Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor systems
We establish necessary and sufficient conditions for the validity of the upper bounds for the performance criteria of linear descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances. The verification of these conditions is reduced to solving matrix equations...
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1658 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507484141125632 |
|---|---|
| author | Mazko, A. G. Мазко, О. Г. |
| author_facet | Mazko, A. G. Мазко, О. Г. |
| author_sort | Mazko, A. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the validity of the upper bounds for the performance criteria of linear
descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances. The verification of these
conditions is reduced to solving matrix equations and inequalities. The main statements are formulated with an aim of their
subsequent application in the problems of robust stabilization and in the $H_{\infty}$ -optimization problems for descriptor control
systems. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.925.51; 681.5.03
О. Г. Мазко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ
У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ
We establish necessary and sufficient conditions for the validity of the upper bounds for the performance criteria of linear
descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances. The verification of these
conditions is reduced to solving matrix equations and inequalities. The main statements are formulated with an aim of their
subsequent application in the problems of robust stabilization and in the H\infty -optimization problems for descriptor control
systems.
Встановлено необхiднi та достатнi умови виконання верхнiх оцiнок для критерiїв якостi лiнiйних дескрипторних
систем, що характеризують зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. Перевiрка даних умов зводиться
до розв’язування матричних рiвнянь та нерiвностей. Основнi твердження сформульовано з метою їх подальшого
застосування в задачах робастної стабiлiзацiї та H\infty -оптимiзацiї дескрипторних систем керування.
1. Вступ. У сучаснiй теорiї керування розвиваються i широко застосовуються методи H\infty -
оптимiзацiї систем, якi забезпечують робастну стiйкiсть станiв рiвноваги та мiнiмiзують не-
гативний вплив зовнiшнiх збурень на динамiку керованих об’єктiв (див., наприклад, [1 – 6]).
Типовим критерiєм якостi у задачах H\infty -оптимiзацiї неперервних та дискретних систем ке-
рування з нульовим початковим станом є рiвень гасiння зовнiшнiх збурень, якому вiдповiдає
максимальне значення вiдношення L2-норм векторiв керованого виходу об’єкта i збурень. У
[7 – 11] застосовувались бiльш загальнi критерiї якостi, якi характеризують зважений рiвень
гасiння як зовнiшнiх, так i початкових збурень, що обумовленi невiдомими ненульовими значе-
ннями початкового вектора. Введення вагових коефiцiєнтiв в узагальнених критерiях якостi дає
можливiсть встановити прiоритети мiж компонентами векторiв виходу, зовнiшнiх i початкових
збурень [7, 12, 13].
Вiдомi методи синтезу H\infty -керування базуються на умовах виконання верхнiх оцiнок
для вiдповiдних критерiїв якостi, встановлених у термiнах матричних рiвнянь та нерiвнос-
тей (твердження типу „bounded real lemmas” [5, 14, 15]). Для класу лiнiйних дескрипторних
(диференцiально-алгебраїчних) систем аналогiчнi умови встановлено в [16 – 18]. Такi систе-
ми часто виникають при дослiдженнi динамiки складних об’єктiв механiки, електротехнiки,
економiки тощо [19 – 22].
Слiд зазначити, що практичне застосування багатьох методiв синтезу неперервних та дис-
кретних систем керування базується на розв’язуваннi лiнiйних матричних нерiвностей (ЛМН).
Для цього створено достатньо ефективнi засоби LMI Toolbox комп’ютерної системи Matlab [23].
Дану роботу присвячено задачам оцiнювання впливу зовнiшнiх i початкових збурень на
якiсть лiнiйних дескрипторних систем. Розглядаються зваженi критерiї якостi таких систем
вiдносно вектора виходу i проводиться їх оцiнювання методом квадратичних функцiй Ляпунова.
В результатi умови виконання заданих верхнiх оцiнок для даних критерiїв якостi подаються у
виглядi ЛМН та додаткових рангових обмежень на матричнi коефiцiєнти.
Будемо використовувати такi позначення: In — одинична матриця порядку n; X = X\top > 0
(\geq 0) — симетрична додатно (невiд’ємно) визначена матриця X; \mathrm{i}(X) = \{ \mathrm{i}+, \mathrm{i} - , \mathrm{i}0\} — iнерцiя
симетричної матрицi X, яку утворюють кiлькостi її додатних, вiд’ємних i нульових власних
c\bigcirc О. Г. МАЗКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1541
1542 О. Г. МАЗКО
значень з урахуванням кратностi; \sigma (\cdot ) — спектр матрицi (в’язки матриць); \| x\| Q — зважена
L2-норма векторної функцiї x(t).
2. Зважений рiвень гасiння початкових збурень. Розглянемо лiнiйну дескрипторну сис-
тему
E \.x = Ax, y = Cx, x(0) = x0, (2.1)
де x \in \BbbR n i y \in \BbbR l — вiдповiдно вектори стану i виходу, E, A i C — сталi матрицi вiдповiдних
розмiрiв, причому в’язка матриць F (\lambda ) = A - \lambda E є регулярною, тобто \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}F (\lambda ) \not \equiv 0 при \lambda \in \BbbC .
