Limit distributions of conflict dynamical system with point spectra
We construct a model of conflict dynamical system whose limit states are associated with singular distributions. We prove that a criterion for appearance of a point spectrum in the limit distribution is the strategy of fixed priority. In all other cases, the limit distributions are pure singular con...
Gespeichert in:
| Datum: | 2018 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1664 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507490377007104 |
|---|---|
| author | Voloshyna, V. O. Koshmanenko, V. D. Волошина, В. О. Кошманенко, В. Д. |
| author_facet | Voloshyna, V. O. Koshmanenko, V. D. Волошина, В. О. Кошманенко, В. Д. |
| author_sort | Voloshyna, V. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:46Z |
| description | We construct a model of conflict dynamical system whose limit states are associated with singular distributions. We prove
that a criterion for appearance of a point spectrum in the limit distribution is the strategy of fixed priority. In all other cases,
the limit distributions are pure singular continuous. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:08Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. Д. Кошманенко (Iн-т математики НАН України, Нац. пед. ун-т iм. М. П. Драгоманова, Київ),
В. О. Волошина (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ГРАНИЧНI РОЗПОДIЛИ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ
З ТОЧКОВИМ СПЕКТРОМ
We construct a model of conflict dynamical system whose limit states are associated with singular distributions. We prove
that a criterion for appearance of a point spectrum in the limit distribution is the strategy of fixed priority. In all other cases,
the limit distributions are pure singular continuous.
Побудовано модель динамiчної системи конфлiкту, граничнi стани якої асоцiйованi з сингулярними розподiлами. До-
ведено, що критерiєм для виникнення точкового спектра в граничному розподiлi є стратегiя фiксованого прiоритету.
В усiх iнших випадках граничнi розподiли є чисто сингулярно неперервними.
1. Вступ. Уперше спектральнi властивостi граничних сингулярних розподiлiв для динамiчних
систем конфлiкту вивчалися в роботi [1] (див. також [2, 3]). Як правило, цi розподiли є чисто
сингулярно неперервними i мають фрактальну структуру [4 – 7]. Бiльше того, в роботi [8]
доведено, що клас сингулярно неперервних граничних розподiлiв утворює множину повної мiри
у просторi всiх граничних станiв динамiчних систем конфлiкту. Точковi (дискретнi) розподiли
виникають згiдно з теоремами типу Джессена – Вiнтнера лише за екстремальних умов дуже
швидкої локальної концентрацiї послiдовностi апроксимуючих мiр (див. умову (1)).
Зазначимо, що поняття динамiчної системи конфлiкту було введено в роботi [9] (див. також
[2, 3, 10 – 13]), а типова властивiсть чистої сингулярностi граничних станiв, напевно, є проявом
унiверсального феномена сингулярностi, вiдомого в теорiї функцiй, функцiональному аналiзi
та теорiї лiнiйних операторiв (див., наприклад, [14 – 16, 24]). З нього випливає, що дискретнi
та абсолютно неперервнi функцiї та розподiли, як i точковi та абсолютно неперервнi спектри, є
екзотичними, усi ж iншi об’єкти математичних побудов мають сингулярно неперервну струк-
туру i вимiрюються по запасу другою категорiєю по Беру.
Можна думати, що сингулярнiсть граничних розподiлiв тiсно пов’язана iз фрактальною
структурою геометричних множин, на яких зосередженi такi розподiли. Нагадаємо, що теорiя
фракталiв почала бурхливо розвиватися вiдносно недавно, сам термiн „фрактал” приписують
Бенуа Мандельброту (див. [17, 18]), хоча витоки цiєї теорiї проглядаються ще з 17-го столiття.
В її основу покладено iдею самоподiбностi множини дробової розмiрностi та вiдмiннiсть топо-
логiчної розмiрностi таких множин вiд гаусдорфової. В наш час наука, пов’язана з фракталами,
сингулярними мiрами та розподiлами, зосередженими на фракталах, а також її застосування
розвиваються надзвичайно iнтенсивно. Вiдзначимо лише кiлька публiкацiй [19 – 22]. Зокрема,
розвинутий у монографiях М. В. Працьовитого [23, 24] метод Q-зображень (та його узагаль-
нення) сприяв значному поштовху в розвитку теорiї фрактальних та сингулярних розподiлiв.
Один iз цiкавих аспектiв спектральних властивостей сингулярних розподiлiв пов’язаний iз
теоремами типу Джессена – Вiнтнера про чистоту спектрального типу. Зокрема, в публiкацiях
[25 – 27] доведено теореми про можливiсть трансформацiй типiв спектрiв у граничних розпо-
дiлах динамiчних систем конфлiкту, наприклад чисто сингулярно неперервного в точковий.
