Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I
We present a brief review of the original results obtained by the authors in the theory of Delsarte –Lions transmutations of multidimensional spectral differential ope rators based on the classical works by Yu. M. Berezansky, V. A. Marchenko, B. M. Levitan, and R. G. Newton, on the well-known L. D....
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1667 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507497765273600 |
|---|---|
| author | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Blackmore, D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:46Z |
| description | We present a brief review of the original results obtained by the authors in the theory of Delsarte –Lions transmutations of multidimensional spectral differential ope rators based on the classical works by Yu. M. Berezansky, V. A. Marchenko, B. M. Levitan, and R. G. Newton, on the well-known L. D. Faddeev’s survey, the book by L. P. Nyzhnyk, and the generalized De-Rham – Hodge theory suggested by I. V. Skrypnik and developed by the authors for the differential-operator
complexes. The operator structure of Delsarte – Lions transformations and the properties of their Volterra factorizations are analyzed in detail. In particular, we study the differential-geometric and topological structures of the spectral properties of the Delsarte – Lions transmutations within the framework of the generalized De-Rham – Hodge theory. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. М. Самойленко (Iн-т математики НАН України, Київ),
Я. А. Прикарпатський (Iн-т математики НАН України, Київ; Ун-т сiл. госп-ва у Краковi, Польща),
Д. Блекмор (Технол. iн-т Нью-Джерсi, США),
А. К. Прикарпатський (Технол. ун-т iм. Т. Костюшка, Кракiв, Польща)
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ
ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I
We present a brief review of the original results obtained by the authors in the theory of Delsarte –Lions transmutations
of multidimensional spectral differential ope rators based on the classical works by Yu. M. Berezansky, V. A. Marchenko,
B. M. Levitan, and R. G. Newton, on the well-known L. D. Faddeev’s survey, the book by L. P. Nyzhnyk, and the
generalized De-Rham – Hodge theory suggested by I. V. Skrypnik and developed by the authors for the differential-operator
complexes. The operator structure of Delsarte – Lions transformations and the properties of their Volterra factorizations are
analyzed in detail. In particular, we study the differential-geometric and topological structures of the spectral properties of
the Delsarte – Lions transmutations within the framework of the generalized De-Rham – Hodge theory.
У данiй статтi наведено короткий огляд оригiнальних результатiв авторiв у теорiї трансмутацiй Дельсарта – Лiонса
багатовимiрних спектральних диференцiальних операторiв, що базується на класичних працях Ю. М. Березан-
ського, В. А. Марченка, Б. М. Левiтана та Р. Ньютона, на вiдомих у лiтературi оглядi Л. Д. Фаддєєва, книзi
Л. П. Нижника й узагальненiй теорiї де Рама – Ходжа, започаткованiй I. В. Скрипником i розвиненiй авторами
для диференцiально-операторних комплексiв. Детально проаналiзовано операторну структуру перетворень Дель-
сарта – Лiонса та властивостi їхнiх вольтеррових факторизацiй. Зокрема, вивчено диференцiально-геометричну i
топологiчну структуру спектральних властивостей операторiв трансмутацiї Дельсарта – Лiонса в рамках узагальне-
ної теорiї де Рама – Ходжа.
1. Вступ. У цiй статтi викладено результати, отриманi авторами [4, 60, 65, 66, 68] в теорiї
багатовимiрних диференцiальних операторiв трансмутацiї та їх застосувань. Витоки цiєї тео-
рiї беруть початок у класичних працях Ю. М. Березанського, В. А. Марченка, Б. М. Левiтана
та Р. Ньютона [2, 35, 44, 49], у вiдомому оглядi Л. Д. Фаддєєва [23] та книзi Л. П. Нижни-
ка [52], в яких розвинено важливi спектральнi аспекти автотрансмутованих диференцiальних
операторiв, а також у вiдомих працях I. В. Скрипника [72 – 74], де запропоновано ефективнi
конструкцiї для обчислення груп когомологiї, пов’язаних з узагальненою теорiєю де Рама –
Ходжа для диференцiальних операторiв. Сучаснi аспекти теорiї трансмутацiй одновимiрних
диференцiальних операторiв та їх застосувань викладено в оглядових статтях [31, 69, 70] i
працях [7, 9 – 13, 25, 36, 52, 57, 78].
Початки теорiї трансмутацiї диференцiальних операторiв можна знайти у працях Дельсарта
i Лiонса [16 – 18, 39, 40]; пiзнiше вона була розвинена в [6, 34 – 36, 44, 52, 57, 60, 65, 66, 68, 81].
Щодо сучасних застосувань до теорiї солiтонiв див. [7, 9, 24, 49, 52, 57].
Найпростiшою мотивацiєю до вивчення трансмутацiй диференцiальних операторiв можуть
бути лiнiйнi унiтарно-еквiвалентнi оператори A,B \in \scrL (\scrH ) у гiльбертовому просторi \scrH з
областями визначення D(A) i D(B) вiдповiдно i такi, що
UD(A) = D(B), UA = BU, (1.1)
де U \in \scrB (\scrH ) — унiтарний оператор в \scrH . Якщо A i B — обмеженi лiнiйнi оператори, то першою
з умов (1.1), зазвичай, нехтують. Якщо ж додатково унiтарний оператор U = U(t) належить
\scrB (\scrH ), t \in \BbbR , тобто залежить вiд еволюцiйного параметра t \in \BbbR , i ця залежнiсть є гладкою,
c\bigcirc А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, 2018
1660 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1661
а оператор A \in \scrL (\scrH ) є стацiонарним, то спiввiдношення (1.1) еквiвалентне еволюцiйному
операторному спiввiдношенню iнфiнiтезимальної трансмутацiї
dB(t)/dt = S(t)B(t) - B(t)S(t) :=
\bigl[
S(t), B(t)
\bigr]
, (1.2)
де, за визначенням, B(t) := U(t)AU(t) - 1, а так званий генератор еволюцiї
S(t) := dU(t)/dtU(t) - 1
є для всiх t \in \BbbR кососпряженим оператором в \scrH . Рiвняння вигляду (1.2) є вiдомим у нау-
ковiй лiтературi i має такi назви, як рiвняння фон Ноймана [56], рiвняння Гайзенберга [21],
а також рiвняння Лакса [1, 7, 24, 34, 45, 48, 51, 52, 57, 61]. У бiльш конкретному випадку
Дельсарта – Лiонса [16 – 18] вважається, що оператор U \in \scrB (\scrH ) є вольтерровим, а саме, якщо
iснує така пара рiзної полярностi вольтеррових операторiв \Omega \pm := (1 + K\pm ) \in \scrB (\scrH ), що ви-
конано умову факторизацiї 1 + \Phi = \Omega +\Omega
- 1
- для деякого обмеженого оператора Фредгольма
(1 + \Phi ) \in \scrB (\scrH ), який комутує з оператором A \in \scrL (\scrH ), тобто [A,\Phi ] = 0, то теж iснує за-
дана трансмутацiя операторiв A i B := \Omega \pm A\Omega
- 1
\pm у виглядi A\Omega \pm = \Omega \pm B. У цьому випадку,
наприклад, для диференцiального оператора Штурма – Лiувiлля B(t) := - d2/dx2 + u(x, t) з
коефiцiєнтом u(., t) \in W
(3)
2 (\BbbR ;\BbbR ) для всiх x, t \in \BbbR у гiльбертовому просторi \scrH = L2(\BbbR ;\BbbC )
вiдповiдне iнфiнiтезимальне спiввiдношення трансмутацiї задається рiвнянням (1.2) з косо-
спряженим генератором еволюцiї
S(t) = - 4d3/dx3 + 3u(x, t)d/dx+ 3d/dxu(x, t), (1.3)
причому сама функцiя u(., t) \in W
(3)
2 (\BbbR ;\BbbR ) задовольняє для всiх t \in \BbbR вiдоме у класичнiй
математичнiй фiзицi нелiнiйне рiвняння Кортевега – де Врiза:
ut = 6uux - uxxx = 0. (1.4)
Наявнiсть спiввiдношення iнфiнiтезимальної трансмутацiї (1.2) для нелiнiйних еволюцiйних
рiвнянь є пiдставою для використання вiдомого методу оберненої задачi розсiювання [1, 4,
7, 13, 45, 48, 52, 57, 61] для їхнього iнтегрування. Iснує також багато аналогiчних прикладiв
для iнфiнiтезимальних спiввiдношень трансмутацiї в просторово багатовимiрних гiльбертових
просторах \scrH = L2(\BbbR n;\BbbC m), n \geq 2, m \geq 1. Так, у працях [4, 7, 13, 23, 30, 32, 43, 51 –
55, 57 – 59, 63, 64, 79] вивчались такi багатовимiрнi диференцiальнi оператори, як збурений
тривимiрний оператор Лапласа, двовимiрний оператор Дiрака, двовимiрний оператор дифузiї,
n-вимiрний оператор зв’язностi для рiвнянь Янга – Мiллса тощо, для яких були побудованi явно
як iнфiнiтезимальнi спiввiдношення трансмутацiї Дельсарта – Лiонса, так i їхнi глобальнi версiї
у формi спецiальних операторних перетворень Дарбу – Беклунда.
Як зауважено в [70], теорiя операторiв трансмутацiї має власну „останню теорему Ферма”:
задачу побудови багатовимiрних (переплiтаючих) трансформацiй для стацiонарних операто-
рiв Шредiнгера i Лапласа. Є математики-оптимiсти, якi вважають, що цю задачу „частково”
розв’язано, посилаючись на вiдомi працi Л. Д. Фаддєєва i Л. П. Нижника [23, 52]. Однак, як
зазначено у [70], читаючи роботу [23], краще починати з кiнця, де правдиво написано, що
„ . . . дослiдження слiд проводити з метою строгого забезпечення формальних аргументiв ро-
боти. Доступнi ж на сьогоднi пiдходи є надто громiздкими для розмiщення в цьому оглядi. Ми
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1662 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
сподiваємось, що наведена нами формальна схема для розв’язання багатовимiрної оберненої
задачi розсiювання може служити стимулом для деяких читачiв, котрi запропонують бiльш
адекватний аналiз для її аргументованого утвердження”.
Доступнi версiї цих результатiв занадто громiздкi для розмiщення в цьому оглядi. Ми сподi-
ваємось, що викладене вище є формальною схемою для розв’язання багатовимiрної оберненої
задачi розсiювання, яке може бути стимулом для деяких читачiв, котрi розроблятимуть бiльш
адекватний аналiз для його обґрунтування. Бiльше того, можна погодитися з твердженням
в [70], що „ . . . цей обдарований читач, на жаль, ще не з’явився”.
Як автори огляду [70] пишуть далi, „ . . . в принципi, перспектива побудови таких трансму-
тацiйних операторiв у найближчому майбутньому в цiй формi здається незрозумiлою. Зреш-
тою, вони повиннi задовольнити вiдповiднi вже ультрагiперболiчнi рiвняння, для яких пов’язанi
методи вивчення досi практично не розроблено . . . . Але найбiльш образливим є те, що iсну-
вання таких операторiв трансмутацiї, названих хвильовими операторами, вже доведено для
всiх прийнятних потенцiалiв, але нiхто не в змозi побудувати їх так явно, як багатовимiрнi
оператори Вольтерра”.
Щоб завершити цей короткий iсторичний вступ, варто, дотримуючись [70], навести термi-
нологiчне зауваження. У захiднiй лiтературi замiсть термiну „оператори трансформацiї” вико-
ристовується термiн „оператори трансмутацiї”, що приписується Дельсарту [16]. Як зазначив
Р. Керолл [10], термiн „трансформацiя” призначений класичним iнтегральним перетворенням
Фур’є, Лапласа, Меллiна та iнших, до яких вiн краще пiдходить. Термiн „ трансмутацiя” по-
ходить з романських мов для „ магiчних перетворень”, який сенсовно вiдображає справжню
сутнiсть дiї операторiв трансмутацiї. Особливо влучною тут є цитата з [10]: „Такi операто-
ри часто називають операторами трансформацiй росiйською школою (Левiтан, Наймарк,
Марченко та iн.), але трансформацiя здається надто широким термiном, i, оскiльки деяка
технiка часом виглядає „магiчною”, ми наслiдували Лiонса та Дельсарта при використаннi
слова трансмутацiя”.
2. Спектральнi оператори та узагальненi розклади за власними функцiями. Розгляне-
мо сепарабельний простiр Гiльберта \scrH , у якому задано лiнiйний замкнений оператор L \in \scrL (\scrH )
зi щiльною областю визначення D(L) \subset \scrH . Розглянемо також звичайний квазiядерний впоряд-
кований ланцюжок Гельфанда [2, 3] для гiльбертового простору \scrH з додатним \scrH + та вiд’ємним
\scrH - гiльбертовими просторами:
\scrD \subset \scrH + \subset \scrH \subset \scrH - \subset \scrD \prime , (2.1)
необхiдний нам для аналiзу спектральних властивостей оператора L в \scrH , причому лiнiйний
топологiчний простiр \scrD \subset \scrH + є щiльним в \scrH + i включеним в D(L\ast ) таким чином, що
вiдображення L\ast : \scrD \rightarrow \scrH + є неперервним. У цьому випадку говоримо, що оператор L \in \scrL (\scrH )
допускає продовження оснащенням за Гельфандом. Далi будемо використовувати такi поняття
[2, 22, 68].
Означення 2.1. Оператор L \in \scrL (\scrH ) назвемо спектральним, якщо для всiх борелiвських
пiдмножин \Delta \subset \sigma (L) спектра \sigma (L) \subset \BbbC та всiх пар (u, v) \in \scrH + \times \scrH + мають мiсце вирази
L =
\int
\sigma (L)
\lambda d\mathrm{E}(\lambda ),
\bigl(
u,\mathrm{E}(\Delta )v
\bigr)
=
\int
\Delta
\bigl(
u,\mathrm{P}(\lambda )v
\bigr)
d\rho \sigma (\lambda ), (2.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1663
де \rho \sigma — деяка скiнченна мiра Бореля на спектрi \sigma (L), \mathrm{E} — деяка самоспряжена проекторно-
операторна мiра на спектрi \sigma (L), така, що \mathrm{E}(\Delta )\mathrm{E}(\Delta \prime ) = \mathrm{E}(\Delta \cap \Delta \prime ) для будь-яких боре-
лiвських пiдмножин \Delta ,\Delta \prime \subset \sigma (L), та \mathrm{P}(\lambda ) : \scrH + \rightarrow \scrH - , \lambda \in \sigma (L), є вiдповiдною сiм’єю
iнтегральних операторiв з ядрами з \scrH + в \scrH - .
