \nu , \tau . При этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{ \widetilde \frakN \alpha ,\nu (\Phi , \varepsilon ) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
= \Phi (\tau /(\nu \pi )).
Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{ \widetilde \frakN \alpha ,\nu (\Phi , \varepsilon ) : 0 < \varepsilon < \nu \ast
\bigr\}
= \Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.9)
Вычисляя верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \nu \ast ) от правой части неравенства (8.7) и учитывая (8.9),
имеем
\Pi \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq b\nu
\bigl(
\scrK \alpha (\omega w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq 1
| w(\tau )| (\nu \pi )\alpha
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.10)
Равенство (8.2) следует из соотношений (8.4) и (8.10), что и завершает доказательство
теоремы 6.
8.1.1. Полагая, например, \tau = \pi /2, w = \widetilde wm, где m \in \BbbN , и учитывая, что | \widetilde wm(x)| =
= (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(x))m (см. пп. 2.3.4), из теоремы 6 получаем следующий результат: если мажоранта
\Phi при любых \sigma > \nu \pi и t \in (0,\infty ) удовлетворяет условию
\Phi (t)
\Phi (\pi /(2\sigma ))
\geq
\biggl(
\pi
\pi - 2
\biggr)
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t\sigma ))m\ast , (8.11)
то справедливы равенства
\Pi \nu
\bigl(
\scrK \alpha (\widetilde \Omega m,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
\scrK \alpha (\widetilde \Omega m,\Phi )
\bigr)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK \alpha (\widetilde \Omega m,\Phi )
\bigr\}
=
\pi m - \alpha
(\pi - 2)m\nu \alpha
\Phi
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1367
В случае, когда \alpha = r \in \BbbN , отсюда, в частности, следует один результат, полученный в
[25]. Отметим, что одним из примеров мажоранты, удовлетворяющей условию (8.11), является
функция \widetilde \Phi (t) := t2m/(\pi - 2).
8.2. Обозначим через \scrK (\Lambda w,\Phi ) класс функций f \in L2(\BbbR ), для каждой из которых при
любом t \in (0,\infty ) выполняется неравенство \Lambda w(f, t) \leq \Phi (t).
Теорема 7. Пусть \nu принадлежит (0,\infty ); комплекснозначная функция w : \BbbR \rightarrow \BbbC при-
надлежит классу \frakM и такая, что квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А, но не удовле-
творяет свойству В; функция \scrW принадлежит множеству \BbbG и удовлетворяет свойству А;
\tau \in (0, t(\scrW )] — произвольное фиксированное число, где величина t(\scrW ) определяется указан-
ным в пп. 6.1 образом с помощью соотношения (6.2); мажоранта \Phi при любых \sigma > \nu \pi и
t \in (0,\infty ) удовлетворяет условию
\Phi 2(t)/\Phi 2(\tau /\sigma ) \geq \scrW \ast (t\sigma )/\scrW (\tau ), (8.12)
где функция \scrW \ast определяется формулой (6.8). Тогда выполнены следующие равенства:
\Pi \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi (\scrK (\Lambda w,\Phi )) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK (\Lambda w,\Phi )
\bigr\}
=
1\sqrt{}
\scrW (\tau )
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
, (8.13)
где \Pi \nu (\cdot ) — любой из рассмотренных в теореме 6 средних \nu -поперечников; оператор \scrL \nu \pi
определяется формулой (4.4) при \sigma = \nu \pi . При этом пара (L2(\BbbR ),\scrL \nu \pi ) является экстремальной
для среднего линейного \nu -поперечника \delta \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
, а для среднего колмогоровского
\nu -поперечника d\nu (\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )) экстремальным является подпространство \BbbB \nu \pi ,2.