У цiй роботi ми дослiджуємо питання про умови на початковi розподiли динамiчних сис-
тем конфлiкту, якi гарантують виникнення чисто точкового спектра в граничних розподiлах.
c\bigcirc В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12 1615
1616 В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА
Отриманий нами основний результат стверджує, що головна умова вигляду (1) з теореми ти-
пу Джессена – Вiнтнера виконується тодi i лише тодi, коли один з опонентiв обирає стратегiю
фiксованого прiоритету, тобто його стартовий розподiл має перевагу над розподiлом iншого
опонента лише в єдинiй локальнiй областi (див. умову (6)).
2. Iтерацiйнi функцiональнi системи та сингулярнi розподiли. Метод iтерацiйних функ-
цiональних систем (IФС) дає зручний спосiб для побудови та вивчення фракталiв та син-
гулярних розподiлiв. Нагадаємо деякi з основних фактiв з теорiї IФС на \BbbR 1 (докладнiше
див. [20 – 22]).
Нехай K = \{ Ki\} ni=1, 2 \leq n < \infty , позначає сiм’ю стискаючих перетворень на \BbbR 1,
| Ki(x) - Ki(y)| = qi| x - y| , x, y \in \BbbR 1, qi < 1.
Припустимо, що звуження K на \Delta 0 \equiv [0, 1] задовольняє такi умови:
(a) 0 < qi = | \Delta i| < 1, \Delta i := Ki(\Delta 0) \subset \Delta 0,
(b) Ki((0, 1))
\bigcap
Kj((0, 1)) = \varnothing , i \not = j,
(c) Ki(x) < Kj(y), i < j, x, y \in \Delta 0.
Набiр стискiв K називатимемо повним, якщо додатково виконується умова:
(d) \Delta 0 =
\bigcup n
i=1
\Delta i, 1 =
\sum n
i=1
qi.
Для кожної IФС з умовами (a) – (c) iснує єдина iнварiантна непорожня компактна множина
\Gamma \subset \Delta 0 така, що
\Gamma =
n\bigcup
i=1
Ki(\Gamma ).
Множина \Gamma є замкненою i складається з усiх нерухомих точок для всеможливих комбiнацiй
Ki1 \circ . . . \circ Kik стискаючих вiдображень при k \rightarrow \infty . Зрозумiло, що \Gamma = \Delta 0 за умови (d).
З умови (b) випливає виконання так званої умови вiдкритої множини. Тому iнварiантна
множина \Gamma є самоподiбною i її розмiрнiсть Гаусдорфа d = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}H(\Gamma ) збiгається з самоподiбною
розмiрнiстю, яка визначається розв’язком рiвняння
n\sum
i=1
qdi = 1.
Якщо набiр стискiв K не є повним, умова (d) не виконується i, отже,
\sum n
i=1
qi < 1. Тодi
мiра Лебега множини \Gamma з необхiднiстю є нульовою:
\lambda (\Gamma ) \equiv | \Gamma | = 0.
Далi в роботi використовуємо позначення
\Delta i1\cdot \cdot \cdot ik := Ki1 \circ \cdot \cdot \cdot \circ Kik(\Delta 0), i1, . . . , ik = 1, . . . , n.
2.1. Сингулярнi розподiли, породженi iтерацiйними функцiональними системами. Не-
хай (\Omega ,\scrB , \lambda ) — ймовiрнiсний простiр, де \Omega = [0, 1], \scrB — борелiвська \sigma -алгебра пiдмножин з
\Omega , \lambda — мiра Лебега на \Omega .
Для подальших побудов видiляємо найпростiший клас випадкових величин на \Omega , яким
вiдповiдають кусково-рiвномiрнi розподiли. Увесь клас таких мiр \mu позначаємо через \scrM pud(\Omega ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ГРАНИЧНI РОЗПОДIЛИ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ З ТОЧКОВИМ СПЕКТРОМ 1617
Якщо маємо фiксовану IФС з умовами (a) – (d), то кожному стохастичному вектору \bfp \in \BbbR n,
\bfp = (p1, . . . , pn),
\sum
i
pi = 1, вiдповiдає така мiра \mu \in \scrM pud(\Omega ), що
\mu (\Delta i) = pi, \Delta i := Ki(\Delta 0).
Зрозумiло, що вiдповiдна функцiя розподiлу F\mu (x) = \mu (( - \infty , x)) має кусково-лiнiйний графiк.
Нехай P = (\bfp k)
\infty
k=1 — довiльна послiдовнiсть стохастичних векторiв
\bfp k = (pk1, pk2, . . . , pkn), pki \geq 0,
n\sum
i=1
pki = 1 для всiх k.
Позначимо через \mu k iмовiрнiсну мiру з \scrM pud(\Omega ) таку, що
\mu k(\Delta i1...ik) = p1i1 . . . pkik .
