Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with semi-Markov switchings
We obtain sufficient conditions for the convergence of the procedure of stochastic approximation for the diffusion process in the case of a uniformly ergodic semi-Markov process of switchings of the regression function with the use of a small parameter in the scheme of series.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1660 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507486569627648 |
|---|---|
| author | Rosa, V. Chabanyuk, Ya. M. Роса, В. Чабанюк, Я. М. |
| author_facet | Rosa, V. Chabanyuk, Ya. M. Роса, В. Чабанюк, Я. М. |
| author_sort | Rosa, V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We obtain sufficient conditions for the convergence of the procedure of stochastic approximation for the diffusion process
in the case of a uniformly ergodic semi-Markov process of switchings of the regression function with the use of a small
parameter in the scheme of series. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Я. Чабанюк, В. Роса (Ун-т „Люблiн. полiтехнiка”, Польща)
ПРОЦЕДУРА СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ
ДЛЯ ДИФУЗIЙНОГО ПРОЦЕСУ
З НАПIВМАРКОВСЬКИМИ ПЕРЕМИКАННЯМИ
We obtain sufficient conditions for the convergence of the procedure of stochastic approximation for the diffusion process
in the case of a uniformly ergodic semi-Markov process of switchings of the regression function with the use of a small
parameter in the scheme of series.
Отримано достатнi умови збiжностi процедури стохастичної апроксимацiї для дифузiйного процесу у випадку
рiвномiрно ергодичного напiвмарковського процесу перемикань функцiї регресiї з використанням малого параметра
в схемi серiй.
1. Вступ. Внаслiдок широкого використання стохастичних дифузiйних процесiв виникла проб-
лема встановлення умов стiйкостi та контролю таких процесiв. У статтi [6] встановлено достат-
нi умови стiйкостi стохастичних систем за функцiональними властивостями функцiй Ляпунова
та отримано оцiнки великих вiдхилень лiнiйних дифузiйних систем. Проблемам оптимального
управлiння дифузiйними процесами, що описуються стохастичними диференцiальними рiвнян-
нями з прийнятним контролем, присвячено роботу [20]. При цьому використано генератор
дифузiйного процесу, властивiсть Маркова та його мартингальну характеризацiю, а також тест-
функцiю типу Ляпунова.
З iншого боку, важливою є асимптотична поведiнка дифузiйних процесiв, що розглядається
в [23, 24]. Для отримання умов слабкої збiжностi випадкових процесiв у роботах [11, 12,
16] використано метод малого параметра та розв’язок проблеми сингулярного збурення для
побудови генератора граничного процесу. Цей метод використовується у схемах усереднення,
дифузiйної апроксимацiї та асимптотично малої дифузiї. Зокрема, у роботi [16] розглянуто
випадковi еволюцiї з марковськими та напiвмарковськими перемиканнями.
Побудовi напiвмарковських процесiв та дослiдженню асимптотичних властивостей випад-
кових процесiв iз напiвмарковськими перемиканнями присвячено роботи [1 – 4]. Для таких
процесiв встановлено слабку збiжнiсть до розв’язку рiвнянь з частинними похiдними у схемах
усереднення та дифузiйної апроксимацiї до дифузiйних процесiв [3, 5].
У роботi [19] проаналiзовано асимптотичнi властивостi напiвмарковських процесiв iз лi-
нiйним збуренням генератора супроводжуючого марковського процесу з використанням на-
пiвгрупових властивостей останнього. Цi результати було узагальнено в [14]. Класифiкацiю
розв’язкiв проблеми сингулярного збурення для випадкових процесiв у напiвмарковському се-
редовищi наведено у [15, 16] iз використанням компенсуючого оператора [25]. Асимптотичнi
властивостi компенсуючого оператора дозволили в [10] отримати достатнi умови збiжностi
випадкової еволюцiї з напiвмарковськими перемиканнями до дифузiйного процесу в умовах
балансу та у схемi усереднення [13]. Результати цих дослiджень були використанi в рiзних
застосуваннях [8, 9, 17, 18].
