Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of the plane orthotropy. II
For an algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega : c_k \in C, k = 1, 2\} , e_2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega$, over the field of complex numbers $C$, we сonsider arbitrary bases $(e, e_2)$, such that$e + 2pe^2_2 + e^4_2 = 0$ for any fixed $p > 1$. We study $B_0$ -valued “analytic” f...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1642 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507465286680576 |
|---|---|
| author | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_facet | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. |
| author_sort | Gryshchuk, S. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | For an algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega : c_k \in C, k = 1, 2\} , e_2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega$, over the field of complex numbers $C$, we сonsider arbitrary bases $(e, e_2)$, such that$e + 2pe^2_2 + e^4_2 = 0$ for any fixed $p > 1$. We study $B_0$ -valued “analytic” functions $\Phi (xe+ye_2) = U_1(x, y)e + U_2(x, y)ie + U_3(x, y)e_2 + U_4(x, y)ie_2$ such that their real-valued
components $U_k, k = 1, 4$, satisfy the equation for the stress function $u$ in the case of orthotropic plane deformations
$$\biggl( frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr)u(x, y) = 0,$$ here, $x$ and $y$ are real variables. All functions $\Phi$ for which $U_1 \equiv u$ are
described in the case of a simply connected domain. Particular solutions of the equilibrium system of equations in
displacements are found in the form of linear combinations of the components $U_k , k = 1, 4$, of the function $\Phi$ for some
plane orthotropic media. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5, 539.3
С. В. Грищук (Iн-т математики НАН України, Київ)
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ
З ОДИНИЦЕЮ ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ ПЛОСКОЇ ОРТОТРОПIЇ. II*
For an algebra \BbbB 0 := \{ c1e + c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , e2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega , over the field of complex
numbers \BbbC , we сonsider arbitrary bases (e, e2), such that e + 2pe22 + e42 = 0 for any fixed p > 1. We study \BbbB 0 -valued
“analytic” functions \Phi (xe + ye2) = U1(x, y)e + U2(x, y)ie + U3(x, y)e2 + U4(x, y)ie2 such that their real-valued
components Uk , k = 1, 4, satisfy the equation for the stress function u in the case of orthotropic plane deformations\biggl(
\partial 4
\partial x4
+ 2p
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0; here, x and y are real variables. All functions \Phi for which U1 \equiv u are
described in the case of a simply connected domain. Particular solutions of the equilibrium system of equations in
displacements are found in the form of linear combinations of the components Uk , k = 1, 4, of the function \Phi for some
plane orthotropic media.
Для алгебри \BbbB 0 = \{ c1e + c2\omega : ck \in \BbbC , k = 1, 2\} , e2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega , над полем комплексних чисел \BbbC
розглядаються базиси (e, e2) \in \BbbB 0 такi, що e+ 2pe22 + e42 = 0 для кожного фiксованого p > 1. Дослiджуються \BbbB 0 -
значнi „аналiтичнi” функцiї \Phi (xe+ye2) = U1(x, y)e+U2(x, y)ie+U3(x, y)e2+U4(x, y)ie2 такi, що їх дiйснозначнi
компоненти Uk, k = 1, 4, задовольняють рiвняння для знаходження функцiї напружень u у випадку плоских
ортотропних деформацiй
\biggl(
\partial 4
\partial x4
+ 2p
\partial 4
\partial x2\partial y2
+
\partial 4
\partial y4
\biggr)
u(x, y) = 0, де x, y — дiйснi змiннi. Описано всi функцiї \Phi ,
для яких U1 \equiv u у випадку однозв’язностi областi. Для певних випадкiв ортотропiї знайдено частковi розв’язки
системи рiвнянь рiвноваги у змiщеннях у виглядi лiнiйних комбiнацiй компонент Uk, k = 1, 4, функцiї \Phi .
Дана стаття є продовженням роботи [1] i має спiльнi з нею позначення, нумерацiю пунктiв та
формул.
7. Зображення розв’язку рiвняння (1) в обмеженiй однозв’язнiй областi у виглядi ком-
понент моногенних функцiй у площинi \bfitmu \pm . Нехай базис (e1, e2) \in B+
1 визначається випад-
ком (23) або (24), а D є обмеженою i однозв’язною областю декартової площини xOy.
