On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential
We consider a one-dimensional Schrödinger equation on the entire axis whose potential rapidly decreases at the left end and infinitely increases at the right end. By the method of transformation operators, we study the inverse scattering problem. We establish conditions for the scattering data under...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1643 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507464458305536 |
|---|---|
| author | Guseinov, I. M. Khanmamedov, A. Kh. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. |
| author_facet | Guseinov, I. M. Khanmamedov, A. Kh. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. |
| author_sort | Guseinov, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | We consider a one-dimensional Schrödinger equation on the entire axis whose potential rapidly decreases at the left end and
infinitely increases at the right end. By the method of transformation operators, we study the inverse scattering problem.
We establish conditions for the scattering data under which the inverse problem is solvable. The basic Marchenko-type integral equations are investigated and their unique solvability is established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:44Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.91+517.984.64
И. М. Гусейнов, Аг. Х. Ханмамедов
(Бакин. гос. ун-т; Ин-т математики и механики НАН Азербайджана; Ун-т „Азербайджан”, Баку)
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО
УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С РАСТУЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ*
We consider a one-dimensional Schrödinger equation on the entire axis whose potential rapidly decreases at the left end and
infinitely increases at the right end. By the method of transformation operators, we study the inverse scattering problem.
We establish conditions for the scattering data under which the inverse problem is solvable. The basic Marchenko-type
integral equations are investigated and their unique solvability is established.
Розглядається одновимiрне рiвняння Шредiнгера на всiй осi, потенцiал якого на лiвому кiнцi швидко спадає, а на
правому нескiнченно зростає. Методом операторiв перетворення вивчається обернена задача розсiяння. Отримано
умови на данi розсiяння, що дають можливiсть розв’язати обернену задачу. Виведено основнi iнтегральнi рiвняння
типу Марченка та доведено їх однозначну розв’язнiсть.
1. Введение и основные результаты. Обратная задача рассеяния для одномерного уравнения
Шредингера с убывающим потенциалом и c потенциалом типа ступеньки детально исследована
в работах многих авторов (см. [1 – 5] и приведенную там библиографию). Интерес представ-
ляет также обратная задача для оператора Шредингера с бесконечно растущим потенциалом.
Важный шаг в этом направлении был сделан в работе [6], точнее, была решена обратная задача
рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с растущим на одном конце потенциалом. В
последнем случае, как следует из работы [6], в отличие от уравнения Шредингера с убывающим
потенциалом и c потенциалом типа ступеньки, не удается получить условия на данные рас-
сеяния, обеспечивающие принадлежность потенциала к данному классу с условием на обоих
концах. Последнее обстоятельство в свою очередь связано с отсутствием основного уравнения
типа Марченко на левом конце.
В настоящей работе указан класс растущих на одном конце потенциалов, в котором обратная
задача рассеяния для одномерного уравнения Шредингера решается эффективно. Рассмотрим
уравнение Шредингера
- y\prime \prime + q(x)y = \lambda y, - \infty < x <\infty , (1)
где вещественный потенциал q(x) удовлетворяет условию
0\int
- \infty
(1 + | x| ) | q (x)| dx+
\infty \int
0
\Bigl(
1 + | x| 4
\Bigr)
| q (x) - x| dx+ <\infty . (2)
В данной работе изучена обратная задача рассеяния. Найдены условия на данные рассеяния,
которые позволяют решить обратную задачу в классе (2). Получены основные интегральные
уравнения типа Марченко на обоих концах. Доказана их однозначная разрешимость.
Отметим, что обратные задачи для одномерного уравнения Шредингера с дополнительным
линейным потенциалом в различных постановках исследовались в работах [7 – 10].
* Выполнена при финансовой поддержке Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики
(гранты № EIF/MQM/Elm-Tehsil-1-2016-1(26)-71/05/1, № EIF/MQM/Elm-Tehsil-1-2016-1(26)-71/12/1).
c\bigcirc И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ, 2018
1390 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1391
Сформулируем основные результаты работы.
Пусть \Gamma — комплексная \lambda -плоскость с разрезом по положительной полуоси. В плоскости
\Gamma рассмотрим функцию
\surd
\lambda , выбирая аналитическую ветвь радикала так, что
\surd
\lambda + i0 > 0 при
\lambda > 0.
Известно [1 – 4], что уравнение (1) при условии (2) имеет решение e(x, \lambda ), представимое в
виде
e - (x, \lambda ) = e - i
\surd
\lambda x +
x\int
- \infty
K - (x, t)e - i
\surd
\lambda tdt. (3)
При этом ядро K - (x, t) вещественно и удовлетворяет соотношениям\bigm| \bigm| K - (x, t)
\bigm| \bigm| \leq 1
2
\sigma -
\biggl(
x+ t
2
\biggr)
e\sigma
-
1 (
x+t
2 ), (4)
K - (x, x) =
1
2
x\int
- \infty
q(t)dt, (5)
где \sigma - (x) =
\int x
- \infty
| q(t)| dt, \sigma - 1 (x) =
\int x
- \infty
\sigma - (t)dt.
