On the solvability of a finite group with $S$-seminormal Schmidt subgroups
A finite nonnilpotent group is called a Schmidt group if all its proper subgroups are nilpotent. A subgroup $A$ is called $S$-seminormal (or $SS$-permutable) in a finite group $G$ if there is a subgroup B such that $G = AB$ and $A$ is permutable with every Sylow subgroup of B. We establish the crite...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1654 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507478238691328 |
|---|---|
| author | Zubei, E. V. Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. |
| author_facet | Zubei, E. V. Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. |
| author_sort | Zubei, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | A finite nonnilpotent group is called a Schmidt group if all its proper subgroups are nilpotent. A subgroup $A$ is called $S$-seminormal (or $SS$-permutable) in a finite group $G$ if there is a subgroup B such that $G = AB$ and $A$ is permutable with every Sylow subgroup of B. We establish the criteria of solvability and $\pi$ -solvability of finite groups in which some
Schmidt subgroups are $S$-seminormal. In particular, we prove the solvability of a finite group in which all supersoluble
Schmidt subgroups of even order are $S$-seminormal. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
В. Н. Княгина, В. С. Монахов, E. В. Зубей (Гомел. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
О РАЗРЕШИМОСТИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ
С \bfitS -ПОЛУНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ ШМИДТА
A finite nonnilpotent group is called a Schmidt group if all its proper subgroups are nilpotent. A subgroup A is called
S -seminormal (or SS -permutable) in a finite group G if there is a subgroup B such that G = AB and A is permutable
with every Sylow subgroup of B . We establish the criteria of solvability and \pi -solvability of finite groups in which some
Schmidt subgroups are S -seminormal. In particular, we prove the solvability of a finite group in which all supersoluble
Schmidt subgroups of even order are S -seminormal.
Скiнченна ненiльпотентна група, всi власнi пiдгрупи якої нiльпотентнi, називається групою Шмiдта. Пiдгрупа A
називається S -напiвнормальною (або SS -переставною) в скiнченнiй групi G, якщо iснує така пiдгрупа B , що G =
= AB та A є переставною з кожною силовською пiдгрупою iз B . Встановлено ознаки розв’язностi i \pi -розв’язностi
скiнченних груп, в яких деякi з пiдгруп Шмiдта S -напiвнормальнi. Зокрема, доведено розв’язнiсть скiнченної групи,
в якiй всi надрозв’язнi пiдгрупи Шмiдта парного порядку є S -напiвнормальними.
1. Введение. Будем рассматривать только конечные группы. Ненильпотентная группа, у ко-
торой все собственные подгруппы нильпотентны, называется группой Шмидта. Эти группы
впервые рассматривались О. Ю. Шмидтом [1], который доказал их бипримарность, нормаль-
ность одной силовской подгруппы и цикличность другой. Обзоры о строении групп Шмидта и
их приложений в теории конечных групп имеются в [2, 3].
Поскольку группы Шмидта содержатся в качестве подгрупп в каждой ненильпотентной
группе, то они являются универсальными подгруппами конечных групп. Поэтому свойства
заключенных в группе подгрупп Шмидта оказывают существенное влияние на строение самой
группы. Группы с ограничениями на подгруппы Шмидта исследовались во многих работах.
Например, в [4 – 6] изучены группы с субнормальными подгруппами Шмидта, а в [7] — с
холловыми подгруппами Шмидта.
Подгруппа A называется полунормальной в группе G, если существует такая подгруппа B,
что G = AB и AB1 — собственная в G подгруппа для каждой собственной подгруппы B1 из B.
Очевидно, что подгруппа простого индекса полунормальна. Квазинормальная подгруппа (т. е.
подгруппа, перестановочная со всеми подгруппами группы) будет полунормальной. В простой
группе SL(2, 4) подгруппа A, изоморфная знакопеременной группе A4 степени 4, является
полунормальной подгруппой Шмидта, но A не квазинормальна и не субнормальна.
Отдельные свойства полунормальных подгрупп получены в [8 – 11]. Признаки разреши-
мости группы с некоторыми полунормальными подгруппами Шмидта установлены в [12].
Результаты этой работы представлены в следующей теореме.
Теорема 1.1. 1. Если A — полунормальная подгруппа Шмидта группы G и AG неразреши-
ма, то A/\Phi (A) \simeq A4 [12] (теорема 1).
2. Если в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта полунормальны, то G будет 3-разреши-
мой [12] (теорема 2).
3. Если в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта и все 5-замкнутые \{ 2, 5\} -подгруппы
Шмидта полунормальны, то G разрешима [12] (следствие).
