Free products of $n$-tuple semigroups
We construct a free product of arbitrary n-tuple semigroups, introduce the notion of $n$-band of $n$-tuple semigroups and, in terms of this notion, describe the structure of the free product. We also construct a free commutative $n$-tuple semigroup of an arbitrary rank and characterize one-generated...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1652 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507476001030144 |
|---|---|
| author | Zhuchok, A. V. Koppitz, J. Жучок, А. В. Коппіц, Й. |
| author_facet | Zhuchok, A. V. Koppitz, J. Жучок, А. В. Коппіц, Й. |
| author_sort | Zhuchok, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We construct a free product of arbitrary n-tuple semigroups, introduce the notion of $n$-band of $n$-tuple semigroups and, in terms of this notion, describe the structure of the free product. We also construct a free commutative $n$-tuple semigroup of an arbitrary rank and characterize one-generated free commutative $n$-tuple semigroups. Moreover, we describe the least commutative congruence on a free $n$-tuple semigroup and establish that the semigroups of the constructed free commutative $n$-tuple semigroup are isomorphic and its automorphism group is isomorphic to the symmetric group. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.579
А. В. Жучок (Луган. нац. ун-т iм. Т. Шевченка),
Й. Коппiц (Iн-т математики та iнформатики Болгар. акад. наук, Софiя)
ВIЛЬНI ДОБУТКИ \bfitn -КРАТНИХ НАПIВГРУП*
We construct a free product of arbitrary n-tuple semigroups, introduce the notion of n-band of n-tuple semigroups and,
in terms of this notion, describe the structure of the free product. We also construct a free commutative n-tuple semigroup
of an arbitrary rank and characterize one-generated free commutative n-tuple semigroups. Moreover, we describe the least
commutative congruence on a free n-tuple semigroup and establish that the semigroups of the constructed free commutative
n-tuple semigroup are isomorphic and its automorphism group is isomorphic to the symmetric group.
Побудовано вiльний добуток довiльних n-кратних напiвгруп, введено поняття n-сполуки n-кратних напiвгруп та
в термiнах цього поняття описано будову вiльного добутку. Побудовано вiльну комутативну n-кратну напiвгрупу
довiльного рангу та oхарактеризовано однопородженi вiльнi комутативнi n-кратнi напiвгрупи. Описано найменшу
комутативну конгруенцiю на вiльнiй n-кратнiй напiвгрупi та встановлено, що напiвгрупи побудованої вiльної кому-
тативної n-кратної напiвгрупи iзоморфнi, а її група автоморфiзмiв iзоморфна симетричнiй групi.
1. Вступ. Нагадаємо, що непорожня множина G називається n-кратною напiвгрупою [1], якщо
на нiй задано n бiнарних операцiй (позначаються 1 , 2 , . . . , n ), якi задовольняють аксiоми
(x r y) s z = x r (y s z) для всiх x, y, z \in G та r, s \in \{ 1, 2, . . . , n\} . Очевидно, що кожна
напiвгрупа є n-кратною напiвгрупою при n = 1, проте iснує багато прикладiв n-кратних
напiвгруп, якi не є напiвгрупами.
Поняття n-кратної напiвгрупи використовувалося в [1] при вивченнi n-кратних алгебр
асоцiативного типу. Тотожностi n-кратної напiвгрупи знайшли застосування у роботах [2, 3].
Рiзнi аспекти та властивостi n-кратних напiвгруп вивчалися кiлькома авторами (див.,
наприклад, [4 – 14]). Так, n-кратнi напiвгрупи тiснo пов’язанi з допельнапiвгрупами [4 – 7],
iнтерасоцiативними напiвгрупами [8 – 10], рестриктивними бiнапiвгрупами [15, 16], комутатив-
ними дiмоноїдами [11, 12] та комутативними трiоїдами [13]. Для бiльшої iсторичної iнформацiї
ми вiдсилаємо читача до робiт [17, 18], в яких розглядаються дiмоноїди та трiоїди. У [14] наве-
дено приклади n-кратних напiвгруп, що мають важливi застосування, а саме, встановлено, що
кожний комутативний дiмоноїд (трiоїд) є 2-кратною (3-кратною) напiвгрупою, а також доведено
незалежнiсть аксiом n-кратної напiвгрупи та побудовано вiльну n-кратну напiвгрупу.
У цiй статтi продовжено дослiдження, розпочатi в [14].
У другому пунктi побудовано вiльний добуток довiльних n-кратних напiвгруп.
У третьому пунктi ми вперше наводимо приклад n-сполуки з рiзними операцiями, таким
чином, вiдповiдаючи на вiдкрите питання, поставлене першим автором у [5]. Це дозволяє ввес-
ти поняття n-сполуки n-кратних напiвгруп, яке узагальнює вiдоме поняття сполуки напiвгруп,
введене в [19], та є досить ефективним при описi структурних властивостей n-кратних напiв-
груп. У термiнах n-сполуки n-кратних напiвгруп описано будову вiльного добутку n-кратних
напiвгруп.
У четвертому пунктi побудовано вiльну комутативну n-кратну напiвгрупу довiльного рангу
та, як наслiдок, охарактеризовано однопородженi вiльнi комутативнi n-кратнi напiвгрупи. Крiм
* Cтаттю написано пiд час наукового стажування першого автора в Потсдамському унiверситетi (Нiмеччина) в
рамках програми нiмецької служби академiчних обмiнiв (DAAD).
c\bigcirc А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ, 2018
1484 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1485
того, встановлено, що напiвгрупи вiльної комутативної n-кратної напiвгрупи iзоморфнi, а її
група автоморфiзмiв iзоморфна симетричнiй групi.
У п’ятому пунктi описано найменшу комутативну конгруенцiю на вiльнiй n-кратнiй напiв-
групi та наведено критерiї, за якими операцiї n-кратної напiвгрупи збiгаються.
Результати, отриманi у статтi, узагальнюють деякi результати [4].
2. Конструкцiя вiльного добутку. Побудуємо вiльний добуток довiльних n-кратних на-
пiвгруп.
Нехай R — клас унiверсальних алгебр A\beta , \beta \in \Omega . Вiльним добутком у класi R алгебр A\beta ,
\beta \in \Omega , називається алгебра A з класу R, яка мiстить усi A\beta в якостi пiдалгебр i така, що будь-
який набiр гомоморфiзмiв алгебр A\beta у будь-яку алгебру B з R продовжується до гомоморфiзму
алгебри A в B. Вiльний добуток завжди iснує, якщо R — многовид унiверсальних алгебр, а
кожна вiльна алгебра є вiльним добутком однопороджених вiльних алгебр. У загальнiй алгебрi
вiдомi конструкцiї вiльних добуткiв у многовидах груп, напiвгруп, дiмоноїдiв тощо.
Природним чином виникає задача про побудову вiльного добутку в многовидi n-кратних
напiвгруп.
Як завжди, через \BbbN будемо позначати множину всiх натуральних чисел.
Наступна лема знадобиться нам при доведеннi основного результату цього пункту.
Лема 1 ([14], лема 1). У n-кратнiй напiвгрупi
\bigl(
G, 1 , 2 , . . . , n
\bigr)
для будь-якого 1 < m \in \BbbN
та будь-яких xi \in G, 1 \leq i \leq m + 1, та \ast j \in
\bigl\{
1 , 2 , . . . , n
\bigr\}
, 1 \leq j \leq m, будь-яке
розставляння дужок у
x1 \ast 1 x2 \ast 2 . . . \ast m xm+1
дає однаковий елемент iз G.