У роботi [21] збiжнiсть процедури стохастичної апроксимацiї (ПСА) встановлюється за
допомогою властивостей функцiй типу Ляпунова. Узагальнення ПСА на випадок, коли функцiя
регресiї враховує напiвмарковськi перемикання, розглянуто в [7].
c\bigcirc Я. ЧАБАНЮК, В. РОСА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11 1563
1564 Я. ЧАБАНЮК, В. РОСА
2. Постановка задачi. У данiй статтi розглядаємо динамiчну систему з напiвмарковськими
перемиканнями та малим параметром серiй. Нехай x(t), t \geq 0, — напiвмарковський процес
у стандартному фазовому просторi станiв (X, \scrE ), що визначається процесом марковського
вiдновлення xn, \tau n, n \geq 0, та напiвмарковським ядром
Q(t, x,B) = P (x,B)Gx(t),
де стохастичне ядро
P (x,B) := \mathrm{P}\{ xn+1 \in B| xn = x\} , B \in \scrE ,
описує вкладений ланцюг Маркова xn = x(\tau n) в моменти вiдновлення:
\tau n =
n\sum
k=1
\theta k, n \geq 0, \tau 0 = 0,
з iнтервалами \theta k+1 = \tau k+1 - \tau k мiж моментами вiдновлення; \theta n визначенi функцiями розподiлу
Gx(t) = \mathrm{P}\{ \theta n+1 \leq t | xn = x\} =: \mathrm{P}\{ \theta x \leq t\} .
Напiвмарковський процес визначається зображенням
x(t) = x\nu (t), t \geq 0,
де лiчильний процес \nu (t) визначається спiввiдношенням
\nu (t) := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ n : \tau n \leq t\} , t \geq 0.
Будемо розглядати напiвмарковський процес x(t), t \geq 0, який є регулярним i рiвномiрно
ергодичним iз стацiонарним розподiлом \pi (B), B \in \scrE :
\pi (dx) = \rho (dx)g(x)/m, g(x) =
\infty \int
0
(1 - Gx(t) dt, m =
\int
X
g(x)\pi (dx).
Тут \rho (B), B \in \scrE , — стацiонарний розподiл вкладеного ланцюга Маркова.
Дифузiйний процес u\varepsilon (t) \in Rd у схемi усереднення з малим параметром \varepsilon > 0 визначається
стохастичним диференцiальним рiвнянням
du\varepsilon (t) = a(t)
\biggl[
C
\biggl(
u\varepsilon (t);x
\biggl(
t
\varepsilon
\biggr) \biggr)
dt+ \sigma
\biggl(
u\varepsilon (t);x
\biggl(
t
\varepsilon
\biggr) \biggr)
dw(t)
\biggr]
, (1)
де u\varepsilon (t), t \geq 0, — випадкова еволюцiя, що визначена дифузiйним процесом (1) [2, 15, 16, 25];
x(t), t \geq 0, — напiвмарковський процес [1, 14, 16, 19]; w(t) — процес Вiнера [11, 23, 24].
Напiвгрупа \bfC t
t+s(x), t \geq 0, s \geq 0, x \in X, супроводжуючої системи
dux(t) = a(t)
\bigl[
C(ux(t);x)dt+ \sigma (ux(t);x)dw(t)
\bigr]
, ux(0) = u,
визначається спiввiдношенням
\bfC t
t+s(x)\phi (u) = \phi (ux(t+ s)), ux(t) = u,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ПРОЦЕДУРА СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ ДЛЯ ДИФУЗIЙНОГО ПРОЦЕСУ . . . 1565
де
ux(t+ s) := ux(t+ s, u), ux(t) := ux(t, u)
— напiвгрупова властивiсть.
Генератор \bfC t(x) напiвгрупи \bfC t
t+s(x)визначається таким чином:
\bfC t(x)\phi (u) = a(t)C(u, x)\phi \prime (u) + a2(t)
1
2
\sigma 2(u, x)\phi \prime \prime (u),
де \phi (u) \in C2(Rd).