Введем в рассмотрение уравнение Эйри
- y\prime \prime + xy = \lambda y. (6)
Известно [10, 11], что решением уравнения (6) является функция Эйри \mathrm{A}i(x - \lambda ).
Положим
e0(x, \lambda ) =
\surd
\pi \mathrm{A}i(x - \lambda ). (7)
Как следует из работ [7, 8], при условии (2) уравнение (1) имеет решение e+(x, \lambda ), представи-
мое в виде
e+(x, \lambda ) = e0(x, \lambda ) +
\infty \int
x
K+(x, t)e0(t, \lambda )dt. (8)
Ядро K+(x, t) вещественно и удовлетворяет следующим соотношениям:\bigm| \bigm| K+(x, t)
\bigm| \bigm| \leq 1
2
\sigma +
\biggl(
x+ t
2
\biggr)
e\sigma
+
1 (
x+t
2 ), (9)
K+(x, x) =
1
2
\infty \int
x
[q(t) - t]dt, (10)
где \sigma +(x) =
\int \infty
x
| q(t) - t| dt, \sigma +1 (x) =
\int \infty
x
\sigma +(t)dt.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1392 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
Рассмотрим решение задачи рассеяния
e+(x, \lambda ) = a(\lambda )e - (x, \lambda ) + a(\lambda )e - (x, \lambda ), \lambda \in \partial \Gamma , \lambda \not = 0, (11)
где
a(\lambda ) =
\{ e - (x, \lambda ), e+(x, \lambda )\}
2i
\surd
\lambda
, (12)
причем здесь и далее через \{ u, v\} = uv\prime - u\prime v обозначен вронскиан функций u и v.
Функции t(\lambda ) = a - 1(\lambda ) и r(\lambda ) =
a(\lambda )
a(\lambda )
назовем соответственно коэффициентом прохож-
дения и коэффициентом отражения. Нам понадобятся некоторые свойства коэффициента про-
хождения. Запишем их в виде условия.
I. Функция a(\lambda ) аналитична в плоскости \Gamma и непрерывна вплоть до границы \partial \Gamma , за ис-
ключением, быть может, точки \lambda = 0. Кроме того, функция a(\lambda ) может иметь лишь конечное
число простых отрицательных нулей \lambda j , j = 1, . . . , N. Имеют место соотношения
a(\lambda ) =
C
2i
\surd
\lambda
+O(1), \lambda \rightarrow 0, (13)
a(\lambda ) =
\surd
\pi
\mathrm{A}i\prime ( - \lambda ) + i
\surd
\lambda \mathrm{A}i( - \lambda )
2i
\surd
\lambda
\biggl[
1 +O
\biggl(
1\surd
\lambda
\biggr) \biggr]
, \lambda \rightarrow \infty . (14)
Введем обозначения
\Bigl(
m\pm
j
\Bigr) 2 df
=
\infty \int
- \infty
e2\pm (x, \lambda j)dx, j = 1, . . . , N, (15)
\rho (\lambda ) =
\left\{
\pi
\sum
\lambda j<\lambda
\Bigl(
m+
j
\Bigr) - 2
, \lambda \leq 0,
\pi
\sum N
j=1
\Bigl(
m+
j
\Bigr) - 2
+
\int \lambda
0
| a(u)| - 2
4
\surd
u
du, \lambda > 0.
(16)
Величины m\pm
j , j = 1, . . . , N, называются нормировочными коэффициентами. Нормировочные
коэффициенты связаны равенствами\Bigl(
m+
j
\Bigr) 2 \Bigl(
m -
j
\Bigr) 2
= - 4\lambda j \.a
2(\lambda j), j = 1, . . . , N. (17)
Набор величин
\Bigl\{
t(\lambda ) = a - 1(\lambda ), \lambda \in \partial \Gamma ;\lambda j , \lambda j < 0;m+
j > 0, j = 1, . . . , N
\Bigr\}
назовем данны-
ми рассеяния уравнения (1). Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера (1) состоит
в восстановлении потенциала q(x) по данным рассеяния.
При решении обратной задачи особую роль играют так называемые основные интегральные
уравнения типа Марченко.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1393
Теорема 1. При каждом фиксированном x функции K\pm (x, y), входящие в представления
(3), (8), удовлетворяют интегральным уравнениям
F\pm (x, y) +K\pm (x, y)\pm
\pm \infty \int
x
K\pm (x, t)F\pm (t, y)dt = 0, \pm (y - x) > 0, (18)
где
F+(x, y) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
e0+ (x, \lambda ) e0+ (y, \lambda ) d\xi (\lambda ) , \xi (\lambda ) = \rho (\lambda ) - \lambda , (19)
F - (x, y) = F - (x+ y) =
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
r (\lambda )\surd
\lambda
e - i
\surd
\lambda (x+y)d\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - i
\surd
\lambda j(x+y). (20)
Исследования уравнения (18) типа Марченко позволяют получить следующие необходимые
условия на функции рассеяния F\pm (x, y).