Нехай X — довiльна непорожня множина та \upsilon — довiльне слово в алфавiтi X. Довжину \upsilon
будемо позначати через l\upsilon . За визначенням, довжина порожнього слова дорiвнює 0.
Нехай \mathrm{F}\mathrm{r}[Ti]i\in I — вiльний добуток довiльних напiвгруп Ti, i \in I. Для кожного w \in \mathrm{F}\mathrm{r}[Ti]i\in I
позначимо через w(0) (вiдповiдно w(1)) першу (вiдповiдно останню) лiтеру слова w. Зафiксуємо
n \in \BbbN , i нехай Y = \{ y1, y2, . . . , yn\} — довiльна множина, яка складається з n елементiв. Через
n позначатимемо множину \{ 1, 2, . . . , n\} . Нехай далi\bigl\{
(Si, i1 , i2 , . . . , in )
\bigr\}
i\in I
— сiм’я довiльних n-кратних напiвгруп, якi попарно не перетинаються, F \theta [Y ] — вiльний моноїд
на Y i \theta \in F \theta [Y ] — порожнє слово. Для кожного j \in n через j\ast позначимо операцiю
на \mathrm{F}\mathrm{r}
\bigl[ \bigl(
Si, ij
\bigr) \bigr]
i\in I . Зафiксуємо j \in n та визначимо n бiнарних операцiй 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime на
множинi
V =
\Bigl\{
(w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}[(Si, ij )]i\in I \times F \theta [Y ]
\bigm| \bigm| lw - lu = 1
\Bigr\}
,
поклавши
(w1, u1) r
\prime (w2, u2) =
\left\{ (w1w2, u1yru2) , w
(1)
1 \in Sk, w
(0)
2 \in Sm, k,m \in I, k \not = m,\Bigl(
w1 r
\ast w2, u1u2
\Bigr)
, w
(1)
1 , w
(0)
2 \in Sk, k \in I,
для всiх (w1, u1), (w2, u2) \in V та r \in n. Цi операцiї коректно визначенi, оскiльки для всiх
r \in n
lw1w2 - lu1yru2 = lw1 r\ast w2
- lu1u2 = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1486 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
Алгебру (V, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) позначимо через \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I . Очевидно, що побудова \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I
не залежить вiд вибору j у визначеннi V.
Теорема 1. \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I — вiльний добуток n-кратних напiвгруп (Si, i1 , i2 , . . . , in ),
i \in I.
Доведення. Нехай (w1, u1), (w2, u2), (w3, u3) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I i w(1)
1 \in Sk, w
(0)
2 \in Sm, w
(1)
2 \in
\in S\int , w
(0)
3 \in Sh. Зафiксуємо \varepsilon , e \in n та розглянемо чотири випадки: 1) k \not = m, f \not = h;
2) k \not = m, f = h; 3) k = m, f \not = h; 4) k = m, f = h.
Випадок 1: \bigl(
(w1, u1) \varepsilon
\prime (w2, u2)
\bigr)
e \prime (w3, u3) = (w1w2, u1y\varepsilon u2) e
\prime (w3, u3) =
= (w1w2w3, u1y\varepsilon u2yeu3) =
= (w1, u1) \varepsilon
\prime (w2w3, u2yeu3) =
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( (w2, u2) e
\prime (w3, u3)
\bigr)
.
Випадок 2: \bigl(
(w1, u1) \varepsilon
\prime (w2, u2)
\bigr)
e \prime (w3, u3) = (w1w2, u1y\varepsilon u2) e
\prime (w3, u3) =
=
\Bigl(
(w1w2) e\ast w3, u1y\varepsilon u2u3
\Bigr)
=
=
\Bigl(
w1(w2 e\ast w3), u1y\varepsilon u2u3
\Bigr)
=
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( w2 e\ast w3, u2u3
\bigr)
=
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( (w2, u2) e
\prime (w3, u3)
\bigr)
.
Випадок 3:\bigl(
(w1, u1) \varepsilon
\prime (w2, u2)
\bigr)
e \prime (w3, u3) =
\Bigl(
w1 \varepsilon \ast w2, u1u2
\Bigr)
e \prime (w3, u3) =
=
\Bigl(
(w1 \varepsilon \ast w2)w3, u1u2yeu3
\Bigr)
=
=
\Bigl(
w1 \varepsilon \ast (w2w3), u1u2yeu3
\Bigr)
=
= (w1, u1) \varepsilon
\prime (w2w3, u2yeu3) =
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( (w2, u2) e
\prime (w3, u3)
\bigr)
.
Випадок 4:\bigl(
(w1, u1) \varepsilon
\prime (w2, u2)
\bigr)
e \prime (w3, u3) =
\Bigl(
w1 \varepsilon \ast w2, u1u2
\Bigr)
e \prime (w3, u3) =
=
\Bigl(
(w1 \varepsilon \ast w2) e
\ast w3, u1u2u3
\Bigr)
=
=
\Bigl(
w1 \varepsilon \ast (w2 e\ast w3), u1u2u3
\Bigr)
=
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( w2 e\ast w3, u2u3
\bigr)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1487
= (w1, u1) \varepsilon
\prime \bigl( (w2, u2) e
\prime (w3, u3)
\bigr)
.
Отже, \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I — n-кратна напiвгрупа.
Якщо s = 1, то будемо вважати послiдовнiсть a1 . . . as - 1 \in F \theta [Y ] рiвною \theta .
Для кожної n-кратної напiвгрупи (Si, i1 , i2 , . . . , in ), i \in I, маємо
(Si, i1 , i2 , . . . , in ) \sim = Si =
\bigl\{
(w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | w \in Si
\bigr\}
,
i всi алгебри Si, i \in I, породжують \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I . Крiм того, з визначення алгебри \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I
випливає, що будь-який її елемент (zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1) , де zmp \in Smp , 1 \leq p \leq s, a\zeta \in Y,
1 \leq \zeta \leq s - 1, має єдине зображення у виглядi добутку скiнченного числа рiзних елементiв iз
\cup i\in ISi :
(zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1) = (zm1 , \theta ) \ast 1 . . . \ast s - 1 (zms , \theta ) ,
де \ast r \in
\bigl\{
1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime \bigr\} , r \in s - 1, i \ast r = t \prime для деякого t \in n тодi й тiльки тодi, коли
ar = yt.
Далi для кожного i \in I покладемо
\alpha i :
\bigl(
Si, i1 , i2 , . . . , in
\bigr)
\rightarrow
\bigl(
K, 1
\diamond
, 2
\diamond
, . . . , n \diamond \bigr)
— гомоморфiзм iз
\bigl(
Si, i1 , i2 , . . . , in
\bigr)
в довiльну n-кратну напiвгрупу
\bigl(
K, 1
\diamond
, 2
\diamond
, . . . , n \diamond \bigr) .
Визначимо вiдображення
\alpha : \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I \rightarrow
\bigl(
K, 1
\diamond
, 2
\diamond
, . . . , n \diamond \bigr)
за правилом
\omega \alpha =
\left\{ zm1\alpha m1\widetilde a1 . . . .\widetilde as - 1zms\alpha ms , якщо \omega = (zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1), s > 1,
zm1\alpha m1 , якщо \omega = (zm1 , \theta ),
де \widetilde ar = t \diamond для деякого t \in n тодi й тiльки тодi, коли ar = yt (1 \leq r \leq s - 1, s > 1). Згiдно з
лемою 1, вiдображення \alpha є коректно визначеним. Використавши цю ж лему, покажемо, що \alpha
— гомоморфiзм.