Далi розглянемо усереднення функцiї регресiї C(u) =
\int
X
C(u, x)\pi (dx).
3. Основний результат.
Теорема 1. Нехай функцiя Ляпунова V (u) системи
du
dt
= C(u) задовольняє умови:
C1) C(u)V \prime (u) \leq - c0V (u), c0 > 0,
C2) | C(u, x)R0C(u, x)V \prime (u)| \leq c1(1 + V (u)), c1 > 0,
C3) [C(u, x)R0[C(u, x)V \prime (u)]\prime ] \leq c2(1 + V (u)), c2 > 0,
C4) | C(u, x)[C(u, x)R0[C(u, x)V \prime (u)]\prime ]\prime | \leq c3(1 + V (u)), c3 > 0,
C5) \| \sigma (u, x)\| 2 \leq c4(1 + V (u)), c4 > 0.
Крiм того, нехай виконуються додатковi умови:
C6) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in X
\int \infty
0
ehtGx(t) dt \leq H < \infty , h > 0,
C7)
\int \infty
0
a(t) dt = \infty ,
\int \infty
0
a2(t) dt < \infty ,
C8) b\varepsilon 1(t, s) =
a(t+ \varepsilon s)
a(t)
\leq A1 < \infty , для b\varepsilon 2(t, s) =
a\prime (t+ \varepsilon s)
a(t)
має мiсце оцiнка
\bigm| \bigm| b\varepsilon 2(t, s)\bigm| \bigm| <
< A2 < \infty .
Тодi розв’язок u\varepsilon (t), t \geq 0, рiвняння (1) збiгається з iмовiрнiстю 1:
\mathrm{P}
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
u\varepsilon (t) = u\ast
\Bigr)
= 1,
де u\ast — точка рiвноваги функцiї регресiї , тобто C(u\ast ) = 0.
Визначимо розширений процес марковського вiдновлення (ПМВ) [16] спiввiдношеннями
u\varepsilon n = u\varepsilon (\tau \varepsilon n), x\varepsilon n = x\varepsilon (\tau \varepsilon n), \tau \varepsilon n = \varepsilon \tau n, (2)
де \tau n =
\sum n
k=1
\theta k, n \geq 0, \tau 0 = 0, — моменти вiдновлення напiвмарковського процесу x(t),
t \geq 0 [16].
Означення 1 [10, 16]. Компенсуючий оператор розширеного ПМВ (2) визначається спiв-
вiдношенням
\bfL \varepsilon
t (x)\phi (u, x, t) = \varepsilon - 1
\bigl[
\mathrm{E}
\bigl\{
\phi (u\varepsilon n+1, x
\varepsilon
n+1, \tau
\varepsilon
n+1)
\bigm| \bigm| u\varepsilon n = u, x\varepsilon n = x, \tau \varepsilon n = t
\bigr\}
- \phi (u, x, t)
\bigr]
/g(x).
(3)
Лема 1. Компенсуючий оператор (3) на тест-функцiях \phi (u, x) має вигляд
\bfL \varepsilon
t (x)\phi (u, x) = \varepsilon - 1q(x)
\left[ \infty \int
0
Gx(ds)\bfC
t
t+\varepsilon s(x)
\int
X
P (x, dy)\phi (u, y) - \phi (u, x)
\right] . (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1566 Я. ЧАБАНЮК, В. РОСА
Доведення. Для точки u1 маємо [13, 16, 25]
\mathrm{E}\phi (u\varepsilon 1, x
\varepsilon
1) = \mathrm{E}\bfC t
t+\theta x0
(x)\phi (u, x\varepsilon 1) =
\infty \int
0
Gx(ds)\bfC
t
t+s(x)
\int
X
P (x, dy)\phi (u, y).
Звiдси отримуємо (4).
