Clark representation for local times of self-intersection of Gaussian integrators
We prove the existence of a multiple local time of self-intersection for a class of Gaussian integrators generated by operators with finite-dimensional kernel, describe its Ito – Wiener expansion and establish the Clark representation.
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1663 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507489834893312 |
|---|---|
| author | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Salhi, N. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. |
| author_facet | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Salhi, N. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. |
| author_sort | Izyumtseva, O. L. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:46Z |
| description | We prove the existence of a multiple local time of self-intersection for a class of Gaussian integrators generated by operators with finite-dimensional kernel, describe its Ito – Wiener expansion and establish the Clark representation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
А. А. Дороговцев, О. Л. Изюмцева (Ин-т математики НАН Украины, Киев),
Н. Салхи (Ун-т Туниса Эль-Манар)
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН
САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ ИНТЕГРАТОРОВ
We prove the existence of a multiple local time of self-intersection for a class of Gaussian integrators generated by operators
with finite-dimensional kernel, describe its Itǒ – Wiener expansion and establish the Clark representation.
Доведено iснування кратного локального часу самоперетину для класу гауссових iнтеграторiв, породжених опера-
торами зi скiнченною розмiрнiстю ядра. Знайдено його розклад Iто – Вiнера та зображення Кларка.
1. Введение. Пусть w(t), t \in [0; 1], — одномерный винеровский процесс. Следующее пред-
ставление Кларка описывает структуру функционалов от w в терминах интеграла Ито.
Теорема 1 [1]. Интегрируемая с квадратом случайная величина \alpha , измеримая относи-
тельно w, может быть представлена следующим образом:
\alpha = M\alpha +
1\int
0
\eta (s)dw(s),
причем это представление единственно.
Здесь процесс \eta согласован с фильтрацией, порожденной w, и удовлетворяет соотношению
M
1\int
0
\eta (s)2ds = D\alpha .
Дальнейшее развитие этого утверждения происходит в двух направлениях. Первое заключается
в том, чтобы найти точную форму процесса \eta для некоторых специальных функционалов \alpha
от w. Примером таких функционалов является локальное время для винеровского процесса в
точке u \in \BbbR [2], которое формально определяется интегралом
1\int
0
\delta u(w(s))ds.
Как было упомянуто в работе [3], представление Кларка для локального времени винеровского
процесса имеет вид
1\int
0
\delta u(w(s))ds =
1\int
0
pr(u)dr+
+
1\int
0
\left( 1\int
r
p\prime s - r(w(r) - u)ds
\right) dw(r).
c\bigcirc А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12 1587
1588 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Здесь pt — плотность нормального распределения со средним нуль и дисперсией t. Если \alpha
имеет стохастическую производную [4], то для процесса \eta имеет место представление Клар-
ка – Оконе [5]. Интересен случай, когда случайная величина \alpha не является стохастически диф-
ференцируемой.
Второе направление заключается в получении представления Кларка для более широкого
класса процессов.
Настоящая статья посвящена двум вышеупомянутым задачам. Вместо винеровского процес-
са рассматриваются гауссовские интеграторы [6]. Свойства гауссовского интегратора позволя-
ют построить по нему интеграл Скорохода [4]. Поэтому вполне актуальным является вопрос о
представлении Кларка с интегралом Скорохода. В статье [3] представление Кларка с интегра-
лом Скорохода было получено для локального времени гауссовского интегратора. В настоящей
статье мы найдем представление Кларка для локального времени самопересечения одномерно-
го гауссовского интегратора.
Опишем кратко построение статьи.
В пункте 2 доказано существование локального времени самопересечения для одномерно-
го гауссовского интегратора, порожденного непрерывным линейным оператором с конечной
размерностью ядра.
В пункте 3 найдено разложение Ито – Винера для локального времени самопересечения
гауссовского интегратора.
Пункт 4 посвящен представлению Кларка для локального времени самопересечения гаус-
совского интегратора.
2. Существование локального времени самопересечения для гауссовских интеграто-
ров. В настоящем пункте мы обсуждаем существование локального времени самопересечения
для одномерных гауссовских интеграторов. Используя представление гауссовского процесса с
помощью белого шума в пространстве L2([0; 1]), каждому гауссовскому интегратору можно
поставить в соответствие линейный непрерывный оператор в пространстве L2([0; 1]). Сле-
довательно, все свойства функционалов от гауссовского интегратора могут быть описаны в
терминах свойств соответствующего линейного непрерывного оператора. Для этого нам пона-
добится понятие белого шума в гильбертовом пространстве H.
Определение 1 [4]. Линейное соответствие \xi : H \rightarrow L2(\Omega ,\scrF , P ) такое, что
H \ni h - \rightarrow (h, \xi ) \sim N(0, \| h\| 2),
называется белым шумом в гильбертовом пространстве H.
В ключе исследования локального времени самопересечения для гауссовских интеграторов
для нас важен следующий пример белого шума. Пусть H = L2([0; 1]) и w(t), t \in [0; 1], —
одномерный винеровский процесс. Для каждой h \in L2([0; 1]) определим
(h, \xi ) =
1\int
0
h(t)dw(t).
Используя свойства стохастического интеграла, нетрудно убедиться, что \xi — белый шум в
пространстве L2([0; 1]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1589
Определение 2 [6]. Центрированный гауссовский процесс x(t), t \in [0; 1], x(0) = 0, для
которого существует константа c > 0 такая, что для произвольного разбиения 0 = t0 <
< t1 < . . . < tn = 1 и действительных чисел a0, . . . , an - 1 выполняется соотношение
M
\Biggl(
n - 1\sum
k=0
ak(x(tk+1) - x(tk))
\Biggr) 2
\leq c
n - 1\sum
k=0
a2k\Delta tk, (1)
называется гауссовским интегратором.
Соотношение (1) позволяет для каждой интегрируемой с квадратом функции на отрезке
[0; 1] определить стохастический интеграл по гауссовскому интегратору. Сумма
\infty \sum
k=0
ak(x(tk+1) - x(tk))
может быть рассмотрена как интеграл
1\int
0
f(t)dx(t)
от ступенчатой функции
f =
n - 1\sum
k=0
ak \bfone [tk;tk+1)
по процессу x. Из (1) следует, что\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
1\int
0
f(t)dx(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2(\Omega ,\scrF ,P )
\leq c\| f\| 2L2([0;1])
.
Поэтому отображение
f \mapsto \rightarrow
1\int
0
f(t)dx(t)
может быть продолжено до линейного непрерывного оператора на всем пространстве L2([0; 1]).
Результат этого продолжения называется интегралом по процессу x.
Следующая лемма описывает структуру интеграторов.
Лемма 1 [6]. Центрированный гауссовский процесс x(t), t \in [0; 1], является интегра-
тором тогда и только тогда, когда существуют белый шум \xi в пространстве L2([0; 1]) и
линейный непрерывный оператор A в L2([0; 1]) такие, что
x(t) = (A\bfone [0;t], \xi ), t \in [0; 1]. (2)
Из (2) следует, что все свойства гауссовского интегратора могут быть описаны в терми-
нах оператора A. Примерами интеграторов являются винеровский процесс, броуновский мост,
фрактальное броуновское движение с параметром Херста \alpha \geq 1
2
[16].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1590 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Основная цель данного пункта — найти условия на оператор A в представлении (2), гаран-
тирующие существование локального времени самопересечения.
Напомним определение локального времени самопересечения для одномерного случайного
процесса x(t), t \in [0; 1]. Для 0 \leq a < b обозначим
\Delta k(a, b) = \{ a \leq t1 \leq . . . \leq tk \leq b\} .
Положим \Delta k(0, 1) =: \Delta k. Рассмотрим семейство приближений
T x
\varepsilon ,k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
p\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t.
Как и ранее,
p\varepsilon (z) =
1\surd
2\pi \varepsilon
e -
z2
2\varepsilon .
Определение 3. Для p \in \BbbN случайная величина
T x
k = Lp - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
T x
\varepsilon ,k
называется локальным временем самопересечения кратности k для процесса x при условии,
что такой предел существует.
Рассмотрим гауссовский интегратор
x(t) = (A\bfone [0;t], \xi ), t \in [0; 1], (3)
где A — линейный непрерывный оператор в пространстве L2([0; 1]), а \xi — белый шум в
этом же пространстве. Пусть \~A — сужение оператора A на (\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A)\bot . Основным утвержде-
нием настоящего пункта является следующая теорема о существовании локального времени
самопересечения для одномерного гауссовского интегратора.
Теорема 2. Предположим, что непрерывный линейный оператор A в пространстве
L2([0; 1]) удовлетворяет следующим условиям:
1) \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A < +\infty ;
2) оператор \~A является непрерывно обратимым.