II. Функция F+(x, y), определенная формулой (19), непрерывно дифференцируема и при
всех a >\infty удовлетворяет условиям
\bigm| \bigm| F+(x, y)
\bigm| \bigm| \leq C(a), x \geq a, y \geq a,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
a
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x>a
\bigm| \bigm| F+(x, t)
\bigm| \bigm| dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| <\infty ,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
N
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\geq a
\bigm| \bigm| F+(x, y)
\bigm| \bigm| dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
x1
(1 + | y| )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( \partial
\partial x
+
\partial
\partial y
\biggr)
F+(x, y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C1(a), x \geq a,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
a
\bigl(
1 + | x| 4
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ddx F+(x, x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < C2(a),
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\geq x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \int
x
\bigm| \bigm| F+(z, y + h) - F+(z, y)
\bigm| \bigm| dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0.
III. Функция F - (x), определенная формулой (20), абсолютно непрерывна и при всех a <\infty
удовлетворяет условиям
a\int
- \infty
\bigm| \bigm| F - (x)
\bigm| \bigm| dx <\infty ,
a\int
- \infty
(1 + | x| )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dF -
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dx <\infty .
Теорема 2. Пусть выполняются условия I – III. Тогда при каждом фиксированном x урав-
нения (18) имеют единственные решения K+(x, \cdot ) \in L1(x,\infty ), K - (x, \cdot ) \in L1( - \infty , x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1394 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
Теоремы 1, 2 позволяют решить обратную задачу по следующему алгоритму:
Пусть даны данные рассеяния
\Bigl\{
a(\lambda );\lambda j ;m
+
j , j = 1, . . . , N
\Bigr\}
.
Шаг 1. По формулам (7), (15) – (19) строим функции F\pm (x, y).
Шаг 2. Решая основные уравнения (18), находим функции K\pm (x, y).
Шаг 3. Коэффициент q(x) восстанавливаем по любой из формул (5), (10).
2. Прямая задача рассеяния. Рассмотрим решение e - (x, \lambda ) уравнения (1). В силу (3),
(4) e - (x, \lambda ) является аналитической функцией переменной \lambda в плоскости \Gamma и непрерывной
вплоть до ее границы \partial \Gamma .
Для дальнейших исследований нам понадобятся некоторые свойства функции Эйри \mathrm{A}i(z).
Известно [11, 3], [10] (§4), что \mathrm{A}i (z) является целой функцией и принимает вещественные
значения на действительной оси. Имеют место [11, 3], [10] (§4) следующие асимптотические
формулы при z \rightarrow \infty :
\mathrm{A}i(z) =
1
2
\pi -
1
2 z -
1
4 e - \zeta
\bigl(
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr)
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \pi , (21)
\mathrm{A}i( - z) \sim \pi -
1
2 z -
1
4
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr) \bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
-
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr)
O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \Bigr\}
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < 2\pi
3
, (22)
\mathrm{A}i\prime (z) = - 1
2
\pi -
1
2 z
1
4 e - \zeta
\bigl(
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr)
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \pi , z \rightarrow \infty , (23)
\mathrm{A}i\prime ( - z) = - \pi -
1
2 z
1
4
\Bigl\{
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr) \bigl[
1 +O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \bigr]
+
+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
\zeta +
\pi
4
\Bigr)
O
\bigl(
\zeta - 1
\bigr) \Bigr\}
, | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < 2\pi
3
. (24)
Из формул (7), (21) следует, что решение e0(x, \lambda ) уравнения (6) для всех \lambda экспоненциально
убывает при x\rightarrow +\infty . Более того [7], справедлива формула
1
\pi
\infty \int
- \infty
e0(x, \lambda )e0(y, \lambda )d\lambda = \delta (x - y), (25)
где \delta — дельта-функция Дирака.
Рассмотрим теперь решение e+(x, \lambda ) уравнения (1). В силу (8), (9) e+(x, \lambda ) является целой
функцией переменной \lambda в плоскости \Gamma и принимает вещественные значения при действитель-
ных значениях \lambda .
Далее, из представления (3) вследствие вещественности потенциала q(x) следует, что при
\lambda \in \partial \Gamma решением уравнения (3) является также функция
e - (x, \lambda ) = ei
\surd
\lambda x +
x\int
- \infty
K - (x, t)ei
\surd
\lambda tdt. (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1395
Более того, решения e - (x, \lambda ) и e - (x, \lambda ) линейно независимы, поскольку в силу (3), (4), (26) их
вронскиан равен 2i
\surd
\lambda :
\Bigl\{
e - (x, \lambda ), e - (x, \lambda )
\Bigr\}
= 2i
\surd
\lambda . Поэтому при \lambda \in \partial \Gamma , \lambda \not = 0, справед-
ливо тождество (11). Из (11) следует формула (12), согласно которой функция a(\lambda ) допускает
аналитическое продолжение в плоскость \Gamma и непрерывна вплоть до границы \partial \Gamma , за исключе-
нием, быть может, точки \lambda = 0.
