On one theorem of G. Freud
We obtain a generalization and improvement of the G. Freud theorem on arbitrary Jordan curves in the complex plane.
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1662 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507488151928832 |
|---|---|
| author | Dadashova, I. B. Mamedkhanov, J. I. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. |
| author_facet | Dadashova, I. B. Mamedkhanov, J. I. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. |
| author_sort | Dadashova, I. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:19Z |
| description | We obtain a generalization and improvement of the G. Freud theorem on arbitrary Jordan curves in the complex plane. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.53 + 517.544.73
Дж. И. Мамедханов, И. Б. Дадашова (Бакин. гос. ун-т, Азербайджан)
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ Г. ФРОЙДА
We obtain a generalization and improvement of the G. Freud theorem on arbitrary Jordan curves in the complex plane.
Отримано узагальнення та покращення однiєї теореми Г. Фройда на довiльних жорданових кривих у комплекснiй
площинi.
1. Введение. Пусть \gamma — замкнутая жорданова спрямляемая кривая длины l и диаметра d
\bigl(
d =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t,\tau \in \gamma | t - \tau |
\bigr)
, заданная уравнением t = t(s)(0 \leq s \leq l) в дуговых координатах.
Обозначим \gamma \delta (t) = \{ \tau \in \gamma : | t - \tau | \leq \delta \} , 0 < \delta \leq d, \theta t(\delta ) = \mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s} \gamma \delta (t) (мера Лебега),
\theta (\delta ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}t\in \gamma \theta t(\delta ). Очевидно, что \theta (\delta ) \geq \delta .
Будем говорить, что кривая \gamma принадлежит классу S\theta , если существует такая постоянная
K(\gamma ) \geq 1, что \theta (\delta ) \leq K(\gamma )\delta .
Класс кривых S\theta был введен В. Салаевым [1]; он совпадает с классом Рисса (R) и содержит
практически все известные классы спрямляемых кривых в комплексной плоскости.
В работе Г. Фройда [2] через C[\varphi ] обозначено множество 2\pi -периодических непрерывных
функций, удовлетворяющих условию\bigm| \bigm| f(x+ h) - f(x)
\bigm| \bigm| \leq C(f)\varphi (h), 0 < h \leq \pi , 0 \leq x \leq 2\pi , (1)
где \varphi (h) — такая неубывающая положительная функция, что \varphi (+0) = 0, \varphi (2h) \leq 2\varphi (h) и
существует число B > 1 такое, что
1 < \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\varphi (Bh)
\varphi (h)
\leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
h\rightarrow 0
\varphi (Bh)
\varphi (h)
< B. (2)
В этой же работе через m0(f) обозначено множество точек x, для которых выполняется ра-
венство
f(x+ h) - f(x) = o(\varphi (h)), h \rightarrow 0, (3)
равномерно по x.
Здесь и всюду в дальнейшем через C(f, . . .) обозначены положительные постоянные, зави-
сящие лишь от указанных в скобках параметров.
Г. Фройдом [2] доказано, что множества m0(f) и m0( \widetilde f) совпадают почти всюду, где \widetilde f(x) —
сингулярный интеграл с ядром Гильберта.
В данной работе приведен аналог теоремы Г. Фройда на кривых в комплексной плоскости.
Для этого рассматривается класс кривых \gamma \in S\theta и соответственно сингулярный интеграл Коши
\widetilde f(t) = 1
\pi i
\int
\gamma
f(\xi )
\xi - t
d\xi , t \in \gamma ,
который в случае, когда \gamma — единичная окружность, становится сингулярным интегралом с
ядром Гильберта. Доказывается, что утверждение Г. Фройда остается в силе на кривых из
c\bigcirc ДЖ. И. МАМЕДХАНОВ, И. Б. ДАДАШОВА, 2018
1578 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ Г. ФРОЙДА 1579
класса S\theta и без дополнительного условия равномерности по x в соотношении (3). С этой
целью для функции из класса
H\alpha = H\alpha (\gamma ) =
\bigl\{
f \in C(\gamma ) : | f(t1) - f(t2)| \leq C(f)| t1 - t2| \alpha \forall t1, t2 \in \gamma
\bigr\}
,
где 0 < \alpha \leq 1, вводится в рассмотрение множество m(f, \alpha ), определяемое равенством
m(f, \alpha ) =
\bigl\{
t \in \gamma : | f(t) - f(\tau )| = o(| t - \tau | \alpha ), \tau \rightarrow t
\bigr\}
.