Слiд зазначити, що спектральними є всi самоспряженi, нормальнi та унiтарнi оператори,
причому не iснує конструктивних способiв встановлення спектральностi навiть загальних ди-
ференцiальних операторiв. Детально дослiджено лише їх певнi класи, насамперед елiптичнi ди-
ференцiальнi оператори, що визначаються на функцiях iз вiдповiдного простору Соболєва, що
задовольняють однорiднi системи граничних умов, введених Я. Б. Лопатинським. Наприклад,
у гiльбертовому просторi L2(E
n;\BbbC ), n \in \BbbN , спектральними є всi максимальнi диференцiальнi
оператори зi сталими коефiцiєнтами. Прикладом неспектрального оператора може бути нiль-
потентний оператор навiть у скiнченновимiрному просторi. Як наслiдок виразу (2.2), у слабкiй
топологiї простору \scrH можна записати
\mathrm{E}(\Delta ) =
\int
\Delta
\mathrm{P}(\lambda ) d\rho \sigma (\lambda ) (2.3)
для будь-якої борелiвської пiдмножини \Delta \subset \sigma (L).
Подiбно до (2.2) i (2.3) можна записати вiдповiднi вирази для спряженого спектрального
оператора L\ast \in \scrL (\scrH ), якщо вважати його область визначення D(L\ast ) \subset \scrH щiльною в \scrH :
(\mathrm{E}\ast (\Delta )u, v) =
\int
\Delta
(P \ast (\lambda )u, v) d\rho \ast \sigma (\lambda ),
\mathrm{E}\ast (\Delta ) =
\int
\Delta
P \ast (\lambda ) d\rho \ast \sigma (\lambda ),
(2.4)
де \mathrm{E}\ast — вiдповiдна проекторна мiра на борелiвських пiдмножинах \Delta \in \sigma (L\ast ), \mathrm{P}\ast (\lambda ) : \scrH \rightarrow \scrH ,
\lambda \in \sigma (L\ast ), — вiдповiдна сiм’я iнтегральних операторiв з ядрами в \scrH та \rho \ast \sigma — деяка скiнченна
мiра Бореля на спектрi \sigma (L\ast ). Будемо вважати, що виконуються такi умови:
\mathrm{P}(\mu )(L - \mu \mathrm{I})v = 0, \mathrm{P}\ast (\lambda )(L\ast - \=\lambda \mathrm{I})u = 0 (2.5)
для u \in D(L\ast ), v \in D(L), де \=\lambda \in \sigma (L\ast ), \mu \in \sigma (L), а також \sigma (L\ast ) = \=\sigma (L).
Опишемо узагальненi власнi функцiї операторiв L та L\ast за допомогою пiдходу з робо-
ти [2]. Будемо вважати, що оператор L \in \scrL (\scrH ) iз щiльною областю визначення D(L) допускає
продовження оснащенням за Гельфандом, причому в \scrH + можна знайти такий топологiчний
пiдпростiр \scrD (L) := \scrD +(L
\ast ) \subset D(L\ast ), що спряжений оператор L\ast \in \scrL (\scrH ) вiдображає перед-
гiльбертiв з нормою графiка простiр \scrD +(L
\ast ) неперервно в \scrH +.
Означення 2.2. Вектор \psi \lambda \in \scrH - назвемо узагальненою власною функцiєю оператора
L \in \scrL (\scrH ), яка вiдповiдає власному значенню \lambda \in \sigma (L), якщо\bigl(
(L\ast - \=\lambda \mathrm{I})u, \psi \lambda
\bigr)
= 0 (2.6)
для всiх u \in \scrD +(L
\ast ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1664 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Очевидно, що у випадку \psi \lambda \in D(L), \lambda \in \sigma (L), маємо L\psi \lambda = \lambda \psi \lambda . Визначення (2.6)
пов’язане з деяким розширенням оснащенням [2] оператора L : \scrH \mapsto \rightarrow \scrH . Оскiльки оператор L\ast :
\scrD +(L
\ast ) \rightarrow \scrH + неперервний, можна визначити спряжений оператор Lext := L\ast ,+ : \scrH - \rightarrow
\rightarrow \mathrm{D}(L\ast ) вiдносно звичайного скалярного добутку в \scrH такого, що
(L\ast v, u) = (v, L\ast ,+u) (2.7)
для будь-яких v \in \scrD +(L
\ast ) i u \in \scrH - , що збiгається з оператором L : \scrH \rightarrow \scrH на D(L). Визна-
чення (2.6) узагальненої власної функцiї \psi \lambda \in \scrH - для \lambda \in \sigma (L) еквiвалентне стандартному
виразу
Lext\psi \lambda = \lambda \psi \lambda . (2.8)
Якщо означити скалярний добуток
(u, v) := (u, v)+ + (L\ast u, L\ast v)+ (2.9)
на щiльному пiдпросторi \scrD +(L
\ast ) \subset \scrH +, то цей пiдпростiр перетвориться природним чином у
гiльбертiв простiр \scrD +(L
\ast ), для якого спряжений „негативний” простiр \scrD \prime
+(L
\ast ) := \scrD - (L
\ast ) \supset
\supset \scrH - . Розглянемо будь-яку узагальнену власну функцiю \psi \lambda \in \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{P}(\lambda ) \subset \scrH - , \lambda \in \sigma (L),
оператора L : \scrH \rightarrow \scrH . З (2.5) отримуємо, що L\ast
ext\varphi \lambda = \=\lambda \varphi \lambda для будь-якої функцiї \varphi \lambda \in
\in \mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{P}\ast (\lambda ) \subset \scrH - , \=\lambda \in \sigma (L\ast ), i L\ast
ext : \scrH - \rightarrow \scrD - (L) є розширенням спряженого оператора L\ast :
\scrH \rightarrow \scrH , що редукує область визначення D(L) до iншої щiльної в \scrH + областi визначення
\scrD +(L) \subset D(L), на якiй оператор L : \scrD +(L) \rightarrow \scrH + є неперервним.
3. Пiвторалiнiйнi форми, узагальненi ядра i конгруентнiсть операторiв. 3.1. Пiвто-
ралiнiйнi форми та узагальненi ядра операторiв. Розглянемо пiвторалiнiйну форму \mathrm{K} :
\scrH \times \scrH \rightarrow \BbbC , а саме, неперервну комплекснозначну функцiю, лiнiйну по першому аргумен-
ту i комплексно-спряжено лiнiйну по другому в гiльбертовому просторi \scrH . Вiдомо [14], що
така неперервна пiвторалiнiйна форма має стандартне i однозначне зображення у формi ска-
лярного добутку \mathrm{K}[u, v] = (\scrK u, v) для деякого неперервного лiнiйного оператора \scrK \in \scrB (\scrH ).
Якщо цей оператор є оператором Гiльберта – Шмiдта, а у просторi \scrH є визначена iнволюцiя
\scrH \ni u \rightarrow \=u \in \scrH як аналог комплексного спряження, то для форми \mathrm{K} : \scrH \times \scrH \rightarrow \BbbC iснує
єдиний елемент \^\mathrm{K} \in \scrH \otimes \scrH , так зване ядро цiєї форми, для якого \mathrm{K}[u, v] = (\^\mathrm{K}, v \otimes \=u) для
всiх u, v \in \scrH . Оскiльки ми вивчаємо узагальненi ядра операторiв, що дiють в оснащеному за
Гельфандом гiльбертовому просторi \scrH , нам потрiбне узагальнення зазначеного результату на
цей випадок. А саме, має мiсце така класична теорема Л. Шварца.
Теорема 3.1 [2]. Розглянемо стандартний ланцюжок Гельфанда гiльбертових просто-
рiв (2.1), iнварiантний вiдносно комплексної iнволюцiї \BbbC \ni u \rightarrow \=u \in \BbbC . Тодi будь-яку непе-
рервну пiвторалiнiйну форму \mathrm{K} : \scrH \times \scrH \rightarrow \BbbC можна записати за допомогою узагальненого
ядра \^\mathrm{K} \in \scrH - \otimes \scrH - як
\mathrm{K}[u, v] = (\^\mathrm{K}, v \otimes \=u)\scrH \times \scrH (3.1)
для будь-яких u, v \in \scrH + \subset \scrH . Ядро \^\mathrm{K} \in \scrH - \otimes \scrH - можна подати у виглядi
\^\mathrm{K} = (\mathrm{D}\otimes \mathrm{D})\=\mathrm{K},
де \=\mathrm{K} \in \scrH \otimes \scrH — звичайне ядро, \mathrm{D} : \scrH \rightarrow \scrH - — квадратний корiнь
\surd
\mathrm{J}\ast з додатного опе-
ратора \mathrm{J}\ast : \scrH \rightarrow \scrH - , який є оператором вкладення Гiльберта – Шмiдта \scrH + в \scrH вiдносно
послiдовностi (2.1). Крiм того, ядра (\mathrm{D}\otimes \mathrm{I}) \=\mathrm{K}, (\mathrm{I}\otimes \mathrm{D})\=\mathrm{K} \in \scrH \times \scrH є звичайними.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1665
Далi будемо розглядати оператор L : \scrH \rightarrow \scrH iз щiльною областю визначення D(L) \subset \scrH ,
який допускає продовження оснащенням за Гельфандом (2.1). Позначимо через D+(L
\ast ) \subset
\subset D(L\ast ) вiдповiдний щiльний в \scrH + пiдпростiр.
Означення 3.1. Множину узагальнених ядер \^\mathrm{Z}\lambda \subset \scrH - \otimes \scrH - для \lambda \in \sigma (L)\cap \=\sigma (L\ast ) назвемо
елементарно пов’язаною з оператором L : \scrH \rightarrow \scrH , якщо для будь-якого \lambda \in \sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast )
норма \| \^\mathrm{Z}\lambda \| \scrH - \otimes \scrH - <\infty та\bigl(
\^\mathrm{Z}\lambda , ((L - \lambda \mathrm{I})v)\otimes u
\bigr)
= 0,
\bigl(
\^\mathrm{Z}\lambda , v \otimes (L\ast - \lambda \mathrm{I})u
\bigr)
= 0, (3.2)
де (u, v) \in \scrH - \otimes \scrH - є довiльними.
Далi будемо вважати, що всi функцiональнi простори iнварiантнi вiдносно iнволюцiї \BbbC \ni
\ni u\rightarrow \=u \in \BbbC , i покладемо \scrD + := \scrD +(L
\ast ) = \scrD +(L) \subset \scrH +. Тодi можна побудувати розширення
Lext \supset L i L\ast
ext \supset L\ast , якi є лiнiйними операторами, що неперервно дiють з \scrH - в \scrD - := \scrD \prime
+.
Послiдовнiсть (2.1) у цьому випадку розширюється до ланцюжка
\scrD + \subset \scrH + \subset \scrH \subset \scrH - \subset \scrD - . (3.3)
Тотожний оператор \mathrm{I} : \scrH - \rightarrow \scrH - \subset \scrD - можна розширити природним чином як вкладення
оператора з \scrH - в \scrD - . Рiвностi (3.2) можна записати в еквiвалентному виглядi [2]
(Lext \otimes \mathrm{I})\^\mathrm{Z}\lambda = \lambda \^\mathrm{Z}\lambda , (\mathrm{I}\otimes L\ast
ext)\^\mathrm{Z}\lambda = \lambda \^\mathrm{Z}\lambda (3.4)
для будь-якого \lambda \in \sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ). Нехай ядро \^\mathrm{K}\lambda \in \scrH - \otimes \scrH - задовольняє рiвнiсть
(Lext \otimes \mathrm{I}) \^\mathrm{K} = (\mathrm{I}\otimes L\ast
ext) \^\mathrm{K}. (3.5)
Оскiльки рiвностi (3.4) можна записати у виглядi
(Lext \otimes \mathrm{I}) \^\mathrm{Z}\lambda = (\mathrm{I}\otimes L\ast
ext)\^\mathrm{Z}\lambda (3.6)
для будь-якого \lambda \in \sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ), то справедливою є така характеристична теорема [2].
Теорема 3.2 [2, с. 621]. Нехай ядро \^\mathrm{K} \in \scrH - \otimes \scrH - задовольняє умову (3.5). Тодi, згiдно
з (3.6), iснує скiнченна мiра Бореля, визначена на борелiвських пiдмножинах \Delta \subset \sigma (L)\cap \=\sigma (L\ast ),
така, що має мiсце слабке спектральне зображення
\^\mathrm{K} =
\int
\sigma (L)\cap \=\sigma (L\ast )
\^\mathrm{Z}\lambda d\rho \sigma (\lambda ). (3.7)
Крiм того, згiдно з (3.4), можна записати
\^\mathrm{Z}\lambda = \psi \lambda \otimes \varphi \lambda ,
де Lext\psi \lambda = \lambda \psi \lambda , L
\ast
ext\varphi \lambda = \=\lambda \varphi \lambda , (\psi \lambda , \varphi \lambda ) \in \scrH - \otimes \scrH - та \lambda \in \sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ).
Доведення. Згiдно з (3.6), ядро (3.7) задовольняє рiвняння (3.5). З iншого боку, згiдно з
теоремою 3.1, другу з формул (2.2) для оператора L \in \scrL (\scrH ) можна записати у виглядi (3.1):\bigl(
u,\mathrm{P}(\lambda )v
\bigr)
= (\^\mathrm{Z}\lambda , v \otimes u)+ (3.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1666 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
для будь-яких u, v \in \scrH +. Крiм того, згiдно з умовою (3.5), за допомогою ядра \widehat \mathrm{K} \in \scrH - \otimes \scrH -
можна визначити, як це зроблено у [2], новий гiльбертiв простiр \scrH K \supset \scrH + iз скалярним
добутком
(u, v)K :=
\bigl(
| \^\mathrm{K}| , v \otimes u
\bigr)
\scrH \times \scrH (3.9)
для будь-яких u, v \in \scrH +, де, за означенням, | \^\mathrm{K}| :=
\sqrt{}
\^\mathrm{K}\ast \^\mathrm{K}. Оскiльки
\| u\| 2K =
\bigl(
| \^\mathrm{K}| , u\otimes u
\bigr)
\scrH \times \scrH \leq \| \^\mathrm{K}\| - \| u\otimes u\| + = \| \^\mathrm{K}\| - \| u\| 2+ (3.10)
для будь-якого u \in \scrH + є нормою, то з (3.10) можна отримати, що \scrH K \supset \scrH +. Таким чином,
побудовано нову впорядковану послiдовнiсть iз базовим гiльбертовим простором \scrH K :
\scrH ++ \subset (\scrH +) \subset \scrH K \subset \scrH - - , (3.11)
де вкладення \scrH ++ \rightarrow \scrH K є також квазiядерним [2] як добуток квазiядерного \scrH ++ \rightarrow \scrH + та
неперервного \scrH + \rightarrow \scrH K вкладень, згiдно з (3.10). Оскiльки L \in \scrL (\scrH ) можна розглядати як
оператор L \in \scrL (\scrH K), то iснує зображення, подiбне до (3.8), але тiльки для u, v \in \scrH ++. Тобто
для виразу (3.9) з (3.4) отримуємо шукане для всiх (u, v) \in \scrH + \times \scrH + зображення
( \^\mathrm{K}, v \otimes u)\scrH \times \scrH = (u, v)K =
\int
\sigma (L)\cap \=\sigma (L\ast )
(\^\mathrm{Z}\lambda , v \otimes u)K d\rho \sigma (\lambda ), (3.12)
еквiвалентне (3.7). Iнтеграл (3.7) є визначеним, оскiльки норма \| \widehat \mathrm{Z}\lambda \| - < \infty , а мiра \rho \sigma є
скiнченною за побудовою.
