Nonlocal boundary-value problem for a second-order partial differential equation in an unbounded strip
The conditions of well-posedness of a nonlocal boundary-value problem are established for a second-order linear partial differential equation in an unbounded strip in the case where the real parts of the roots of its characteristic equation are different and nonzero.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1641 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507463935066112 |
|---|---|
| author | Il'kiv, V. S. Volyanska, I. I. Symotyuk, M. M. Ільків, В. С. Волянська, І. І. Симотюк, М. М. |
| author_facet | Il'kiv, V. S. Volyanska, I. I. Symotyuk, M. M. Ільків, В. С. Волянська, І. І. Симотюк, М. М. |
| author_sort | Il'kiv, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | The conditions of well-posedness of a nonlocal boundary-value problem are established for a second-order linear partial
differential equation in an unbounded strip in the case where the real parts of the roots of its characteristic equation are
different and nonzero. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.95
I. I. Волянська, В. С. Iлькiв (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”),
М. М. Симотюк (Iн-т прикл. проблем механiки i математики НАН України, Львiв)
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ
ДРУГОГО ПОРЯДКУ В НЕОБМЕЖЕНIЙ СМУЗI
The conditions of well-posedness of a nonlocal boundary-value problem are established for a second-order linear partial
differential equation in an unbounded strip in the case where the real parts of the roots of its characteristic equation are
different and nonzero.
Встановлено умови коректної розв’язностi в необмеженiй за просторовою змiнною смузi задачi з нелокальними
умовами для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними другого порядку, коренi характеристичного рiвняння якого
мають рiзнi ненульовi дiйснi частини.
1. Вступ. Останнiм часом дослiдженню задач з нелокальними умовами для диференцiальних
рiвнянь iз частинними похiдними придiляється велика увага. Це пов’язано з тим, що такi задачi
є моделями процесiв поширення тепла, вологопереносу у капiлярно-пористих середовищах,
дифузiї частинок у турбулентнiй плазмi, обернених задач, а також задач математичної бiологiї
[3, 11, 12, 18]. Крiм того, iнтерес до вивчення задач iз нелокальними умовами для рiвнянь iз
частинними похiдними зумовлений потребою побудови загальної теорiї крайових задач.
У роботах [7, 8, 10, 13, 17] встановлено умови коректної розв’язностi задач iз нелокальними
умовами для окремих видiв рiвнянь та систем рiвнянь iз частинними похiдними. Що стосу-
ється рiвнянь загального вигляду, то нелокальнi задачi для них можуть виявитися некоректними.
Зокрема, дослiдження задач iз нелокальними умовами для гiперболiчних рiвнянь в обмежених
областях пов’язане з проблемою малих знаменникiв [1, 6, 9, 15]. Ця проблема полягає у тому,
що знаменники коефiцiєнтiв рядiв, якими зображуються розв’язки нелокальних задач, можуть
бути як завгодно малими; це спричиняє розбiжнiсть вказаних рядiв у вiдповiдних функцiональ-
них просторах. Для розв’язання проблеми малих знаменникiв у роботах [4, 5, 14, 16, 22, 23]
використано метричний пiдхiд та результати метричної теорiї чисел. На пiдставi метричного
пiдходу встановлено, що для майже всiх (щодо мiри Лебега) параметрiв нелокальних задач ви-
конуються оцiнки знизу для малих знаменникiв, якi забезпечують збiжнiсть рядiв — розв’язкiв
задач у просторах степеневого або експоненцiального типу.
Оберненi задачi з нелокальними умовами для лiнiйного параболiчного рiвняння другого
порядку з однiєю просторовою змiнною дослiджено у роботi [3].
Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними похiдними зi сталими та змiнними
коефiцiєнтами вивчаються також i у необмежених областях. Зокрема, для конструктивної побу-
дови розв’язкiв нелокальних задач у працях [24 – 26] застосовано диференцiально-символьний
метод вiдокремлення змiнних. У працях [2, 19, 20] встановлено умови коректної розв’язностi
у смузi \{ (t, x) : t \in (0, T ), x \in \BbbR n\} нелокальних задач у класах функцiй скiнченної гладкостi зi
степеневим зростанням при | x| \rightarrow +\infty . Значну роль при доведеннi цих умов вiдiграє теорема
Зайденберга – Тарського та її наслiдки про структуру напiвалгебрaїчних множин у \BbbR n (див.,
наприклад, додаток A у [21]).
