Problem of shadow in the Lobachevski space
We consider the problem of shadow in a hyperbolic space. This problem can be regarded as a problem of finding conditions guaranteeing that points belong to a generalized convex hull of the family of balls.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1656 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507480596938752 |
|---|---|
| author | Kostin, A. V. Костин, А. В. Костин, А. В. |
| author_facet | Kostin, A. V. Костин, А. В. Костин, А. В. |
| author_sort | Kostin, A. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We consider the problem of shadow in a hyperbolic space. This problem can be regarded as a problem of finding conditions
guaranteeing that points belong to a generalized convex hull of the family of balls. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:09:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 514.132, 515.124
А. В. Костин (Казан. федер. ун-т, Елабуж. ин-т, Россия)
ЗАДАЧА О ТЕНИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО
We consider the problem of shadow in a hyperbolic space. This problem can be regarded as a problem of finding conditions
guaranteeing that points belong to a generalized convex hull of the family of balls.
Розглядається задача про тiнь у гiперболiчному просторi. Цю задачу можна розглядати як задачу про знаходження
умов, що забезпечують належнiсть точок узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї куль.
1. Задача о тени в евклидовом пространстве. Последние исследования Ю. Б. Зелинского
были связаны с задачей о тени [1 – 7]. В используемой в работах Ю. Б. Зелинского и его
учеников формулировке задача о тени впервые была рассмотрена Г. Худайбергановым в статье
[8] (см. также [1]):
какое минимальное число попарно не пересекающихся шаров с центрами на (n - 1)-мерной
сфере n-мерного евклидова пространства и радиуса меньшего, чем радиус сферы, достаточно
для того, чтобы любая прямая, проходящая через центр сферы, пересекала хотя бы один из
этих шаров.
Полное решение этой задачи (далее — задача 1) дано в работе [2]. В ней, в частности,
показано, что для этого достаточно n+1 шара. В работах [1, 3, 9] сформулированы различные
обобщения этой задачи. В одном из них центр сферы заменяется на произвольные точки шара,
ограниченного сферой, которые лежат вне выбранных шаров с центрами на сфере (далее —
задача 2). В таком виде результат известен только для евклидовой плоскости (см. [2]). В этом
случае имеет место очевидное утверждение для более широкого множества точек.
Лемма 1. Рассмотрим равносторонний треугольник на евклидовой плоскости. Если вы-
брать три замкнутых круга с центрами в вершинах этого треугольника и радиуса, равного
половине высоты треугольника, то каждая прямая, проходящая через произвольную точку
дополнения трeх этих кругов до их выпуклой оболочки, пересекается не менее чем с одним из
этих кругов.
Многие утверждения из статьи [1] могут быть перенесены в гиперболическое пространство.
Целью предлагаемой работы является получение гиперболических аналогов некоторых из них.
Утверждение из леммы 1 в расширенной постановке задачи о тени (задачи о тени не только
для центра 1-сферы) имеет формулировку, допускающую наиболее естественное обобщение
на плоскости Лобачевского. Это отражено в теоремах 1 – 3 данной работы. В них будут ука-
заны условия, при которых любая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения
замкнутых гиперболических кругов разного типа до их выпуклой оболочки, пересекается хотя
бы с одним из этих кругов. В теореме 4 даeтся решение задачи 2 для замкнутых шаров равного
радиуса, центры которых расположены на окружности произвольного радиуса на плоскости
Лобачевского. Параметры (радиусы или соответствующие расстояния) для открытых кругов
всех типов могут быть выбраны сколь угодно мало отличающимися от замкнутых. Задача
о тени для центра сферы также допускает разные варианты обобщения в гиперболическом
пространстве в зависимости от того, состоит сфера из собственных, бесконечно удалeнных
c\bigcirc А. В. КОСТИН, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1525
1526 А. В. КОСТИН
или идеальных точек. В теоремах 5 – 7 содержатся метрические характеристики, обеспечива-
ющие принадлежность точки выпуклой 1-оболочке семейства замкнутых шаров разного типа
n-мерного гиперболического пространства.