Наведемо вiдомi властивостi регулярної в’язки матриць [24]. У випадку \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E = \rho < n
канонiчна форма Вейєрштрасса в’язки F (\lambda ) має вигляд
LF (\lambda )R =
\Biggl[
A1 - \lambda Ir 0
0 In - r - \lambda N
\Biggr]
, (2.2)
де L i R — невиродженi матрицi, A1 — (r \times r)-матриця, власнi значення якої утворюють
скiнченний спектр \sigma (F ) = \{ \lambda 1, . . . , \lambda r\} , а N — деяка нiльпотентна матриця iндексу \nu . При
цьому в’язка F (\lambda ) (або вiдповiдна система (2.1)) має r скiнченних динамiчних мод, n - \rho
нединамiчних i \rho - r iмпульсивних мод [25].
Регулярну в’язку матриць F (\lambda ) при вiдсутностi iмпульсивних мод (\rho = r) будемо називати
неiмпульсивною. В цьому випадку в (2.2) N = 0 i \nu = 1. Скрiзь у подальших викладках в’язка
матриць F (\lambda ) є стiйкою, тобто \sigma (F ) \subset \BbbC - = \{ \lambda : \mathrm{R}\mathrm{e}\lambda < 0\} , i \nu = 0, якщо \rho = n. В’язка
матриць F (\lambda ) називається допустимою, якщо вона регулярна, стiйка i неiмпульсивна.
Iз (2.2) випливають такi зображення матриць:
E = L - 1
\Biggl[
Ir 0
0 N
\Biggr]
R - 1, A = L - 1
\Biggl[
A1 0
0 In - r
\Biggr]
R - 1. (2.3)
Iз урахуванням (2.3) введемо матрицi
Z = - 1
2\pi i
\oint
\omega
F - 1(\lambda ) d\lambda = R
\Biggl[
Ir 0
0 0
\Biggr]
L, (2.4)
Ej =
\Biggl\{
E, \nu \leq j,
EZE, \nu > j,
j = 1, 2, (2.5)
де \omega — замкнений контур, що охоплює спектр \sigma (F ). Матриця Z є єдиним розв’язком макси-
мального рангу r алгебраїчної системи [7]
AZE = EZA, Z = ZEZ,
а числа r i \nu можна знайти у виглядi
r = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Delta \nu
\alpha , \nu = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
k \in \BbbN : \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Delta k
\alpha = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Delta k+1
\alpha
\bigr\}
,
де \Delta \alpha = F - 1(\alpha )E, \alpha \not \in \sigma (F ) i \BbbN = \{ 0, 1, 2, . . .\} .
Iз (2.3) i (2.4) випливає критерiй неiмпульсивностi в’язки матриць F (\lambda ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ 1543
Лема 2.1. В’язка матриць F (\lambda ) неiмпульсивна тодi i лише тодi, коли виконується рiвнiсть
EZE = E.
Лема 2.2 [18]. В’язка матриць F (\lambda ) є допустимою тодi i лише тодi, коли для деякої
матрицi U
E\top U = U\top E \geq 0, A\top U + U\top A < 0.
Застосувавши в (2.1) невироджене перетворення x = R1x1 + R2x2, де R =
\bigl[
R1, R2
\bigr]
,
x1 \in \BbbR r i x2 \in \BbbR n - r, отримаємо x2 \equiv 0 i пiдсистему
\.x1 = A1x1, y = C1x1, x1(0) = x01, (2.6)
де C1 = CR1. Тому для довiльного початкового вектора x0 \in \scrX система (2.1) має єдиний
розв’язок x(t) \in \scrX , де \scrX = \mathrm{I}\mathrm{m}R1 \subseteq \BbbR r. Нульовий розв’язок системи (2.1) асимптотично
стiйкий, якщо \sigma (A1) \subset \BbbC - .
Введемо критерiй якостi системи (2.1):
J1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x0\in \scrX ,x0 \not =0
\| y\| Q\sqrt{}
x\top 0 X0x0
, \| y\| 2Q =
\infty \int
0
y\top Qy dt, (2.7)
де \| y\| Q — зважена L2-норма вектор-функцiї y(t), а Q = Q\top > 0 i X0 = X\top
0 \geq 0 — деякi
ваговi матрицi. Зокрема, якщо покласти
X0 = E\top HE, H = L\top
\biggl[
H1 H2
H\top
2 H3
\biggr]
L, (2.8)
або
X0 = E\top
1 HE1 = R - 1\top
\biggl[
H1 0
0 0
\biggr]
R - 1, (2.9)
де H = H\top > 0 — задана матриця, а матриця E1 визначена в (2.5), то x\top 0 X0x0 = x\top 01H1x01 i
J1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x01 \not =0
\| y\| Q\sqrt{}
x\top 01H1x01
є характеристикою пiдсистеми (2.6), яка описує зважений рiвень впливу початкових збурень на
вихiд y. У випадку \nu \leq 1 матрицi (2.8) i (2.9) збiгаються мiж собою. Значення x0, при якому
досягається супремум у (2.7), є найгiршим вiдносно введеного критерiю якостi.