Нехай (zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1) ,
\bigl(
cq1 . . . cqg , b1 . . . bg - 1
\bigr)
\in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I , де cql \in Sql , 1 \leq
\leq l \leq g, bd \in Y, 1 \leq d \leq g - 1. Якщо ms \not = q1, то
((zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1) \varepsilon
\prime (cq1 . . . cqg , b1 . . . bg - 1))\alpha =
= (zm1
. . . zmscq1 . . . cqg , a1 . . . as - 1y\varepsilon b1 . . . bg - 1)\alpha =
= zm1\alpha m1\widetilde a1 . . .\widetilde as - 1zms\alpha ms\widetilde y\varepsilon cq1\alpha q1
\widetilde b1 . . .\widetilde bg - 1cqg\alpha qg =
= (zm1\alpha m1\widetilde a1 . . .\widetilde as - 1zms\alpha ms) \varepsilon
\diamond (cq1\alpha q1
\widetilde b1 . . .\widetilde bg - 1cqg\alpha qg) =
= (zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1)\alpha \varepsilon \diamond \bigl( cq1 . . . cqg , b1 . . . bg - 1
\bigr)
\alpha .
Якщо v = ms = q1, то, використовуючи гомоморфiзми \alpha i, i \in I, отримуємо
((zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1) \varepsilon
\prime (cq1 . . . cqg , b1 . . . bg - 1))\alpha =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1488 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
= ((zm1 . . . zms) \varepsilon
\ast (cq1 . . . cqg), a1 . . . as - 1b1 . . . bg - 1)\alpha =
= (zm1 . . . zms - 1(zms v\varepsilon cq1)cq2 . . . cqg , a1 . . . as - 1b1 . . . bg - 1)\alpha =
= zm1\alpha m1\widetilde a1 . . .\widetilde as - 1(zms v\varepsilon cq1)\alpha ms
\widetilde b1cq2\alpha q2
\widetilde b2 . . .\widetilde bg - 1cqg\alpha qg =
= zm1\alpha m1\widetilde a1 . . .\widetilde as - 1zms\alpha ms \varepsilon
\diamond cq1\alpha q1
\widetilde b1cq2\alpha q2
\widetilde b2 . . .\widetilde bg - 1cqg\alpha qg =
= (zm1 . . . zms , a1 . . . as - 1)\alpha \varepsilon \diamond (cq1 . . . cqg , b1 . . . bg - 1)\alpha .
Таким чином, \alpha — гомоморфiзм, який продовжує гомоморфiзми \alpha i, i \in I, i \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I —
вiльний добуток n-кратних напiвгруп (Si, i1 , i2 , . . . , in ), i \in I.
Теорему доведено.
Теорема 1 узагальнює теорему 3.2 [4], отриману для допельнапiвгруп. При цьому слiд
зазначити, що в доведеннi теореми 3.2 [4] деякi факти було залишено для самостiйної перевiрки
читача, на вiдмiну вiд теореми 1, яка має повне доведення.
Визначимо n бiнарних операцiй \cdot y1 , \cdot y2 , . . . , \cdot yn на множинi F \theta [Y ], поклавши
u1 \cdot yr u2 = u1yru2
для всiх u1, u2 \in F \theta [Y ] та r \in n. Згiдно з наслiдком 1 iз роботи [14], (F \theta [Y ], \cdot y1 , \cdot y2 , . . . , \cdot yn) —
вiльна n-кратна напiвгрупа рангу 1. Нехай далi \{ \Lambda i\} i\in I — ciм’я вiльних n-кратних напiв-
груп рангу 1. Використовуючи той факт, що кожна вiльна алгебра є вiльним добутком одно-
породжених вiльних алгебр, iз попередньої теореми отримуємо наслiдок, який дає вiльну
n-кратну напiвгрупу.
Наслiдок 1. Вiльний добуток \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I n-кратних напiвгруп \Lambda i, i \in I, є вiльною
n-кратною напiвгрупою рангу | I| .
Нагадаємо, що вiльну n-кратну напiвгрупу довiльного рангу вперше було побудовано в [14].
3. Будова \bfF \bfr \bfitn \bfitT (\bfitS \bfiti )\bfiti \in \bfitI . У цьому пунктi ми введемо поняття n-сполуки n-кратних напiв-
груп i в термiнах цього поняття опишемо будову вiльного добутку n-кратних напiвгруп. Крiм
цього дамо вiдповiдь на вiдкрите питання роботи [5], уперше побудувавши приклад n-сполуки
з рiзними операцiями.
Нагадаємо, що напiвгрупа називається напiвгрупою лiвих (правих) нулiв, якщо вона за-
довольняє тотожнiсть xy = x (xy = y). Напiвгрупа iдемпотентiв називається сполукою. На-
пiвгрупа називається прямокутною сполукою, якщо вона задовольняє тотожнiсть xyx = x.
Еквiвалентно, напiвгрупа називається прямокутною сполукою, якщо вона задовольняє тотож-
ностi x2 = x, xyz = xz. Вiдомо, що кожна прямокутна сполука є iзоморфною декартовому
добутку напiвгрупи лiвих нулiв та напiвгрупи правих нулiв. Комутативна сполука називається
напiвструктурою.
n-Кратну напiвгрупу назвемо n-сполукою, якщо кожна її операцiя iдемпотентна. Очевидно,
що кожну сполуку можна розглядати як n-сполуку.
Наступне твердження дає ствердну вiдповiдь на вiдкрите питання з [5] про те, чи iсну-
ють приклади допельнапiвгруп iз рiзними iдемпотентними операцiями. Зазначимо, що термiни
„допельнапiвгрупа” та „2-кратна напiвгрупа” збiгаються.
Нехай n \in \BbbN та G = \{ a, b\} \cup \{ ci : i \in n\} \cup \{ di : i \in n\} , до того ж множини \{ a, b\} ,
\{ ci : i \in n\} та \{ di : i \in n\} попарно не перетинаються. Визначимо на множинi G операцiї [j],
j \in n, поклавши
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1489
a[j]a = a, b[j]b = b,
a[j]b = cj , b[j]a = dj ,
a[j]ck = ck, b[j]dk = dk,
a[j]dk = cj , b[j]ck = dj ,
ck[j]x = ck, dk[j]x = dk
для всiх x \in G та j, k \in n.
Твердження 1. (G, [1], [2], . . . , [n]) є n-сполукою. При цьому (G, [i]) \sim = (G, [j]) для будь-
яких i, j \in n.
Доведення. Оскiльки
a[j]a = a, b[j]b = b, ck[j]ck = ck, dk[j]dk = dk
для всiх j, k \in n, то операцiї [1], [2], . . . , [n] є iдемпотентними. Залишилося перевiрити аксiоми
n-кратної напiвгрупи. Оскiльки
ck[j]x = ck, dk[j]x = dk
для всiх x \in G, j, k \in n, то достатньо розглянути лише рiвняння вигляду
a[i](x[j]y) = (a[i]x)[j]y або b[i](x[j]y) = (b[i]x)[j]y,
де x, y \in G, i, j \in n. Обмежимося розглядом першого рiвняння. Друге рiвняння перевiряється
аналогiчно. Якщо x /\in \{ a, b\} , то
a[i](x[j]y) = a[i]x = (a[i]x)[j]y,
тому що a[i]x /\in \{ a, b\} . Залишається розглянути рiвняння з x \in \{ a, b\} , тобто маємо таку сiм’ю
рiвностей:
a[i](b[j]a) = a[i]dj = ci = ci[j]a = (a[i]b)[j]a,
a[i](b[j]b) = a[i]b = ci = ci[j]b = (a[i]b)[j]b,
a[i](a[j]b) = a[i]cj = cj = a[j]b = (a[i]a)[j]b,
a[i](b[j]ck) = a[i]dj = ci = ci[j]ck = (a[i]b)[j]ck,
a[i](b[j]dk) = a[i]dk = ci = ci[j]dk = (a[i]b)[j]dk,
a[i](a[j]ck) = a[i]ck = ck = a[j]ck = (a[i]a)[j]ck,
a[i](a[j]dk) = a[i]cj = cj = ai[j]dk = (a[i]a)[j]dk.
