Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality
Two infinite-dimensional versions of the classical Friedrichs inequality are proposed.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1651 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507475530219520 |
|---|---|
| author | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_facet | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. |
| author_sort | Bogdanskii, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | Two infinite-dimensional versions of the classical Friedrichs inequality are proposed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98+517.954
Ю. В. Богданский (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ им. И. Сикорского”, Киев)
БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ ВЕРСИЯ НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА
Two infinite-dimensional versions of the classical Friedrichs inequality are proposed.
Запропоновано два нескiнченновимiрних варiанти класичної нерiвностi Фрiдрiхса.
Классическое неравенство Фридрихса имеет вид\int
G
u2 d\lambda \leq C
\left( \int
G
n\sum
k=1
\biggl(
\partial u
\partial xk
\biggr) 2
d\lambda +
\int
S
(\gamma (u))2d\sigma
\right) , (1)
где G — ограниченная область в \BbbR n с границей S, удовлетворяющей определенным условиям;
функция u принадлежит W 1
2 (G); \lambda — классическая мера Лебега в \BbbR n; \sigma — поверхностная мера
на S; \gamma : W 1
2 (G) - \rightarrow L2(S) — соответствующий оператор следа; постоянная C определяется
геометрией области G.
Перенос на бесконечномерный случай некоторых интегральных неравенств для гауссовских
мер рассмотрен в [1]. Одному из подходов к построению поверхностного интегрирования в
бесконечномерных пространствах посвящена монография [2].
В данной работе предлагаются два варианта бесконечномерной версии формулы (1). При
этом второй вариант неравенства получен на основе конструкции ассоциированной поверхност-
ной меры в гильбертовом пространстве, определение которой и ряд приложений рассмотрены
в работах [3 – 7].
1. Предварительные сведения. Рассматривается ограниченная область G в сепарабельном
вещественном гильбертовом пространстве H (\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H \leq \infty ) с заданной на нем неотрицательной
конечной (или конечной на шарах в H ) борелевской мерой \mu .
Обозначим пространство всех ограниченных непрерывных вещественных функций на H
через Cb = Cb(H); пространство всех непрерывных и ограниченных на H векторных полей \bfX :
H - \rightarrow H через Cb(H;H); пространство всех функций f \in Cb
\bigl(
соответственно векторных по-
лей \bfX \in Cb(H;H)
\bigr)
, дифференцируемых по Фреше в каждой точке x \in H с ограниченной
и непрерывной на H производной f \prime (\cdot )
\bigl(
соответственно \bfX \prime (\cdot )
\bigr)
, через C1
b = C1
b (H) (соот-
ветственно C1
b (H;H)
\bigr)
; семейство всех функций на G, допускающих продолжение на H до
функции класса C1
b , через C1(G). Символом C1
0 (G) обозначим семейство всех функций из
C1(G), каждая из которых равна нулю в некоторой \varepsilon -окрестности границы S области G.
Пусть \Phi t = \Phi Z
t — поток векторного поля \bfZ \in C1
b (H;H). Сдвиг меры \mu вдоль векторного
поля \bfZ обозначим через \mu t (\mu t(A) = \mu (\Phi tA) для каждого A \in \frakB (H), где \frakB (H) — борелевская
\sigma -алгебра в H ). Дифференцируемость меры \mu вдоль \bfZ предполагается далее в сильном смысле
(по Фомину), т. е. для каждого A \in \frakB (H) предполагаем существование \vargamma (A) =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\mu t(A).
В этом случае \vargamma = dZ\mu (производная меры \mu вдоль поля \bfZ ) является борелевской (знакопере-
менной) мерой, абсолютно непрерывной относительно меры \mu . Соответствующую плотность
d\vargamma
d\mu
принято называть логарифмической производной меры \mu вдоль поля \bfZ или дивергенцией
поля \bfZ (относительно меры \mu ) :
d\vargamma
d\mu
= \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfZ .
c\bigcirc Ю. В. БОГДАНСКИЙ, 2018
1476 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ ВЕРСИЯ НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА 1477
При построении второго варианта неравенства на область G и меру \mu накладываем допол-
нительные условия.
Граница S области G предполагается гладким вложенным в H подмногообразием кораз-
мерности 1, а поле единичной внешней нормали к S — продолжимым до векторного поля
\bfn \in C1
b (H;H). Дополнительно предполагаем также, что мера \mu дифференцируема вдоль поля
\bfn . Существование поля \bfn с указанными выше свойствами постулируем и говорим о согласо-
вании S (или G) с мерой \mu .