Теорему 3.2 доведено.
Ця конструкцiя для самоподiбних ядер \^\mathrm{K} \in \scrH - \otimes \scrH - у виглядi (3.7), застосована до
оператора \scrL (\scrH ), виявляється дуже корисною, якщо умову самоподiбностi замiнити звичайною
подiбнiстю, що буде розглянуто нижче.
3.2. Конгруентнi оператори з ядрами, асоцiйованими з трансмутацiями Дельсарта,
та їхня структура. Розглянемо у гiльбертовому просторi \scrH пару щiльно визначених та
продовжених оснащенням за Гельфандом лiнiйних диференцiальних операторiв L та \~L \in \scrL (\scrH ),
а також пару узагальнених ядер \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm .
Означення 3.2. Ядра \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm , називаються конгруентними до пари опе-
раторiв (L, \~L) в \scrH , якщо виконано таку умову операторної конгруентностi:
(\~Lext \otimes 1)\^\mathrm{K}s = (1\otimes L\ast
ext) \^\mathrm{K}s. (3.13)
Оскiльки не будь-яка пара операторiв L та \~L \in \scrL (\scrH ) є конгруентною до заданої пари
ядер, виникає проблема опису таких пар операторiв та вiдповiдних їм ядер \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - ,
s = \pm . Першим важливим запитанням є питання про iснування ядер \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm ,
конгруентних парам операторiв L та \~L \in \scrL (\scrH ). Вiдповiдь очевидна для випадку, коли \~L = L,
а конгруентнiсть є самоподiбнiстю. Важливий випадок, коли \~L \not = L, є нетривiальним i може
бути вивчений, якщо iснують вiдповiдно визначенi обмеженi та оборотнi оператори \bfOmega s, s = \pm ,
такi, що
\~L\bfOmega s = \bfOmega sL. (3.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1667
Означення 3.3 [16, 17]. Нехай пара щiльно визначених замкнених диференцiальних опе-
раторiв L, \~L \in \scrL (\scrH ) у гiльбертовому просторi \scrH має пару замкнених пiдпросторiв \scrH 0 i
\~\scrH 0 \subset \scrH - , асоцiйованих iз оснащенням Гельфанда (2.1) гiльбертового простору \scrH . Операто-
ри \Omega s, s = \pm , називаються трансмутацiями Дельсарта, якщо виконуються такi умови:
i) оператор \bfOmega s та його обернений \bfOmega - 1
s , s = \pm , є неперервними, тобто \Omega - 1
s \in \scrB ( \~\scrH 0;\scrH 0)
i \Omega s \in \scrB (\scrH 0; \~\scrH 0), s = \pm ;
ii) образи \mathrm{I}\mathrm{m}\Omega s| \scrH 0 = \~\scrH 0, s = \pm ;
iii) справджується спiввiдношення (3.14).
Припустимо, що пара операторiв (L, \~L) \subset \scrL (\scrH ) є диференцiальною однакового порядку
n(L) \in \BbbZ +, тобто
L :=
n(L)\sum
| \alpha | =0
a\alpha (x)
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
, \~L :=
n(L)\sum
| \alpha | =0
\~a\alpha (x)
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
, (3.15)
де x \in \mathrm{Q}, \mathrm{Q} \subset \BbbR m — деяка зв’язна область в \BbbR m, коефiцiєнти a\alpha є гладкими, \~a\alpha \in
\in \scrS (\mathrm{Q}; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N) для всiх \alpha \in \BbbZ m
+ , | \alpha | = 0, n(L) та \mathrm{N} \in \BbbZ +. Диференцiальнi вирази (3.15)
замкненi i, вiдповiдно, заданi на щiльних у гiльбертовому просторi \scrH := L2(\mathrm{Q};\BbbC N) областях
визначення D(L) та D(\~L) \subset \mathrm{W}
m(L)
2 (\mathrm{Q};\BbbC N) \subset \scrH для деякого порядку m(L) < n(L). Це
означає, що iснує вiдповiдна до (3.15) пара спряжених операторiв L\ast та \~L\ast \in \scrL (\scrH ), заданих,
вiдповiдно, також на щiльних областях визначення D(L\ast ) та D(\~L\ast ) \subset \mathrm{W}
m(L)
2 (\mathrm{Q};\BbbC N) \subset \scrH .
Розглянемо пару оборотних i обмежених операторiв \bfOmega s, s = \pm , та трансмутованi за Дель-
сартом оператори
\~Ls := \bfOmega sL\bfOmega
- 1
s , s = \pm , (3.16)
якi, за визначенням, повиннi бути диференцiальними. Додатковим обмеженням, накладеним на
оператори \Omega s, s = \pm , є незалежнiсть [23, 24] диференцiальних виразiв для операторiв (3.16)
вiд iндексiв s = \pm . Проблема побудови таких операторiв трансмутацiї Дельсарта \Omega s, s = \pm , є
складною, i на даний час iснують лише окремi бiльш-менш завершенi результати [23, 52] для
двовимiрного оператора Дiрака та тривимiрного оператора Лапласа.
Щоб застосувати наш пiдхiд до вивчення цiєї проблеми, розглянемо деякi формальнi уза-
гальнення результатiв, описаних у пунктi 2. Нехай елементарне ядро \widehat \~Z\lambda \in \scrH - \otimes \scrH - задоволь-
няє умови, що узагальнюють (3.4):
(\~Lext \otimes \mathrm{I})\widehat \~\mathrm{Z}\lambda = \lambda \widehat \~\mathrm{Z}\lambda , (\mathrm{I}\otimes L\ast
ext)
\widehat \~\mathrm{Z}\lambda = \lambda \widehat \~\mathrm{Z}\lambda (3.17)
для \lambda \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), i розв’язує рiвняння (3.13) для будь-якого \lambda \in \sigma (\widetilde L) \cap \sigma (\widetilde L\ast ), тобто
(\widetilde Lext \otimes 1)\widehat \~\mathrm{Z}\lambda = (1\otimes L\ast
ext)
\widehat \~\mathrm{Z}\lambda . (3.18)
Можна сподiватись, що для ядер \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm , iснують подiбнi до (3.9) спектральнi
зображення
\^\mathrm{K}s =
\int
\sigma (\widetilde L)\cap \=\sigma (L\ast )
\widehat \~\mathrm{Z}\lambda d\rho \sigma ,s(\lambda ) (3.19)
iз скiнченними спектральними мiрами \rho \sigma ,s, s = \pm , локалiзованими на борелiвських пiдмножи-
нах спiльного спектра \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ). На основi подiбного до (3.8) спектрального зображення,
застосованого до кожного з операторiв \~L \in \scrL (\scrH ) i L\ast \in \scrL (\scrH ), можна сформулювати таку
теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1668 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Теорема 3.3. Рiвностi (3.17) узгодженi для будь-якого \lambda \in \sigma (\widetilde L) \cap \=\sigma (L\ast ), а для ядер \^\mathrm{K}s \in
\in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm , якi задовольняють умову конгруентностi (3.13), iснує ядро \widehat \~\mathrm{Z}\lambda \in \scrH - \otimes \scrH -
для вiдповiдного оснащення Гельфанда (3.11) такого, що мають мiсце спектральнi зображен-
ня (3.19).
Нас буде цiкавити обернена задача побудови ядер \^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - , s = \pm , у формi (3.19), якi
a priori задовольняють умови конгруентностi (3.13), накладенi на пару (L, \~L) диференцiальних
операторiв у \scrH , що зв’язанi умовою трансмутацiї Дельсарта (3.14). У певному розумiннi можна
стверджувати, що тiльки для пари операторiв (L, \~L), асоцiйованих за Дельсартом, iснує дуальна
пара
\bigl\{
\^\mathrm{K}s \in \scrH - \otimes \scrH - : s = \pm
\bigr\}
вiдповiдних конгруентних ядер, що задовольняють умови (3.13),
тобто
(\~Lext \otimes 1)\^\mathrm{K}s = \^\mathrm{K}s(1\otimes L\ast
ext). (3.20)
Припустимо, що iснують iншi двi пари операторiв трансмутацiї Дельсарта \Omega s та \Omega \circledast
s \in
\in \scrB (\scrH ), s = \pm , якi задовольняють умову ii) означення 3.3, накладену на вiдповiднi двi пари
диференцiальних операторiв (L, \~L) та (L\ast , \~L\ast ) \subset \scrL (\scrH ). Це означає, що iснує така додаткова
пара замкнених пiдпросторiв \scrH \circledast
0 i \~\scrH \circledast
0 \subset \scrH - , що
\mathrm{I}\mathrm{m}\bfOmega \circledast
s | \scrH \circledast
0
= \~\scrH \circledast
0 , s = \pm , (3.21)
для операторiв трансмутацiї Дельсарта \bfOmega \circledast
s , s = \pm , якi, очевидно, задовольняють умови
\~L\ast \cdot \bfOmega \circledast
s = \bfOmega \circledast
s \cdot L\ast , s = \pm , (3.22)
накладенi на спряженi оператори \~L\ast , L\ast \in \scrL (\scrH ), визначенi ранiше i заданi спiввiдношеннями
L\ast =
n(L)\sum
| \alpha | =0
( - 1)| \alpha |
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
\=a\intercal \alpha (x),
\~L\ast =
n(L)\sum
| \alpha | =0
( - 1)| \alpha |
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
_
\~a
\intercal
\alpha (x) (3.23)
для всiх x \in \mathrm{Q} \subset \BbbR m.
Побудуємо оператори трансмутацiї Дельсарта типу Вольтерра [27, 46]
\bfOmega \pm := 1 + \mathrm{K}\pm (\bfOmega ), (3.24)
якi вiдповiдають двом рiзним ядрам \^\mathrm{K}+ та \^\mathrm{K} - \in \scrH - \otimes \scrH - iнтегральних операторiв Вольтерра
\mathrm{K}+(\bfOmega ) i \mathrm{K} - (\bfOmega ), пов’язаних з ними таким чином:\bigl(
u,\mathrm{K}\pm (\bfOmega )v
\bigr)
:=
\Bigl(
u\chi
\Bigl(
S
(m)
x,\pm
\Bigr)
, \^\mathrm{K}\pm v
\Bigr)
(3.25)
для всiх (u, v) \in \scrH + \times \scrH +, де \chi
\Bigl(
S
(m)
x,\pm
\Bigr)
— деякi характеристичнi функцiї гладких m-вимiрних
гiперповерхонь S(m)
x,+ i S(m)
x, - \in \scrK (\mathrm{Q}) сингулярного симплiцiального комплексу \scrK (\mathrm{Q}) вiдкритої
множини \mathrm{Q} \subset \BbbR m, вибраних таким чином, що межа \partial
\Bigl(
S
(m)
x,+ \cup S(m)
x, -
\Bigr)
= \partial \mathrm{Q}. У випадку, коли
\mathrm{Q} := \BbbR m, природно вважати, що \partial \BbbR m = \varnothing . Використовуючи оператори Дельсарта (3.24) та
спiввiдношення (3.14), можна побудувати такi вирази:
\~L\pm - L = \mathrm{K}\pm (\bfOmega )L - \~L\pm \mathrm{K}\pm (\bfOmega ). (3.26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1669
Оскiльки лiвi частини рiвностi (3.26) є суто диференцiальними виразами, то мають мiсце оче-
виднi спiввiдношення (3.21) для локальних ядер:
(\~Lext,\pm \otimes 1)\^\mathrm{K}\pm = (1\otimes L\ast
ext) \^\mathrm{K}\pm . (3.27)
Формула (3.26) задає, взагалi кажучи, два рiзнi диференцiальнi вирази \~L\pm \in \scrL (\scrH ), що залежать
вiд ядер \^\mathrm{K}\pm \in \scrH - \otimes \scrH - та деяких гiперповерхонь S(m)
x,\pm \in \scrK (\mathrm{Q}). Має мiсце така теорема.
Теорема 3.4. Нехай гладкi гiперповерхнi S(m)
x,\pm \in \scrK (\mathrm{Q}) вибрано таким чином, що \partial
\Bigl(
S
(m)
x,+ \cup
\cup S(m)
x, -
\Bigr)
= \partial \mathrm{Q} i \partial S(m)
x,\pm = \mp \sigma (m - 1)
x +\sigma
(m - 1)
x\pm , де \sigma (m - 1)
x i \sigma (m - 1)
x\pm — деякi гомологiчнi симплiцiальнi
ланцюги щодо групи гомологiй \mathrm{H}m - 1(\mathrm{Q};\BbbC ), параметризованi вiдповiдно бiжучою точкою x \in
\in \mathrm{Q} i фiксованими точками x\pm \in \partial \mathrm{Q}, що задовольнять гомотопiчну умову \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow x\pm \sigma
(m - 1)
x =
= \mp \sigma x\pm . Тодi виконуються операторнi рiвностi
\~L+ := \bfOmega +L\bfOmega
- 1
+ = \~L = \bfOmega - L\bfOmega
- 1
- := \~L - , (3.28)
якщо має мiсце властивiсть комутативностi\bigl[
\bfOmega - 1
+ \bfOmega - , L
\bigr]
= 0, (3.29)
або еквiвалентне спiввiдношення для вiдповiдної композицiї ядер
(Lext \otimes 1)\^\bfOmega - 1
+
\^\bfOmega - = (1\otimes L\ast
ext)\^\bfOmega
- 1
+
\^\bfOmega - . (3.30)
Зауваження 3.1. Частковi випадки теореми 3.4 було доведено у роботах [23, 52] для двови-
мiрного оператора Дiрака та тривимiрного оператора Лапласа. Запропонованi там конструкцiї
та мiркування виявились, зокрема, корисними для доведення загального випадку.
Розглянемо таку пару операторiв трансмутацiї Дельсарта (\bfOmega +,\bfOmega - ) у виглядi (3.24), що
виконуються всi умови теореми 3.4. Тодi має мiсце така лема.
Лема 3.1. Нехай оборотний оператор Фредгольма \bfOmega = 1 + \Phi (\bfOmega ) \in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\scrH ) \cap \scrB (\scrH ) з
\Phi \in \scrB \infty (\scrH ) допускає факторизацiю
\bfOmega = \bfOmega - 1
+ \bfOmega - (3.31)
за допомогою двох операторiв Дельсарта \bfOmega + та \bfOmega - у виглядi (3.24). Тодi iснує єдине ядро \^\Phi \in
\in \scrH - \otimes \scrH - , яке вiдповiдає компактному оператору \Phi (\bfOmega ) \in \scrB \infty (\scrH ) i задовольняє комутативну
умову самоподiбної конгруентностi
(Lext \otimes 1)\^\Phi = (1\otimes L\ast
ext)\^\Phi , (3.32)
асоцiйовану з властивостями (3.29) та (3.30).