2. Задача о тени на гиперболической плоскости. В работе [8] доказано, что для того,
чтобы любая прямая, проходящая через центр окружности на евклидовой плоскости, пересе-
кала хотя бы один круг с центром на данной окружности (или, иными словами, чтобы центр
окружности принадлежал выпуклой 1-оболочке кругов [1]), достаточно двух кругов. Другое до-
казательство этого утверждения дано в работе [2]. Это доказательство можно распространить
и на гиперболическую плоскость. Приведeм основные шаги с указанием отличий, связанных
со спецификой гиперболической плоскости. Для кругов B1 и B2 с центрами на окружности
S рассматриваются общая „внутренняя” касательная l1, по отношению к которой круги лежат
в разных полуплоскостях, и „внешняя” касательная l2, по отношению к которой круги лежат
в одной полуплоскости. Выбирается положение, которое в условиях задачи определяет верх-
нюю грань расстояний от центра окружности S до прямой l1, и даются оценки для радиусов
кругов B1 и B2. Верхняя грань (недостижимая при выполнении условий задачи 1) определя-
ется положением, когда радиус большего круга равен радиусу окружности S, круги B1 и B2
касаются, а прямая l2 проходит через центр окружности S. Пусть на плоскости Лобачевского
кривизны K = - 1
\rho 2
радиус окружности S равен R, радиусы кругов B1 и B2 равны r1 и r2
соответственно, R \geq r1 \geq r2, и круги B1 и B2 касаются один другого. Расстояние d от цент-
ра окружности S до общей внешней касательной l2 равно \rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}
\left( \mathrm{c}\mathrm{h} R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{h}
r1 - r2
\rho
\mathrm{c}\mathrm{h}
r1 + r2
\rho
\right) . Верхняя
грань его соответствует значению r1 = R. При этом r2 определяется из уравнения\biggl(
4 \mathrm{t}\mathrm{h}2
R
\rho
- 1
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{h}2
r2
\rho
- 4 \mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{h}
r2
\rho
+ \mathrm{s}\mathrm{h}2
r2
\rho
= 0.
Если \mathrm{t}\mathrm{h}
R
\rho
=
1
2
, то r2 = \rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
1
4
\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\biggr)
. В других случаях
r2 = \rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{s}\mathrm{h}
\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\biggl(
2 -
\sqrt{}
5 - 4 \mathrm{t}\mathrm{h}2
R
\rho
\biggr)
4 \mathrm{t}\mathrm{h}2
R
\rho
- 1
.
Если линейные размеры фигур малы по сравнению с радиусом кривизны, то отсюда получим
евклидовы оценки для радиуса второго круга и расстояния от центра окружности S до прямой
l1 : r2 = R
\bigl( \surd
5 - 2
\bigr)
, d =
R
\bigl(
3 -
\surd
5
\bigr)
2
. Далее, немного уменьшив радиус круга B1 и чуть
раздвинув центры кругов B1 и B2, но так, чтобы прямая l1 всe ещe не проходила через центр,
получим, что на плоскости Лобачевского для того, чтобы любая прямая, проходящая через
центр окружности, пересекала хотя бы один замкнутый (открытый) круг с центром на данной
окружности, также достаточно двух кругов.
На евклидовой плоскости вследствие наличия подобия задачу о тени для центра окружнос-
ти и для всех точек внутри неe достаточно решить при условии равенства радиуса окружности
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ЗАДАЧА О ТЕНИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО 1527
единице. На плоскости Лобачевского, особенно для задачи 2, нужно учитывать радиус окруж-
ности S.
Аналогом леммы 1 на плоскости Лобачевского будет следующее утверждение, в котором
под выпуклой оболочкой кругов понимается минимальное выпуклое (в традиционном смысле)
множество, содержащее эти круги.