Покажемо, що кожна функцiя u(x, y), яка задовольняє рiвняння (1) в областi D, є першою
компонентою U1(\Phi \pm ) деякої моногенної функцiї \Phi \pm у вiдповiднiй областi D\pm
\zeta , та опишемо всi
такi моногеннi функцiї.
Згiдно з теoремою 3, справджуються рiвностi
\Phi \pm (\zeta ) = (F1)\pm
\bigl(
Z\pm
1
\bigr)
I1 + (F2)\pm
\bigl(
Z\pm
2
\bigr)
I2 \forall \zeta \in D\pm
\zeta , (47)
де (Fk)\pm — деяка голоморфна функцiя комплексної змiнної Z\pm
k = x+ y\beta \pm
k в областi DZ\pm
k
при
k = 1, 2 вiдповiдно, при цьому \beta +
k i \beta -
k пов’язанi спiввiдношеннями (33). Зауважимо, що кожна
пара чисел (\beta +
1 , \beta
+
2 ), (\beta
-
1 , \beta
-
2 ) визначає два рiзнi не спряженi коренi рiвняння (9). Бiльш того,\bigl\{ \bigl(
\beta +
1 , \beta
+
2
\bigr) \bigr\}
=
\bigl\{
(s1, s2), (s2, s1)
\bigr\}
,
\bigl\{ \bigl(
\beta -
1 , \beta
-
2
\bigr) \bigr\}
=
\bigl\{
(s1, s2), (s2, s1)
\bigr\}
,
ker lp(s, 1) =
\bigl\{
\beta +
1 , \beta
+
2 , \beta
-
1 , \beta
-
2
\bigr\}
,
де sk, k = 1, 2, визначаються рiвностями (11).
* Частково пiдтримано грантом Мiнiстерства освiти i науки України (проект № 0116U001528) та грантом
№ 32/2018 мiж академiями наук України та Польщi (проект „Аналоги комплексного аналiзу у диференцiальних
рiвняннях, геометрiї та фiзичних застосуваннях”).
c\bigcirc С. В. ГРИЩУК, 2018
1382 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ . . . 1383
З урахуванням (38), (23) i (24) iдемпотентний базис (I1, I2) має такий розклад за базисом
(e1, e2) \in B\pm
1 :
Ik = \^\alpha \pm
k e1 +
\^\beta \pm
k e2, k = 1, 2, (48)
де
\^\alpha +
1 =
p2
p2 - p1
, \^\beta +
1 =
i
p2 - p1
, \^\alpha +
2 = - p1
p2 - p1
, \^\beta +
2 = - \^\beta +
1 , (49)
або
\^\alpha +
1 =
p1
p1 - p2
, \^\beta +
1 =
i
p1 - p2
, \^\alpha +
2 = - p2
p1 - p2
, \^\beta +
2 = - \^\beta +
1 , (50)
\^\alpha -
k = \^\alpha +
k ,
\^\beta -
k = - \^\beta +
k , k = 1, 2, (51)
де \^\alpha +
k ,
\^\beta +
k , k = 1, 2, визначаються так само, як i в (49) або (50).
Далi, замiнюючи, без обмеження загальностi, у рiвностi (47) функцiї F\pm
k
\bigl(
Z\pm
k
\bigr)
на
F\pm
k
\bigl(
Z\pm
k
\bigr)
\^\alpha \pm
k
,
k = 1, 2, i враховуючи при цьому спiввiдношення
\^\beta \pm
k
\^\alpha \pm
k
= \beta \pm
k , k = 1, 2, i (48), одержуємо
зображення моногенної функцiї \Phi \pm : D\pm
\zeta - \rightarrow \BbbB 0 у базисi (e1, e2) \in B\pm
1 :
\Phi \pm (\zeta ) =
\Bigl(
(F1)\pm
\bigl(
Z\pm
1
\bigr)
+ (F2)\pm
\bigl(
Z\pm
2
\bigr) \Bigr)
e1 +
\Bigl(
\beta \pm
1 (F1)\pm
\bigl(
Z\pm
1
\bigr)
+ \beta \pm
2 (F2)\pm
\bigl(
Z\pm
2
\bigr) \Bigr)
e2 \forall \zeta \in D\pm
\zeta .
(52)
Доведемо допомiжне твердження.