Наступнi твердження дають необхiднi i достатнi умови виконання верхнiх оцiнок J1 \leq \gamma i
J1 < \gamma iз заданим значенням \gamma > 0, якi дозволяють обчислити характеристику J1 як розв’язок
оптимiзацiйної задачi при обмеженнях у виглядi ЛМН.
Лема 2.3. Якщо для деякої матрицi X = X\top виконується система ЛМН
A\top XE + E\top XA+ C\top QC \leq 0, (2.10)
0 \leq E\top XE \leq \gamma 2X0, (2.11)
то J1 \leq \gamma . Навпаки, якщо J1 \leq \gamma , виконуються умови (2.9) i
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1544 О. Г. МАЗКО
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\biggl[
E2
C
\biggr]
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E2, (2.12)
то лiнiйне матричне рiвняння
A\top XE + E\top XA+ C\top QC = 0 (2.13)
має розв’язок X = X\top , що задовольняє спiввiдношення (2.11).
Лема 2.4. Нехай вагову матрицю X0 задано у виглядi (2.9). Тодi виконується строга оцiнка
J1 < \gamma , якщо система спiввiдношень (2.10), (2.11) i
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}Y = r, Y = E\top XE - \gamma 2X0, (2.14)
сумiсна вiдносно X = X\top . Навпаки, якщо J1 < \gamma i виконується умова (2.12), то матричне
рiвняння (2.13) має розв’язок X = X\top , що задовольняє спiввiдношення (2.11) i (2.14).
Доведення лем 2.3 i 2.4. Використаємо квадратичну функцiю Ляпунова v(x) = x\top E\top XEx.
Якщо X = X\top задовольняє ЛМН (2.10) i (2.11), то
\.v(x) + y\top Qy = x\top (A\top XE + E\top XA+ C\top QC)x \leq 0,
\tau \int
0
\bigl(
\.v(x) + y\top Qy
\bigr)
dt = v(x(\tau )) - v(x0) +
\tau \int
0
y\top Qy dt \leq 0,
де \.v(x) — похiдна функцiї v(x) в силу системи (2.1). Оскiльки v(x) \geq 0 i v(x(\tau )) \rightarrow 0 при
\tau \rightarrow \infty , то
\| y\| 2Q \leq v(x0) = x\top 0 E
\top XEx0 \leq \gamma 2x\top 0 X0x0, x0 \in \scrX ,
тобто J1 \leq \gamma . Якщо при цьому покласти
X = L\top
\Biggl[
X1 X2
X\top
2 X3
\Biggr]
L, E\top XE = R - 1\top
\Biggl[
X1 X2N
N\top X\top
2 N\top X3N
\Biggr]
R - 1,
то за умов леми 2.4 будемо мати
E\top XE = R - 1\top
\Biggl[
X1 0
0 0
\Biggr]
R - 1, Y = R - 1\top
\Biggl[
X1 - \gamma 2H1 0
0 0
\Biggr]
R - 1 \leq 0, (2.15)
причому 0 \leq X1 < \gamma 2H1 i X1 < (\gamma - \varepsilon )2H1 для деякого малого \varepsilon > 0. Тодi
\| y\| 2Q \leq v(x0) = x\top 01X1x01 \leq (\gamma - \varepsilon )2x\top 01H1x01, x01 \in \BbbR r,
тобто виконується строга оцiнка J1 < \gamma .
Нехай J1 \leq \gamma i матриця X0 має вигляд (2.9). Матричне рiвняння (2.13) зводиться до трьох
незалежних рiвнянь
A\top
1 X1 +X1A1 + C\top
1 QC1 = 0, (2.16)
A\top
1 X2N +X2 + C\top
1 QC2 = 0, (2.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ 1545
X3N +N\top X3 + C\top
2 QC2 = 0, (2.18)
де
\bigl[
C1, C2
\bigr]
= CR. Якщо \sigma (A1) \subset \BbbC - , то рiвняння Ляпунова (2.16) має єдиний розв’язок
X1 \geq 0. Рангове обмеження (2.12) означає, що C2 = GN, де G — деяка матриця, або C2 = 0.
У першому випадку N2 = 0 i рiвняння (2.17), (2.18) задовольняють вiдповiднi матрицi
X2 = - C\top
1 QGN, X3 = - 1
2
(G\top QGN +N\top G\top QG). (2.19)
При цьому виконуються спiввiдношення (2.15) i
\| y\| 2Q = -
\infty \int
0
x\top 1 (A
\top
1 X1 +X1A1)x1 dt = -
\infty \int
0
dv(x)
dt
dt =
= x\top 01X1x01 \leq \gamma 2x\top 01H1x01, x01 \in \BbbR r.
Остання нерiвнiсть буде строгою для довiльного вектора x01 \not = 0, якщо J1 < \gamma . Наведенi
спiввiдношення виконуються також для деякого розв’язку рiвняння (2.13) при умовi C2 = 0. В
цьому випадку можна покласти X2 = 0 i X3 = 0.
Отже, для вказаних розв’язкiв матричного рiвняння (2.13) виконуються нерiвностi (2.11), а
за умов леми 2.4 — спiввiдношення (2.11) i (2.14).
Леми 2.3 i 2.4 доведено.