Имеются различные обобщения понятия полунормальной подгруппы (см. [13]). В частнос-
ти, более широким, чем квазинормальность и полунормальность, является следующее понятие.
c\bigcirc В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, E. В. ЗУБЕЙ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1511
1512 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, E. В. ЗУБЕЙ
Подгруппа A называется S -полунормальной (или SS -перестановочной) в группе G, ес-
ли существует такая подгруппа B, что G = AB и A перестановочна с каждой силовской
подгруппой из B. В этом случае подгруппу B будем называть S -добавлением к A в G.
В любой группе каждая подгруппа, индексом которой является степень некоторого простого
числа p, будет S -полунормальной, а силовская p-подгруппа группы G будет ее S -добавлением.
Полунормальная и S -квазинормальная (т. е. подгруппа, перестановочная со всеми силовски-
ми подгруппами группы [14]) подгруппы будут также S -полунормальными. В симметриче-
ской группе S4 степени 4 подгруппа S3 S -полунормальна, но не полунормальна и не S -
квазинормальна. Группы с некоторыми S -полунормальными подгруппами исследовались во
многих работах (см., например, [15 – 20]).
В настоящей работе изучаются группы, в которых некоторые из подгрупп Шмидта S -
полунормальны, и устанавливаются признаки разрешимости и \pi -разрешимости таких групп.
Доказывается следующая теорема.
Теорема 1.2. 1. Если в группе G все сверхразрешимые подгруппы Шмидта четного поряд-
ка S -полунормальны в G, то G разрешима.
2. Если в группе G все несверхразрешимые подгруппы Шмидта четного порядка S -полунор-
мальны, то неабелевы композиционные факторы группы G изоморфны SL(2, 4) или SL(2, 8).
В частности, группа G \{ 2, 3, 5, 7\} \prime -разрешима.
3. Если в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта S -полунормальны, то G будет 3-
разрешимой.
4. Если в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта и все 5-замкнутые \{ 2, 5\} -подгруппы
Шмидта S -полунормальны, то G разрешима.
Отметим вытекающие из теоремы 1.2 новые признаки частичной разрешимости группы с
полунормальными подгруппами Шмидта, дополняющие теорему 1.1.
Следствие 1.1. 1. Если в группе G все сверхразрешимые подгруппы Шмидта четного
порядка полунормальны в G, то G разрешима.
2. Если в группе G все несверхразрешимые подгруппы Шмидта четного порядка полунор-
мальны, то неабелевы композиционные факторы группы G изоморфны SL(2, 4). В частности,
группа G \{ 2, 3, 5\} \prime -разрешима.
2. Используемые обозначения и результаты. Все обозначения и используемые определе-
ния соответствуют [21, 22].
Пусть p — простое число. Группа с нормальной силовской p-подгруппой называется p-
замкнутой. Группа, содержащая нормальную подгруппу, индекс который совпадает с порядком
силовской p-подгруппы, называется p-нильпотентной. Через Z(G), F (G) и \Phi (G) обознача-
ются центр, подгруппа Фиттинга и подгруппа Фраттини группы G соответственно, а HG —
наименьшая нормальная в G подгруппа, содержащая подгруппу H. Симметрическая и знакопе-
ременная группы степени n обозначаются через Sn и An; циклическая и элементарная абелева
группы порядков m и pt обозначаются через Zm и Ept соответственно, \pi (G) — множество всех
простых делителей порядка группы G. Если | \pi (G)| = 1, то группа G называется примарной,
при | \pi (G)| = 2 — бипримарной. Если \pi \subseteq \pi (G), то \pi \prime = \pi (G) \setminus \pi .
Нормальным (субнормальным) рядом группы G называется цепочка подгрупп
1 = G0 \leq G1 \leq . . . \leq Gm = G,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
О РАЗРЕШИМОСТИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С S -ПОЛУНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ ШМИДТА 1513
в которой подгруппа Gi нормальна в G (нормальна в Gi+1) для всех i = 0, 1, . . . ,m - 1. Фактор-
группы Gi+1/Gi называются факторами этого ряда. Нормальный ряд называется главным, если
Gi+1/Gi — минимальная нормальная подгруппа группы G/Gi для каждого i, а числа | Gi+1/Gi| ,
i = 0, 1, . . . ,m - 1, называются индексами главного ряда. Субнормальный ряд называется
композиционным, если Gi+1/Gi — простая группа для каждого i.