Для \varepsilon > 0 символом A\varepsilon обозначим \varepsilon -окрестность множества A. В работе [4] доказано, что
при согласовании S с мерой \mu имеет место равенство
\mu (S\varepsilon ) = O(\varepsilon ), \varepsilon \rightarrow 0, (2)
поэтому (см. [3], предложение 1) C1
0 (G) плотно в L2(G).
Согласованная с S мера \mu индуцирует на S поверхностную меру [3, 4], которую обозначим
\mu S или \sigma . Если u — ограниченная непрерывная функция на S, \^u \in Cb — ее продолжение на
H, то поверхностная мера \sigma корректно определяется формулой, которая должна выполняться
для всех ограниченных непрерывных на S функций:\int
S
u d\sigma =
d
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
\int
\Phi n
t G
\^u d\mu , (3)
при этом \sigma не зависит от выбора продолжения \bfn поля единичной внешней нормали к S
(см. [3, 6]).
Помимо функционального пространства L2(G) = L2(G;\mu ) рассматриваем также
L2(G;H) = L2(G;H;\mu ) — пространство квадратично интегрируемых векторных полей на
G. Норму в L2(G;H) задаем формулой | | | \bfZ | | | 2 =
\int
G
\| \bfZ (\cdot )\| 2 d\mu (интегрируемость векторного
поля понимаем в смысле конструкции Бохнера (см. [8])). Здесь и в дальнейшем символами \| \cdot \|
и (\cdot , \cdot ) обозначены соответственно норма и скалярное произведение в пространстве H.
В конструкции второго варианта неравенства также предполагаем, что мера \mu имеет свой-
ство полноты носителя (\mu (U) > 0 для любого непустого открытого множества U \subset H ). В этом
случае корректно определен оператор \bfg \bfr \bfa \bfd : L2(G) - \rightarrow L2(G;H) с естественной областью
определения C1(G).
При этом на область G и меру \mu наложим следующие условия:
a) оператор \bfg \bfr \bfa \bfd корректно определен и допускает замыкание с областью определения
\scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd );
б) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfn
\bigm| \bigm|
G
\in L\infty (G).
Примером меры \mu , согласованной с поверхностью S и удовлетворяющей условиям а), б),
является мера \vargamma \varphi — „сглаженная” вдоль поля \bfn гауссова мера \vargamma , ядерный корреляционный опе-
ратор которой имеет плотный образ в H (см. [5]). Сглаженная мера \vargamma \varphi задается на борелевских
множествах в H формулой
\vargamma \varphi (A) =
\int
\BbbR
\varphi (t)\vargamma (\Phi n
t A) dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1478 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
где \varphi \in C1(\BbbR ) — неотрицательная функция, для которой
\int
\BbbR
\varphi (t)dt < \infty и существует постоян-
ная C1 > 0, для которой неравенство | \varphi \prime (s)| \leq C1\varphi (s) выполнено при всех s \in \BbbR
\Bigl(
например,
\varphi (s) =
1
1 + s2
\Bigr)
.
При совместном выполнении условий а), б) существует постоянная C (зависящая только
от области G и меры \mu ) такая, что для каждой функции u \in C1(G) имеет место неравенство
\| u
\bigm| \bigm|
S
\| L2(S,\sigma ) \leq C(\| u\| L2(G) + | | | \bfg \bfr \bfa \bfd u| | | ).
Тем самым корректно определен ограниченный „оператор следа” \gamma из банахова в норме графика
оператора \bfg \bfr \bfa \bfd пространства \scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd ) в L2(S, \sigma ), сужение которого на C1(G) определено
равенством \gamma (u) = u
\bigm| \bigm|
S
(см. [3]).
В работе [6] доказано, что \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r} \gamma совпадает с замыканием C1
0 (G) по норме графика опера-
тора \bfg \bfr \bfa \bfd .
Заметим также, что в случае конечномерного пространства H и классической меры Лебега
\mu = \lambda , пространство \scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd ) совпадает с соболевским пространством W 1
2 (G), а условия а),
б) выполняются для широкого класса областей с гладкой границей S.
2. Неравенство Фридрихса. Вариант 1.
