On the lower estimate of the distortion of distance for one class of mappings
We study the behavior of one class of mappings with finite distortion in a neighborhood of the origin. Under certain conditions imposed on the characteristic of quasiconformality, we establish a lower estimate for the distortion of distance under mappings of the indicated kind.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1659 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507486766759936 |
|---|---|
| author | Markish, A. A. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Markish, A. A. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Markish, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We study the behavior of one class of mappings with finite distortion in a neighborhood of the origin. Under certain
conditions imposed on the characteristic of quasiconformality, we establish a lower estimate for the distortion of distance
under mappings of the indicated kind. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Р. Р. Салимов (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Е. А. Севостьянов, А. А. Маркиш (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
ОБ ОЦЕНКЕ ИСКАЖЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СНИЗУ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ
We study the behavior of one class of mappings with finite distortion in a neighborhood of the origin. Under certain
conditions imposed on the characteristic of quasiconformality, we establish a lower estimate for the distortion of distance
under mappings of the indicated kind.
Вивчається поведiнка пiдкласу вiдображень зi скiнченним спотворенням в околi початку координат. За певних умов
на характеристику квазiконформностi встановлено оцiнку спотворення вiдстанi знизу для таких вiдображень.
1. Введение. Настоящая статья посвящена изучению отображений, удовлетворяющих верхним
оценкам искажения p-модуля семейства кривых в евклидовом пространстве \BbbR n для p \not = n.
Напомним, что в работе [1] установлена оценка искажения расстояния при таких отображениях,
обобщающая классическую теорему К. Икома (см. [2]). Отметим также публикации [3, 4], где,
как и в [1], есть ограничение n - 1 < p \leq n. По мнению авторов, случай p > n также
заслуживает внимания, и именно он будет рассмотрен в данной статье. Как будет показано
ниже, в случае p > n мы имеем дело с оценкой соответствующей величины снизу, а не сверху,
что контрастирует со случаем n - 1 < p \leq n. Указанное отличие связано с принципиально
иным поведением емкости при p > n, на что указывает, например, неравенство (8.8) в [5].
Следует отметить, что классы исследуемых в работе отображений шире традиционного
„конформного” случая p = n. Наиболее изученными являются отображения с ограниченным
искажением p-модуля. Еще в 70-е годы 20-го столетия Ф. Герингом установлена квазиизомет-
ричность гомеоморфизмов, искажающих p-модуль ограниченное число раз при n - 1 < p < n
(см. [6], теорема 3). Поскольку квазиконформные отображения не имеют такого свойства, дан-
ный факт указывает на целесообразность отдельного исследования p-случая. Отметим также,
что при p > n гомеоморфизмы с аналогичным свойством имеют квазиизометричные обрат-
ные отображения, в то время как для прямых гомеоморфизмов этот факт, по-видимому, не
установлен (см. [6], теорема 3).
Напомним необходимые определения (см. [7 – 9]). Далее D — область в \BbbR n, n \geq 2, m —
мера Лебега в \BbbR n, отображение f : D \rightarrow \BbbR n, x = (x1, . . . , xn), f(x) = (f1(x), . . . , fn(x)), пред-
полагается непрерывным. Напомним, под что семейством кривых \Gamma подразумевается некоторое
множество кривых \gamma , а f(\Gamma ) = \{ f \circ \gamma | \gamma \in \Gamma \} . Всюду далее
A(x0, r1, r2) = \{ x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2\} , S(x0, r) = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| = r\} ,
B(x0, r) = \{ x \in \BbbR n : | x - x0| < r\} , \BbbB n := B(0, 1), \BbbS n - 1 := S(0, 1),
\Omega n — объем единичного шара \BbbB n в \BbbR n, а \omega n - 1 — площадь единичной сферы \BbbS n - 1 в \BbbR n. Для
произвольных множеств E, F \subset \BbbR n := \BbbR n\cup \{ \infty \} через \Gamma (E,F,D) в дальнейшем обозначается
семейство всевозможных кривых \gamma : [a, b] \rightarrow \BbbR n, соединяющих E и F в D (т. е. \gamma (a) \in E,
\gamma (b) \in F и \gamma (t) \in D при t \in (a, b)). Следующие определения могут быть найдены, например, в