Тогда для гауссовского интегратора (3), порожденного оператором A, произвольного p \in
\in \BbbN и k \geq 2 существует локальное время самопересечений
T x
k = Lp - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
T x
\varepsilon ,k.
Доказательство. Убедимся, что M (T x
\varepsilon 1,k
- T x
\varepsilon 2,k
)2p \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0. Заметим, что
M (T x
\varepsilon 1,k - T x
\varepsilon 2,k)
2p =
=
2p\sum
l=0
( - 1)2p - lC l
2pM (T x
\varepsilon 1,k)
l(T x
\varepsilon 2,k
)2p - l.
Поэтому для доказательства теоремы достаточно проверить существование конечного предела
M (T x
\varepsilon 1,k
)l(T x
\varepsilon 2,k
)2p - l при \varepsilon \rightarrow 0. Вначале рассмотрим случай \varepsilon 1 = \varepsilon 2. Покажем, что существует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1591
конечный предел M (T x
\varepsilon ,k)
2p при \varepsilon \rightarrow 0. Пусть G(e1, . . . , en) — определитель Грама, постро-
енный по элементам e1, . . . , en, а B(e1, . . . , en) — соответствующая матрица Грама. Заметим,
что B(A1[t11;t12], . . . , A1
[t2pk - 1;t
2p
k ]
) — матрица ковариации гауссовского вектора \vec{}x(\vec{}t). Положим
\Delta 2p
k = \Delta k . . .\Delta k, где произведение содержит 2p множителей. Заметим, что
M (T x
\varepsilon ,k)
2p = M
\left( \int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
p\varepsilon (x(ti+1) - x(ti)d\vec{}t
\right)
2p
=
=
\int
\Delta 2p
k
M
k - 1\prod
i=1
p\varepsilon (x(t
1
i+1) - x(t1i )) . . .
k - 1\prod
i=1
p\varepsilon (x(t
2p
i+1) - x(t2pi ))d\vec{}t. (4)
Обозначим
\vec{}x(\vec{}t) = (x(t12) - x(t11), . . . , x(t
2p
k ) - x(t2pk - 1)),
p2p(k - 1)
\varepsilon (y) =
1
(2\pi \varepsilon )p(k - 1)
e -
\| y\| 2
2\varepsilon , y \in \BbbR 2p(k - 1).
Тогда (4) примет вид \int
\Delta 2p
k
Mp2p(k - 1)
\varepsilon (\vec{}x(\vec{}t))d\vec{}t =
=
\int
\Delta 2p
k
\int
\BbbR 2p(k - 1)
1
(2\pi \varepsilon )p(k - 1)
e -
1
2
( 1
\varepsilon
Iy,y) 1
(2\pi )p(k - 1)
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\times
\times e
- 1
2
(B - 1(A1
[t11;t
1
2]
,...,A1
[t
2p
k - 1
;t
2p
k
]
)y,y)
dyd\vec{}t =
=
\int
\Delta 2p
k
\int
\BbbR 2p(k - 1)
1
(2\pi \varepsilon )p(k - 1)
1
(2\pi )p(k - 1)
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\times
\times e
- 1
2
(( 1
\varepsilon
I+B - 1(A1
[t11;t
1
2]
,...,A1
[t
2p
k - 1
;t
2p
k
]
))y,y)
dyd\vec{}t =
=
\int
\Delta 2p
k
\int
\BbbR 2p(k - 1)
1
(2\pi )p(k - 1)\varepsilon p(k - 1)
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\times
\times 1\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\biggr) \times
\times 1
(2\pi )p(k - 1)
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\biggr) - 1
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1592 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\times e
- 1
2
(( 1
\varepsilon
I+B - 1(A1
[t11;t
1
2]
,...,A1
[t
2p
k - 1
;t
2p
k
]
))y,y)
dyd\vec{}t =
=
\int
\Delta 2p
k
1
(2\pi )p(k - 1)\varepsilon p(k - 1)
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\times
\times 1\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A1[t11;t12], . . . , A1
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\biggr) d\vec{}t.
Можно убедиться, что\int
\Delta 2p
k
1
(2\pi )p(k - 1)\varepsilon p(k - 1)
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\times
\times 1\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
\biggr) d\vec{}t =
\int
\Delta 2p
k
1
(2\pi )p(k - 1)
\times
\times 1\sqrt{}
\varepsilon 2p(k - 1) + \varepsilon 2p(k - 1) - 1
\sum 2p
i=1
\| A\bfone [tik - 1;t
i
k]
\| 2 + . . .+G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
d\vec{}t.
Для простоты вычислений докажем это для случая p = 1, k = 2. Заметим, что
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
\biggr)
=
=
1
G(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
+
1
\varepsilon
2\sum
i=1
\| A\bfone [ti1;ti2]
\| 2
G(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
+
1
\varepsilon 2
.
Следовательно,
1
2\pi \varepsilon
\sqrt{}
G(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\biggl(
1
\varepsilon
I +B - 1(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
\biggr) =
=
1
2\pi
\sqrt{}
\varepsilon 2 + \varepsilon
\sum 2
i=1
\| A\bfone [ti1;ti2]\|
2 +G(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
.
Для того чтобы применить теорему Лебега о мажорируемой сходимости, убедимся, что инте-
грал \int
\Delta 2p
k
1\sqrt{}
G
\bigl(
A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
\bigr) d\vec{}t (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1593
сходится. Обозначим через P проектор на \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A. Тогда (5) примет вид\int
\Delta 2p
k
1\sqrt{}
G( \~A(I - P )\bfone [t11;t12], . . . ,
\~A(I - P )\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
d\vec{}t. (6)
Чтобы убедиться, что интеграл (6) сходится, нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 3 [9]. Пусть оператор A является непрерывно обратимым оператором в гиль-
бертовом пространстве H. Тогда для любых элементов e1, . . . , en пространства H выполня-
ется следующее соотношение:
G(Ae1, . . . , Aen) \geq
1
\| A - 1\| 2n
G(e1, . . . , en).
Из теоремы 3 следует, что (6) меньше или равно
1
\| \~A - 1\| 2p
\int
\Delta 2p
k
1\sqrt{}
G((I - P )\bfone [t11;t12], . . . , (I - P )\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
d\vec{}t. (7)
Чтобы оценить подынтегральное выражение в (7), приведем следующую лемму.
Лемма 2 [11]. Пусть L — конечномерное подпространство пространства L2([0; 1]), PL
— проектор на L, e1, . . . , em — ортонормированный базис в L. Тогда для произвольных
g1, . . . , gk \in L2([0; 1]) выполняется следующее соотношение:
G((I - PL)g1, . . . , (I - PL)gk) = G(g1, . . . , gk, e1, . . . , em).
Утверждение леммы 2 — это обобщение принципа Кавальери.
Пусть q1, . . . , qm — ортонормированный базис в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A. Тогда из леммы 2 следует, что
определитель Грама в (7) допускает представление
G((I - P )\bfone [t11;t12], . . . , (I - P )\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
) = G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
, q1, . . . , qm).
Опишем множество
\{ \vec{}t \in \Delta 2p
k : G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
, q1, . . . , qm) = 0\} .
Заметим, что
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
, q1, . . . , qm) = 0
тогда и только тогда, когда существуют такие \alpha 1, . . . , \alpha k - 1, что \alpha 2
1+. . .+\alpha 2
k - 1 > 0, и \beta 1, . . . , \beta m,
удовлетворяющие соотношению
2p\sum
j=1
k - 1\sum
i=1
\alpha j
i\bfone [tji ;t
j
i+1]
=
m\sum
j=1
\beta jqj . (8)
Следовательно, если G(\bfone [t11;t11], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
, q1, . . . , qm) = 0, то ступенчатые функции при-
надлежат \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A. Пусть L — подпространство, порожденное ступенчатыми функциями в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A,
\{ fk, k = 1, s\} — ортонормированный базис в L. Пусть e1, . . . , en — ортонормированный базис в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1594 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
ортогональном дополнении L в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A. Заметим, что f1, . . . , fs, e1, . . . , en — ортонормированный
базис в \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}A и для \beta 1, . . . , \beta n
n\sum
j=1
\beta jej \bot L.
Покажем, что \int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
, f1, . . . , fs, e1, . . . , en)
< +\infty . (9)
Для доказательства (9) необходимы следующие утверждения.
Лемма 3 [11]. Существует положительная константа c, зависящая от f1, . . . , fs и
e1, . . . , en, такая, что для любых t1, . . . , tk \in \Delta k
G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk], f1, . . . , fs, e1, . . . , en) \geq cG(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk], f1, . . . , fs).
