Superfractality of the set of incomplete sums of one positive series
We consider a family of convergent positive normed series with real terms defined by the conditions $$\sum ^{\infty}_{n=1} d_n = \underbrace{c_1 + ...+c_1}_{a_1} + \underbrace{c_2 + ...+c_2}_{a_2} + ... + \underbrace{c_n + ...+c_n}_{a_n} + \widetilde{ r_n} = 1,$$ where $(a_n)$ is a nondecreasing seq...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1644 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507466084646912 |
|---|---|
| author | Markitan, V. P. Pratsiovytyi, M. V. Savchenko, I. O. Маркітан, В. П. Працьовитий, М. В. Савченко, І. О. |
| author_facet | Markitan, V. P. Pratsiovytyi, M. V. Savchenko, I. O. Маркітан, В. П. Працьовитий, М. В. Савченко, І. О. |
| author_sort | Markitan, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:21:55Z |
| description | We consider a family of convergent positive normed series with real terms defined by the conditions
$$\sum ^{\infty}_{n=1} d_n = \underbrace{c_1 + ...+c_1}_{a_1} + \underbrace{c_2 + ...+c_2}_{a_2} + ... + \underbrace{c_n + ...+c_n}_{a_n} + \widetilde{ r_n} = 1,$$
where $(a_n)$ is a nondecreasing sequence of real numbers. The structural properties of these series are investigated.
For a partial case, namely, $(a_n) = 2^{n - 1}, c_n = (n + 1)\widetilde {r_n}, n \in N$, we study the geometry of the series (i.e., the properties of cylindrical sets, metric relations generated by them, and topological and metric properties of the set of all incomplete sums of the series). For the infinite Bernoulli convolution determined we describe its Lebesgue structure (discrete, absolutely continuous, and singular components) and spectral properties, as well as the behavior of the absolute
value of the characteristic function at infinity. We also study the finite autoconvolutions of distributions of this kind. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 510.22+517.5+519.21
В. П. Маркiтан, М. В. Працьовитий, I. О. Савченко (Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ)
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ
ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ
We consider a family of convergent positive normed series with real terms defined by the conditions
\infty \sum
n=1
dn = c1 + . . .+ c1\underbrace{} \underbrace{}
a1
+ c2 + . . .+ c2\underbrace{} \underbrace{}
a2
+ . . .+ cn + . . .+ cn\underbrace{} \underbrace{}
an
+\widetilde rn = 1,
where (an) is a nondecreasing sequence of real numbers. The structural properties of these series are investigated.
For a partial case, namely, (an) = 2n - 1, cn = (n + 1)\widetilde rn, n \in \BbbN , we study the geometry of the series (i.e., the
properties of cylindrical sets, metric relations generated by them, and topological and metric properties of the set of
all incomplete sums of the series). For the infinite Bernoulli convolution determined we describe its Lebesgue structure
(discrete, absolutely continuous, and singular components) and spectral properties, as well as the behavior of the absolute
value of the characteristic function at infinity. We also study the finite autoconvolutions of distributions of this kind.
Розглядається сiм’я додатних нормованих рядiв iз дiйсними членами, визначених умовами
\infty \sum
n=1
dn = c1 + . . .+ c1\underbrace{} \underbrace{}
a1
+ c2 + . . .+ c2\underbrace{} \underbrace{}
a2
+ . . .+ cn + . . .+ cn\underbrace{} \underbrace{}
an
+\widetilde rn = 1,
де (an) — неспадна послiдовнiсть дiйсних чисел. Дослiджуються структурнi властивостi таких рядiв. Для частин-
ного випадку, а саме, (an) = 2n - 1, cn = (n+ 1)\widetilde rn, n \in \BbbN , вивчається геометрiя ряду (властивостi цилiндричних
множин i ними породжених метричних спiввiдношень та тополого-метричнi властивостi множини всiх неповних
сум ряду). Для нескiнченної згортки Бернуллi, керованої таким рядом, вивчається лебегiвська структура (вмiст
дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) i спектральнi властивостi, а також поведiнка модуля
характеристичної функцiї цього розподiлу на нескiнченностi та скiнченнi автозгортки таких розподiлiв.
Вступ. Для заданого збiжного ряду d1 + d2 + . . .+ dn + . . . вираз\sum
n\in M\subset \BbbN
dn = x(M)
називається пiдрядом, а його сума x(M) — пiдсумою (неповною сумою), визначеною мно-
жиною M. Зрозумiло, що всi частиннi суми ряду Sn = d1 + . . . + dn i його залишки rn =
= dn+1 + dn+1 + . . . є неповними сумами, але не лише вони. Якщо A2 = \{ 0; 1\} — алфавiт,
а L = A \times A \times . . . A \times . . . — простiр послiдовностей алфавiту, то множинa E(dn) =
\Bigl\{
x :
x =
\sum \infty
n=1
\varepsilon ndn, (\varepsilon n) \in L
\Bigr\}
, де послiдовнiсть (dn) пробiгає весь простiр L, називається мно-
жиною всiх неповних сум (або пiдсум) даного ряду.
Уперше задачу щодо тополого-метричних властивостей множини неповних сум абсолютно
збiжного ряду сформульовано у роботi Какея [5], де доведено, що множина неповних сум є:
континуальною, досконалою множиною, яка нiде не щiльна, якщо rn < dn для всiх достатньо
великих n; вiдрiзком [0, 1], якщо rn \geq dn для всiх n \in \BbbN . Пiзнiше отриманi Какеєм факти
перевiдкривалися iншими авторами (Г. Горничем, П. К. Меноном). За бiльш нiж столiтню
iсторiю розвитку цього напрямку дослiдження теорiя суттєво збагатилася рiзними фактами,
переважна бiльшiсть яких є теоремами iснування, i цiкавими прикладами рядiв (або класiв
рядiв), множини неповних сум яких мають заданi властивостi. Фiнальну крапку у напрямку
c\bigcirc В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10 1403
1404 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
класифiкацiї топологiчних типiв множин неповних сум абсолютно збiжних рядiв поставлено
вiдносно недавно [4, 6]. Було доведено, що множина неповних сум може бути лише одного
з трьох топологiчних типiв: нiде не щiльною (гомеоморфною класичнiй множинi Кантора);
вiдрiзком або об’єднанням вiдрiзкiв; канторвалом
\Bigl(
множиною, яка є специфiчним об’єднанням
нiде не щiльної множини та множини вiдрiзкiв, а саме, множиною, гомеоморфною множинi
неповних сум ряду
3
4
+
2
4
+
3
42
+
2
42
+
3
43
+
3
23
. . .