c\bigcirc Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1553
1554 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ
[10] (разд. 1 – 6, гл. I). Борелева функция \rho : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] называется допустимой для семейства
\Gamma кривых \gamma в \BbbR n, если
\int
\gamma
\rho (x) | dx| \geq 1 для всех кривых \gamma \in \Gamma . В этом случае мы пишем
\rho \in \mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{m}\Gamma . Пусть p \geq 1, тогда p-модулем семейства кривых \Gamma называется величина Mp(\Gamma ) =
= \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\rho \in adm\Gamma
\int
D
\rho p(x) dm(x). Пусть x0 \in D, r0 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D), Q : D \rightarrow [0,\infty ] — некоторая
заданная измеримая по Лебегу функция. Обозначим Si := S(x0, ri), i = 1, 2. Предположим,
что отображение f удовлетворяет для каждых 0 < r1 < r2 < r0 условию
Mp
\bigl(
f(\Gamma (S1, S2, A))
\bigr)
\leq
\int
A
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x),
выполненному для произвольной измеримой по Лебегу функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что\int r2
r1
\eta (r) dr \geq 1, где A = A(x0, r1, r2) — сферическое кольцо с центром в точке x0 радиусов
r1 и r2. Тогда будем говорить, что f является кольцевым Q-отображением в точке x0 \in D
относительно p-модуля. В настоящей работе мы докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть n \geq 2, n < p < \infty , f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n — открытое дискретное кольцевое
Q-отображение относительно p-модуля в точке x0 = 0, f(0) = 0. Предположим, что Q :
\BbbB n \rightarrow [0, \infty ] — локально интегрируемая функция в \BbbB n, удовлетворяющая условию
Q0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
1
\Omega n\varepsilon n
\int
B(0,\varepsilon )
Q(x) dm(x) > 0. (1)
Тогда имеет место оценка
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x|
\geq c0Q
1
n - p
0 ,
где c0 — некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности простран-
ства n и числа p.
2. Вспомогательные результаты. Оценка верхнего предела одной функции. Пару E =
= (A,C), где A \subset \BbbR n — открытое множество и C — непустое компактное множество, содержа-
щееся в A, будем называть конденсатором в \BbbR n. Говорят также, что конденсатор E = (A,C)
лежит в области D, если A \subset D. Очевидно, что если f : D \rightarrow \BbbR n — непрерывное откры-
тое отображение и E = (A,C) — конденсатор в D, то f(E) := (f(A), f(C)) также является
конденсатором в f(D).
Обозначим через C0(A) множество всех непрерывных функций u : A \rightarrow \BbbR 1 с компактным
носителем, W0(E) = W0(A,C) — семейство неотрицательных функций u : A \rightarrow \BbbR 1 таких,
что: 1) u \in C0(A), 2) u(x) \geq 1 для x \in C; 3) u принадлежит классу абсолютно непрерывных
функций ACL (см. [11]). Также обозначим | \nabla u| =
\Biggl( \sum n
i=1
\biggl(
\partial u
\partial xi
\biggr) 2
\Biggr) 1/2
. При p \geq 1 величину
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in W0(E)
\int
A
| \nabla u| p dm(x)
называют p-емкостью конденсатора E. При n < p < \infty
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ИСКАЖЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СНИЗУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ 1555
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}pE = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p (A,C) \geq n\Omega n
p
n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1\Bigl(
(m(A))
p - n
n(p - 1) - (m(C))
p - n
n(p - 1)
\Bigr) 1 - p
(2)
(см., например, [5], неравенство (8.7)).
Пусть Q : D \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция. Тогда положим
qx0(r) =
1
\omega n - 1rn - 1
\int
S(x0, r)
Q(x)d\scrH n - 1,
где \scrH n - 1 — (n - 1)-мерная мера Хаусдорфа. Следующая лемма при p \in (1, n] доказана в [1]
(лемма 1). В случае произвольного p > 1 ее доказательство дословно повторяет рассуждения,
относящиеся к случаю p \in (1, n], и поэтому опускается.
Лемма 1. Пусть n \geq 2, p \geq 1, Q : D \rightarrow [0,\infty ] — заданная измеримая по Лебегу функция,
f : D \rightarrow \BbbR n — открытое дискретное кольцевое Q-отображение в точке x0 \in D относитель-
но p-модуля и E — конденсатор вида E =
\Bigl(
B(x0, r2), B(x0, r1)
\Bigr)
, 0 < r1 < r2 < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, \partial D).