Теорема 1. Пусть G — ограниченная область в H, \mu — неотрицательная борелевская
мера, конечная на шарах в H. Пусть существует векторное поле \bfZ \in C1
b (H;H), для которого
выполнены следующие условия:
а) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfZ
\bigm| \bigm|
V
\in L\infty (V ;\mu ) на шарах V \subset H;
б) существует t0 такое, что G \cap \Phi t0G = \varnothing (здесь \Phi t — поток поля \bfZ );
в) существует p \in \BbbN такое, что каждая траектория t \mapsto \rightarrow \Phi t(x) поля \bfZ при | t| \leq | t0|
пересекает S не более чем в p точках.
Тогда существует такая постоянная C > 0, что для каждой функции u \in C1
b имеет
место неравенство \int
G
u2d\mu \leq C
\left( \int
G
| u| \| \bfg \bfr \bfa \bfd u\| d\mu + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
1
\varepsilon
\int
S\varepsilon
u2d\mu
\right) . (4)
Доказательство. Не теряя общности, можно считать, что t0 > 0. Пусть u принадле-
жит C1
b . Для t \geq 0 положим G(t) :=
\bigl\{
x
\bigm| \bigm| \forall s \in [0; t] : \Phi sx \in G
\bigr\}
и функцию F : [0; t0] - \rightarrow \BbbR
определим равенством
F (t) =
\int
H
(u2 \circ \Phi t)jG(t)d\mu (5)
(здесь jA — индикатор множества A).
Шаг 1. Докажем, что F абсолютно непрерывна на [0; t0]. Полагая t \geq 0, s > 0, имеем
F (t+ s) - F (t) =
\int
H
(u2 \circ \Phi t+s - u2 \circ \Phi t)jG(t+s)d\mu +
+
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t+s) - jG(t)) d\mu . (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ ВЕРСИЯ НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА 1479
В силу теоремы о среднем для каждого x \in G(t+ s) существует \vargamma \in (0; 1), для которого имеет
место равенство
u2(\Phi t+sx) - u2(\Phi tx) = s
\bigl(
(\bfg \bfr \bfa \bfd u2)(\Phi t+\vargamma sx),\bfZ (\Phi t+\vargamma sx)
\bigr)
, (7)
откуда получаем оценку\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
H
(u2 \circ \Phi t+s - u2 \circ \Phi t)jG(t+s)d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G
\| \bfg \bfr \bfa \bfd u2(\cdot )\| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
G
\| \bfZ (\cdot )\| s\mu (G). (8)
Далее оценим второе слагаемое в правой части равенства (6).
Прежде всего заметим, что G(t) \supset G(t+ s) и при этом\bigl(
x \in G(t) \setminus G(t+ s)
\bigr)
\Rightarrow
\bigl(
\exists \tau \in (t; t+ s] : \Phi \tau x \in S
\bigr)
. (9)
Данная импликация является следствием следующих условий: \Phi tx принадлежит G; су-
ществует \alpha \in (0, s], для которого \Phi t+\alpha x /\in G, и отображение [t, t + \alpha ] \ni \tau \mapsto \rightarrow \Phi \tau x \in H
непрерывно.
Пусть V — шар в H достаточно большого радиуса (\Phi tG \subset V при | t| \leq t0). Поскольку
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfZ
\bigm| \bigm|
V
принадлежит L\infty (V ), при | t| \leq t0 меры \mu t = \mu \circ \Phi t и \mu эквивалентны в G. При этом
d\mu - t
d\mu
\leq eM | t| (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mu ) \leq eMt0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mu ), (10)
где M =
\bigm\| \bigm\| \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfZ \bigm\| \bigm\| L\infty (V ;\mu )
(см. [6], лемма 2).
Пусть \delta 0 \in (0; t0); \Delta \subset [0; t0] представляет собой дизъюнктное объединение числовых
промежутков:
\Delta =
m\bigvee
k=1
\langle tk, tk + sk\rangle , где sk > 0 и
m\sum
k=1
sk \leq \delta < \delta 0.
В силу (9) G(tk) \setminus G(tk + sk) \subset \Phi [ - (tk+sk), - tk)S (здесь и далее \Phi \Delta A := \{ \Phi tx | t \in \Delta ;x \in A\} ),
поэтому, учитывая неравенство (10), получаем оценку
\mu (G(tk) \setminus G(tk + sk)) \leq eMt0\mu
\biggl(
\Phi [ -
\sum k
i=1si, -
\sum k - 1
i=1 si)
S
\biggr)
(11)
\Bigl( \sum 0
i=1
si := 0 при k = 1
\Bigr)
.