Згiдно з теорiєю, розвиненою в [23, 24], кожна послiдовнiсть P однозначно асоцiйована з ви-
падковою величиною на [0, 1] iз, як правило, сингулярним розподiлом. Вiдповiдну ймовiрнiсну
мiру позначаємо через \mu \infty . За теоремою типу Джессена – Вiнтнера (див. [1, 2, 5, 9, 13, 24]) мiра
\mu \infty є точковою, лише якщо
\infty \prod
k=1
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
i1...ik
\mu \infty (\Delta i1...ik) > 0. (1)
2.2. Слабка збiжнiсть розподiлiв. Нехай \Phi k(\varphi ), k = 1, 2, . . . , позначають лiнiйнi функ-
цiонали, асоцiйованi з мiрами \mu k на просторi неперервних функцiй:
\Phi k(\varphi ) =
1\int
0
\varphi (x)d\mu k(x), k = 1, 2, . . . , \varphi \in C(\BbbR ).
Аналогiчно визначаємо функцiонал \Phi \infty (\varphi ) по мiрi \mu \infty .
Лема 1. Послiдовнiсть \Phi k, k = 1, 2, . . . , збiгається до \Phi \infty у слабкому сенсi:
\Phi k(\varphi ) \rightarrow \Phi \infty (\varphi ), k \rightarrow \infty .
Доведення. Зафiксуємо функцiю \varphi , яку, без втрати загальностi, можна вважати додатною
та обмеженою, тобто
0 \leq \varphi (x) \leq M, x \in [0, 1].
Iдея доведення полягає у тому, що для кожного k значення функцiонала \Phi k(\varphi ) можна оцiнити
зверху та знизу, замiнивши функцiю \varphi (x) на кожному цилiндрi \Delta i1...ik її мiнiмальним та
максимальним значенням. Введемо позначення
\varphi i1...ik,m := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
x\in \Delta i1...ik
\varphi (x), \varphi i1...ik,M := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in \Delta i1...ik
\varphi (x).
Тодi
\Phi k,m(\varphi ) \leq \Phi k(\varphi ) \leq \Phi k,M (\varphi ),
де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1618 В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА
\Phi k,ex(\varphi ) :=
n\sum
i1,...,ik=1
\varphi i1...ik,ex
\int
\Delta i1...ik
d\mu k(x) =
=
n\sum
i1,...,ik=1
\varphi i1...ik,ex\mu k(\Delta i1...ik) =
n\sum
i1,...,ik=1
\varphi i1...ik,expi1...ik ,
\mathrm{e}\mathrm{x} позначає m або M та pi1...ik \equiv p1i1 . . . pkik .
Зрозумiло, що рiзниця \Phi k,M (\varphi ) - \Phi k,m(\varphi ) монотонно спадає до нуля при k \rightarrow \infty :
\Phi k,M (\varphi ) - \Phi k,m(\varphi ) =
n\sum
i1,...,ik=1
(\varphi i1...ik,M - \varphi i1...ik,m)pi1...ik \leq dk
n\sum
i1,...,ik=1
pi1...ik = dk \rightarrow 0,
де послiдовнiсть dk := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}i1...ik\{ \varphi i1...ik,M - \varphi i1...ik,m\} очевидно збiгається до нуля завдяки
неперервностi та обмеженостi \varphi (x) i тому, що | \Delta i1...ik | \rightarrow 0 при k \rightarrow \infty . Тому
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Phi k,m(\varphi ) = \Phi \infty (\varphi ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\Phi k,M (\varphi ).
Зауважимо, що значення \Phi \infty (\varphi ) задається функцiєю розподiлу F\infty (x) мiри \mu \infty , асоцiйо-
ваною з матрицею P = (\bfp k)
\infty
k=1 = (pkik)
\infty ,n
k=1,ik=1 (див. [23, 24]). Зокрема, використовуючи
формулу (2.3.1) з [24], маємо
\Phi \infty (\varphi ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
n\sum
i1,...,ik=1
ci1...ik
\int
\Delta i1...ik
\varphi (x)dx, ci1...ik :=
pi1...ik
qi1...ik
,
де qi1...ik \equiv qi1 . . . qik .
Означення. Послiдовнiсть елементiв pkik , k = 1, 2, . . . , з матрицi P = (pkik)
\infty ,n
k=1,ik=1
називаємо 1-збiжною (позначаємо pkik \uparrow 1), якщо
\sum \infty
k=1
(1 - pkik) < \infty , або, еквiвалентно,
\lambda i1...ik... :=
\infty \prod
k=1
pkik > 0.
Якщо ж
\sum \infty
k=1
pkik < \infty , то таку послiдовнiсть називаємо 0-збiжною (позначаємо pkik \downarrow 0).
Пару послiдовностей pkik , pkjk , k = 1, 2, . . . , називаємо еквiвалентними, якщо pkik \not = pkjk
лише для скiнченної кiлькостi iндексiв; якщо навпаки, pkik = pkjk лише для скiнченної кiлькостi
iндексiв, то такi послiдовностi називаємо диз’юнктними.