Доказательство. Для произвольной функции f \in L2(\BbbR ) из соотношения (6.4) получаем
\scrA \sigma (f) \leq \Lambda w(f, \tau /\sigma )/
\sqrt{}
\scrW (\tau ), где \tau \in (0, t(\scrW )]. Полагая \sigma = \nu \pi и используя определение
класса \scrK (\Lambda w,\Phi ), отсюда имеем
\Pi \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq \delta \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK (\Lambda w,\Phi )
\bigr\}
= \scrA \nu \pi (\scrK (\Lambda w,\Phi )) \leq 1\sqrt{}
\scrW (\tau )
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.14)
Для получения оценок снизу рассматриваемых средних \nu -поперечников воспользуемся хо-
дом рассуждений, проведенных во второй части доказательства теоремы 6. С этой целью обо-
значим \scrB \widehat \sigma (\rho 2) := \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho 2BL2(\BbbR ) = \{ g \in \BbbB \widehat \sigma ,2 : \| g\| \leq \rho 2\} , где \widehat \sigma := \nu \pi (1 + \varepsilon ), \varepsilon \in (0, \nu \ast ),
\nu \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1/\nu ),
\rho 2 :==
1\sqrt{}
\scrW (\tau )
\Phi
\Bigl( \tau \widehat \sigma \Bigr) . (8.15)
Покажем справедливость соотношения
\scrB \widehat \sigma (\rho 2) \subset \scrK (\Lambda w,\Phi ). (8.16)
Для произвольной функции g \in \scrB \widehat \sigma (\rho 2) с учетом условия (8.12) и обозначения (6.8) в случае
любого t \in (0,\infty ) получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1368 С. Б. ВАКАРЧУК
\Lambda w(g, t) =
\left\{ 1
t
t\int
0
\bigm\| \bigm\| \Delta w
h (g)
\bigm\| \bigm\| 2 dh
\right\}
1/2
=
\left\{
\widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| v(u)| 2
\left( 1
t
t\int
0
| w(hu)| 2dh
\right) du
\right\}
1/2
=
=
\left\{
\widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| v(u)| 2\scrW (tu) du
\right\}
1/2
\leq
\sqrt{}
\scrW \ast (t\widehat \sigma )\| g\| \leq
\sqrt{}
\scrW \ast (t\widehat \sigma )\rho 2 =
\sqrt{}
\scrW \ast (t\widehat \sigma )
\scrW (\tau )
\Phi
\Bigl( \tau \widehat \sigma \Bigr) \leq \Phi (t).
Следовательно, включение (8.16) имеет место. Используя определение среднего бернштейнов-
ского \nu -поперечника [16] и соотношение (8.15), записываем
b\nu (\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )) \geq
1\sqrt{}
\scrW (\tau )
\Phi
\biggl(
\tau
\nu \pi (1 + \varepsilon )
\biggr)
. (8.17)
Поскольку \Phi является убывающей функцией от \varepsilon \in (0, \nu \ast ) при фиксированных значениях \nu , \tau
и при этом \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
\Phi (\tau /(\nu \pi (1 + \varepsilon ))) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
= \Phi (\tau /(\nu \pi )), то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
\Phi
\biggl(
\tau
\nu \pi (1 + \varepsilon )
\biggr)
: 0 < \varepsilon < \nu \ast
\biggr\}
= \Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.18)
Вычисляя верхнюю грань по \varepsilon \in (0, \nu \ast ) от правой части неравенства (8.17) и используя фор-
мулу (8.18), получаем
\Pi \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq b\nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq 1\sqrt{}
\scrW (\tau )
\Phi
\Bigl( \tau
\nu \pi
\Bigr)
. (8.19)
Равенства (8.13) следуют из соотношений (8.14) и (8.19).
Теорема 7 доказана.
Рассмотрим некоторые частные случаи реализации общего результата (8.13).
8.2.1. Полагая, например, \scrM = \scrM 1,1, согласно результатам пп. 6.1.1 имеем | w\scrM 1,1(x)| 2 =
= 2(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x) и \scrW 1(t) = (1/t)
\int t
0
| w\scrM 1,1(h)| 2dh = 2(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(t)). Пусть \tau = \pi /2. Тогда при
выполнении условия
\Phi 2(t)/\Phi 2(\pi /(2\sigma )) \geq \pi (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\sigma t))\ast /(\pi - 2), (8.20)
где \sigma \geq \nu \pi и t \in (0,\infty ) — произвольные числа, справедливы равенства
\Pi \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda 1,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi (\scrK (\Lambda 1,\Phi )) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK (\Lambda 1,\Phi )
\bigr\}
=
\sqrt{}
\pi
2(\pi - 2)
\Phi
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
.