\Bigr)
. Окремим напрямком дослiдження є
вивчення метричних властивостей множин неповних сум. Незважаючи на значнi здобутки у
цьому напрямку, у загальнiй постановцi задачi до цього часу критерiй нульвимiрностi множини
(до речi, як i нiде не щiльностi) [21, 23, 24] є невiдомим.
Бiльше ста рокiв проводяться дослiдження нескiнченних симетричних згорток Бернуллi та
їх рiзнопланових узагальнень, зокрема нескiнченних згорток Бернуллi з рiзними порушеннями
симетрiї. Це розподiл випадкової величини
\xi =
\infty \sum
n=1
dn\xi n, (1)
де (\xi n) — послiдовнiсть незалежних випадкових величин iз розподiлами
\mathrm{P}\{ \xi n = 0\} = p0n \geq 0, \mathrm{P}\{ \xi n = 1\} = p1n \geq 0, p0n + p1n = 1. (2)
Зрозумiло, що властивостi розподiлу випадкової величини \xi однозначно визначаються по-
слiдовнiстю (dn) членiв ряду, точнiше рядом, i нескiнченною стохастичною матрицею \| pin\| .
Варто зазначити, що iнтерес до таких розподiлiв випадкових величин внаслiдок рiзних причин
в останнi роки значно посилився [1, 7, 8, 10, 11, 18, 22]. Це пов’язано, зокрема, з дослiджен-
нями їх фрактальних властивостей [14]. З теореми Джессена – Вiнтнера [15, 18] випливає, що
випадкова величина \xi має чистий лебегiвський тип розподiлу, тобто її функцiя розподiлу є або
чисто дискретною, або чисто абсолютно неперервною, або сингулярною (неперервною функцi-
єю, похiдна якої майже скрiзь дорiвнює нулю в розумiннi мiри Лебега). Вiдома теорема П. Левi
[15, 18] разом з теоремою Джессена – Вiнтнера дає необхiднi i достатнi умови дискретностi та
неперервностi розподiлу \xi , але роздiлити випадки абсолютної неперервностi та сингулярностi
в загальнiй постановцi задачi до цього часу не вдалося. Проте для деяких класiв рядiв, що
мають певнi властивостi однорiдностi, це зроблено [19, 20].
У теорiї нескiнченних згорток Бернуллi iснує ряд складних iмовiрнiсних проблем [16, 17].
Однiєю з таких є проблема поглиблення теореми Джессена – Вiнтнера [2], яка стверджує ле-
бегiвську чистоту (дискретнiсть, абсолютну неперервнiсть, сингулярнiсть) розподiлу суми з
iмовiрнiстю одиниця збiжного випадкового ряду з незалежними дискретно розподiленими до-
данками, але не дає вiдповiдi на питання: коли та який? Iнша проблема стосується тополого-
метричних та фрактальних властивостей спектра розподiлу (множини точок зростання функ-
цiї розподiлу), яка безпосередньо пов’язана з тополого-метричними властивостями множини
неповних сум ряду. Третя стосується поведiнки модуля характеристичної функцiї на нескiн-
ченностi [11, 17]. Поки що вони не пiддаються розв’язанню в загальнiй постановцi, а тому
дослiдники їх розглядають в окремих класах.
Нас цiкавить лебегiвська структура i властивостi нескiнченної згортки Бернуллi, керованої
збiжним додатним рядом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1405
r0 =
\infty \sum
n=1
dn = c1 + . . .+ c1\underbrace{} \underbrace{}
a1
+ c2 + . . .+ c2\underbrace{} \underbrace{}
a2
+ . . .+ cn + . . .+ cn\underbrace{} \underbrace{}
an
+\widetilde rn = 1, (3)
для якого виконується умова
cn\widetilde rn \equiv bn, n = 1, 2, 3, . . . , (4)
де \widetilde rn = cn+1 + . . .+ cn+1\underbrace{} \underbrace{}
an+1
+ cn+2 + . . .+ cn+2\underbrace{} \underbrace{}
an+2
+ . . . ,
причому (an) та (bn) — неспаднi послiдовностi натуральних чисел. Не маючи перспектив
вичерпно розв’язати вищезазначенi задачi, ми звужуємо розгляд питання до випадку an = 2n - 1
та bn = n+ 1.
1. Структурна властивiсть ряду.
Теорема 1. Загальний член ряду (3) має вигляд
cn = bn
n\prod
k=1
1
akbk + 1
. (5)
Доведення. Для n = 1 маємо
r0 = a1c1 + \widetilde r1 = a1c1 +
c1
b1
= c1
\biggl(
a1 +
1
b1
\biggr)
= 1 \Rightarrow c1 =
b1
a1b1 + 1
.
Аналогiчно, з рiвностi (4) отримуємо
cn = bn\widetilde rn = bn(an+1cn+1 + \widetilde rn+1) = bncn+1
\biggl(
an+1 +
1
bn+1
\biggr)
,
звiдки
cn+1 = cn \cdot
bn+1
bn(an+1 + 1)
. (6)
Рiвнiсть (5) доведемо за iндукцiєю. Нехай формула (5) справедлива при n = p.
При n = p+ 1, згiдно з (6), маємо
cp+1 = cp \cdot
bp+1
bp(ap+1 + 1)
= bp
p\prod
k=1
1
akbk + 1
\cdot bp+1
bp(ap+1 + 1)
= bp+1
p+1\prod
k=1
1
akbk + 1
.
Теорему доведено.
Наслiдок 1. Для членiв та залишкiв ряду (3) мають мiсце спiввiдношення
\widetilde rn =
n\prod
k=1
1
akbk + 1
,
cn+1
cn
=
bn+1
bn(an+1 + 1)
,
\widetilde rn+1\widetilde rn =
1
an+1bn+1 + 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1406 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
Далi нас цiкавитиме випадкова величина \xi , для якої ряд (3) визначається умовами an = 2n - 1
та bn = n+ 1 i має вигляд
r0 =
\infty \sum
k=1
dk = c1 + c2 + c2\underbrace{} \underbrace{}
2
+ c3 + c3 + c3 + c3\underbrace{} \underbrace{}
4
+ . . .+ cn + . . .+ cn\underbrace{} \underbrace{}
2n - 1
+\widetilde rn, (7)
де
cn\widetilde rn = n+ 1 =
dm
rm
, m = 2k - 1, k = 1, 2, 3, . . . , (8)
\widetilde rm = r2n - 1 =
\infty \sum
k=2n
dk = cn+1 + . . .+ cn+1\underbrace{} \underbrace{}
2n
+ cn+2 + . . .+ cn+2\underbrace{} \underbrace{}
2n+1
+ . . . =
= 2ncn+1 + 2n+1cn+2 + 2n+2cn+3 + . . . , (9)
cn = d2n - 1 = d2n - 1+1 = d2n - 1+2 = . . . = d2n - 1.