Лема 2. Компенсуючий оператор \bfL \varepsilon
t (x) має вигляд
\bfL \varepsilon
t (x)\phi (u, x) = \varepsilon - 1\bfQ \phi (u, x) + \varepsilon - 1q(x)
\bigl[
\bfG \varepsilon
t (x) - I
\bigr]
\bfP \phi (u, x), (5)
де
\bfG \varepsilon
t (x) =
\infty \int
0
Gx(ds)\bfC
t
t+\varepsilon s(x), \bfP \phi (x) =
\int
X
P (x, dy)\phi (y).
Доведення. Iз зображення (4) маємо
\bfL \varepsilon
t (x)\phi (u, x) =
= \varepsilon - 1q(x)
\left[ \infty \int
0
Gx(ds)\bfC
t
t+\varepsilon s(x)
\int
X
P (x, dy)\phi (u, y) - \phi (u, x)
\right] =
= \varepsilon - 1q(x)
\int
X
P (x, dy)
\bigl[
\phi (u, y) - \phi (u, x)
\bigr]
+
+\varepsilon - 1q(x)
\infty \int
0
Gx(ds)
\bigl[
\bfC t
t+\varepsilon s - I
\bigr] \int
X
P (x, dy)\phi (u, y).
Звiдси отримуємо (5).
Лема 3. Компенсуючий оператор \bfL \varepsilon
t (x) має такi асимптотичнi зображення:
\bfL \varepsilon
t (x)\varphi (u, x) = \varepsilon - 1\bfQ \varphi (u, x) + q(x)\theta \varepsilon 1(x)\bfP \varphi (u, x), (6)
\bfL \varepsilon
t (x)\varphi (u, x) = \varepsilon - 1\bfQ \varphi (u, x) +\bfC t(x)\bfP \varphi (u, x) + \varepsilon a2(t)\theta \varepsilon 2(x)\bfP \varphi (u, x), (7)
де
\theta \varepsilon 1(x) =
\infty \int
0
Gx(s)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds,
\theta \varepsilon 2(x) =
\infty \int
0
G
(2)
x (s)\widetilde \bfC \prime
t+\varepsilon s(x)
\widetilde \bfC t+\varepsilon s\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds,
\widetilde \bfC t+\varepsilon s\varphi (u) = b\varepsilon 1(t, s)C(u, x)\varphi \prime (u) +
1
2
a(t+ \varepsilon s)b\varepsilon 1(t, s)\sigma
2(u, x)\varphi \prime \prime (u),
\widetilde \bfC \prime
t+\varepsilon s\varphi (u) = b\varepsilon 2(t, s)C(u, x)\varphi \prime (u) + a(t+ \varepsilon s)b\varepsilon 2(t, s)\sigma
2(u, x)\varphi \prime \prime (u).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ПРОЦЕДУРА СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ ДЛЯ ДИФУЗIЙНОГО ПРОЦЕСУ . . . 1567
Доведення. Для напiвгрупи \bfC t
t+\varepsilon s(x), t \geq 0, x \in X, справджується рiвняння
d\bfC t
t+\varepsilon s(x) = \varepsilon \bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s ds.
Iнтегруючи частинами, отримуємо
\bfG \varepsilon
t (x) - I =
\infty \int
0
Gx(ds)
\bigl[
\bfC t
t+s(x) - I
\bigr]
=
=
\Biggl[
u = \bfC t
t+\varepsilon s - I dv = Gx(ds)
du = \varepsilon \bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds v = - Gx(s)
\Biggr]
=
= - Gx(s)
\bigl[
\bfC t
t+\varepsilon s(s) - I
\bigr] \bigm| \bigm| \infty
0
+ \varepsilon
\infty \int
0
Gx(s)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+s(x) ds.
Враховуючи умову Крамера C6 , маємо
\bfG \varepsilon
t (x) - I = \varepsilon
\infty \int
0
Gx(s)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds = \varepsilon \theta \varepsilon 1(x).
Звiдcи отримуємо (6).