Условие в) теоремы 1 при \delta 0 <
t0
2
приводит к неравенству
m\sum
k=1
\mu
\biggl(
\Phi [ -
\sum k
i=1 si, -
\sum k - 1
i=1 si)S
\biggr)
\leq p\mu (\Phi [ - \delta ;0)S),
поэтому из (11) следует оценка
0 \leq
m\sum
k=1
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(tk) - jG(tk+sk)) d\mu \leq p \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
u2eMt0\mu (\Phi [ - \delta ;0)S). (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1480 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
Теперь из равенства (6) и неравенств (8), (12) следует абсолютная непрерывность на [0; t0]
функции F (t).
Шаг 2. F (t0) = 0; F (0) =
\int
G
u2 d\mu ; вследствие абсолютной непрерывности функция F
почти всюду дифференцируема на [0; t0] и имеет место равенство
\int
G
u2 d\mu = -
t0\int
0
F \prime (t) dt. (13)
Зафиксируем t \in [0; t0]. При всех x \in G справедливо равенство
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0
1
s
\bigl(
u2(\Phi t+sx) - u2(\Phi tx)
\bigr)
=
\bigl(
(\bfg \bfr \bfa \bfd u2)(\Phi tx),\bfZ (\Phi tx)
\bigr)
, (14)
а из (7) следует равномерная, не зависящая от s оценка сверху семейства функций\biggl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1s (u2 \circ \Phi t+s - u2 \circ \Phi t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr\} .
В силу условия в) каждая точка x \in H не может войти более чем в p множеств вида
\Phi tS при | t| < t0
2
, поэтому вследствие эквивалентности мер \mu и \mu t приходим к равенствам
\mu (S) = 0, \mu t(S) = 0 при | t| < t0. Теперь из вложения\bigl\{
x
\bigm| \bigm| jG(t+s)(x) \not - \rightarrow jG(t)(x)
\bigr\}
\subset
\bigl\{
x
\bigm| \bigm| \Phi tx \in S
\bigr\}
= \Phi - tS
следует сходимость jG(t+s) - \rightarrow jG(t) (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\mu ) при s \rightarrow 0.
Тем самым применение теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и равенство (14)
приводят к (корректному) равенству
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0
\int
H
1
s
(u2 \circ \Phi t+s - u2 \circ \Phi t)jG(t+s) d\mu =
=
\int
G
\bigl(
(\bfg \bfr \bfa \bfd u2) \circ \Phi t,\bfZ \circ \Phi t
\bigr)
jG(t) d\mu . (15)
Из (15) и (10) следует оценка\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}s\rightarrow 0
\int
H
1
s
(u2 \circ \Phi t+s - u2 \circ \Phi t)jG(t+s) d\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
\| \bfZ (\cdot )\|
\int
G
| u| \| \bfg \bfr \bfa \bfd u\| d\mu - t
d\mu
d\mu \leq
\leq 2KeMt0
\int
G
| u| \| \bfg \bfr \bfa \bfd u\| d\mu (16)
\bigl(
здесь и далее K = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}H \| \bfZ (\cdot )\|
\bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ ВЕРСИЯ НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА 1481
Пусть теперь t — точка дифференцируемости функции F (\cdot ). Тогда из (6) и (15) следует
существование предела
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0
1
s
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t) - jG(t+s)) d\mu .
Из (9) следует вложение \Phi t(G(t) \setminus G(t+ s)) \subset SKs. Поэтому
0 \leq
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t) - jG(t+s)) d\mu \leq
\int
\Phi - t(SKs)
(u2 \circ \Phi t) d\mu =
=
\int
SKs
u2
d\mu - t
d\mu
d\mu \leq eMt0
\int
SKs
u2 d\mu , (17)
и, следовательно,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0+0
1
s
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t) - jG(t+s)) d\mu \leq KeMt0 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0+0
1
s
\int
Ss
u2 d\mu . (18)
Теперь из (13), (16) и (18) получаем неравенство (4) с постоянной C = 2KeMt0 , что и доказы-
вает теорему 1.