У данiй роботi видiлено клас рiвнянь другого порядку iз частинними похiдними зi стали-
ми коефiцiєнтами, для яких встановлено умови однозначної розв’язностi нелокальних задач у
c\bigcirc I. I. ВОЛЯНСЬКА, В. С. IЛЬКIВ, М. М. СИМОТЮК, 2018
1374 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ . . . 1375
просторах Соболєва. Цей клас рiвнянь описується тим, що коренi характеристичного много-
члена мають рiзнi ненульовi дiйснi частини. Для таких рiвнянь проведено аналiз оцiнок знизу
характеристичних визначникiв нелокальних задач для звичайних диференцiальних рiвнянь,
одержаних при застосуваннi перетворення Фур’є. Наведено приклади нелокальних задач, якi
iлюструють отриманi результати.
2. Основнi умовнi позначення. Будемо використовувати такi позначення: \Pi (T ) = \{ (t, x) \in
\in \BbbR 2 : t \in (0, T ), x \in \BbbR \} , T > 0, \bfH \alpha , \alpha \geq 0, — класичний простiр Соболєва, який складається
з таких функцiй \varphi \in L2(\BbbR ), для яких (1 + \xi 2)\alpha /2 \~\varphi (\xi ) \in L2(\BbbR ), де \~\varphi (\xi ) — перетворення Фур’є
функцiї \varphi (x):
\~\varphi (\xi ) =
1\surd
2\pi
+\infty \int
- \infty
\varphi (x)e - ix\xi dx.
Норма у просторi \bfH \alpha визначається рiвнiстю
\| \varphi (x);H\alpha \| =
\sqrt{} 1
2\pi
+\infty \int
- \infty
| \~\varphi (\xi )| 2 (1 + \xi 2)\alpha d\xi .
Через Cn([0, T ],\bfH \alpha ), \alpha \geq n, n \in \BbbN , позначимо простiр таких функцiй u(t, x) : \Pi (T ) \rightarrow \BbbC ,
що похiднi \partial ru(t, x)/\partial tr, r = 0, 1, . . . , n, для кожного t \in [0, T ] належать простору \bfH \alpha - r
вiдповiдно i неперервнi на [0, T ] за змiнною t у цих просторах. Норму в просторi Cn([0, T ],\bfH \alpha )
визначаємо за формулою
\| u;Cn([0, T ],\bfH \alpha )\| =
n\sum
r=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial ru(t, \cdot )
\partial tr
;\bfH \alpha - r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| .
3. Формулювання задачi. В областi \Pi (T ) для рiвняння
L
\biggl(
\partial
\partial t
,
\partial
\partial x
\biggr)
u(t, x) \equiv \partial 2u(t, x)
\partial t2
+
+a1
\partial 2u(t, x)
\partial t\partial x
+ a2
\partial 2u(t, x)
\partial x2
= 0, (t, x) \in \Pi (T ), (3.1)
де a1, a2 \in \BbbC , розглянемо задачу з нелокальними умовами
b1u(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+ c1u(t, x)
\bigm| \bigm| \bigm|
t=T
= \varphi 1(x), x \in \BbbR ,\biggl(
b2
\partial u
\partial t
+ b3
\partial u
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
+
\biggl(
c2
\partial u
\partial t
+ c3
\partial u
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=T
= \varphi 2(x), x \in \BbbR ,
(3.2)
де bj , cj \in \BbbC , j = 1, 2, 3. Будемо припускати, що рiвняння (3.1) є таким, що коренi \lambda 1, \lambda 2
многочлена L(\lambda , i) = 0 задовольняють умову
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 \not = \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2, \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 \not = 0, \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 \not = 0. (3.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1376 I. I. ВОЛЯНСЬКА, В. С. IЛЬКIВ, М. М. СИМОТЮК
Вважатимемо, що нумерацiя коренiв \lambda 1, \lambda 2 є такою, що \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2. Умова (3.3) виконується,
наприклад, якщо a1 = 0, a2 = 1, i порушується, якщо a1 = 0, a2 = - 1. У першому випадку
рiвняння (3.1) є рiвнянням Лапласа, у другому — рiвнянням малих коливань струни.