Полагаем
I = I(x0, r1, r2) =
r2\int
r1
dr
r
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
. (3)
Тогда для конденсатора f(E) =
\Bigl(
f
\bigl(
B(x0, r2)
\bigr)
, f
\Bigl(
B(x0, r1)
\Bigr) \Bigr)
выполнено соотношение
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f(E) \leq \omega n - 1
Ip - 1
.
Предположим, что 0 \in D и 0 < r < \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (0, \partial D). Для произвольного отображения f :
D \rightarrow \BbbR n в дальнейшем будем использовать обозначение
Lf (r) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| x| =r
| f(x)| .
Аналог следующей леммы доказан в [1] (лемма 5).
Лемма 2. Пусть f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n, n \geq 2, — открытое отображение, удовлетворяющее
условию f(0) = 0. Предположим, что существует функция R : [0, 1] \rightarrow [0,\infty ) такая, что
m
\bigl(
f(B(0, r))
\bigr)
\geq \Omega nR
n(r). (4)
Тогда
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
\bigm| \bigm| f(x)\bigm| \bigm|
R(| x| )
\geq 1.
Доказательство. Покажем, что
f
\bigl(
B(0, r)
\bigr)
\subset B
\bigl(
0, Lf (r)
\bigr)
(5)
при каждом r \in (0, 1). Для этого зафиксируем r0 \in (0, 1) и обозначим M := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in f(B(0,r0))
| y| .
По определению точной верхней грани найдется такая последовательность yk \in f(B(0, r0)),
что | yk| \rightarrow M при k \rightarrow \infty . Тогда yk = f(xk), xk \in B(0, r0). Так как B(0, r0) — компакт в \BbbB n,
можно считать, что при некотором x0 \in B(0, r0) выполнено условие xk \rightarrow x0 при k \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1556 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ
Поскольку f — непрерывное отображение в \BbbB n, то f(xk) \rightarrow f(x0) при k \rightarrow \infty , так что
f(x0) = y0. Таким образом, y0 \in f(B(0, r0)). Значит,
M := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
y\in f(B(0,r0))
| y| = | y0| , y0 \in f
\bigl(
B(0, r0)
\bigr)
. (6)
Заметим, что в силу открытости отображения f случай y0 \in f(B(0, r0)) невозможен. Действи-
тельно, если бы y0 \in f(B(0, r0)), то тогда y0 входило бы во множество f(B(0, r0)) вместе
с некоторой своей окрестностью B(y0, \delta ), кроме того, y0 \not = 0 вследствие открытости отоб-
ражения f. Представим y0 в виде y0 = | y0|
y0
| y0|
. Тогда вектор \widetilde y0 :=
\bigl(
| y0| + \delta /2
\bigr) y0
| y0|
имеет
модуль больший, чем y0, и все еще принадлежит f(B(0, r0)). Однако последнее противоречит
определению y0. Полученное противоречие указывает на то, что y0 \not \in f(B(0, r0)) и, значит,
y0 \in \partial f(B(0, r0)). В частности, отсюда следует, что
| f(x)| < M \forall x \in B(0, r0). (7)
Поскольку y0 \in \partial f(B(0, r0)), в силу открытости отображения f имеем y0 \in f(S(0, r0)).
Итак, y0 = f(x0), где x0 \in S(0, r0). В таком случае, согласно соотношениям (6) и (7), для
любого x \in B(0, r0) получим
| f(x)| < M = | y0| = | f(x0)| \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in S(0,r0)
| f(x)| = Lf (r0),
так что f(x) \in B(0, Lf (r0)). Включение (5) установлено.
Из соотношения (5), учитывая условие f(0) = 0, получаем \Omega n L
n
f (r) \geq m(f(B(0, r))) и,
следовательно,
Lf (r) \geq
\biggl(
m(f(B(0, r)))
\Omega n
\biggr) 1
n
. (8)
Таким образом, учитывая неравенства (4) и (8), имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
R(| x| )
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow 0
Lf (r)
R(r)
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow 0
\biggl(
m(f(B(0, r)))
\Omega n
\biggr) 1
n 1
R(r)
\geq 1.
Лемма 2 доказана.