Для
\bfG \varepsilon
t,1(x) =
\infty \int
0
Gx(s)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds
iнтегруванням частинами одержуємо
\bfG \varepsilon
t,1(s) =
\infty \int
0
Gx(s)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) ds =
=
\left[ u = \bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x) dv = Gx(s)
du = (\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x))
\prime ds v = - G
(2)
x (s)
\right] =
= - \bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x)G
(2)
x (s)
\bigm| \bigm| \infty
0
+ \varepsilon
\infty \int
0
\bigl(
\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x)
\bigr) \prime
G
(2)
x (s) ds =
= g(x)\bfC t(x)I + \varepsilon 2
\infty \int
0
\bfC \prime
t+\varepsilon s(x)\bfC t+\varepsilon s(x)\bfC
t
t+\varepsilon s(x)G
(2)
x (s) ds =
= g(x)\bfC t(x)I + \varepsilon 2a2(t)\theta \varepsilon 2(x),
де G
(2)
x (t) =
\int \infty
t
Gx(s) ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1568 Я. ЧАБАНЮК, В. РОСА
Лема 4. Компенсуючий оператор \bfL \varepsilon
t (x) на тест-функцiях \phi \varepsilon (u, x) = \phi (u)+\varepsilon \phi 1(u, x) має
асимптотичне зображення
\bfL \varepsilon
t (x)\phi
\varepsilon (u, x) = \bfL t\phi (u) + \varepsilon \theta \varepsilon t (x)\phi (u),
де
\bfL t\phi (u) = a(t)C(u)\phi \prime (u) +
a2(t)\sigma 2(u)
2
\phi \prime \prime (u),
\sigma 2(u) =
\int
X
\sigma 2(u, x)\pi (dx),
\theta \varepsilon t (x)\phi (u) = q(x)\theta 1(x)\bfP \bfR 0
\widetilde \bfL t(x)\phi (u) + \varepsilon a2(t)\theta \varepsilon 2(x)\phi (u),\widetilde \bfL t(x) = \bfC t(x) - \bfL t.
Доведення. Виконаємо обчислення
\bfL \varepsilon
t (x) [\phi (u) + \varepsilon \phi 1(u, x)] =
=
\bigl[
\varepsilon - 1\bfQ +\bfC t(x)\bfP + \varepsilon a2(t)\theta \varepsilon 2(x)\bfP
\bigr]
\phi (u)+
+\varepsilon
\bigl[
\varepsilon - 1\bfQ + q(x)\theta \varepsilon 1(x)\bfP
\bigr]
\phi 1(u, x) =
= \varepsilon - 1\bfQ \phi (u) +\bfC t(x)\phi (u) +\bfQ \phi 1(u, x)+
+\varepsilon q(x)\theta \varepsilon 1(x)\bfP \phi 1(u, x) + \varepsilon a2(t)\theta \varepsilon 2(x)\bfP \phi (u).
З того, що \phi (u) належить NQ, випливає
\bfC t(x)\phi (u) +\bfQ \phi 1(u, x) = \bfL t\phi (u).
Отже, має мiсце зображення
\bfQ \phi 1(u, x) = (\bfC t(x) - \bfL t)\phi (u) = \widetilde \bfL t(x)\phi (u),
де \widetilde \bfL t(x) = \bfC t(x) - \bfL t.
Таким чином,
\phi 1(u, x) = \bfR 0
\widetilde \bfL t(x)\phi (u).
Остаточно отримуємо
\bfL \varepsilon
t (x)\phi
\varepsilon (u, x) = \bfL t\phi (u) + \varepsilon \theta \varepsilon t (x)\phi (u),
де
\theta \varepsilon t (x) = q(x)\theta 1(x)\bfP \bfR 0
\widetilde \bfL t(x) + a2(t)\theta \varepsilon 2(x).
Розглянемо функцiю Ляпунова V (u) для усередненої системи
du
dt
= C(u).
Як наслiдок з попередньої леми випливає таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ПРОЦЕДУРА СТОХАСТИЧНОЇ АПРОКСИМАЦIЇ ДЛЯ ДИФУЗIЙНОГО ПРОЦЕСУ . . . 1569
Лема 5. Для збуреної функцiї Ляпунова V \varepsilon (u, x) = V (u)+\varepsilon V1(u, x) має мiсце зображення
\bfL \varepsilon
t (x)V
\varepsilon (u, x) = \bfL tV (u) + \varepsilon \theta \varepsilon t (x)V (u).
