Fredholm one-dimensional boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces
For systems of linear differential equations on a compact interval, we investigate the dependence on a parameter $\varepsilon$ of the solutions to boundary-value problems in the Sobolev spaces $W^n_{\infty}$. We obtain a constructive criterion of the continuous dependence of the solutions of these...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1649 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507474644172800 |
|---|---|
| author | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. |
| author_facet | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. |
| author_sort | Atlasiuk, O. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-04-04T09:37:01Z |
| description | For systems of linear differential equations on a compact interval, we investigate the dependence on a parameter $\varepsilon$ of the
solutions to boundary-value problems in the Sobolev spaces $W^n_{\infty}$. We obtain a constructive criterion of the continuous
dependence of the solutions of these problems on the parameter $\varepsilon$ for $\varepsilon = 0$. The degree of convergence of these solutions
is established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
О. М. Атласюк, В. А. Михайлець (Iн-т математики НАН України, Київ)
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПАРАМЕТРОМ
У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА
For systems of linear differential equations on a compact interval, we investigate the dependence on a parameter \varepsilon of the
solutions to boundary-value problems in the Sobolev spaces Wn
\infty . We obtain a constructive criterion of the continuous
dependence of the solutions of these problems on the parameter \varepsilon for \varepsilon = 0. The degree of convergence of these solutions
is established.
Для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь на скiнченному iнтервалi дослiджено залежнiсть вiд параметра \varepsilon
розв’язкiв крайових задач у просторах Соболєва Wn
\infty . Встановлено конструктивний критерiй неперервної залежнос-
тi вiд параметра \varepsilon при \varepsilon = 0 розв’язкiв таких задач та знайдено швидкiсть збiжностi цих розв’язкiв.
1. Вступ. Дослiдження розв’язкiв систем звичайних диференцiальних рiвнянь є важливою
частиною багатьох задач сучасного аналiзу та його застосувань (див., наприклад, [1] та наве-
дену там бiблiографiю). Для лiнiйних крайових задач умови фредгольмовостi та неперервної
залежностi розв’язкiв вiд параметра встановленi I. Т. Кiгурадзе в [2, 3]. Отриманi ним резуль-
тати набули подальшого розвитку в роботах другого з авторiв та його учнiв [4 – 6]. Нещодавно
цi дослiдження було поширено на бiльш загальнi класи фредгольмових крайових задач, по-
в’язаних iз рiзними функцiональними банаховими просторами [7 – 11]. Такi задачi мають ряд
особливостей i потребують нових пiдходiв та методiв.
Нехай задано скiнченний iнтервал (a, b) \subset \BbbR та числа
\{ m,n\} \subset \BbbN , \varepsilon 0 > 0.
Розглянемо параметризовану числом \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) сiм’ю неоднорiдних крайових задач вигляду
L(\varepsilon )y(t; \varepsilon ) := y\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )y(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), t \in (a, b), (1)
B(\varepsilon )y(\cdot ; \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (2)
де при кожному фiксованому значеннi параметра \varepsilon матриця-функцiя A(\cdot ; \varepsilon ) \in Wn - 1
\infty
\bigl(
[a, b];
\BbbC m\times m
\bigr)
=:
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m\times m
, вектор-функцiя f(\cdot ; \varepsilon ) \in Wn - 1
\infty
\bigl(
[a, b];\BbbC m
\bigr)
=:
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
, вектор c(\varepsilon ) \in
\in \BbbC m, а B(\varepsilon ) — лiнiйний неперервний оператор
B(\varepsilon ) :
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m \rightarrow \BbbC m.
Пiд розв’язком крайової задачi (1), (2) розумiємо вектор-функцiю y(\cdot ; \varepsilon ) \in (Wn
\infty )m , яка
задовольняє рiвняння (1) майже скрiзь (при n \geq 2 скрiзь) на (a, b) та рiвнiсть (2). Крайова
умова (2) є найбiльш загальною для системи (1), розв’язок якої пробiгає весь простiр Соболєва
(Wn
\infty )m [11] (лема 1). Iз крайовою задачею (1), (2) можна пов’язати лiнiйний оператор
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) :
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m \times \BbbC m. (3)
Це обмежений фредгольмовий оператор з iндексом нуль [11] (теорема 1).
Основна мета даної роботи полягає у встановленнi критерiю неперервної залежностi розв’яз-
кiв крайових задач (1), (2) вiд параметра \varepsilon при \varepsilon = 0.
c\bigcirc О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1457
1458 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
2. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати статтi. Їх доведення наведено у
п. 4.