Группа G называется \pi -разрешимой, \pi \subseteq \pi (G), если индексы ее главного ряда являются
степенями простых чисел из \pi , либо не делятся на простые числа из \pi . Группа G называется
сверхразрешимой, если индексы ее главного ряда — простые числа. Полупрямое произведение
нормальной в G подгруппы A и подгруппы B записывается так: G = [A]B.
В следующей лемме приведены свойства групп Шмидта, полученные самим О. Ю. Шмид-
том в 1924 году.
Лемма 2.1 [1]. Пусть S — группа Шмидта. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) S = [P ]Q, где P — нормальная силовская p-подгруппа, Q — ненормальная силовская
q-подгруппа, p и q — различные простые числа;
2) Q = \langle y\rangle — циклическая подгруппа и yq \in Z(S);
3) | P/P \prime | = pm, где m — показатель числа p по модулю q;
4) главный ряд группы S имеет систему индексов
p, p, . . . , p, pm, q, . . . , q,
число индексов равных p совпадает с n, где pn = | P \prime | ; число индексов равных q совпадает с b,
где qb = | Q| .
Условимся называть S\langle p,q\rangle -группой группу Шмидта с нормальной силовской p-подгруп-
пой P и циклической силовской q-подгруппой Q.
Лемма 2.2 ([23], лемма 1). S\langle p,q\rangle -группа сверхразрешима тогда и только тогда, когда
| P | = p и q делит p - 1.
Лемма 2.3. 1. Каждая не p-нильпотентная группа содержит S\langle p,q\rangle -подгруппу для неко-
торого q \in \pi (G) ([21], IV.5.4).
2. Каждая не 2-замкнутая группа содержит S<q,2>-подгруппу для некоторого q \in \pi (G)
(см. [24, c. 34], [25], 3.1.1).
Пример 2.1. Для любого нечетного p аналог утверждения 2 леммы 2.3 не имеет места.
Для p = 3 контрпримером является простая группа SL(2, 2n) при любом нечетном n > 2, а
для p \geq 5 — группа PSL(2, p).
Лемма 2.4 ([12], лемма 1). Если K и D — подгруппы группы G, подгруппа D нормальна
в K и K/D — S\langle p,q\rangle -подгруппа, то минимальное добавление L к подгруппе D в K имеет
следующие свойства:
1) L — p-замкнутая \{ p, q\} -подгруппа;
2) все собственные нормальные подгруппы в L нильпотентны;
3) L содержит S\langle p,q\rangle -подгруппу [P ]Q такую, что Q не содержится в D и L = ([P ]Q)L =
= QL.
Лемма 2.5 ([21], VI.4.10). Пусть A и B — подгруппы группы G такие, что G \not = AB и
ABg = BgA для всех g \in G. Тогда либо AG \not = G, либо BG \not = G.
Лемма 2.6. Пусть A — S -полунормальная подгрупа группы G и B — ее S -добавление.
1. Если A \leq H \leq G, то A — S -полунормальная подгруппа группы H и B \cap H — S -
добавление к A в H.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1514 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, E. В. ЗУБЕЙ
2. Если N — нормальная подгруппа группы G, то AN/N — S -полунормальная в G/N
подгруппа и BN/N — S -добавление к AN/N в G/N.
3. Подгруппа A перестановочна с P g для всех g \in G и всех силовских подгрупп P из B. В
частности, подгруппа Bg будет S -добавлением к подгруппе A для каждого g \in G.
Доказательство. 1. По тождеству Дедекинда H = A(H \cap B). Пусть P — силовская под-
группа из H \cap B и P1 — такая силовская подгруппа в B, что P \leq P1. Тогда
P = P1 \cap H, AP1 = P1A,
AP = A(P1 \cap H) = AP1 \cap H = P1A \cap H = (P1 \cap H)A = PA.
Поэтому A — S -полунормальная подгруппа в H и B \cap H — S -добавление к A в H.
2. Так как G = AB, то
G/N = (AN/N)(BN/N).
Пусть K/N — силовская p-подгруппа в BN/N. Тогда существует такая силовская подгруппа P
в BN, что PN/N = K/N. По лемме VI.4.6 [21] существуют такие силовские p-подгруппы P1
в B и P2 в N, что P = P1P2. Ясно, что PN = P1N. По условию подгруппа A перестановочна
с P1, поэтому A(PN) = (PN)A и
(AN/N)(PN/N) = (AN/N)(K/N) = (PN/N)(AN/N) = (K/N)(AN/N).
3. Пусть g = ba, a \in A, b \in B. Тогда P b \leq B и
AP g = AP ba = (AP b)a = (P bA)a = P baA = P gA.
В силу G = ABg подгруппа Bg будет S -добавлением к A в G.