Крiм того, будемо припускати, що виконуються умови
b1b2 \not = 0, c1c2 \not = 0,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| b1 c1
b2\lambda 3 - q + ib3 c2\lambda q + ic3
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \not = 0, q = 1, 2. (3.4)
Означення 3.1. Задачу (3.1), (3.2) будемо називати (\alpha 1, \alpha 2;\alpha )-коректною (\alpha 1, \alpha 2 \geq 0, \alpha \geq
\geq 2), якщо для довiльних \varphi 1 \in \bfH \alpha 1 , \varphi 2 \in \bfH \alpha 2 у просторi C2([0, T ],\bfH \alpha ) iснує єдина функцiя
u(t, x), яка справджує рiвняння (3.1), умови (3.2) i виконується нерiвнiсть
\| u;C2([0, T ],\bfH \alpha )\| \leq C (\| \varphi 1;\bfH \alpha 1\| + \| \varphi 2;\bfH \alpha 2\| ) ,
де стала C > 0 не залежить вiд вибору функцiй \varphi 1(x), \varphi 2(x).
Метою даної роботи є встановлення умов, при виконаннi яких задача (3.1), (3.2) є (\alpha 1, \alpha 2;\alpha )-
коректною. Цi умови наведено в теоремi 5.1, яка є основним результатом роботи.
4. Побудова формального розв’язку. Нехай \~u(t, \xi ), \~\varphi 1(\xi ), \~\varphi 2(\xi ) — перетворення Фур’є за
змiнною x функцiй u(t, x), \varphi 1(x), \varphi 2(x) вiдповiдно. Застосовуючи до рiвняння (3.1) та умов
(3.2) перетворення Фур’є, отримуємо, що функцiя \~u(t, \xi ) є розв’язком нелокальної задачi з
параметром \xi \in \BbbR :
d2\~u(t, \xi )
dt2
+ a1(i\xi )
d\~u(t, \xi )
dt
+ a2(i\xi )
2\~u(t, \xi ) = 0, (4.1)
b1\~u(0, \xi ) + c1\~u(T, \xi ) = \~\varphi 1(\xi ),
b2\~ut(0, \xi ) + b3(i\xi )\~u(0, \xi ) + c2\~ut(T, \xi ) + c3(i\xi )\~u(T, \xi ) = \~\varphi 2(\xi ).
(4.2)
Нехай f1(t, \xi ), f2(t, \xi ) — така фундаментальна система розв’язкiв диференцiального рiвнян-
ня (4.1), що f
(j - 1)
q (0, \xi ) = \delta j,q, j, q = 1, 2, де \delta j,q — символ Кронекера. Зауважимо, що функцiї
f1(t, \xi ), f2(t, \xi ) є аналiтичними за змiнними t, \xi .
Розв’язок задачi (4.1), (4.2) зображується формулою
\~u(t, \xi ) = C1(\xi )f1(t, \xi ) + C2(\xi )f2(t, \xi ),
де сталi C1(\xi ), C2(\xi ) є розв’язками системи лiнiйних рiвнянь
(b1 + c1f1(T, \xi ))C1(\xi ) + c1f2(T, \xi )C2(\xi ) = \~\varphi 1(\xi ),\bigl(
b3(i\xi ) + c2f
\prime
1(T, \xi ) + c3(i\xi )f1(T, \xi )
\bigr)
C1(\xi )+
+
\bigl(
b2 + c2f
\prime
2(T, \xi ) + c3(i\xi )f2(T, \xi )
\bigr)
C2(\xi ) = \~\varphi 2(\xi ).