Зауваження 2.1. Якщо в лемах 2.3 i 2.4 замiсть (2.12) використати умову
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E1
C
\Biggr]
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E1, (2.20)
яка еквiвалентна рiвностi C2 = 0, то матрицю X у вiдповiдних твердженнях можна побудувати
у виглядi
X = Z\top \widetilde XZ = L\top
\Biggl[
X1 0
0 0
\Biggr]
L, (2.21)
де \widetilde X i X1 — невiдомi матрицi. Зокрема, за умов (2.9) i (2.20) оцiнка J1 < \gamma виконується тодi i
лише тодi, коли iснує матриця (2.21), що задовольняє спiввiдношення (2.11), (2.13) i (2.14).
Зауваження 2.2. Iз доведення леми 2.4 випливає, що для виконання строгої оцiнки J1 < \gamma
критерiїв якостi типу (2.7) з ваговими матрицями (2.8) або (2.9) достатньо, щоб була сумiсною
система ЛМН (2.10) i
E\top XE \geq 0, X < \gamma 2H.
Зауваження 2.3. Якщо система (2.1) спостережувана, тобто
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
A - \lambda E
C
\Biggr]
\equiv n, \lambda \in \sigma (F ),
то у лемах 2.3 i 2.4 розв’язок матричного рiвняння (2.13) задовольняє умови
E\top XE \geq 0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (E\top XE) = r, \mathrm{i}+(X) \geq r.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1546 О. Г. МАЗКО
3. Зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. Розглянемо дескрипторну
систему зi збуреннями
E \.x = Ax+Bw, y = Cx+Dw, x(0) = x0, (3.1)
де x \in \BbbR n, w \in \BbbR s i y \in \BbbR l — вiдповiдно вектори стану, зовнiшнiх збурень i виходу, E, A, B, C
i D — сталi матрицi вiдповiдних розмiрiв, а в’язка матриць F (\lambda ) = A - \lambda E регулярна i стiйка.
У випадку виродженої матрицi E дану систему можна записати у виглядi (див. попереднiй
пункт)
\.x1 = A1x1 +B1w, N \.x2 = x2 +B2w, y = C1x1 + C2x2 +Dw, (3.2)
де x1 \in \BbbR r, x2 \in \BbbR n - r,
x = R
\Biggl[
x1
x2
\Biggr]
, x0 = R
\Biggl[
x01
x02
\Biggr]
, LB =
\Biggl[
B1
B2
\Biggr]
, CR =
\bigl[
C1, C2
\bigr]
.
Якщо в’язка матриць F (\lambda ) = A - \lambda E неiмпульсивна, то в (3.2) x2 = - B2w i для кожної
кусково-неперервної вектор-функцiї w(t) система (3.1) має єдиний неперервний розв’язок.
Якщо
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\bigl[
E2, B
\bigr]
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E2, (3.3)
тобто NB2 = 0, i x є розв’язком системи (3.1), то в (3.2) Nx2 = 0 i x2 = - B2w.
Нехай невiдомий вектор збурень w(t) обмежений за зваженою L2-нормою \| w\| P з ваговою
матрицею P = P\top > 0. Узагальнимо критерiй якостi (2.7) для системи (3.1) у виглядi
J = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(w,x0)\in \scrW
\| y\| Q\sqrt{}
\| w\| 2P + x\top 0 X0x0
, (3.4)
де \scrW — множина пар (w, x0), для яких дана система має розв’язок i виконується нерiвнiсть
0 < \| w\| 2P + x\top 0 X0x0 < \infty , а X0 = X\top
0 \geq 0 — деяка вагова матриця. Зокрема, для матрицi (2.9)
x\top 0 X0x0 = x\top 01H1x01 i значення J не залежить вiд x02.
Значення J характеризує зважений рiвень впливу зовнiшнiх i початкових збурень на вихiд
системи (3.1). Даний критерiй якостi при умовi x\top 0 X0x0 = 0 позначимо через J0. Очевидно, що
J0 \leq J. Початковий i збурюючий вектори, при яких досягається супремум у (3.4), є найгiршими
вiдносно критерiю якостi J.
Лема 3.1. Якщо для деякої матрицi X = X\top виконується система ЛМН (2.11) i
\Phi (X) =
\Biggl[
A\top XE + E\top XA+ C\top QC E\top XB + C\top QD
B\top XE +D\top QC D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
\leq 0, (3.5)
то J \leq \gamma . Навпаки, якщо J \leq \gamma i виконуються умови (2.9), а також (2.20) або (2.12), (3.3) i
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\biggl[
E1
D\top QC
\biggr]
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E1, (3.6)
то система ЛМН (2.11) i (3.5) є сумiсною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ 1547
Лема 3.2. Нехай вагову матрицю X0 задано у виглядi (2.9). Тодi якщо в’язка матриць
F (\lambda ) неiмпульсивна, то строга оцiнка J < \gamma є наслiдком системи спiввiдношень (2.11), (3.5) i
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Phi (X) = r + s, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (E\top XE - \gamma 2X0) = r. (3.7)
Навпаки, якщо J < \gamma i виконуються умови (2.20) або (2.12), (3.3) i (3.6), то iснує матриця
X = X\top , що задовольняє систему спiввiдношень (2.11), (3.5) i (3.7).