3. Доказательство основного результата. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим коль-
цо A = A(0, \varepsilon 1, \varepsilon 2), 0 < \varepsilon 1 < \varepsilon 2 < 1. Пусть E — конденсатор вида E =
\Bigl(
B(0, \varepsilon 2), B(0, \varepsilon 1)
\Bigr)
.
Положим
\eta 0(r) =
1
Ir
n - 1
p - 1 q
1
p - 1
x0 (r)
,
где I — величина, определенная в (3). Согласно лемме 2.2 [12],
\omega n - 1
Ip - 1
=
\int
A
Q(x)\eta p0(| x - x0| ) dm(x) \leq
\int
A
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (9)
для фиксированной измеримой функции Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] такой, что qx0(r) \not = \infty для почти
всех r > 0, и любой функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int r2
r1
\eta (r) dr = 1. В силу леммы 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ИСКАЖЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СНИЗУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ 1557
и соотношения (9) неравенство
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p f(E) \leq
\int
A
Q(x)\eta p(| x - x0| ) dm(x) (10)
будет выполнено для произвольной измеримой по Лебегу функции \eta : (\varepsilon 1, \varepsilon 2) \rightarrow [0,\infty ] такой,
что
\int \varepsilon 2
\varepsilon 1
\eta (r) dr \geq 1. Заметим, что функция
\eta (t) =
\left\{
1
\varepsilon 2 - \varepsilon 1
, t \in (\varepsilon 1, \varepsilon 2),
0, t \in \BbbR \setminus (\varepsilon 1, \varepsilon 2),
удовлетворяет условию
\int \varepsilon 2
\varepsilon 1
\eta (r) dr \geq 1, поэтому согласно (10) получаем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(0, \varepsilon 2)
\bigr)
, f
\bigl(
B(0, \varepsilon 1)
\bigr) \Bigr)
\leq 1
(\varepsilon 2 - \varepsilon 1)p
\int
A(0,\varepsilon 1,\varepsilon 2)
Q(x) dm(x).
Далее, выбирая \varepsilon 1 = \varepsilon и \varepsilon 2 = 2\varepsilon , имеем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr)
, f
\bigl(
B(0, \varepsilon )
\bigr) \Bigr)
\leq 1
\varepsilon p
\int
A(0,\varepsilon ,2\varepsilon )
Q(x) dm(x). (11)
С другой стороны, в силу неравенства (2) при каждом фиксированном \varepsilon > r > 0 справедлива
оценка
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr)
, f
\bigl(
B(0, \varepsilon )
\bigr) \Bigr)
\geq \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr)
, f
\bigl(
B(0, r)
\bigr) \Bigr)
\geq
\geq n\Omega n
p
n
\biggl(
p - n
p - 1
\biggr) p - 1\biggl( \bigl(
m
\bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr) \bigr) \bigr) p - n
n(p - 1) -
\bigl(
m
\bigl(
f
\bigl(
B(0, r)
\bigr) \bigr) \bigr) p - n
n(p - 1)
\biggr) 1 - p
. (12)
Соотношение (12) имеет место при любом r \in (0, \varepsilon ), поэтому можно перейти к пределу при
r \rightarrow 0. В таком случае получаем
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p}p
\Bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr)
, f
\bigl(
B(0, \varepsilon )
\bigr) \Bigr)
\geq c
\bigl(
m
\bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr) \bigr) \bigr) n - p
n , (13)
где c := n1/(1 - p)\Omega n
p/(n(1 - p))(p - 1)/(p - n). Комбинируя (11) и (13), находим
m(f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr)
2n\Omega n\varepsilon n
\geq c1
\left( 1
2n\Omega n\varepsilon n
\int
B(0,2\varepsilon )
Q(x) dm(x)
\right)
n
n - p
, (14)
где c1 — положительная постоянная, зависящая только от n и p.
Используя соотношение (8), имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x|
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
Lf (2\varepsilon )
2\varepsilon
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
\Biggl(
m
\bigl(
f(B(0, 2\varepsilon ))
\bigr)
\Omega n(2\varepsilon )n
\Biggr) 1
n
. (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1558 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ
Наконец, комбинируя (14) и (15), находим
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x|
\geq c0 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
\left( 1
2n\Omega n\varepsilon n
\int
B(0,2\varepsilon )
Q(x) dm(x)
\right)
1
n - p
= c0Q
1
n - p
0 ,
где c0 > 0 — некоторая постоянная, зависящая только от n и p.
Теорема доказана.