2. Вспомогательные леммы. Обозначим через \Phi класс функций \omega = \omega (\delta ), определенных
на (0, d] и таких, что \omega (\delta ) \cdot \delta - 1 не возрастает.
Лемма 1. Пусть \gamma принадлежит S\theta . Если \omega принадлежит \Phi , 0 \leq 2\varepsilon \leq \eta \leq d, то
\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma \varepsilon (t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t|
| d\xi | \leq C(\gamma )
\eta \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi ,
\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma \varepsilon (t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t| 2
| d\xi | \leq C(\gamma )
\eta \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi 2
d\xi .
Доказательство. Пусть x принадлежит R1 и [x] обозначает целую часть числа x. Поло-
жим N =
\Bigl[
\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}2
\eta
\varepsilon
\Bigr]
. Очевидно, что 2N\varepsilon \leq \eta < 2N+1\varepsilon , и так как 2\varepsilon \leq \eta , то N \geq 1. Имеем
\gamma \eta (t) \setminus \gamma \varepsilon (t) =
N - 1\bigcup
j=1
(\gamma 2j+1\varepsilon (t) \setminus \gamma 2j\varepsilon (t)) \cup (\gamma \eta (t) \setminus \gamma 2N\varepsilon (t)) .
Если \xi \in \gamma 2j+1\varepsilon (t) \setminus \gamma 2j\varepsilon (t), то | \xi - t| > 2j\varepsilon , а так как \omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t| - 1 не возрастает, то
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t| - 1 \leq \omega
\bigl(
2j\varepsilon
\bigr) \bigl(
2j\varepsilon
\bigr) - 1
. Если же \xi \in \gamma \eta (t) \setminus \gamma 2N\varepsilon (t), то | \xi - t| > 2N\varepsilon , и поэтому
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t| - 1 \leq \omega
\bigl(
2N\varepsilon
\bigr) \bigl(
2N\varepsilon
\bigr) - 1
. Отсюда\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma \varepsilon (t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t|
| d\xi | \leq
N - 1\sum
j=1
\int
\gamma
2j+1\varepsilon
(t)\setminus \gamma
2j\varepsilon
(t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t|
| d\xi | +
+
\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma 2N\varepsilon
(t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t|
| d\xi | \leq
N - 1\sum
j=0
\omega (2j\varepsilon )
2j\varepsilon
\int
\gamma
2j+1\varepsilon
(t)\setminus \gamma
2j\varepsilon
(t)
| d\xi | +
+
\omega (2N\varepsilon )
2N\varepsilon
\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma 2N\varepsilon
(t)
| d\xi | =
N - 1\sum
j=0
\omega (2j\varepsilon )
2j\varepsilon
\bigl(
\theta t(2
j+1\varepsilon
\bigr)
- \theta t
\bigl(
2j\varepsilon )
\bigr)
+
+
\omega (2N\varepsilon )
2N\varepsilon
\bigl(
\theta t(\eta ) - \theta t(2
N\varepsilon )
\bigr)
\leq
N - 1\sum
j=0
\omega (2j\varepsilon )
2j\varepsilon
\theta t
\bigl(
2j+1\varepsilon
\bigr)
+
\omega (2N\varepsilon )
2N\varepsilon
\theta t(\eta ).
Учитывая, что \theta t(\delta ) \leq \theta (\delta ) \leq K\delta и \eta < 2N+1\varepsilon , получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1580 ДЖ. И. МАМЕДХАНОВ, И. Б. ДАДАШОВА
\int
\gamma \eta (t)\setminus \gamma \varepsilon (t)
\omega
\bigl(
| \xi - t|
\bigr)
| \xi - t|
| d\xi | \leq 2K
N\sum
j=1
\omega (2j\varepsilon ).
Далее, поскольку \eta \geq 2N\varepsilon , то
2
\eta \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi \geq 2
N\sum
j=1
2j\varepsilon \int
2j - 1\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi \geq
N\sum
j=1
\omega
\bigl(
2j\varepsilon
\bigr)
,
2
\eta \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi \geq 2
2\varepsilon \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi \geq \omega (\varepsilon )
и, следовательно,
N\sum
j=0
\omega (2j\varepsilon ) \leq 4K
\eta \int
\varepsilon
\omega (\xi )
\xi
d\xi .
В силу последней оценки получаем первое неравенство леммы 1. Второе неравенство доказы-
вается аналогично.
Лемма 2. Пусть \gamma принадлежит S\theta . Тогда для любого 0 < \varepsilon < \eta выполняется неравен-
ство \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2\pi .