Для того щоб дослiджувана задача мала змiст, далi будемо вважати, що виконується yмова
(0): гранична однорiдна крайова задача вигляду (1), (2)
L(0)y(t; 0) = 0, t \in (a, b), B(0)y(\cdot ; 0) = 0
має лише тривiальний розв’язок.
У цьому випадку вiдповiдна гранична неоднорiдна крайова задача має єдиний розв’язок.
Розглянемо такi граничнi умови при \varepsilon \rightarrow 0+:
(I) A(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow A(\cdot ; 0) у просторi
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m\times m
;
(II) B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y у \BbbC m для кожного y \in
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
.
Означення 1. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (1), (2) неперервно залежить вiд
параметра \varepsilon при \varepsilon = 0, якщо виконуються такi умови:
(\ast ) iснує таке додатне число \varepsilon 1 < \varepsilon 0, що для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 1), довiльних правих частин
f(\cdot ; \varepsilon ) \in
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
i c(\varepsilon ) \in \BbbC m ця задача має єдиний розв’язок y(\cdot ; \varepsilon ), який належить простору\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
;
(\ast \ast ) зi збiжностi правих частин f(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow f(\cdot ; 0) в
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
та c(\varepsilon ) \rightarrow c(0) в \BbbC m при
\varepsilon \rightarrow 0+ випливає збiжнiсть розв’язкiв
y(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow y(\cdot ; 0) у
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
при \varepsilon \rightarrow 0 + .
Сформулюємо критерiй неперервностi розв’язку y = y(t, \varepsilon ) крайової задачi (1), (2) за
параметром \varepsilon при \varepsilon \rightarrow 0+ у просторi Wn
\infty .
Теорема 1. Розв’язок крайової задачi (1), (2) неперервно залежить вiд параметра \varepsilon при
\varepsilon = 0 тодi i тiльки тодi, коли вона задовольняє умову (0) та граничнi умови (I), (II).
Перейдемо до дослiдження швидкостi збiжностi розв’язкiв крайової задачi (1), (2) при
\varepsilon \rightarrow 0 + .
Покладемо
\widetilde dn - 1,\infty (\varepsilon ) :=
\bigm\| \bigm\| L(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - f(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n - 1,\infty +
\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - c(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m ,
де \| \cdot \| n - 1,\infty — норма у просторi Wn - 1
\infty , а \| \cdot \| \BbbC m — норма у просторi \BbbC m.
Величини \bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty
та \widetilde dn - 1,\infty (\varepsilon ) є вiдповiдно похибкою i нев’язкою розв’язку y(\cdot ; \varepsilon ) крайової задачi (1), (2), якщо
y(\cdot ; \varepsilon ) розглядати як її точний розв’язок, а y(\cdot ; 0) — як наближений.
Теорема 2. Нехай крайова задача (1), (2) задовольняє умови (0), (I) i (II). Тодi iснують
додатнi числа \varepsilon 2 < \varepsilon 1 i \gamma 1, \gamma 2 такi, що для кожного \varepsilon \in (0, \varepsilon 2) має мiсце двобiчна оцiнка
\gamma 1 \widetilde dn - 1,\infty (\varepsilon ) \leq
\bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty \leq \gamma 2 \widetilde dn - 1,\infty (\varepsilon ), (4)
де числа \varepsilon 2, \gamma 1 i \gamma 2 не залежать вiд y(\cdot ; 0) i y(\cdot ; \varepsilon ).
Згiдно з цiєю теоремою, похибка i нев’язка розв’язку y(\cdot ; \varepsilon ) крайової задачi (1), (2) мають
однаковий порядок мализни.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПАРАМЕТРОМ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1459
3. Допомiжнi результати. Наступна теорема мiстить конструктивнi умови, за яких непе-
рервний оператор (3) є оборотним при достатньо малих значеннях параметра \varepsilon та гарантує
неперервну залежнiсть розв’язкiв вiд параметра у просторi (Wn
\infty )m.
Теорема 3. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються такi умови:
1) \| A(\cdot ; \varepsilon ) - A(\cdot ; 0)\| n - 1,\infty \rightarrow 0 у просторi
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m\times m
;
2) B(\varepsilon )y \rightarrow B(0)y для довiльного y \in (Wn
\infty )m .
Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним. Якщо, крiм цього,
3) \| f(\cdot ; \varepsilon ) - f(\cdot ; 0)\| n - 1,\infty \rightarrow 0, c(\varepsilon ) \rightarrow c(0),
то розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) задачi (1), (2) задовольняє граничну властивiсть
\| y(\cdot ; \varepsilon ) - y(\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0. (5)
Доведення теореми 3 подамо у виглядi доведення чотирьох лем, наведених нижче.