Лемма 4 [11]. Пусть 0 < s1 < . . . < sN < 1 — точки скачков функций f1, . . . , fs. Тогда
существует положительная константа c\vec{}s, зависящая от вектора \vec{}s = (s1, . . . , sN ), такая,
что
G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk], f1, . . . , fs) \geq
\geq c\vec{}s G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk],\bfone [0;s1],\bfone [s1;s2], . . . ,\bfone [sN - 1;sN ],\bfone [sN ;1]). (10)
Из лемм 3 и 4 следует, что для завершения доказательства теоремы 2 необходимо убедиться,
что \int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,\bfone [0;s1],\bfone [s1;s2], . . . ,\bfone [sN - 1;sN ],\bfone [sN ;1])
< +\infty .
Заметим, что \int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,\bfone [0;s1],\bfone [s1;s2], . . . ,\bfone [sN - 1;sN ],\bfone [sN ;1])
=
= \~c\vec{}s
\int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G
\biggl(
\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,
\bfone [0;s1]\surd
s1
,
\bfone [s1;s2]\surd
s2 - s1
, . . . ,
\bfone [sN - 1;sN ]\surd
sN - sN - 1
,
\bfone [sN ;1]\surd
1 - sN
\biggr) =
= \~c\vec{}s
\int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G((I - \~P )\bfone [t11;t12], . . . , (I -
\~P )\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
, (11)
где \~P — проектор на линейную оболочку, порожденную элементами \{ \bfone [0;s1], . . . ,\bfone [sN ;1]\} . Если
интеграл (11) сходится, то ему можно придать следующий вид:\int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G((I - \~P )\bfone [t11;t12], . . . , (I -
\~P )\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1595
= (2\pi )k - 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
M
\left( \int
\Delta k
k\prod
i=1
p\varepsilon (y(ti+1) - y(ti))d\vec{}t
\right)
2p
=
= (2\pi )k - 1 M
\left( \int
\Delta k
k\prod
i=1
\delta 0(y(ti+1) - y(ti))d\vec{}t
\right)
2p
,
где
y(t) = ((I - \~P )\bfone [0;t], \xi )
df
=
df
=
\left\{
w1(t) -
t
s1
w1(s1), t \in [0; s1],
w2(t - s1) -
t - s1
s2 - s1
w2(s2 - s1), t \in [s1; s2],
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
wN+1(t - sN ) - t - sN
1 - sN
wN+1(1 - sN ), t \in [sN ; 1].
(12)
Здесь w1, . . . , wN — независимые винеровские процессы. Используя представление (12) для
(11), нетрудно заметить, что достаточно проверить существование
Lp - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
p\varepsilon (\eta (ti+1) - \eta (ti))d\vec{}t =:
=:
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(\eta (ti+1) - \eta (ti))d\vec{}t,
где \eta (t) = w(t) - tw(1), t \in [0; 1], — броуновский мост. Интеграл (11) в случае броуновского
моста имеет вид \int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G((I - P1[0;1]
)\bfone [t11;t12], . . . , (I - P1[0;1]
)\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
, (13)
где P1[0;1]
— проектор на линейное подпространство, порожденное \bfone [0;1]. Из леммы 2 следует,
что (13) равно \int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,\bfone [0;1])
. (14)
Убедимся, что интеграл (14) сходится. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 5 [10]. Пусть \Delta 0 = \varnothing и \Delta 1, . . . ,\Delta n — подмножества отрезка [0; 1]. Тогда
G(\bfone \Delta 1 , . . . ,\bfone \Delta n) \geq
n\prod
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \Delta k \setminus
k - 1\bigcup
j=1
\Delta j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1596 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Следствием леммы 5 является оценка на определитель Грама
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,\bfone [0;1]) \geq
N\prod
j=1
| \widetilde \Delta j | ,
где \widetilde \Delta j , j = 1, . . . , N, — разбиение отрезка [0; 1] точками t11, t
1
2, . . . , t
2p
k - 1, t
2p
k . Следовательно,\int
\Delta 2p
k
d\vec{}t\sqrt{}
G(\bfone [t11;t12], . . . ,\bfone [t2pk - 1;t
2p
k ]
,\bfone [0;1])
\leq
\leq
\int
\Delta 2pk
1\sqrt{} \prod 2pk
i=0
(ti+1 - ti)
d\vec{}t,
где t0 = 0, t2pk+1 = 1. Интегрируя по t1 и t2pk, получаем оценку\int
\Delta 2pk
1\sqrt{} \prod 2pk
i=0
(ti+1 - ti))
d\vec{}t \leq
\leq c
\int
\Delta 2pk - 2
1\sqrt{} \prod 2pk - 3
i=1
(ti+1 - ti)
d\vec{}t, c > 0.
Чтобы вычислить
\int
\Delta 2pk - 2
1\sqrt{} \prod 2pk - 3
i=1
(ti+1 - ti)
d\vec{}t, нужна следующая лемма.
Лемма 6. Для произвольного целого k \geq 1 и вещественных чисел 0 \leq a < b справедливо
равенство \int
\Delta k(a,b)
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
=
\pi
k - 1
2 (b - a)
k+1
2
\Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) . (15)
Доказательство. Обозначим
Hk(t) =
\int
\Delta k(a,t)
dt1 . . . dtk\sqrt{}
(t - tk)
\prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
,
Ik(t) =
\int
\Delta k(a,t)
dt1 . . . dtk\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
, t > a.
Нетрудно заметить, что
Ik+1(t) =
t\int
a
Hk(u)du (16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1597
и
Hk+1(t) =
t\int
a
Hk(u)\surd
t - u
du =
\surd
t - a
1\int
0
Hk(a+ (t - a)\theta )\surd
1 - \theta
d\theta . (17)
Кроме того,
H2(t) = 2(t - a)B
\biggl(
3
2
,
1
2
\biggr)
.
Из (17) следует, что
Hk(t) = (t - a)
k
2
k+1\prod
r=2
B
\biggl(
r
2
,
1
2
\biggr)
=
(t - a)
k
2 \pi
k
2
\Gamma
\biggl(
k + 2
2
\biggr) .
Используя (16) и интегрируя функцию Hk - 1 от a до b, получаем (15).
Из леммы 6 следует, что\int
\Delta 2pk - 2
1\sqrt{} \prod 2pk - 3
i=1
(ti+1 - ti)
d\vec{}t =
\pi
2pk - 3
2
\Gamma
\biggl(
2p+ 1
2
\biggr) .
Заметим, что в случае \varepsilon 1 \not = \varepsilon 2 для произвольного y \in \BbbR
p\varepsilon 1(y) =
\sqrt{}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
p\varepsilon 2
\biggl( \sqrt{}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
y
\biggr)
.
Тогда
MT x
\varepsilon 1,2T
x
\varepsilon 2,2 =
=
\int
\Delta 2
2
\sqrt{}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
Mp\varepsilon 2
\biggl( \sqrt{}
\varepsilon 2
\varepsilon 1
(x(t12) - x(t11))
\biggr)
p\varepsilon 2(x(t
2
2) - x(t21))d\vec{}t =
=
\int
\Delta 2
2
1
2\pi
\sqrt{}
\varepsilon 1\varepsilon 2 + \varepsilon 1\| A\bfone [t11;t12]\|
2 + \varepsilon 2\| A\bfone [t21;t22]\|
2 +G(A\bfone [t11;t12], A\bfone [t21;t22])
d\vec{}t.
Аналогично, для l = 1, 2p - 1
M(T x
\varepsilon 1,k)
lT x
\varepsilon 2,k)
2p - l =
=
\int
\Delta 2p
k
1
(2\pi )p(k - 1)
\times
\times 1\sqrt{}
\varepsilon
l(k - 1)
1 \varepsilon
(2p - l)(k - 1)
2 + . . .+G(A\bfone [t11;t12], . . . , A\bfone
[t2pk - 1;t
2p
k ]
)
d\vec{}t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1598 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Далее, используя аргументы, аналогичные случаю \varepsilon 1 = \varepsilon 2, можно убедиться в существовании
конечного предела
M(T x
\varepsilon 1,k)
lT x
\varepsilon 2,k)
2p - l
при \varepsilon 1, \varepsilon 2 \rightarrow 0.
Заметим, что винеровский процесс w(t), t \in [0; 1], — это гауссовский интегратор, порож-
денный тождественным оператором. Тогда из теоремы 2 и леммы 6 следует, что
M
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))d\vec{}t =
=
1
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
1\sqrt{}
G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk])
d\vec{}t =
=
1
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
1\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
d\vec{}t =
=
1
2
k - 1
2 \Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) .
Более того, из теоремы 2 следует, что для произвольного p \in \BbbN существует положительная
константа c(k), зависящая от k, такая, что
M(T x
k )
2p \leq c(k)M(T y
k )
2p,
где процесс y определен в (12).