(4.3)
Позначимо через \Delta (\xi ) визначник системи (4.3):
\Delta (\xi ) =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| b1 + c1f1(T, \xi ) c1f2(T, \xi )
i\xi b3+c2f
\prime
1(T, \xi )+i\xi c3f1(T, \xi ) b2+c2f
\prime
2(T, \xi )+i\xi c3f2(T, \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Зауважимо, що \Delta (0) = (b1 + c1)(b2 + c2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ . . . 1377
Якщо виконується умова
\Delta (\xi ) \not = 0 \forall \xi \in \BbbR , (4.4)
то задача (4.1), (4.2) має єдиний розв’язок
\~u(t, \xi ) =
2\sum
j,q=1
\Delta j,q(\xi )
\Delta (\xi )
fq(t, \xi ) \~\varphi j(\xi ),
де \Delta j,q(\xi ) — алгебраїчне доповнення елемента, що стоїть на перетинi j -го рядка та q-го стовпця
у визначнику \Delta (\xi ).
Наведемо приклади задач, для яких умова (4.4) виконується або порушується.
Приклад 4.1. Визначник \Delta (\xi ) задачi з нелокальними умовами
u(0, x) + u(T, x) = \varphi 1(x), ut(0, x) + ut(T, x) = \varphi 2(x)
для рiвняння Лапласа
\partial 2u(t, x)
\partial t2
+
\partial 2u(t, x)
\partial x2
= 0 (4.5)
обчислюється за формулою
\Delta (\xi ) = 4 \mathrm{c}\mathrm{h}2
\xi T
2
. (4.6)
Оскiльки, \mathrm{c}\mathrm{h}
\xi T
2
\geq 1 для всiх \xi \in \BbbR \setminus \{ 0\} , то з формули (4.6) випливає, що для задачi (3.2), (4.5)
умова (4.4) виконується, бо \Delta (\xi ) \geq 4, \xi \in \BbbR .
Приклад 4.2. Якщо коренi \lambda 1, \lambda 2 многочлена L(\lambda , i) є дiйсними, то для кожного \xi \in \BbbR
визначник \Delta (\xi ) задачi з умовами
\mu u(0, x) + u(T, x) = \varphi 1(x), \mu ut(0, x) + ut(T, x) = \varphi 2(x)
є вiдмiнним вiд нуля, якщо \mu \geq 0. Дiйсно, визначник \Delta (\xi ) цiєї задачi обчислюється за форму-
лою
\Delta (\xi ) =
\left\{ (e\lambda 1\xi T + \mu )(e\lambda 2\xi T + \mu ), \xi \not = 0,
(\mu + 1)2, \xi = 0.
(4.7)
Оскiльки (e\lambda 1\xi T + \mu ) > \mu , (e\lambda 2\xi T + \mu ) > \mu для всiх \xi \in \BbbR \setminus \{ 0\} , то з формули (4.7) випливає,
що при \mu \geq 0 для задачi (3.2), (4.5) умова (4.4) виконується, бо \Delta (\xi ) > 0, \xi \in \BbbR .
5. Умови коректностi задачi. Дослiдимо питання про належнiсть функцiї
u(t, x) =
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
\~u(t, \xi )eix\xi d\xi =
1\surd
2\pi
\infty \int
- \infty
2\sum
j,q=1
\Delta j,q(\xi )
\Delta (\xi )
fq(t, \xi ) \~\varphi j(\xi )e
ix\xi d\xi (5.1)
простору C2([0, T ],\bfH \alpha ), якщо \Delta (\xi ) \not = 0 i \varphi 1, \varphi 2 належать шкалi просторiв Соболєва \bfH \beta ,
\beta \geq 0. Для цього встановимо оцiнки для функцiй \~u(t, \xi ) та їхнiх похiдних по t до порядку 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1378 I. I. ВОЛЯНСЬКА, В. С. IЛЬКIВ, М. М. СИМОТЮК
включно. Зауважимо, що
\~u(t, \xi ) = T1(t, \xi ) \~\varphi 1(\xi ) + T2(t, \xi ) \~\varphi 2(\xi ), (5.2)
де
T1(t, 0) =
1
b1 + c1
, T2(t, 0) = - c1T
(b1 + c1)(b2 + c2)
+
t
b2 + c2
,
T1(t, \xi ) =
\Gamma 1,1(\xi )e
\lambda 1\xi t + \Gamma 1,2(\xi )e
\lambda 2\xi t
\Gamma (\xi )
, \xi \not = 0,
T2(t, \xi ) =
\Gamma 2,1(\xi )e
\lambda 1\xi t + \Gamma 2,2(\xi )e
\lambda 2\xi t
\Gamma (\xi )
, \xi \not = 0,
\Gamma (\xi ), \xi \not = 0, обчислюється за формулою\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| b1 + c1e
\lambda 1\xi T b1 + c1e
\lambda 2\xi T
b2\lambda 1\xi +b3i\xi +(c2\lambda 1\xi +c3i\xi )e
\lambda 1\xi T b2\lambda 2\xi +b3i\xi +(c2\lambda 2\xi +c3i\xi )e
\lambda 2\xi T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
\Gamma j,q(\xi ), j, q = 1, 2, \xi \not = 0, — алгебраїчне доповнення елемента, що стоїть на перетинi j -го рядка
та q-го стовпця у визначнику \Gamma (\xi ).