Лема 1. Нехай виконуються умови (0) та 1, 2 теореми 3. Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0
оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Доведення. З умови 1 за теоремою про гомеоморфiзми [11] випливає, що
\| Y (\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (6)
Тодi на пiдставi умови 2 отримаємо збiжнiсть числових матриць
[B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )] \rightarrow [B(0)Y (\cdot ; 0)] , \varepsilon \rightarrow 0 + . (7)
Згiдно з умовою (0), гранична квадратна матриця є невиродженою [11] (теорема 2). Тому для
достатньо малих \varepsilon \geq 0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} [B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )] \not = 0.
Звiдси випливає оборотнiсть оператора (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )).
Лему 1 доведено.
Розглянемо разом iз вихiдною неоднорiдною крайовою задачею (1), (2) вiдносно вектор-
функцiї y(t; \varepsilon ) ще три векторнi крайовi задачi:
v\prime (t; \varepsilon ) = - A(t; \varepsilon )v(t; \varepsilon ), B(\varepsilon )v(\cdot ; \varepsilon ) = c(\varepsilon ), (8)
x\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )x(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), x(a; \varepsilon ) = 0, (9)
w\prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )w(t; \varepsilon ) = f(t; \varepsilon ), B(\varepsilon )w(\cdot ; \varepsilon ) = 0,
де параметр \varepsilon \geq 0 є малим. Як вiдомо, крайова задача (9) (задача Кошi) має єдиний розв’язок.
З огляду на лему 1 маємо рiвнiсть
y(\cdot ; \varepsilon ) = v(\cdot ; \varepsilon ) + w(\cdot ; \varepsilon ) (10)
для малих \varepsilon \geq 0. Тому для доведення теореми 3 достатньо показати, що за виконання її умов
справджуються такi спiввiдношення при \varepsilon \rightarrow 0+:
\| v(\cdot ; \varepsilon ) - v(\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0, (11)
\| w(\cdot ; \varepsilon ) - w(\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0. (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1460 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
Лема 2. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються умови теореми 3. Тодi має мiсце граничне спiв-
вiдношення (11).
Доведення. Iз першої рiвностi крайової задачi (8) випливає, що
v(\cdot ; \varepsilon ) = Y (\cdot ; \varepsilon )\widetilde c(\varepsilon ) (13)
для деякого \widetilde c(\varepsilon ) \in \BbbC m. Звiдси, враховуючи другу рiвнiсть задачi (8), отримуємо
[B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )]\widetilde c(\varepsilon ) = c(\varepsilon ).
Тому на пiдставi леми 1, критерiю оборотностi [11] (теорема 2), формули (7) i умови 2 маємо
\widetilde c(\varepsilon ) = [B(\varepsilon )Y (\cdot ; \varepsilon )] - 1c(\varepsilon ) \rightarrow [B(0)Y (\cdot ; 0)] - 1c(0) = \widetilde c(0), \varepsilon \rightarrow 0 + .
Отже, iз (6) i (13) отримуємо спiввiдношення (11).
Лему 2 доведено.
Лема 3. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються умови 1 – 3 теореми 3. Тодi розв’язок задачi (9)
має властивiсть
\| x(\cdot ; \varepsilon ) - x(\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (14)
Доведення. Нехай число \varepsilon > 0 є достатньо малим. Розв’язок задачi (9) допускає зображення
x(t; \varepsilon ) = Y - 1(t; \varepsilon )
t\int
a
Y (s; \varepsilon )f(s; \varepsilon ) ds. (15)
З умови 1 за теоремою про гомеоморфiзми [11] маємо\bigm\| \bigm\| Y \pm 1(\cdot ; \varepsilon ) - Y \pm 1(\cdot ; 0)
\bigm\| \bigm\|
n,\infty \rightarrow 0 (16)
при \varepsilon \rightarrow 0 + . Тодi згiдно з умовою 3 i спiввiдношенням (16)
\| Y (\cdot ; \varepsilon )f(\cdot ; \varepsilon ) - Y (\cdot ; 0)f(\cdot ; 0)\| n - 1,\infty \rightarrow 0. (17)
Це випливає з того, що Wn
\infty є банаховою алгеброю. Тепер зi спiввiдношень (15) – (17) отриму-
ємо (14).
Лему 3 доведено.
Лема 4. За умов теореми 3 виконується граничне спiввiдношення (12).