Лема 2. Будь-яка моногенна у D\pm
\zeta функцiя (\Phi 1,0)\pm := \Phi \pm з (26), перша компонента якої
U1
\bigl[
(\Phi 1,0)\pm
\bigr]
\equiv 0, має вигляд
(\Phi 1,0)\pm (\zeta ) = - \pm 2a i\sqrt{}
2(p+ 1)
\zeta 2 +
\Biggl(
k - \pm 2b\sqrt{}
2(p+ 1)
e2
\Biggr)
i\zeta + nie1 + ce2 +mie2, (53)
де a, b, c, k, m, n — довiльнi дiйснi сталi.
Доведення. Тотожнiсть
(\Phi 1,0)\pm (\zeta ) =
\Biggl(
- \pm 2\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigl(
a(x2 + y2) + by
\Bigr)
+ kx+ n
\Biggr)
ie1 +
\Bigl(
2ay2 + 2by + c
\Bigr)
e2+
+
\Biggl(
- \pm 2x\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigl(
2ay + b
\Bigr)
+ ky +m
\Biggr)
ie2 \forall \zeta \in D\pm
\zeta , (54)
де a, b, c, k, m, n — довiльнi дiйснi сталi, встановлюється аналогiчно доведенню леми 3
роботи [2] з урахуванням рiвностей (28) – (31).
Пiдставляючи у (54) рiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1384 С. В. ГРИЩУК
\bigl(
x2 + y2
\bigr)
e1 + 2xye2 = \zeta 2 - \pm i
\sqrt{}
2(p+ 1) y2 e2, ye1 + xe2 =
\Bigl(
\zeta - \pm i
\sqrt{}
2(p+ 1) y
\Bigr)
e2,
що є наслiдками спiввiдношень (12), (22), одержуємо рiвнiсть (53).
Лему 2 доведено.
Як вiдомо (див., наприклад, [3 – 6]), загальний розв’язок рiвняння (1) в областi D має вигляд
u(x, y) = Re
\bigl(
(F1)\pm
\bigl(
Z\pm
1
\bigr)
+ (F2)\pm
\bigl(
Z\pm
2
\bigr) \bigr)
\forall (x, y) \in D, (55)
де (Fk)\pm
\bigl(
Z\pm
k
\bigr)
, k = 1, 2, мають той же сенс, що i в (47).
Зафiксуємо u(x, y), тодi в рiвностi (52) з (\Phi u)\pm := \Phi \pm беремо тi ж (Fk)\pm
\bigl(
Z\pm
k
\bigr)
, k = 1, 2,
що i в (55). Як наслiдок, одержуємо рiвнiсть
U1
\bigl[
(\Phi u)\pm (\zeta )
\bigr]
= u(x, y) \forall \zeta \in D\pm
\zeta . (56)
Беручи до уваги лему 2 i рiвнiсть (56), одержуємо теорему, що описує всi моногеннi функцiї
\Phi \pm такi, що U1
\bigl[
\Phi \pm (\zeta )
\bigr]
= u(x, y).
Теорема 4. Кожна функцiя u(x, y), що задовольняє рiвняння (1) в обмеженiй i однозв’язнiй
областi декартової площини xOy, є першою компонентою U1
\bigl[
\Phi \pm (\zeta )
\bigr]
моногенної в D\pm
\zeta функцiї
\Phi \pm (\zeta ) = (\Phi u)\pm (\zeta ) + (\Phi 1,0)\pm (\zeta ) \forall \zeta \in D\pm
\zeta . (57)
8. Зображення змiщень у випадку плоскої ортотропiї через компоненти моногенних
функцiй. Для ортотропних плоских деформацiй, породжених узагальненим законом Гука (46)
з вiдповiдними тензорами напружень та деформацiй, функцiї змiщень u(x, y) i v(x, y) задо-
вольняють систему рiвнянь рiвноваги у випадку вiдсутностi масових сил (див. [4, c. 74] з
X = Y = Z = \rho = 0, де модулi пружностi одержуємо при ототожненнi коефiцiєнтiв систе-
ми (46) i системи (3.9) з [4, c. 26]):
1
1 - (a12)2
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+
1
2 (p - a12)
\partial 2u(x, y)
\partial y2
+
+
\biggl(
- a12
1 - (a12)2
+
1
2 (p - a12)
\biggr)
\partial 2v(x, y)
\partial x\partial y
= 0,
1
2 (p - a12)
\partial 2v(x, y)
\partial 2x2
+
1
1 - (a12)2
\partial 2v(x, y)
\partial y2
+
+
\biggl(
- a12
1 - (a12)2
+
1
2 (p - a12)
\biggr)
\partial 2u(x, y)
\partial x\partial y
= 0 \forall (x, y) \in D.