Нарештi, безпосередньо перевiряється, що для будь-яких i, j \in n вiдображення
(G, [i]) \rightarrow (G, [j]),
визначене за правилом
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1490 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
ci \mapsto \rightarrow cj , di \mapsto \rightarrow dj , cj \mapsto \rightarrow ci, dj \mapsto \rightarrow di та x \mapsto \rightarrow x в iнших випадках,
є iзоморфiзмом.
Твердження доведено.
Зазначимо, що при n = 2 з останнього твердження отримуємо приклад допельнапiвгрупи з
рiзними iдемпотентними операцiями.
Iснування n-сполук з рiзними операцiями дозволяє ввести поняття n-сполуки n-кратних
напiвгруп.
Якщо \tau : S1 \rightarrow S2 — гомоморфiзм n-кратних напiвгруп, то вiдповiдну конгруенцiю на S1
будемо позначати через \Delta \tau .
Нехай (S, 1 , 2 , . . . , n ) — довiльна n-кратна напiвгрупа, (J, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) — деяка
n-сполука,
\alpha : (S, 1 , 2 , . . . , n ) \rightarrow (J, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) : x \mapsto \rightarrow x\alpha
— гомоморфiзм. Тодi кожний клас конгруенцiї \Delta \alpha є n-кратною пiднапiвгрупою n-кратної на-
пiвгрупи (S, 1 , 2 , . . . , n ), а сама (S, 1 , 2 , . . . , n ) є об’єднанням таких n-кратних напiвгруп
S\xi , \xi \in J, що
x\alpha = \xi \leftrightarrow x \in S\xi = \Delta x
\alpha = \{ t \in S | (x; t) \in \Delta \alpha \} ,
S\xi r S\varepsilon \subseteq S\xi r \prime
\varepsilon для всiх r \in n,
\xi \not = \varepsilon \Rightarrow S\xi \cap S\varepsilon = \varnothing .
У цьому випадку будемо говорити, що (S, 1 , 2 , . . . , n ) розкладається у n-сполуку n-крат-
них напiвгруп (або (S, 1 , 2 , . . . , n ) є n-сполукою (J, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) n-кратних напiвгруп
S\xi , \xi \in J ). Якщо (J, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) є сполукою, тобто 1 \prime = 2 \prime = . . . = n \prime , то будемо гово-
рити, що (S, 1 , 2 , . . . , n ) є сполукою (J, 1 \prime ) n-кратних напiвгруп S\xi , \xi \in J. Якщо операцiї
n-сполуки (J, 1 \prime , 2 \prime , . . . , n \prime ) збiгаються та вона є напiвгрупою лiвих нулiв (вiдповiдно напiв-
групою правих нулiв), то будемо говорити, що (S, 1 , 2 , . . . , n ) є лiвою сполукою (вiдповiдно
правою сполукою) (J, 1 \prime ) n-кратних напiвгруп S\xi , \xi \in J.
Слiд зазначити, що поняття n-сполуки n-кратних напiвгруп узагальнює вiдоме поняття
сполуки напiвгруп [19]. Напiвструктурнi декомпозицiї напiвгруп описано в [20].
Нехай X — довiльна непорожня множина та X\ell z = (X,\dashv ), Xrz = (X,\vdash ) i Xrb = X\ell z\times Xrz
— напiвгрупа лiвих нулiв, напiвгрупа правих нулiв i прямокутна сполука вiдповiдно. Вiдомо
[21], що X\ell z, Xrz i Xrb — вiльна напiвгрупа лiвих нулiв, вiльна напiвгрупа правих нулiв i
вiльна прямокутна сполука вiдповiдно. Нехай далi B(X) — напiвструктура всiх непорожнiх
скiнченних пiдмножин множини X вiдносно операцiї теоретико-множинного об’єднання та
Brb(X) = \{ ((x, y), A) \in Xrb \times B(X) | x, y \in A\} ,
B\ell z(X) = \{ (x,A) \in X\ell z \times B(X) | x \in A\} ,
Brz(X) = \{ (x,A) \in Xrz \times B(X) | x \in A\} .
Очевидно, що Brb(X), B\ell z(X), Brz(X) є пiднапiвгрупами напiвгруп Xrb \times B(X),
X\ell z \times B(X), Xrz \times B(X) вiдповiдно. Згiдно з [21], B(X), Brb(X), B\ell z(X) i Brz(X) є вiль-
ною напiвструктурою, вiльною нормальною сполукою, вiльною лiвою нормальною сполукою
та вiльною правою нормальною сполукою вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1491
Для кожного елемента w = zm1 . . . zml
. . . zms \in \mathrm{F}\mathrm{r}[(Si, ij )]i\in I (див. п. 2) покладемо \widetilde c(w) =
=
\bigcup s
l=1\{ zml
j\prime \} , де
j\prime :
\bigcup
i\in I
Si \rightarrow I : a \mapsto \rightarrow i, якщо a \in Si, i \in I.
Нехай
\Phi ((x,y),C) = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | ((w(0)j\prime , w(1)j\prime ),\widetilde c(w)) = ((x, y), C)\}
для всiх ((x, y), C) \in Brb(I),
\Phi (x,C] = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | (w(0)j\prime ,\widetilde c(w)) = (x,C)\}
для всiх (x,C) \in B\ell z(I),
\Phi [x,C) = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | (w(1)j\prime ,\widetilde c(w)) = (x,C)\}
для всiх (x,C) \in Brz(I),
\Phi (x,y) = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | (w(0)j\prime , w(1)j\prime ) = (x, y)\}
для всiх (x, y) \in Irb,
\Phi (x) = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | w(0)j\prime = x\}
для всiх x \in I\ell z,
\Phi [x] = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | w(1)j\prime = x\}
для всiх x \in Irz,
\Phi C = \{ (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I | \widetilde c(w) = C\}
для всiх C \in B(I).
У термiнах поняття n-сполуки n-кратних напiвгруп отримуємо наступнi двi структурнi
теореми.
Теорема 2. Вiльний добуток \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I n-кратних напiвгруп (Si, i1 , i2 , . . . , in ),
i \in I, є:
(i) нормальною cполукою Brb(I) n-кратних напiвгруп \Phi ((x,y),C), ((x, y), C) \in Brb(I);
(ii) лiвою нормальною cполукою B\ell z(I) n-кратних напiвгруп \Phi (x,C], (x,C) \in B\ell z(I);
(iii) правою нормальною cполукою Brz(I) n-кратних напiвгруп \Phi [x,C), (x,C) \in Brz(I).
Доведення. (i) Визначимо вiдображення \varrho rb : \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I \rightarrow Brb(I) за правилом
(w, u) \mapsto \rightarrow ((w(0)j\prime , w(1)j\prime ),\widetilde c(w)), (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I .