Зазначимо, що \Gamma (\xi ) = (\lambda 2 - \lambda 1)\xi \Delta (\xi ), \xi \not = 0, тому умови \Delta (\xi ) \not = 0 та \Gamma (\xi ) \not = 0 при \xi \not = 0
є рiвносильними.
Лема 5.1. Нехай 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2. Тодi виконуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Gamma j,q(\xi )
\Bigl(
e\lambda q\xi t
\Bigr) (r)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left\{ C1(1 + | \xi | )r+2 - jeRe (\lambda 1+\lambda 2)\xi T , \xi > 0,
C2(1 + | \xi | )r+2 - j , \xi < 0,
де j, q = 1, 2, r = 0, 1, 2.
Доведення. Оскiльки при 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 i q = 1, 2 виконуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
| e\lambda q\xi t| \leq
\Biggl\{
eRe\lambda q\xi T , \xi > 0,
1, \xi < 0,
то, враховуючи, що
\Gamma 2,q(\xi ) = ( - 1)q(b1 + c1e
\lambda 3 - q\xi T ), q = 1, 2,
\Gamma 1,q(\xi ) = ( - 1)q - 1(b2\lambda 3 - q\xi + b3i\xi + (c2\lambda 3 - q\xi + c3i\xi )e
\lambda 3 - q\xi T ), q = 1, 2,
для досить великих | \xi | отримуємо
| \Gamma j,q(\xi )| \leq
\left\{ C3(1 + | \xi | )2 - jeRe\lambda 3 - q\xi T , q = 1, 2, \xi > 0,
C3(1 + | \xi | )2 - j , q = 1, 2, \xi < 0.
Отже, для j, q = 1, 2, r = 0, 1, 2 маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \Gamma j,q(\xi ) (\lambda q\xi )
r e\lambda q\xi t
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C4(1 + | \xi | )r+2 - jeRe (\lambda 3 - q+\lambda q)\xi T , \xi > 0,
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \Gamma j,q(\xi ) (\lambda q\xi )
r e\lambda q\xi t
\bigm| \bigm| \bigm| \leq C4(1 + | \xi | )r+2 - j , \xi < 0.
Лему доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ . . . 1379
Лема 5.2. Нехай \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 < 0. Тодi виконуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Gamma j,q(\xi )
\Bigl(
e\lambda q\xi t
\Bigr) (r)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left\{ C5(1 + | \xi | )r+2 - j , \xi > 0,
C5(1 + | \xi | )r+2 - jeRe (\lambda 1+\lambda 2)\xi T , \xi < 0,
де j, q = 1, 2, r = 0, 1, 2.
Лема 5.3. Нехай \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2. Тодi виконуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Gamma j,q(\xi )
\Bigl(
e\lambda q\xi t
\Bigr) (r)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\left\{ C6(1 + | \xi | )r+2 - jeRe\lambda 2\xi T , \xi > 0,
C6(1 + | \xi | )r+2 - jeRe\lambda 1\xi T , \xi < 0,
де j, q = 1, 2, r = 0, 1, 2.
Доведення лем 5.2 та 5.3 проводиться аналогiчно доведенню леми 5.1.
Лема 5.4. Нехай 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 i виконується умова (3.4). Тодi iснує таке число
R1 > 0, що для всiх \xi , | \xi | > R1, виконується оцiнка
| \Gamma (\xi )| \geq
\left\{ C7(1 + | \xi | )eRe (\lambda 1+\lambda 2)\xi T , \xi > R1,
C7(1 + | \xi | ), \xi < - R1.