Здесь \Pi \nu — любой из перечисленных выше средних \nu -поперечников. Отметим, что данный
результат был получен в работе [5], в которой также отмечалось, что множество мажорант,
удовлетворяющих ограничению (8.20), является непустым.
8.2.2. Пусть \scrM = \scrM 4. Тогда в соответствии с результатами пп. 6.1.2 \Lambda w\scrM 4 (f, t) = \widehat \Lambda (f, t),
t > 0, f \in L2(\BbbR ), а функция \scrW \scrM 4 определяется согласно соотношению (6.13). При этом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1369
\scrW \scrM 4,\ast (t) =
4
3
\left\{
(t/\pi )2, если 0 \leq t \leq \pi ,
\pi (2 + (t/\pi - 2)3)/t, если \pi \leq t \leq t\ast ,
\pi (2 + (t\ast /\pi - 2)3)/t\ast , если t\ast \leq t \leq \infty ,
(8.21)
где t\ast = t\ast (\scrW \scrM 4). Пусть \tau = \pi /2, поскольку, согласно пп. 6.1.2, величина t(\scrW \scrM 4) \in
\in (2,82; 2,83). Из теоремы 7 следует, что в данном случае при выполнении условия
\Phi 2(t)/\Phi 2(\pi /(2\sigma )) \geq 3\scrW \scrM 4,\ast (t\sigma ), (8.22)
где \sigma \geq \nu \pi и t \in (0,\infty ) — произвольные числа, справедливы равенства
\Pi \nu
\bigl(
\scrK (\widehat \Lambda ,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi (\scrK (\widehat \Lambda ,\Phi )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in \scrK (\widehat \Lambda ,\Phi )\bigr\} =
\surd
3\Phi
\biggl(
1
2\nu
\biggr)
,
где \Pi \nu (\cdot ) — любой из средних \nu -поперечников, рассмотренных ранее.
Покажем, что множество мажорант, удовлетворяющих условию (8.22), не пусто. Для этого
рассмотрим, например, в качестве мажоранты функцию \widehat \Phi (t) := t. Полагая v = t\sigma /\pi и исполь-
зуя (8.22), где \Phi = \widehat \Phi , несложно убедиться в выполнении соотношения v2 \geq
\bigl\{
v2, если 0 <
< v \leq 1; (2+ (v - 2)3)/v, если 1 \leq v \leq t\ast /\pi ; \pi (2+ (t\ast /\pi - 2)3)/t\ast , если t\ast /\pi \leq v <\infty \} , что
и подтверждает требуемый результат.
8.3. Пусть 0 < p \leq 2; \alpha \in (0,\infty ); H — конечное положительное число; \xi — измеримая,
неотрицательная, существенно ограниченная на отрезке [0, H] функция, которая не эквивалент-
на нулю. Символом H\scrK \alpha
p (\Lambda
w, \xi ) обозначим класс функций f \in L\alpha
2 (\BbbR ), для которых выполнено
условие
\int H
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))p\xi (t) dt \leq
\int H
0
\xi (t) dt.