(58)
Нехай окрiм спiввiдношення (46) для a12 виконується нерiвнiсть
a12 \not = p -
\sqrt{}
p2 - 1. (59)
Тодi систему (58) записуємо в еквiвалентнiй формi
B11
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+B12
\partial 2u(x, y)
\partial y2
+
\partial 2v(x, y)
\partial x\partial y
= 0,
B21
\partial 2v(x, y)
\partial x2
+B22
\partial 2v(x, y)
\partial y2
+
\partial 2u(x, y)
\partial x\partial y
= 0 \forall (x, y) \in D,
(60)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ . . . 1385
де
B11 = B22 :=
2 (p - a12)
(a12)2 - 2pa12 + 1
, B12 = B21 :=
1 - (a12)
2
(a12)2 - 2pa12 + 1
. (61)
У роботi [7] стверджується, що у загальному випадку ортотропних плоских деформацiй
функцiї змiщень u i v задовольняють систему вигляду (60) з дiйсними Bmn, m, n = 1, 2, якi
визначаються узагальненим законом Гука для довiльного випадку плоскої ортотропiї. Проте
випадок (45) показує, що для нього крiм спiввiдношень (61) мiж пружними сталими Bmn,
m, n = 1, 2, повиннi виконуватися спiввiдношення (46), (59) для a12, при цьому (59) безпосе-
редньо не випливає з узагальненого закону Гука (45).
Розглянемо систему рiвнянь вигляду
\widetilde B11
\partial 2u(x, y)
\partial x2
+ \widetilde B12
\partial 2u(x, y)
\partial y2
+
\partial 2v(x, y)
\partial x\partial y
= 0,
\widetilde B21
\partial 2v(x, y)
\partial x2
+ \widetilde B22
\partial 2v(x, y)
\partial y2
+
\partial 2u(x, y)
\partial x\partial y
= 0,
(62)
де \widetilde Bmn \not = 0 — дiйснi числа, а u, v : D - \rightarrow \BbbR — шуканi функцiї.
Лема 3. Нехай мають мiсце такi спiввiдношення мiж коефiцiєнтами \widetilde Bmn, m, n = 1, 2,
системи (62):
\widetilde Bmn \not = 0, m, n = 1, 2, \widetilde B12
\widetilde B22 = \widetilde B11
\widetilde B21, \widetilde B11
\widetilde B22 + \widetilde B12
\widetilde B21 - 2p \widetilde B11
\widetilde B21 - 1 = 0.
(63)
Тодi кожна функцiя-компонента з розв’язку (u, v) системи (62) задовольняє рiвняння (1).
Доведення. З умов (63) i нерiвностi p \not = 0 випливають спiввiдношення
C1 := - \widetilde B11
\widetilde B21 \not = 0, C2 := 1 - \widetilde B11
\widetilde B22 - \widetilde B12
\widetilde B21 \not = 0, C3 := - \widetilde B12
\widetilde B22 \not = 0. (64)
Нехай (u, v) — довiльний розв’язок системи (62). З першого рiвняння системи (62) маємо
\partial 2v
\partial x\partial y
= - \widetilde B11
\partial 2u
\partial x2
- \widetilde B12
\partial 2u
\partial y2
.
Далi дiючи оператором диференцiювання
\partial 2
\partial x\partial y
на обидвi частини другого рiвняння систе-
ми (62) i пiдставляючи знайдене спiввiдношення для
\partial 2v
\partial x\partial y
, одержуємо рiвнiсть
C1
\partial 4u(x, y)
\partial x4
+ C2
\partial 4u(x, y)
\partial x2\partial y2
+ C3
\partial 4u(x, y)
\partial y4
\forall (x, y) \in D. (65)
На пiдстави спiввiдношень (64) одержуємо, що для того, щоб кожен розв’язок рiвняння (65) був
розв’язком рiвняння (1), необхiдно i достатньо, щоб мали мiсце пропорцiйнi спiввiдношення
C1 : C2 : C3 = 1 : 2p : 1,
якi приводять до спiввiдношень (63) i перетворюють рiвняння (65) на рiвняння (1). Отже, при
виконаннi умов (63) функцiя u задовольняє рiвняння (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1386 С. В. ГРИЩУК
У випадку другого рiвняння системи (62) мiркування аналогiчнi таким для першого рiвнян-
ня при доведеннi того, що функцiя u задовольняє рiвняння (1). В результатi одержуємо, що
функцiя v задовольняє рiвняння (1).