Доведення лем 3.1 i 3.2. Обчислимо вираз
\.v(x) + y\top Qy - \gamma 2w\top Pw =
\bigl[
x\top , w\top \bigr] \Phi (X)
\biggl[
x
w
\biggr]
,
де \.v(x) — похiдна функцiї v(x) = x\top E\top XEx в силу системи (3.1), i припустимо, що викону-
ються матричнi нерiвностi (2.11) i (3.5). Тодi (див. доведення лем 2.3 i 2.4)
\| y\| 2Q - \gamma 2\| w\| 2P \leq v(x0) = x\top 0 E
\top XEx0 \leq \gamma 2x\top 0 X0x0, (w, x0) \in \scrW ,
тобто виконується нерiвнiсть J \leq \gamma . Для встановлення умов виконання строгої нерiвностi
J < \gamma в лемi 3.2 перетворимо блоки матрицi (3.5):
A\top XE + E\top XA+ C\top QC = R - 1\top
\Biggl[
V1 V2
V \top
2 V3
\Biggr]
R - 1,
V1 = A\top
1 X1 +X1A1 + C\top
1 QC1, V2 = A\top
1 X2N +X2 + C\top
1 QC2,
V3 = X3N +N\top X3 + C\top
2 QC2,
E\top XB + C\top QD = R - 1\top
\Biggl[
X1B1 +X2B2 + C\top
1 QD
N\top X\top
2 B1 +N\top X3B2 + C\top
2 QD
\Biggr]
.
При умовi (2.9) X2N = 0 i N\top X3N = 0. У випадку N = 0 iз (3.5) випливає V3 \leq 0,
C2 = 0 i X2 = 0. Отже, за умов леми 3.2 маємо
\Phi (X) = T\top
\Biggl[
\Phi r(X1) 0
0 0
\Biggr]
T, (3.8)
де
\Phi r(X1) =
\Biggl[
A\top
1 X1 +X1A1 + C\top
1 QC1 X1B1 + C\top
1 QD
B\top
1 X1 +D\top QC1 D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
,
T =
\left[ Ir 0 0
0 0 Is
0 In - r 0
\right] \Biggl[ R - 1 0
0 Is
\Biggr]
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}T \not = 0,
причому згiдно з (3.7) \Phi r(X1) < 0 i 0 \leq X1 < \gamma 2H1. Тому на основi леми 2.3 [12] маємо
строгу оцiнку J < \gamma .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1548 О. Г. МАЗКО
Навпаки, якщо J \leq \gamma (J < \gamma ), то iснує матриця X1 така, що 0 < X1 < \gamma 2H1 i \Phi r(X1) \leq 0
(\Phi r(X1) < 0). Ранговi обмеження (2.12) i (3.3) забезпечують iснування матриць S i G таких,
що B2 = NS i C2 = GN, а рiвнiсть (3.6) означає, що D\top QC2 = 0. Враховуючи наведенi
умови, шукану матрицю X можна побудувати у виглядi
X = L\top
\Biggl[
X1 X2
X\top
2 X3
\Biggr]
L
так, щоб виконувалось спiввiдношення (3.8). Для цього блоки X2 i X3 за умов (2.9) i (2.20)
можна взяти нульовими, а за умов (2.9), (2.12), (3.3) i (3.6) — у виглядi (2.19).
Леми 3.1 i 3.2 доведено.
Зауваження 3.1. Якщо у лемах 3.1 i 3.2 використати умову (2.20), то матрицю X у вiдпо-
вiдних твердженнях можна побудувати у виглядi (2.21). Зокрема, за умов (2.9) i (2.20) строга
оцiнка J < \gamma виконується тодi i лише тодi, коли iснує матриця (2.21), що задовольняє спiввiд-
ношення (2.11), (3.5) i (3.7). Друге спiввiдношення в (3.7) завжди виконується, якщо X < \gamma 2H.
Якщо використати критерiй якостi (3.4) з довiльною ваговою матрицею X0 = X\top
0 > 0, то для
виконання оцiнки J < \gamma у випадку неiмпульсивної в’язки матриць F (\lambda ) достатньо сумiсностi
системи спiввiдношень (3.5) i
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Phi (X) = r + s, 0 \leq E\top XE < \gamma 2X0.
Наслiдок 3.1. Якщо в’язка матриць F (\lambda ) неiмпульсивна i
\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}
\Biggl[
E
C
\Biggr]
= \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E,
то J0 < \gamma тодi i лише тодi, коли система спiввiдношень
\Phi (X) \leq 0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\Phi (X) = r + s, E\top XE \geq 0,
є сумiсною.
Зауваження 3.2. Якщо S = \gamma 2P - D\top QD > 0, то ЛМН (3.5) еквiвалентна матричнiй
нерiвностi типу Рiккатi
A\top
0 XE + E\top XA0 + E\top XBS - 1B\top XE +Q0 \leq 0,
де
A0 = A+BS - 1D\top QC, Q0 = C\top (Q+QDS - 1D\top Q)C.
Для класу систем (3.1) з допустимою матричною в’язкою F (\lambda ) i критерiєм якостi (3.4) з
ваговою матрицею (2.8) справджується таке твердження.