Лемма 2.7. Если A — S -полунормальная подгруппа группы G, а B — ее S -добавление,
то для любого элемента g \in G подгруппа Ag S -полунормальна в G и подгруппа B является
S -добавлением к подгруппе Ag.
Доказательство. По определению S -полунормальной подгруппы и S -добавления груп-
па G = AB и AP — подгруппа группы G для любой силовской подгруппы P из B. По
утверждению 3 леммы 2.6 подгруппа A перестановочна с P g - 1
для любого g \in G, т. е.
AP g - 1
= P g - 1
A, AgP = PAg.
Из равенства G = AgB следует, что Ag — S -полунормальная подгруппа в группе G и B —
S -добавление к Ag в группе G.
Лемма 2.8. Если A — S -полунормальная подгруппа группы G, а X — непустое множество
элементов из G, то подгруппа AX = \langle Ax | x \in X\rangle S -полунормальна в G и B — S -добавление
к AX в G.
Доказательство. Пусть B — S -добавление к подгруппе A. По лемме 2.7 подгруппа Ax,
x \in X, S -полунормальна в G, а подгруппа B является S -добавлением к Ax. По определению
каждая силовская подгруппа P из B перестановочна с Ax. Согласно лемме 4 [12] подгруп-
па P перестановочна с AX . Из G = AB и A \leq AX следует, что G = AXB. Теперь AX —
S -полунормальная в G подгруппа и B — S -добавление к AX в G.
Лемма 2.9. Пусть в группе G все S\langle p,q\rangle -подгруппы S -полунормальны. Тогда:
1) если H — подгруппа группы G, то все S\langle p,q\rangle -подгруппы из H S -полунормальны в H;
2) если N — нормальная подгруппа группы G, то в фактор-группе G/N все S\langle p,q\rangle -
подгруппы S -полунормальны;
3) если N \leq H \leq G, N нормальна в H, то в H/N все S\langle p,q\rangle -подгруппы S -полунормальны.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
О РАЗРЕШИМОСТИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С S -ПОЛУНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ ШМИДТА 1515
Доказательство. 1. Утверждение следует из леммы 2.6 (1).
2. Пусть K/N — S\langle p,q\rangle -подгруппа группы G/N, а L — такая минимальная подгруппа из K,
что K = LN. По лемме 2.4 (3) подгруппа L содержит такую S\langle p,q\rangle -подгруппу A, что L = AL.
По условию подгруппа A S -полунормальна в G, а по лемме 2.8 подгруппа L S -полунормальна
в G. Теперь по лемме 2.6 (2) подгруппа LN/N = K/N S -полунормальна в G/N.
3. Утверждение следует из утверждений 1 и 2.
Лемма 2.10. Пусть A — нетривиальная S -полунормальная подгруппа простой группы G.
Тогда существует такая p-подгруппа P, p \in \pi (G), что G = AP.
Доказательство. Пусть B — S -добавление к A в G, а P — такая силовская p-подгруппа из
B, что P не содержится в A. Подгруппа P существует, иначе G = AB = A, а это противоречит
тому, что A \not = G. Предположим, что G \not = AP. Тогда G \not = AP g для всех g \in G. Так как G —
простая группа, то PG = G. По лемме 2.6 (3) подгруппа A перестановочна с P g для каждого
g \in G, поэтому AG \not = G по лемме 2.5. Но это противоречит простоте группы G. Поэтому
допущение G \not = AP ошибочно и G = AP.
Предложение 2.1. Если в простой группе G существует S -полунормальная подгруппа
Шмидта A, то справедливо одно из следующих утверждений:
1) G \simeq A5, A \simeq [A4]Z3, B \simeq Z5;
2) G \simeq PSL(2, 7), A \simeq [Z7]Z3, B \simeq D8;
3) G \simeq SL(2, 8), A \simeq [E8]Z7, B \simeq Z9.
Здесь B — S -добавление к A в группе G.
Доказательство. В теореме 3 [26] перечислены неразрешимые группы G = AB, где
A — группа Шмидта, а B — нильпотентная группа. При такой факторизации G/S(G) изо-
морфна одной из следующих групп: PSL(2, 7), PGL(2, 7), SL(2, 2n) и 2n - 1 — простое
число, P\Gamma L(2, 2n) для некоторого простого n. Поскольку в данном случае группа G простая и
| \pi (G)| = 3 по лемме 2.10, то для группы SL(2, 2n) возможен только случай, когда n \in \{ 2, 3\} .