Неважко перевiрити, що \widetilde c(w \star \omega ) = \widetilde c(w) \cup \widetilde c(\omega ),
(w \star \omega )(0)j\prime = w(0)j\prime , (w \star \omega )(1)j\prime = \omega (1)j\prime
для всiх w,\omega \in \mathrm{F}\mathrm{r}[(Si, ij )]i\in I i \star \in \{ 1\ast , 2\ast , . . . , n\ast \} .
Використовуючи попереднi рiвностi, для довiльних елементiв (w1, u1), (w2, u2) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I
та r \in n отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1492 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
((w1, u1) r
\prime (w2, u2))\varrho rb =
\left\{ (w1w2, u1yru2) \varrho rb, w
(1)
1 \in Sk, w
(0)
2 \in Sm, k,m \in I, k \not = m,\Bigl(
w1 r
\ast w2, u1u2
\Bigr)
\varrho rb, w
(1)
1 , w
(0)
2 \in Sk, k \in I,
=
=
\Biggl\{
((((w1w2)
(0))j\prime , ((w1w2)
(1))j\prime ),\widetilde c(w1w2)), w
(1)
1 \in Sk, w
(0)
2 \in Sm, k,m \in I, k \not = m,
((((w1 r
\ast w2)
(0))j\prime , ((w1 r
\ast w2)
(1))j\prime ),\widetilde c(w1 r
\ast w2)), w
(1)
1 , w
(0)
2 \in Sk, k \in I,
=
= ((w
(0)
1 j\prime , w
(1)
2 j\prime ),\widetilde c(w1) \cup \widetilde c(w2)) =
= ((w
(0)
1 j\prime , w
(1)
1 j\prime ),\widetilde c(w1))((w
(0)
2 j\prime , w
(1)
2 j\prime ),\widetilde c(w2)) =
= (w1, u1)\varrho rb(w2, u2)\varrho rb.
Отже, \varrho rb — сюр’єктивний гомоморфiзм. Неважко помiтити, що \Phi ((x,y),C), ((x, y), C) \in
\in Brb(I), є класом конгруенцiї \Delta \varrho rb , який є n-кратною пiднапiвгрупою алгебри \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I .
Звiдси випливає, що \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I є нормальною сполукою Brb(I) n-кратних напiвгруп \Phi ((x,y),C),
((x, y), C) \in Brb(I).
(ii) Аналiз, подiбний до того, що в доведеннi твердження (i), показує, що вiдображення
\varrho \ell z : \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I \rightarrow B\ell z(I), визначене за правилом
(w, u) \mapsto \rightarrow (w(0)j\prime ,\widetilde c(w)), (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I ,
є сюр’єктивним гомоморфiзмом. Звiдси \Phi (x,C], (x,C) \in B\ell z(I), є класом конгруенцiї \Delta \varrho \ell z ,
який є n-кратною пiднапiвгрупою алгебри \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I . Отже, \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I є лiвою нормаль-
ною сполукою B\ell z(I) n-кратних напiвгруп \Phi (x,C], (x,C) \in B\ell z(I).
(iii) Визначимо вiдображення \varrho rz : \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I \rightarrow Brz(I) за правилом
(w, u) \mapsto \rightarrow (w(1)j\prime ,\widetilde c(w)), (w, u) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I .
Подiбно до доведення (i), \varrho rz — сюр’єктивний гомоморфiзм, а \Phi [x,C), (x,C) \in Brz(I), є
класом конгруенцiї \Delta \varrho rz , який є n-кратною пiднапiвгрупою алгебри \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I . Таким чином,
\mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I є правою нормальною cполукою Brz(I) n-кратних напiвгруп \Phi [x,C), (x,C) \in
\in Brz(I).
Теорему доведено.
Доведення наступної теореми є аналогiчним доведенню теореми 2.
Теорема 3. Вiльний добуток \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I n-кратних напiвгруп (Si, i1 , i2 , . . . , in ),
i \in I, є:
(i) прямокутною сполукою Irb n-кратних напiвгруп \Phi (x,y), (x, y) \in Irb;
(ii) лiвою сполукою I\ell z n-кратних напiвгруп \Phi (x), x \in I\ell z;
(iii) правою сполукою Irz n-кратних напiвгруп \Phi [x], x \in Irz;
(iv) напiвструктурою B(I) n-кратних напiвгруп \Phi C , C \in B(I).
Опишемо одну конгруенцiю на \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I , за допомогою якої з вiльного добутку
n-кратних напiвгруп можна отримати вiльний добуток напiвгруп.
Нехай \gamma — довiльна фiксована конгруенцiя на вiльному добутку \mathrm{F}\mathrm{r}[(Si, ij )]i\in I . Визначимо
вiдношення \widetilde \gamma на \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si )i\in I за правилом
(w1, u1)\widetilde \gamma (w2, u2) \leftrightarrow w1\gamma w2
для всiх (w1, u1), (w2, u2) \in \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I .
Неважко довести таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1493
Твердження 2. Вiдношення \widetilde \gamma є конгруенцiєю на вiльному добутку \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I n-кратних
напiвгруп (Si, i1 , i2 , . . . , in ), i \in I, та операцiї фактор-алгебри \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I/\widetilde \gamma збiгаються.
З твердження 2 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 2. Якщо \gamma — дiагональ \mathrm{F}\mathrm{r}[(Si, ij )]i\in I , то \mathrm{F}\mathrm{r}nT (Si)i\in I/\widetilde \gamma — вiльний добуток
напiвгруп.
4. Вiльнi комутативнi \bfitn -кратнi напiвгрупи. У цьому пунктi ми побудуємо вiльну ко-
мутативну n-кратну напiвгрупу довiльного рангу та окремо розглянемо однопородженi вiльнi
комутативнi n-кратнi напiвгрупи. Крiм того, покажемо, що напiвгрупи вiльної комутативної
n-кратної напiвгрупи iзоморфнi, а її група автоморфiзмiв iзоморфна симетричнiй групi.
Наступнi три тверждення знадобляться нам при доведеннi основного результату цього
пункту.
Нехай G — довiльна n-кратна напiвгрупа з операцiями 1 , 2 , . . . , n i a1, a2, . . . , an \in G.
Визначимо новi операцiї 1 a1 , 2 a2 , . . . , n an на G за правилом
x i aiy = x i ai i y
для всiх x, y \in G та i \in n.
Твердження 3 ([14], твердження 3). (G, 1 a1 , 2 a2 , . . . , n an) — n-кратна напiвгрупа.
n-Кратна напiвгрупа (G, 1 a1 , 2 a2 , . . . , n an) називається варiантом G, або, альтернативно,
сендвiч-n-кратною напiвгрупою алгебри G вiдносно сендвiч-елементiв a1, a2, . . . , an, або
n-кратною напiвгрупою з деформованими множеннями. Операцiї 1 a1 , 2 a2 , . . . , n an нази-
ваються сендвiч-операцiями [14].
n-Кратну напiвгрупу назвемо комутативною, якщо всi її операцiї комутативнi. Клас усiх
комутативних n-кратних напiвгруп утворює пiдмноговид у многовидi n-кратних напiвгруп.
n-Кратну напiвгрупу, вiльну в многовидi комутативних n-кратних напiвгруп, назвемо вiльною
комутативною n-кратною напiвгрупою.
Лема 2. У комутативнiй n-кратнiй напiвгрупi (G, 1 , 2 , . . . , n ) виконується рiвнiсть
(x \diamond y) \circ z = x \circ (y \diamond z)
для всiх x, y, z \in G та \diamond , \circ \in \{ 1 , 2 , . . . , n \} .