Iз рiвностей (8) та (9) випливає, що для всiх номерiв m \not = 2k - 1 виконується нерiвнiсть
dm < rm =
\sum \infty
i=m+1
di.
Загальний член ряду (7), згiдно з (5), має вигляд
cn = (n+ 1)
n\prod
k=1
1
2k - 1(k + 1) + 1
,
а вiдповiдний залишок —
\widetilde rn =
n\prod
k=1
1
2k - 1(k + 1) + 1
.
2. Критерiй дискретностi. Точковий спектр.
Теорема 2. Розподiл випадкової величини (1), визначеної рядом (7), є чистим, до того ж
чисто дискретним, тодi i тiльки тодi, коли
M =
\infty \prod
k=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ p0k, p1k\} > 0.
У випадку дискретностi розподiлу випадкової величини (1) його точковий спектр склада-
ється з точки
x0 =
\infty \sum
n=1
\alpha \ast
ndn, де p\alpha \ast
nn \geq p[1 - \alpha \ast
n]n
,
i всiх таких точок x, що
x =
m\sum
n=1
\alpha ndn +
\infty \sum
n=m+1
\alpha \ast
ndn,
де \alpha n \in \{ 0, 1\} , p\alpha nn \not = 0 при n \leq m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1407
Доведення. Перша частина твердження безпосередньо випливає з теорем Джессена – Вiнт-
нера i П. Левi [15, 18]. Доведемо другу частину твердження.
Нехай M > 0. Рiвностi (2) визначають ймовiрнiсну мiру (розподiл) не лише на [0; 1], але
й у просторi L послiдовностей елементiв алфавiту A2 = \{ 0; 1\} . Для останнього розподiлу
очевидним є те, що точка (\alpha \ast
n) \in L, визначена умовами p\alpha \ast
nn \not = 0 i p\alpha \ast
nn \geq p[1 - \alpha \ast
n]n
, n =
= 1, 2, 3, . . . , є атомом, до того ж максимальної маси M, оскiльки
\mathrm{P}
\bigl\{
(\xi n) = (\alpha n)
\bigr\}
=
\infty \prod
n=1
p\alpha nn \leq
\infty \prod
n=1
p\alpha \ast
nn =M. (10)
Зазначимо, що таких точок може бути не одна, оскiльки можливо, що p0n =
1
2
= p1n.
Але їх неминуче скiнченна кiлькiсть, оскiльки необхiдною умовою збiжностi нескiнченно-
го добутку (10) є умова \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ p0n, p1n\} \rightarrow 1 (n \rightarrow \infty ), а отже, iснує m \in N таке, що
p0m =
1
2
= p1m i p\alpha jj > p[1 - \alpha j ]j при j > m. Тодi кiлькiсть атомiв максимальної маси дорiвнює
2t, де t = \#
\biggl\{
j : p0j =
1
2
\biggr\}
.
Нехай (\alpha \ast
n) — одна з таких точок простору L, тобто атом розподiлу випадкової вели-
чини \xi максимальної маси M, а саме, (\alpha \ast
n) = (\alpha \ast
1, \alpha
\ast
2, . . . , \alpha
\ast
k - 1, \alpha
\ast
k, \alpha
\ast
k+1, . . .). Якщо (\alpha n) =
= (\alpha 1, \alpha 2, . . . , \alpha k - 1, \alpha k, \alpha
\ast
k+1, . . .) i при цьому p\alpha jj > 0 при j = 1, k, то послiдовнiсть (\alpha n) \in L
є атомом розподiлу i вiдрiзняється вiд (\alpha \ast
n) не бiльш нiж k першими членами, до того ж
\mathrm{P}
\bigl\{
(\xi n) = (\alpha n)
\bigr\}
=
M\prod k
n=1
p\alpha \ast
nn
k\prod
n=1
p\alpha nn > 0.
Нехай Bk — множина всiх послiдовностей (\alpha n), якi вiдрiзняються вiд (\alpha \ast
n) не бiльш нiж k
першими членами, до того ж p\alpha jj > 0 при j = 1, k.
Тодi B0 мiстить лише одну точку (\alpha \ast
n), B1 — не бiльше двох точок i т. д. Бiльш того,
B0 \subset B1 \subset B2 . . . \subset Bk \subset Bk+1 . . . i
\mathrm{P}\{ \xi \in Bk\} =
1\sum
\alpha 1=0
. . .
1\sum
\alpha k=0
M\prod k
n=1
p\alpha \ast
nn
k\prod
n=1
p\alpha nn =
=
M\prod k
n=1
p\alpha \ast
nn
1\sum
\alpha 1=0
. . .
1\sum
\alpha k=0
k\prod
n=1
p\alpha nn =
M\prod k
n=1
p\alpha \ast
nn
\rightarrow 1 (k \rightarrow \infty ).
У цьому випадку точковий спектр D\xi збiгається з хвостовою множиною з представником (\alpha \ast
n),
тобто з множиною
\infty \bigcup
k=0
Bk = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
Bk.
Таким чином, у просторi L iснує злiченна множина точок, ймовiрнiсть якої дорiвнює 1.
Якщо (\alpha n) — атом розподiлу \xi у просторi L, то x = \alpha 1d1 + \alpha 2d2 + . . . + \alpha ndn + . . . є
атомом розподiлу на [0; 1]. Маса останнього теоретично може бути бiльшою, нiж P
\bigl\{
\xi = (\alpha n)
\bigr\}
,
оскiльки число x може бути значенням рiзних пiдсум. Таким чином, iснує не бiльш нiж злiченна
множина G \subset [0; 1] така, що P (G) = 1.