Изучим расположение нулей функции a(\lambda ). В силу (7) функция a(\lambda ) не равна нулю при
\lambda \in \partial \Gamma , \lambda \not = 0. Если при \lambda = \lambda j , \lambda j /\in \partial \Gamma , a(\lambda ) равна нулю, то решения e - (x, \lambda j) и
e+(x, \lambda j) окажутся линейно зависимыми, так что e - (x, \lambda j) = dje+(x, \lambda j) = \psi (x), где dj —
постоянная. Так как e+(x, \lambda j) экспоненциально убывает при x \rightarrow +\infty , а e - (x, \lambda j) — при
x \rightarrow - \infty , то \psi (x) — собственная функция уравнения (1) с собственным значением \lambda j . Но
при действительных q(x) уравнение (1) самосопряжено, поэтому \lambda j — отрицательное число.
С другой стороны, полагая в формуле (12) x = 0 и учитывая (21) – (24), после несложных
преобразований получаем (14). Отсюда и из (21), (23) следует, что при достаточно больших
значениях - \lambda функция a(\lambda ) принимает только отрицательные значения, т. е. не равна нулю.
Следовательно, нули функции a(\lambda ) образуют ограниченное множество.
Далее, из соотношений (3), (4), (8), (9) следует, что при \lambda = 0 любое решение уравнения
(1) имеет конечное число нулей. Поэтому задача (1) может иметь только конечное число соб-
ственных значений. Отсюда следует, что число нулей функции a(\lambda ) в плоскости \Gamma конечно.
Покажем, что эти нули простые. Пусть f(x, \lambda ) — некоторое решение уравнения (1). С помощью
простых вычислений имеем f2 =
\Bigl\{
\.f, f
\Bigr\} \prime
, где \.f =
\partial f
\partial \lambda
. Из последнего соотношения следует
тождество
2i
\sqrt{}
\lambda j \.a(\lambda j) =
\infty \int
- \infty
e+(x, \lambda j)e - (x, \lambda j)dx = dj
\infty \int
- \infty
e2+(x, \lambda j)dx = d - 1
j
\infty \int
- \infty
e2 - (x, \lambda j)dx. (27)
Из соотношений (15), (27) следует справедливость формулы (17), согласно которой \.a(\lambda j) \not = 0,
т. е. нули функции a(\lambda ) простые.
В дальнейшем нам понадобятся следующие две леммы.
Лемма 1. Функция
1
a(\lambda )
ограничена вблизи нуля.
Доказательство. Утверждение леммы очевидно, если \{ e - (x, \lambda ), e+(x, \lambda )\} | \lambda =0 = C \not = 0,
поскольку в этом случае в силу (12) справедливо соотношение a(\lambda ) \sim C
2i
\surd
\lambda
, \lambda \rightarrow 0. В
общем случае нам придется рассмотреть семейство уравнений - y\prime \prime + q\beta (x)y = \lambda y, имеющих
„срезанные” потенциалы
q\beta (x) =
\Biggl\{
q(x), x > - \beta ,
0, x \leq - \beta ,
и их решения e(\beta ) - (x, \lambda ), e
(\beta )
+ (x, \lambda ). Поскольку при таких потенциалах функция e(\beta ) - (x, \lambda ) непре-
рывно дифференцируема по \lambda , то из (12) следует, что
a\beta (\lambda ) =
C\beta \surd
\lambda
+A\beta (\lambda ),
где C\beta =
\Bigl\{
e
(\beta )
- (x, \lambda ), e
(\beta )
+ (x, \lambda )
\Bigr\} \bigm| \bigm| \bigm|
\lambda =0
, а функция A\beta (\lambda ) непрерывна в точке \lambda = 0. Заме-
тим, что если C\beta = 0, то в силу (11) a\beta (0) \not = 0. Кроме того, для достаточно малых \rho в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1396 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
области 0 < | \lambda | < \rho функция a\beta (\lambda ) не имеет нулей и равномерно по окружности | \lambda | =
= \rho справедливо равенство \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\beta \rightarrow +\infty a\beta (\lambda ) = a(\lambda ). Поэтому в последней окружности функ-
ции
1
a\beta (\lambda )
равномерно ограничены. Из формулы (11) видно, что они равномерно ограниче-
ны и при \lambda \in \partial \Gamma , \lambda \leq \rho . Следовательно, начиная с некоторого \beta функции
1
a\beta (\lambda )
анали-
тичны в области D\rho = \{ \lambda : \lambda \in \Gamma , | \lambda | < \rho \} и равномерно ограничены на ее границе \partial D\rho :
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\lambda \in \partial D\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
a\beta (\lambda )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = M < \infty , откуда, согласно теореме о максимуме модуля аналитической
функции, заключаем, что \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\lambda \in D\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
a\beta (\lambda )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = M < \infty . Так как \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\beta \rightarrow +\infty a\beta (\lambda ) = a(\lambda ), то,
переходя в этом неравенстве к пределу, получаем \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\lambda \in D\rho
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
a(\lambda )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Имеют место формулы разложения
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
1\surd
\lambda
\Bigl[
e - (x, \lambda ) + r(\lambda )e - (x, \lambda )
\Bigr]
e - (y, \lambda )d\lambda +
+
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - (x, \lambda j)e - (y, \lambda j) = \delta (x - y), (28)
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+(x, \lambda )e+(y, \lambda )d\rho (\lambda ) = \delta (x - y), (29)
где \rho (\lambda ) определяется формулой (26) и
\surd
\lambda =
\surd
\lambda + i0.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
- y\prime \prime + q(x)y - \lambda y = f(x),
где f(x) — произвольная вещественная функция из L2( - \infty ,\infty ), для которой нужно получить
разложение. Следуя соответствующим рассуждениям Титчмарша [12, 3, 2], находим, что соот-
ветствующая функция Грина G(x, y, \lambda ) имеет вид
G(x, y, \lambda ) =
\left\{
e+(x, \lambda )e - (y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a(\lambda )
, y \leq x,
e - (x, \lambda )e+(y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a(\lambda )
, y > x.