Доведення. Вектор-функцiя u(\cdot ; \varepsilon ) = x(\cdot ; \varepsilon ) - w(\cdot ; \varepsilon ) є розв’язком крайової задачi вигля-
ду (8):
u\prime (t; \varepsilon ) = - A(t; \varepsilon )u(t; \varepsilon ),
B(\varepsilon )u(\cdot ; \varepsilon ) = B(\varepsilon )x(\cdot ; \varepsilon ) =: \widetilde c(\varepsilon ).
Iз властивостi 2 i леми 3 маємо \widetilde c(\varepsilon ) \rightarrow \widetilde c(0) при \varepsilon \rightarrow 0 + . Тому з леми 2 випливає збiжнiсть
\| u(\cdot ; \varepsilon ) - u(\cdot ; 0)\| n,\infty \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (18)
Iз рiвностi w(\cdot ; \varepsilon ) = x(\cdot ; \varepsilon ) - u(\cdot ; \varepsilon ) та формул (14), (18) отримуємо (12).
Потрiбна гранична властивiсть (5) є безпосереднiм наслiдком рiвностi (10) i лем 2, 4.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПАРАМЕТРОМ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1461
Зауваження 1. Означення 1 є еквiвалентним наступному означенню.
Означення 2. Говоримо, що розв’язок крайової задачi (1), (2) неперервно залежить вiд
параметра \varepsilon при \varepsilon = 0, якщо виконуються такi умови:
(\ast ) iснує таке додатне число \varepsilon 1 < \varepsilon 0, що для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 1), довiльних правих частин
f(\cdot ) \in (Wn
\infty )m i c \in \BbbC m ця задача має єдиний розв’язок y(\cdot ; \varepsilon ) \in (Wn
\infty )m ;
(\ast \ast ) виконується граничне спiввiдношення збiжностi розв’язкiв
y(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow y(\cdot ; 0) у (Wn
\infty )m при \varepsilon \rightarrow 0 + .
З означення 1 безпосередньо випливає виконання умов означення 2. Доведемо зворотну
iмплiкацiю.
За теоремою 3 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) має обмежений обернений оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 :\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m \times \BbbC m \rightarrow (Wn
\infty )m для довiльних \varepsilon \in [0, \varepsilon \prime 2). З означення 2 для достатньо малих \varepsilon
випливає сильна збiжнiсть обернених операторiв
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 s - \rightarrow (L(0), B(0)) - 1 (19)
та збiжнiсть правих частин
f(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow f(\cdot ; 0), c(\varepsilon ) \rightarrow c(0). (20)
Виберемо f(\cdot ; \varepsilon ) \in
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
та c(\varepsilon ) \in \BbbC m. Тодi виконуються рiвностi
y(\cdot ; \varepsilon ) = (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )), (21)
y(\cdot ; 0) = (L(0), B(0)) - 1(f(\cdot ; 0), c(0)), (22)
тобто збiжнiсть y(\cdot ; \varepsilon ) до y(\cdot ; 0) рiвносильна збiжностi
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - \rightarrow (L(0), B(0)) - 1(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )), \varepsilon \rightarrow 0 + . (23)
За теоремою Банаха – Штейнгауза для достатньо малих \varepsilon маємо\bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1
\bigm\| \bigm\| \leq C. (24)
Оскiльки \bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (L(0), B(0)) - 1(f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| (f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\| +
+
\bigm\| \bigm\| [(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 - (L(0), B(0)) - 1](f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\| ,
то, враховуючи умови (19) – (24), переконуємось у виконаннi граничного спiввiдношення (\ast \ast )
означення 1.
Встановимо ще один допомiжний результат. Нехай оператор (L(0), B(0)) є оборотним.
Розглянемо такi двi умови:
(i) оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 збiгається до оператора (L(0), B(0)) - 1 в сильнiй операторнiй
топологiї;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1462 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
(ii) оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) збiгається до оператора (L(0), B(0)) в сильнiй операторнiй то-
пологiї.
Теорема 4. Умови (i) та (ii) є еквiвалентними, тобто при \varepsilon \rightarrow 0+
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 s - \rightarrow (L(0), B(0)) - 1 \Leftarrow \Rightarrow (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))
s - \rightarrow (L(0), B(0)). (25)
Розiб’ємо обґрунтування рiвносильностi (25) на два кроки.
Крок 1. Доведемо, що сильна збiжнiсть обернених операторiв еквiвалентна виконанню
системи умов (I), (II).
Крок 2. Доведемо, що виконання системи умов (I), (II) еквiвалентне сильнiй збiжностi
операторiв.