Теорему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1408 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
3. Фрактальнi властивостi спектра розподiлу випадкової величини \bfitxi . Нагадаємо [18],
що спектром S\xi розподiлу випадкової величини \xi називають множину точок зростання її функцiї
розподiлу F\xi (x) (рiвносильно мiнiмальний замкнений носiй), тобто
S\xi =
\Bigl\{
x : F\xi (x+ \varepsilon ) - F\xi (x - \varepsilon ) = \mathrm{P}
\bigl\{
\xi \in (x - \varepsilon ;x+ \varepsilon )
\bigr\}
> 0 \forall \varepsilon > 0
\Bigr\}
.
Лема 1. Якщо pin > 0 для всiх i \in \{ 0, 1\} та всiх n \in \BbbN , то спектром S\xi розподiлу
випадкової величини \xi є множина E\{ dn\} всiх пiдсум (неповних сум) ряду (7), тобто
S\xi = E\{ dn\} \equiv
\Biggl\{
x : x =
\sum
n\in M
dn, M \in 2\BbbN
\Biggr\}
.
Доведення. Дане твердження випливає безпосередньо з означень спектра розподiлу i того,
що кожну неповну суму ряду можна записати у виглядi
x(M) =
\infty \sum
n=1
dn\varepsilon n, де \varepsilon n =
\left\{ 1, якщо n \in M,
0, якщо n /\in M,
а також властивостей множини всiх неповних сум ряду, яка є досконалою (замкненою множи-
ною без iзольованих точок) [5].
Наслiдок 2. Для спектра S\xi розподiлу випадкової величини \xi має мiсце включення S\xi \subset
\subset E\{ dn\} .
З метою вивчення спектральних властивостей розподiлу випадкової величини \xi проведемо
дослiдження тополого-метричних i фрактальних властивостей множини неповних сум E\{ dn\}
ряду (7), для якого справджується рiвнiсть (8).
Для ряду (3), у якого dn \geq dn+1 для всiх n \in \BbbN , вiдомо, що коли виконується умова rn \geq dn
для всiх n \in \BbbN , то множина його неповних сум є вiдрiзком [0, 1] [5]. Якщо rn \geq dn для всiх
достатньо великих n, то множина є скiнченним об’єднанням вiдрiзкiв. Якщо rn < dn для всiх
достатньо великих n, то множина неповних сум є нiде не щiльною множиною [5, 18]. Менш
дослiдженим є випадок, коли нерiвностi dn \leq rn i dn > rn виконуються для нескiнченної
кiлькостi n. У такому випадку множина неповних сум ряду може бути як нiде не щiльною,
так i може мiстити цiлi вiдрiзки. Тополого-метричнi властивостi множин неповних сум суттєво
залежать вiд швидкостi збiжностi ряду. На сьогоднi авторам невiдомi необхiднi i достатнi умови
її нульвимiрностi (у розумiннi мiри Лебега). Ще менш дослiджено фрактальнi властивостi
множини неповних сум, хоча для деяких класiв рядiв це зроблено у [8, 13, 14, 18].
Нагадаємо означення \alpha -мiри Гаусдорфа i розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича множини
E \subset \BbbR 1, якi бiльш тонко характеризують „масивнiсть” множин у випадку їх нульвимiрностi (у
розумiннi мiри Лебега).
Означення 1. Нехай 0 < \alpha — фiксоване дiйсне число. \alpha -Вимiрною мiрою (\alpha -мiрою) Гаус-
дорфа множини E називається значення функцiї множини, визначеної рiвнiстю
\scrH \alpha (E) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
m\alpha
\varepsilon (E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon >0
m\alpha
\varepsilon (E), де m\alpha
\varepsilon (E) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
| Ej | \leq \varepsilon
\left\{ \sum
j
| Ej | \alpha
\right\} ,
i точна нижня грань визначається за всеможливими не бiльш нiж злiченними покриттями
множини E вiдрiзками Ei, дiаметри | Ei| яких не перевищують \varepsilon .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1409
Означення 2. Невiд’ємне число
\alpha 0(E) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\alpha : \scrH \alpha (E) = +\infty
\bigr\}
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\alpha : \scrH \alpha (E) = 0
\bigr\}
називається розмiрнiстю Гаусдорфа – Безиковича множини E .
Розмiрнiсть Гаусдорфа – Безиковича має такi властивостi: 1) якщо E1 \subset E2, то \alpha 0(E1) \leq
\leq \alpha 0(E2); 2) \alpha 0
\biggl( \bigcup
i
Ei
\biggr)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}i \alpha 0(Ei).
Означення 3. Множини нульової мiри Лебега простору \BbbR 1, розмiрнiсть Гаусдорфа – Бези-
ковича яких дорiвнює 1, називаються суперфрактальними, а континуальнi множини, що мають
нульову розмiрнiсть Гаусдорфа – Безиковича, — аномально фрактальними.
Вiдомо [5], що при виконаннi умов
dn \geq rn =
\infty \sum
k=1
an+k для всiх достатньо великих n (11)
множина E\{ dn\} неповних сум ряду
\sum \infty
n=1
dn є нiде не щiльною (нуль-множиною Лебега або
множиною додатної мiри). При виконаннi умови
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
an
rn
= +\infty
множина E\{ an\} є аномально фрактальною (континуальною множиною нульової розмiрностi
Гаусдорфа – Безиковича) [18].
З теореми 2.2 роботи [9] випливає, що при виконаннi умов (11) та
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
an
rn
= +\infty (12)
множина пiдсум E\{ dn\} є аномально фрактальною. Нас цiкавить питання: чи буде множина
E\{ dn\} аномально фрактальною при виконаннi умови (12)?
При обчисленнi розмiрностi множини буває зазвичай досить складно отримати нижню оцiн-
ку, тобто довести, що \alpha 0(E) \geq \delta , тодi як верхню оцiнку \alpha 0(E) \leq \delta можна часто отримати без
особливих труднощiв. Для швидкого отримання нижньої оцiнки iнодi зручно використовувати
наступну теорему, доведену Х. Г. Егльстоном [3], яка успiшно використовувалася в роботах
Т. Шалата [9, 25].