Теорема 1. Пусть ABC — правильный треугольник с радиусом описанной окружности R
на плоскости Лобачевского кривизны K = - 1
\rho 2
. Пусть Bi, i = 1, 2, 3, — замкнутые круги с
центрами в вершинах этого треугольника, радиусы r которых удовлетворяют соотношению
\mathrm{t}\mathrm{h}
r
\rho
=
3 \mathrm{s}\mathrm{h}
2R
\rho
8 + 6 \mathrm{s}\mathrm{h}2
R
\rho
.
Тогда каждая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения объединения трeх
этих кругов
3\bigcup
i=1
Bi до их выпуклой оболочки, пересекается не менее чем с одним из этих
кругов.
Доказательство утверждения базируется на следующем факте из абсолютной геометрии:
чтобы любая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения трeх замкнутых
кругов с центрами в вершинах правильного треугольника до их выпуклой оболочки, пересекалась
хотя бы с одним из кругов, нужно, чтобы радиусы r этих кругов определялись из условия
касания прямой LP всех кругов (см. рисунок).
Конфигурация кругов наименьшего радиуса,
создающих тень.
Точнее, этим условием определяется нижняя грань радиусов кругов, создающих тень. Далее
применяются стандартные теоремы гиперболической тригонометрии.
Нетрудно видеть, что если линейные размеры фигур будут малы по сравнению с радиусом
кривизны гиперболической плоскости, то радиусы кругов r будут асимптотически эквивалент-
ны 3/4R, т. е. в пределе мы, как и следовало ожидать, получаем евклидову зависимость между
радиусами кругов, создающих тень, и радиусом описанной окружности треугольника ABC.
Замечание 1. Аналогичная теорема может быть доказана и в сферической геометрии.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1528 А. В. КОСТИН
Подобно тому, как в гиперболическом пространстве расширяется область действия „педаль-
ных” свойств фигур [10], так и предложенная Г. Худайбергановым постановка задачи о тени
и еe вариации, предложенные Ю. Б. Зелинским, в гиперболическом пространстве допускают
естественные обобщения. В соответствии с этим на плоскости Лобачевского мы получим сле-
дующие аналоги теоремы 1. Часть плоскости Лобачевского, ограниченную орициклом, следуя
[11], будем называть орикругом. Аналогичную терминологию будем использовать и в других
случаях.
Теорема 2. Пусть A, B, C — три бесконечно удалeнные точки плоскости Лобачевско-
го, \omega 1, \omega 2, \omega 3 — три замкнутых орикруга с центрами в точках A, B, C соответственно,
удалeнные от центра треугольника ABC (центра вращения третьего порядка) на рассто-
яние d =
\rho
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
5
3
. Тогда каждая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения
объединения трeх этих орикругов
3\bigcup
i=1
\omega i до их выпуклой оболочки, пересекается не менее чем
с одним из этих орикругов.
Доказательство этой теоремы можно легко получить как по аналогии с доказательством
теоремы 1, так и предельным переходом, устремляя длину стороны правильного треугольника
к бесконечности. При доказательстве первым способом нужно только учесть, что угол меж-
ду прямыми, проходящими через центр треугольника перпендикулярно сторонам, будет углом
параллельности отрезка перпендикуляра от центра к стороне. Описанная окружность треуголь-
ника ABC в данном случае заменяется абсолютом гиперболической плоскости. Она не лежит
в выпуклой оболочке трeх орикругов и, вообще, любого конечного или счeтного числа орикру-
гов. Но в выпуклой оболочке трeх орикругов лежит окружность радиуса, равного расстоянию
от центра треугольника с бесконечно удалeнными вершинами до общей внешней касательной
пары орикругов (границы выпуклой оболочки).