Из теоремы 1 получаем следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть D — область в \BbbR n, n \geq 2, n < p < \infty , f : D \rightarrow \BbbR n — открытое
дискретное кольцевое Q-отображение относительно p-модуля в точке x0, x0 \in D. Предпо-
ложим, что Q : D \rightarrow [0, \infty ] — локально интегрируемая функция, удовлетворяющая условию
Q0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\varepsilon \rightarrow 0
1
\Omega n\varepsilon n
\int
B(x0,\varepsilon )
Q(x) dm(x) > 0. (16)
Тогда имеет место оценка
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow x0
| f(x) - f(x0)|
| x - x0|
\geq c0Q
1
n - p
0 , (17)
где c0 — некоторая положительная постоянная, зависящая от точки x0, размерности про-
странства n и числа p.
Доказательство следствия 1 легко вытекает из теоремы 1. Действительно, если имеется
кольцевое Q-отображение f : D \rightarrow \BbbR n в точке x0 \in D, то зафиксируем r > 0 так, чтобы
B(x0, r) \subset D. Заметим, что вспомогательное преобразование \widetilde f(y) := f(ry + x0) - f(x0)
также является \widetilde Q-кольцевым отображением f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n относительно p-модуля в точке 0, где\widetilde Q(y) = rn - pQ(ry + x0) и, кроме того, f(0) = 0 (см., например, [10] (теорема 8.2) по поводу
изменения p-модуля при растяжениях). Кроме того, заметим, что условие (16) выполняется для
функции \widetilde Q при \widetilde Q0 вместо Q0, где \widetilde Q0 = rn - pQ0. Из этой теоремы следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\rightarrow 0
| \widetilde f(y)|
| y|
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\rightarrow 0
| f(ry + x0) - f(x0)|
| y|
\geq c0Q
1
n - p
0 r.
Если в последнем соотношении перейти к переменной x := ry + x0, то оно примет вид (17),
что и требовалось доказать.
В качестве еще одного следствия из теоремы 1 имеем следующее утверждение.
Следствие 2. Предположим, что в условиях теоремы 1 выполнено равенство Q0 = 0.
Тогда \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x|
= \infty .
Доказательство. Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве леммы 1, на
основании соотношения вида (8) имеем
Lf (r) \geq
\biggl(
m(f(B(0, r)))
\Omega n
\biggr) 1
n
. (18)
Повторяя также рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 1, получаем соотно-
шение вида (14), из которого следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ИСКАЖЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СНИЗУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ 1559
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
m(f(B(0, 2\varepsilon ))
2n\Omega n\varepsilon n
= \infty . (19)
Тогда из (18) и (19) получаем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x|
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
r\rightarrow 0
Lf (r)
r
= \infty ,
что и требовалось доказать.
Следующий пример указывает на содержательность условий и заключения следствия 2.
При фиксированном \theta \in (0, 1) рассмотрим отображение
f(x) =
x
| x|
| x| \theta , x \in \BbbB n.
Заметим, что | f(x)| /| x| \rightarrow \infty при x \rightarrow 0. Покажем, что f — кольцевое Q-отображение в
нуле. Для этого воспользуемся теоремой 2.2 [13]. Очевидно, f \in C1(\BbbB n \setminus \{ 0\} ), так что f
дифференцируемо почти всюду в \BbbB n, принадлежит классу W 1,p
loc (\BbbB
n \setminus \{ 0\} ) и имеет N -свойство.
По тем же причинам отображение f - 1(y) =
| y| 1/\theta
| y|
y также принадлежит классу W 1,p
loc (\BbbB
n \setminus \{ 0\} )
и имеет N -свойство. По теореме 2.2 [13] отображение f является кольцевым Q-отображением
в каждой точке x0 \in \BbbB n при
Q(x) := KI,p(x, f) =
\left\{
J(x, f)
lp(x, f)
, J(x, f) \not = 0,
1, f \prime (x) = 0,
\infty в остальных случаях,
где l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}h\in \BbbR n\setminus \{ 0\}
| f \prime (x)h|
| h|
и J(x, f) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x). Подсчитаем KI,p(x, f), для чего
воспользуемся предложением 5.1 из [14]. В обозначениях этого предложения
\lambda r(x) =
\partial | f(x)|
\partial | x|
= \theta | x| \theta - 1, \lambda \tau (x) =
| f(x)|
| x|
= | x| \theta - 1.