Наступне твердження справджується завдяки стохастичностi векторiв \bfp k матрицi P.
Твердження. Якщо у матрицi P можна видiлити 1-збiжну послiдовнiсть, то вона буде
єдиною з точнiстю до еквiвалентностi, всi iншi диз’юнктнi до неї послiдовностi є 0-збiжними.
Лема 2. Припустимо, що послiдовнiсть pkik , k = 1, 2, . . . , є 1-збiжною. Тодi послiдов-
нiсть лiнiйних функцiоналiв
\Phi \upharpoonright
k(\varphi ) :=
\int
\Delta i1...ik
\varphi (x)d\mu k(x), \varphi \in C(\BbbR ),
збiгається до функцiонала, який з точнiстю до сталої породжений \delta -функцiєю Дiрака:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ГРАНИЧНI РОЗПОДIЛИ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ З ТОЧКОВИМ СПЕКТРОМ 1619
\Phi \upharpoonright
k(\varphi ) \rightarrow \lambda \=ik\varphi (x\=ik), (2)
де стала \lambda \=ik \equiv \lambda i1...ik... =
\prod \infty
k=1
pkik , а точка x\=ik \equiv xi1...ik... =
\bigcap \infty
k=1
\Delta i1...ik .
Доведення. За побудовою
\Phi \upharpoonright
k(\varphi ) = ci1...ik
\int
\Delta i1...ik
\varphi (x)dx, ci1...ik =
pi1...ik
qi1...ik
.
Тому можемо скористатись оцiнкою
\varphi i1...ik,mci1...ik | \Delta i1...ik | \leq \Phi \upharpoonright
k(\varphi ) \leq \varphi i1...ik,Mci1...ik | \Delta i1...ik | .
Еквiвалентно,
\varphi i1...ik,mpi1...ik \leq \Phi \upharpoonright
k(\varphi ) \leq \varphi i1...ik,Mpi1...ik .
Оскiльки послiдовнiсть вiдрiзкiв \Delta i1...ik стягується до точки x\=ik , а функцiя \varphi неперервна, то ве-
личини \varphi i1...ik,m, \varphi i1...ik,M збiгаються до значення функцiї \varphi (x) у цiй точцi. Тому послiдовнiсть
\Phi \upharpoonright
k(\varphi ) з необхiднiстю збiгається до значення у правiй частинi (2).
Наступна теорема є безпосереднiм наслiдком леми 2.
Теорема 1. Якщо у матрицi P = (pkik)
\infty ,n
k=1,ik=1 можна видiлити 1-збiжну послiдов-
нiсть, то
\Phi k(\varphi ) \rightarrow \Phi \infty (\varphi ) =
\sum
\=x\in I
\lambda \=x\varphi (\=x),
де I позначає не бiльш нiж злiченну множину всiх точок \=x =
\bigcap \infty
k=1
\Delta i1...ik таких, що всi
вiдповiднi послiдовностi \{ pkik\} є 1-збiжними та еквiвалентними мiж собою, а всi сталi \lambda \=x
визначаються добутками вiдповiдних матричних елементiв: \lambda \=x \equiv \lambda \=ik = \lambda i1...ik... =
\prod \infty
k=1
pkik .
3. Побудова динамiчної системи конфлiкту. Пiд динамiчною системою конфлiкту ми
розумiємо специфiчну динамiчну систему \{ X,\divideontimes \} , задану на просторi X = \scrM (\Omega ) \times \scrM (\Omega )
бiнарним некомутативним вiдображенням \divideontimes , яке вiдповiдає конфлiктнiй взаємодiї мiж опонен-
тами (докладнiше див. [2, 3, 10, 13]). Тут \scrM (\Omega ) позначає фiксований клас мiр на \Omega = [0, 1].
У початковий момент дискретного часу кожному з опонентiв спiвставляється мiра з \scrM (\Omega ),
яка визначає розподiл прiоритетiв цього опонента на \Omega . Згiдно з теорiєю, розвиненою в [13],
кожна пара мiр з \scrM (\Omega ) та вiдображення \divideontimes визначають кiнцевий результат подiлу простору
мiж опонентами. В роботi ми вивчаємо динамiчнi системи, що моделюють взаємодiю лише мiж
парою опонентiв, наприклад А та В, яким вiдповiдає в початковий момент пара ймовiрнiсних
мiр \mu 1, \nu 1 на борелевiй \sigma -алгебрi \scrB пiдмножин з \Omega . Значення \mu 1(\Delta ), \nu 1(\Delta ), \Delta \in \scrB , мають
iнтерпретацiю ймовiрностей присутностi опонентiв А, В на \Delta в початковий момент часу. Зав-
дяки конфлiктнiй взаємодiї мiж А та В цi значення змiнюються. Еволюцiя в часi таких змiн
задається траєкторiєю станiв динамiчної системи\biggl\{
\mu N
\nu N
\biggr\}
\divideontimes - \rightarrow
\biggl\{
\mu N+1
\nu N+1
\biggr\}
, N = 1, 2, . . . , (3)
де вiдображення \divideontimes визначається залежно вiд конкретного закону конфлiктної взаємодiї мiж A та
B. Дослiдження поведiнки властивостей траєкторiй, зокрема питання про iснування граничних
станiв \mu \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}N\rightarrow \infty \nu N , \nu \infty = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}N\rightarrow \infty \nu N , є типовими задачами теорiї.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1620 В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА
У цiй роботi \scrM (\Omega ) утворюється iз кусково рiвномiрно розподiлених та структурноподiбних
мiр на \Omega = [0, 1], а перетворення \divideontimes вiдповiдає взаємодiї вiдштовхування мiж опонентами (див.