З рiвностi (3.32) i теореми 3.4 легко отримати такий наслiдок.
Наслiдок 3.1. Iснує скiнченна мiра Бореля \rho \sigma , визначена на борелiвських пiдмножинах
спектра \sigma (\mathrm{L}) \cap \sigma (\mathrm{L}\ast ) i така, що має мiсце слабка рiвнiсть
\widehat \Phi =
\int
\sigma (L)\cap \sigma (L\ast )
\widehat \mathrm{Z}\lambda d\rho \sigma (\lambda ). (3.33)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1670 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Згiдно з диференцiальним виразом L \in \scrL (\scrH ), для вiдповiдних операторiв трансмутацiї
Дельсарта типу Вольтерра \bfOmega \pm умови (3.29) та (3.32) еквiвалентнi операторному рiвнянню
[\Phi (\bfOmega ), L] = 0. (3.34)
Справдi, за допомогою рiвностей (3.28) легко отримати, що
L(1 + \Phi (\bfOmega )) = L(\bfOmega - 1
+ \bfOmega - ) = \bfOmega - 1
+ (\bfOmega +L\bfOmega
- 1
+ )\bfOmega - =
= \bfOmega - 1
+ (\bfOmega - L\bfOmega
- 1
- )\bfOmega - = \bfOmega - 1
+ \bfOmega - L = (1 + \Phi (\bfOmega ))L, (3.35)
тобто справджується (3.34).
Припустимо також, що, по-перше, для iншого оператора Фредгольма \bfOmega \circledast = 1 + \Phi \circledast (\bfOmega ) \in
\in \scrB (\scrH ) з \Phi \circledast (\bfOmega ) \in \scrB \infty (\scrH ) iснують два факторизуючi його оператори трансмутацiї Дельсарта
типу Вольтерра \bfOmega \circledast
\pm у виглядi
\bfOmega \circledast
\pm = 1 +\mathrm{K}\circledast
\pm (\bfOmega ) (3.36)
з iнтегральними операторами Вольтерра [27] \mathrm{K}\circledast
\pm (\bfOmega ), асоцiйованими з ядрами \^\mathrm{K}\pm \in \scrH - \otimes \scrH - ,
а по-друге, виконується умова факторизацiї
1 + \Phi \circledast (\bfOmega ) = \bfOmega \circledast , - 1
+ \bfOmega \circledast
- . (3.37)
Тодi справедливою є така теорема.
Теорема 3.5. Нехай пара гiперповерхонь S(m)
x,\pm \subset \scrK (\mathrm{Q}) задовольняє всi умови теореми 3.4.
Тодi трансмутованi за Дельсартом оператори \~L\ast
\pm \in \scrL (\scrH ) є диференцiальними i рiвними,
тобто
\~L\ast
+ = \bfOmega \circledast
+L
\ast \bfOmega \circledast , - 1
+ = \~L\ast = \bfOmega \circledast
- L
\ast \bfOmega \circledast , - 1
- = \~L\circledast
- (3.38)
тодi i тiльки тодi, коли виконується умова комутативностi
[\Phi \circledast (\bfOmega ), L\ast ] = 0. (3.39)
Доведення. Суть доведення полягає в аналогiчному аналiзi умови конгруентностi для зада-
ної пари (L, \~L) \subset \scrL (\scrH ) диференцiальних операторiв та їх спряжень в \scrH .
За допомогою операторiв трансмутацiї Дельсарта диференцiальних операторiв L i L\ast \in
\in \scrL (\scrH ) ми отримали два диференцiальних оператори:
\~L = \bfOmega \pm L\bfOmega
- 1
\pm , \~L\ast = \bfOmega \circledast
\pm L
\ast \bfOmega \circledast , - 1
\pm , (3.40)
якi повиннi бути узгодженими i такими, що
(\~L)\ast = \widetilde (L\ast ). (3.41)
Умова (3.41), згiдно з (3.40), приводить до додаткових комутаторних виразiв для ядер \bfOmega \circledast
\pm i \bfOmega \ast
\pm :\bigl[
L\ast ,\bfOmega \ast
\pm \bfOmega
\circledast
\pm
\bigr]
= 0, (3.42)
еквiвалентних комутаторному спiввiдношенню\bigl[
L,\bfOmega \circledast ,\ast
\pm \bfOmega \pm
\bigr]
= 0. (3.43)
Як результат зображень (3.43), можна сформулювати такий наслiдок.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1671
Наслiдок 3.2. Iснують скiнченнi мiри Бореля \rho \sigma ,\pm , локалiзованi на спiльному спектрi \sigma (L)\cap
\cap \=\sigma (L\ast ), такi, що мають мiсце слабкi зображення композицiї ядер
\^\bfOmega \circledast ,\ast
\pm \circ \^\bfOmega \pm =
\int
\sigma (L)\cap \=\sigma (L\ast )
\^\mathrm{Z}\lambda d\rho \sigma ,\pm (\lambda ), (3.44)
де \^\bfOmega \circledast ,\ast
\pm i \^\bfOmega \pm \in \scrH - \otimes \scrH - — ядра iнтегральних операторiв Вольтерра \bfOmega \circledast ,\ast
\pm i \bfOmega \pm .
3.3. Оператори Вольтерра та факторизацiя операторiв Фредгольма. Iнтегральнi опе-
ратори типу Вольтерра (3.24), побудованi за допомогою ядер у виглядi (3.19), як вiдомо
[6, 23, 36, 38, 44], є важливими для розв’язування багатьох задач спектрального аналiзу та iнтег-
ровних нелiнiйних динамiчних систем [4, 5, 24, 44, 52, 57, 61] на функцiональних многовидах.
Зокрема, вони вiдiграють роль факторизуючих операторiв для класу операторiв Фредгольма, якi
записуються фундаментальними операторними рiвняннями Гельфанда – Левiтана – Марченка
[24, 36, 44], розв’язки яких є ядрами операторiв трансмутацiї Дельсарта типу Вольтерра з
вiдповiдними конгруентними ядрами для заданої пари замкнених диференцiальних операто-
рiв у гiльбертовому просторi \scrH . Тому варто вивчати їх структурнi властивостi за допомогою
зображень (3.19) та (3.24) i у дуальному виглядi на основi загальної теорiї Гохберга – Крейна
[24, 27, 46] для операторiв типу Вольтерра.
Для подальшого аналiзу введемо деякi додатковi позначення та означення [6, 27]. Роз-
глянемо лiнiйний компактний оператор \mathrm{K} \in \scrH в сепарабельному гiльбертовому просторi та
асоцiйовану з ним множину \scrP проекторiв \mathrm{P} = \mathrm{P}2 : \scrH \rightarrow \scrH , яка називається ланцюгом про-
екторiв, якщо для будь-якої пари \mathrm{P}1,\mathrm{P}2 \in \scrP , \mathrm{P}1 \not = \mathrm{P}2, маємо \mathrm{P}1 < \mathrm{P}2 або \mathrm{P}2 < \mathrm{P}1
та \mathrm{P}1\mathrm{P}2 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{P}1,\mathrm{P}2). Порядок \mathrm{P}1 < \mathrm{P}2 означає, що \mathrm{P}1\scrH \subset \mathrm{P}2\scrH , \mathrm{P}1\scrH \not = \mathrm{P}2\scrH . Якщо
\mathrm{P}1\scrH \subset \mathrm{P}2\scrH , то можна записати, що \mathrm{P}1 \leq \mathrm{P}2. Замиканням \scrP ланцюга \scrP є множина всiх
операторiв, що є слабкими границями послiдовностей з \scrP . Включення \scrP 1 \subset \scrP 2 для будь-яких
двох множин ланцюгiв проекторiв має властивiсть транзитивностi, що дозволяє розглядати
множину всiх ланцюгiв проекторiв як частково впорядковану. Ланцюг \scrP називається макси-
мальним, якщо його не можна розширити. Очевидно, що максимальний ланцюг є замкненим
i мiстить нульовий 0 \in \scrP та одиничний 1 \in \scrP оператори. Пара проекторiв (\mathrm{P} - ,\mathrm{P}+) \subset \scrP
називається розривом ланцюга \scrP , якщо \mathrm{P} - < \mathrm{P}+ i для всiх \mathrm{P} \in \scrP або \mathrm{P} < \mathrm{P} - , або
\mathrm{P}+ < \mathrm{P}. Замкнений ланцюг називається неперервним, якщо для будь-якої пари \mathrm{P}1 \not = \mathrm{P}2 \subset \scrP
iснує проектор \mathrm{P} \in \scrP такий, що \mathrm{P}1 < \mathrm{P} < \mathrm{P}2. Максимальний ланцюг \scrP назвемо цiлим,
якщо вiн неперервний. Строго зростаючу вiдносно включення проекторнозначну функцiю \mathrm{P} :
\mathrm{Q} \ni \Delta \rightarrow \scrP назвемо параметризацiєю ланцюга \scrP , якщо \scrP = \mathrm{I}\mathrm{m}(\mathrm{P}), а таку параметризацiю
самоспряженого ланцюга \scrP назвемо гладкою, якщо для будь-якого u \in \scrH додатнозначна мiра
\Delta \rightarrow (u,\mathrm{P}(\Delta )u) є абсолютно неперервною. Вiдомо [24, 27, 46], що цiлком повний ланцюг
допускає гладку параметризацiю. Звiдси випливає, що якщо ланцюг проекторiв \scrP буде са-
моспряженим, повним та мати фiксовану гладку параметризацiю вiдносно операторнозначної
функцiї \mathrm{F} : \scrP \rightarrow \scrB (\scrH ), то вирази
\int
\scrP
\mathrm{F}(\mathrm{P}) d\mathrm{P} та
\int
\scrP
d\mathrm{P}\mathrm{F}(\mathrm{P}) можна використати для вiдповiд-
них [27] iнтегралiв Рiмана – Стiльтьєса ланцюга проекторiв. Розглянемо лiнiйний компактний
оператор \mathrm{K} \in \scrB \infty (\scrH ), що дiє на сепарабельному гiльбертовому просторi \scrH i має ланцюг
проекторiв \scrP . Ланцюг \scrP назвемо власним для оператора \mathrm{K} \in \scrB \infty (\scrH ), якщо \mathrm{P}\mathrm{K}\mathrm{P} = \mathrm{K}\mathrm{P} для
будь-якого проектора \mathrm{P} \in \scrP , а це означає, що пiдпростiр \mathrm{P}\scrH iнварiантний вiдносно оператора
\mathrm{K} \in \scrB \infty (\scrH ) для будь-якого \mathrm{P} \in \scrP . Позначимо через \sigma (\mathrm{K}(\bfOmega )) спектр оператора \mathrm{K}(\bfOmega ) \in \scrL (\scrH ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1672 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Означення 3.4. Оператор \mathrm{K} \in \scrB \infty (\scrH ) назвемо вольтеррiвським, якщо \sigma (\mathrm{K}) = \{ 0\} i
вiн має максимальний власний ланцюг проекторiв \scrP такий, що для будь-якого його розриву
(\mathrm{P} - ,\mathrm{P}+) справджується спiвввiдношення
(\mathrm{P}+ - \mathrm{P} - )\mathrm{K}(\mathrm{P}+ - \mathrm{P} - ) = 0. (3.45)
Оскiльки iнтегральнi оператори (3.24) є типу Вольтерра i конгруентнi до пари (L, \widetilde L) замк-
нених диференцiальних операторiв в \scrH , цiкаво вивчити їхнi властивостi вiдносно цього озна-
чення i вiдповiдного максимального власного ланцюга проекторiв \scrP (\bfOmega ).
Припустимо, що задано оператор Фредгольма \bfOmega \in \scrB (\scrH ), який є самоконгруентним до
замкненого диференцiального оператора L \in \scrL (\scrH ). Якщо вiн заданий разом з елементарним
ядром (3.6) у спектральному виглядi (3.7), то виникає завдання опису елементарних ядер \^\mathrm{Z}\lambda ,
\lambda \in \sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ), за допомогою вiдповiдної гладкої та повної параметризацiї. Для вивчення
цiєї задачi використаємо результати, отриманi в [46, 47], якi стосуються факторизацiї операторiв
Фредгольма. Як частковий випадок ця робота мiстить деякi аспекти факторизацiї операторiв
трансмутацiї Дельсарта \bfOmega \in \scrB (\scrH ) у виглядi (3.24).
Сформулюємо деякi необхiднi результати [27, 46]. Як i вище, нехай \scrB (\scrH ) — банахова алгебра
всiх лiнiйних та неперервних на областi визначення операторiв у \scrH , \scrB \infty (\scrH ) — банахова алгебра
всiх компактних операторiв з \scrB (\scrH ), а \scrB 0(\scrH ) — лiнiйний пiдпростiр усiх скiнченновимiрних
операторiв iз \scrB \infty (\scrH ). Покладемо також
\scrB - (\scrH ) =
\bigl\{
\mathrm{K} \in \scrB (\scrH ) : (1 - \mathrm{P})\mathrm{K}\mathrm{P} = 0,\mathrm{P} \in \scrP
\bigr\}
,
\scrB +(\scrH ) =
\bigl\{
\mathrm{K} \in \scrB (\scrH ) : \mathrm{P}\mathrm{K}(1 - \mathrm{P}) = 0,\mathrm{P} \in \scrP
\bigr\} (3.46)
i назвемо оператор \mathrm{K} \in \scrB + (\mathrm{K} \in \scrB - ) верхнiм трикутним (нижнiм трикутним) вiдносно ланцю-
га проекторiв \scrP . Позначимо через \scrB p(\scrH ), p \in [1,\infty ], iдеали Неймана – Шаттена i покладемо
\scrB +
\infty (\scrH ) := \scrB \infty (\scrH ) \cap \scrB +(\scrH ), \scrB -
\infty (\scrH ) := \scrB \infty (\scrH ) \cap \scrB - (\scrH ). (3.47)
Банаховi пiдпростори (3.47) в означеннi 3.4 є вольтеррiвськими, замкненими в \scrB \infty (\scrH ) i задо-
вольняють умову
\scrB +
\infty (\scrH ) \cap \scrB -
\infty (\scrH ) = \varnothing . (3.48)
Позначимо через \scrP + (\scrP - ) вiдповiднi проектори лiнiйного простору
\widetilde \scrB \infty (\scrH ) := \scrB +
\infty (\scrH )\oplus \scrB -
\infty (\scrH ) \subset \scrB \infty (\scrH )
на \scrB +
\infty (\scrH )( \scrB -
\infty (\scrH )) i назвемо їх, як це зроблено у [27], трансформаторами трикутного зсуву.