Заметим, что l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \lambda r(x), \lambda \tau (x)\} и | J(x, f)| = \lambda n - 1
\tau (x)\lambda r(x) (см. [14], разд. 5.1).
Очевидно, \lambda r(x) < \lambda \tau (x) и
Q(x) := KI,p(x, f) =
\theta | x| (n - 1)(\theta - 1)| x| \theta - 1
(\theta | x| \theta - 1)p
= \theta 1 - p| x| (n - p)(\theta - 1).
Вычислим Q0 по формуле (1). По теореме Фубини получаем\int
B(0,\varepsilon )
Q(x) dm(x) =
\varepsilon \int
0
\int
S(0,r)
\theta 1 - p| x| (n - p)(\theta - 1) dS dr =
= \omega n - 1\theta
1 - p
\varepsilon \int
0
rn - 1r(n - p)(\theta - 1)dr =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1560 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ
=
\omega n - 1\theta
1 - p\varepsilon (n - p)(\theta - 1)+n
(n - p)(\theta - 1) + n
= C\varepsilon (n - p)(\theta - 1)+n,
где C :=
\omega n - 1\theta
1 - p
(n - p)(\theta - 1) + n
. Учитывая полученное выше, имеем
Q0 := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
C
\Omega n
\varepsilon (n - p)(\theta - 1)+n
\varepsilon n
= 0.
Еще одно утверждение может быть доказано в случае, когда Q \in L\alpha
loc(\BbbB n).
Теорема 2. Пусть n \geq 2, n < p < \infty , f : \BbbB n \rightarrow \BbbR n — открытое дискретное кольцевое Q-
отображение относительно p-модуля в нуле, f(0) = 0. Предположим, что Q : \BbbB n \rightarrow [0, \infty ] —
локально интегрируемая функция в \BbbB n в степени \alpha > 1. Пусть K \subset \BbbB n — произвольный
компакт, удовлетворяющий условию 0 \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}K. Тогда имеет место оценка
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x| 1+
n
\alpha (p - n)
\geq C > 0,
где C — некоторая положительная постоянная, зависящая только от размерности простран-
ства n, чисел p, \alpha и компакта K.
Доказательство. Выберем произвольным образом компакт K \subset \BbbB n, удовлетворяющий
условию 0 \in \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}K. Поскольку Q \in L\alpha
loc(\BbbB n), найдется постоянная C = C(K) < \infty такая,
что
\int
K
Q\alpha (x) dm(x) \leq C(K). Повторяя теперь рассуждения, проведенные при доказательстве
теоремы 1, мы вновь получаем соотношения (11), (13). Кроме того, поскольку по выбору
компакта K точка 0 является его внутренней точкой, при достаточно малых \varepsilon > 0 кольцо
A(0, \varepsilon , 2\varepsilon ) находится в K.
Оценим теперь интеграл справа в (11) сверху, использовав неравенство Гельдера с показа-
телями \alpha и \alpha \prime =
\alpha
\alpha - 1
> 1,
1
\alpha
+
1
\alpha \prime = 1. Учитывая изложенное выше, имеем
\int
A(0,\varepsilon ,2\varepsilon )
Q(x) dm(x) \leq
\left( \int
K
Q\alpha (x) dm(x)
\right) 1/\alpha \bigl( 2\Omega 1/n
n \varepsilon
\bigr) n(\alpha - 1)
\alpha \leq C1(K)\varepsilon
n\alpha - n
\alpha ,
где C1 = C1(K) — некоторая новая постоянная, зависящая только от функции Q, компакта K,
n и степени \alpha . Применяя (11) и (13), получаем\bigl(
m
\bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr) \bigr) \bigr) 1/n \geq C2\varepsilon
(n\alpha - n
\alpha
- p) 1
n - p = C2\varepsilon
n\alpha - n - \alpha p
\alpha n - \alpha p = C2\varepsilon
1+ n
\alpha (p - n) , (20)
где C2 — некоторая положительная постоянная, зависящая только от функции Q, компакта K,
n и степени \alpha . Из (20) следует, что\bigl(
m
\bigl(
f
\bigl(
B(0, 2\varepsilon )
\bigr) \bigr) \bigr) 1/n
\varepsilon
1+ n
\alpha (p - n)
\geq C2 > 0. (21)
Используя соотношения (8) и (21), имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОЦЕНКЕ ИСКАЖЕНИЯ РАССТОЯНИЯ СНИЗУ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЙ 1561
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x| 1+
n
\alpha (p - n)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
Lf (2\varepsilon )
(2\varepsilon )
1+ n
\alpha (p - n)
\geq
\geq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\varepsilon \rightarrow 0
\bigl(
m
\bigl(
f(B(0, 2\varepsilon ))
\bigr) \bigr) 1/n
(2\varepsilon )
1+ n
\alpha (p - n)
\geq C2
2
1+ n
\alpha (p - n)
.