далi формули (5)). Нас цiкавить питання, коли хоча б одна з граничних мiр \mu \infty , \nu \infty є чисто
точковою, тобто зосереджена на не бiльш нiж злiченнiй множинi точок.
Опишемо детально спосiб побудови траєкторiй (3). Нехай задано деяку IФС з умовами
(a) – (d) та пару кусково рiвномiрно розподiлених ймовiрнiсних мiр \mu 1, \nu 1 на \Delta 0, значення
яких на вiдрiзках \Delta i = Ki(\Delta 0), i = 1, . . . , n, фiксуються парою рiзних стохастичних векторiв
\bfp 1 = (p1i) та \bfr 1 = (r1i), i = 1, . . . , n:
0 < \mu 1(\Delta i) =: p1i \not = \nu 1(\Delta i) =: r1i < 1. (4)
Мiри \mu N+1, \nu N+1, N = 1, 2, . . . , будуються iтеративно по \mu N , \nu N . Правило побудови вiдпо-
вiдає перетворенню \divideontimes , а саме,
\mu N \divideontimes \nu N = \mu N+1 \nu N \divideontimes \mu N = \nu N+1.
Кожна з мiр \mu N , \nu N є рiвномiрно розподiленою всерединi всiх iнтервалiв \Delta i1...ik , k = N, а
значення
\mu N (\Delta i1...ik) = pi1...ik , \nu N (\Delta i1...ik) = ri1\cdot \cdot \cdot ik ,
де числа pi1...ik , ri1...ik є добутками:
pi1...ik := p1i1 . . . pkik , ri1...ik := ri1 . . . rkik ,
множники яких pki, rki, i = 1, . . . , n, визначаються iтеративно за законом
pk+1,i = pk,i
1 - rki
1 - \theta k
, rk+1,i = rk,i
1 - pk,i
1 - \theta k
, \theta k :=
n\sum
i=1
pkirki, k = 1, 2, . . . . (5)
Цей закон моделює взаємодiю вiдштовхування мiж опонентами А та В, бо завдяки (4) при
k \rightarrow \infty хоча б одна з координат pki, rki прямує до нуля (див. теорему 2.8.4 в [13]). Зрозумiло,
що елементи pki, rki, i = 1, . . . , n, побудованi за правилом (5), утворюють при фiксованому
k пару стохастичних векторiв \bfp k, \bfr k, а їх послiдовностi по k формують пару граничних
матриць, одну з яких ми позначаємо через P. Наступна теорема мiстить основний результат
про динамiчну систему конфлiкту з траєкторiями (3).
Теорема 2. Гранична мiра \mu \infty , що вiдповiдає матрицi P з елементами, побудованими
iтеративно за правилом (5) по парi мiр \mu 1, \nu 1 з умовою (4), є чисто точковою, \mu \infty \in \scrM pp,
тодi i лише тодi, коли
\mu 1(\Delta i0) > \nu 1(\Delta i0) (6)
лише для одного фiксованого iндексу 1 \leq i0 \leq n.
Доведення в один бiк зводимо до використання леми 3 (див. нижче). Дiйсно, з (4) та (6)
випливає, що
\mu 1(\Delta i) < \nu 1(\Delta i) \forall i \not = i0. (7)
Тому (1) та (9) еквiвалентнi. Отже, \mu \infty \in \scrM pp.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ГРАНИЧНI РОЗПОДIЛИ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ З ТОЧКОВИМ СПЕКТРОМ 1621
Припустимо, що умова (6) не виконується. Це означає iснування хоча б пари координат,
для яких \mu 1(\Delta i0) > \nu 1(\Delta i0), \mu 1(\Delta j0) > \nu 1(\Delta j0), i0 \not = j0. Тодi завдяки стохастичностi векторiв
\bfp k жодна з послiдовностей pki0 , pkj0 не може збiгатися до одиницi. Як наслiдок, з елементiв
матрицi P неможливо утворити жодної 1-збiжної послiдовностi, щоб виконувався критерiй (1).