Доказательство. Рассмотрим интеграл
1
2\pi i
\int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
.
Обозначим через \gamma i, i = 1, 2, . . . , \nu , \nu \in N \cup \{ +\infty \} , дуги кривой \gamma \setminus \gamma \varepsilon (t) с концами,
лежащими на пересечении \gamma с окружностью, и такие, что \gamma i либо является дугой окружности,
либо не имеет общих точек с окружностью, кроме своих концов. Тогда\int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
=
\nu \sum
i=1
\int
\gamma i
d\xi
\xi - t
.
Если \gamma i — дуга окружности, то обозначим \gamma i через \widetilde \gamma i.
Пусть \gamma i не является дугой окружности. Обозначим через ti и \tau i ее концы. Дуги окружнос-
ти с концами ti, \tau i обозначим через \alpha i, \beta i. Рассмотрим замкнутые кривые \gamma i \cup \alpha i, \gamma i \cup
\cup \beta i. Ориентируем их таким образом, чтобы индуцированное на \gamma i направление совпадало
с направлением на \gamma . Обозначим через \widetilde \gamma i ту из кривых \gamma i \cup \alpha i, \gamma i \cup \beta i, внутри которой не
содержится точка t.
Если \widetilde \gamma i = \gamma i \cup \alpha i, то обозначим li = - \alpha i; соответственно, если \widetilde \gamma i = \gamma i \cup \beta i, то li = - \beta i.
Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ Г. ФРОЙДА 1581
0 =
\int
\widetilde \gamma i
d\xi
\xi - t
=
\left( \int
\gamma i
-
\int
li
\right) d\xi
\xi - t
и, следовательно, \int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
=
\nu \sum
j=1
\int
li
d\xi
\xi - t
.
Совокупность дуг \{ li\} окружности с центром в точке t радиуса \varepsilon после взаимного гашения
сводится к двум наборам попарно непересекающихся дуг окружности, в каждом из которых
дуги ориентированы одинаково. Дуги разных наборов ориентированы противоположно. Тогда
1
2\pi i
\int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
равен сумме приращений аргументов положительно ориентированных дуг без суммы прира-
щений аргументов отрицательно ориентированных дуг окружности. Следовательно,\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\gamma \setminus \gamma \varepsilon (t)
d\xi
\xi - t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2\pi .
3. Основной результат.
Теорема. Пусть \gamma принадлежит S\theta . Если \alpha принадлежит (0, 1), то почти всюду
m(f, \alpha ) = m( \widetilde f, \alpha ).
Доказательство. Пусть t принадлежит m(f, \alpha ). Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такое
\delta = \delta (\varepsilon , t), что
| \xi - t| < \delta \Rightarrow | f(\xi ) - f(t)| \leq \varepsilon | \xi - t| \alpha .
Пусть \tau \in \gamma ,
3
2
| \tau - t| < \delta и \eta — произвольное число из
\bigl(
0, | \tau - t|
\bigr)
. Справедливо равенство
\widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t) = \tau - t
\pi i
\left( \int
\gamma \setminus \gamma \delta (t)
+
\int
\gamma \delta (t)\setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
\right) f(\xi ) - f(t)
(\xi - \tau )(\xi - t)
d\xi +
+
f(t) - f(\tau )
\pi i
+
\int
\gamma \setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
d\xi
\xi - t
+
1
\pi i
\left( \int
\gamma 3
2 | \tau - t| (t)\setminus \gamma \eta (\tau )
+
\int
\gamma \tau (\tau )
\right) \times
\times f(\xi ) - f(\tau )
\xi - \tau
d\xi - 1
\pi i
\int
\gamma 3
2 | \tau - t| (t)
f(\xi ) - f(t)
\xi - t
d\xi +
+f(\tau ) - f(t)
df
= A1 + . . .+A7. (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1582 ДЖ. И. МАМЕДХАНОВ, И. Б. ДАДАШОВА
Оценим в отдельности каждое слагаемое правой части последнего равенства.
Если \xi принадлежит \gamma \setminus \gamma \delta (t), то
| \xi - t| \leq | \xi - \tau | + | \tau - t| \leq | \xi - \tau | + 2
3
\delta \leq | \xi - \tau | + 2
3
| \xi - t| ,
откуда | \xi - \tau | \geq 1
3
| \xi - t| . Тогда
| A1| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau - t
\pi i
\int
\gamma \setminus \gamma \delta (t)
f(\xi ) - f(t)
(\xi - \tau )(\xi - t)
d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
3
\pi
C(f)| \tau - t|
\int
\gamma \setminus \gamma \delta (t)
| \xi - \tau | \alpha - 2| d\xi | .