Полагая C := C2/2
1+ n
\alpha (p - n) , получаем необходимое заключение.
Заметим, что от условия Q \in L\alpha
loc(\BbbB n), содержащегося в теореме 2, вообще говоря, нельзя
отказаться, что составляет содержательную часть следующего утверждения.
Теорема 3. Для произвольного \alpha > 1 найдется кольцевой Q-гомеоморфизм f : \BbbB n \rightarrow \BbbB n в
точке x0 = 0 относительно p-модуля, p > n, такой, что Q \not \in L\alpha
loc(\BbbB n), и при этом
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
| f(x)|
| x| 1+
n
\alpha (p - n)
= 0. (22)
Доказательство. Зафиксируем произвольным образом \alpha > 1, \varepsilon > 0 и p > n. Положим
f(x) = x| x|
n
\alpha (p - n)
+\varepsilon
.
Из определения следует, что f — гомеоморфизм единичного круга в себя, f(0) = 0, кроме того,
f - 1(y) =
y
| y|
| y| 1/\beta , где \beta =
n
\alpha (p - n)
+ \varepsilon + 1. Отсюда следует, что f, f - 1 \in C1(\BbbB n \setminus \{ 0\} ); в
частности, f дифференцируемо почти всюду, имеет N - и N - 1-свойства Лузина и, кроме того,
f - 1 абсолютно непрерывно на p-почти всех кривых. Тогда по теореме 1.1 [13] отображение f
является кольцевым Q-отображением в каждой точке x0 \in \BbbB n при
Q(x) := KI,p(x, f) =
\left\{
| J(x, f)|
lp(x, f)
, J(x, f) \not = 0,
1, f \prime (x) = 0,
\infty в остальных случаях,
где l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}h\in \BbbR n\setminus \{ 0\}
| f \prime (x)h|
| h|
и J(x, f) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} f \prime (x). Подсчитаем KI,p(x, f), для чего
воспользуемся предложением 5.1 из [14]. В обозначениях этого предложения
\lambda r(x) =
\partial | f(x)|
\partial | x|
=
\biggl(
n
\alpha (p - n)
+ \varepsilon + 1
\biggr)
| x|
n
\alpha (p - n)
+\varepsilon
,
\lambda \tau (x) =
| f(x)|
| x|
= | x|
n
\alpha (p - n)
+\varepsilon
.
Заметим, что l(f \prime (x)) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \lambda r(x), \lambda \tau (x)\} и | J(x, f)| = \lambda n - 1
\tau (x)\lambda r(x) (см. [14], разд. 5.1).
Очевидно, \lambda \tau (x) < \lambda r(x), поэтому
KI,p(x, f) =
\biggl(
n
\alpha (p - n)
+ \varepsilon + 1
\biggr)
| x| (n - 1)( n
\alpha (p - n)
+\varepsilon )| x|
n
\alpha (p - n)
+\varepsilon
| x| p(
n
\alpha (p - n)
+\varepsilon )
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1562 Р. Р. САЛИМОВ, Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, А. А. МАРКИШ
=
\biggl(
n
\alpha (p - n)
+ \varepsilon + 1
\biggr)
| x| - n/\alpha +\varepsilon (n - p) = C| x| - n/\alpha +\varepsilon (n - p),
где C =
n
\alpha (p - n)
+ \varepsilon + 1. Пусть K — произвольный компакт в \BbbB n такой, что B(0, \varepsilon 0) \subset K
при некотором 0 < \varepsilon 0 < 1. Тогда по теореме Фубини\int
K
K\alpha
I,p(x, f) dm(x) \geq
\int
B(0,\varepsilon 0)
K\alpha
I,p(x, f) dm(x) =
= C\alpha
\varepsilon 0\int
0
\int
S(0,r)
| x| - n+\alpha \varepsilon (n - p) dS dr = C\alpha \omega n - 1
\varepsilon 0\int
0
rn - 1r - n+\alpha \varepsilon (n - p) dr =
= C\alpha \omega n - 1
\varepsilon 0\int
0
r\alpha \varepsilon (n - p) - 1 dr = \infty , (23)
так как показатель степени при r меньше - 1. Очевидно также, что соотношение (22) имеет
место, т. е. заключение теоремы 2 не выполнено. Причиной последнего является расходимость
интеграла слева в (23).