Рассмотрим случай, когда вершины правильного треугольника ABC на расширенной ги-
перболической плоскости уйдут в идеальную область (см. [12]) так, что стороны останутся
гиперболическими. Тогда в собственной области стороны и поляры вершин образуют шес-
типрямоугольник — шестиугольник, все углы которого прямые. Сам треугольник ABC по-
прежнему будем называть правильным. Множество точек, ограниченных ветвью эквидистанты
и еe базой, будем называть эквикругом. В этом случае мы получим следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть A, B, C — идеальные вершины правильного гиперболического тре-
угольника. Пусть b — расстояние от центра треугольника до его сторон, h — параметр
эквидистант поляр вершин треугольника ABC и
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}
h
\rho
=
3
4
\mathrm{s}\mathrm{h}
2b
\rho
.
Тогда каждая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения объединения трeх
этих замкнутых эквикругов
3\bigcup
i=1
\varepsilon i, ограниченных эквидистантами, до их выпуклой оболочки,
пересекается не менее чем с одним из этих эквикругов.
Доказательство утверждения аналогично доказательству теоремы 1. „Описанная окруж-
ность” треугольника ABC в условиях теоремы 3 является эквидистантой эллиптической пря-
мой идеальной области плоскости Лобачевского. Граничные эквидистанты эквикругов в соб-
ственной области плоскости Лобачевского могут также рассматриваться как окружности с
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ЗАДАЧА О ТЕНИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО 1529
центрами в идеальных вершинах треугольника ABC. Впрочем, это утверждение может быть
сформулировано и без обращения к идеальной области. В выпуклой оболочке трeх эквикругов
лежит окружность с центром в центре треугольника и радиусом, равным расстоянию от центра
до общей внешней касательной пары эквикругов.
На евклидовой плоскости в условиях леммы 1 окружность, описанная около треугольника,
всегда лежит в выпуклой оболочке трeх кругов, вне зависимости от радиуса этой окружности.
На плоскости Лобачевского картина существенно отличается от евклидовой. В теореме 1 ука-
зано нижнее значение радиусов замкнутых кругов, создающих тень для любой точки выпуклой
оболочки. Радиусы открытых кругов могут быть сколь угодно близки к указанному значению.
Выясним, при каких значениях радиуса R описанной окружности эта окружность будет ле-
жать в выпуклой оболочке кругов, создающих тень. Для замкнутых кругов радиус R не должен
превышать расстояние от точки O — центра окружности S — до общей внешней касательной
пары кругов, создающих тень. Последнее расстояние будет равно сумме расстояний ON и PN
на рисунке. Но удобнее провести оценку способом, применимым для любого числа кругов,
создающих тень. Пусть B1, C1 — точки касания внешней касательной к кругам с центрами в
точках B и C. На луче ON отложим отрезок OE длины R. От его конца E проведeм отрезок
EF так, чтобы четырeхугольник OEFB был двупрямоугольником (см. [13]) с прямыми угла-
ми E и F. Четырeхугольник ON1B1B, где N1 — точка пересечения луча ON с B1C1, также
является двупрямоугольником. Если при этом BF будет не больше r, описанная окружность
будет лежать в выпуклой оболочке замкнутых кругов, создающих тень. В четырeхугольнике
OBEF имеем
\mathrm{s}\mathrm{h}
BE
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{h}
OF
\rho
\mathrm{c}\mathrm{h}
OB
\rho
- \mathrm{c}\mathrm{h}
OF
\rho
\mathrm{s}\mathrm{h}
OB
\rho
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(BOF ).
Отсюда \mathrm{s}\mathrm{h}
BE
\rho
=
1
4
\mathrm{s}\mathrm{h}
2R
\rho
. Потребовав, чтобы выполнялось условие
\mathrm{s}\mathrm{h}
BE
\rho
\mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
\leq 1,
получим \mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\leq 2\surd
3
или \mathrm{c}\mathrm{h}
R
\rho
\leq
\sqrt{}
7
3
. Увеличивая радиусы кругов, создающих тень, можно
увеличить и верхнюю границу радиуса описанной окружности. Верхняя граница для r опре-
деляется половиной длины стороны треугольника. При этом \mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
=
\surd
3
2
\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
. Аналогично
предыдущему, для непересекающихся кругов имеем \mathrm{c}\mathrm{h}
R
\rho
<
\surd
3. Обобщая эти рассуждения,
получим следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть радиус окружности S на плоскости Лобачевского удовлетворяет усло-
вию
\rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}
\biggl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\pi
2(n - 1)
\biggr)
\leq R < \rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\pi
2n
\Bigr)
, n \geq 3.