Доведення. Для всiх x, y, z \in G маємо
(x \diamond y) \circ z = z \circ (x \diamond y) = (z \circ x) \diamond y =
= (x \circ z) \diamond y = x \circ (z \diamond y) = x \circ (y \diamond z)
згiдно з комутативнiстю операцiй \diamond , \circ та аксiомою n-кратної напiвгрупи.
Лему доведено.
Лема 3. У комутативнiй n-кратнiй напiвгрупi (G, 1 , 2 , . . . , n ) для будь-якого m \in \BbbN та
будь-яких xi \in G, 1 \leq i \leq m+ 1, i \ast j \in \{ 1 , 2 , . . . , n \} , 1 \leq j \leq m, виконується рiвнiсть
x1 \ast 1 x2 \ast 2 . . . \ast m xm+1 = x1\pi \ast 1\pi \prime x2\pi \ast 2\pi \prime . . . \ast m\pi \prime x(m+1)\pi ,
де \pi , \pi \prime — переставлення на m+ 1 та m вiдповiдно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1494 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
Доведення випливає з лем 1, 2 та комутативностi операцiй \ast j , 1 \leq j \leq m.
Зафiксуємо n \in \BbbN та, як i ранiше, нехай X — довiльна непорожня множина i Y =
= \{ y1, y2, . . . , yn\} — довiльна множина, що складається з n елементiв. Нехай далi F \ast [X] —
вiльна комутативна напiвгрупа на X, F \theta
\ast [Y ] — вiльний комутативний моноїд на Y та \theta \in F \theta
\ast [Y ]
— порожнє слово. Визначимо n бiнарних операцiй 1 , 2 , . . . , n на множинi
XY(n) = \{ (w, u) \in F \ast [X]\times F \theta
\ast [Y ] | lw - lu = 1\} ,
поклавши
(w1, u1) i (w2, u2) = (w1w2, u1 \cdot yi u2) (1)
для всiх (w1, u1), (w2, u2) \in XY(n) та i \in n, де \cdot yi — сендвiч-операцiя на F \theta
\ast [Y ]. Операцiї,
визначенi таким чином, є коректними, оскiльки lw1w2 - lu1yiu2 = 1 для всiх i \in n. Алгебру
(XY(n), 1 , 2 , . . . , n ) позначимо через FCnS(X).
Теорема 4. FCnS(X) — вiльна комутативна n-кратна напiвгрупа.
Доведення аналогiчне доведенню теореми 4.3 [4]. При цьому ми використовуємо тверджен-
ня 3 та леми 1, 3.
Зазначимо, що при n = 2 з останньої теореми отримуємо теорему 4.3 [4].
Наслiдок 3. (F \theta
\ast [Y ], \cdot y1 , \cdot y2 , . . . , \cdot yn) — вiльна комутативна n-кратна напiвгрупа рангу 1.
Доведення. Якщо X = \{ r\} , то неважко показати, що вiдображення
\delta : (F \theta
\ast [Y ], \cdot y1 , \cdot y2 , . . . , \cdot yn) \rightarrow FCnS(X),
визначене за правилом u\delta = (rlu+1, u) для всiх u \in F \theta
\ast [Y ], є iзоморфiзмом.
Наслiдок доведено.
Наступне твердження встановлює зв’язки мiж напiвгрупами вiльної комутативної n-кратної
напiвгрупи FCnS(X). Його доведення є аналогiчним доведенню леми 2 [14].
Твердження 4. При будь-яких i, j \in \{ 1, 2, . . . , n\} напiвгрупи (XY(n), i ) та (XY(n), j ) є
iзоморфними.
Позначимо через \Im [X] симетричну групу на множинi X, а через \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}G\prime групу авто-
морфiзмiв n-кратної напiвгрупи G\prime .
Вiльна комутативна n-кратна напiвгрупа FCnS(X) визначається з точнiстю до iзомор-
фiзму потужнiстю множини X, оскiльки породжуюча множина FCnS(X) має таку ж саму
потужнiсть, що й X. Звiдси отримуємо такий опис групи автоморфiзмiв вiльної комутативної
n-кратної напiвгрупи.
Твердження 5. \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}FCnS(X) \sim = \Im [X].
Побудуємо одну конгруенцiю на FCnS(X), за допомогою якої з вiльної комутативної
n-кратної напiвгрупи можна отримати вiльну комутативну напiвгрупу.
Нехай \zeta — довiльна фiксована конгруенцiя на вiльнiй комутативнiй напiвгрупi F \ast [X]. Ви-
значимо вiдношення \widetilde \zeta на FCnS(X) за правилом
(w1, u1)\widetilde \zeta (w2, u2) \leftrightarrow w1\zeta w2
для всiх (w1, u1), (w2, u2) \in FCnS(X).
Неважко довести таке твердження.
Твердження 6. Вiдношення \widetilde \zeta є конгруенцiєю на вiльнiй комутативнiй n-кратнiй напiв-
групi FCnS(X), та операцiї фактор-алгебри FCnS(X)/\widetilde \zeta збiгаються.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1495
З твердження 6 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 4. Якщо \zeta — дiагональ F \ast [X], то FCnS(X)/\widetilde \zeta — вiльна комутативна напiв-
група.
5. Найменша комутативна конгруенцiя на вiльнiй \bfitn -кратнiй напiвгрупi. Опишемо
найменшу комутативну конгруенцiю на вiльнiй n-кратнiй напiвгрупi та наведемо критерiї, за
якими операцiї n-кратної напiвгрупи збiгаються.
Нагадаємо конструкцiю вiльної n-кратної напiвгрупи [14]. Будемо використовувати позна-
чення з попереднього пункту.
У конструкцiї FCnS(X) замiсть вiльної комутативної напiвгрупи F \ast [X] на X вiзьмемо
вiльну напiвгрупу F [X] на X, а замiсть вiльного комутативного моноїда F \theta
\ast [Y ] на Y — вiльний
моноїд F \theta [Y ] на Y з порожнiм словом \theta . У цьому випадку позначимо через FnTS(X) алгебру
(XY(n), 1 , 2 , . . . , n ) з операцiями, визначеними умовою (1). За теоремою 2 [14] FnTS(X) —
вiльна n-кратна напiвгрупа.
Якщо \rho є такою конгруенцiєю на n-кратнiй напiвгрупi G\prime , що G\prime /\rho є комутативною
n-кратною напiвгрупою, то будемо говорити, що \rho — комутативна конгруенцiя. У цьому пунктi
через \star (вiдповiдно \cdot ) позначатимемо операцiю на F \ast [X] (вiдповiдно F \theta
\ast [Y ]).
Вiзьмемо (x1x2 . . . xs, b1b2 . . . bs - 1), (z1z2 . . . zk, c1c2 . . . ck - 1) \in FnTS(X), де xd, zr \in X,
1 \leq d \leq s, 1 \leq r \leq k, bp, cj \in Y, 1 \leq p \leq s - 1, 1 \leq j \leq k - 1. Якщо s = 1, то послiдовнiсть
h1h2 . . . hs - 1, де hi \in Y, i \in s - 1, будемо вважати рiвною \theta . Визначимо вiдношення \lambda на
FnTS(X) за правилом
(x1x2 . . . xs, b1b2 . . . bs - 1)\lambda (z1z2 . . . zk, c1c2 . . . ck - 1)
тодi й тiльки тодi, коли
(x1 \star x2 \star . . . \star xs, b1 \cdot b2 \cdot . . . \cdot bs - 1) = (z1 \star z2 \star . . . \star zk, c1 \cdot c2 \cdot . . . \cdot ck - 1).