Трансформатори \scrP + та \scrP - , як вiдомо [27], є неперервними операторами в iдеалах \scrB p(\scrH ),
p \in [1,\infty ]. З попереднiх означень отримуємо
\scrP +(\Phi ) + \scrP - (\Phi ) = \Phi , \scrP \pm (\Phi ) = \tau \scrP \mp \tau (\Phi ) (3.49)
для будь-якого \Phi \in \scrB (\scrH ), де \tau : \scrB p(\scrH ) \rightarrow \scrB p(\scrH ) — звичайна iнволюцiя в \scrB p(\scrH ) така, що
\tau (\Phi ) := \Phi \ast .
Зауваження 3.2. Трансформатори \scrP + i \scrP - суттєво залежать вiд фiксованого ланцюга
проекторiв \scrP .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1673
Покладемо
\scrV \pm
f :=
\bigl\{
1 + \mathrm{K}\pm : \mathrm{K}\pm \in \scrB \pm
\infty (\scrH )
\bigr\}
(3.50)
та
\scrV f :=
\bigl\{
\bfOmega - 1
+ \cdot \bfOmega - : \bfOmega \pm \in \scrV \pm
f
\bigr\}
. (3.51)
Неважко встановити, що \scrV +
f i \scrV -
f — пiдгрупи оборотних операторiв з \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\scrH ) \cap \scrB (\scrH ) i \scrV +
f \cap
\cap \scrV -
f = \{ 1\} . Розглянемо двi множини операторiв:
\scrW :=
\bigl\{
\Phi \in \scrB \infty (\scrH ) : \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}(1 + \mathrm{P}\Phi \mathrm{P}) = \{ 0\} , \mathrm{P} \in \scrP
\bigr\}
,
\scrW f :=
\bigl\{
\Phi \in \scrB \infty (\scrH ) : \bfOmega := 1 + \Phi \in \scrV f
\bigr\}
,
(3.52)
для яких можна сформулювати таку теорему [27, 46].
Теорема 3.6 (Гохберг, Крейн). Мають мiсце такi властивостi:
i) \scrW f \subset \scrW ;
ii) \scrB \omega (\scrH ) \cap \scrW \subset \scrW f , де \scrB \omega (\scrH ) \subset \scrB (\scrH ) — iдеал Мацаєва;
iii) для того щоб \Phi належав \scrW f , необхiдно i достатньо, щоб принаймнi один з iнтегралiв
\mathrm{K}+(\bfOmega ) = -
\int
\scrP
d\mathrm{P}\Phi \mathrm{P}(1 + \mathrm{P}\Phi \mathrm{P}) - 1,
(1 + \mathrm{K} - (\bfOmega )) - 1 - 1 = -
\int
\scrP
(1 + \mathrm{P}\Phi \mathrm{P}) - 1\mathrm{P}\Phi d\mathrm{P}
(3.53)
був збiжним у рiвномiрнiй операторнiй топологiї , i якщо один з iнтегралiв (3.53) збiжний, то
iнший також збiжний;
iv) для \Phi \in \scrW f допускається факторизацiя
\bfOmega = 1 + \Phi = (1 + \mathrm{K}+(\bfOmega )) - 1(1 + \mathrm{K} - (\bfOmega )). (3.54)
Теорема залишиться абстрактною, якщо не врахувати важливого спiввiдношення (3.34), яке
пов’язує операторнi зображення (3.54) iз заданим диференцiальним оператором L \in \scrL (\scrH ), тоб-
то необхiдно задовольнити умову (3.34). Якщо, згiдно з (3.13) та (3.28), цю умову задовольнити,
то будуть виконуватися такi рiвностi
(1 + \mathrm{K}+(\bfOmega ))L(1 + \mathrm{K}+(\bfOmega )) - 1 = \~L = (1 + \mathrm{K} - (\bfOmega ))L(1 + \mathrm{K} - (\bfOmega )) - 1 (3.55)
в \scrH та конгруентнi спiввiдношення
(\~Lext \otimes 1)\widehat \mathrm{K}\pm = (1\otimes L\ast
ext)\widehat \mathrm{K}\pm (3.56)
в \scrH +\otimes \scrH +. Тут через \^\mathrm{K}\pm \in \scrH - \otimes \scrH - позначено ядра операторiв Вольтерра \mathrm{K}\pm (\bfOmega ) \in \scrB \pm
\infty (\scrH ).
Оскiльки факторизацiя (3.54) єдина, то вiдповiднi ядра повиннi a priori задовольняти умо-
ви (3.55) i (3.56). Тому умова самоподiбної конгруентностi повинна бути розв’язною вiдносно
ядра \^\Phi \in \scrH - \otimes \scrH - , що вiдповiдає iнтегральному оператору \Phi \in \scrB \infty (\scrH ) i знайденiй вище
єдинiй факторизацiї (3.54), яка задовольняє умови (3.55) i (3.56).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1674 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Для реалiзацiї цiєї схеми встановимо спочатку єдину додатну скiнченну мiру Бореля на
борелiвських пiдмножинах \Delta \subset Q вiдкритої множини Q \subset \BbbR m, яка задовольняє для будь-
якого проектора \mathrm{P}x \in \scrP x з ланцюга \scrP x, помiченого бiжучою точкою x \in Q, умову\bigl(
u,\mathrm{P}x(\Delta )v
\bigr)
\scrH =
\int
\Delta \subset Q
\bigl(
u,\scrX x(y)v
\bigr)
d\mu \scrP x(y) (3.57)
для всiх u, v \in \scrH +, де \scrX x : Q\rightarrow \scrB 2(\scrH +,\scrH - ) для будь-якого x \in Q є вимiрним вiдносно деякої
мiри Бореля \mu \scrP x на борелiвських пiдмножинах Q операторнозначним вiдображенням Гiльбер-
та – Шмiдта. Зображення (3.57) випливає з суттєвої подiбностi до конструкцiї, що мiститься
у [2] i ґрунтується на теоремi Радона – Никодима [2, 14]. Це означає, що у слабкому сенсi
\mathrm{P}x(\Delta ) =
\int
\Delta
\scrX x(y) d\mu \scrP x(y) (3.58)
для будь-якої борелiвської множини \Delta \subset Q i бiжучої точки x \in Q. Використовуючи слабке
зображення (3.58), iнтегральний вираз \mathrm{I}f,g(x) =
\int
\scrP x
f(\mathrm{P}x) d\mathrm{P}xg(\mathrm{P}x), x \in Q, для будь-яких
неперервних вiдображень f, g : \scrP x \rightarrow \scrB (\scrH ) можна записати у виглядi
\mathrm{I}f,g(x) =
\int
Q
f(\mathrm{P}(y))\scrX x(y)g(\mathrm{P}(y)) d\mu \scrP x(y). (3.59)
Тому для вольтеррiвських операторiв (3.53) отримуємо такi вирази:
\mathrm{K}+,x(\bfOmega ) = -
\int
Q
(1 + \mathrm{P}x(y)\Phi \mathrm{P}x(y))
- 1\mathrm{P}x(y)\Phi d\mu \scrP x,+(y),
(1 + \mathrm{K}+,x(\bfOmega )) - 1 = 1 -
\int
Q
d\mu \scrP x,+(y)\Phi \mathrm{P}x(y)(1 + \mathrm{P}x(y)\Phi \mathrm{P}x(y))
- 1
(3.60)
для деякої мiри Бореля \mu \scrP x,+ на Q i заданого оператора \Phi \in \scrB \infty (\scrH ). Першу формулу з (3.60)
можна записати для вiдповiдних ядер \^\mathrm{K}+,x(y) \in \scrH - \otimes \scrH - у виглядi
\^\mathrm{K}+,x(y) = -
\int
\sigma (L)\cap \sigma (L\ast )
d\rho \sigma ,+(\lambda ) \~\psi \lambda (x)\otimes \varphi \lambda (y), (3.61)
де, згiдно iз зображенням (3.33) i теоремою 3.4, для будь-яких бiжучих точок x, y та x\prime \in Q
введено таку згортку двох ядер:\bigl(
(1 + \mathrm{P}x(x
\prime )\Phi \mathrm{P}x(x
\prime )) - 1
\bigr)
\circ (\psi \lambda (x
\prime )\otimes \varphi \lambda (y)) := \~\psi \lambda (x)\otimes \varphi \lambda (y) (3.62)
для \lambda \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ) i деякого вектора \~\psi \lambda \in \scrH - . Врахувавши зображення (3.19) при s = +,
з (3.61) легко отримати, що елементарне конгруентне ядро\widehat \widetilde \mathrm{Z}\lambda = \~\psi \lambda \otimes \varphi \lambda (3.63)
задовольняє важливi умови (\~Lext \otimes 1)
\widehat \widetilde \mathrm{Z}\lambda = \lambda
\widehat \widetilde \mathrm{Z}\lambda та (1 \otimes L\ast )
\widehat \widetilde \mathrm{Z}\lambda = \lambda
\widehat \widetilde \mathrm{Z}\lambda для будь-якого \lambda \in
\in \sigma (\~L)\cap \=\sigma (L\ast ). Для оператора \mathrm{K}+(\bfOmega ) \in \scrB +
\infty (\scrH ) знаходимо вiдповiдне iнтегральне зображення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1675
\mathrm{K}+(\bfOmega ) = -
\int
S
(m)
+,x
dy
\int
\sigma (\widetilde L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma ,+(\lambda ) \~\psi \lambda (x) \=\varphi
\intercal
\lambda (y)(\cdot ), (3.64)
яке, очевидно, задовольняє умову конгруентностi (3.13), якщо покласти
d\mu \scrP x,+(y) = \chi
S
(m)
+,x
dy, (3.65)
з характеристичною функцiєю \chi
S
(m)
+,x
носiя мiри d\mu \scrP x , тобто \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \mu \scrP x,+ := S
(m)
+,x \in \scrK (Q).
Подiбнi мiркування можна застосувати для опису структури другого факторизуючого опе-
ратора \mathrm{K} - (\bfOmega ) \in \scrB -
\infty (\scrH ):
\mathrm{K} - (\bfOmega ) = -
\int
S
(m)
- ,x
dy
\int
\sigma (\widetilde L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma , - (\lambda ) \~\psi \lambda (x) \=\varphi
\intercal
\lambda (y)(\cdot ), (3.66)
де, за означенням, S(m)
- ,x \subset Q, x \in Q, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\mu \scrP x, - := S
(m)
- ,x \in \scrK (Q) — носiй скiнченної мiри
Бореля \mu \scrP x, - , заданої на борелiвських пiдмножинах Q \subset \BbbR m i такої, що вiдповiдає операто-
ру (3.66).
Природно взяти x \in \partial S
(m)
+,x \cap \partial S(m)
- ,x , що є внутрiшньою точкою межi
\partial S
(m)
+,x\setminus \partial Q = - \partial S(m)
- ,x\setminus \partial Q := \sigma (m - 1)
x \in \scrK (Q),
де \scrK (Q) — деякий сингулярний комплекс, породжений вiдкритою множиною Q \subset \BbbR m. Таким
чином, для оператора Фредгольма \bfOmega := 1 + \Phi \in \mathrm{V}f вiдповiдна факторизацiя запишеться як
\bfOmega = (1 + \mathrm{K}+(\bfOmega )) - 1(1 + \mathrm{K} - (\bfOmega )) := \bfOmega - 1
+ \bfOmega - , (3.67)
де iнтегральнi оператори \mathrm{K}\pm (\bfOmega ) \in \scrB \pm
\infty (\scrH ) заданi виразами (3.64) i (3.66), параметризованими
бiжучою внутрiшньою точкою x \in Q.
4. Диференцiально-геометрична структура узагальненої тотожностi Лагранжа i асоцi-
йованi оператори трансмутацiї Дельсарта. У пунктi 3 ми вивчали спектральну структуру
вольтеррiвських операторiв трансмутацiї Дельсарта \bfOmega \pm , якi факторизують деякий оператор
Фредгольма \bfOmega = \bfOmega - 1
+ \bfOmega - , i розглядали їх зв’язок iз пiдходом робiт [27, 46]. Зокрема, ми пока-
зали, що iснують деякi мiри Бореля \mu \scrP x,\pm , локалiзованi на гiперповерхнях S(m)
\pm ,x \in \scrK (Q) i при-
родно пов’язанi з вiдповiдними iнтегральними операторами \mathrm{K}\pm (\bfOmega ), ядра \^\mathrm{K}\pm (\bfOmega ) \in \scrH - \otimes \scrH -
яких є конгруентними до заданої пари диференцiальних операторiв (L, \~L) \subset \scrL (\scrH ), що задо-
вольняють спiввiдношення (3.24). Вивчимо тепер деякi диференцiально-геометричнi властивос-
тi тотожностi Лагранжа, асоцiйованої з двома диференцiальними операторами L та \~L в \scrH , i
опишемо за допомогою сконструйованих ядер iнтегральних операторiв вiдповiднi оператори
трансмутацiї Дельсарта у спектральному виглядi, як це зроблено у пунктi 3.
Розглянемо багатовимiрний лiнiйний диференцiальний оператор \mathrm{L} : \scrH \rightarrow \scrH степеня n(\mathrm{L}) \in
\in \BbbZ + вигляду
\mathrm{L}(x| \partial ) :=
n(L)\sum
| \alpha | =0
a\alpha (x)
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
, (4.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1676 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
який задано на щiльнiй областi визначення D(\mathrm{L}) \subset \scrH , де \alpha \in \BbbZ m
+ — мультиiндекс, x \in
\in \BbbR m та a\alpha \in \scrS (\BbbR m; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N ), \alpha \in \BbbZ m
+ . Розглянемо узагальнену тотожнiсть Лагранжа для
диференцiального виразу (4.1):
\langle \mathrm{L}\ast \varphi ,\psi \rangle - \langle \varphi ,\mathrm{L}\psi \rangle =
m\sum
i=1
( - 1)i+1 \partial
\partial xi
Zi[\varphi ,\psi ], (4.2)
де (\varphi ,\psi ) \in \scrH \ast \times \scrH , вiдображення Zi : \scrH \ast \times \scrH \rightarrow \BbbC , i = 1,m, пiвторалiнiйнi та \mathrm{L}\ast : \scrH \ast \rightarrow \scrH \ast —
вiдповiдний формально спряжений за Лагранжем до (4.1) диференцiальний вираз, тобто
\mathrm{L}\ast (x| \partial ) :=
n(\scrL )\sum
| \alpha | =0
( - 1)| \alpha |
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
\=a\intercal \alpha (x).
Оскiльки подальший аналiз буде ґрунтуватись на диференцiально-геометричних конструкцiях,
асоцiйованих з диференцiальними операторами на пiдмноговидах в \BbbR m для довiльних m \in \BbbN ,
ми переформулюємо [75] тотожнiсть Лагранжа (4.2) у термiнах диференцiальних форм. А саме,
домножаючи тотожнiсть (4.2) на звичайну орiєнтовану мiру Лебега dx = \wedge
j=
- - \rightarrow
1,m
dxj , отримуємо
\bigl\langle
\mathrm{L}\ast \varphi ,\psi
\bigr\rangle
dx - \langle \varphi ,\mathrm{L}\psi \rangle dx = dZ(m - 1)[\varphi ,\psi ] (4.3)
для (\varphi ,\psi ) \in \scrH \ast \times \scrH , де
Z(m - 1)[\varphi ,\psi ] :=
m\sum
i=1
dx1 \wedge dx2 \wedge . . . \wedge dxi - 1 \wedge Zi[\varphi ,\psi ]dxi+1 \wedge . . . \wedge dxm (4.4)
—(m - 1)-диференцiальна форма на \BbbR m.