Теорема 3 [3, 25]. Нехай M =
\infty \bigcap
n=1
Jn,
J1 \supset J2 \supset . . . \supset Jn \supset Jn+1 \supset . . . ,
i кожна iз множин Jn складається iз скiнченного числа gn скiнченних вiдрiзкiв imn однакової
довжини \lambda n > 0, якi не мiстять попарно спiльних внутрiшнiх точок. Нехай кожний вiдрiзок
imn \in Jn мiстить однакове число (= gn+1/gn) iнтервалiв imn+1 \in Jn+1. Нехай для заданої
системи F вимiрних функцiй \mu (\alpha )(t) iснує число \delta \in \langle \alpha 1, \alpha 2\rangle таке, що для кожного \alpha < \delta ,
\alpha \in (\alpha 1, \alpha 2),
\infty \sum
n=1
\lambda n - 1
\lambda n
1
gn\mu (\alpha )(\lambda n)
< +\infty (\lambda 0 = 1). (13)
Тодi \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}F M \geq \delta .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1410 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
Теорема 4. Множина неповних сум ряду (7), для якого виконується умова (8), є суперфрак-
тальною множиною.
Доведення. Покажемо, що множина E\{ dn\} неповних сум ряду (7) є нiде не щiльною нуль-
множиною Лебега. Оскiльки E\{ dn\} належить об’єднанню kn \equiv
\prod n
k=1
(2k - 1 + 1) iзометричних
вiдрiзкiв довжини \widetilde rn, то для її мiри Лебега має мiсце нерiвнiсть
\lambda
\bigl(
E\{ dn\}
\bigr)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
kn \cdot \widetilde rn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\prod
k=1
(2k - 1 + 1)
2k - 1(k + 1) + 1
=
\infty \prod
k=1
(2k - 1 + 1)
2k - 1(k + 1) + 1
= 0,
тому що n-й член добутку
pn =
(2n - 1 + 1)
2n - 1(n+ 1) + 1
\rightarrow 0 при n\rightarrow \infty .
Оскiльки непорожня множина E\{ dn\} є досконалою нуль-множиною Лебега, то вона є нiде
не щiльною.
Встановимо нижню оцiнку розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича множини E\{ dn\} . Враху-
вавши, що для ряду (7)
\lambda n = \widetilde rn =
n\prod
k=1
1
2k - 1(k + 1) + 1
, gn =
n\prod
k=1
(2k - 1 + 1), \mu \alpha (\lambda n) = \widetilde rn\alpha ,
запишемо формулу вiдповiдного n-го члена для ряду (13). Маємо
an =
\widetilde rn - 1\widetilde rn 1\prod n
k=1
(2k - 1 + 1) \widetilde rn\alpha =
=
2n - 1(n+ 1) + 1\prod n
k=1
(2k - 1 + 1)
\prod n
k=1
1
(2k - 1(k + 1) + 1)\alpha
=
2n - 1(n+ 1) + 1\prod n
k=1
2k - 1 + 1
(2k - 1(k + 1) + 1)\alpha
.
Дослiдимо збiжнiсть ряду (13) за ознакою Даламбера:
an+1
an
=
=
2n(n+ 2) + 1\prod n
k=1
2k - 1 + 1
(2k - 1(k + 1) + 1)\alpha
2n + 1
(2n(n+ 2) + 1)\alpha
\prod n
k=1
2k - 1 + 1
(2k - 1(k + 1) + 1)\alpha
2n - 1(n+ 1) + 1
=
=
(2n(n+ 2) + 1)\alpha +1
(2n + 1)(2n - 1(n+ 1) + 1)
\leq
\leq ((n+ 3) \cdot 2n)1+\alpha
2n \cdot 2n - 1 \cdot (n+ 1)
=
2(n+ 3)\alpha +1
(21 - \alpha )n \cdot (1 + n)
=
2 \cdot
\biggl(
1 +
3
n
\biggr)
\cdot (n+ 3)\alpha
(21 - \alpha )n \cdot
\biggl(
1 +
1
n
\biggr) \rightarrow 0 (n\rightarrow \infty ),
якщо \alpha < 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1411
Оскiльки ряд
\sum \infty
n=1
an збiжний при всiх \alpha < 1, то, згiдно з попередньою теоремою,
розмiрнiсть Гаусдорфа – Безиковича \alpha 0
\bigl(
E\{ dn\}
\bigr)
\geq 1, а це означає, що \alpha 0
\bigl(
E\{ dn\}
\bigr)
= 1.
Теорему 4 доведено.
Наслiдок 3. Спектр S\xi розподiлу випадкової величини \xi є суперфрактальною множиною.
Теорема 5. У випадку неперервностi (M = 0) розподiл випадкової величини \xi є сингуляр-
ним розподiлом канторiвського типу iз суперфрактальним спектром.
Доведення. При M = 0 випадкова величина \xi має неперервний розподiл. Її спектр є
пiдмножиною множини неповних сум. Згiдно з проведеними дослiдженнями щодо геометрич-
ної структури множини неповних сум ряду (7), спектр розподiлу випадкової величини \xi є
нуль-множиною Лебега i суперфрактальною множиною.
4. Автозгортки розподiлу випадкової величини \bfitxi . Нагадаємо, що автозгорткою роз-
подiлу випадкової величини \xi називають розподiл випадкової величини \psi 2 = \xi (1) + \xi (2), а
s-кратною згорткою розподiлу випадкової величини \xi — розподiл випадкової величини
\psi s = \xi (1) + \xi (2) + . . .+ \xi (s),
де \xi (j) — незалежнi й однаково розподiленi випадковi величини, розподiл кожної з яких збi-
гається з розподiлом \xi . Вiдомо, що якщо \xi дискретно розподiлена, то \psi s матиме дискретний
розподiл. Нас цiкавить випадок, коли розподiл \xi є сингулярним, оскiльки згортка двох сингу-
лярних розподiлiв може бути як сингулярною чи абсолютно неперервною, так i їх сумiшшю.
Зауваження 1. Автозгортка двох (скiнченного числа) нескiнченних згорток Бернуллi не
може бути сумiшшю, оскiльки сума двох (скiнченного числа) незалежних випадкових величин
типу Джессена – Вiнтнера є випадковою величиною Джессена – Вiнтнера, а тому має чистий
тип розподiлу.
Зауваження 2. Випадкову величину \xi можна записати у виглядi
\xi = \xi 1c1 + (\xi 2 + \xi 3)c2 + (\xi 4 + \xi 5 + \xi 6 + \xi 7)c3 + . . .+ (\xi 2n - 1 + . . .+ \xi 2n - 1)cn + . . . =
\infty \sum
n=1
\widetilde \xi ncn,
де \widetilde \xi n = \xi 2n - 1 + . . .+ \xi 2n - 1
— незалежнi випадковi величини, якi мають розподiли
\mathrm{P}\{ \widetilde \xi n = i\} = \widetilde pin, i \in
\bigl\{
0, 1, 2, . . . , 2n - 1
\bigr\}
= An \forall n \in \BbbN ,
2n - 1\sum
i=0
\widetilde pin = 1.