Теорема 5. Вiдношення \lambda на вiльнiй n-кратнiй напiвгрупi FnTS(X) є найменшою кому-
тативною конгруенцiєю.
Доведення. Нехай \omega = (x1x2 . . . xs, b1b2 . . . bs - 1) \in FnTS(X), де xd \in X, 1 \leq d \leq s,
bp \in Y, 1 \leq p \leq s - 1.
Визначимо вiдображення \pi : FnTS(X) \rightarrow FCnS(X) за правилом
\omega \pi =
\left\{ (x1 \star x2 \star . . . \star xs, b1 \cdot b2 \cdot . . . \cdot bs - 1), якщо s > 1,
\omega , якщо \omega = (x1, \theta ).
Безпосередньо перевiряється, що \pi — сюр’єктивний гомоморфiзм. Згiдно з теоремою 4,
FCnS(X) — вiльна комутативна n-кратна напiвгрупа. Тодi \Delta \pi (див. п. 3) є найменшою
комутативною конгруенцiєю на FnTS(X). З визначення \pi випливає, що \Delta \pi = \lambda .
Теорему доведено.
Зазначимо, що при n = 2 з останньої теореми отримуємо першу частину теореми 4.9 [4].
Наприкiнцi цього пункту наведемо умови, при яких операцiї довiльної (комутативної)
n-кратної напiвгрупи збiгаються.
Твердження 7. Операцiї комутативної n-кратної напiвгрупи збiгаються, якщо вони є
iдемпотентними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1496 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
Доведення. Нехай (G, 1 , 2 , . . . , n ) — довiльна комутативна n-кратна напiвгрупа. За ле-
мою 2 (x \diamond y) \circ z = (x \circ y) \diamond z для всiх x, y, z \in G та \diamond , \circ \in \{ 1 , 2 , . . . , n \} . Звiдси у випадку
x = y, використовуючи iдемпотентнiсть операцiй \diamond та \circ , отримуємо x \circ z = x \diamond z.
Твердження доведено.
Твердження 8. Операцiї n-кратної напiвгрупи (G, 1 , 2 , . . . , n ) збiгаються, якщо вико-
нується одна з наступних умов:
(i) (G, i ) — напiвгрупа лiвих нулiв для деякого i \in n;
(ii) (G, i ) — напiвгрупа правих нулiв для деякого i \in n;
(iii) (G, i ) — прямокутна сполука для деякого i \in n;
(iv) (G, i ) — напiвгрупа з нульовим множенням для всiх i \in n.
Доведення. Нехай x, y, z \in G та \diamond , \circ \in \{ 1 , 2 , . . . , n \} .
(i) Покладаючи x\diamond y = x для всiх x, y \in G та використовуючи аксiому n-кратної напiвгрупи,
отримуємо
(x \diamond y) \circ z = x \diamond (y \circ z) = x = x \circ z.
Звiдси x \circ z = x для всiх x, z \in G.
Аналогiчно доводиться випадок (ii).
(iii) Нехай (G, \circ ) — прямокутна сполука. За визначенням прямокутної сполуки (див. п. 3)
x \circ y \circ x = x, y \circ x \circ y = y, x \circ z \circ y = x \circ y.
Використовуючи останнi рiвностi та аксiоми n-кратної напiвгрупи, одержуємо
x \diamond y = (x \circ y \circ x) \diamond (y \circ x \circ y) = x \circ ((y \circ x) \diamond (y \circ x \circ y)) =
= x \circ ((y \circ x) \diamond (y \circ x)) \circ y = x \circ y.
(iv) Нехай 0 та 0\prime — нульовi елементи напiвгруп (G, \diamond ) та (G, \circ ) вiдповiдно. Тодi
0 = (0 \circ 0) \diamond 0 = 0 \circ (0 \diamond 0) = 0\prime .
Твердження доведено.
Нехай V — деякий многовид напiвгруп та u, v \in F [X]. Через IdV позначатимемо множину
всiх таких тотожностей u \approx v, що u \approx v \in IdV, якщо кожна напiвгрупа S \in V задовольняє
тотожнiсть u \approx v. Через c(u) позначатимемо множину всiх елементiв x \in X, що входять до
запису слова u. Нехай C — многовид напiвгруп iз нульовим множенням.
Твердження 9. Нехай V — такий многовид напiвгруп, що C \subseteq V, G — довiльна множина
з | G| \geq 4 та n > 1. Наступнi твердження є еквiвалентними:
(i) для кожної n-кратної напiвгрупи (G, [1], [2], . . . , [n]) з (G, [j]) \in V для всiх j \in n маємо:
якщо iснує i\prime \in n такий, що (G, [i\prime ]) \in C, то [i] = [j] для всiх i, j \in n;
(ii) iснує u \in F [X] з c(u) = \{ x, y, z\} такий, що xy \approx u \in IdV.
Доведення. (i) \Rightarrow (ii). Нехай c i a0 — рiзнi елементи з G. Визначимо операцiю [2] на G за
правилом
a[2]c = c[2]a = c для всiх a \in G,
a[2]b = b[2]a = a0 для всiх a, b \in G \setminus \{ c\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ВIЛЬНI ДОБУТКИ n-КРАТНИХ НАПIВГРУП 1497
Нехай далi (G, [1]) — напiвгрупа з нульовим множенням та нулем c. Легко перевiрити, що
(G, [1], [2], . . . , [n]), де [k] = [2] для 3 \leq k \leq n, є n-кратною напiвгрупою та (G, [k]), k \in n,
задовольняє будь-яку тотожнiсть u \approx v, де u, v \in F [X] та c(u) = c(v). Таким чином, iснує
u \approx v \in IdV з c(u) \not = c(v), тобто iснує такий елемент u1 \in F [X] з c(u1) = \{ x, y\} , що
u1 \approx xk \in IdV для деякого k \geq 2. Iнакше, (G, [j]) \in V для всiх j \in n та, згiдно з твердженням
(i), отримуємо [i] = [j] для всiх i, j \in n. Прийшли до суперечностi.
Нехай тепер a0, b0, d0 та c — рiзнi елементи з G i операцiю [1] визначено, як i ранiше.
Визначимо на G операцiю [2] таким чином:
a[2]b = c для всiх (a, b) \in G\times G з (a, b), (b, a) \not = (a0, b0),
a0[1]b0 = b0[1]a0 = d0.
Нехай далi [k] = [2] для 3 \leq k \leq n. Легко перевiрити, що (G, [1], [2], . . . , [n]) є такою
n-кратною напiвгрупою, що для всiх k \in n напiвгрупа (G, [k]) задовольняє комутативний
закон та будь-яку тотожнiсть u \approx v, u, v \in F [X], з lu, lv \geq 3 або lu \geq 3 i v = \upsilon \upsilon для деякого
\upsilon \in X (або навпаки). Таким чином, iснує u2 \in F [X] з c(u2) = \{ x, y\} таке, що u2 \approx xy \in IdV.
Iнакше, для всiх u \approx v \in IdV довжини lu, lv \geq 3 або lu \geq 3 i v = \upsilon \upsilon для деякого \upsilon \in X (або
навпаки), та ми отримуємо, згiдно з твердженням (i), [i] = [j] для всiх i, j \in n. Прийшли до
суперечностi. За допомогою безпосереднiх обчислень можна перевiрити, що з u1 \approx xk \in IdV
та u2 \approx xy \in IdV випливає, що u3 \approx xy \in IdV для деякого u3 \in F [X] з c(u3) = \{ x, y, z\} .