Лема 3.3. Якщо iснує матриця U, що задовольняє спiввiдношення
0 \leq E\top U = U\top E \leq \gamma 2X0, \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k} (E\top U - \gamma 2X0) = \mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}E, (3.9)
\Psi (U) =
\Biggl[
A\top U + U\top A+ C\top QC U\top B + C\top QD
B\top U +D\top QC D\top QD - \gamma 2P
\Biggr]
< 0, (3.10)
то в’язка матриць F (\lambda ) є допустимою i J < \gamma . Зворотне твердження виконується при умовi
(3.6), де E1 = E.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ 1549
Доведення. Нехай виконуються спiввiдношення (3.9) i (3.10). Тодi A\top U + U\top A < 0 i за
лемою 2.2 в’язка матриць F (\lambda ) є допустимoю. Використовуючи функцiю v(x) = x\top E\top Ux i її
похiдну в силу системи (3.1), обчислюємо вираз
\.v(x) + y\top Qy - \gamma 2w\top Pw =
\bigl[
x\top , w\top \bigr] \Psi (U)
\Biggl[
x
w
\Biggr]
.
Враховуючи (3.9) i (3.10), маємо спiввiдношення (див. доведення лем 3.1 i 3.2)
\| y\| 2Q - \gamma 2\| w\| 2P \leq v(x0) = x\top 0 E
\top Ux0 \leq \gamma 2x\top 0 X0x0, (w, x0) \in \scrW ,
тобто J \leq \gamma . Насправдi виконується строга оцiнка J < \gamma , оскiльки спiввiдношення (3.9) i
(3.10) не порушуються при зменшеннi \gamma на достатньо мале \varepsilon > 0.
Нехай J < \gamma i в’язка матриць F (\lambda ) є допустимою. Розглянемо в (3.2) пiдсистему
\.x1 = A1x1 +B1w, y = C1x1 +D1w, x1(0) = x01,
де D1 = D - C2B2, i критерiй якостi
Jr = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\| w\| 2P+x\top
01H1x01<\infty
\| y\| Q\sqrt{}
\| w\| 2P + x\top 01H1x01
\leq J.
Очевидно, що Jr \leq J, оскiльки в (3.4) значення J = Jr досягається при x02 = - B2w(0) = 0.
Вiдомо [12], що Jr < \gamma тодi i лише тодi, коли iснує така матриця X1, що 0 < X1 < \gamma 2H1 i
\Phi r(X1) =
\Biggl[
A\top
1 X1 +X1A1 + C\top
1 QC1 X1B1 + C\top
1 QD1
B\top
1 X1 +D\top
1 QC1 D\top
1 QD1 - \gamma 2P
\Biggr]
< 0. (3.11)
Побудуємо невiдому матрицю U в (3.9) i (3.10) у виглядi
U = L\top
\Biggl[
X1 0
- C\top
2 QC1 W\varepsilon
\Biggr]
R - 1, (3.12)
де W\varepsilon = - C\top
2 QC2 - \varepsilon In - r < 0 i \varepsilon > 0. Спiввiдношення (3.9) можна легко перевiрити.
Врахувавши умову (3.6), еквiвалентну рiвностi D\top QC2 = 0, перетворимо i оцiнимо вираз
(3.10): \Psi (U) \leq T\top \Omega T, де
\Omega =
\left[
A\top
1 X1 +X1A1 + C\top
1 QC1 X1B1 + C\top
1 QD1 0
B\top
1 X1 +D\top
1 QC1 D\top QD - \gamma 2P B\top
2 W\varepsilon
0 W\varepsilon B2 W\varepsilon
\right] ,
а матрицю перетворення T визначено в (3.8). Далi, враховуючи (3.11), для деякого малого \varepsilon > 0
маємо
T\top
1 \Omega T1 =
\Biggl[
\Phi r\varepsilon (X1) 0
0 W\varepsilon
\Biggr]
< 0,
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1550 О. Г. МАЗКО
\Phi r\varepsilon (X1) = \Phi r(X1) + \varepsilon
\Biggl[
0 0
0 B\top
2 B2
\Biggr]
, T1 =
\left[
Ir 0 0
0 Is 0
0 - B2 In - r
\right] .
Отже, побудована матриця (3.12) задовольняє спiввiдношення (3.9) i (3.10).
Лему доведено.
Зауваження 3.3. Спiввiдношення E\top U = U\top E \geq 0 в (3.9) можна подати у виглядi ЛМН
вiдносно двох матриць U i V : \Biggl[
V V - E\top U
V - U\top E 0
\Biggr]
\geq 0. (3.13)
При цьому \mathrm{i}(V - \gamma 2X0) = \{ 0, r, 0\} , де V = E\top U = U\top E.
Из доведення леми 3.3 випливають такi твердження.
Наслiдок 3.2. Для виконання строгої оцiнки J < \gamma критерiю якостi (3.4) з додатно
визначеною ваговою матрицею X0 достатньо сумiсностi системи ЛМН (3.10), (3.13) i V <
< \gamma 2X0.
Наслiдок 3.3. В’язка матриць F (\lambda ) допустима i J0 < \gamma , якщо система ЛМН (3.10) i
(3.13) є сумiсною. Зворотне твердження виконується при умовi (3.6), де E1 = E.