3. Разложение Ито – Винера для локальных времен самопересечения гауссовских ин-
теграторов. Пусть \xi — белый шум в пространстве L2([0; 1]), порожденный винеровским
процессом w(t), t \in [0; 1]. Рассмотрим одномерный гауссовский интегратор x(t) = (A1[0;t], \xi ),
t \in [0; 1], с оператором A, который удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы 2. Тогда для про-
цесса x существует локальное время самопересечения T x
k . Цель настоящего пункта — найти
разложение Ито – Винера случайной величины T x
k . Основным инструментом для нахождения
разложения Ито – Винера является преобразование Фурье – Винера. Начнем с определений раз-
ложения Ито – Винера и преобразования Фурье – Винера. Пусть \alpha — интегрируемая с квадратом
случайная величина, измеримая относительно белого шума \xi .
Теорема 4 (разложение Ито – Винера)[13]. Случайная величина \alpha единственным образом
может быть представлена в виде сходящегося в среднем квадратическом ряда из ортого-
нальных слагаемых
\alpha =
\infty \sum
k=0
\int
\Delta k
ak(t1, . . . , tk)dw(t1) . . . dw(tk),
где
a0 = M\alpha ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1599\int
\Delta k
a2k(t1, . . . , tk)dt1 . . . dtk < +\infty , k \geq 1.
Более того,
M\alpha 2 =
\infty \sum
k=0
\int
\Delta k
a2k(t1, . . . , tk)dt1 . . . dtk.
Иногда для разложения Ито – Винера случайной величины \alpha удобно использовать общее
обозначение [13]
\alpha =
\infty \sum
k=0
Ak(\xi , . . . , \xi ),
где симметричные формы Гильберта – Шмидта Ak на L2([0; 1])
\otimes k имеют вид
Ak(\xi , . . . , \xi ) =
\int
\Delta k
ak(t1, . . . , tk)dw(t1) . . . dw(tk).
Определение 4 [13]. Стохастической производной случайной величины \alpha называется ин-
тегрируемый с квадратом случайный элемент D\alpha в L2([0; 1]) такой, что для каждого h \in
\in L2([0; 1])
(D\alpha , h) =
\infty \sum
k=0
kAk(h, \xi , . . . , \xi ).
Лемма 7 [13]. Случайная величина \alpha имеет стохастическую производную тогда и только
тогда, когда
\infty \sum
k=0
k \cdot k!\| Ak\| 2k < +\infty .
Интеграл Скорохода I может быть определен как сопряженный оператор I = D\ast , дей-
ствующий из пространства интегрируемых с квадратом L2([0; 1])-значных случайных элемен-
тов в пространство интегрируемых с квадратом случайных величин. В терминах разложения
Ито – Винера интеграл Скорохода может быть определен следующим образом. Пусть случайная
величина \alpha в H представлена в виде ряда
(\alpha , h) =
\infty \sum
k=0
Ak(h, \xi , . . . , \xi ), h \in L2([0; 1]).
Можно убедиться, что полилинейная форма Ak принадлежит L2([0; 1])
\otimes k+1, k \geq 0. Обозначим
через \Lambda Ak ее симметризацию.
Определение 5 [13]. Случайная величина
I(\alpha ) =
\infty \sum
k=0
\Lambda Ak(\xi , . . . , \xi )
называется интегралом Скорохода случайной величины \alpha .
Для исследования интегрируемых с квадратом случайных величин, измеримых относитель-
но белого шума \xi , будем использовать преобразование Фурье – Винера.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1600 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Определение 6 [12]. Функционал
\scrT (\alpha )(h) = M\alpha \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
(h, \xi ) - 1
2
\| h\| 2
\biggr\}
называется преобразованием Фурье – Винера случайной величины \alpha .
Можно убедиться, что разложение Ито – Винера для \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
(h, \xi ) - 1
2
\| h\| 2
\biggr\}
имеет вид
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
(h, \xi ) - 1
2
\| h\| 2
\biggr\}
=
\infty \sum
n=0
\int
\Delta n
h(t1) . . . h(tn)dw(t1) . . . dw(tn).
Тогда для случайной величины
\alpha =
\infty \sum
n=0
\int
\Delta n
an(t1, . . . , tn)dw(t1) . . . dw(tn)
разложение Тейлора ее преобразования Фурье – Винера имеет вид
\scrT (\alpha )(h) =
\infty \sum
n=0
\int
\Delta n
an(t1, . . . , tn)h(t1) . . . h(tn)dt1 . . . dtn. (18)
Таким образом, разложение Тейлора (18) преобразования Фурье – Винера случайной вели-
чины \alpha единственным образом определяет ядра \{ an, n \geq 0\} ее разложения Ито – Винера
[7, 8]. В этом пункте будем использовать ранее введенные обозначения для определителя
Грама G(e1, . . . , en), построенного по элементам e1, . . . , en, и матрицы Грама B(e1, . . . , en).
Пусть Pt1...tk — проектор на линейное подпространство, порожденное элементами A\bfone [t1;t2], . . .
. . . , A\bfone [tk - 1;tk]. Можно проверить, что [7, 8] для каждого h \in L2([0; 1]) выполняется соотноше-
ние
\scrT (T x
k )(h) =
\int
\Delta k
e -
1
2
\| Pt1...tk
h\| 2
(2\pi )
k - 1
2
\sqrt{}
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
d\vec{}t =
=
\infty \sum
n=0
( - 1)n
2nn!(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
\| Pt1...tkh\| 2n\sqrt{}
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
d\vec{}t. (19)
В [8] было доказано, что для h \in L2([0; 1])
Pt1...tkh =
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
k - 1\sum
i,j=1
( - 1)i+jMij(A\bfone [ti;ti+1], h)\bfone [tj ;tj+1],
где Mij — минор матрицы
B(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk]),
соответствующий i-й строке и j -му столбцу. Тогда
\| Pt1...tkh\|
2n =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1601
=
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
2n
\times
\times
k - 1\sum
i11,j
1
1 ,i
1
2,j
1
2 ,...,i
n
1 ,j
n
1 ,i
n
2 ,j
n
2 =1
n\prod
l=1
( - 1)i
l
1+jl1+il2+jl2Mil1j
l
1
Mil2j
l
2
(\bfone [t
jl1
;t
jl1+1
],\bfone [t
jl2
;t
jl2+1
])\times
\times (A\bfone [t
il1
;t
il1+1
], h)(A\bfone [t
il2
;t
il2+1
], h) =
=
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
2n
\times
\times
k - 1\sum
i11,j
1
1 ,i
1
2,j
1
2 ,...,i
n
1 ,j
n
1 ,i
n
2 ,j
n
2 =1
n\prod
l=1
( - 1)i
l
1+jl1+il2+jl2Mil1j
l
1
Mil2j
l
2
(\bfone [t
jl1
;t
jl1+1
],\bfone [t
jl2
;t
jl2+1
])\times
\times
1\int
0
1\int
0
A\bfone [t
il1
;t
il1+1
](s
l
1)A\bfone [t
il2
;t
il2+1
](s
l
2)h
\otimes 2(\vec{}sl)d\vec{}sl. (20)
Здесь мы использовали обозначение h\otimes n(\vec{}s) для h(s1) . . . h(sn). Из (20) следует, что (19) равно
\infty \sum
n=0
\int
\Delta 2n
( - 1)n
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
2n+ 1
2
\times
\times
k - 1\sum
i11,j
1
1 ,i
1
2,j
1
2 ,...,i
n
1 ,j
n
1 ,i
n
2 ,j
n
2 =1
n\prod
l=1
( - 1)i
l
1+jl1+il2+jl2Mil1j
l
1
Mil2j
l
2
(\bfone [t
jl1
;t
jl1+1
],\bfone [t
jl2
;t
jl2+1
])\times
\times A\bfone [t
il1
;t
il1+1
](s
l
1)A\bfone [t
il2
;t
il2+1
](s
l
2)d\vec{}t h
\otimes 2n(\vec{}sl)d\vec{}sl. (21)
Из (21) следует, что ядра разложения Ито – Винера для \scrT (T x
k )(h) имеют вид
a2n =
( - 1)n
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
2n+ 1
2
\times
\times
k - 1\sum
i11,j
1
1 ,i
1
2,j
1
2 ,...,i
n
1 ,j
n
1 ,i
n
2 ,j
n
2 =1
n\prod
l=1
( - 1)i
l
1+jl1+il2+jl2Mil1j
l
1
Mil2j
l
2
(\bfone [t
jl1
;t
jl1+1
],\bfone [t
jl2
;t
jl2+1
])\times
\times A\bfone [t
il1
;t
il1+1
](s
l
1)A\bfone [t
il2
;t
il2+1
](s
l
2)d\vec{}t.
Рассмотрим некоторые примеры. Пусть A — оператор умножения на измеримую функцию \phi .
Предположим, что существуют константы m, M > 0 такие, что для каждого r \in [0; 1]
m \leq | \phi (r)| \leq M.