Це доводить необхiднiсть умови (6).
Лема 3. Нехай по довiльнiй парi стохастичних векторiв p1, r1 \in \BbbR n, n \geq 2, з попарно
рiзними ненульовими координатами, 0 < p1,i \not = r1,i < 1, i = 1, . . . , n, побудовано траєкторiю
\{ pk, rk\}
\divideontimes - \rightarrow \{ pk+1, rk+1\} , k = 1, 2, . . . ,
де координати стохастичних векторiв \{ pk+1, rk+1\} визначаються iтеративно за правилом
(5). Припустимо, що
p1i0 > r1i0 (8)
лише для одиного фiксованого iндексу i0. Тодi послiдовнiсть pki0 , k = 1, 2, . . . , є 1-збiжною i,
отже,
\infty \prod
k=1
pki0 > 0. (9)
Доведення. Розглянемо спочатку випадок n = 2. З (5) легко бачити, що p21 = r22, p22 = r21.
Тому без втрати загальностi можна покласти p11 = a1, p12 = 1 - a1, r11 = 1 - a1, r12 = a1.
При всiх k \geq 1 координати векторiв pk та rk мають аналогiчний зв’язок: pk1 = ak = rk2,
pk2 = 1 - ak = rk1. Нехай i0 = 1. Тодi умова (8) означає, що a1 > 1/2. Тепер потрiбно довести,
що послiдовнiсть pk1 = ak зростає до одиницi, ak \rightarrow 1, так швидко, що
\prod \infty
k=1
ak > 0.
Зазначимо, що iтеративне правило (5) у випадку n = 2 задається такою парою перетворень
на [0, 1]:
F1(x) =
x2
x2 + (1 - x)2
, F2(x) =
(1 - x)2
(1 - x)2 + x2
з x = a1. Очевидно, що при a1 > 1/2 послiдовнiсть
ak+1 =
a2k
a2k + (1 - ak)2
, k = 1, 2, . . . , (10)
зростає до 1. Нагадаємо, що збiжнiсть нескiнченного добутку
\infty \prod
k=1
ak > 0 (11)
рiвносильна збiжностi ряду
\infty \sum
k=1
(1 - ak) < \infty . (12)
Щоб довести (12), введемо L := \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty k
\biggl(
1 - ak
1 - ak+1
- 1
\biggr)
. Використовуючи формулу (10),
помiчаємо, що L = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty kak
\biggl(
2ak - 1
1 - ak
\biggr)
. Очевидно, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1622 В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
kak = \infty та \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
2ak - 1
1 - ak
= \infty ,
оскiльки ak \rightarrow 1. Отже, L = \infty . Таким чином, за вiдомою ознакою Раабе ряд (12) є збiжним i,
як наслiдок, нескiнченний добуток (11) також збiжний.
Нехай n > 2. З нерiвностi (8) випливає протилежна нерiвнiсть для всiх iнших координат
векторiв \bfp 1, \bfr 1 :
p1i < r1i, i \not = i0. (13)
Покажемо, що завдяки (13) кожна послiдовнiсть pki, i \not = i0, k = 1, 2, . . . , є 0-збiжною, тобто
\infty \sum
k=1
pki < \infty . (14)
З цiєю метою зауважимо, що з (5) випливає
pki = pk - 1,icki = p1i
k\prod
l=1
cli, cli =
1 - rli
1 - \theta l
. (15)
За теоремою про конфлiкт [11, 13] та завдяки (13) усi координати rki, i \not = i0, збiгаються до
строго додатних значень, а координати pki, i \not = i0, та \theta k збiгаються до нуля:
rk,i \rightarrow r\infty ,i > 0, pki \rightarrow 0, \theta k \rightarrow 0, k \rightarrow \infty , i \not = i0.
Тому починаючи з деякого k0 всi cki стають меншими за одиницю i монотонно спадають. Їх
можна оцiнити сталою, що не залежить вiд k:
cki \leq ci < 1, ci := ck0i.
Припустимо, що k0 = 1. Тодi в (15) добуток замiнюємо степенем i одержуємо оцiнку
pki < p1ic
k
i .
В такому випадку сума ряду (14) скiнченна, не перевищує p1i/(1 - ci), оскiльки оцiнюється
рядом геометричної прогресiї. Якщо k0 > 1, то ряд (14) також є збiжним з тiєї ж причини,
оскiльки часткова сума перших k0 - 1 членiв цього ряду скiнченна. Аналогiчнi мiркування
справедливi для всiх i \not = i0. Тому
\sum
i \not =i0
\infty \sum
k=k0
pki =
\infty \sum
k=1
(1 - pki0) < \infty ,
що еквiвалентно (9).