(ii) \Rightarrow (i). Нехай a, b \in G i (G, [1], [2], . . . , [n]) — така n-кратна напiвгрупа, що (G, [j]) \in V
для всiх j \in n. Припустимо, що iснує i\prime \in n таке, що (G, [i\prime ]) \in C. Нехай далi j \in n \setminus \{ i\prime \} .
Якщо ми замiнимо x на a, y на b та z на a[i\prime ]b в xy \approx u \in IdV, то отримаємо a[j]b = a1[i
\prime ]b1
для деяких a1, b1 \in G. Це означає, що [i\prime ] = [j].
Твердження доведено.
Твердження 10. Нехай (G, 1 , 2 , . . . , n ) — n-кратна напiвгрупа та i, j \in n. (G, i ) є
напiвгрупою з нулем 0 тодi й тiльки тодi, коли (G, j ) є напiвгрупою з нулем 0.
Доведення. Нехай 0 i x = 0 для всiх x \in G. Тодi для всiх y \in G
(0 i x) j y = 0 i (x j y) = 0 = 0 j y.
Звiдси 0 j y = 0 для всiх y \in G. Аналогiчно доводиться, що y j 0 = 0 для всiх y \in G.
Обернене тверждення доводиться аналогiчно.
Твердження доведено.
Лiтература
1. Корешков Н. А. n-Кратные алгебры ассоциативного типа // Изв. вузов. Математика. – 2008. – 12. – С. 34 – 42.
2. Корешков Н. А. О нильпотентности n-кратных алгебр Ли и ассоциативных n-кратных алгебр // Изв. вузов.
Математика. – 2010. – 2. – С. 33 – 38.
3. Корешков Н. А. Ассоциативные n-кратные алгебры // Мат. заметки. – 2014. – 96, № 1. – С. 36 – 50.
4. Zhuchok A. V. Free products of doppelsemigroups // Algebra Univers. – 2017. – 77, № 3. – P. 361 – 374.
5. Zhuchok A. V. Free left n-dinilpotent doppelsemigroups // Communs Algebra. – 2017. – 45, № 11. – P. 4960 – 4970.
6. Zhuchok A. V., Demko M. Free n-dinilpotent doppelsemigroups // Algebra and Discrete Math. – 2016. – 22, № 2. –
P. 304 – 316.
7. Zhuchok A. V. Structure of free strong doppelsemigroups // Communs Algebra. – 2018. – 46, № 8. – P. 3262 – 3279.
8. Gould M., Linton K. A., Nelson A. W. Interassociates of monogenic semigroups // Semigroup Forum. – 2004. – 68. –
P. 186 – 201.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1498 А. В. ЖУЧОК, Й. КОППIЦ
9. Givens B. N., Linton K. A., Rosin A., Dishman L. Interassociates of the free commutative semigroup on n generators //
Semigroup Forum. – 2007. – 74. – P. 370 – 378.
10. Givens B. N., Rosin A., Linton K. Interassociates of the bicyclic semigroup // Semigroup Forum. – 2017. – 94. –
P. 104 – 122.
11. Zhuchok A. V. Commutative dimonoids // Algebra and Discrete Math. – 2009. – 3. – P. 116 – 127.
12. Zhuchok A. V. Dimonoids and bar-units // Sib. Math. J. – 2015. – 56, № 5. – P. 827 – 840.
13. Zhuchok A. V. Trioids // Asian-Eur. J. Math. – 2015. – 8, № 4. – P. 1550089-1 – 1550089-23.
14. Zhuchok A. V. Free n-tuple semigroups // Math. Notes. – 2018. – 103, № 5. – P. 737 – 744.
15. Schein B. M. Restrictive semigroups and bisemigroups // Techn. Rept. Univ. Arkansas. – 1989. – P. 1 – 23.
16. Шайн Б. М. Рестриктивные биполугруппы // Изв. вузов. Математика. – 1965. – 1, № 44. – С. 168 – 179.
17. Loday J.-L. Dialgebras // Lect. Notes Math. – 2001. – 1763. – P. 7 – 66.
18. Loday J.-L., Ronco M. O. Trialgebras and families of polytopes // Contemp. Math. – 2004. – 346. – P. 369 – 398.
19. Clifford A. H. Bands of semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1954. – 5. – P. 499 – 504.
20. Putcha M. S. Semilattice decompositions of semigroups // Semigroup Forum. – 1973. – 6. – P. 12 – 34.
21. Petrich M., Silva P. V. Structure of relatively free bands // Communs Algebra. – 2002. – 30, № 9. – P. 4165 – 4187.
Одержано 27.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1652 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:55Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b6/09d3159efb9f0ad19423b89d8cebb0b6.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16522019-12-05T09:22:19Z Free products of $n$-tuple semigroups Вільні добутки $n$-кратних напівгруп Zhuchok, A. V. Koppitz, J. Жучок, А. В. Коппіц, Й. We construct a free product of arbitrary n-tuple semigroups, introduce the notion of $n$-band of $n$-tuple semigroups and, in terms of this notion, describe the structure of the free product. We also construct a free commutative $n$-tuple semigroup of an arbitrary rank and characterize one-generated free commutative $n$-tuple semigroups. Moreover, we describe the least commutative congruence on a free $n$-tuple semigroup and establish that the semigroups of the constructed free commutative $n$-tuple semigroup are isomorphic and its automorphism group is isomorphic to the symmetric group. Побудовано вiльний добуток довiльних $n$-кратних напiвгруп, введено поняття $n$-сполуки $n$-кратних напiвгруп та в термiнах цього поняття описано будову вiльного добутку. Побудовано вiльну комутативну $n$-кратну напiвгрупу довiльного рангу та oхарактеризовано однопородженi вiльнi комутативнi $n$-кратнi напiвгрупи. Описано найменшу комутативну конгруенцiю на вiльнiй $n$-кратнiй напiвгрупi та встановлено, що напiвгрупи побудованої вiльної комутативної $n$-кратної напiвгрупи iзоморфнi, а її група автоморфiзмiв iзоморфна симетричнiй групi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1652 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1484-1498 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1484-1498 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1652/634 Copyright (c) 2018 Zhuchok A. V.; Koppitz J. |
| spellingShingle | Zhuchok, A. V. Koppitz, J. Жучок, А. В. Коппіц, Й. Free products of $n$-tuple semigroups |
| title | Free products of $n$-tuple semigroups |
| title_alt | Вільні добутки $n$-кратних напівгруп |
| title_full | Free products of $n$-tuple semigroups |
| title_fullStr | Free products of $n$-tuple semigroups |
| title_full_unstemmed | Free products of $n$-tuple semigroups |
| title_short | Free products of $n$-tuple semigroups |
| title_sort | free products of $n$-tuple semigroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1652 |
| work_keys_str_mv | AT zhuchokav freeproductsofntuplesemigroups AT koppitzj freeproductsofntuplesemigroups AT žučokav freeproductsofntuplesemigroups AT koppícj freeproductsofntuplesemigroups AT zhuchokav vílʹnídobutkinkratnihnapívgrup AT koppitzj vílʹnídobutkinkratnihnapívgrup AT žučokav vílʹnídobutkinkratnihnapívgrup AT koppícj vílʹnídobutkinkratnihnapívgrup |