Согласно последнему равенству G (x, y, \lambda ) является аналитической функцией в плоскости \Gamma ,
за исключением простых полюсов \lambda j , j = 1, . . . , N. Положим
\Phi (x, \lambda ) =
\infty \int
- \infty
G(x, y, \lambda )f(y)dy.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1397
Тогда будем иметь
f(x) = - 1
i\pi
+\infty \int
- \infty
\Phi (x, \lambda + i0)d\lambda ,
f(x) =
1
i\pi
+\infty \int
- \infty
\Phi (x, \lambda - i0)d\lambda .
Отсюда следует, что
f(x) = - 1
2\pi i
\int
\partial \Gamma
\Phi (x, \lambda )d\lambda +
N\sum
j=1
\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda =\lambda j
\Phi (x, \lambda ).
Подставляя в последнее равенство вместо \Phi (x, \lambda ), G(x, y, \lambda ) их выражения, получаем
- 1
2\pi i
\int
\partial \Gamma
e+ (x, \lambda ) e - (y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a (\lambda )
d\lambda +
N\sum
j=1
\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda =\lambda j
e+(x, \lambda )e - (y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a(\lambda )
= \delta (x - y), (30)
- 1
2\pi i
\int
\partial \Gamma
e - (x, \lambda ) e+ (y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a (\lambda )
d\lambda +
N\sum
j=1
\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}
\lambda =\lambda j
e - (x, \lambda )e+ (y, \lambda )
2i
\surd
\lambda a (\lambda )
= \delta (x - y) . (31)
Учитывая равенства (11), (15), (27) в формуле (30), получаем (28).
Далее, из формулы (11) следует, что при \lambda > 0 справедливо тождество
e+ (x, \lambda )
| a (\lambda )| 2
=
e - (x, \lambda + i0)
a (\lambda + i0)
+
e - (x, \lambda + i0)
a (\lambda + i0)
=
e - (x, \lambda + i0)
a (\lambda + i0)
+
e - (x, \lambda - i0)
a (\lambda - i0)
.
Последнее соотношение вместе с (16), (27), (31) приводят к формуле разложения (29).
Лемма 2 доказана.
Доказательство теоремы 1. Заметим, прежде всего, что из соотношений (12), (21) – (24)
следует существование интегралов, входящих в правые части формул (19), (20), в смысле глав-
ного значения. Для вывода основных интегральных уравнений (18) воспользуемся формулами
разложения (25), (29) по собственным функциям задачи рассеяния. Из известных свойств опе-
раторов преобразования и (8), (9) следует, что
e0(y, \lambda ) = e+(y, \lambda ) +
\infty \int
y
K(y, t)e+(t, \lambda )dt,
где ядро K(y, t) удовлетворяет неравенству, аналогичному (9). Тогда из формулы разложения
(29) имеем
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\rho (\lambda ) = \delta (x - y)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1398 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
+
\infty \int
y
K (y, t)
\left( 1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e+ (t, \lambda ) d\rho (\lambda )
\right) \delta (x - t) dt =
= \delta (x - y) +
\infty \int
y
K (y, t) \delta (x - t) dt = \delta (x - y) +K (y, x) = \delta (x - y) .
С другой стороны, из (8) получаем
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\lambda =
1
\pi
\infty \int
- \infty
e0 (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\lambda +
+
\infty \int
x
K+ (x, t)
\left( 1
\pi
\infty \int
- \infty
e0 (t, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\lambda
\right) dt =
=
1
\pi
\infty \int
- \infty
e0 (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\lambda +
\infty \int
x
K+ (x, t) \delta (t - y) dt = \delta (x - y) +K+ (x, y) ,
т. е.
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\lambda - K+ (x, y) = \delta (x - y) .
Отсюда следует, что
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\xi (\lambda ) +K+ (x, y) = 0.