Следствие 1. В условиях теоремы 1 выполняется неравенство
\int
G
u2 d\mu \leq C
\left(
\left( \int
G
u2d\mu
\right) 1/2\left( \int
G
\| \bfg \bfr \bfa \bfd u\| 2 d\mu
\right) 1/2
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
1
\varepsilon
\int
S\varepsilon
u2 d\mu
\right) .
Доказательство. К правой части неравенства (4) следует применить неравенство Коши –
Буняковского.
Следствие 2 (неравенство Фридрихса). В условиях теоремы 1 существует постоянная
C1, для которой при всех u \in C1
b выполняется неравенство
\| u\| 2L2(G) \leq C1
\left( | | | \bfg \bfr \bfa \bfd u| | | 2 + \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0+0
1
\varepsilon
\int
S\varepsilon
u2 d\mu
\right) .
Доказательство. Положим p = \| u\| L2(G), q = | | | \bfg \bfr \bfa \bfd u| | | , r =
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0+0
1
\varepsilon
\int
S\varepsilon
u2d\mu
\biggr) 1/2
.
Тогда из (4) следует, что p2 \leq C(pq + r2), поэтому p \leq Cq
2
+
\sqrt{}
C2q2
4
+ Cr2, p2 \leq C2q2
2
+
+
C2q2
2
+ 2Cr2 \leq C1(q
2 + r2), где C1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(C2, 2C), что и доказывает следствие.
Замечание 1. В качестве модельного примера можно рассмотреть в H продакт-меру \mu =
= \vargamma 1 \times \vargamma 2, соответствующую разложению H = H1 \oplus H2, где \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H1 < \infty ; плотность
d\vargamma 1
d\lambda
меры \vargamma 1 относительно классической лебеговой меры \lambda в H1 из класса C1; \bfZ (\cdot ) \equiv h \in H1 —
постоянное векторное поле; область G строго выпукла в H. При этом выполнены все условия
теоремы 1 и следствий 1, 2; p = 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1482 Ю. В. БОГДАНСКИЙ
3. Неравенство Фридрихса. Вариант 2.
Теорема 2. Пусть ограниченная область G \subset H и мера \mu согласованы и удовлетворяют
условиям а), б) п. 1. Пусть существуют векторное поле \bfZ \in C1
b (H;H), для которого на шарах
V \subset H выполнено условие \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mu \bfZ
\bigm| \bigm|
V
\in L\infty (V ;\mu ), и t0 такое, что G \cap \Phi t0G = \varnothing (здесь \Phi t —
поток поля \bfZ ).
Тогда существует постоянная C > 0 такая, что для любой функции u \in \scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd ) имеет
место неравенство
\int
G
u2d\mu \leq C
\left( \int
G
| u| \| \bfg \bfr \bfa \bfd u\| d\mu +
\int
S
(\gamma (u))2d\sigma
\right) . (19)
Доказательство. Прежде всего заметим, что неравенство (19) достаточно получить лишь
для функций u \in C1
b . Предельным переходом оно переносится на функции u \in \scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd ). Не
теряя общности также можно считать, что t0 > 0.
Далее доказательство с небольшими изменениями повторяет доказательство теоремы 1.
Шаг 1. Докажем, что функция F, определенная формулой (5), удовлетворяет на [0; t0]
условию Липшица.
Оценку второго слагаемого в правой части равенства (6) проведем по другой схеме.
Из неравенства (17) получаем оценку
0 \leq
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t) - jG(t+s)) d\mu \leq eMt0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
u2\mu (SKs). (20)
В силу (2) существуют l > 0 и \delta > 0 такие, что при s \in (0; \delta ) имеет место неравенство
\mu (SKs) \leq ls, поэтому из (20) следует вывод о том, что при s \in (0; \delta ) и при всех t \in [0; t0]
имеет место оценка
0 \leq
\int
H
(u2 \circ \Phi t)(jG(t) - jG(t+s)) d\mu \leq eMt0 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
H
(u2)ls,
что в силу равенства (6) и оценки (8) завершает проверку липшицевости функции F.
Шаг 2. Вывод равенства (15) и оценки (16) проводится по той же схеме с единственным
отличием: равенство \mu (S) = 0 не нуждается в дополнительном выводе, оно следует из согла-
сованности меры \mu и области G (см. (2)).