Таким образом,
G \in
\bigl\{
PSL(2, 7), PSL(2, 5) = SL(2, 4) = A5, SL(2, 8)
\bigr\}
.
Факторизации этих групп известны, искомые факторизации указаны в пунктах 1 – 3 доказывае-
мого предложения.
3. Доказательство теоремы 1.2. Доказательство утверждения 1. Пусть в группе G
все сверхразрешимые подгруппы Шмидта четного порядка S -полунормальны. Предположим,
что группа G неразрешима и H/K — неабелевый композиционный фактор группы G. Тогда
H/K — простая группа четного порядка, она не 2-замкнута. По лемме 2.3 (2) в H/K сущест-
вует S\langle p,2\rangle -подгруппа A/K для некоторого p \in \pi (G). По лемме 2.2 каждая S\langle p,2\rangle -подгруппа
из G сверхразрешима и по условию S -полунормальна. По лемме 2.9 (3) подгруппа A/K S -
полунормальна в H/K и применимо предложение 2.1. Но там исключается возможность, при
которой A/K является S\langle p,2\rangle -подгруппой. Поэтому предположение, что G — неразрешимая
группа, ошибочно, и G разрешима. Утверждение 1 теоремы 1.2 доказано.
Доказательство утверждения 2. Пусть в группе G все несверхразрешимые подгруп-
пы Шмидта четного порядка S -полунормальны. Предположим, что группа G неразрешима и
H/K — неабелевый композиционный фактор группы G. Тогда H/K — простая группа чет-
ного порядка, поэтому не 2-нильпотентна. Согласно лемме 2.3 (1) в H/K существует S\langle 2,q\rangle -
подгруппа A/K для некоторого q \in \pi (G). По лемме 2.2 каждая S\langle 2,q\rangle -подгруппа несверхраз-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1516 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, E. В. ЗУБЕЙ
решима. По лемме 2.9 (3) и условию подгруппа A/K S -полунормальна в H/K и применимо
предложение 2.1.
Если H/K \simeq SL(2, 4), то A/K \simeq A4 = [E4]Z3. В SL(2, 4) подгруппы Шмидта исчерпы-
ваются с точностью до сопряженности следующими подгруппами: A4, [Z5]Z2 и [Z3]Z2. Под-
группы [Z5]Z2 и [Z3]Z2 сверхразрешимы, подгруппа A4 несверхразрешима и полунормальна.
Поэтому группа SL(2, 4) может быть композиционным фактором группы G.
Если H/K \simeq SL(2, 8), то A/K \simeq [E8]Z7. В SL(2, 8) подгруппы Шмидта исчерпывают-
ся с точностью до сопряженности следующими подгруппами: [E8]Z7, [Z7]Z2 и [Z3]Z2. Из
них несверхразрешимой является только подгруппа [E8]Z7, и она S -полунормальна в H/K.
Поэтому группа SL(2, 8) может быть композиционным фактором группы G.
Изоморфизм H/K с группой PSL(2, 7) исключается, в PSL(2, 7) есть несверхразрешимая
подгруппа Шмидта A4, она не S -полунормальна в PSL(2, 7).
Таким образом, неабелевы композиционные факторы группы G исчерпываются группами
SL(2, 4) и SL(2, 8), которые имеют порядки 22 \cdot 3 \cdot 5 и 23 \cdot 32 \cdot 7 соответственно. Следовательно,
неабелевы композиционные факторы группы G будут \{ 2, 3, 5, 7\} -группами и G \{ 2, 3, 5, 7\} \prime -
разрешима. Утверждение 2 теоремы 1.2 доказано.
Доказательство утверждения 3. Пусть в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта S -
полунормальны. Воспользуемся индукцией по порядку группы G и докажем, что группа G
3-разрешима. Пусть N — нормальная подгруппа группы G. По лемме 2.9 (1), (2) в подгруппе
N и в фактор-группе G/N все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта полунормальны. Если 1 \not = N \not = G, то
по индукции подгруппа N и фактор-группа G/N 3-разрешимы. Отсюда следует, что группа G
3-разрешима. Поэтому будем считать, что группа G простая.
Предположим, что группа G содержит \{ 2, 3\} -подгруппу Шмидта A. Из предложения 2.1
следует, что A \simeq A4 и G \simeq SL(2, 4). Но в группе SL(2, 4) имеется подгруппа Шмидта [Z3]Z2,
которая не S -полунормальна. Противоречие.