Зауваження 3.4. Неважко встановити, що всi твердження лем 2.3, 2.4, 3.1 – 3.3 не пору-
шуються, якщо в умовах (2.12), (2.20), (3.3) i (3.6) замiсть E1 i E2 використати вiдповiднi
матрицi
E1 =
\left\{ E, \nu \leq 1,
E\Delta \nu - 1
\alpha , \nu > 1,
E2 =
\left\{ E, \nu \leq 2,
E\Delta \nu - 2
\alpha , \nu > 2,
де \Delta \alpha = F - 1(\alpha )E i \alpha \not \in \sigma (F ).
Приклад 3.1. Розглянемо систему (3.1) з матрицями
E =
\left[
1 1 0
0 1 0
0 0 0
\right] , A =
\left[ 0 2 1
3 - 2 1
1 2 a
\right] ,
B =
\bigl[
0 1 0
\bigr] \top
, C =
\bigl[
1 0 0
\bigr]
, D = 1,
а також критерiй якостi (3.4) з ваговими коефiцiєнтами P = 1, Q = 1 i X0 = E\top
1 E1. Вiдповiдна
в’язка матриць F (\lambda ) = A - \lambda E є регулярною при довiльному a \in \BbbR i неiмпульсивною при
a \not = 0 [6].
У випадку a = 0 маємо \sigma (F ) = \{ - 5\} , r = 1, \nu = 2 i
Z =
\left[
1 - 1 - 2
- 0,5 0,5 1
- 1,5 1,5 3
\right] , E1 =
\left[
0,5 0 0
- 0,5 0 0
0 0 0
\right] , E2 = E.
Поклавши \gamma = 1, 5, знайдемо розв’язок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОЦIНКА ЗВАЖЕНОГО РIВНЯ ГАСIННЯ ОБМЕЖЕНИХ ЗБУРЕНЬ У ДЕСКРИПТОРНИХ СИСТЕМАХ 1551
X =
\left[
0,7746 - 0,7746 - 1,5492
- 0,7746 0,7746 1,5492
- 1,5492 1,5492 0
\right]
системи ЛМН (2.11) i (3.5), яка за лемою 3.1 забезпечує оцiнку J \leq 1,5. При цьому виконуються
ранговi умови (2.12), (2.20), (3.3) i (3.6).
У випадку a = 1 маємо \sigma (F ) = \{ - 0,6277, - 6,3723\} , r = 2, \nu = 1 i
Z =
\left[
1 - 1 0
0 1 - 1
- 1 - 1 2
\right] , E1 = E2 = E.
Знову поклавши \gamma = 1, 5, знайдемо матрицi
U =
\left[
1,0704 0,8552 0
- 0,2153 0,0047 0
- 5,0120 - 9,1585 - 4,1532
\right] , V =
\left[
- 1,0704 - 0,8552 0
- 0,8552 - 0,8598 0
0 0 0
\right] ,
якi задовольняють ЛМН (3.10) i (3.13). При цьому \mathrm{i}(V - \gamma 2X0) = \{ 0, 2, 0\} i виконується рангова
умова (3.6). Отже, J < 1,5 (див. лему 3.3 i зауваження 3.3).
4. Висновок. Для лiнiйних дескрипторних систем встановлено умови виконання верхнiх
оцiнок для критерiїв якостi, що характеризують зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових
збурень. Перевiрка даних умов зводиться до розв’язування систем ЛМН i може бути реалiзо-
вана за допомогою комп’ютерної системи Matlab. Отриманi оцiнки можуть бути використанi у
майбутнiх дослiдженнях, присвячених узагальненим задачам H\infty -оптимiзацiї дескрипторних
систем керування, у яких замкнена система „об’єкт-регулятор” має вигляд (3.1).
Лiтература
1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. – 303 с.
2. Поляк Б. Т., Хлебников М. В., Щербаков П. С. Управление линейными системами при внешних возмущениях.
Техника линейных матричных неравенств. – М.: Ленанд, 2014. – 560 с.
3. Баландин Д. В., Коган М. М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств. – М.:
Физматлит, 2007. – 280 с.
4. Dullerud G. E., Paganini F. G. A course in robust control theory. A convex approach. – Berlin: Springer-Verlag,
2000. – 419 p.
5. Gahinet P., Apkarian P. A linear matrix inequality approach to H\infty control // Intern. J. Robust and Nonlinear Control. –
1994. – 4. – P. 421 – 448.
6. Inoue I. M., Wada T., Ikeda M., Uezato E. State-space H\infty controller design for descriptor systems // Automatica. –
2015. – 59. – P. 164 – 170.
7. Мазко А. Г. Робастная устойчивость и стабилизация динамических систем. Методы матричных и конусных
неравенств // Пр. Iн-ту математики НАН України. – 2016. – 102. – 332 с.
8. Khargonekar P. P., Nagpal K. M., Poolla K. R. H\infty control with transients // SIAM J. Control and Optim. – 1991. –
29, № 6. – P. 1373 – 1393.