Розглянемо всi такi пари (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 \subset \scrH - \times \scrH - , \lambda , \mu \in \Sigma , для яких
\scrH + \subset \scrH \subset \scrH - (4.5)
— звичайна трiйка Гельфанда гiльбертових просторiв [2, 3]; замкненi пiдпростори \scrH \ast
0 \times \scrH 0 \subset
\subset \scrH - \times \scrH - певним чином асоцiйованi з операторами \mathrm{L},\mathrm{L}\ast \subset \scrL (\scrH ); \Sigma \in \BbbC p, p \in \BbbZ +, — деякий
фiксований метризований простiр параметрiв, який має скiнченну мiру Бореля \rho , причому
диференцiальна форма (4.4) є точною, тобто iснує множина (m - 2)-диференцiальних форм
\Omega (m - 2)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
\in \Lambda m - 2(\BbbR m;\BbbC ), \lambda , \mu \in \Sigma , на \BbbR m, якi задовольняють умову
Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
= d\Omega (m - 2)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
. (4.6)
Щоб виконувалась умова (4.6), потрiбно розглянути замкненi пiдпростори \scrH \ast
0 i \scrH 0 \subset \scrH - , якi
є розв’язками вiдповiдних диференцiальних рiвнянь з деякими граничними умовами:
\scrH 0 :=
\bigl\{
\psi (\lambda ) \in \scrH - : \mathrm{L}\psi (\lambda ) = 0, \psi (\lambda )| x\in \Gamma = 0, \lambda \in \Sigma
\bigr\}
,
\scrH \ast
0 :=
\bigl\{
\varphi (\lambda ) \in \scrH \ast
- : \mathrm{L}\ast \varphi (\lambda ) = 0, \varphi (\lambda )| x\in \Gamma = 0, \lambda \in \Sigma
\bigr\}
.
(4.7)
Трiйка (4.5) дозволяє правильно знайти множину узагальнених власних функцiй (4.7) для роз-
ширених операторiв \mathrm{L},\mathrm{L}\ast : \scrH - \rightarrow \scrH - , якщо \Gamma \subset \BbbR m вибрати як деяку (n - 1)-вимiрну
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1677
кусково-гладку гiперповерхню, вкладену в конфiгурацiйний простiр \BbbR m. Може, зокрема, ви-
явитись [23, 26, 36, 38, 77], що граничнi умови не є необхiдними.
Позначимо через S\pm (\sigma
(m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0 ) \subset M деякi двi (m - 1)-вимiрнi кусково-гладкi гi-
перповерхнi в M, що не перетинаються, де M := \=\BbbR m — деяка топологiчна компактифiка-
цiя \BbbR m, такi, що мають спiльну межу, тобто \partial S\pm
\Bigl(
\sigma
(m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0
\Bigr)
= \sigma
(m - 2)
x - \sigma
(m - 2)
x0 та
\partial
\Bigl(
S+
\Bigl(
\sigma
(m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0
\Bigr)
\cup S -
\Bigl(
\sigma
(m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0
\Bigr) \Bigr)
= \varnothing , де \sigma (m - 2)
x i \sigma (m - 2)
x0 \subset M — деякi (m - 2)-
вимiрнi гомологiчнi цикли з ланцюгового комплексу \scrK (M), i формально параметризованi двома
точками x, x0 \in M, асоцiйованими певним чином з вибраною вище крайовою гiперповерхнею
\Gamma \subset M. З (4.6), ґрунтуючись на загальнiй теоремi Стокса [19, 26, 77, 80], отримуємо\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
=
\int
\partial S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \Omega (m - 2)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
=
=
\int
\sigma
(m - 2)
x
\Omega (m - 2)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
-
\int
\sigma
(m - 2)
x0
\Omega (m - 2)
\bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
:=
:= \Omega x(\lambda , \mu ) - \Omega x0(\lambda , \mu ),
(4.8)\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr)
_
Z
(m - 1),\intercal \bigl[
\varphi (\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
=
\int
\partial S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=\Omega (m - 2),\intercal \bigl[ \varphi (\lambda ), \psi (\mu )\bigr] =
=
\int
\sigma
(m - 2)
x
\=\Omega (m - 2),\intercal \bigl[ \varphi (\lambda ), \psi (\mu )\bigr] - \int
\sigma
(m - 2)
x0
\=\Omega (m - 2),\intercal \bigl[ \varphi (\lambda ), \psi (\mu )\bigr] :=
:= \Omega \circledast
x (\lambda , \mu ) - \Omega \circledast
x0
(\lambda , \mu )
для множини функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , з операторними ядрами \Omega x(\lambda , \mu ),
\Omega \circledast
x (\lambda , \mu ) та \Omega x0(\lambda , \mu ), \Omega
\circledast
x (\lambda , \mu ), \lambda , \mu \in \Sigma , що дiють у гiльбертовому просторi L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ).
Будемо вважати, що цi ядра невиродженi в L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) i задовольняють умови гомотопiї
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow x0
\Omega x(\lambda , \mu ) = \Omega x0(\lambda , \mu ), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow x0
\Omega \circledast
x (\lambda , \mu ) = \Omega \circledast
x0
(\lambda , \mu ).
Задамо дiї двох пар лiнiйних операторiв трансмутацiї Дельсарта \bfOmega \pm : \scrH \rightarrow \scrH та \bfOmega \circledast
\pm :
\scrH \ast \rightarrow \scrH \ast на фiксованiй множинi функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma :
\~\psi (\lambda ) = \bfOmega \pm (\psi (\lambda )) :=
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\psi (\eta )\Omega - 1
x (\eta , \mu )\Omega x0(\mu , \lambda ),
\~\varphi (\lambda ) = \bfOmega \circledast
\pm (\varphi (\lambda )) :=
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x (\mu , \eta )\Omega \circledast
x0
(\lambda , \mu ).
(4.9)
Використовуючи вирази (4.9), на основi методу варiацiї сталих та довiльностi вибраної множи-
ни функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , можна легко вiдновити вiдповiднi вирази для
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1678 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
операторiв \bfOmega \pm та \bfOmega \circledast
\pm : \scrH - \rightarrow \scrH - :
\~\psi (\lambda ) =
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\psi (\eta )\Omega x(\eta , \mu )\Omega
- 1
x (\mu , \lambda ) -
-
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\psi (\eta )\Omega - 1
x (\eta , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\mu ), \psi (\lambda )
\bigr]
=
= \psi (\lambda ) -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )
\int
\Sigma
d\rho (\nu )
\int
\Sigma
d\rho (\xi )\psi (\eta )\Omega - 1
x (\eta , \nu )\times
\times \Omega x0(\nu , \xi )\Omega
- 1
x0
(\xi , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\mu ), \psi (\lambda )
\bigr]
=
= \psi (\lambda ) -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\psi (\eta )\Omega - 1
x0
(\eta , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\mu ), \psi (\lambda )
\bigr]
=
=
\left( \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\psi (\eta )\Omega - 1
x0
(\eta , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\mu ), (\cdot )
\bigr] \right) \psi (\lambda ) :=
:= \bfOmega \pm \cdot \psi (\lambda ),
(4.10)
\~\varphi (\lambda ) =
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x (\mu , \eta )\Omega \circledast
x (\lambda , \mu ) -
-
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x (\mu , \eta )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=Z(m - 1),\intercal \bigl[ \varphi (\lambda ), \psi (\mu )\bigr] =
= \varphi (\lambda ) -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\nu )
\int
\Sigma
d\rho (\xi )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x (\xi , \eta )\times
\times \Omega \circledast
x0
(\nu , \xi )\Omega \circledast , - 1
x0
(\mu , \nu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=Z(m - 1),\intercal \bigl[ \varphi (\lambda ), \psi (\mu )\bigr] =
=
\left( \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x0
(\mu , \eta )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=Z(m - 1),\intercal \bigl[ (\cdot ), \psi (\mu )\bigr]
\right) \varphi (\lambda ) :=
:= \bfOmega \circledast
\pm \cdot \varphi (\lambda ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1679
де, за визначенням, вирази
\bfOmega \pm := \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\psi (\eta )\Omega - 1
x0
(\eta , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\varphi (\mu ), (\cdot )
\bigr]
,
\bfOmega \circledast
\pm := \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x0
(\mu , \eta )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=Z(m - 1),\intercal \bigl[ (\cdot ), \psi (\mu )\bigr] (4.11)
є багатовимiрними iнтегральними операторами типу Вольтерра. Слiд зауважити, що елементи
(\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 i ( \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )) \in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , в операторних виразах (4.11) є
довiльними, але фiксованими. Тому оператори (4.11) розширюють свою дiю (4.9) з фiксованої
пари функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , на увесь функцiональний простiр \scrH \ast \times \scrH .
Внаслiдок симетричностi виразiв (4.9) та (4.11) вiдносно двох множин функцiй
(\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 та ( \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )) \in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , має мiсце така лема.
Лема 4.1. Оператори (4.11) є обмеженими та оборотними виразами типу Вольтерра,
оберненi до яких задаються таким чином:
\bfOmega - 1
\pm := \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\psi (\eta )\~\Omega - 1
x0
(\eta , \mu )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) Z(m - 1)
\bigl[
\~\varphi (\mu ), (\cdot )
\bigr]
,
\bfOmega \circledast , - 1
\pm := \bfone -
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu )\varphi (\eta )\Omega \circledast , - 1
x0
(\mu , \eta )
\int
S\pm
\bigl(
\sigma
(m - 2)
x ,\sigma
(m - 2)
x0
\bigr) \=Z(m - 1),\intercal \bigl[ (\cdot ), \~\psi (\mu )\bigr] , (4.12)
де двi множини функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 i ( \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )) \in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma , заданi
довiльно, але є фiксованими.
Щоб вирази (4.12) були узгодженi з вiдображеннями (4.9), їх дiя повинна, очевидно, задо-
вольняти умови
\psi (\lambda ) = \bfOmega - 1
\pm
\~\psi (\lambda ) =
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\psi (\eta )\~\Omega - 1
x (\eta , \mu )\~\Omega x0(\mu , \lambda ),
\varphi (\lambda ) = \bfOmega \circledast , - 1
\pm \~\varphi (\lambda ) =
\int
\Sigma
d\rho (\eta )
\int
\Sigma
d\rho (\mu ) \~\varphi (\eta )\~\Omega \circledast , - 1
x (\mu , \eta )\~\Omega \circledast
x0
(\lambda , \mu ),
(4.13)
де для будь-якої множини функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0\times \scrH 0 i ( \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )) \in \~\scrH \ast
0\times \~\scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma ,
виконується спiввiдношення\bigl( \bigl\langle
\~\mathrm{L}\ast \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )
\bigr\rangle
-
\bigl\langle
\~\varphi (\lambda ), \~\mathrm{L} \~\psi (\mu )
\bigr\rangle \bigr)
dx = d
\bigl(
\~Z(m - 1)
\bigl[
\~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )
\bigr] \bigr)
,
\~Z(m - 1)
\bigl[
\~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )
\bigr]
= d\~\Omega (m - 2)
\bigl[
\~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )
\bigr]
,
(4.14)
якщо
\~\mathrm{L} := \bfOmega \pm \mathrm{L}\bfOmega
- 1
\pm , \~\mathrm{L}\ast := \bfOmega \circledast
\pm \mathrm{L}
\ast \bfOmega \circledast , - 1
\pm . (4.15)
Крiм того, вирази для операторiв \~\mathrm{L} : \scrH \rightarrow \scrH i \~\mathrm{L}\ast : \scrH \ast \rightarrow \scrH \ast не залежать вiд вибору iндексiв
операторiв \bfOmega + або \bfOmega - i є диференцiальними. Оскiльки остання умова задає, власне, оператори
трансмутацiї Дельсарта (4.12), справедливою є така теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1680 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
Теорема 4.1. Пара (\~\mathrm{L}, \~\mathrm{L}\ast ) операторних виразiв \~\mathrm{L} := \bfOmega \pm \mathrm{L}\bfOmega
- 1
\pm та \~\mathrm{L}\ast := \bfOmega \circledast
\pm \mathrm{L}
\ast \bfOmega \circledast , - 1
\pm , що
дiють у просторi \scrH \times \scrH \ast , є суто диференцiальною для будь-яких вибраних належним чином
гiперповерхонь S\pm
\Bigl(
\sigma
(m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0
\Bigr)
\in \scrK (M) з симплiцiального комплексу \scrK (M).
Доведення. Необхiдно показати, що формальнi псевдодиференцiальнi вирази, якi вiдповiда-
ють операторам \~\mathrm{L} i \~\mathrm{L}\ast , не мiстять iнтегральних елементiв. Використовуючи iдею робiт [52, 64],
можна сформулювати таку лему.
Лема 4.2. Псевдодиференцiальний оператор \mathrm{L} : \scrH \rightarrow \scrH є суто диференцiальним тодi i
тiльки тодi, коли має мiсце рiвнiсть\Biggl(
h,
\biggl(
\mathrm{L}
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
\biggr)
+
f
\Biggr)
=
\Biggl(
h,\mathrm{L}+
\partial | \alpha |
\partial x\alpha
f
\Biggr)
(4.16)
для будь-якого | \alpha | \in \BbbZ + та всiх (h, f) \in \scrH \ast \times \scrH , тобто умова (4.16) еквiвалентна рiвностi
\mathrm{L}+ = \mathrm{L}, де знак (. . .)+ позначає суто диференцiальну частину виразу в дужках.
На основi цiєї леми i виразiв для операторiв (4.11), як i у роботi [64], можна показати, що
оператори \~\mathrm{L} i \~\mathrm{L}\ast , залежнi, вiдповiдно, тiльки вiд двох гомологiчних циклiв \sigma (m - 2)
x , \sigma
(m - 2)
x0 \in
\in \scrK (M) з симплiцiального ланцюгового комплексу \scrK (M), параметризованих точками x, x0 \in
\in \BbbR m, та вiд двох множин функцiй (\varphi (\lambda ), \psi (\mu )) \in \scrH \ast
0\times \scrH 0 i ( \~\varphi (\lambda ), \~\psi (\mu )) \in \~\scrH \ast
0\times \~\scrH 0, \lambda , \mu \in \Sigma ,
є суто диференцiальними, що завершує доведення теореми.