Дiйсно, за теоремою 1 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) має обмежений обернений оператор
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1, причому виконується сильна збiжнiсть обернених операторiв. Отже, з теореми 1
безпосередньо випливає виконання умов кроку 1. Зауважимо, що для довiльних неперервних
операторiв, якi дiють у нескiнченновимiрних банахових просторах i залежать вiд \varepsilon , така рiв-
носильнiсть не має мiсця.
Перейдемо до кроку 2. Для цього покажемо, що справджується наступна лема.
Лема 5. Гранична умова (I) еквiвалентна кожнiй iз таких умов:
(a1) \| L(\varepsilon ) - L(0)\| \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0+;
(a2) L(\varepsilon )y \rightarrow L(0)y в
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
при \varepsilon \rightarrow 0+ для кожного y \in (Wn
\infty )m .
Доведення. Iмплiкацiя (a1) \Rightarrow (a2) є очевидною. Залишилося показати, що з граничної
умови (I) випливає умова (a1), а з умови (a2) — гранична умова (I). Спочатку обґрунтуємо
першу iмплiкацiю. Припустимо, що \| A(\varepsilon ) - A(0)\| n - 1,\infty \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . Для довiльної
вектор-функцiї y \in (Wn
\infty )m маємо
\| (L(\varepsilon ) - L(0))y\| n - 1,\infty = \| (A(\varepsilon ) - A(0))y\| n - 1,\infty \leq
\leq cn - 1,\infty \| A(\varepsilon ) - A(0)\| n - 1,\infty \| y\| n - 1,\infty \leq
\leq cn\| A(\varepsilon ) - A(0)\| n - 1,\infty \| y\| n,\infty при \varepsilon \rightarrow 0 + .
Тут cn — деяке додатне число, що не залежить вiд y; воно iснує, оскiльки Wn
\infty — банахова
алгебра. Тому
\| L(\varepsilon ) - L(0)\| \leq cn\| A(\varepsilon ) - A(0)\| n - 1,\infty \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0+,
де \| \cdot \| позначає норму лiнiйного неперервного оператора на парi просторiв
L(\varepsilon ) : (Wn
\infty )m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
.
Першу iмплiкацiю доведено.
Доведемо тепер, що з умови (a2) випливає гранична умова (I). Припустимо, що виконується
умова (a2). Тодi
Y \prime +A(\varepsilon )Y = [L(\varepsilon )Y ] \rightarrow [L(0)Y ] = Y \prime +A(0)Y в
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m\times m
при \varepsilon \rightarrow 0+ для кожної матрицi-функцiї Y \in (Wn
\infty )m\times m . При цьому матриця-функцiя [L(\varepsilon )Y ]
утворена стовпцями, якi є результатами дiї оператора L(\varepsilon ) на вiдповiднi стовпцi матрицi Y.
Узявши тут Y (t) \equiv Im, отримаємо потрiбну збiжнiсть A(\varepsilon ) \rightarrow A(0) в
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m\times m
при
\varepsilon \rightarrow 0 + . Другу iмплiкацiю, а з нею лему 5 i теорему 4, доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПАРАМЕТРОМ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1463
4. Доведення теорем 1 i 2. Достатнiсть умов (0), (I) i (II) для того, щоб задача (1), (2)
задовольняла означення 1, було встановлено в теоремi 3. Доведемо необхiднiсть. Припустимо,
що ця задача задовольняє означення 1. Тодi виконується умова (0). Залишилося показати, що
для цiєї задачi виконуються умови (I) i (II). Розiб’ємо це доведення на три кроки.
Крок 1. Доведемо, що крайова задача (1), (2) задовольняє граничну умову (I). За умови (\ast )
означення 1 оператор \bigl(
L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr)
: (Wn
\infty )m \rightarrow
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m \times \BbbC m
оборотний для будь-якого \varepsilon \in [0, \varepsilon 1). Для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 1) розглянемо матричну крайову
задачу
Y \prime (t; \varepsilon ) +A(t; \varepsilon )Y (t; \varepsilon ) = Om, t \in (a, b),
[BY (\cdot ; \varepsilon )] = Im.