Наконец осталось заметить, что для u \in C1
b существует \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}s\rightarrow 0+0
1
s
\int
Ss
u2 d\mu = 2
\int
S
u2 d\sigma
(см. (3)), что вместе с оценкой (18) и завершает доказательство теоремы.
По той же схеме, что и в п. 2, выводятся соответствующие следствия. В частности, отметим
последнее из них.
Следствие 3 (неравенство Фридрихса). В условиях теоремы 2 существует постоянная
C1, для которой при всех u \in \scrD (\bfg \bfr \bfa \bfd ) выполняется неравенство
\| u\| 2L2(G) \leq C1
\Bigl(
| | | \bfg \bfr \bfa \bfd u| | | 2 + \| \gamma (u)\| 2L2(S)
\Bigr)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
БЕСКОНЕЧНОМЕРНАЯ ВЕРСИЯ НЕРАВЕНСТВА ФРИДРИХСА 1483
Замечание 2. Условия теоремы 2 очевидным образом выполняются в случае конечномер-
ного H и классической лебеговой меры \mu . Однако в случае бесконечномерного пространства H
на данном этапе исследований, в отличие от первого варианта, автору не удалось предложить
нетривиальный модельный пример, в котором одновременно выполнены все условия теоре-
мы 2. Путь решения этой проблемы, по мнению автора, следует искать в ослаблении условий
согласования области G с мерой \mu (см. п. 1).
Замечание 3. Полученные результаты остаются в силе в случае замены H на (бесконеч-
номерное) риманово многообразие с заданной на нем конечной неотрицательной борелевской
мерой (см. [9, 10]), а также в случае конечномерных римановых многообразий с классической
мерой „риманов объем”. Соответствующие доказательства идентичны приведенным выше.
Литература
1. Богачев В. И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. – М.; Ижевск: РХД, 2008. – 544 с.
2. Uglanov A. V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
2000. – 262 p.
3. Богданский Ю. В. Лапласиан по мере на гильбертовом пространстве и задача Дирихле для уравнения Пуассона
в L2 -версии // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 9. – С. 1169 – 1178.
4. Богданский Ю. В. Банаховы многообразия с ограниченной структурой и формула Гаусса – Остроградского //
Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 10. – С. 1299 – 1313.
5. Богданский Ю. В., Санжаревский Я. Ю. Задача Дирихле с лапласианом по мере на гильбертовом простран-
стве // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 6. – С. 733 – 739.
6. Богданский Ю. В. Граничный оператор следа в области гильбертова пространства и характеристическое
свойство его ядра // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 11. – С. 1450 – 1460.
7. Богданский Ю. В. Принцип максимума для лапласиана по мере в области гильбертова пространства // Укр.
мат. журн. – 2016. – 68, № 4. – С. 460 – 468.
8. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1967. – 204 с.
9. Богданский Ю. В., Потапенко А. Ю. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. I //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 7. – С. 897 – 907.
10. Богданский Ю. В., Потапенко А. Ю. Лапласиан по мере на римановом многообразии и задача Дирихле. II //
Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1443 – 1449.
Получено 24.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1651 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:54Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/28/978ad255751872b87768daffe103c128.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16512019-12-05T09:22:19Z Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality Бесконечномерная версия неравенства Фридрихса Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Two infinite-dimensional versions of the classical Friedrichs inequality are proposed. Запропоновано два нескiнченновимiрних варiанти класичної нерiвностi Фрiдрiхса. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1651 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1476-1483 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1476-1483 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1651/633 Copyright (c) 2018 Bogdanskii Yu. V. |
| spellingShingle | Bogdanskii, Yu. V. Богданский, Ю. В. Богданский, Ю. В. Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title | Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title_alt | Бесконечномерная версия неравенства Фридрихса |
| title_full | Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title_fullStr | Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title_full_unstemmed | Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title_short | Infinite-dimensional version of the Friedrichs inequality |
| title_sort | infinite-dimensional version of the friedrichs inequality |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1651 |
| work_keys_str_mv | AT bogdanskiiyuv infinitedimensionalversionofthefriedrichsinequality AT bogdanskijûv infinitedimensionalversionofthefriedrichsinequality AT bogdanskijûv infinitedimensionalversionofthefriedrichsinequality AT bogdanskiiyuv beskonečnomernaâversiâneravenstvafridrihsa AT bogdanskijûv beskonečnomernaâversiâneravenstvafridrihsa AT bogdanskijûv beskonečnomernaâversiâneravenstvafridrihsa |