Лему 3 доведено.
Зауваження 4. У роботi [7] наведено без доведення результат, аналогiчний лемi 3, однак
там умови (63) не мiстять обмеження \widetilde Bmn \not = 0, m, n = 1, 2, яким, як ми бачили при доведеннi
леми, не можна нехтувати, оскiльки, наприклад, у протилежному випадку не виконуються
спiввiдношення (64).
Лема 4. Нехай виконуються нерiвностi (46), (59). Кожна функцiя-змiщення з пари змiщень
(u, v), що є розв’язком системи (60), задовольняє рiвняння (1).
Доведення. Покажемо, що система (60) є системою типу (62) з \widetilde Bmn := Bmn, m, n = 1, 2.
Доведемо виконання спiввiдношень (63) для даної замiни. Величини Bmn \not = 0, m, n = 1, 2,
згiдно з (46). Друге спiввiдношення з (63) є справедливим, оскiльки мають мiсце формули (61).
Третє спiввiдношення з (63) з огляду на (61) рiвносильне рiвностi\bigl(
1 - a212
\bigr) 2
+
\bigl(
2(a12 - p)
\bigr) 2
+ 4p(a12 - p)
\bigl(
1 - a212
\bigr)
=
\bigl(
a212 - 2pa12 + 1
\bigr) 2
. (66)
Вводячи позначення
A = 1 - a212, B = 2(a12 - p), (67)
записуємо (66) у виглядi
A2 +B2 + 2pAB = (a12B +A)2.
Далi розкриваємо праву частину, групуємо квадратнi тричлени i дiлимо обидвi частини на B2.
В результатi одержуємо рiвнiсть
1 - a212 = 2(a12 - p)
A
B
. (68)
Тепер, пiдставляючи у (68) замiсть A та B вирази з (67), отримуємо числову тотожнiсть.
Отже, всi умови леми 3 виконано, що й завершує доведення леми 4.
Теорема 5. Нехай функцiя (26) є моногенною в областi D\pm
\zeta , \alpha k, k = 1, 4, — довiльнi дiйснi
числа, а \beta k, k = 1, 4, пов’язанi з ними лiнiйними спiввiдношеннями
\beta 1 = \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B11\alpha 2 - (B11 +B12)\alpha 3,
\beta 2 = -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B11\alpha 1 - (B11 +B12)\alpha 4,
\beta 3 = - (B11 +B12)\alpha 1 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B12\alpha 4,
\beta 4 = - (B11 +B12)\alpha 2 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B12\alpha 3,
(69)
функцiї u i v є лiнiйними комбiнацiями компонент (Uk)\pm , k = 1, 4, функцiї (26) вигляду
u(x, y) =
4\sum
k=1
\alpha k(Uk)\pm (x, y), v(x, y) =
4\sum
k=1
\beta k(Uk)\pm (x, y). (70)
Тодi впорядкована пара функцiй (u, v) задовольняє систему (60) в областi D.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ . . . 1387
Доведення. Пiдставляючи рiвностi вигляду (70) з шуканими дiйсними коефiцiєнтами \alpha k,
\beta k, k = 1, 4, в перше рiвняння системи (60), одержуємо спiввiдношення
4\sum
k=1
\biggl(
B11\alpha k
\partial 2
\partial x2
+B12\alpha k
\partial 2
\partial y2
+ \beta k
\partial 2
\partial x\partial y
\biggr)
(Uk)\pm (x, y) = 0 \forall (x, y) \in D. (71)
З рiвностей (28) – (31) випливають спiввiдношення мiж поxiдними другого порядку для компо-
нент (Uk)\pm = (Uk)\pm (x, y), k = 1, 4:
\partial 2(U1)\pm
\partial y2
=
\partial 2(U1)\pm
\partial x2
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial 2(U4)\pm
\partial x2
, (72)
\partial 2(U2)\pm
\partial y2
=
\partial 2(U2)\pm
\partial x2
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\partial 2(U3)\pm
\partial x2
, (73)
\partial 2(U3)\pm
\partial y2
= -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial 2(U2)\pm
\partial x2
- (2p+ 1)
\partial 2(U3)\pm
\partial x2
, (74)
\partial 2(U4)\pm
\partial y2
= \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\partial 2(U1)\pm
\partial x2
- (2p+ 1)
\partial 2(U4)\pm
\partial x2
, (75)
\partial 2(U1)\pm
\partial x\partial y
=
\partial 2(U3)\pm
\partial x2
,
\partial 2(U2)\pm
\partial x\partial y
=
\partial 2(U4)\pm
\partial x2
, (76)
\partial 2(U3)\pm
\partial x\partial y
=