(5.3)
Доведення. Визначник \Gamma (\xi ) є квазiмногочленом за змiнною \xi i має вигляд
\Gamma (\xi ) = b1b2\xi (\lambda 2 - \lambda 1) + \xi e\lambda 1\xi T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| c1 b1
c2\lambda 1 + c3i b2\lambda 2 + b3i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+\xi e\lambda 2\xi T
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| b1 c1
b2\lambda 1 + b3i c2\lambda 2 + c3i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + c1c2\xi (\lambda 2 - \lambda 1)e
(\lambda 1+\lambda 2)\xi T , (5.4)
показники експонент якого дорiвнюють числам 0, \lambda 1T, \lambda 2T, (\lambda 1+\lambda 2)T. Оскiльки 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 <
< \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2, то при \xi > 0 домiнуючим доданком у формулi (5.4) є доданок c1c2\xi (\lambda 2 - \lambda 1)e
(\lambda 1+\lambda 2)\xi T ,
а при \xi < 0 — доданок b1b2\xi (\lambda 2 - \lambda 1).
Враховуючи умови (3.4), отримуємо оцiнку (5.3).
Доведення наступних двох лем є аналогiчним доведенню леми 5.4.
Лема 5.5. Нехай \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 < 0 i виконується умова (3.4). Тодi iснує таке число
R2 > 0, що для всiх \xi , | \xi | > R2, виконується оцiнка
| \Gamma (\xi )| \geq
\left\{ C8(1 + | \xi | ), \xi > R2,
C8(1 + | \xi | )eRe (\lambda 1+\lambda 2)\xi T , \xi < - R2.
Лема 5.6. Нехай \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 1 < 0 < \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda 2 i виконується умова (3.4). Тодi iснує таке число
R3 > 0, що для всiх \xi , | \xi | > R3, виконується оцiнка
| \Gamma (\xi )| \geq
\left\{ C9(1 + | \xi | )eRe\lambda 2\xi T , \xi > R3,
C9(1 + | \xi | )eRe\lambda 1\xi T , \xi < - R3.
Тепер ми можемо встановити основний результат про iснування єдиного розв’язку задачi
(3.1), (3.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1380 I. I. ВОЛЯНСЬКА, В. С. IЛЬКIВ, М. М. СИМОТЮК
Теорема 5.1. Якщо виконуються умови (3.3), (3.4), (4.4), то для всiх \alpha \geq 2, \alpha 1 \geq \alpha ,
\alpha 2 \geq \alpha - 1 задача (3.1), (3.2) є (\alpha 1, \alpha 2;\alpha )-коректною.
Доведення. Оскiльки справджуються умови (3.3), (3.4), то з формули (5.2) та з лем 5.1 – 5.6
випливає, що iснує число R4 > 0 таке, що для всiх \xi , | \xi | > R4, виконуються оцiнки
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| drTj(t, \xi )
dtr
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C10(1 + | \xi | )r+1 - j , j = 1, 2, r = 0, 1, 2. (5.5)
Згiдно з умовою (4.4), визначник \Delta (\xi ) вiдмiнний вiд нуля для всiх \xi \in \BbbR . Оскiльки \Delta (\xi ) є
неперервною функцiєю параметра \xi , то iснує така стала C11 > 0, що | \Delta (\xi )| \geq C11 > 0 для
всiх \xi \in [ - R4;R4]. Тому оцiнки (5.5) справджуються i для | \xi | \leq R4.