Подставляя в последнюю формулу вместо e+(x, \lambda ) его представление (8), имеем
1
\pi
\infty \int
- \infty
e+ (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\xi (\lambda ) =
1
\pi
\infty \int
- \infty
e0 (x, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\xi (\lambda )+
+
\infty \int
x
K+ (x, t)
\left( 1
\pi
\infty \int
- \infty
e0 (t, \lambda ) e0 (y, \lambda ) d\xi (\lambda )
\right) dt.
Из последних двух равенств с учетом (19) получаем уравнение (18) для случая „+”.
Выведем теперь основное уравнение (18) для случая „ - ”. Рассмотрим формулу разложения
(28). Из (3), (4) находим
e - i
\surd
\lambda y = e - (y, \lambda ) +
y\int
- \infty
\^K (y, t) e (t, \lambda ) dt,
где ядро \^K(y, t) удовлетворяет неравенству, аналогичному (4). Тогда из (28) имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1399
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
1\surd
\lambda
\Bigl[
e - (x, \lambda ) + r (\lambda ) e - (x, \lambda )
\Bigr]
e - i
\surd
\lambda yd\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - (x, \lambda j)e
- i
\surd
\lambda jy =
= \delta (x - y) +
y\int
- \infty
\^K (y, t) \delta (x - t) dt = \delta (x - y) + \^K (y, x) = \delta (x - y) . (32)
С другой стороны, используя известное равенство
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
1\surd
\lambda
ei
\surd
\lambda (x - y)d\lambda = \delta (x - y) (33)
и соотношения (3), (20), находим
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
1\surd
\lambda
\Bigl[
e - (x, \lambda ) + r(\lambda )e - (x, \lambda )
\Bigr]
e - i
\surd
\lambda yd\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - (x, \lambda j)e
- i
\surd
\lambda jy =
= \delta (x - y) +
x\int
- \infty
K - (x, t)\delta (y - t)dt+
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
r(\lambda )\surd
\lambda
e - i
\surd
\lambda (x+y)d\lambda +
+
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - i
\surd
\lambda j(x+y) +
x\int
- \infty
K - (x, t)
\left( 1
4\pi
\int
\partial \Gamma
r(\lambda )\surd
\lambda
e - i
\surd
\lambda (t+y)d\lambda
\right) dt+
+
x\int
- \infty
K - (x, t)
\left( N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
e - i
\surd
\lambda j(t+y)
\right) dt =
= \delta (x - y) +K - (x, y) + F - (x+ y) +
x\int
- \infty
K - (x, t)F - (t+ y)dt.
Сравнивая эти равенства с (32), получаем основное уравнение (18) для случая „ - ”.
Теорема 1 доказана.
Следует отметить, что основные интегральные уравнения позволяют выявить более тонкие
характеристики коэффициента a(\lambda ) вблизи точки \lambda = 0. Действительно, если решения e(x, \lambda )
и f(x, \lambda ) линейно независимы при \lambda = 0, т. е. \{ e - (x, \lambda ), e+(x, \lambda )\} | \lambda =0 \not = 0, то a(\lambda ) \sim C
2i
\surd
\lambda
,
\lambda \rightarrow 0. При этом коэффициент отражения r(\lambda ) непрерывен в точке \lambda = 0 и r(0) = - 1. Пусть
теперь \{ e - (x, \lambda ), e+(x, \lambda )\} | \lambda =0 = 0. Тогда возможны два случая:
1) e - (0, 0) = e+(0, 0) = 0;
2) e\prime - x(0, 0) = me - (0, 0), e
\prime
+x(0, 0) = me+(0, 0), где m — некоторое действительное число.
С помощью методики, предложенной в работе [5], устанавливается, что в обоих случаях
функция a(\lambda ) непрерывна в точке \lambda = 0, причем в силу (11) a(0) — отличное от нуля вещест-
венное число. Отсюда следует, что коэффициент отражения r(\lambda ) непрерывен в точке \lambda = 0 и
r(0) = 1, если \{ e - (x, \lambda ), e+(x, \lambda )\} | \lambda =0 = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1400 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
Тем самым условие I установлено.
Далее, пользуясь основными уравнениями (18) и оценками (4), (9), выводим условия II, III
(см., например, [8, 13]).
3. Обратная задача рассеяния. Доказательство теоремы 2. Заметим, прежде всего,
что в силу условий I – III уравнения (18) порождаются вполне непрерывными операторами в
пространствах L1(x,\pm \infty ). Поэтому достаточно доказать, что соответствующие однородные
уравнения имеют только нулевое решение.
Рассмотрим сначала случай „+”. Пусть h+(y) \in L1(x,\infty ) является решением однородного
уравнения
h+(y) +
\infty \int
x
F+(y, t)h+(t)dt = 0, y > x. (34)
В силу вещественности F+(x, y) можно считать, что решение h+(y) является вещественным.
Из (34) и условия II вытекает, что функция h+(y) ограничена на полуоси y > x, и, следова-
тельно, h+(y) \in L2(x,\infty ). Тогда справедливо равенство
\infty \int
x
| h+ (y)| 2 dy +
\infty \int
x
\infty \int
x
F+ (y + t)h+ (t) h+ (y) dtdy = 0.