Ця крайова задача є сукупнiстю m крайових задач (1), (2) iз правими частинами, якi не залежать
вiд \varepsilon . Тому за припущенням вона має єдиний розв’язок Y (\cdot ; \varepsilon ) \in (Wn
\infty )m\times m , який задовольняє
умову Y (\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow Y (\cdot ; 0) у просторi (Wn
\infty )m\times m при \varepsilon \rightarrow 0 + . Зазначимо, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Y (t; \varepsilon ) \not = 0
для довiльного t \in (a, b), оскiльки iнакше стовпцi матрицi-функцiї Y (\cdot ; \varepsilon ) будуть лiнiйно
залежними, що суперечитиме умовi [BY (\cdot ; \varepsilon )] = Im. Тому
A(\cdot ; \varepsilon ) = - Y \prime (\cdot ; \varepsilon )(Y (\cdot ; \varepsilon )) - 1 \rightarrow - Y \prime (\cdot ; 0)(Y (\cdot ; 0)) - 1 = A(\cdot ; 0)
у просторi (Wn
\infty )m\times m при \varepsilon \rightarrow 0+, тобто виконується умова (I).
Крок 2. Покажемо, що виконується умова (II). Спочатку доведемо, що \| B(\varepsilon )\| = O(1) при
\varepsilon \rightarrow 0+, де \| \cdot \| — норма обмеженого оператора B(\varepsilon ) : (Wn
\infty )m \rightarrow \BbbC m. Припустимо супротивне,
тобто iснує числова послiдовнiсть
\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr) \infty
k=1
\subset (0, \varepsilon 1) така, що \varepsilon (k) \rightarrow 0 i
0 <
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow \infty , \varepsilon \rightarrow 0 + .
Для кожного номера k виберемо таку вектор-функцiю xk \in (Wn
\infty )m, що
\| xk\| n,\infty = 1 i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr)
xk
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\BbbC m
\geq 1
2
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B(\varepsilon (k))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| .
Покладемо
y(\cdot ; \varepsilon (k)) :=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| B(\varepsilon (k))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| - 1
xk,
f(\cdot ; \varepsilon (k)) := L(\varepsilon (k)) y(\cdot ; \varepsilon (k)),
c(\varepsilon (k)) := B(\varepsilon (k)) y(\cdot ; \varepsilon (k)).
Оскiльки y
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow 0 у просторi (Wn
\infty )m при \varepsilon \rightarrow 0+, то f
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow 0 в
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
,
бо за доведеним A(\cdot ; \varepsilon ) задовольняє умову (I). Оскiльки скiнченновимiрний простiр \BbbC m є
локально компактним, то виконуються нерiвностi 1/2 \leq
\bigm\| \bigm\| c \bigl( \varepsilon (k)\bigr) \bigm\| \bigm\| \BbbC m \leq 1. Перейшовши до
пiдпослiдовностi чисел \varepsilon (k), можна вважати, що c
\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow c(0) при k \rightarrow \infty , де c(0) — деякий
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1464 О. М. АТЛАСЮК, В. А. МИХАЙЛЕЦЬ
ненульовий вектор в \BbbC m. Отже, для кожного номера k вектор-функцiя y
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
\in (Wn
\infty )m є
єдиним розв’язком крайової задачi
L(\varepsilon (k)) y(t; \varepsilon (k)) = f(t; \varepsilon (k)), t \in (a, b),
B(\varepsilon (k)) y(\cdot ; \varepsilon (k)) = c(\varepsilon (k)).
Нагадаємо, що f
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow 0 у
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
i c
\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow c(0) \not = 0 у \BbbC m при k \rightarrow \infty .
Тому на пiдставi умови (\ast \ast ) означення 1 функцiя y
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
збiгається у просторi (Wn
\infty )m
до єдиного розв’язку y(\cdot ; 0) граничної крайової задачi, яка складається з диференцiального
рiвняння L(0)y(t, 0) = 0, t \in (a, b), i неоднорiдної крайової умови B(0)y(\cdot ; 0) = c(0). Але
врахуємо, що y
\bigl(
\cdot ; \varepsilon (k)
\bigr)
\rightarrow 0 у тому ж просторi. Отже, y(\cdot ; 0) \equiv 0, що суперечить крайовiй
умовi. Тому зроблене припущення є хибним, тобто \| B(\varepsilon )\| = O(1) при \varepsilon \rightarrow 0 + .