Тогда для того, чтобы окружность S принадлежала выпуклой оболочке непересекающихся
кругов равного радиуса с центрами на S и меньшего, чем R, необходимо и достаточно n
кругов. Если n — нечeтно и не меньше трeх, то при R < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\pi
2n
\Bigr)
для того, чтобы
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1530 А. В. КОСТИН
любая прямая, проходящая через произвольную точку дополнения кругов Bi с центрами на
окружности S до содержащей S их выпуклой оболочки, пересекалась хотя бы с одним из
кругов, достаточно n кругов.
Доказательство. Достаточно расположить n кругов с центрами в вершинах правильного
n-угольника, вписанного в окружность, и радиусами, чуть меньшими половины стороны мно-
гоугольника. Верхняя грань радиусов кругов r равна половине длины стороны правильного n-
угольника. Следовательно, верхняя грань определяется из условия \mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\pi
n
. С другой
стороны, радиус должен быть больше, чем боковая сторона двупрямоугольника, построенного
по аналогии с двупрямоугольником OEFB выше. Пусть t — длина отрезка, соответствующего
отрезку BE при таком построении. Тогда
\mathrm{s}\mathrm{h}
t
\rho
= \mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
\mathrm{c}\mathrm{h}
R
\rho
\Bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\pi
n
\Bigr)
.
Учитывая, что
\mathrm{s}\mathrm{h}
t
\rho
\mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
\leq 1,
получаем \mathrm{c}\mathrm{h}
R
\rho
< \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\pi
2n
. Отсюда следует первая часть утверждения. Вторая часть, с учeтом
этой оценки, очевидна.
Замечание 2. Если n чeтно и не менее 4, то при R < \rho \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}
\Bigl(
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}
\pi
2n
\Bigr)
достаточно n кругов
при условии, что их радиусы могут быть разными.
3. Задача о тени для центра сферы в гиперболическом пространстве. Одной из базовых
конструкций для решения задачи о тени в евклидовом пространстве в работе [2] является набор
шаров с центрами в вершинах правильного симплекса и радиусами, равными половине длины
ребра симплекса. В связи с этим в гиперболическом пространстве рассмотрим три аналога
этой конструкции. Во всех случаях первоначально есть одно нарушение условий исходной
постановки задачи — шары касаются один другого.
Теорема 5. Пусть в n-мерном гиперболическом пространстве кривизны K = - 1
\rho 2
дана
сфера Sn - 1 радиуса R. Пусть при этом Bi, где i = 1, . . . , n+ 1, — замкнутые шары радиуса
r с центрами в вершинах правильного n-симплекса, вписанного в сферу Sn - 1, такие, что
\mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
=
\sqrt{}
n+ 1
2n
\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
.
Тогда каждая прямая, проходящая через центр сферы, пересекается не менее чем с одним из
этих шаров.
Доказательство следует из того, что r будет равен половине длины ребра правильного
n-симплекса, вписанного в сферу радиуса R.
Для правильного гиперболического тетраэдра радиусы шаров, создающих тень, и радиус
описанного шара будут связаны соотношением
\mathrm{s}\mathrm{h}
r
\rho
=
\sqrt{}
2
3
\mathrm{s}\mathrm{h}
R
\rho
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ЗАДАЧА О ТЕНИ В ПРОСТРАНСТВЕ ЛОБАЧЕВСКОГО 1531
Заметим, что для собственного правильного n-симплекса гиперболического пространства ра-
диус описанной сферы при изменении длины ребра может принимать все возможные положи-
тельные действительные значения, в то время как радиус вписанной сферы может принимать
значения от 0 до
\rho
2
\mathrm{l}\mathrm{n}
n+ 1
n - 1
. Отсюда следует, что радиусы вписанных сфер всех симплексов
гиперболических пространств с ростом размерности стремятся к нулю. Аналогичное свойство
имеется и у гиперболических кубов.