Литература
1. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Аналоги леммы Икома – Шварца и теоремы Лиувилля для отображений с
неограниченной характеристикой // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 10. – С. 1368 – 1380.
2. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya Math. J. – 1965. –
25. – P. 175 – 203.
3. Салимов Р. Р. О кольцевых Q-отображениях относительно неконформного модуля // Дальневост. мат. журн. –
2014. – 14, № 2. – С. 257 – 269.
4. Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. О некоторых свойствах пространственных обобщенных квазиизометрий //
Мат. заметки. – 2017. – 101, № 4. – С. 594 – 610.
5. Mazya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces // Contemp. Math. –
2003. – 338. – P. 307 – 340.
6. Gehring F. Lipschitz mappings and p-capacity of rings in n-space // Ann. Math. Stud. – 1971. – 66. – P. 175 – 193.
7. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Science +
Business Media, LLC, 2009.
8. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: a geometric approach. – New York
etc.: Springer, 2012.
9. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Yakubov E. The Beltrami equations and prime ends // Укр. мат. вiсн. – 2015. – 12,
№ 1. – С. 27 – 66.
10. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
11. Мазья В. Г. Пространства Соболева. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1985.
12. Салимов Р. Р. Об оценке меры образа шара // Сиб. мат. журн. – 2012. – 53, № 4. – С. 920 – 930.
13. Salimov R. R., Sevost’yanov E. A. The Poletskii and Väisälä inequalities for the mappings with (p, q)-distortion //
Complex Var. and Elliptic Equat. – 2014. – 59, № 2. – P. 217 – 231.
14. Ильютко Д. П., Севостьянов Е. А. Об открытых дискретных отображениях с неограниченной характеристикой
на римановых многообразиях // Мат. сб. – 2016. – 207, № 4. – С. 65 – 112.
Получено 06.04.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1659 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:05Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e2/66515d9bc4a5ce93c5c26bdeca95c1e2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16592019-12-05T09:22:19Z On the lower estimate of the distortion of distance for one class of mappings Об оценке искажения расстояния снизу для одного класса отображений Markish, A. A. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. We study the behavior of one class of mappings with finite distortion in a neighborhood of the origin. Under certain conditions imposed on the characteristic of quasiconformality, we establish a lower estimate for the distortion of distance under mappings of the indicated kind. Вивчається поведiнка пiдкласу вiдображень зi скiнченним спотворенням в околi початку координат. За певних умов на характеристику квазiконформностi встановлено оцiнку спотворення вiдстанi знизу для таких вiдображень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1659 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1553-1562 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1553-1562 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1659/641 Copyright (c) 2018 Markish A. A.; Salimov R. R.; Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Markish, A. A. Salimov, R. R. Sevost'yanov, E. A. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. Маркиш, А. А. Салимов, Р. Р. Севостьянов, Е. А. On the lower estimate of the distortion of distance for one class of mappings |
| title | On the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| title_alt | Об оценке искажения расстояния снизу
для одного класса отображений |
| title_full | On the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| title_fullStr | On the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| title_full_unstemmed | On the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| title_short | On the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| title_sort | on the lower estimate of the distortion of distance
for one class of mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1659 |
| work_keys_str_mv | AT markishaa onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT salimovrr onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT sevost039yanovea onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT markišaa onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT salimovrr onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT sevostʹânovea onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT markišaa onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT salimovrr onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT sevostʹânovea onthelowerestimateofthedistortionofdistanceforoneclassofmappings AT markishaa obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT salimovrr obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT sevost039yanovea obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT markišaa obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT salimovrr obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT sevostʹânovea obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT markišaa obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT salimovrr obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij AT sevostʹânovea obocenkeiskaženiârasstoâniâsnizudlâodnogoklassaotobraženij |