Это условие гарантирует непрерывную обратимость оператора A. Из теоремы 2 следует, что
для гауссовского интегратора, порожденного оператором A, существует k-кратное локальное
время самопересечения T x
k . Найдем разложение Ито – Винера случайной величины T x
k .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1602 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Лемма 8. Разложение Ито – Винера для k-кратного локального времени самопересечения
гауссовского интегратора x, соответствующего оператору умножения на функцию \phi , имеет
вид
T x
k = MT x
k +
\infty \sum
n=1
( - 1)n
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta 2n
\phi
\bigotimes
2n(\vec{}s) b2n(\vec{}s)dw(s1) . . . dw(s2n), (22)
где MT x
k и b2n определяются следующим образом:
MT x
k =
1
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
\int ti+1
ti
\phi 2(r)dr
(23)
и
b2n(\vec{}s) =
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
\int ti+1
ti
\phi 2(r)dr
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
1\prod n
j=1
\int tij+1
tij
\phi 2(r)dr
\bfone [ti1 ;ti1+1]2...[tin ;tin+1]2(\vec{}s).
(24)
Доказательство. Для доказательства леммы нам понадобится связь преобразования Фу-
рье – Винера с разложением Ито – Винера. Как было упомянуто ранее, достаточно найти разло-
жение Тейлора преобразования Фурье – Винера локального времени самопересечения. Можно
убедиться, что
\| Pt1...tkh\|
2 =
k - 1\sum
i=1
\biggl( \int ti+1
ti
\phi (r)h(r)dr
\biggr) 2
\int ti+1
ti
\phi 2(r)dr
и
G
\bigl(
A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk]
\bigr)
=
k - 1\prod
i=1
ti+1\int
ti
\phi 2(r)dr.
Тогда (19) принимает вид
( - 1)n
2nn!(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
\int ti+1
ti
\phi 2(r)dr
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
n\prod
j=1
\Biggl( \int tij+1
tij
\phi (r)h(r)dr
\Biggr) 2
\int tij+1
tij
\phi 2(r)dr
=
=
( - 1)n
2nn!(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
1\sqrt{} \prod k - 1
i=1
\int ti+1
ti
\phi 2(r)dr
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1603
\times
\left(
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
\int
[0;1]2n
h
\bigotimes
2n(\vec{}s)\phi
\bigotimes
2n(\vec{}s)
1\prod n
j=1
\int tij+1
tij
\phi 2(r)dr
\bfone [ti1 ;ti1+1]2...[tin ;tin+1]2(\vec{}s)d\vec{}s
\right) d\vec{}t.
Рассмотрим случай броуновского движения, положив \phi равной тождественной единице в
предыдущем примере. С учетом (22) – (24) можно убедиться, что
Tw
k = MTw
k +
\infty \sum
n=1
( - 1)n
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta 2n
b2n(\vec{}s)dw(s1) . . . dw(s2n),
где ядра b2n определяются так:
b2n(\vec{}s) =
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
1\prod n
j=1
(tij+1 - tij )
\bfone [ti1 ;ti1+1]2...[tin ;tin+1]2(\vec{}s) ,
MTw
k =
1
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
. (25)
Квадрат нормы локального времени самопересечения винеровского процесса имеет вид
M(Tw
k )2 =
\Bigl(
MTw
k
\Bigr) 2
+
\infty \sum
n=1
(2n!)2
(n!)222n(2\pi )k - 1
\int
\Delta 2n
b22n(\vec{}s)d\vec{}s. (26)
Применяя лемму 6, можно заключить следующее.
Утверждение 1. Квадрат нормы локального времени самопересечения винеровского про-
цесса имеет вид
M(Tw
k )2 =
1
2k - 1\Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) 2+
+
\infty \sum
n=1
(2n)!
n!222n(2\pi )k - 1
\int
\Delta 2
k
d\vec{}t d\vec{}t\prime \sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)(t
\prime
i+1 - t\prime i)
\left[ \sum
1\leq i,j\leq k - 1
\lambda
\bigl(
[ti; ti+1] \cap [t\prime j ; t
\prime
j+1]
\bigr) 2
(ti+1 - ti) (t\prime j+1 - t\prime j)
\right] n
.
(27)
Здесь \lambda — мера Лебега.
Доказательство. Заметим, что\int
\Delta 2n
b22n(\vec{}s)d\vec{}s =
1
2n !
\int
\Delta 2
k
d\vec{}t d\vec{}t\prime \sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)(t
\prime
i+1 - t\prime i)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1604 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\times
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
1\leq j1,...,jn\leq k - 1
\int
[0;1]2n
1
(ti1+1 - ti1) . . . (t
\prime
jn+1 - t\prime jn)
\times
\times \bfone [ti1 ;ti1+1]2(s1, s2)\bfone [t\prime j1 ;t
\prime
j1+1]
2(s1, s2) . . .\bfone [tin ;tin+1]2(s2n - 1, s2n)\bfone [t\prime jn ;t
\prime
jn+1]
2(s2n - 1, s2n)d\vec{}s =
=
1
2n !
\int
\Delta k\times \Delta k
d\vec{}t d\vec{}t\prime \sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)(t
\prime
i+1 - t\prime i)
\times
\times
\sum
1\leq i1,...,in\leq k - 1
1\leq j1,...,jn\leq k - 1
n\prod
r=1
\lambda
\bigl(
[tir ; tir+1] \cap [t\prime ir ; t
\prime
ir+1]
\bigr) 2
(tir+1 - tir) (t
\prime
jr+1 - t\prime jr)
=
=
1
2n !
\int
\Delta k\times \Delta k
d\vec{}t d\vec{}t\prime \sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)(t
\prime
i+1 - t\prime i)
\left[ \sum
1\leq i,j\leq k - 1
\lambda
\bigl(
[ti; ti+1] \cap [t\prime j ; t
\prime
j+1]
\bigr) 2
(ti+1 - ti) (t\prime j+1 - t\prime j)
\right] n
,
что завершает доказательство утверждения.
Оценим скорость сходимости ряда (26) в случае двукратного локального времени самопе-
ресечения. Для этого нам понадобится утверждение, доказанное в [14].
Лемма 9 [14]. Существует константа c > 0 такая, что для все натуральных n \geq 2\int
\Delta 2
2
1\sqrt{}
(t2 - t1)(t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggl[
\lambda
\bigl(
[t1; t2] \cap [t\prime 1; t
\prime
2]
\bigr) 2
(t2 - t1) (t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggr] n
d\vec{}t d\vec{}t\prime \leq c
n2
. (28)
Из формулы Стирлинга следует, что
(2n)!
(n!2n)2
\leq 1\surd
n
. (29)
Лемма 9 влечет равенство
(2n)!
n!222n2\pi
\int
\Delta 2
2
1\sqrt{}
(t2 - t1)(t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggl[
\lambda
\bigl(
[t1; t2] \cap [t\prime 1; t
\prime
2]
\bigr) 2
(t2 - t1) (t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggr] n
d\vec{}t d\vec{}t\prime \leq c
n
5
2
, c > 0. (30)
Из (30) следует, что ряд
\sum
n\geq 1
n
(2n)!
n!222n2\pi
\int
\Delta 2
2
1\sqrt{}
(t2 - t1)(t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggl[
\lambda
\bigl(
[t1; t2] \cap [t\prime 1; t
\prime
2]
\bigr) 2
(t2 - t1) (t\prime 2 - t\prime 1)
\Biggr] n
d\vec{}t d\vec{}t\prime
сходится. Это означает, что локальное время самопересечения Tw
2 стохастически дифференци-
руемо [15].
4. Представление Кларка для локальных времен самопересечения гауссовских ин-
теграторов. Рассмотрим одномерный гауссовский интегратор x(t) = (A1[0;t], \xi ), t \in [0; 1].
Пусть оператор A удовлетворяет условиям теоремы 2. Цель настоящего пункта — получить
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1605
представление Кларка для
T x
k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t.
Для этого рассмотрим
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
как обобщенный функционал белого шума \xi . Начнем с определения обобщенного гауссовского
функционала [8, 18, 19]. Как и ранее, считаем, что \xi — белый шум в пространстве L2([0; 1]).
Пусть \sigma -алгебра случайных событий \scrF порождена белым шумом \xi . Для F \in L2(\Omega ,\scrF , P )
обозначим через F =
\sum \infty
n=0
In(fn) ее разложение Ито – Винера. Определим пространство
Соболева порядка \alpha \in \BbbR гауссовских функционалов. Рассмотрим пространство
\scrP =
\Biggl\{
F \in L2(\Omega ,\scrF , P ) : F =
N\sum
n=0
In(fn), N \geq 1
\Biggr\}
случайных величин с конечным разложением Ито – Винера и нормой
\| F\| 22,\alpha =
N\sum
n=0
(1 + n)\alpha \| In(fn)\| 2. (31)
Определение 7 [17]. Пополнение \scrP по норме \| \cdot \| 2,\alpha называется пространством Соболева
D2,\alpha порядка \alpha .