Заметим, что в силу формулы разложения (25) имеет место равенство
\infty \int
x
| h+ (y)| 2 dy =
1
\pi
\infty \int
- \infty
| H+ (\lambda )| 2 d\lambda ,
где H+(\lambda ) =
\int \infty
x
h+(y)e0 (y, \lambda ) dy. Подставляя в предпоследнее равенство вместо функции
F+(x, y) ее выражение (19) и учитывая, что H+(\lambda ) принимает вещественные значения, полу-
чаем
1
4\pi
\infty \int
0
1
| a(\lambda )| 2
\surd
\lambda
| H+(\lambda )| 2 d\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m+
j
\Bigr) - 2
H2
+(\lambda j) = 0.
Отсюда следует, что H+(\lambda ) = 0, т. е. h+(y) = 0.
Рассмотрим теперь случай „ - ”. Пусть при любом x однородное уравнение
h - (y) +
x\int
- \infty
F - (y + t)h(t)dt = 0, y < x, (35)
имеет нетривиальное решение из L1( - \infty , x). В силу вещественности F - (x) можно считать,
что h - (y) является вещественным. Из (35) и условия III вытекает, что функция h - (y) ограни-
чена на полуоси y < x, и, следовательно, h - (y) \in L2( - \infty , x). Тогда справедливо равенство
x\int
- \infty
| h - (y)| 2 dy +
x\int
- \infty
x\int
- \infty
F - (y + t)h - (t)h - (y) dtdy = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
К ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ . . . 1401
Подставляя в последнее равенство вместо функции F - (x) ее выражение (20), получаем
x\int
- \infty
| h - (y)| 2 dy + 1
4\pi
\int
\partial \Gamma
r (\lambda )\surd
\lambda
H2
- (\lambda ) d\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
H2
- (\lambda j) = 0,
где
H - (\lambda ) =
x\int
- \infty
h - (y)e
- i
\surd
\lambda ydy. (36)
В силу формулы разложения (33) имеем
x\int
- \infty
| h - (y)| 2 dy =
1
4\pi
\int
\partial \Gamma
1\surd
\lambda
| H - (\lambda )| 2 d\lambda .
Поскольку при \lambda > 0 справедливы равенства H - (\lambda + i0) = H - (\lambda - i0), r(\lambda + i0) = r(\lambda - i0),
из последних равенств следует, что
1
4\pi
\infty \int
0
1\surd
\lambda
\Bigl[
2 | H - (\lambda + i0)| 2 + r (\lambda + i0)H2
- (\lambda + i0) + r (\lambda + i0)H2
- (\lambda + i0)
\Bigr]
d\lambda +
+
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
H2
- (\lambda j) = 0.
Запишем последнее соотношение в виде
1
4\pi
\infty \int
0
1\surd
\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| H - (\lambda + i0) + r(\lambda + i0)H - (\lambda + i0)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 d\lambda +
N\sum
j=1
\Bigl(
m -
j
\Bigr) - 2
H2
- (\lambda j) = 0.
Из последнего равенства следует, что
H - (\lambda )
a(\lambda )
= - H - (\lambda )
a(\lambda )
, \lambda \in \partial \Gamma ,
H - (\lambda j) = 0, j = 1, . . . , N.
В силу предпоследнего соотношения получаем
H - (\lambda )
a(\lambda )
\surd
\lambda
=
H - (\lambda )
a(\lambda )
\surd
\lambda
, \lambda \in \partial \Gamma .
Два последних соотношения показывают, что функция g(\lambda ) =
H - (\lambda )
a(\lambda )
\surd
\lambda
является целой функ-
цией. Но тогда
\varphi (\lambda ) =
\bigl[
\mathrm{A}i\prime
\bigl(
- \lambda 2
\bigr)
+ i\lambda \mathrm{A}i
\bigl(
- \lambda 2
\bigr) \bigr]
g
\bigl(
\lambda 2
\bigr)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1402 И. М. ГУСЕЙНОВ, АГ. Х. ХАНМАМЕДОВ
также является целой функцией, причем согласно (14) имеет место соотношение
\varphi (\lambda ) \sim 2\pi -
1
2 iH -
\bigl(
\lambda 2
\bigr)
, \lambda \rightarrow \infty .
Из (36) следует, что H - (\lambda ) \rightarrow 0, \lambda \rightarrow \infty . Поэтому из последнего соотношения и теоремы
Лиувилля получаем \varphi (\lambda ) \equiv 0, т. е. H - (\lambda ) \equiv 0. Следовательно, h - (y) = 0.
Теорема 2 доказана.