Доведення теореми 1. З умов C4 , C5 , C7 та C8 маємо\bigm| \bigm| \theta \varepsilon t (x)V (u)
\bigm| \bigm| \leq A3(1 + V (u)) < \infty .
Далi, враховуючи умови C1 – C3 , отримуємо оцiнку
\bfL tV (u) \leq - c0a(t)V (u) + a2(t)c(1 + V (u)).
Остання оцiнка дає можливiсть застосувати модельну теорему Королюка [16] та теорему Не-
вельсона – Хасьмiнського [21] i отримати
\mathrm{P}
\Bigl(
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
u\varepsilon (t) = u \star
\Bigr)
= 1.
4. Висновки. Отриманий у цiй статтi результат дає можливiсть встановити асимптотичнi
властивостi задачi керування у схемi усереднення з напiвмарковськими перемиканнями [22].
Лiтература
1. Anisimov V. V. Limit theorems for switching processes and their applications // Cybernetics. – 1978. – 14, № 6. –
P. 917 – 929.
2. Anisimov V. V. Limit theorems for switching processes // Theory Probab. and Math. Statist. – 1988. – 37. – P. 1 – 5.
3. Anisimov V. V. Switching processes: averaging principle, diffusion approximation and applications // Acta Appl.
Math. – 1995. – 40. – P. 95 – 141.
4. Anisimov V. V. Averaging methods for transient regimes in overloading retrial queuing systems // Math. and Comput.
Modelling. – 1999. – 30, № 3-4. – P. 65 – 78.
5. Anisimov V. V. Switching processes in queueing models. – Wiley and Sons, 2008.
6. Blankenship G., Papanicolaou G. Stability and control of stochastic systems with wide band noise disturbances //
SIAM J. Appl. Math. – 1978. – 34. – P. 437 – 476.
7. Chabanyuk Y. M. Continuous procedure of stochastic approximation in a semi-Markov medium // Ukr. Math. J. –
2004. – 56, № 5. – P. 862 – 872.
8. Chabanyuk Y. M. Continuous stochastic approximation with semi-Markov switchings in the diffusion approximation
scheme // Cybernet. and Systems Anal. – 2007. – 43. – P. 605 – 612.
9. Chabanyuk Y. M. Convergence of a jump procedure in a semi-Markov environment in diffusion-approximation
scheme // Cybernet. and Systems Anal. – 2007. – 43. – P. 866 – 875.
10. Chabanyuk Y. M. Stability of a dynamical system with semi-Markov switchings under conditions of diffusion
approximation // Ukr. Math. J. – 2007. – 59, № 11. – P. 1441 – 1452.
11. Korolyuk V. S. Stability of stochastic systems in the diffusion-approximation scheme // Ukr. Math. J. – 1998. – 50,
№ 1. – P. 40 – 54.
12. Korolyuk V. S. Problem of large deviations for Markov random evolutions with independent increments in the scheme
of asymptotically small // Ukr. Math. J. – 2010. – 62, № 5. – P. 739 – 747.
13. Korolyuk V. S., Chabanyuk Y. M. Stability of a dynamical system with semi-Markov switchings under conditions of
stability of the averaged system // Ukr. Math. J. – 2002. – 54, № 2. – P. 239 – 252.
14. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V. Stochastic models of systems. – Dordrecht: Kluwer, 1999.
15. Korolyuk V. S., Korolyuk V. V., Limnios N. Queueing systems with semi-Markov flow in average and diffusion
approximation schemes // Methodol. and Comput. Appl. Probab. – 2009. – 11. – P. 201 – 209.