Учитывая, что \gamma принадлежит \gamma \alpha (t), и применяя лемму 1 к последнему интегралу, получаем
| A1| = C(f, \gamma )| \tau - t|
d\int
\delta
\xi \alpha - 2d\xi \leq C(f, \gamma )| \tau - t| \delta - \alpha - 1. (5)
Пусть теперь \gamma принадлежит \gamma \delta (t) \setminus \gamma 3
2
| \tau - t| (t), тогда | \xi - t| \geq 3
2
| \tau - t| . Отсюда имеем
| \xi - t| \leq | \xi - \tau | + | \tau - t| \leq | \xi - \tau | + 2
3
| \xi - t| , и, следовательно, | \xi - \tau | \geq 1
3
| \xi - t| .
Используя это неравенство и то, что | f(\xi ) - f(t)| \leq \varepsilon | \xi - t| при \xi \in \gamma \delta (t), находим
| A2| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau - t
\pi i
\int
\gamma \delta (t)\setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
f(\xi ) - f(t)
(\xi - t)(\xi - \tau )
d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq 3
\pi
\varepsilon | \tau - t|
\int
\gamma \delta (t)\setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
| \xi - \tau | \alpha - 2| d\xi | ,
откуда в силу второго соотношения леммы 1 имеем
| A2| \leq C(\gamma )\varepsilon | \tau - t| \alpha . (6)
Далее, так как в силу леммы 2 \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\pi i
\int
\gamma \setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
d\xi
\xi - t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2,
то
| A3 +A7| \leq | f(\tau ) - f(t)|
\left(
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
\pi i
\int
\gamma \setminus \gamma 3
2 | \tau - t| (t)
d\xi
\xi - t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 1
\right) \leq
\leq 3| f(\tau ) - f(t)| \leq 3\varepsilon | \tau - t| \alpha . (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
ОБ ОДНОЙ ТЕОРЕМЕ Г. ФРОЙДА 1583
Для оценки величины
| A4| =
1
\pi i
\int
\gamma 3
2 | \tau - t| (t)\setminus \gamma \eta (t)
f(\xi ) - f(\tau )
\xi - \tau
d\xi
заметим, что
| f(\xi ) - f(\tau )| \leq | f(\xi ) - f(t)| + | f(t) - f(\tau )| \leq
\leq \varepsilon | \xi - t| \alpha + \varepsilon | \tau - \alpha | \alpha \leq
\biggl( \biggl(
3
2
\biggr) \alpha
+ 1
\biggr)
\varepsilon | \tau - t| \alpha ,
откуда, учитывая, что \gamma 3
2
| \tau - t| (\tau ) \subset \gamma 5
2
| \tau - t| (\tau ), имеем
| A4| = C\varepsilon | \tau - t| \alpha
\int
\gamma 5
2 | \tau - t| (\tau )\setminus \gamma \eta (\tau )
| d\xi |
| \xi - \tau |
.
Далее, используя лемму 1, получаем
| A4| = C\varepsilon | \tau - t| \alpha \mathrm{l}\mathrm{n}
5
2
| \tau - t|
\eta
. (8)
Наконец для величин
| A5| \leq
1
\pi i
\int
\gamma \eta (\tau )
| f(\xi ) - f(\tau )|
| \xi - \tau |
| d\xi |
и
| A6| \leq
1
\pi i
\int
\gamma 3
2 | \tau - t| (t)
| f(\xi ) - f(t)|
| \xi - t|
| dt|
в силу леммы 1 имеем следующие оценки:
| A5| \leq C(f)
1
\pi
\int
\gamma \eta (\tau )
| \xi - t| \alpha - 1| d\xi | \leq C(f, \gamma )\eta \alpha (9)
и
| A6| \leq C\varepsilon
\int
\gamma 3
2 | \tau - t| (t)
| \xi - t| \alpha - 1| d\xi | \leq C(\gamma )\varepsilon | \tau - t| \alpha . (10)
Суммируя оценки (5) – (10), из (4) получаем
| \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)| \leq
\leq C(f, \gamma )
\biggl(
\varepsilon | \tau - t| \alpha \eta \alpha + | \tau - t| \delta \alpha - 1 + \varepsilon | \tau - t| \alpha \mathrm{l}\mathrm{n} 5/2| \tau - t|
\eta
\biggr)
. (11)
Пусть \varepsilon такое, что \varepsilon 1/\alpha < 1. Положим \eta = \varepsilon 1/\alpha | \tau - t| . Тогда оценка (11) примет вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
1584 ДЖ. И. МАМЕДХАНОВ, И. Б. ДАДАШОВА
| \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)| \leq C(f, \gamma )
\biggl(
\varepsilon | \tau - t| \alpha + | \tau - t| \delta \alpha - 1 + \varepsilon | \tau - t| \alpha \mathrm{l}\mathrm{n} 5
2\varepsilon
\biggr)
,
откуда
| \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)|
| \tau - t| \alpha
\leq C(f, \gamma )
\Biggl(
\varepsilon +
\biggl(
| \tau - t|
\delta
\biggr) 1 - \alpha
+ \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n}
5
2\varepsilon
\Biggr)
и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow t
| \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)|
| \tau - t| \alpha
\leq C(f, \gamma )
\biggl(
\varepsilon + \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n}
5
2\varepsilon
\biggr)
\leq C(f, \gamma ) \varepsilon \mathrm{l}\mathrm{n}
5
2\varepsilon
.