В заключение отметим, что указанные выше необходимые условия I – III также достаточны,
чтобы по данным рассеяния уравнения (1) можно было однозначно восстановить потенциал
q(x) из класса (2). Действительно, стандартным методом (см., например, [1, 8, 13]) устанавли-
вается, что определенные формулами (3), (8) функции e\pm (x, \lambda ) являются решениями уравнений
- e\prime \prime \pm (x, \lambda ) + q\pm (x)e\pm (x, \lambda ) = \lambda e\pm (x, \lambda ),
в которых потенциалы q\pm (x) вещественны и удовлетворяют при каждом фиксированном a
неравенствам
a\int
- \infty
(1 + | x| ) | q - (x)| dx <\infty ,
\infty \int
a
\bigl(
1 + | x| 4
\bigr)
| q+(x) - x| dx <\infty .
Более того, при \lambda \in \partial \Gamma , \lambda \not = 0, функции e\pm (x, \lambda ) связаны равенством
e+(x, \lambda ) = a(\lambda )e - (x, \lambda ) + a(\lambda )e - (x, \lambda ),
из которого следует равенство q - (x) = q+(x). Тем самым устанавливается справедливость
приведенного выше алгоритма.
Литература
1. Фаддеев Л. Д. Свойства S -матрицы одномерного уравнения Шредингера // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –1964. –
73. – С. 314 – 326.
2. Буслаев В. C., Фомин В. Л. К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей
оси // Вестн. Ленингр. гос. ун-та. – 1962. – 17, № 1. – С. 56 – 64.
3. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. – 332 с.
4. Андерс И. А., Котляров В. П. Характеризация данных рассеяния операторов Шредингера и Дирака // Теор. и
мат. физика. – 1991. – 88, № 1. – C. 72 – 84.
5. Гусейнов И. М. О непрерывности коэффициентов отражения одномерного уравнения Шредингера // Диффе-
ренц. уравнения. – 1985. – 22, № 11. – С. 1993 – 1995.
6. Кулиш П. П. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на оси // Мат. заметки. – 1968. – 4, № 6. –
C. 677 – 684.
7. Yishen Li. One special inverse problem of the second order differential equation on the whole real axis // Chin. Ann.
Math. – 1981. – 2, № 6. – P. 147 – 155.
8. Качалов А. П., Курылев Я. В. Метод операторов преобразования в обратной задаче рассеяния. Одномерный
Штарк-эффект // Зап. науч. сем. ЛОМИ. –1989. – 179. – C. 73 – 87.
9. Liu Y. Scattering and spectral theory for Stark – Hamiltonians in one dimension // Math. Scand. – 1993. – 72. –
P. 265 – 297.
10. Korotyaev E. L. Resonances for 1d Stark operators // arXiv: 1703. 10820,v1[Math. SP] 31 Mar 2017.
11. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. – М.: Наука, 1979. – 827 с.
12. Титчмарш Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями
второго порядка. – М., 1960. – Т. 1. – 278 с.
13. Фирсова Н. Е. Прямая и обратная задачи рассеяния для возмущенного оператора Хилла // Мат. сб. – 1986. –
130, № 3. – C. 349 – 385.
Получено 12.04.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1643 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:44Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/67/198f2d3762e9279746d5817480192a67.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16432019-12-05T09:21:55Z On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential К обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с растущим потенциалом Guseinov, I. M. Khanmamedov, A. Kh. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. We consider a one-dimensional Schrödinger equation on the entire axis whose potential rapidly decreases at the left end and infinitely increases at the right end. By the method of transformation operators, we study the inverse scattering problem. We establish conditions for the scattering data under which the inverse problem is solvable. The basic Marchenko-type integral equations are investigated and their unique solvability is established. Розглядається одновимiрне рiвняння Шредiнгера на всiй осi, потенцiал якого на лiвому кiнцi швидко спадає, а на правому нескiнченно зростає. Методом операторiв перетворення вивчається обернена задача розсiяння. Отримано умови на данi розсiяння, що дають можливiсть розв’язати обернену задачу. Виведено основнi iнтегральнi рiвняння типу Марченка та доведено їх однозначну розв’язнiсть. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1643 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1390-1402 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1390-1402 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1643/625 Copyright (c) 2018 Guseinov I. M.; Khanmamedov A. Kh. |
| spellingShingle | Guseinov, I. M. Khanmamedov, A. Kh. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. Гусейнов, И. М. Ханмамедов, А. Х. On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title | On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title_alt | К обратной задаче рассеяния для одномерного
уравнения Шредингера с растущим потенциалом |
| title_full | On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title_fullStr | On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title_full_unstemmed | On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title_short | On the inverse scattering problem for the one-dimensional Schrödinger equation with growing potential |
| title_sort | on the inverse scattering problem for the one-dimensional schrödinger equation with growing potential |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1643 |
| work_keys_str_mv | AT guseinovim ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT khanmamedovakh ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT gusejnovim ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT hanmamedovah ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT gusejnovim ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT hanmamedovah ontheinversescatteringproblemfortheonedimensionalschrodingerequationwithgrowingpotential AT guseinovim kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom AT khanmamedovakh kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom AT gusejnovim kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom AT hanmamedovah kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom AT gusejnovim kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom AT hanmamedovah kobratnojzadačerasseâniâdlâodnomernogouravneniâšredingerasrastuŝimpotencialom |