Теорема 8. Пусть \nu \in (0,\infty ); \alpha \in [1/2,\infty ); p \in [1/\alpha , 2]; комплекснозначная функция w :
\BbbR \rightarrow \BbbC принадлежит классу \frakM и квадрат ее модуля удовлетворяет свойству А; функ-
ция \scrW принадлежит классу \BbbG и удовлетворяет свойству А; величина H принадлежит
(0, t\ast (\scrW )/(\nu \pi )], где t\ast (\scrW ) определяется в пп. 6.1; функция \xi на интервале (0, H) является
измеримой, существенно ограниченной, неотрицательной, не эквивалентной нулю, дифферен-
цируемой почти всюду и при некотором p = \widetilde p почти для всех t \in (0,\infty ) удовлетворяет
условию (7.2). Тогда справедливы равенства
\Pi \nu (H\scrK \alpha
p (\Lambda
w, \xi );L2(\BbbR )) = \scrA \nu \pi (H\scrK \alpha
p (\Lambda
w, \xi )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha
p (\Lambda
w, \xi )
\bigr\}
=
= (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\nu \pi t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
, (8.23)
где \Pi \nu (\cdot ) — любой из рассмотренных ранее средних \nu -поперечников. При этом для среднего
линейного \nu -поперечника \delta \nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
пара (L\alpha
2 (\BbbR ),\scrL \nu \pi ) является экстремальной, а
подпространство \BbbB \nu \pi ,2 является экстремальным для среднего колмогоровского \nu -поперечника
d\nu
\bigl(
\scrK (\Lambda w,\Phi );L2(\BbbR )
\bigr)
.
Доказательство. Используя следствие 6, для произвольной функции f \in L\alpha
2 (\BbbR ) запи-
сываем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1370 С. Б. ВАКАРЧУК
\scrA \sigma (f) \leq \sigma - \alpha
\left\{
x\int
0
(\Lambda w(D\alpha f, t))\widetilde p\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
x\int
0
\scrW \widetilde p/2(\sigma t)\xi (t)dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (8.24)
Полагая \sigma = \nu \pi , x = H и применяя определение класса H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi ), из (8.24) получаем
оценки сверху
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq \delta \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi )
\bigr\}
= \scrA \nu \pi (H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi )) \leq
\leq (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\nu \pi t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (8.25)
Во второй части доказательства для получения оценок снизу средних \nu -поперечников клас-
са H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi ) рассмотрим множество целых функций \scrB \widehat \sigma (\rho 3) := \BbbB \widehat \sigma ,2 \cap \rho 3BL2(\BbbR ) =
\bigl\{
g \in
\in \BbbB \widehat \sigma ,2 : \| g\| \leq \rho 3
\bigr\}
, где \widehat \sigma := \nu \pi (1 + \varepsilon ), \varepsilon \in (0, \nu \ast ), \nu \ast := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\nu , 1/\nu ),
\rho 3 := (\widehat \sigma ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\widehat \sigma t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
, (8.26)
и покажем принадлежность \scrB \widehat \sigma (\rho 3) классу H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi ). Для целой функции g \in \BbbB \widehat \sigma ,2, где
g(x) =
\bigl(
1/
\surd
2\pi
\bigr) \int \widehat \sigma
- \widehat \sigma v(u)eixu du, v \in L2[ - \widehat \sigma , \widehat \sigma ], имеет место представление
\Lambda w(D\alpha g, t) =
\left\{
\widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| u| 2\alpha | v(u)| 2\scrW (tu) du
\right\}
1/2
.
Следовательно,
H\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha g, t)
\bigr) \widetilde p
\xi (t) dt \leq (\widehat \sigma )\alpha \widetilde p H\int
0
\left( \widehat \sigma \int
- \widehat \sigma
| v(u)| 2\scrW (tu)du
\right) \widetilde p/2
\xi (t) dt.
Используя соотношения (6.8) и (8.26), для произвольного элемента g \in \scrB \widehat \sigma (\rho 3) отсюда получаем
H\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha g, t)
\bigr) \widetilde p
\xi (t) dt \leq (\widehat \sigma )\alpha \widetilde p\| g\| \widetilde p H\int
0
\scrW \widetilde p/2
\ast (\widehat \sigma t)\xi (t) dt \leq R\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi )
H\int
0
\xi (t) dt, (8.27)
где
R\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi ) :=
\left( H\int
0
\scrW \widetilde p/2
\ast (\nu \pi (1 + \varepsilon )t)\xi (t) dt
\right) \Bigg/ \left( H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\nu \pi (1 + \varepsilon )t)\xi (t) dt
\right) . (8.28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1371
Поскольку левая часть неравенства (8.27) не зависит от величины \varepsilon , то, исходя из вида соот-
ношений (6.8) и (8.28), записываем
H\int
0
\bigl(
\Lambda w(D\alpha g, t)
\bigr) \widetilde p
\xi (t) dt \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
R\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi ) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\} H\int
0
\xi (t) dt \leq
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\bigl\{
R\widetilde p,H,\nu ,1/n(\scrW , \xi ) : n\rightarrow \infty
\bigr\} H\int
0
\xi (t) dt =
H\int
0
\xi (t) dt.