\partial 2(U1)\pm
\partial x2
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial 2(U4)\pm
\partial x2
, (77)
\partial 2(U4)\pm
\partial x\partial y
=
\partial 2(U2)\pm
\partial x2
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\partial 2(U3)\pm
\partial x2
. (78)
Доведемо, для прикладу, рiвнiсть (74). Використовуючи послiдовно рiвностi (30), (28) i
(31) та застосовуючи довiльнiсть порядку диференцiювання у мiшаних похiдних, одержуємо
ланцюжок рiвностей
\partial 2(U3)\pm
\partial y2
=
\partial
\partial y
\biggl(
\partial (U3)\pm
\partial y
\biggr)
=
\partial
\partial y
\biggl(
\partial (U1)\pm
\partial x
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial (U4)
\pm
\partial x
\biggr)
=
=
\partial
\partial x
\biggl(
\partial (U1)\pm
\partial y
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial (U4)\pm
\partial y
\biggr)
=
=
\partial
\partial x
\biggl(
\partial (U3)\pm
\partial x
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \biggl( \partial (U2)\pm
\partial x
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\partial (U3)\pm
\partial x
\biggr) \biggr)
=
= -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr) \partial (U2)\pm
\partial x2
- (2p+ 1)
\partial (U3)\pm
\partial x2
.
З урахуванням (72) – (78) записуємо спiввiдношення (71) у виглядi
0 =
4\sum
k=1
\biggl(
B11\alpha k
\partial 2
\partial x2
+B12\alpha k
\partial 2
\partial y2
+ \beta k
\partial 2
\partial x\partial y
\biggr)
(Uk)\pm (x, y) \equiv
\equiv
4\sum
k=1
ak\{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4;\beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4\}
\partial (Uk)\pm (x, y)
\partial x2
, (79)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1388 С. В. ГРИЩУК
де
a1\{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4;\beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4\} = (B11 +B12)\alpha 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B12\alpha 4 + \beta 3,
a2\{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4;\beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4\} = (B11 +B12)\alpha 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B12\alpha 3 + \beta 4,
a3\{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4;\beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4\} =
= \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B12\alpha 2 + (B11 - (2p+ 1)B12)\alpha 3 + \beta 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)\beta 4,
a4\{ \alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4;\beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4\} =
= -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B12\alpha 1 + (B11 - (2p+ 1)B12)\alpha 4 + \beta 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
\beta 3.
Тодi для виконання (79) у кожнiй точцi областi D достатньо покласти рiвними нулю ко-
ефiцiєнти при
\partial 2(Uk)\pm (x, y)
\partial x2
, k = 1, 4, що приводить до таких спiввiдношень мiж \alpha k, \beta m,
k,m \in \{ 1, 2, 3, 4\} :
(B11 +B12)\alpha 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B12\alpha 4 + \beta 3 = 0,
(B11 +B12)\alpha 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B12\alpha 3 + \beta 4 = 0,
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B12\alpha 2 + (B11 - (2p+ 1)B12)\alpha 3 + \beta 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)\beta 4 = 0,
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B12\alpha 1 + (B11 - (2p+ 1)B12)\alpha 4 + \beta 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
\beta 3 = 0.
(80)
Виражаючи з (80), \beta k, k = 1, 4, одержуємо спiввiдношення (69).