Теперь, устремляя \varepsilon к нулю, имеем
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \rightarrow t
| \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)|
| \tau - t| \alpha
= 0,
т. е. | \widetilde f(\tau ) - \widetilde f(t)| = o
\bigl(
| \tau - t| \alpha
\bigr)
.
Таким образом, m(f, \alpha ) \subset m( \widetilde f, \alpha ).
Поскольку в классе Гельдера H\alpha , 0 < \alpha < 1, почти всюду справедливо равенство \widetilde \widetilde f = f,
то одновременно получаем m( \widetilde f, \alpha ) \subset m(
\widetilde \widetilde f, \alpha ) = m(f, \alpha ), откуда m(f, \alpha ) \subset m( \widetilde f, \alpha ) \subset m(f, \alpha )
или m(f, \alpha ) = m( \widetilde f, \alpha ) почти всюду.
Замечание. Нетрудно проверить, что метод доказательства теоремы позволяет получить
более общее утверждение, а именно почти всюду
m0(f) = m0( \widetilde f),
причем без условия равномерности по x в соотношении (3).
Литература
1. Салаев В. В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой // Мат. заметки. –
1976. – 19, № 3. – C. 365 – 380.
2. Freud G. An approximation theoretical study of the structure of real functions // Stud. Sci. Math. Hung. – 1970. –
5. – P. 141 – 150.
Получено 30.04.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 11
|
| id | umjimathkievua-article-1662 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:06Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/01/376755bcbedd200c8fdf5525dcbf7501.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16622019-12-05T09:22:19Z On one theorem of G. Freud Об одной теореме Г. Фройда Dadashova, I. B. Mamedkhanov, J. I. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. We obtain a generalization and improvement of the G. Freud theorem on arbitrary Jordan curves in the complex plane. Отримано узагальнення та покращення однiєї теореми Г. Фройда на довiльних жорданових кривих у комплекснiй площинi. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-11-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1662 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 11 (2018); 1578-1584 Український математичний журнал; Том 70 № 11 (2018); 1578-1584 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1662/644 Copyright (c) 2018 Dadashova I. B.; Mamedkhanov J. I. |
| spellingShingle | Dadashova, I. B. Mamedkhanov, J. I. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. Дадашова, И. Б. Мамедханов, Дж. И. On one theorem of G. Freud |
| title | On one theorem of G. Freud |
| title_alt | Об одной теореме Г. Фройда |
| title_full | On one theorem of G. Freud |
| title_fullStr | On one theorem of G. Freud |
| title_full_unstemmed | On one theorem of G. Freud |
| title_short | On one theorem of G. Freud |
| title_sort | on one theorem of g. freud |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1662 |
| work_keys_str_mv | AT dadashovaib ononetheoremofgfreud AT mamedkhanovji ononetheoremofgfreud AT dadašovaib ononetheoremofgfreud AT mamedhanovdži ononetheoremofgfreud AT dadašovaib ononetheoremofgfreud AT mamedhanovdži ononetheoremofgfreud AT dadashovaib obodnojteoremegfrojda AT mamedkhanovji obodnojteoremegfrojda AT dadašovaib obodnojteoremegfrojda AT mamedhanovdži obodnojteoremegfrojda AT dadašovaib obodnojteoremegfrojda AT mamedhanovdži obodnojteoremegfrojda |