Таким образом, \scrB \widehat \sigma (\rho 3) \subset H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi ).
Полагая
Y\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi ) := (1 + \varepsilon )\alpha
\left\{
H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\nu \pi (1 + \varepsilon )t)\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p
и используя соотношение (8.26) и определение среднего бернштейновского \nu -поперечника,
получаем оценки снизу
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq b\nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda w, \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \rho 3 : \varepsilon \rightarrow 0+\} =
= (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
1/Y\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi ) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
=
= (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\Big/
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
Y\widetilde p,H,\nu ,\varepsilon (\scrW , \xi ) : \varepsilon \rightarrow 0 +
\bigr\}
\geq
\geq (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\Big/
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Y\widetilde p,H,\nu ,1/n(\scrW , \xi ) =
= (\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
\scrW \widetilde p/2(\nu \pi t)\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (8.29)
Равенства (8.23) следуют из соотношений (8.25) и (8.29), что и завершает доказательство
теоремы 8.
Далее приведем несколько конкретных реализаций общего результата (8.23).
8.3.1. Пусть, например, \scrM = \scrM 1,1. Тогда согласно результатам пп. 8.2.1 и соотноше-
нию (8.23) имеем
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda 1, \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi (H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda 1, \xi )) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha \widetilde p (\Lambda 1, \xi )
\bigr\}
=
=
1\surd
2
(\nu \pi ) - \alpha
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
(1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}(\nu \pi t))\widetilde p/2\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
, (8.30)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1372 С. Б. ВАКАРЧУК
где 0 < H \leq t\ast (\scrW 1)/(\nu \pi ). Полагая, в частности, \xi = \xi 0, где \xi 0(t) := t, несложно убедиться в
том, что при \widetilde p = 2 и \alpha \in [1,\infty ) условие (7.2) имеет место. Тогда из (8.30) получаем
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha
2 (\Lambda 1, \xi 0);L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
H\scrK \alpha
2 (\Lambda 1, \xi 0)
\bigr)
=
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha
2 (\Lambda 1, \xi 0)
\bigr\}
=
=
\bigl\{
2(\nu \pi )2\alpha (1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}2(\nu \pi H/2))
\bigr\} - 1/2
.
Здесь, как и ранее, \Pi \nu (\cdot ) — любой из средних \nu -поперечников, рассмотренных выше.
8.3.2. Пусть \scrM = \scrM 4. В данном случае, исходя из (8.20), для удобства воспользуемся
более жестким ограничением на величину H, заменив для этого t\ast (\scrW \scrM 4) на \pi , т. е. 0 < H \leq
\leq 1/\nu . Тогда, исходя из (8.21) и (8.23), имеем
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \xi )\bigr) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \xi )\bigr\} =
=
3\surd
2
(\nu \pi ) - (\alpha +1/2)
\left\{
H\int
0
\xi (t) dt
\right\}
1/\widetilde p\left\{
H\int
0
t\widetilde p/2\xi (t) dt
\right\}
- 1/\widetilde p
. (8.31)
Полагая, например, \xi = \widehat \xi , где \widehat \xi (t) := tm, m \in [0,\infty ), и \widetilde p \in [(m + 1)/\alpha , 2], где \alpha \in
\in [(m+ 1)/2,\infty ), из (8.31) получаем следующие равенства:
\Pi \nu
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \widehat \xi );L2(\BbbR )
\bigr)
= \scrA \nu \pi
\bigl(
H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \widehat \xi )\bigr) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| f - \scrL \nu \pi (f)\| : f \in H\scrK \alpha \widetilde p (\widehat \Lambda , \widehat \xi )\Bigr\} =
=
3\surd
2H
(\nu \pi ) - (\alpha +1/2)
\biggl(
1 +
\widetilde p
2(m+ 1)
\biggr) 1/\widetilde p
.