Iмовiрностi \widetilde pin стандартно виражаються через iмовiрностi pin0:
\widetilde p01 = p01, \widetilde p11 = p11, \widetilde p02 = p02p03, \widetilde p12 = p02p13 + p12p03, \widetilde p22 = p12p13,\widetilde p03 = p04p05p06p07, \widetilde p43 = p14p15p16p17,\widetilde p13 = p14p05p06p07 + p04p15p06p07 + p04p05p16p07 + p04p05p06p17,\widetilde p33 = p04p15p16p17 + p14p05p16p17 + p14p15p06p17 + p14p15p16p07,\widetilde p23 = p04p05p16p17 + p04p15p06p17 + p14p05p06p17 + p04p15p16p07 + p14p05p16p07 + p14p15p06p07,
i т. д.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1412 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
Лема 2. Спектр S\psi s розподiлу випадкової величини \psi s є пiдмножиною вiдрiзка [0, s] i
належить об’єднанню
\prod n
k=0
(s \cdot 2k + 1) iзометричних вiдрiзкiв довжини s\widetilde rn, n = 1, 2, 3, . . . .
Доведення. Випадкову величину \psi s можна записати у виглядi
\psi s = \eta 1c1 + \eta 2c2 + . . .+ \eta ncn + . . . =
\infty \sum
n=1
\eta ncn,
де
\eta n = \widetilde \xi (1)n + \widetilde \xi (2)n + . . .+ \widetilde \xi (s)n
— незалежнi випадковi величини, якi мають розподiли
\mathrm{P}\{ \eta n = i\} = p\prime in, i \in
\bigl\{
0, 1, 2, . . . , s \cdot 2n - 1
\bigr\}
= An \forall n \in \BbbN ,
s\cdot 2n - 1\sum
i=0
p\prime in = 1.
Якщо pin > 0, то спектр випадкової величини \psi s збiгається з множиною
S\psi s = S\xi (1) \oplus S\xi (2) \oplus . . .\oplus S\xi (s) =
\Biggl\{
x : x =
\infty \sum
n=1
\zeta ncn, \zeta n \in A\infty
n
\Biggr\}
.
Нехай (f1, f2, . . . , fm) — фiксований впорядкований набiр чисел, де fi \in Ai, i = 1,m, а
\Delta \prime
f1...fm
— множина всiх чисел вигляду
m\sum
n=1
fncn +
\infty \sum
n=m+1
\zeta ncn, де \zeta n \in An.
Легко бачити, що множина S\psi s належить об’єднанню всiх вiдрiзкiв вигляду
\Delta f1f2...fm =
\Biggl[
m\sum
n=1
fnan, s\widetilde rm +
m\sum
n=1
fncn
\Biggr]
=
\bigl[
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f} \Delta \prime
f1...fm , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\Delta
\prime
f1...fm
\bigr]
,
якi називаються цилiндричними вiдрiзками рангу m з основою f1f2 . . . fm (fi \in Ai). Дiаметр
такого вiдрiзка дорiвнює | \Delta f1...fn | = s\widetilde rn. Оскiльки
\Delta \prime
f1f2...fm = \Delta \prime
f1f2...fm0 \cup \Delta \prime
f1f2...fm1 \cup . . . \cup \Delta \prime
f1f2...fm(s\cdot 2n - 1),
то кiлькiсть \widetilde km вiдповiдних цилiндричних вiдрiзкiв рангу m становить
\widetilde km = (s+ 1)(2s+ 1)(4s+ 1) . . . (s2m - 1 + 1) =
m\prod
k=1
(s \cdot 2k - 1 + 1).
Таким чином, S\psi s \subset Gm+1 \subset Gm для всiх m i має мiсце рiвнiсть
S\psi s = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
Gm =
\infty \bigcap
m=1
Gm, де Gm =
\bigcup
(d1...dm)
\Delta f1...fm .
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1413
Теорема 6. У випадку неперервностi випадкової величини \xi (M = 0) розподiл випадкової
величини \psi s для будь-якого натурального s \geq 2 є сингулярним розподiлом канторiвського типу
iз суперфрактальним спектром.
Доведення. Оскiльки, згiдно з попередньою лемою, множина S\psi s належить об’єднанню\widetilde kn =
\prod n
k=1
(s \cdot 2k - 1 + 1) цилiндричних вiдрiзкiв рангу n дiаметра s\widetilde rn, то мiра Лебега
\lambda (S\psi s) \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\widetilde kn\widetilde rn = s \cdot \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
n\prod
k=1
s2k - 1 + 1
(k + 1)2k - 1 + 1
= s \cdot
\infty \prod
k=1
s2k - 1 + 1
(k + 1)2k - 1 + 1
= 0,
позаяк
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
s2n - 1 + 1
(n+ 1)2n - 1 + 1
= 0.
Оскiльки нуль-множина Лебега S\psi s має суперфрактальну пiдмножину S\xi , то S\psi s , згiдно
з першою властивiстю розмiрностi Гаусдорфа – Безиковича, також є суперфрактальною, тобо
\alpha 0(S\psi s) = 1 при довiльному s \in \BbbN .
5. Характеристична функцiя випадкової величини \bfitxi .
Означення 4. Характеристичною функцiєю f\xi (t) випадкової величини \xi називається ма-
тематичне сподiвання комплекснозначної випадкової величини eit\xi , тобто
f\xi (t) = \bfM eit\xi .
Апарат характеристичних функцiй є зручним для дослiдження структури i властивостей
розподiлiв дiйснозначних випадкових величин. Зокрема, вiдомо [15], що величина
L\xi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| t| \rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} | f\xi (t)|
дорiвнює:
1) 1, якщо \xi має дискретний розподiл;
2) 0, якщо \xi має абсолютно неперервний розподiл.
Для сингулярних розподiлiв L\xi може набувати всiх значень з [0, 1]. Сингулярнi розподiли з
L\xi = 1 близькi до дискретних, а з L\xi = 0 — до абсолютно неперервних. Тому величина L\xi ха-
рактеризує близькiсть за властивостями сингулярного розподiлу до дискретного або абсолютно
неперервного.