Крок 3. Тепер можемо показати, що виконується умова (II). Iз доведеного вище випливає,
що iснують такi числа \gamma \prime > 0 i \varepsilon \prime \in (0, \varepsilon 1), що \| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))\| \leq \gamma \prime для всiх \varepsilon \in [0, \varepsilon \prime ), де \| \cdot \| —
норма обмеженого оператора, що дiє з простору (Wn
\infty )m у простiр
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m \times \BbbC m. Виберемо
вектор-функцiю y \in (Wn
\infty )m довiльним чином та покладемо f(\cdot ; \varepsilon ) := L(\varepsilon )y i c(\varepsilon ) := B(\varepsilon )y
для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0). Тодi при \varepsilon \rightarrow 0+, враховуючи умову (\ast \ast ), маємо\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y - B(0)y
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m \leq
\bigm\| \bigm\| (f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\|
(Wn - 1
\infty )
m\times \BbbC m =
=
\bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\|
(Wn - 1
\infty )
m\times \BbbC m \leq
\leq \gamma \prime
\bigm\| \bigm\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1
\bigl(
(f(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon )) - (f(\cdot ; 0), c(0))
\bigr) \bigm\| \bigm\|
n,\infty =
= \gamma \prime
\bigm\| \bigm\| (L(0), B(0)) - 1(f(\cdot ; 0), c(0)) - (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1(f(\cdot ; 0), c(0))
\bigm\| \bigm\|
n,\infty \rightarrow 0.
Оскiльки \| B(\varepsilon )\| = O(1) та
\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y - B(0)y
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m \rightarrow 0, маємо збiжнiсть B(\varepsilon )y до B(0)y у
\BbbC m для кожного y \in (Wn
\infty )m . Отже, крайова задача (1), (2) задовольняє умову (II).
Теорему 1 доведено.
Перейдемо до доведення теореми 2. Спочатку покажемо, що має мiсце лiва частина подвiй-
ної нерiвностi (4). Покладемо
f(\cdot , \varepsilon ) := L(\varepsilon ) y(\cdot ; \varepsilon ), c(\varepsilon ) := B(\varepsilon ) y(\cdot ; \varepsilon ). (26)
Iз граничних умов (I), (II) випливає сильна збiжнiсть обернених операторiв\bigl(
L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr) s - \rightarrow
\bigl(
L(0), B(0)
\bigr)
, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Тому iснують числа \gamma \prime > 0 i \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 2) такi, що норма цього оператора задовольняє нерiвнiсть
\| (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))\| \leq \gamma \prime . (27)
Дiйсно, припустивши протилежне, можна знайти таку послiдовнiсть додатних чисел
\bigl(
\varepsilon (k)
\bigr) \infty
k=1
,
що \varepsilon (k) \rightarrow 0 i
\bigm\| \bigm\| \bigl( L(\varepsilon (k)), B(\varepsilon (k))
\bigr) \bigm\| \bigm\| \rightarrow \infty при k \rightarrow \infty . Але за теоремою Банаха – Штейнгауза це
суперечить сильнiй збiжностi
\bigl(
L(\varepsilon (k)), B(\varepsilon (k))
\bigr)
до (L(0), B(0)) при k \rightarrow \infty . Тому для довiль-
ного \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 2) з урахуванням (26), (27) робимо висновок, що\bigm\| \bigm\| L(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - f(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n - 1,\infty +
\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - c(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ФРЕДГОЛЬМОВI ОДНОВИМIРНI КРАЙОВI ЗАДАЧI З ПАРАМЕТРОМ У ПРОСТОРАХ СОБОЛЄВА 1465
=
\bigm\| \bigm\| L(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - L(\varepsilon )y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n - 1,\infty +
\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - B(\varepsilon )y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
\BbbC m \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| L(\varepsilon )\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty +
\bigm\| \bigm\| B(\varepsilon )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty \leq \gamma \prime
\bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty ,
тобто встановлено лiву частину нерiвностi (4) iз \gamma 1 := 1/\gamma \prime .
Доведемо праву частину подвiйної нерiвностi (4). Згiдно з теоремою 1, оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon ))
має обмежений обернений оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 для довiльного \varepsilon \in (0, \varepsilon \prime 2), причому вико-
нується сильна збiжнiсть
(L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) - 1 s - \rightarrow (L(0), B(0)) - 1, \varepsilon \rightarrow 0 + .
Справдi, для довiльних f \in
\bigl(
Wn - 1
\infty
\bigr) m
та c \in \BbbC m за умовою (\ast \ast ) означення 1 маємо збiжнiсть\bigl(
L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr) - 1
(f ; c) =: y(\cdot ; \varepsilon ) \rightarrow y(\cdot ; 0) :=
\bigl(
L(0), B(0)
\bigr) - 1
(f ; c)
у
\bigl(
Wn
\infty
\bigr) m
при \varepsilon \rightarrow 0 + . Тодi за теоремою Банаха – Штейнгауза, як i вище, випливає, що
норми цих обернених операторiв обмеженi, тобто iснують такi додатнi числа \varepsilon 2 i \gamma 2, що норма
оберненого оператора \bigm\| \bigm\| \bigl( L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr) - 1\bigm\| \bigm\| \leq \gamma 2.