Из определения следует, что D2,\alpha 1 \supset D2,\alpha 2 для \alpha 1 < \alpha 2. Положим
D\infty :=
\bigcap
\alpha >0
D2,\alpha ,
D - \infty :=
\bigcup
\alpha >0
D2, - \alpha .
Обозначим через D\infty (\BbbR d) пространство случайных векторов с координатами из D\infty . Посколь-
ку D2,0 = L2(\Omega ,\scrF , P ), то для \alpha \geq 0 элементы пространства D2,\alpha — „классические” гауссов-
ские функционалы. В случае \alpha < 0 элементы D2,\alpha , вообще говоря, не могут рассматриваться
как случайные величины.
Определение 8 [17]. Элементы пространства D2, - \alpha , \alpha > 0, называются обобщенными
функционалами белого шума (обобщенными гауссовскими функционалами) [17].
Примеры обобщенных гауссовских функционалов могут быть получены как результат дей-
ствия распределений Шварца на элементы D2,\alpha , \alpha > 0. Пусть \scrS (\BbbR d) — пространство Шварца
быстро убывающих C\infty -функций на \BbbR d. Для k \in \BbbZ положим
\| \varphi \| 2k = \| (1 + | x| 2 - \Delta )k\varphi \| \infty , (32)
\varphi \in \scrS (\BbbR d), \| f\| \infty = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR d | f(x)| , где \Delta =
\sum d
i=1
\biggl(
\partial
\partial xi
\biggr) 2
. Предположим, что \scrG 2k — попол-
нение пространства \scrS (\BbbR d) по норме (32). Известно, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1606 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\scrS (\BbbR d) \subset . . . \subset \scrG 2 \subset \scrG 0 = \widehat C(\BbbR d) \subset \scrG - 2 \subset . . . \subset \scrS \prime (\BbbR d),
где \widehat C(\BbbR d) — банахово пространство всех непрерывных на \BbbR d функций, убывающих к нулю
на бесконечности, снабженное супремум-нормой, а \scrS \prime (\BbbR d) — пространство Шварца распреде-
лений на \BbbR d [17]. Для F \in D\infty (\BbbR d) обозначим через \sigma := ((DFi, DFj))
d
ij=i матрицу Грама,
построенную по элементам DF1, . . . , DFd. Здесь D — стохастическая производная [15]. Пред-
положим, что: 1) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\sigma > 0, 2) [\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\sigma ] - 1 \in
\bigcap
1<p<\infty Lp(\Omega ,\scrF , P ). Тогда справедлива следующая
теорема.
Теорема 5 [17]. Для каждого p \in (1,+\infty ) и k = 0, 1, 2, . . . существует положительная
константа c = cp,k такая, что для всех \varphi \in \scrS (\BbbR d) выполняется соотношение
\| \varphi (F )\| p, - 2k \leq c\| \varphi \| - 2k.
Заметим, что для k0 \geq 1 и \varphi \in \scrG - 2k0 существует \{ \varphi \varepsilon \} \varepsilon >0 \in \scrS (\BbbR d) такая, что \varphi \varepsilon
\scrG - 2k0 - \rightarrow \varphi при
\varepsilon \rightarrow 0. Из теоремы 5 следует, что
\| \varphi \varepsilon 1(F ) - \varphi \varepsilon 2(F )\| p, - 2k0 \leq cp,k\| \varphi \varepsilon 1 - \varphi \varepsilon 2\| - 2k0 \rightarrow 0
при \varepsilon 1, \varepsilon 2 \rightarrow 0. Следовательно, \{ \varphi \varepsilon (F )\} \varepsilon >0 является фундаментальной в D2, - 2k0 , т. е. суще-
ствует предел \varphi \varepsilon (F ) при \varepsilon \rightarrow 0 в D2, - 2k0 .
Определение 9. Значение обобщенной функции \varphi на F определяется следующим образом:
\varphi (F ) := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\varphi \varepsilon (F ).
При условии теоремы 5 обобщенный функционал \varphi (F ) имеет формальное разложение
Ито – Винера. Элементы этого разложения получаются как пределы соответствующих слагае-
мых в разложении Ито – Винера для \varphi \varepsilon (F ). В частности, естественно определить математиче-
ское ожидание M\varphi (F ) как предел M\varphi \varepsilon (F ). Следовательно,
M\delta 0(w(t) - w(s)) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
Mf\varepsilon (w(t) - w(s)) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\BbbR
f\varepsilon (y)
1\surd
2\pi
1\surd
t - s
e
- y2
2(t - s)dy =
1\surd
2\pi
1\surd
t - s
.
Найдем разложение Ито – Винера для
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti)).
Пусть G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk]) \not = 0, тогда из теоремы 5 следует, что
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
— обобщенный функционал от \xi . Его преобразование Фурье – Винера получается так:
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1607
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
E
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t \scrE (h) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
E
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon ((A\bfone [ti;ti+1], \xi ) + (A\bfone [ti;ti+1], h))d\vec{}t, (33)
где
\scrE (h) = e(h,\xi ) -
1
2
\| h\| 2 .
Можно убедиться [8], что (33) равно
e -
1
2
\| Pt1...tk
h\| 2
(2\pi )
k - 1
2
\sqrt{}
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
,
где Pt1...tk — проектор на линейное подпространство, порожденное A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk]. Для
винеровского процесса A = I. Следовательно,
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))
\Biggr)
(h) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (w(ti+1) - w(ti))
\Biggr)
(h) =
=
e -
1
2
\| Pt1...tk
h\| 2
(2\pi )
k - 1
2
\sqrt{}
G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk])
,
где Pt1...tk — проектор на линейное подпространство, порожденное \bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk]. По-
скольку индикаторы непересекающихся множеств являются ортогональными, то
e -
1
2
\| Pt1...tk
h\| 2
(2\pi )
k - 1
2
\sqrt{}
G(\bfone [t1;t2], . . . ,\bfone [tk - 1;tk])
=
=
e -
1
2
\sum k - 1
i=1 \| Ptiti+1h\|
2
(2\pi )
k - 1
2
\prod k - 1
i=1
\sqrt{}
ti+1 - ti
=
=
k - 1\prod
i=1
e -
1
2
\| Ptiti+1h\|
2\sqrt{}
(2\pi )
\surd
ti+1 - ti
=
=
k - 1\prod
i=1
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Bigl(
f\varepsilon (w(ti+1) - w(ti))
\Bigr)
(h) =
=
k - 1\prod
i=1
\scrT
\Bigl(
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))
\Bigr)
(h).
Заметим, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1608 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\scrT
\left( \int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t
\right) (h) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\left( \int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t
\right) (h) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\int
\Delta k
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h)d\vec{}t.
Поскольку
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) =
= M
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti) + (A\ast h,\bfone [ti;ti+1])) \leq
\leq M
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti)) \leq
\leq M
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti)) =
=
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
и \int
\Delta k
1
G(A\bfone [t1;t2], . . . , A\bfone [tk - 1;tk])
d\vec{}t < +\infty ,
то из теоремы Лебега о мажорируемой сходимости следует, что
\scrT
\left( \int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t
\right) (h) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\left( \int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))d\vec{}t
\right) (h) =
=
\int
\Delta k
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
f\varepsilon (x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h)d\vec{}t =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1609
=
\int
\Delta k
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h)d\vec{}t.
Следующее утверждение описывает представлении Кларка для обобщенных функционалов.
Пусть 0 < s < t < 1.
Лемма 10. Представление Кларка для \delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr)
имеет вид
\delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr)
=
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
+
t\int
s
p\prime t - u
\bigl(
w(u) - w(s)
\bigr)
dw(u). (34)
Равенство в лемме означает, что преобразования Фурье – Винера левой и правой частей
совпадают.
Доказательство. Пусть
\delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr)
=
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
+
t\int
s
\eta (u)dw(u).
Преобразование Фурье – Винера \delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr)
имеет вид [8]
\scrT
\Bigl(
\delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr) \Bigr)
(h) =
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ -
\biggl( \int t
s
h(r)dr
\biggr) 2
2(t - s)
\right\} =
= pt - s
\left( t\int
s
h(r)dr
\right) , h \in L2([0; 1]).