Таким образом, в группе G нет \{ 2, 3\} -подгрупп Шмидта. Проверим, что в этом случае
группа G является S4-свободной. Допустим противное, т. е. предположим, что существуют та-
кие подгруппы U и V, что U нормальна в V и V/U \simeq S4. Группа S4 содержит подгруппу S3,
которая является S<3,2>-подгруппой. По лемме 2.4 подгруппа V содержит S<3,2>-подгруппу.
Пришли к противоречию. Следовательно, группа G является S4-свободной. По теореме 4.174
[27] либо силовская 2-подгруппа в G абелева, либо G \in \{ Sz(2n), U(3, 2n)\} , n нечетно. Прос-
тые группы с абелевой силовской 2-подгруппой известны (см. теорему 4.126 [27]), каждая из
них содержит неабелеву подгруппу порядка 6, которая является S<3,2>-подгруппой. В группе
U(3, 2n), где n нечетно, также содержится S<3,2>-подгруппа [27] (теорема 4.168). Поэтому эти
группы исключаются. Группа Судзуки Sz(2n) имеет порядок, не делящийся на 3, следователь-
но, она 3-разрешима. Утверждение 3 теоремы 1.2 доказано.
Доказательство утверждения 4. Пусть в группе G все \{ 2, 3\} -подгруппы Шмидта и все 5-
замкнутые \{ 2, 5\} -подгруппы Шмидта S -полунормальны. Воспользуемся индукцией по порядку
группы и докажем, что группа G разрешима. Как и в доказательстве утверждения 3, получаем,
что G — простая группа. По утверждению 3 группа G 3-разрешима, поэтому G — простая
3\prime -группа. По теореме Томпсона G \simeq Sz(2n). Согласно теоремам XI.3.6, XI.3.10 [28] в группе
G содержится S<5,2>-подгруппа A. Поскольку A — S -полунормальная в G подгруппа, то
применимо предложение 2.1. Теперь порядок группы G делится на 3. Пришли к противоречию.
Утверждение 4 теоремы 1.2 доказано.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
О РАЗРЕШИМОСТИ КОНЕЧНОЙ ГРУППЫ С S -ПОЛУНОРМАЛЬНЫМИ ПОДГРУППАМИ ШМИДТА 1517
Поскольку полунормальные подгруппы S -полунормальны, то из утверждения 1 теоремы 1.2
следует утверждение 1 следствия 1.1.
Доказательство утверждения 2 следствия 1.1. Пусть в группе G все несверхразреши-
мые подгруппы Шмидта четного порядка полунормальны. Поскольку каждая полунормальная
подгруппа S -полунормальна, то применимо утверждение 2 теоремы 1.2. В группе SL(2, 8) под-
группа Шмидта [E8]Z7 S -полунормальна, ее индекс равен 9 и она не полунормальна. Поэтому
в SL(2, 8) нет полунормальных подгрупп Шмидта четного порядка, и эта группа исключается.
Следовательно, неабелевы композиционные факторы группы G изоморфны SL(2, 4).
4. Признаки \bfitp -разрешимости группы с \bfitS -полунормальными подгруппами Шмидта
нечетного порядка. Группа, порядок которой делится на простое число p, называется pd-
группой.
Утверждения, аналогичные утверждениям 1 – 3 теоремы 1.2, для групп с S -полунормаль-
ными подгруппами Шмидта нечетного порядка не имеют места. В простых группах SL(2, 2n),
n \geq 2, Sz(22m+1), m \geq 1, все подгруппы нечетного порядка нильпотентны, поэтому в них
нет подгрупп Шмидта нечетного порядка. Значит, перечисленные группы (и не только они)
могут быть композиционными факторами групп с S -полунормальными подгруппами Шмидта
нечетного порядка.
Кроме того, из леммы 2.2 следует, что группа Шмидта четного порядка либо сверхразре-
шима (когда она 2-нильпотентна), либо несверхразрешима (когда она 2-замкнута). Для групп
Шмидта нечетного порядка альтернативность не выполняется, например любая \{ 3, 5\} -группа
Шмидта (как 3-замкнутая, так и 3-нильпотентная) несверхразрешима. Поэтому при нечетном
p будем pd-подгруппы Шмидта разделять на p-замкнутые и p-нильпотентные.
Теорема 4.1. Пусть p — нечетное простое число и в группе G все p-замкнутые pd-
подгруппы Шмидта S -полунормальны. Если G не p-разрешима, то p = 7 и не p-разрешимый
композиционный фактор группы G изоморфен PSL(2, 7).
Доказательство. Предположим, что группа G не p-разрешима и H/K — не p-разрешимый
композиционный фактор группы G. Тогда H/K — простая pd-группа, поэтому не p-нильпотент-
на. Согласно лемме 2.3 (1) в H/K существует S\langle p,q\rangle -подгруппа A/K для некоторого q \in \pi (G).