Для другого рiвняння системи (60), як i при доведеннi (71), одержуємо спiввiдношення
0 =
4\sum
k=1
\biggl(
B21\beta k
\partial 2
\partial x2
+B22\beta k
\partial 2
\partial y2
+ \alpha k
\partial 2
\partial x\partial y
\biggr)
(Uk)\pm (x, y) \forall (x, y) \in D. (81)
З урахуванням (72) – (78) записуємо спiввiдношення (81) у виглядi
0 =
4\sum
k=1
\biggl(
B21\beta k
\partial 2
\partial x2
+B22\beta k
\partial 2
\partial y2
+ \alpha k
\partial 2
\partial x\partial y
\biggr)
(Uk)\pm (x, y) \equiv
\equiv
4\sum
k=1
ak\{ \beta 1, \beta 2, \beta 3, \beta 4;\alpha 1, \alpha 2, \alpha 3, \alpha 4\}
\partial 2(Uk)\pm (x, y)
\partial x2
. (82)
Тодi для виконання (82) у кожнiй точцi областi D достатньо покласти рiвними нулю ко-
ефiцiєнти при
\partial 2(Uk)\pm (x, y)
\partial x2
, k = 1, 4, що приводить до таких спiввiдношень мiж \alpha k, \beta m,
k,m \in \{ 1, 2, 3, 4\} :
(B21 +B22)\beta 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B22\beta 4 + \alpha 3 = 0,
(B21 +B22)\beta 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B22\beta 3 + \alpha 4 = 0,
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)B22\beta 2 + (B21 - (2p+ 1)B22)\beta 3 + \alpha 1 \pm
\sqrt{}
2(p+ 1)\alpha 4 = 0,
-
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
B22\beta 1 + (B21 - (2p+ 1)B22)\beta 4 + \alpha 2 -
\Bigl(
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
\Bigr)
\alpha 3 = 0.
(83)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
КОМУТАТИВНI КОМПЛЕКСНI АЛГЕБРИ ДРУГОГО РАНГУ З ОДИНИЦЕЮ ТА ДЕЯКI ВИПАДКИ . . . 1389
Легко встановлюємо, що елементи \beta k, k = 1, 4, з (69) задовольняють спiввiдношення (83).
Теорему 5 доведено.
Зауважимо, що твердження, аналогiчне доведенiй теореми, встановлено у роботi [7] для
базису (12) та системи (62) з довiльними дiйсними Bkm := \widetilde Bkm, k,m = 1, 2, що задовольняють
спiввiдношення з (63) без \widetilde Bmn \not = 0, m, n = 1, 2.
Формули вираження змiщень u i v в iзотропному середовищi через лiнiйнi комбiнацiї
компонент моногенних функцiй \Phi : D\zeta - \rightarrow \BbbB встановлено у роботах [8, 9].
Враховуючи, що матриця коефiцiєнтiв вiдносно змiнних \alpha k, k = 1, 4, з (69) є оборотною,
що встановлюється на пiдставi нерiвностей (46), p > 1 i спiввiдношення (59), отримуємо таку
теорему.
Теорема 6. Нехай функцiя (26) є моногенною в областi D\pm
\zeta , \beta k, k = 1, 4, — довiльнi дiйснi
числа, \alpha k =
\sum 4
k=1
bk,j\beta j , де
b1,2 =
\pm
\sqrt{}
2(p+ 1)
B2
11 - 2pB11B12 +B2
12
, b1,3 = - B11 +B12
B2
11 - 2pB11B12 +B2
12
,
b1,1 = b1,4 = b2,2 = b2,3 = b3,2 = b3,3 = b4,1 = b4,4 = 0,
b2,1 = - b1,2, b2,4 = b1,3, b3,1 = b1,3,
b3,4 = - B12
B11
b1,2, b4,2 = b1,3, b4,3 = - b3,4,
а функцiї u i v є лiнiйними комбiнацiями компонент (Uk)\pm , k = 1, 4, функцiї (26) вигляду
u(x, y) =
4\sum
k=1
\alpha k(Uk)\pm (x, y), v(x, y) =
4\sum
k=1
\beta k(Uk)\pm (x, y).
Тодi впорядкована пара функцiй (u, v) задовольняє систему (60) в областi D.
Лiтература
1. Грищук С. В. Комутативнi комплекснi алгебри другого рангу з одиницею та деякi випадки плоскої ортотро-
пiї. I // Укр. мат. журн. – 2018. – 70, № 8. – C. 1058 – 1071.
2. Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат. журн. – 2009. – 61,
№ 12. – C. 1587 – 1596.
3. Фридман М. М. Математическая теория упругости анизотропных сред // Прикл. математика и механика. –
1950. – 14, № 3. – C. 321 – 340.
4. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука, 1977. – 416 c.
5. Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсм. ин-та АН СССР. –
1938. – № 86. – C. 51 – 78.
6. Боган Ю. А. Регулярные интегральные уравнения для второй краевой задачи в анизотропной двумерной
теории упругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 4. – C. 17 – 26.
7. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Алгебры функционально-инвариантных решений p-бигармонического урав-
нения. – Киев, 1991. – 15 с. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т математики; 91.10).
8. Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Бигармонические потенциалы и плоские изотропные поля смещений // Укр.
мат. журн. – 1988. – 40, № 2. – С. 229 – 231.
9. Грищук С. В. Гiперкомплекснi моногеннi функцiї бiгармонiчної змiнної в деяких задачах плоскої теорiї пруж-
ностi // Доп. НАН України. – 2015. – № 6. – C. 7 – 12.
Одержано 04.10.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1642 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:45Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/76/b48f5e218a6cc3de574683a585bd1576.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16422019-12-05T09:21:55Z Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of the plane orthotropy. II Комутативні комплексні алгебри другого рангу з одиницею та деякі випадки плоскої ортотропії. II Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. For an algebra $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega : c_k \in C, k = 1, 2\} , e_2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega$, over the field of complex numbers $C$, we сonsider arbitrary bases $(e, e_2)$, such that$e + 2pe^2_2 + e^4_2 = 0$ for any fixed $p > 1$. We study $B_0$ -valued “analytic” functions $\Phi (xe+ye_2) = U_1(x, y)e + U_2(x, y)ie + U_3(x, y)e_2 + U_4(x, y)ie_2$ such that their real-valued components $U_k, k = 1, 4$, satisfy the equation for the stress function $u$ in the case of orthotropic plane deformations $$\biggl( frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr)u(x, y) = 0,$$ here, $x$ and $y$ are real variables. All functions $\Phi$ for which $U_1 \equiv u$ are described in the case of a simply connected domain. Particular solutions of the equilibrium system of equations in displacements are found in the form of linear combinations of the components $U_k , k = 1, 4$, of the function $\Phi$ for some plane orthotropic media. Для алгебри $B_0 = \{ c_1e + c_2\omega : c_k \in C, k = 1, 2\} , e_2 = \omega 2 = e, e\omega = \omega e = \omega$, над полем комплексних чисел $C$ розглядаються базиси $(e, e_2) \in B_0$ такi, що $e + 2pe^2_2 + e^4_2 = 0$ для кожного фiксованого $p > 1$. Дослiджуються $B_0$ - значнi „аналiтичнi” функцiї $\Phi (xe+ye_2) = U_1(x, y)e + U_2(x, y)ie + U_3(x, y)e_2 + U_4(x, y)ie_2$ такi, що їх дiйснозначнi компоненти $U_k, k = 1, 4$, задовольняють рiвняння для знаходження функцiї напружень $u$ у випадку плоских ортотропних деформацiй $$\biggl( frac{\partial^4}{\partial x^4} + 2p\frac{\partial^4}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4}{\partial y^4}\biggr)u(x, y) = 0,$$ де $x, y$ — дiйснi змiннi. Описано всi функцiї $\Phi$, для яких $U_1 \equiv u$ у випадку однозв’язностi областi. Для певних випадкiв ортотропiї знайдено частковi розв’язки системи рiвнянь рiвноваги у змiщеннях у виглядi лiнiйних комбiнацiй компонент $U_k, k = 1, 4$, функцiї $\Phi$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1642 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1382-1389 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1382-1389 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1642/624 Copyright (c) 2018 Gryshchuk S. V. |
| spellingShingle | Gryshchuk, S. V. Грищук, С. В. Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases of the plane orthotropy. II |
| title | Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. II |
| title_alt | Комутативні комплексні алгебри другого рангу з одиницею та деякі випадки
плоскої ортотропії. II |
| title_full | Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. II |
| title_fullStr | Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. II |
| title_full_unstemmed | Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. II |
| title_short | Commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. II |
| title_sort | commutative сomplex algebras of the second rank with unity and some cases
of the plane orthotropy. ii |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1642 |
| work_keys_str_mv | AT gryshchuksv commutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandsomecasesoftheplaneorthotropyii AT griŝuksv commutativesomplexalgebrasofthesecondrankwithunityandsomecasesoftheplaneorthotropyii AT gryshchuksv komutativníkompleksníalgebridrugogoranguzodiniceûtadeâkívipadkiploskoíortotropííii AT griŝuksv komutativníkompleksníalgebridrugogoranguzodiniceûtadeâkívipadkiploskoíortotropííii |