Диференцiально-геометричну конструкцiю, запропоновану вище, можна, зокрема, нетривi-
ально узагальнити на випадок m \in \BbbZ + комутуючих мiж собою диференцiальних операторiв у
гiльбертовому просторi \scrH . Ця конструкцiя веде до нового пiдходу до теорiї операторiв трансму-
тацiї Дельсарта на основi узагальнених диференцiально-геометричних i топологiчних методiв
теорiї де Рама – Ходжа. Цi аспекти будуть розглядатись у наступному пунктi.
5. Диференцiально-геометрична i топологiчна структура операторiв трансмутацiї ти-
пу Дельсарта: узагальнена теорiя де Рама – Ходжа. В цьому пунктi ми пояснимо диферен-
цiально-геометричну i топологiчну природу спектральних результатiв, отриманих вище, якi
узагальнюються для множини \scrL комутуючих лiнiйних диференцiальних операторiв, асоцiйо-
ваної за Дельсартом з iншою множиною \~\scrL комутуючих диференцiальних операторiв в \scrH . Цi
результати ґрунтуються на теорiї спецiальних узагальнених диференцiальних комплексiв де Ра-
ма – Ходжа [19, 20, 77] i ведуть до ефективних аналiтичних виразiв для вiдповiдних операторiв
трансмутацiї Дельсарта, заданих у гiльбертовому просторi \scrH . В результатi ми отримуємо та-
кож iнтегрально-операторну структуру операторiв трансмутацiї Дельсарта для полiномiальних
в’язок диференцiальних операторiв в \scrH , якi мають багато застосувань як в спектральнiй теорiї
багатовимiрних операторних в’язок, так i в теорiї солiтонiв [24, 44, 50, 52 – 54, 57, 61] багато-
вимiрних iнтегровних динамiчних систем на функцiональних многовидах, що мають широке
застосування у сучаснiй математичнiй фiзицi.
Позначимо, як i ранiше, через M := \=\BbbR m компактифiкований метричний простiр розмiрностi
m = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M \in \BbbZ + (без межi) i задамо деяку скiнченну множину \scrL гладких комутуючих один
iз одним лiнiйних диференцiальних операторiв за змiнною x \in M :
\mathrm{L}j(x| \partial ) :=
n(Lj)\sum
| \alpha | =0
a(j)\alpha (x)\partial | \alpha | /\partial x\alpha (5.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1681
iз коефiцiєнтами класу Шварца a(j)\alpha \in \scrS (M ; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N ), | \alpha | = 0, n(\mathrm{L}j), n(\mathrm{L}j) \in \BbbZ +, j = 1,m,
якi дiють у гiльбертовому просторi \scrH := L2(M ;\BbbC N ). Будемо вважати, що областi визначення
D(\mathrm{L}j) := D(\scrL ) \subset \scrH , j = 1,m, щiльнi в \scrH .
Розглянемо узагальнений оператор зовнiшнього антидиференцiювання d\scrL : \Lambda (M ;\scrH ) \rightarrow
\rightarrow \Lambda (M ;\scrH ), що дiє в лiнiйному просторi векторних диференцiальних форм Грасмана \Lambda (M ;\scrH )
таким чином: для будь-якого \beta (k) \in \Lambda k(M ;\scrH ), k = 0,m,
d\scrL \beta
(k) :=
m\sum
j=1
dxj \wedge \mathrm{L}j(x; \partial )\beta
(k) \in \Lambda k+1(M ;\scrH ). (5.2)
Неважко встановити, що операцiя (5.2) у випадку \mathrm{L}j(x; \partial ) := \partial /\partial xj , j = 1,m, збiгається зi
звичайним зовнiшнiм диференцiюванням d =
\sum m
j=1
dxj\wedge \partial /\partial xj на векторному просторi Грас-
мана \Lambda (M ;\scrH ). Використовуючи операцiю (5.2) на \Lambda (M ;\scrH ), можна побудувати узагальнений
коланцюговий комплекс де Рама:
\scrH \rightarrow \Lambda 0(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow \Lambda 1(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow . . .
d\scrL \rightarrow \Lambda m(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow 0. (5.3)
Комплекс (5.3) має важливу властивiсть, яку сформулюємо у виглядi леми.
Лема 5.1. Коланцюговий комплекс (5.3) є точним.
Доведення безпосередньо випливає з рiвностi d\scrL d\scrL = 0, яка має мiсце згiдно з комутатив-
нiстю операторiв (5.1).
Далi будемо частково дотримуватись iдей робiт [20, 71]. Диференцiальна форма \beta \in
\in \Lambda (M ;\scrH ) називається d\scrL -замкненою, якщо d\scrL \beta = 0, а форма \gamma \in \Lambda (M ;\scrH ) — d\scrL -гомологiчною
нулю, якщо iснує на M така форма \omega \in \Lambda (M ;\scrH ), що \gamma = d\scrL \omega .
Розглянемо стандартну алгебраїчну зiркову операцiю Ходжа:
\star : \Lambda k(M ;\scrH ) \rightarrow \Lambda m - k(M ;\scrH ), k = 0,m, (5.4)
як це зроблено у [8, 19, 20, 80]: якщо \beta належить \Lambda k(M ;\scrH ), то форма \star \beta \in \Lambda m - k(M ;\scrH ) є
такою, що:
i) (m - k)-вимiрний об’єм | \star \beta | форми \star \beta дорiвнює k-вимiрному об’єму | \beta | форми \beta ;
ii) m-вимiрна мiра \=\beta \intercal \wedge \star \beta > 0 при фiксованiй орiєнтацiї на M.
Задамо на векторному просторi \Lambda (M ;\scrH ) природний скалярний добуток: для будь-яких
\beta , \gamma \in \Lambda k(M ;\scrH ), k = 0,m,
(\beta , \gamma ) :=
\int
M
\=\beta \intercal \wedge \star \gamma . (5.5)
Згiдно зi скалярним добутком (5.5), можна побудувати гiльбертiв простiр
\scrH \Lambda (M) :=
m
\oplus
k=0
\scrH k
\Lambda (M),
необхiдний для подальшого викладу. Зауважимо також, що зiркова операцiя Ходжа має таку
властивiсть: для будь-яких \beta , \gamma \in \scrH k
\Lambda (M), k = 0,m,
(\beta , \gamma ) = ( \star \beta , \star \gamma ), (5.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1682 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
тобто операцiя Ходжа \star : \scrH \Lambda (M) \rightarrow \scrH \Lambda (M) є iзометричною i спряженою вiдносно скалярного
добутку (5.5) операцiєю, що задовольняє умову ( \star )\prime = ( \star ) - 1.
Позначимо через d \prime
\scrL формально спряжений вираз до зовнiшньої слабкої диференцiальної
операцiї d\scrL : \scrH \Lambda (M)\rightarrow \scrH \Lambda (M) у гiльбертовому просторi \scrH \Lambda (M). Використовуючи операцiї
d \prime
\scrL та d\scrL в \scrH \Lambda (M), можна природним чином задати [8, 20, 80] узагальнений оператор Лапласа –
Ходжа \Delta \scrL : \scrH \Lambda (M) \rightarrow \scrH \Lambda (M):
\Delta \scrL := d \prime
\scrL d\scrL + d\scrL d
\prime
\scrL . (5.7)
Розглянемо форму \beta \in \scrH \Lambda (M), яка задовольняє рiвнiсть
\Delta \scrL \beta = 0. (5.8)
Таку форму назвемо гармонiчною. Можна встановити, що гармонiчна форма \beta \in \scrH \Lambda (M)
задовольняє одночасно двi спряженi умови:
d \prime
\scrL \beta = 0, d\scrL \beta = 0, (5.9)
що безпосередньо випливають iз (5.7) та (5.9).
Неважко перевiрити, що диференцiальна операцiя в \scrH \Lambda (M)
d\ast \scrL := \star d \prime
\scrL ( \star )
- 1 (5.10)
задає також [19, 26, 77] звичайну зовнiшню операцiю антидиференцiювання у просторi \scrH \Lambda (M).
Дуальний до (5.3) коланцюговий комплекс
\scrH \rightarrow \Lambda 0(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow \Lambda 1(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow . . .
d\ast \scrL \rightarrow \Lambda m(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow 0, (5.11)
очевидно, є також точним, оскiльки властивiсть d\ast \scrL d
\ast
\scrL = 0 має мiсце згiдно з означенням (5.7).
Позначимо через \scrH k
\Lambda (\scrL )(M) та \scrH k
\Lambda (\scrL \ast )(M), k = 0,m, когомологiчнi групи вiдповiдно d\scrL -
замкнених та d\ast \scrL -замкнених диференцiальних форм, а через \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL )(M), k = 0,m, абелевi
групи гармонiчних диференцiальних форм iз гiльбертових пiдпросторiв \scrH k
\Lambda (M), k = 0,m.
Задамо також звичайну впорядковану послiдовнiсть [2] додатних та вiд’ємних гiльбертових
просторiв диференцiальних форм
\scrH k
\Lambda ,+(M) \subset \scrH k
\Lambda (M) \subset \scrH k
\Lambda , - (M) (5.12)
i вiдповiднi впорядкованi послiдовностi гiльбертових пiдпросторiв для гармонiчних форм
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ),+(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL )(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ), - (M) (5.13)
та когомологiчних груп
\scrH k
\Lambda (\scrL ),+(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL )(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M),
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast ),+(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast )(M) \subset \scrH k
\Lambda (\scrL \ast ), - (M)
(5.14)
для будь-якого k = 0,m. Вважаємо також, що оператор Лапласа – Ходжа (5.7) є елiптичним
в \scrH 0
\Lambda (M). Виходячи з мiркувань робiт [8, 19, 77], можна сформулювати дещо узагальнену
теорему де Рама – Ходжа.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1683
Теорема 5.1. Групи гармонiчних форм \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ), - (M), k = 0,m, iзоморфнi до груп ко-
гомологiй (Hk(M ;\BbbC ))\Sigma , k = 0,m, де Hk(M ;\BbbC ) — k-та когомологiчна група многовиду M
з комплексними коефiцiєнтами, \Sigma \subset \BbbC p — множина спектральних параметрiв, якi познача-
ють лiнiйний простiр незалежних d\ast \scrL -замкнених 0-форм з \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M), i мають мiсце такi
розклади в прямi суми:
\scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ), - (M)\oplus \Delta \scrH k
- (M) = \scrH k
\Lambda , - (M) = \scrH k
\Lambda (\scrL \ast \scrL ), - (M)\oplus d\scrL \scrH k - 1
\Lambda , - (M)\oplus d \prime
\scrL \scrH k+1
\Lambda , - (M) (5.15)
для будь-якого k = 0,m.
Iнший варiант подiбного твердження був сформульований у [71] i є узагальненою теоремою
де Рама – Ходжа.
Теорема 5.2 (див. [71]). Узагальненi групи когомологiй \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M), k = 0,m, iзоморфнi,
вiдповiдно, до груп когомологiй (Hk(M ;\BbbC ))\Sigma , k = 0,m.
Доведення цiєї теореми ґрунтується на деякiй спецiальнiй послiдовностi [71] диференцi-
альних тотожностей типу Лагранжа. Задамо замкненi пiдпростори
\scrH \ast
0 :=
\bigl\{
\varphi (0)(\lambda ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (M) : d\ast \scrL \varphi
(0)(\lambda ) = 0, \varphi (0)(\lambda )| \Gamma = 0, \lambda \in \Sigma
\bigr\}
(5.16)
для деякої гладкої (m - 1)-вимiрної гiперповерхнi \Gamma \subset M та \Sigma \subset
\bigl(
\sigma (\scrL ) \cap \=\sigma (\scrL \ast )
\bigr)
\times \Sigma \sigma \subset \BbbC p,
де \scrH 0
\Lambda (\scrL \ast ), - (M) — впорядкована когомологiчна група нульового порядку [2, 3] з ланцюга
гiльбертових просторiв (5.14), \sigma (\scrL ) i \sigma (\scrL \ast ) — вiдповiднi спектри множини операторiв \scrL та \scrL \ast .
Вважаємо, що розмiрнiсть \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\scrH \ast
0 = \mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}\Sigma є вiдомою.
Наступна лема є фундаментальною для доведення теореми 5.2.
Лема 5.2 (див. [71]). Iснують множина диференцiальних (k + 1)-форм
Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in \Lambda k+1(M ;\scrH ), k = 0,m,
та множина диференцiальних k-форм
Z(k)[\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)] \in \Lambda k(M ; \scrC ), k = 0,m,
параметризованих спектральною множиною \Sigma \ni \lambda i пiвторалiнiйних щодо
\bigl(
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr)
\in
\in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda , - (M) таких, що
Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
= dZ(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
(5.17)
для всiх k = 0,m та \lambda \in \Sigma .
Доведення ґрунтується на узагальненiй тотожностi типу Лагранжа, яка має мiсце для будь-
якої пари (\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)) \in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda , - (M):
0 =
\bigl\langle
d\ast \scrL \varphi
(0)(\lambda ), \star (\psi (k) \wedge \=\gamma )
\bigr\rangle
=
=
\bigl\langle
\star d \prime
\scrL ( \star )
- 1\varphi (0)(\lambda ), \star (\psi (k) \wedge \=\gamma )
\bigr\rangle
=
=
\bigl\langle
d \prime
\scrL ( \star )
- 1\varphi (0)(\lambda ), \psi (k) \wedge \=\gamma
\bigr\rangle
=
=
\bigl\langle
( \star ) - 1\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k) \wedge \=\gamma
\bigr\rangle
+ Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\wedge \=\gamma =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1684 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
= \langle ( \star ) - 1\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k) \wedge \=\gamma \rangle + dZ(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
\wedge \=\gamma , (5.18)
де Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in \Lambda k+1(M ;\BbbC ), k = 0,m, i Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
\in \Lambda k - 1(M ;\BbbC ), k =
= 0,m, — деякi пiвторалiнiйнi диференцiальнi форми, параметризованi елементами \lambda \in \Sigma , а
\=\gamma \in \Lambda m - k - 1(M ;\BbbC ) — довiльна стала (m - k - 1)-форма. Тому пiвторалiнiйнi диференцiальнi
(k+1)-форми Z(k+1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), d\scrL \psi
(k)
\bigr]
\in \Lambda k+1(M ;\BbbC ), k = 0,m, та k-форми Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
\in
\in \Lambda k(M ;\BbbC ), k = 0,m, \lambda \in \Sigma , задовольняють умови даної леми.
На основi леми 5.2 можна побудувати iзоморфiзм груп когомологiй, про який йдеться у
теоремi 5.2. Зокрема, згiдно з [71], розглянемо деяке симплiцiальне [19, 77] розбиття \scrK (M)
многовиду M i введемо лiнiйнi вiдображення B(k)
\lambda : \scrH k
\Lambda , - (M) \rightarrow Ck(M ;\BbbC )), k = 0,m, \lambda \in \Sigma ,
де Ck(M ;\BbbC ), k = 0,m, — вiдповiднi вiльнi абелевi групи над полем \BbbC , породженi всiма
k-ланцюгами симплексiв S(k) \in Ck(M ;\BbbC ), k = 0,m, з симплiцiального комплексу \scrK (M):
B
(k)
\lambda (\psi (k)) :=
\sum
S(k)\in Ck(M ;\BbbC ))
S(k)
\int
S(k)
Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)
\bigr]
, (5.19)
де \psi (k) \in \scrH k
\Lambda (M), k = 0,m. За допомогою вiдображень (5.19) сформулюємо таку теорему.