В заключение отметим, что основные теоремы и следствия из них, полученные в первой и
второй частях данной статьи, имеют достаточно общий характер в том смысле, что для любой
новой характеристики гладкости, являющейся частным случаем общих характеристик гладкос-
ти (2.24) или (2.26) и удовлетворяющей сформулированным в соответствующих утверждениях
требованиям, можно будет записать уже готовые окончательные результаты.
Литература
1. Вакарчук С. Б. Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи теории аппрокси-
мации функций в пространстве L2(\BbbR ). I // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 9. – С. 1166 – 1191.
2. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. I // Ukr. Math. J. – 2016. – 68, № 6. – P. 823 – 848.
3. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. II // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 8. – P. 1165 – 1183.
4. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities with generalized modulus of continuity and exact values of the n-widths
for the classes of (\psi , \beta )-differentiable functions in L2. III // Ukr. Math. J. – 2017. – 68, № 10. – P. 1495 – 1518.
5. Vakarchuk S. B. Exact constants in Jackson-type inequalities for the best mean square approximation in L2(\BbbR ) and
exact values of mean \nu -widths of the classes of functions // J. Math. Sci. – 2017. – 224, № 4. – P. 582 – 603.
6. Runovski K., Schmeisser H-J. On modulus of continuity related to Riesz derivative. – Jena, 2011. – (Preprint /
Friedrich-Schiller-Univ. Jena).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
ОБОБЩЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГЛАДКОСТИ И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ . . . 1373
7. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – 6-е изд. – М.: Физматгиз, 1959. – 431 с.
8. Artamonov S. Yu. Nonperiodic modulus of smoothness corresponding to the Riesz derivative // Math. Notes. – 2016. –
99, № 6. – P. 928 – 931.
9. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1977. – 456 с.
10. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. – 3-е изд. – М.: Наука, 1974. – 480 с.
11. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев С. И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 798 с.
12. Тихомиров В. М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций многих переменных // Теория
кубатурных формул и вычислительная математика. – Новосибирск: Наука, 1980. – С. 183 – 188.
13. Ding Zung, Magaril-Il’Yaev G. G. Problems of Bernstein and Favard types and the mean \varepsilon -dimensionality of some
function classes // Dokl. Akad. Nauk SSSR. – 1979. – 249, № 4. – P. 783 – 786.
14. Ding Zung. Mean \varepsilon -dimension of the functional class BG,p // Math. Notes. – 1980. – 28, № 5. – P. 818 – 823.
15. Ле Чыонг Тунг. Средняя \varepsilon -размерность класса функций, имеющих носитель преобразования Фурье, содержа-
щийся в заданном множестве // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. – 1980. – № 5. – С. 44 – 49.
16. Magaril-Il’Yaev G. G. Mean dimension and widths of classes of functions on the line // Soviet Math. Dokl. – 1991. –
43, № 3. – P. 661 – 665.
17. Magaril-Il’Yaev G. G. Mean dimension, widths and optimal recovery of Sobolev classes of functions on the line //
Math. USSR-Sb. – 1993. – 74, № 2. – P. 381 – 403.
18. Vakarchuk S. B. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 -approximation on the line and exact values
of mean widths of functional classes // East J. Approxim. – 2004. – 10, № 1-2. – P. 27 – 39.
19. Vakarchuk S. B., Doronin V. G. Best mean square approximations by entire functions of finite degree on a straight
line and exact values of mean widths of functional classes // Ukr. Math. J. – 2011. – 62, № 8. – P. 1199 – 1212.