По условию все S\langle p,q\rangle -подгруппы группы G S -полунормальны в G, а по лемме 2.9 (3) под-
группа A/K S -полунормальна в H/K. Теперь применимо предложение 2.1. Поскольку p > 2,
то H/K \simeq PSL(2, 7) и p = 7.
Теорема доказана.
Следствие 4.1. Если p — нечетное простое число и в группе G все p-замкнутые pd-
подгруппы Шмидта полунормальны, то G p-разрешима.
Доказательство. Предположим, что группа G не p-разрешима и H/K — не p-разрешимый
композиционный фактор группы G. По теореме 4.1 H/K \simeq PSL(2, 7) и p = 7. В груп-
пе PSL(2, 7) 7-замкнутая 7d-подгруппа Шмидта A = [Z7]Z3 имеет индекс 8, подгруппа A
S -полунормальна, но не полунормальна. Поэтому группа PSL(2, 7) исключается. Значит, до-
пущение ошибочно и G p-разрешима.
Пример 4.1. Как отмечалось в примере 2.1, в SL(2, 2n) нет 3-нильпотентных 3d-подгрупп
Шмидта при любом нечетном n, а в PSL(2, p) нет p-нильпотентных pd-подгрупп Шмид-
та при любом p \geq 5. Значит, перечисленные группы (и не только они) могут быть компо-
зиционными факторами группы с S -полунормальными p-нильпотентными pd-подгруппами
Шмидта.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1518 В. Н. КНЯГИНА, В. С. МОНАХОВ, E. В. ЗУБЕЙ
Таким образом, описание композиционных факторов неразрешимой группы с несверхразре-
шимыми (сверхразрешимыми) S -полунормальными подгруппами Шмидта нечетного порядка
зависит от решения следующей задачи.
Перечислить простые группы со сверхразрешимыми (нильпотентными) подгруппами нечет-
ного порядка.
Литература
1. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. – 1924. – 31. – С. 366 – 372.
2. Кузенный Н. Ф., Левищенко С. С. Конечные группы Шмидта и их обобщения // Укр. мат. журн. – 1991. – 43,
№ 7-8. – C. 963 – 968.
3. Монахов В. С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Тр. Укр. мат. конгресса-
2001. – Киев: Ин-т математики НАH Украины, 2002. – № 1. – С. 81 – 90.
4. Княгина В. Н., Монахов В. С. О конечных группах с некоторыми cубнормальными подгруппами Шмидта //
Сиб. мат. журн. – 2004. – 45, № 6. – С. 1316 – 1322.
5. Ведерников В. А. Конечные группы с субнормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. – 2007. –
46, № 6. – С. 669 – 687.
6. Al-Sharo Kh. A., Skiba A. N. On finite groups with \sigma -subnormal Schmidt subgroups // Communs Algebra. – 2017. –
45. – P. 4158 – 4165.
7. Kniahina V. N., Monakhov V. S. Finite groups with Hall – Schmidt subgroups // Publ. Math. Debrecen. – 2012. – 81,
№ 3-4. – P. 341 – 350.
8. Su Xiongying. On semi-normal subgroups of finite group // J. Math. (Wuhan). – 1988. – 8, № 1. – P. 7 – 9.
9. Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Math. J. – 1997. – 26, № 1. – P. 157 – 161.
10. Подгорная В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi.
Сер. фiз.-мат. навук. – 2000. – № 4. – С. 22 – 25.
11. Монахов В. С. Конечные группы с полунормальной холловой подгруппой // Мат. заметки. – 2006. – 80, № 4. –
С. 573 – 581.
12. Княгина В. Н., Монахов В. С. Конечные группы с полунормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и
логика. – 2007. – 46, № 4. – С. 448 – 458.
13. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R., Asaad M. Products of finite groups // De Gruyter Exp. Math. – Berlin;
New York: Walter de Gruyter, 2010. – 53.
14. Kegel O. Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen // Math. Z. – 1962. – 78. – S. 205 – 221.
15. Assad M., Heliel A. A. On S -quasinormally embedded subgroups of finite groups // J. Pure and Appl. Algebra. –
2001. – 165. – P. 129 – 135.
16. Го Вэньбинь, Шам К. П., Скиба А. Н. X -перестановочные максимальные подгруппы силовских подгрупп
конечных групп // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 10. – С. 1299 – 1309.