Из формулы Ньютона – Лейбница
pt(u) - pt(0) =
u\int
0
p\prime t(v)dv
следует, что
\scrT
\Bigl(
\delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr) \Bigr)
(h) =
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
+
t\int
s
p\prime t - s
\left( \tau \int
s
h(r)dr
\right) h(\tau )d\tau . (35)
Можно убедиться, что
\scrT
\Bigl(
\delta 0
\bigl(
w(t) - w(s)
\bigr) \Bigr)
(h) =
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
+ \scrT
\left\{
t\int
s
\eta (u)dw(u)
\right\} (h) =
=
1\sqrt{}
2\pi (t - s)
+
t\int
s
\scrT \{ \eta (u)\} (h)h(u)du. (36)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1610 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
Из (35) и (36) следует, что
\scrT \{ \eta (u)\} (h) = p\prime t - s
\left( u\int
s
h(r)dr
\right) .
Покажем, что
\scrT
\bigl\{
p\prime t - u
\bigl(
w(u) - w(s)
\bigr) \bigr\}
(h) = p\prime t - s
\left( u\int
s
h(r)dr
\right) .
Действительно,
\scrT
\bigl(
p\prime t - u
\bigl(
w(u) - w(s)
\bigr) \bigr)
(h) = Mp\prime t - u
\left( w(u) - w(s) +
u\int
s
h(r)dr
\right) =
= p\prime t - u \ast pu - s
\left( u\int
s
h(r)dr
\right) = p\prime t - s
\left( u\int
s
h(r)dr
\right) ,
что завершает доказательство леммы.
Следствием леммы 10 является следующее утверждение.
Теорема 6. Локальное время самопересечения для винеровского процесса имеет представ-
ление
Tw
k =
1
2
k - 1
2 \Gamma
\Bigl(
k+3
2
\Bigr) +
1\int
0
\beta (\tau )dw(\tau ) ,
где
\beta (\tau ) =
k - 1\sum
r=1
\sum
1\leq i1<...<ir\leq k - 1
\int
\Delta k
1\prod
j \not =i1,...,ir
\sqrt{}
2\pi (tj+1 - tj)
1\int
0
. . .
1\int
0
p\prime tir+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(tir)
\bigr)
\times
\times \bfone [tir ;tir+1](\tau )
r - 1\prod
l=1
\Bigl(
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
\bfone [til ;til+1](\tau l)
\Bigr)
dw(\tau 1), dw(\tau r - 1)d\vec{}t,
r - 1\prod
l=1
\Bigl(
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
\bfone [til ;til+1](\tau l)
\Bigr)
= 1
для r = 1.
Доказательство. Из леммы 10 следует, что
Tw
k =
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\delta 0(w(ti+1) - w(ti))d\vec{}t =
=
\int
\Delta k
k - 1\prod
i=1
\left( 1\sqrt{}
2\pi (ti+1 - ti)
+
ti+1\int
ti
p\prime ti+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(ti)
\bigr)
dw(\tau )
\right) d\vec{}t =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1611
=
1
(2\pi )
k - 1
2
\int
\Delta k
d\vec{}t\sqrt{} \prod k - 1
i=1
(ti+1 - ti)
+
+
k - 1\sum
r=1
\sum
1\leq i1<...<ir\leq k - 1
\int
\Delta k
1\prod
j \not =i1,...,ir
\sqrt{}
2\pi (tj+1 - tj)
r\prod
l=1
til+1\int
til
p\prime ti+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(ti)
\bigr)
dw(\tau )d\vec{}t =
=
1
2
k - 1
2 \Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) +
+
k - 1\sum
r=1
\sum
1\leq i1<...<ir\leq k - 1
\int
\Delta k
1\prod
j \not =i1,...,ir
\sqrt{}
2\pi (tj+1 - tj)
r\prod
l=1
til+1\int
til
p\prime ti+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(ti)
\bigr)
dw(\tau )d\vec{}t.
Поскольку приращения винеровского процесса независимы, то
r\prod
l=1
til+1\int
til
p\prime ti+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(ti)
\bigr)
dw(\tau ) =
=
tir+1\int
tir
. . .
ti1+1\int
ti1
r\prod
l=1
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
dw(\tau 1) . . . dw(\tau r) =
=
1\int
0
. . .
1\int
0
r\prod
l=1
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
\bfone [til ;til+1](\tau l)dw(\tau 1) . . . dw(\tau r).
Следовательно,
Tw
k =
1
2
k - 1
2 \Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) +
k - 1\sum
r=1
\sum
1\leq i1<...<ir\leq k - 1
\int
\Delta k
1\prod
j \not =i1,...,ir
\sqrt{}
2\pi (tj+1 - tj)
\times
\times
1\int
0
. . .
1\int
0
r\prod
l=1
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
\bfone [til ;til+1](ul)dw(\tau 1) . . . dw(\tau r)d\vec{}t =
=
1
2
k - 1
2 \Gamma
\biggl(
k + 3
2
\biggr) +
1\int
0
k - 1\sum
r=1
\sum
1\leq i1<...<ir\leq k - 1
\int
\Delta k
1\prod
j \not =i1,...,ir
\sqrt{}
2\pi (tj+1 - tj)
\times
\times
1\int
0
. . .
1\int
0
p\prime tir+1 - \tau
\bigl(
w(\tau ) - w(tir)
\bigr)
\bfone [tir ;tir+1](\tau )
r - 1\prod
l=1
p\prime til+1 - \tau l
\bigl(
w(\tau l) - w(til)
\bigr)
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1612 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\times \bfone [til ;til+1](\tau l)dw(\tau 1) . . . dw(\tau r - 1)d\vec{}t dw(\tau ).
Найдем представление Кларка для локального времени самопересечения гауссовского инте-
гратора. Для \vec{}t = (t1, . . . , tk) \in \Delta k, t \in [0; 1], обозначим через p\vec{}t, p\vec{}t,t плотности распределения
векторов
X =
\bigl(
x(t2) - x(t1), . . . , x(tk) - x(tk - 1)
\bigr)
и
X(\vec{}t, t) =
\bigl(
x(t1 + t(t2 - t1)) - x(t1), . . . , x(tk - 1 + t(tk - tk - 1)) - x(tk - 1)
\bigr)
.
Положим
B\vec{}t,t = B
\Bigl(
A\bfone [t1;t1+t(t2 - t1)], . . . , A\bfone [tk - 1;tk - 1+t(tk - tk - 1)]
\Bigr)
,
R\vec{}t,t = B\vec{}t,1 - B\vec{}t,t,
где, как и ранее, B(e1, . . . , en) — матрица Грама, построенная по элементам e1, . . . , en. Обо-
значим \Delta 0
k = \{ 0 < t1 < . . . < tk < 1\} .
Теорема 7. Пусть для 0 < t < 1, \vec{}t \in \Delta 0
k матрица R\vec{}t,t является положительно опреде-
ленной. Обозначим через pR\vec{}t,t
плотность распределения \scrN
\bigl(
0, R\vec{}t,t
\bigr)
. Тогда
T x
k = M T x
k +
1\int
0
\beta (\tau )dx(\tau ),
где
\beta (\tau ) =
\int
\Delta k
k - 1\sum
j=1
\bfone [tj ;tj+1](\tau )\partial jpR\vec{}t,\tau
\bigl(
X(\vec{}t, \tau )
\bigr)
d\vec{}t,
а \partial j — j -я частная производная.
Доказательство. Заметим, что
\scrT
\bigl(
T x
k
\bigr)
(h) =
\int
\Delta k
\scrT
\Biggl(
k - 1\prod
i=1
\delta 0(x(ti+1) - x(ti))
\Biggr)
(h) d\vec{}t =
=
\int
\Delta k
M
\Bigl\{
\delta k - 1
0
\Bigl(
X + V
\Bigr) \Bigr\}
d\vec{}t,
где \delta k - 1
0 (y) = \delta 0(y1) . . . \delta 0(yk - 1), y \in \BbbR k - 1,
V =
\left( t2\int
t1
A\ast h(r)dr, . . . ,
tk\int
tk - 1
A\ast h(r)dr
\right) .
Следовательно,
\scrT
\bigl(
T x
k
\bigr)
(h) =
\int
\Delta k
p\vec{}t(V ) d\vec{}t.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КЛАРКА ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ ВРЕМЕН САМОПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГАУССОВСКИХ . . . 1613
Выполняя замену переменных r = tj + \theta (tj+1 - tj), j = 1, . . . , k - 1, для V можно получить
представление
V =
\left( \bigl( t2 - t1
\bigr) 1\int
0
(A\ast h)
\bigl(
t1 + \theta
\bigl(
t2 - t1
\bigr) \bigr)
d\theta , . . . ,
\bigl(
tk - tk - 1
\bigr) 1\int
0
(A\ast h)
\bigl(
tk - 1 + \theta
\bigl(
tk - tk - 1
\bigr) \bigr)
d\theta
\right) .
Положим
V (t) =
=
\left( \bigl( t2 - t1
\bigr) t\int
0
(A\ast h)
\bigl(
t1 + \theta
\bigl(
t2 - t1
\bigr) \bigr)
d\theta , . . . ,
\bigl(
tk - tk - 1
\bigr) t\int
0
(A\ast h)
\bigl(
tk - 1 + \theta
\bigl(
tk - tk - 1
\bigr) \bigr)
d\theta
\right) .