20. Vakarchuk S. B. Best mean-square approximation of functions defined on the real axis by entire functions of
exponential type // Ukr. Math. J. – 2012. – 64, № 5. – P. 680 – 692.
21. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. I // J. Math. Sci. –
2013. – 188, № 2. – P. 146 – 166.
22. Vakarchuk S. B. On some extremal problems of approximation theory of functions on the real axis. II // J. Math.
Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 613 – 630.
23. Шабозов М. Ш., Юсупов Г. А. О точных значениях средних \nu -поперечников некоторых классов целых функций
// Тр. ин-та математики и механики УрО РАН. – 2012. – 18, № 4. – С. 315 – 327.
24. Юсупов Г. А. О наилучших среднеквадратических приближениях на всей оси целыми функциями экспонен-
циального типа // Докл. АН Республики Таджикистан. – 2013. – 56, № 3. – С. 192 – 195.
25. Vakarchuk S. B. Jackson-type inequalities for the special moduli of continuity on the entire real axis and the exact
values of mean \nu -widths for the classes of functions in the space L2(\BbbR ) // Ukr. Math. J. – 2014. – 66, № 6. –
P. 827 – 856.
26. Vakarchuk S. B. Best mean-square approximations by entire functions of exponential type and mean \nu -widths of
classes of functions on the line // Math. Notes. – 2014. – 96, № 6. – P. 878 – 896.
27. Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh., Langarshoev M. R. On the best mean square approximations by entire functions
of exponential type in L2(\BbbR ) and mean \nu -widths of some functional classes // Russian Math. – 2014. – 58, № 7. –
P. 25 – 41.
28. Vakarchuk S. B. Mean square approximation of function classes, given on the all real axis \BbbR by the entire functions
of exponential type // Int. J. Adv. Math. – 2016. – 6. – P. 1 – 12.
29. Vakarchuk S. B. On the moduli of continuity and fractional-order derivatives in the problems of best mean-square
approximations by entire functions of the exponential type on the entire real axis // Ukr. Math. J. – 2017. – 69, № 5. –
P. 599 – 623.
Получено 22.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1640 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:42Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ce/c7b93e8dd810286040c7ae6357f417ce.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16402019-12-05T09:21:55Z Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. II Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. In the second part of the paper, we establish the exact Jackson-type inequalities for the characteristic of smoothness $\Lambda^w$ on the classes of functions $L^{\alpha}_2 (R)$ defined by the fractional derivatives of order $\alpha \in (0,\infty )$ in the space $L_2(R)$. The exact values of the mean $\nu$ -widths for the classes of functions, defined by the generalized characteristics of smoothness $\omega w$ and $\Lambda w$ are also computed in $L_2(R)$. У просторi $L_2(R)$ на класах функцiй $L^{\alpha}_2 (R)$, означених за допомогою похiдних дробового порядку $\alpha \in (0,\infty )$, отримано точнi нерiвностi типу Джексона для характеристики гладкостi $\Lambda^w$, а також обчислено точнi значення середнiх $\nu$ -поперечникiв класiв функцiй, означених за допомогою узагальнених характеристик гладкостi $\omega^w$ та $\Lambda^w$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1640 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1345-1373 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1345-1373 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1640/622 Copyright (c) 2018 Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, S. B. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, С. Б. Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title | Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title_alt | Обобщенные характеристики гладкости и некоторые экстремальные задачи
теории аппроксимации функций в пространстве $L_2 (R)$. II |
| title_full | Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title_fullStr | Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title_full_unstemmed | Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title_short | Generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $L_2 (R)$. II |
| title_sort | generalized characteristics of smoothness and some extreme problems of the
approximation theory of functions in the space $l_2 (r)$. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1640 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2rii AT vakarčuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2rii AT vakarčuksb generalizedcharacteristicsofsmoothnessandsomeextremeproblemsoftheapproximationtheoryoffunctionsinthespacel2rii AT vakarchuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2rii AT vakarčuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2rii AT vakarčuksb obobŝennyeharakteristikigladkostiinekotoryeékstremalʹnyezadačiteoriiapproksimaciifunkcijvprostranstvel2rii |