Лема 3 [8]. Характеристична функцiя випадкової величини \xi , визначеної рiвнiстю (1), має
вигляд
f\xi (t) =
\infty \prod
k=1
p0k + p1ke
itdk =
\infty \prod
k=1
\bigl(
p0k + p1k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(dkt) + ip1k \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(dkt)
\bigr)
,
а її модуль
| f\xi | =
\infty \prod
k=1
| fk(t)| , де | fk(t)| =
\sqrt{}
1 - 4p0kpik \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 tdk
2
.
Теорема 7. Має мiсце рiвнiсть
L\xi = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| t| \rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} | f\xi (t)| = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1414 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
Доведення. Розглянемо послiдовнiсть tn =
2\pi \widetilde rn = 2\pi \cdot
\prod n
k=1
\bigl(
2k+1(k + 1) + 1
\bigr)
.
Оцiнимо
\bigm| \bigm| f\xi (t)\bigm| \bigm| = \infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| fk(tn)\bigm| \bigm| = \infty \prod
k=1
\sqrt{}
1 - 4p0kpik \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2 tdk
2
\geq
\infty \prod
k=1
\sqrt{}
1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
tdk
2
=
\infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tdk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Маємо
L\xi \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\bigm| \bigm| f\xi (tn)\bigm| \bigm| = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| fk(tn)\bigm| \bigm| \geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tndk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Оскiльки для будь-якого k \in \BbbN iснує єдина пара (m, r) \in \BbbN така, що k = 2m - 1 + r, де
r \in
\bigl\{
0, 1, 2, . . . , 2m - 1
\bigr\}
, то dk = d2m - 1+r = cm.
Таким чином, для кожного k = 2m - 1 + r маємо
tndk
2
=
tncm
2
=
\left\{
\pi (m+ 1) \cdot
n\prod
j=m+1
\bigl(
2j - 1(j + 1) + 1
\bigr)
, якщо n \geq m,
\pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
, якщо n < m,
i тому
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tndk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\left\{
1, якщо n \geq m,
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\left( \pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) , якщо n < m.
Отже,
\infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| fk(tn)\bigm| \bigm| \geq \infty \prod
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tndk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tnd12
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . . . \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tnd2n - 1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \cdot \infty \prod
k=2n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tndk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\infty \prod
k=2n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} tndk2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = \infty \prod
m=n+1
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
tncm
2
\biggr) 2m - 1
=
\infty \prod
m=n+1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
m - 1
\left( \pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) .
Для m > n маємо
\infty \prod
m=n+1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
m - 1
\left( \pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) =
=
\infty \prod
m=n+1
\left( 1 - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) 2m - 2
\geq
\geq
\infty \prod
m=n+1
\left( 1 - \pi 2(m+ 1)2\prod m
i=n+1
(4i - 1(i+ 1)2)
\right) 2m - 2
\geq
\infty \prod
j=1
\biggl(
1 - \pi 2
4jn
\biggr) 2n+j - 2
\equiv \pi n+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
СУПЕРФРАКТАЛЬНIСТЬ МНОЖИНИ НЕПОВНИХ СУМ ОДНОГО ДОДАТНОГО РЯДУ 1415
Добуток \pi n+1 є збiжним при кожному n \in \BbbN , оскiльки ряд
\pi 2
4n
+ . . .+
\pi 2
4n\underbrace{} \underbrace{}
2n - 1
+
\pi 2
42n
+ . . .+
\pi 2
42n\underbrace{} \underbrace{}
2n
+
\pi 2
43n
+ . . .+
\pi 2
43n\underbrace{} \underbrace{}
2n+1
+ . . . =
\pi 2
2n+1
\infty \sum
j=1
2n+j - 2
4jn
збiгається i має суму
\pi 2 \cdot 2n - 2
22n - 1 - 1
, а тому збiгається i нескiнченний добуток
\infty \prod
m=n+1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
m - 1
\left( \pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) .
Iз збiжностi останнього добутку випливає рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\infty \prod
m=n+1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2
m - 1
\left( \pi (m+ 1)\prod m
i=n+1
(2i - 1(i+ 1) + 1)
\right) = 1,
звiдки L\xi \geq 1. Оскiльки завжди L\xi \leq 1, то L\xi = 1.
Теорему 7 доведено.
Лiтература
1. Albeverio S., Baranovskyi O., Pratsiovytyi M., Torbin G. The set of incomplete sums of the first Ostrogradsky series
and anomalously fractal probability distributions on it // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. – 2009. – 54, №. 2. –
P. 85 – 115.
2. Albeverio S., Goncharenko Ya., Pratsiovytyi M., Torbin G. Jessen – Wintner type random variables and fractal
properties of their distributions // Math. Nachr. – 2006. – 279, № 15. – S. 1619 – 1633.
3. Eggleston H. G. Sets of fractional dimensions which occur is some problems of number theory // Proc. London Math.
Soc. – 1952. – 54. – P. 42 – 93.
4. Guthrie J. A., Nymann J. E. The topological structure of the set of subsums of an infinite series // Colloq. Math. –
1988. – 55, № 2. – P. 323 – 327.
5. Kakeya S. On the partial sums of an infinite series // Tohoku Sci. Rep. – 1914. – 3, № 4. – P. 159 – 163.
6. Nymann J. E., Sáenz R. A. On the paper of Guthrie and Nymann on subsums of infinite series // Colloq. Math. –
2000. – 83. – P. 323 – 327.
7. Peres Y., Schlag W., Solomyak B. Sixty year of Bernoulli convolutions // Fractal Geom. and Stochast. II. Progr.
Probab. – 2000. – 46. – P. 39 – 65.
8. Pratsiovytyi M. V., Feshchenko O. Y. Topological, metric and fractal properties of probability distributions on the set
of incomplete sums of positive series // Theory Stochast. Process. – 2007. – 13 (29), № 1-2. – P. 205 – 224.
9. Šalát T. Absolut konvergente Reihen und Hausdorffsche Mass // Czechoslovak Math. J. – 1959. – 9, № 3. –
P. 372 – 389.
10. Solomyak B. On the random series
\sum
\pm \lambda n (an Erdös problem) // Ann. Math. – 1995. – 142, № 3. – P. 611 – 625.
11. Барановський О. М., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Ряди Остроградського – Серпiнського – Пiрса та їхнi
застосування. – Київ: Наук. думка, 2013. – 286 с.