Если вершины правильного n-симплекса уйдут в бесконечность, то шары с центрами в
вершинах перейдут в оришары, а их граничные сферы — в орисферы.
Теорема 6. Пусть \omega 1, . . . , \omega n+1 — замкнутые предельные шары (оришары) с несобствен-
ными центрами в вершинах n-симплекса, такие, что расстояние d от центра О n-симплекса
до граничных орисфер удовлетворяет условию
\mathrm{s}\mathrm{h}
d
\rho
=
\surd
2(n - 1)
4
\sqrt{}
n(n+ 1)
.
Тогда каждая прямая, проходящая через центр многогранника, пересекается не менее чем с
одним из этих предельных шаров.
Доказательство этого утверждения можно получить из предыдущей конфигурации предель-
ным переходом. Для этого надо выразить расстояние от центра сферы до шара, создающего
тень, и устремить радиус сферы к бесконечности.
В случае трeхмерного асимптотического тетраэдра (тетраэдра с бесконечно удалeнными
вершинами) расстояние d от центра до орисфер с несобственными центрами в вершинах тет-
раэдра будет удовлетворять условию
\mathrm{s}\mathrm{h}
d
\rho
=
\surd
6
12
.
Если вершины правильного n-симплекса уйдут в идеальную область, то грани и поляры вер-
шин образуют 2(n+1)-гранник, n+1 грань которого является правильным (n - 1)-симплексом.
Сам исходный симплекс, как и прежде, будем называть правильным.
Теорема 7. Пусть h — параметр (высота) эквидистантных поверхностей поляр идеаль-
ных вершин правильного n-симплекса, b — расстояние от центра многогранника до ребра,
и \mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}
h
\rho
=
\sqrt{}
n+ 1
n - 1
\mathrm{s}\mathrm{h}
b
\rho
. Тогда каждая прямая, проходящая через центр многогранника, пе-
ресекается не менее чем с одним из замкнутых эквишаров, ограниченных эквидистантными
поверхностями.
Доказательство этого утверждения также проводится с использованием стандартных теорем
гиперболической тригонометрии с учeтом того, что углы между лучами, идущими от центра к
вершинам, и лучами, идущими от центра перпендикулярно рeбрам, совпадают с соответству-
ющими углами в правильном евклидовом симплексе.
В трeхмерном случае высота эквидистанты плоскости связана с расстоянием от центра до
ребра следующим образом:
\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{h}
h
\rho
=
\surd
2 \mathrm{s}\mathrm{h}
b
\rho
.
Грани и поляры идеальных вершин тетраэдра образуют октаэдр, четыре грани которого явля-
ются правильными треугольниками, а четыре оставшиеся — шестипрямоугольники.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1532 А. В. КОСТИН
Доказательство достаточности для создания тени n+1 шара без общих точек из работы [2],
основанное на семействе шаров с центрами в вершинах правильного симплекса, остаeтся в силе
и в гиперболическом пространстве. Нужно только сделать оговорки для случаев, не имеющих
места в евклидовом пространстве. Для эквишаров вместо изменений радиусов меняются их
высоты. В трeхмерном гиперболическом пространстве для создания тени в центре сферы будет
достаточно четырeх шаров или эквишаров, не имеющих общих точек. Центры их лежат на
сфере, состоящей соответственно из собственных и идеальных точек. Ситуация с оришарами
особая. При малых шевелениях оришаров их центры образуют симплекс, близкий к исходному,
в двумерном пространстве даже изометричный, с вершинами в новых бесконечно удалeнных
точках. Сами оришары, создающие тень, изометричны, как и все оришары гиперболического
пространства. В этом случае, в отличие от двух других, определeн только центр вписанной
сферы симплекса. Центр же такой „сферы” из бесконечно удалeнных точек не определeн. В
двух других случаях при малых изменениях радиусов шаров или эквишаров (высот, ограни-
чивающих их эквидистантных поверхностей) многогранники также будут близки к исходным.