Отже, послiдовнiсть pki0 , k = 1, 2, . . . , є 1-збiжною.
4. Дискусiя, iнтерпретацiя. Згiдно з теоремою 2, мiра \mu \infty зосереджена в злiченнiй мно-
жинi точок \=x \in I = I\mu , описаних у теоремi 1. Значення мiри \mu \infty у цих точках \mu \infty (\=x) = \lambda \=x =
=
\prod \infty
k=1
pkik задаються добутками 1-збiжних послiдовностей елементiв матрицi P. Звичайно,
всi такi послiдовностi еквiвалентнi мiж собою i мають лише рiзнi скiнченнi кiлькостi множни-
кiв, що вiдмiннi вiд pki0 . Зрозумiло, що множина I\mu є щiльною на [0, 1]. Тому носiй мiри \mu \infty
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ГРАНИЧНI РОЗПОДIЛИ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ КОНФЛIКТУ З ТОЧКОВИМ СПЕКТРОМ 1623
збiгається з [0, 1], хоча iстотний носiй (за термiнологiєю [4]) складається лише з точок множини
I\mu . Ця множина самоподiбна i має нульову розмiрнiсть, як топологiчну, так i гаусдорфову. Сама
ж гранична мiра \mu \infty є структурноподiбною. Це означає, що вiдношення
\mu \infty (\Delta i1...ik)
\mu \infty (\Delta i1...ik - 1)
= pkik
при кожному k > 1 є залежними лише вiд ik (докладнiше див. [13]). Мiра \nu \infty , яка вiдпо-
вiдає опоненту В, очевидно, завжди є чисто сингулярно неперервною (при n > 2) i також
структурноподiбною.
Зазначимо, що випадок iснування вiдрiзкiв стартового паритету, \mu 1(\Delta j) = \nu 1(\Delta j), j \not = i0,
ми не розглядали. Доведення леми 3 та теореми 2 в такому випадку стають не достатнiми.
Хоча при умовi (6) комп’ютернi симуляцiї демонструють також виникнення точкового спектра
у мiри \mu \infty , але швидкiсть концентрацiї кусково-рiвномiрних розподiлiв мiр \mu k до ненульових
точкових значень значно сповiльнюється.
Умову (6) ми називаємо стратегiєю фiксованого прiоритету. Вона означає, що один з опонен-
тiв, наприклад А, обирає в початковий момент єдину локальну область переваги (вiдрiзок \Delta i0 ).
В противному разi граничний розподiл з необхiднiстю стане сингулярно неперервним. З дове-
дення теореми 2 видно, що стратегiя прiоритету навiть у двох локальних областях (вiдрiзках
\Delta i0 ,\Delta j0) приводить до чисто сингулярного розподiлу.
Лiтература
1. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M. et al. Spectral properties of image measures under infinite conflict
interactions // Positivity. – 2006. – 10. – P. 39 – 49.
2. Koshmanenko V., Kharchenko N. Spectral properties of image measures after conflict interactions // Theory Stochast.
Process. – 2004. – 10(26), № 3 – 4. – P. 73 – 81.
3. Кошманенко В. Д., Харченко Н. В. Iнварiантнi точки динамiчної системи конфлiкту в просторi кусково рiвно-
мiрно розподiлених мiр // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 7. – C. 927 – 938.
4. Albeverio S., Koshmanenko V., Torbin G. Fine structure of the singular continuous spectrum // Methods Funct. Anal.
and Top. – 2003. – 9, № 2. – P. 101 – 119.
5. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M. et al. On fine structure of singularly continuous probability measures
and random variables with independent \~Q-symbols // Methods Funct. Anal. and Top. – 2011. – 17, № 2. – P. 97 – 111.
6. Torbin G. M. On multifractal analysis of singular continuous probability measures // Ukr. Math. J. – 2005. – 57,
№ 5. – P. 837 – 857.
7. Torbin G. M. Fractal properties of the distributions of random variables with independent Q-symbols // Trans. Nat.
Ped. Univ. (Phys.-Math. Sci.). – 2002. – 3. – P. 241 – 252.
8. Кошманенко В. Д. Повна мiра множини сиингулярно неперервних мiр // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. –
C. 83 – 91.
9. Bodnarchyk M. V., Koshmanenko V. D., Kharchenko N. V. Properties of limit states of dynamical conflict system //
Nonlinear Oscillations. – 2004. – 7, № 4. – P. 446 – 461.
10. Koshmanenko V. On the conflict theorem for a pair of stochastic vectors // Ukr. Math. J. – 2003. – 55, № 4. –
P. 555 – 560.
11. Koshmanenko V. The theorem of conflict for probability measures // Math. Methods Oper. Res. – 2004. – 59, № 2. –
P. 303 – 313.
12. Albeverio S., Bodnarchyk M., Koshmanenko V. Dynamics of discrete conflict interactions between non-annihilating
opponent // Methods Funct. Anal. and Top. — 2005. – 11, № 4. – P. 309 – 319.