12. Гончаренко Я. В. Згортки розподiлiв сум випадкових рядiв спецiального виду // Наук. зап. НПУ iм. М. П. Дра-
гоманова. Фiз.-мат. науки. – 2003. – № 4. – С. 216 – 232.
13. Гончаренко Я. В., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Тополого-метричнi i фрактальнi властивостi множини
неповних сум знакододатного ряду та розподiлiв на нiй // Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат.
науки. – 2005. – № 6. – С. 210 – 224.
14. Гончаренко Я. В., Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Фрактальнi властивостi деяких згорток Бернуллi // Теорiя
ймовiрностей та мат. статистика. – 2008. – Вип. 79. – С. 34 – 49.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
1416 В. П. МАРКIТАН, М. В. ПРАЦЬОВИТИЙ, I. О. САВЧЕНКО
15. Лукач Е. Характеристические функции. – М.: Наука, 1979. – 424 с.
16. Працьовитий М. В. Згортки сингулярних розподiлiв // Доп. НАН України. – 1997. – № 9. – С. 36 – 43.
17. Працьовитий М. В. Розподiли сум випадкових степеневих рядiв // Доп. НАН України. – 1996. – № 5. –
С. 32 – 37.
18. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Вид-во НПУ
iм. М. П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
19. Працьовитий М. В., Савченко I. О. Множина неповних сум числового ряду з однiєю нелiнiйною властивiстю
однорiдностi // Буков. мат. журн. – 2014. – 2, № 2-3. – С. 196 – 202.
20. Працьовитий М. В., Савченко I. О. Розподiли випадкових неповних сум знакододатного ряду з нелiнiйною
властивiстю однорiдностi // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2014. – 91. – С. 133 – 142.
21. Працьовитий М. В., Савченко I. О. Фрактальнi властивостi лiнiйних множин однiєї трипараметричної сiм’ї //
Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2013. – № 14. – С. 227 – 239.
22. Працьовитий М. В., Торбiн Г. М. Один клас випадкових величин типу Джессена – Вiнтнера // Доп. НАН
України. – 1998. – № 4. – С. 48 – 54.
23. Савченко I. О. Тополого-метричнi та фрактальнi властивостi множин неповних сум знакододатних рядiв одного
класу // Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2012. – № 13. – С. 188 – 196.
24. Савченко I. О. Тополого-метричнi та фрактальнi властивостi множин неповних сум (пiдсум) одного класу
збiжних рядiв з суттєвими перекриттями // Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. –
2013. – № 15. – С.119 – 133.
25. Шалат Т. О мере Хаусдорфа линейных множеств // Чехосл. мат. журн. – 1961. – 11 (86). – С. 24 – 56.
Одержано 22.02.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-1644 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:45Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2d/96ce5ec1480c2beb3ace8f45f673622d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16442019-12-05T09:21:55Z Superfractality of the set of incomplete sums of one positive series Суперфрактальність множини неповних сум одного додатного ряду Markitan, V. P. Pratsiovytyi, M. V. Savchenko, I. O. Маркітан, В. П. Працьовитий, М. В. Савченко, І. О. We consider a family of convergent positive normed series with real terms defined by the conditions $$\sum ^{\infty}_{n=1} d_n = \underbrace{c_1 + ...+c_1}_{a_1} + \underbrace{c_2 + ...+c_2}_{a_2} + ... + \underbrace{c_n + ...+c_n}_{a_n} + \widetilde{ r_n} = 1,$$ where $(a_n)$ is a nondecreasing sequence of real numbers. The structural properties of these series are investigated. For a partial case, namely, $(a_n) = 2^{n - 1}, c_n = (n + 1)\widetilde {r_n}, n \in N$, we study the geometry of the series (i.e., the properties of cylindrical sets, metric relations generated by them, and topological and metric properties of the set of all incomplete sums of the series). For the infinite Bernoulli convolution determined we describe its Lebesgue structure (discrete, absolutely continuous, and singular components) and spectral properties, as well as the behavior of the absolute value of the characteristic function at infinity. We also study the finite autoconvolutions of distributions of this kind. Розглядається сiм’я додатних нормованих рядiв iз дiйсними членами, визначених умовами $$\sum ^{\infty}_{n=1} d_n = \underbrace{c_1 + ...+c_1}_{a_1} + \underbrace{c_2 + ...+c_2}_{a_2} + ... + \underbrace{c_n + ...+c_n}_{a_n} + \widetilde{ r_n} = 1,$$ де $(a_n)$ — неспадна послiдовнiсть дiйсних чисел. Дослiджуються структурнi властивостi таких рядiв. Для частинного випадку, а саме, $(a_n) = 2^{n - 1}, c_n = (n + 1)\widetilde {r_n}, n \in N$, вивчається геометрiя ряду (властивостi цилiндричних множин i ними породжених метричних спiввiдношень та топологометричнi властивостi множини всiх неповних сум ряду). Для нескiнченної згортки Бернуллi, керованої таким рядом, вивчається лебегiвська структура (вмiст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) i спектральнi властивостi, а також поведiнка модуля характеристичної функцiї цього розподiлу на нескiнченностi та скiнченнi автозгортки таких розподiлiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1644 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 10 (2018); 1403-1416 Український математичний журнал; Том 70 № 10 (2018); 1403-1416 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1644/626 Copyright (c) 2018 Markitan V. P.; Pratsiovytyi M. V.; Savchenko I. O. |
| spellingShingle | Markitan, V. P. Pratsiovytyi, M. V. Savchenko, I. O. Маркітан, В. П. Працьовитий, М. В. Савченко, І. О. Superfractality of the set of incomplete sums of one positive series |
| title | Superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| title_alt | Суперфрактальність множини неповних сум одного додатного ряду |
| title_full | Superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| title_fullStr | Superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| title_full_unstemmed | Superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| title_short | Superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| title_sort | superfractality of the set of incomplete sums
of one positive series |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1644 |
| work_keys_str_mv | AT markitanvp superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT pratsiovytyimv superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT savchenkoio superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT markítanvp superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT pracʹovitijmv superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT savčenkoío superfractalityofthesetofincompletesumsofonepositiveseries AT markitanvp superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu AT pratsiovytyimv superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu AT savchenkoio superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu AT markítanvp superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu AT pracʹovitijmv superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu AT savčenkoío superfraktalʹnístʹmnožininepovnihsumodnogododatnogorâdu |