16. Korolyuk V. S., Limnios N. Stochastic systems in merging phase space. – Singapore: World Sci., 2005.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1570 Я. ЧАБАНЮК, В. РОСА
17. Korolyuk V. S., Limnios N., Samoilenko I. V. Poisson aproximation of recurent process with locally independent
increments and semi-Markov switching — toward application in reliability // Adv. Degrad. Modeling. – 2010. –
P. 105 – 116.
18. Korolyuk V. S., Limnios N., Samoilenko I. V. Poisson aproximation of recurent process with semi-Markov switching //
Stochast. Anal. and Appl. – 2011. – 29. – P. 769 – 778.
19. Korolyuk V. S., Swishchuk A. V. Random evolutions. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1994.
20. Kushner H. J. Optimality conditions for the average cost per unit time problem with a diffusion model // SIAM
Control J. and Optim. – 1978. – 16, № 2. – P. 330 – 346.
21. Nevelson M. B., Hasminskii R. Z. Stochastic approximation and recursive estimation // Transl. Math. Monogr. – Amer.
Math. Soc., 1976.
22. Nikitin A. V., Khimka U. T. Asymptotics of normalized control with Markov switchings // Ukr. Math. J. – 2017. – 68,
№ 8. – P. 1252 – 1262.
23. Skorokhod A. V. Asymptotic methods in the theory of stochastic differential equations. – Amer. Math. Soc., 1989.
24. Stroock D. W., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. – Berlin: Springer-Verlag, 1979.
25. Sviridenko M. N. Martingale approach to limit theorems for semi-Markov processes // Theor. Probab. and Appl. –
1986. – P. 40 – 545.
Одержано 09.11.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1660 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:05Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/83/fcae023602fe4b22b25d53e0d13a3583.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16602019-12-05T09:22:19Z Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with semi-Markov switchings Процедура стохастичної апроксимації для дифузійного процесу з напівмарковськими перемиканнями Rosa, V. Chabanyuk, Ya. M. Роса, В. Чабанюк, Я. М. We obtain sufficient conditions for the convergence of the procedure of stochastic approximation for the diffusion process in the case of a uniformly ergodic semi-Markov process of switchings of the regression function with the use of a small parameter in the scheme of series. Отримано достатнi умови збiжностi процедури стохастичної апроксимацiї для дифузiйного процесу у випадку рiвномiрно ергодичного напiвмарковського процесу перемикань функцiї регресiї з використанням малого параметра в схемi серiй. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1660 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1563-1570 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1563-1570 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1660/642 Copyright (c) 2018 Rosa V.; Chabanyuk Ya. M. |
| spellingShingle | Rosa, V. Chabanyuk, Ya. M. Роса, В. Чабанюк, Я. М. Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with semi-Markov switchings |
| title | Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-Markov switchings |
| title_alt | Процедура стохастичної апроксимації для дифузійного процесу
з напівмарковськими перемиканнями |
| title_full | Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-Markov switchings |
| title_fullStr | Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-Markov switchings |
| title_full_unstemmed | Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-Markov switchings |
| title_short | Procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-Markov switchings |
| title_sort | procedure of stochastic approximation for the diffusion process with
semi-markov switchings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1660 |
| work_keys_str_mv | AT rosav procedureofstochasticapproximationforthediffusionprocesswithsemimarkovswitchings AT chabanyukyam procedureofstochasticapproximationforthediffusionprocesswithsemimarkovswitchings AT rosav procedureofstochasticapproximationforthediffusionprocesswithsemimarkovswitchings AT čabanûkâm procedureofstochasticapproximationforthediffusionprocesswithsemimarkovswitchings AT rosav procedurastohastičnoíaproksimacíídlâdifuzíjnogoprocesuznapívmarkovsʹkimiperemikannâmi AT chabanyukyam procedurastohastičnoíaproksimacíídlâdifuzíjnogoprocesuznapívmarkovsʹkimiperemikannâmi AT rosav procedurastohastičnoíaproksimacíídlâdifuzíjnogoprocesuznapívmarkovsʹkimiperemikannâmi AT čabanûkâm procedurastohastičnoíaproksimacíídlâdifuzíjnogoprocesuznapívmarkovsʹkimiperemikannâmi |