Тодi з формул (5.1), (5.2), (5.5) маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial ru(t, x)
\partial tr
;\bfH \alpha - r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2\leq C12
\infty \int
- \infty
| \~\varphi 1(\xi )| 2 (1 + | \xi | )2r(1 + | \xi | )2\alpha - 2rd\xi +
+C13
\infty \int
- \infty
| \~\varphi 2(\xi )| 2 (1 + | \xi | )2r - 2(1 + | \xi | )2\alpha - 2rd\xi =
= C12
\infty \int
- \infty
| \~\varphi 1(\xi )| 2 (1 + | \xi | )2\alpha d\xi + C13
\infty \int
- \infty
| \~\varphi 2(\xi )| 2 (1 + | \xi | )2\alpha - 2d\xi =
= 2\pi C12 \| \varphi 1(x);\bfH \alpha \| 2 + 2\pi C13 \| \varphi 2(x);\bfH \alpha - 1\| 2 , r = 0, 1, 2. (5.6)
Iз оцiнок (5.6) та означення норми у просторi C2([0, T ],\bfH \alpha ) отримуємо нерiвностi
\| u(t, x);C2([0, T ],\bfH \alpha )\| =
2\sum
r=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
t\in [0,T ]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \partial ru(t, x)/\partial tr;\bfH \alpha - r
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq C14\| \varphi 1(x);\bfH \alpha 1\| + C14\| \varphi 2(x);\bfH \alpha 2\| ,
якi справджуються у випадку, коли \alpha 1 \geq \alpha , \alpha 2 \geq \alpha - 1.
Теорему доведено.
Зауважимо, що теорема 5.1 залишається iстинною i для випадку, коли показники \alpha 1, \alpha 2, \alpha
є вiд’ємними, важливим є збереження нерiвностей \alpha 1 \geq \alpha , \alpha 2 \geq \alpha - 1.
Висновки. Отриманi у статтi результати можна перенести на випадок задач iз нелокаль-
ними умовами для рiвнянь iз молодшими членами та рiвнянь порядку вищого за 2.
Лiтература
1. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике
// Успехи мат. наук. – 1963. – 18, вып. 6, № 114. – С. 91 – 192.
2. Борок В. М., Фардигола Л. В. Нелокальные корректные краевые задачи в слое // Мат. заметки. – 1990. – 8,
№ 1. – C. 20 – 25.
3. Iванчов М. I. Оберненi задачi теплопровiдностi з нелокальними умовами // Доп. НАН України. – 1997. – № 5. –
С. 15 – 21.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
НЕЛОКАЛЬНА ЗАДАЧА ДЛЯ РIВНЯННЯ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ . . . 1381
4. Iлькiв В. С. Нелокальная краевая задача для уравнений в частных производных бесконечного порядка // Укр.
мат. журн. – 1983. – 35, № 4. – С. 498 – 502.
5. Iлькiв В. С., Пташник Б. Й. Задачi з нелокальними умовами для рiвнянь iз частинними похiдними. Метричний
пiдхiд до проблеми малих знаменникiв // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 12. – С. 1624 – 1650.
6. Колмогоров А. Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН СССР. – 1953. –
93, № 5. – C. 763 – 766.
7. Мамян А. Х. Общие граничные задачи в слое // Докл. АН СССР. – 1982. – 267, № 2. – С. 292 – 296.
8. Матiйчук М. I. Про нелокальну параболiчну крайову задачу // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 3. – С. 362 – 367.
9. Мозер Ю. Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // Успехи мат.
наук. – 1963. – 23. – С. 179 – 238.
10. Нахушев А. М. Методика постановки корректных задач для линейных гиперболических уравнений второго
порядку на плоскости // Дифференц. уравнения. – 1970. – 6, № 1. – С. 192 – 195.
11. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и
его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 1. –
С. 72 – 81.
12. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
13. Нахушев А. М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с нагруженными уравнениями // Дифференц.
уравнения. – 1995. – 21, № 1. – С. 95 – 101.
14. Пташник Б. Й., Власiй О. Д. Нелокальна крайова задача для лiнiйних рiвнянь iз частинними похiдними, не
розв’язних вiдносно старшої похiдної за часом // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 3. – С. 370 – 381.
15. Пташник Б. Й., Iлькiв В. С., Кмiть I. Я., Полiщук В. М. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь з частинними
похiдними. – Київ: Наук. думка, 2002. – 416 с.
16. Савка I. Я. Нелокальна задача iз залежними коефiцiєнтами в умовах для рiвняння другого порядку за часовою
змiнною // Карпат. мат. публ. – 2010. – 2, № 2. – C. 101 – 110.
17. Савченко Г. Б. О корректности одной нелокальной краевой задачи // Дифференц. уравнения. – 1985. – 21, № 8. –
С. 1450 – 1453.
18. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. –
1980. – 16, № 11. – С. 1925 – 1935.