9. Баландин Д. В., Коган М. М. Обобщенное H\infty -оптимальное управление как компромисс между H\infty -
оптимальным и \gamma -оптимальным управлениями // Автоматика и телемеханика. – 2010. – № 6. – С. 20 – 38.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1552 О. Г. МАЗКО
10. Баландин Д. В., Коган М. М., Кривдина Л. Н., Федюков А. А. Синтез обобщенного H\infty -оптимального управления
в дискретном времени на конечном и бесконечном интервалах // Автоматика и телемеханика. – 2014. – № 1. –
С. 3 – 22.
11. Бирюков Р. С. Обобщенный H\infty -оптимальный фильтр для непрерывного объекта по дискретным по времени
наблюдениям // Информатика и системы управления. – 2014. – № 4 (42). – С. 89 – 101.
12. Мазко О. Г., Кусiй С. М. Робастна стабiлiзацiя та гасiння зовнiшнiх збурень у системах з керованими i спосте-
режуваними виходами // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2016. – 13, № 3. – С. 129 – 145.
13. Мазко А. Г., Кусий С. Н. Стабилизация по выходу и взвешенное подавление возмущений в дискретных
системах управления // Проблемы управления и информатики. – 2017. – № 6. – С. 78 – 93.
14. Boyd S., Ghaoui L. El, Feron E., Balakrishman V. Linear matrix inequalities in system and control theory // SIAM
Stud. Appl. Math. – 1994. – 15. – 193 p.
15. Xu S., Lam J., Zou Y. New versions of bounded real lemmas for continuous and discrete uncertain systems // Circuits,
Systems, and Signal Process. – 2007. – 26. – P. 829 – 838.
16. Chadli M., Shi P., Feng Z., Lam J. New bounded real lemma formulation and H\infty control for continuous-time
descriptor systems // Asian J. Control. – 2018. – 20, № 1. – P. 1 – 7.
17. Gao F., Liu W. Q., Sreeram V., Teo K. L. Bounded real lemma for descriptor systems and its application // IFAC 14th
Triennial World Congress (Beijing, P. R. China). – 1999. – P. 1631 – 1636.
18. Masubushi I., Kamitane Y., Ohara A., Suda N. H\infty control for descriptor systems: a matrix inequalities approach //
Automatica. – 1997. – 33, № 4. – P. 669 – 673.
19. Dai L. Singular control systems // Lect. Notes Control and Inform. Sci. – New York: Springer-Verlag, 1989. – 340 p.
20. Riaza R. Differential-algebraic systems. Analytical aspects and circuit applications. – Singapore: World Sci., 2008. –
330 p.
21. Самойленко A. M., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з виродженнями. –
Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
22. Boichuk A. A., Pokutnyi A. A., Chistyakov V. F. Application of perturbation theory to the solvability analysis of
differential algebraic equations // Comput. Math. and Math. Phys. – 2013. – 53, № 6. – P. 777 – 788.
23. Gahinet P., Nemirovski A., Laub A. J., Chilali M. The LMI control toolbox. For Use with Matlab. User’s Guide. –
Natick, MA: The MathWorks, Inc., 1995. – 138 p.
24. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552 с.
25. Bender D. J., Laub A. J. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems // IEEE Trans. Automat.
Control. – 1987. – AC-32, № 8. – P. 672 – 688.
Одержано 04.04.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1658 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:03Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7a/9e63ce1a13ff5c24c0028e772aa8857a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16582019-12-05T09:22:19Z Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor systems Оцінка зваженого рівня гасіння обмежених збурень у дескрипторних системах Mazko, A. G. Мазко, О. Г. We establish necessary and sufficient conditions for the validity of the upper bounds for the performance criteria of linear descriptor systems characterizing the weighted damping level of external and initial disturbances. The verification of these conditions is reduced to solving matrix equations and inequalities. The main statements are formulated with an aim of their subsequent application in the problems of robust stabilization and in the $H_{\infty}$ -optimization problems for descriptor control systems. Встановлено необхiднi та достатнi умови виконання верхнiх оцiнок для критерiїв якостi лiнiйних дескрипторних систем, що характеризують зважений рiвень гасiння зовнiшнiх i початкових збурень. Перевiрка даних умов зводиться до розв’язування матричних рiвнянь та нерiвностей. Основнi твердження сформульовано з метою їх подальшого застосування в задачах робастної стабiлiзацiї та $H_{\infty}$ -оптимiзацiї дескрипторних систем керування. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1658 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1541-1552 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1541-1552 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1658/640 Copyright (c) 2018 Mazko A. G. |
| spellingShingle | Mazko, A. G. Мазко, О. Г. Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor systems |
| title | Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| title_alt | Оцінка зваженого рівня гасіння обмежених збурень у дескрипторних системах |
| title_full | Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| title_fullStr | Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| title_full_unstemmed | Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| title_short | Evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| title_sort | evaluation of the weighted level of damping of bounded disturbances in descriptor
systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1658 |
| work_keys_str_mv | AT mazkoag evaluationoftheweightedlevelofdampingofboundeddisturbancesindescriptorsystems AT mazkoog evaluationoftheweightedlevelofdampingofboundeddisturbancesindescriptorsystems AT mazkoag ocínkazvaženogorívnâgasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemah AT mazkoog ocínkazvaženogorívnâgasínnâobmeženihzburenʹudeskriptornihsistemah |