Отже, для довiльного \varepsilon \in (0, \varepsilon 2) справджуються спiввiдношення\bigm\| \bigm\| y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigm\| \bigm\|
n,\infty =
\bigm\| \bigm\| \bigl( L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr) - 1\bigl(
L(\varepsilon ), B(\varepsilon )
\bigr) \bigl(
y(\cdot ; 0) - y(\cdot ; \varepsilon )
\bigr) \bigm\| \bigm\|
n,\infty \leq
\leq \gamma 2
\bigl(
\| L(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - f(\cdot ; \varepsilon )\| n - 1,\infty + \| B(\varepsilon )y(\cdot ; 0) - c(\varepsilon )\| \BbbC m
\bigr)
.
Звiдси безпосередньо випливає права частина двобiчної оцiнки (4).
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. – Utrecht,
Boston: VSP, 2004. – xiv+317 p.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // ВИНИТИ. – 1987. –
30. – С. 3 – 103.
4. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr. Math.
J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
5. Михайлец В. А., Пелехата О. Б., Рева Н. В. Предельные теоремы для решений краевых задач // Укр. мат. журн. –
2018. – 70, № 2. – С. 216 – 223.
6. Mikhailets V. A., Chekhanova G. A. Limit theorem for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
7. Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces //
Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658 – 667.
8. Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Solutions of one-dimensional boundary-value problems with a parameter in Sobolev
spaces // J. Math. Sci. – 2013. – 190, № 4. – P. 589 – 599.
9. Hnyp Y. V., Mikhailets V. A., Murach A. A. Parameter-dependent one-dimensional boundary-value problems in Sobolev
spaces // Electron. J. Different. Equat. – 2017. – № 81. – 13 p.
10. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. O. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – № 87. – 16 p.
11. Атласюк О. М., Михайлець В. А. Фредгольмовi одновимiрнi крайовi задачi у просторах Соболєва // Укр. мат.
журн. – 2018. – 70, № 10. – С. 1324 – 1333.
Одержано 19.07.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1649 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:53Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/eb/065425e1f03a1ed2d90eda094b8306eb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16492020-04-04T09:37:01Z Fredholm one-dimensional boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces Фредгольмові одновимірні крайові задачі з параметром у просторах Соболєва Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. For systems of linear differential equations on a compact interval, we investigate the dependence on a parameter $\varepsilon$ of the solutions to boundary-value problems in the Sobolev spaces $W^n_{\infty}$. We obtain a constructive criterion of the continuous dependence of the solutions of these problems on the parameter $\varepsilon$ for $\varepsilon = 0$. The degree of convergence of these solutions is established. Для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь на скiнченному iнтервалi дослiджено залежнiсть вiд параметра $\varepsilon$ розв’язкiв крайових задач у просторах Соболєва $W^n_{\infty}$. Встановлено конструктивний критерiй неперервної залежностi вiд параметра $\varepsilon$ при $\varepsilon = 0$ розв’язкiв таких задач та знайдено швидкiсть збiжностi цих розв’язкiв. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1649 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1457-1465 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1457-1465 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1649/631 Copyright (c) 2018 Atlasiuk O. M.; Mikhailets V. A. |
| spellingShingle | Atlasiuk, O. M. Mikhailets, V. A. Атласюк, О. М. Михайлець, В. А. Fredholm one-dimensional boundary-value problems with parameter in Sobolev spaces |
| title | Fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in Sobolev spaces |
| title_alt | Фредгольмові одновимірні крайові задачі з параметром
у просторах Соболєва |
| title_full | Fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in Sobolev spaces |
| title_fullStr | Fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in Sobolev spaces |
| title_full_unstemmed | Fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in Sobolev spaces |
| title_short | Fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in Sobolev spaces |
| title_sort | fredholm one-dimensional boundary-value problems with
parameter in sobolev spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1649 |
| work_keys_str_mv | AT atlasiukom fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemswithparameterinsobolevspaces AT mikhailetsva fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemswithparameterinsobolevspaces AT atlasûkom fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemswithparameterinsobolevspaces AT mihajlecʹva fredholmonedimensionalboundaryvalueproblemswithparameterinsobolevspaces AT atlasiukom fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačízparametromuprostorahsobolêva AT mikhailetsva fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačízparametromuprostorahsobolêva AT atlasûkom fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačízparametromuprostorahsobolêva AT mihajlecʹva fredgolʹmovíodnovimírníkrajovízadačízparametromuprostorahsobolêva |