Из формулы Ньютона – Лейбница следует, что
p\vec{}t(V ) = p\vec{}t(V (0)) +
1\int
0
k - 1\sum
j=1
\partial jp\vec{}t(V (t))
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr)
(A\ast h)
\Bigl(
tj + t
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr) \Bigr)
dt =
= p\vec{}t(0) +
1\int
0
k - 1\sum
j=1
\partial jp\vec{}t(V (t))
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr)
(A\ast h)
\Bigl(
tj + t
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr) \Bigr)
dt.
Следовательно,
\scrT
\bigl(
T x
k
\bigr)
(h) = M T x
k +
+
\int
\Delta k
1\int
0
k - 1\sum
j=1
\partial jp\vec{}t(V (t))
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr)
(A\ast h)
\Bigl(
tj + t
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr) \Bigr)
dt d\vec{}t. (37)
Заметим, что
\partial jp\vec{}t(V (t)) = \partial j
\bigl(
pR\vec{}t,t
\ast p\vec{}t,t
\bigr)
(V (t)) =
=
\bigl(
\partial jpR\vec{}t,t
\bigr)
\ast p\vec{}t,t(V (t)) =
= M
\bigl(
\partial jpR\vec{}t,t
\bigr) \Bigl(
X\vec{}t,t + V (t)
\Bigr)
=
= \scrT
\Bigl(
\partial jpR\vec{}t,t
\bigl(
X\vec{}t,t
\bigr) \Bigr)
(h).
Выполняя замену переменных sj = tj + t
\bigl(
tj+1 - tj
\bigr)
, j = 1, . . . , k - 1 , нетрудно заметить, что
(37) равно
M T x
k +
\int
\Delta k
k - 1\sum
j=1
tj+1\int
tj
\scrT
\Bigl(
\partial jpR\vec{}t,sj
\bigl(
X(\vec{}t, sj)
\bigr) \Bigr)
(h)(A\ast h)(sj) dsj d\vec{}t.
Таким образом,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1614 А. А. ДОРОГОВЦЕВ, О. Л. ИЗЮМЦЕВА, Н. САЛХИ
\scrT
\bigl(
T x
k
\bigr)
(h) = M T x
k + \scrT
\left( k - 1\sum
j=1
\int
\Delta k
tj+1\int
tj
\partial jpR\vec{}t,sj
\bigl(
X(\vec{}t, sj)
\bigr)
dx(sj) d\vec{}t
\right) (h),
где интеграл по dx(sj) — это расширенный стохастический интеграл по гауссовскому интегра-
тору x. Следовательно, представление Кларка для T x
k имеет вид
T x
k = M T x
k +
\int
\Delta k
k - 1\sum
j=1
tj+1\int
tj
\partial jpR\vec{}t,sj
\bigl(
X(\vec{}t, sj)
\bigr)
dx(sj) d\vec{}t =
= M T x
k +
1\int
0
\int
\Delta k
k - 1\sum
j=1
\bfone [tj ;tj+1](\tau )\partial jpR\vec{}t,\tau
\bigl(
X(\vec{}t, \tau )
\bigr)
d\vec{}t dx(\tau ).
Литература
1. Clark J. M. C. The representation of functionals of Brownian motion by stochastic integrals // Ann. Math. Statist. –
1970. – 41, № 4. – P. 1282 – 1295.
2. Бородин А. Н. Броуновское локальное время // Успехи мат. наук. – 1989. – 44, № 2. – С. 7 – 48.
3. Dorogovtsev A. A., Izyumtseva O. L., Riabov G. V., Salhi N. Clark formula for local time for one class of Gaussian
processes // Communs Stoch. Anal. – 2016. – 10, № 2. – P. 239 – 255.
4. Skorokhod A. V. Selected works. – Springer, 2016.
5. Ocone D. Malliavin calculus and stochastic integral representation of diffusion processes // Stochastics. – 1984. – 12. –
P. 161 – 185.
6. Dorogovtsev A. A. Stochastic integration and one class of Gaussian random processes // Ukr. Math. J. – 1998. – 50,
№ 4. – P. 495 – 505.
7. Дороговцев А. А., Изюмцева О. Л. Локальные времена самопересечения для гауссовских процессов. – Lap
Lambert Acad. Publ., 2011.
8. Дороговцев А. А., Изюмцева О. Л. Локальные времена самопересечения // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 3. –
С. 290 – 340.
9. Izyumtseva O. L. Moments estimates for local times of a class of Gaussian processes // Communs Stoch. Anal. –
2016. – 10, № 1. – P. 97 – 116.
10. Dorogovtsev A. A., Izyumtseva O. L. Properties of Gaussian local time // Lith. Math. J. – 2015. – 55, № 4. –
P. 489 – 505.
11. Dorogovtsev A. A., Izyumtseva O. L. On self-intersection local times for generalized Brownian bridges and the
distance between step functions // Theory Stoch. Process. – 2015. – 20(36), № 1. – P. 1 – 13.
12. Саймон Б. Модель P (\varphi )2 эвклидовой квантовой теории поля. – М.: Мир, 1976.
13. Dorogovtsev A. A. Stochastic analysis and random maps in Hilbert space. – Utrecht: VSP, 1994.
14. Imkeller P., Perez Abreu V., Vives J. Chaos expansions of double intersection local time of Brownian motion in \BbbR d
and renormalization // Stoch. Process and Appl. – 1995. – 56. – P. 1 – 34.
15. Watanabe S. Stochastic differential equation and Malliavin calculus. – Springer-Verlag, 1984. – 112 p.
16. Izyumtseva O. L. On the local times for Gaussian integrators // Theory Stoch. Process. – 2014. – 19(35), № 1. –
P. 11 – 25.
17. Watanabe S. Analysis of Wiener functionals (Malliavin calculus) and its applications to heat kernels // Ann. Probab. –
1987. – 15, № 1. – P. 1 – 39.
18. Dorogovtsev A. A. Stochastic integration and one class of Gaussian processes // Ukr. Math. J. – 1998. – 50, № 4. –
P. 495 – 505.
19. Dorogovtsev A. A. Smoothing problem in anticipating scenаrio // Ukr. Math. J. – 2005. – 57, № 9. – P. 1218 – 1234.
Получено 19.01.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1663 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:08Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/85/18c7483261e6418cca4c59d6fa80a585.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16632019-12-05T09:22:46Z Clark representation for local times of self-intersection of Gaussian integrators Представление Кларка для локальных времен самопересечения гауссовских интеграторов Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Salhi, N. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. We prove the existence of a multiple local time of self-intersection for a class of Gaussian integrators generated by operators with finite-dimensional kernel, describe its Ito – Wiener expansion and establish the Clark representation. Доведено iснування кратного локального часу самоперетину для класу гауссових iнтеграторiв, породжених операторами зi скiнченною розмiрнiстю ядра. Знайдено його розклад Iто – Вiнера та зображення Кларка. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1663 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 12 (2018); 1587-1614 Український математичний журнал; Том 70 № 12 (2018); 1587-1614 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1663/645 Copyright (c) 2018 Izyumtseva O. L.; Dorogovtsev A. A.; Salhi N. |
| spellingShingle | Izyumtseva, O. L. Dorogovtsev, A. A. Salhi, N. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. Изюмцева, О. Л. Дороговцев, А. А. Салхи, Н. Clark representation for local times of self-intersection of Gaussian integrators |
| title | Clark representation for local times
of self-intersection of Gaussian integrators |
| title_alt | Представление Кларка для локальных времен
самопересечения гауссовских интеграторов |
| title_full | Clark representation for local times
of self-intersection of Gaussian integrators |
| title_fullStr | Clark representation for local times
of self-intersection of Gaussian integrators |
| title_full_unstemmed | Clark representation for local times
of self-intersection of Gaussian integrators |
| title_short | Clark representation for local times
of self-intersection of Gaussian integrators |
| title_sort | clark representation for local times
of self-intersection of gaussian integrators |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1663 |
| work_keys_str_mv | AT izyumtsevaol clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT dorogovtsevaa clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT salhin clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT izûmcevaol clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT dorogovcevaa clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT salhin clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT izûmcevaol clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT dorogovcevaa clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT salhin clarkrepresentationforlocaltimesofselfintersectionofgaussianintegrators AT izyumtsevaol predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT dorogovtsevaa predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT salhin predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT izûmcevaol predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT dorogovcevaa predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT salhin predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT izûmcevaol predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT dorogovcevaa predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov AT salhin predstavlenieklarkadlâlokalʹnyhvremensamoperesečeniâgaussovskihintegratorov |