19. Фардигола Л. В. Нелокальная краевая задача в слое для эволюционного уравнения второго порядка по вре-
менной переменной // Дифференц. уравнения. – 1995. – 31, № 4. – C. 662 – 671.
20. Фардигола Л. В. О нелокальной двухточечной краевой задаче в слое для уравнения с переменными коэффи-
циентами // Сиб. мат. журн. – 1997. – 38, № 2. – C. 424 – 438.
21. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов: В 4 т. – М.: Мир, 1986. – Т. 2. – 456 с.
22. Il’kiv V. S. Incorrect nonlocal boundary value problem for partial differential equations // North-Holland Math. Stud. –
2004. – 197(C). – P. 115 – 121.
23. Il’kiv V. S., Nytrebych Z. M., Pukach P. Y. Boundary-value problems with integral conditions for a system of Lame’
equations in the space of almost periodic functions // Electron. J. Different. Equat. – 2016. – 304.
24. Kalenyuk P. I., Kohut I. V., Nytrebych Z. M. Problem with nonlocal two-point condition in time for a homogeneous
partial differential equation of infinite order with respect to space variables // J. Math. Sci. – 2010. – 167, № 1. –
P. 1 – 15.
25. Kalenyuk P. I., Kohut I. V., Nytrebych Z. M. Problem with integral condition for a partial differential equation of the
first order with respect to time // J. Math. Sci. – 2012. – 181, № 3. – P. 293 – 304.
26. Malanchuk O., Nytrebych Z. Homogeneous two-point problem for PDE of the second order in time variable and
infinite order in spatial variables // Open Math. – 2017. – 15, № 1. – P. 101 – 110.
27. Nytrebych Z. M., Malanchuk O. M. The differential-symbol method of solving the two-point problem with respect to
time for a partial differential equation // J. Math. Sci. – 2017. – 224, № 4. – P. 541 – 554.
Одержано 01.12.17,
пiсля доопрацювання — 17.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1641 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:43Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7e/0dd80713b951bb4b5b2c10f67d3bdd7e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16412019-12-05T09:21:55Z Nonlocal boundary-value problem for a second-order partial differential equation in an unbounded strip Нелокальна задача для рівняння з частинними похідними другого порядку в необмеженій смузі Il'kiv, V. S. Volyanska, I. I. Symotyuk, M. M. Ільків, В. С. Волянська, І. І. Симотюк, М. М. The conditions of well-posedness of a nonlocal boundary-value problem are established for a second-order linear partial differential equation in an unbounded strip in the case where the real parts of the roots of its characteristic equation are different and nonzero. Встановлено умови коректної розв’язностi в необмеженiй за просторовою змiнною смузi задачi з нелокальними умовами для лiнiйного рiвняння з частинними похiдними другого порядку, коренi характеристичного рiвняння якого мають рiзнi ненульовi дiйснi частини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1641 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1374-1381 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1374-1381 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1641/623 Copyright (c) 2018 Il'kiv V. S.; Volyanska I. I.; Symotyuk M. M. |
| spellingShingle | Il'kiv, V. S. Volyanska, I. I. Symotyuk, M. M. Ільків, В. С. Волянська, І. І. Симотюк, М. М. Nonlocal boundary-value problem for a second-order partial differential equation in an unbounded strip |
| title | Nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| title_alt | Нелокальна задача для рівняння з частинними
похідними другого порядку в необмеженій смузі |
| title_full | Nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| title_fullStr | Nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| title_full_unstemmed | Nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| title_short | Nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| title_sort | nonlocal boundary-value problem for a second-order
partial differential equation in an unbounded strip |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1641 |
| work_keys_str_mv | AT il039kivvs nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT volyanskaii nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT symotyukmm nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT ílʹkívvs nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT volânsʹkaíí nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT simotûkmm nonlocalboundaryvalueproblemforasecondorderpartialdifferentialequationinanunboundedstrip AT il039kivvs nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí AT volyanskaii nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí AT symotyukmm nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí AT ílʹkívvs nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí AT volânsʹkaíí nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí AT simotûkmm nelokalʹnazadačadlârívnânnâzčastinnimipohídnimidrugogoporâdkuvneobmeženíjsmuzí |