Поэтому около них будут описываться собственные или идеальные сферы тех же типов.
Литература
1. Зелинский Ю. Б., Выговская И. Ю., Дакхил Х. К. Задача о тени и смежные задачи // Proc. Intern. Geom. Center. –
2016. – 9, № 3-4. – P. 50 – 58.
2. Выговская И. Ю., Зелинский Ю. Б., Стефанчук М. В. Обобщенно выпуклые множества и задача о тени // Укр.
мат. журн. – 2015. – 67, № 12. – C. 1658 – 1666.
3. Зелiнський Ю. Б., Стефанчук М. В. Узагальнення задачi про тiнь // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 6. –
C. 757 – 762.
4. Zelinskii Y. B. Generalized convex envelopes of sets and the problem of shadow // J. Math. Sci. – 2015. – 211, № 5. –
P. 710 – 717.
5. Zelinskii Y. B. Problem of shadow (complex case) // Adv. Math.: Sci. J. – 2016. – 5, № 1. – P. 1 – 5.
6. Zelinskii Y. B. The problem of the shadows // Bull. Soc. Sci. Lett. Lódź. – 2016. – 66. – P. 37.
7. Зелинский Ю. Б. Задача о тени для семейства множеств // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2015. –
12. – С. 197 – 204.
8. Худайберганов Г. Об однородно-полиномиально выпуклой оболочке объединения шаров // ВИНИТИ. – 1982. –
21. — C. 1772 – 1785.
9. Осипчук Т. М., Ткачук М. В. Задача о тени для областей в евклидовых пространствах // Укр. мат. вiсн. – 2016. –
13, № 4. – С. 532 – 542.
10. Kostin A. V., Sabitov I. K. Smarandache theorem in hyperbolic geometry // J. Math. Phys., Anal., Geom. – 2014. –
10, № 2. – P. 221 – 232.
11. Кайдасов Ж., Шикин Е. В. Об изометрическом погружении в E3 выпуклой области плоскости Лобачевского,
содержащей два орикруга // Мат. заметки. – 1986. – 39, № 4. – C. 612 – 617.
12. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. – М.: Наука, 1969. – 548 с.
13. Несторович Н. М. Геометрические построения в плоскости Лобачевского. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1951. –
304 с.
Получено 06.02.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1656 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:09:59Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/32/fa2b00b456408f47e88fd963300ca732.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16562019-12-05T09:22:19Z Problem of shadow in the Lobachevski space Задача о тени в пространстве Лобачевского Kostin, A. V. Костин, А. В. Костин, А. В. We consider the problem of shadow in a hyperbolic space. This problem can be regarded as a problem of finding conditions guaranteeing that points belong to a generalized convex hull of the family of balls. Розглядається задача про тiнь у гiперболiчному просторi. Цю задачу можна розглядати як задачу про знаходження умов, що забезпечують належнiсть точок узагальнено опуклiй оболонцi сiм’ї куль. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1656 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1525-1532 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1525-1532 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1656/638 Copyright (c) 2018 Kostin A. V. |
| spellingShingle | Kostin, A. V. Костин, А. В. Костин, А. В. Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title | Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title_alt | Задача о тени в пространстве Лобачевского |
| title_full | Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title_fullStr | Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title_full_unstemmed | Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title_short | Problem of shadow in the Lobachevski space |
| title_sort | problem of shadow in the lobachevski space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1656 |
| work_keys_str_mv | AT kostinav problemofshadowinthelobachevskispace AT kostinav problemofshadowinthelobachevskispace AT kostinav problemofshadowinthelobachevskispace AT kostinav zadačaotenivprostranstvelobačevskogo AT kostinav zadačaotenivprostranstvelobačevskogo AT kostinav zadačaotenivprostranstvelobačevskogo |