13. Koshmanenko V. Spectral theory for conflict dynamical systems (in Ukrainian). – Kyiv: Naukova Dumka, 2016. –
287 p.
14. Zamfirescu T. Most monotone functions are singular // Amer. Math. Monthly. –1981. – 88. – P. 47 – 49.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1624 В. Д. КОШМАНЕНКО, В. О. ВОЛОШИНА
15. del Rio R., Jitomirskaya S., Makarov N. et al. Operators with singular continuous spectrum are generic // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1994. – 31. – P. 208 – 212.
16. Simon B. Operators with singular continuous spectrum: I. General operators // Ann. Math. – 1995. – 141. – P. 131 – 145.
17. Mandelbrot B. Fractals: form, chance, and dimension. – San Francisco: W. H. Freeman and Company, 1977. – 362 p.
18. Barnsley M. F. Fractals everywhere. – Boston: Acad. Press, 1988. – 540 p.
19. Barnsley M. F., Demko S. Iterated functional system and the global construction of fractals // Proc. Roy. Soc. London
A. – 1985. – 399. – P. 243 – 275.
20. Falconer K. J. Fractal geometry. – Chichester: Wiley, 1990. – 288 p.
21. Hutchinson J. E. Fractals and selfsimilarity // Indiana Univ. Math. J. – 1981. – 30. – P. 713 – 747.
22. Triebel H. Fractals and spectra related to Fourier analysis and functional spaces. – Basel etc.: Birkhäuser-Verlag,
1997. – 271 p.
23. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук. думка,
1992. – 208 с.
24. Працьовитий M. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Kиїв: НПУ iм. М. П. Дра-
гоманова, 1998. — 298 с.
25. Кошманенко В. Д. Вiдновлення спектрального типу граничних розподiлiв у динамiчних системах конфлiкту //
Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 6. – C. 771 – 784.
26. Karataieva T., Koshmanenko V. Origination of the singular continuous spectrum in the conflict dynamical systems //
Methods Funct. Anal. and Top. – 2009. – 14, № 1. – P. 309 – 319.
27. Кошманенко В. Д. Квазiточковi спектральнi мiри в теорiї динамiчних систем конфлiкту // Укр. мат. журн. –
2011. – 63, № 2. – C. 187 – 199.
Одержано 27.02.18,
пiсля доопрацювання — 01.11.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1664 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:08Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d1/07d6bb57b45018fd74781713a1052cd1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16642019-12-05T09:22:46Z Limit distributions of conflict dynamical system with point spectra Граничні розподіли динамічних систем конфлікту з точковим спектром Voloshyna, V. O. Koshmanenko, V. D. Волошина, В. О. Кошманенко, В. Д. We construct a model of conflict dynamical system whose limit states are associated with singular distributions. We prove that a criterion for appearance of a point spectrum in the limit distribution is the strategy of fixed priority. In all other cases, the limit distributions are pure singular continuous. Побудовано модель динамiчної системи конфлiкту, граничнi стани якої асоцiйованi з сингулярними розподiлами. Доведено, що критерiєм для виникнення точкового спектра в граничному розподiлi є стратегiя фiксованого прiоритету. В усiх iнших випадках граничнi розподiли є чисто сингулярно неперервними. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1664 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 12 (2018); 1615-1624 Український математичний журнал; Том 70 № 12 (2018); 1615-1624 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1664/646 Copyright (c) 2018 Voloshyna V. O.; Koshmanenko V. D. |
| spellingShingle | Voloshyna, V. O. Koshmanenko, V. D. Волошина, В. О. Кошманенко, В. Д. Limit distributions of conflict dynamical system with point spectra |
| title | Limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| title_alt | Граничні розподіли динамічних систем конфлікту з точковим спектром |
| title_full | Limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| title_fullStr | Limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| title_full_unstemmed | Limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| title_short | Limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| title_sort | limit distributions of conflict dynamical system with point
spectra |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1664 |
| work_keys_str_mv | AT voloshynavo limitdistributionsofconflictdynamicalsystemwithpointspectra AT koshmanenkovd limitdistributionsofconflictdynamicalsystemwithpointspectra AT vološinavo limitdistributionsofconflictdynamicalsystemwithpointspectra AT košmanenkovd limitdistributionsofconflictdynamicalsystemwithpointspectra AT voloshynavo graničnírozpodílidinamíčnihsistemkonflíktuztočkovimspektrom AT koshmanenkovd graničnírozpodílidinamíčnihsistemkonflíktuztočkovimspektrom AT vološinavo graničnírozpodílidinamíčnihsistemkonflíktuztočkovimspektrom AT košmanenkovd graničnírozpodílidinamíčnihsistemkonflíktuztočkovimspektrom |