17. Guo W., Shum K. P., Skiba A. N. X -semipermutable subgroups of finite groups // J. Algebra. – 2007. – 315. –
P. 31 – 41.
18. Li S. R., Shen Z. C., Kong X. H. On SS -quasinormal subgroups of finite groups // Communs Algebra. – 2008. – 36,
№ 12. – P. 4436 – 4447.
19. Li S. R., Shen Z. C., Liu J. J., Liu X. C. The influence of SS -quasinormality of some subgroups on the structure of
finite groups // J. Algebra. – 2008. – 319. – P. 4275 – 4287.
20. Isaacs I. M. Semipermutable \pi -subgroups // Arch. Math. – 2014. – 102. – P. 1 – 6.
21. Huppert B. Endliche Gruppen I. – Berlin etc.: Springer, 1967. – 793 S.
22. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. – Минск: Вышэйш. шк., 2006. – 207 с.
23. Монахов В. С. О конечных группах с заданным набором подгрупп Шмидта // Мат. заметки. – 1995. – 58, № 5. –
С. 717 – 722.
24. Беркович Я. Г. Теорема о ненильпотентных разрешимых подгруппах конечной группы // Конечные группы. –
Минск: Наука и техника, 1966. – C. 24 – 39.
25. Монахов В. С. О подгруппах Шмидта конечных групп // Вопросы алгебры. – 1998. – Вып. 13. – С. 153 – 171.
26. Монахов В. С. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта // Докл. АН БССР. – 1974. – 18,
№ 10. – С. 871 – 874.
27. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. – М.: Мир, 1985.
28. Huppert B., Blackburn N. Finite groups III. – Berlin etc.: Springer, 1982.
Получено 07.02.18,
после доработки — 31.08.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1654 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:57Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d5/b00d684ac40d417f568f714dc53e68d5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16542019-12-05T09:22:19Z On the solvability of a finite group with $S$-seminormal Schmidt subgroups О разрешимости конечной группы с $S$-полунормальными подгруппами Шмидта Zubei, E. V. Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. A finite nonnilpotent group is called a Schmidt group if all its proper subgroups are nilpotent. A subgroup $A$ is called $S$-seminormal (or $SS$-permutable) in a finite group $G$ if there is a subgroup B such that $G = AB$ and $A$ is permutable with every Sylow subgroup of B. We establish the criteria of solvability and $\pi$ -solvability of finite groups in which some Schmidt subgroups are $S$-seminormal. In particular, we prove the solvability of a finite group in which all supersoluble Schmidt subgroups of even order are $S$-seminormal. Скiнченна ненiльпотентна група, всi власнi пiдгрупи якої нiльпотентнi, називається групою Шмiдта. Пiдгрупа $A$ називається $S$-напiвнормальною (або $SS$-переставною) в скiнченнiй групi $G$, якщо iснує така пiдгрупа $B$, що $G = AB$ та $A$ є переставною з кожною силовською пiдгрупою iз $B$. Встановлено ознаки розв’язностi i $\pi$ -розв’язностi скiнченних груп, в яких деякi з пiдгруп Шмiдта $S$-напiвнормальнi. Зокрема, доведено розв’язнiсть скiнченної групи, в якiй всi надрозв’язнi пiдгрупи Шмiдта парного порядку є $S$-напiвнормальними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1654 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1511-1518 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1511-1518 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1654/636 Copyright (c) 2018 Zubei E. V.; Knyagina V. N.; Monakhov V. S. |
| spellingShingle | Zubei, E. V. Knyagina, V. N. Monakhov, V. S. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. Зубей, E. В. Княгина, В. Н. Монахов, В. С. On the solvability of a finite group with $S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title | On the solvability of a finite group with
$S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title_alt | О разрешимости конечной группы
с $S$-полунормальными подгруппами Шмидта |
| title_full | On the solvability of a finite group with
$S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title_fullStr | On the solvability of a finite group with
$S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title_full_unstemmed | On the solvability of a finite group with
$S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title_short | On the solvability of a finite group with
$S$-seminormal Schmidt subgroups |
| title_sort | on the solvability of a finite group with
$s$-seminormal schmidt subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1654 |
| work_keys_str_mv | AT zubeiev onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT knyaginavn onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT monakhovvs onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT zubejev onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT knâginavn onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT monahovvs onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT zubejev onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT knâginavn onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT monahovvs onthesolvabilityofafinitegroupwithsseminormalschmidtsubgroups AT zubeiev orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT knyaginavn orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT monakhovvs orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT zubejev orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT knâginavn orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT monahovvs orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT zubejev orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT knâginavn orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta AT monahovvs orazrešimostikonečnojgruppysspolunormalʹnymipodgruppamišmidta |