Теорема 5.3 (див. [71]). Множина лiнiйних вiдображень (5.19), параметризованих елемен-
тами \lambda \in \Sigma , задає iзоморфiзм груп когомологiй iз теореми 5.2.
Доведення можна провести за допомогою вiдображень (5.19), розглянувши групи когомо-
логiй \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M) i гомологiй Hk(M ;\BbbC ) многовиду M для кожного k = 0,m. Якщо взяти
елемент \psi (k) := \psi (k)(\mu ) \in \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M), k = 0,m, який розв’язує рiвняння d\scrL \psi
(k)(\mu ) = 0,
де \mu \in \Sigma k — деяка множина спектральних параметрiв, якi позначають елементи пiдпростору
\scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M), то з (5.19) i тотожностi (5.18) легко отримати
dZ(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )
\bigr]
= 0 (5.20)
для всiх пар параметрiв (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma k, k = 0,m. Це означає, що, згiдно з лемою Паункаре
[26, 77], iснують диференцiальнi (k - 1)-форми \Omega (k - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
\in \Lambda k - 1(M ;\BbbC ), k = 0,m,
такi, що
Z(k)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (\mu )
\bigr]
= d\Omega (k - 1)[\varphi (0)(\lambda ), \psi (\mu )] (5.21)
для всiх пар (\varphi (0)(\lambda ), \psi (k)(\mu )) \in \scrH \ast
0 \times \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M), параметризованих елементами (\lambda , \mu ) \in
\in \Sigma \times \Sigma k, k = 0,m. Пiсля переходу в правiй частинi (5.19) до груп гомологiй Hk(M ;\BbbC ),
k = 0,m, переконаємося, згiдно з теоремою Стокса [19, 26, 77, 80], що вiдображення
B
(k)
\lambda : \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M) \rightleftarrows Hk(M ;\BbbC ) (5.22)
є iзоморфiзмами для будь-якого \lambda \in \Sigma . Використовуючи дуальнiсть Пуанкаре [77] для груп
гомологiй Hk(M ;\BbbC ), k = 0,m, та когомологiй Hk(M ;\BbbC ), k = 0,m, отримуємо твердження
теореми 5.3, тобто \scrH k
\Lambda (\scrL ), - (M) \simeq (Hk(M ;\BbbC ))\Sigma .
Будемо вважати тепер, що M := \mathrm{T}r\times \=\BbbR s, \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}M = s+r \in \BbbZ +, та \scrH := L2(\mathrm{T}
r;L2(\BbbR s;\BbbC N )),
де \mathrm{T}r :=
r
\times
j=1
\mathrm{T}j , \mathrm{T}j := [0,\mathrm{T}j) \subset \BbbR +, j = 1, r, i покладемо
d\scrL =
r\sum
j=1
dtj \wedge \mathrm{L}j(t;x| \partial ), \mathrm{L}j(t;x| \partial ) := \partial /\partial tj - Lj(t;x| \partial ), (5.23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1685
де
Lj(t;x| \partial ) =
n(Lj)\sum
| \alpha | =0
a(j)\alpha (t;x)\partial | \alpha | /\partial x\alpha , j = 1, r, (5.24)
— диференцiальнi операцiї, параметрично залежнi вiд t \in \mathrm{T}r i заданi на щiльних пiдпросторах
D(\mathrm{L}j) = D(\scrL ) \subset L2(\BbbR s;\BbbC N ), j = 1, r. Будемо вважати також, що оператори \mathrm{L}j : \scrH \rightarrow \scrH ,
j = 1, r, комутують мiж собою.
Розглянемо фiксовану пару (\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx) \in \scrH \ast
0 \times \scrH s
\Lambda (\scrL ), - (M), параметризовану еле-
ментами (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma , для яких, згiдно з теоремами 5.3 та Стокса [19, 26, 77, 80], має мiсце
рiвнiсть
B
(s)
\lambda (\psi (0)(\mu )dx) = S
(s)
(t;x)
\int
\partial S
(s)
(t;x)
\Omega (s - 1)
\biggl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
, (5.25)
де S(s)
(t;x) \in Cs(M ;\BbbC ) — деякий довiльний, але фiксований елемент, параметризований довiльно
вибраною точкою (t;x) \in M \cap S(s)
(t;x). Розглянемо iнтегральнi вирази
\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) :=
\int
\partial S
(s)
(t;x)
\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
,
\Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) :=
\int
\partial S
(s)
(t0;x0)
\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
,
(5.26)
де точка (t0;x0) \in M \cap S
(s)
(t0;x0)
є фiксованою, параметри \lambda , \mu належать \Sigma , якi iнтерпрету-
ються як вiдповiднi ядра [2] оборотних iнтегральних операторiв типу Гiльберта – Шмiдта \Omega (t;x),
\Omega (t0;x0) : L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) \rightarrow L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ), а \rho — деяка скiнченна мiра Бореля на множинi параметрiв
\Sigma . Вважаємо також, що межi \partial S(s)
(t;x) := \sigma
(s - 1)
(t;x) i \partial S(s)
(t0;x0)
:= \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
гомологiчнi одна до одної
при (t;x) \rightarrow (t0;x0) \in M. Задамо вiдображення
\bfOmega \pm : \psi (0)(\eta ) \rightarrow \~\psi (0)(\eta ) (5.27)
для \psi (0)(\eta )dx \in \scrH s
\Lambda (\scrL ), - (M) i деякого \~\psi (0)(\eta )dx \in \scrH s
\Lambda , - (M), де, за означенням,
\~\psi (0)(\eta ) := \psi (0)(\eta ) \cdot \Omega - 1
(t;x)\Omega (t0;x0) =
=
\int
\Sigma
d\rho (\mu )
\int
\Sigma
d\rho (\xi )\psi (0)(\mu )\Omega - 1
(t;x)(\mu , \xi )\Omega (t0;x0)(\xi , \eta ) (5.28)
для будь-якого \eta \in \Sigma завдяки (5.25). Припустимо також, що елементи (5.28) асоцiйованi з
iншими елементами iз трансмутованої за Дельсартом групи когомологiй \scrH s
\Lambda ( \~\scrL ), - (M), тобто
виконується умова
d \~\scrL
\~\psi (0)(\eta )dx = 0 (5.29)
для \~\psi (0)(\eta )dx \in \scrH s
\Lambda ( \~\scrL ), - (M), \eta \in \Sigma , i нового зовнiшнього антидиференцiювання в \scrH \Lambda , - (M):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1686 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
d \~\scrL :=
m\sum
j=1
dxj \wedge \~\mathrm{L}j(t;x| \partial ), \~\mathrm{L}j(t;x| \partial ) := \partial /\partial tj - \~Lj(t;x| \partial ), (5.30)
де вирази
\~Lj(t;x| \partial ) =
n(Lj)\sum
| \alpha | =0
\~a(j)\alpha (t;x)\partial | \alpha | /\partial x\alpha , (5.31)
j = 1, r, є деякими диференцiальними операцiями в L2(\BbbR s;\BbbC N ), параметрично залежними вiд
t \in \mathrm{T}r.
Покладемо, за визначенням, що
\~\mathrm{L}j := \bfOmega \pm \mathrm{L}j\bfOmega
- 1
\pm (5.32)
для кожного j = 1, r, де \bfOmega \pm : \scrH \rightarrow \scrH — вiдповiднi оператори трансмутацiї Дельсарта, асо-
цiйованi з деякими елементами S\pm (\sigma
(s - 1)
x;t , \sigma
(s - 1)
x0;t0
) \in Cs(M ;\BbbC ), що вiдповiдають гомологiч-
ним одна до одної межам \partial S
(s)
x;t = \sigma
(s - 1)
x;t та \partial S
(s)
x0;t0
= \sigma
(s - 1)
x0;t0
. Оскiльки всi оператори \mathrm{L}j :
\scrH \rightarrow \scrH , j = 1, r, вибрано комутуючими, то така властивiсть має мiсце для трансмутованих
операторiв (5.32), тобто [\~\mathrm{L}j , \~\mathrm{L}k] = 0, k, j = 0,m. Останнє, що є еквiвалентним до (5.32),
приводить до загального виразу
d \~\scrL = \bfOmega \pm d\scrL \bfOmega
- 1
\pm . (5.33)
Щоб задовольнити умови (5.33) i (5.29), розглянемо, вiдповiдно до (5.25), вирази
\~B
(s)
\lambda ( \~\psi (0)(\eta )dx) = S
(s)
(t;x)
\~\Omega (t;x)(\lambda , \eta ), (5.34)
асоцiйованi iз зовнiшним диференцiюванням (5.33), де S(s)
(t;x) \in Cs(M ;\BbbC ) та (\lambda , \eta ) \in \Sigma \times \Sigma .
Нехай задано вiдображення
\bfOmega \circledast
\pm : \varphi (0)(\lambda ) \rightarrow \~\varphi (0)(\lambda ), (5.35)
де \bfOmega \circledast
\pm : \scrH \ast \rightarrow \scrH \ast — деякi оператори, що асоцiйованi (необов’язково тут спряженi) з вiдповiд-
ними операторами перетворення Дельсарта \bfOmega \pm : \scrH \rightarrow \scrH i задовольняють стандартнi спiввiдно-
шення \~\mathrm{L}\ast
j := \bfOmega \circledast
\pm \mathrm{L}
\ast
j\bfOmega
\circledast , - 1
\pm , j = 1, r. Власне, оператори типу Дельсарта \bfOmega \pm : \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) \rightarrow
\rightarrow \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL ), - (M) пов’язанi з двома рiзними зображеннями дiї (5.28) при необхiдних додаткових
умовах
d \~\scrL
\~\psi (0)(\eta )dx = 0, d\ast \~\scrL \~\varphi (0)(\lambda ) = 0, (5.36)
якi означають, що мають мiсце вкладення \~\varphi (0)(\lambda ) \in \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL \ast ), - (M), \lambda \in \Sigma , та \~\psi (0)(\eta )dx \in
\in \scrH s
\Lambda ( \~\scrL ), - (M), \eta \in \Sigma . Сформулюємо важливу щодо умов (5.36) лему.
Лема 5.3. Має мiсце властивiсть iнварiантностi
\~Z(s) = \Omega (t0;x0)\Omega
- 1
(t;x)Z
(s)\Omega - 1
(t;x)\Omega (t0;x0) (5.37)
для будь-яких (t;x) та (t0;x0) \in M.
На пiдставi спiввiдношення (5.37) i симетричної дуальностi мiж просторами когомологiй
\scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) i \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL ), - (M) отримуємо такi пари вiдображень:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1687
\psi (0) = \~\psi (0) \~\Omega - 1
(t;x)
\~\Omega (t0;x0), \varphi (0) = \~\varphi (0) \~\Omega \circledast , - 1
(t;x)
\~\Omega \circledast
(t0;x0)
,
\~\psi (0) = \psi (0)\Omega - 1
(t;x)\Omega (t0;x0), \~\varphi (0) = \varphi (0)\Omega \circledast , - 1
(t;x) \Omega
\circledast
(t0;x0)
,
(5.38)
де ядра вiдповiдних iнтегральних операторiв з L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC )\otimes L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) визначенi як
\~\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) :=
\int
\sigma
(s)
(t;x)
\~\Omega (s - 2)
\bigl[
\~\varphi (0)(\lambda ), \~\psi (0)(\mu )dx
\bigr]
,
\~\Omega \circledast
(t;x)(\lambda , \mu ) :=
\int
\sigma
(s)
(t;x)
_
\~\Omega
(s - 2),\intercal \bigl[
\~\varphi (0)(\lambda ), \~\psi (0)(\mu )dx
\bigr] (5.39)
для всiх (\lambda , \mu ) \in \Sigma \times \Sigma , що дозволяє знайти оператори перетворення Дельсарта, якi забезпе-
чують суто диференцiальну природу перетворених виразiв (5.32).
Зауважимо, що згiдно (5.37) та (5.38) має мiсце операторна рiвнiсть
\Omega (t0;x0)\Omega
- 1
(t;x)\Omega (t0;x0) +
\~\Omega (t0;x0)\Omega
- 1
(t;x)\Omega (t0;x0) = 0 (5.40)
для будь-яких (t0;x0) i (t;x) \in M, тобто \~\Omega (t0;x0) = - \Omega (t0;x0).
Визначимо подiбно до (5.16) три додаткових замкнених та щiльних в \scrH 0
\Lambda , - (M) пiдпростори:
\scrH 0 :=
\Bigl\{
\psi (0)(\mu ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) : d\scrL \psi
(0)(\mu ) = 0, \psi (0)(\mu )| \Gamma = 0, \mu \in \Sigma
\Bigr\}
,
\~\scrH 0 :=
\Bigl\{
\~\psi (0)(\mu ) \in \scrH 0
\Lambda ( \widetilde \scrL ), - (M) : d \widetilde \scrL \~\psi (0)(\mu ) = 0, \~\psi (0)(\mu )| \~\Gamma = 0, \mu \in \Sigma
\Bigr\}
, (5.41)
\~\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\~\varphi (0)(\eta ) \in \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL \ast ), - (M) : d\ast \widetilde \scrL \~\psi (0)(\eta ) = 0, \~\varphi (0)(\eta )| \~\Gamma = 0, \eta \in \Sigma
\Bigr\}
,
де \Gamma та \~\Gamma \subset M — деякi гладкi (s - 1)-вимiрнi гiперповерхнi, i визначимо дiї
\bfOmega \pm : \psi (0) \rightarrow \~\psi (0) := \psi (0)\Omega - 1
(t;x)\Omega (t;x), \bfOmega \circledast
\pm : \varphi (0) \rightarrow \~\varphi (0) := \varphi (0)\Omega \circledast , - 1
(t;x) \Omega
\circledast
(t0;x0)
(5.42)
на довiльнiй, але фiксованiй парi елементiв
\bigl(
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH 0, параметризованiй
множиною \Sigma , де, за визначенням, необхiдно, щоб всi отриманi пари
\bigl(
\~\varphi (0)(\lambda ), \~\psi (0)(\mu )dx
\bigr)
, \lambda , \mu \in
\in \Sigma , належали до \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL \ast ), - (M) \times \scrH s
\Lambda ( \~\scrL ), - (M). Зауважимо, що операторну властивiсть (5.40)
можна записати компактнiше:
\~\Omega (t;x) = \~\Omega (t0;x0)\Omega
- 1
(t;x)\Omega (t0;x0) = - \Omega (t0;x0)\Omega
- 1
(t;x)\Omega (t0;x0). (5.43)
Побудуємо за виразами (5.42) такi операторнi ядра з гiльбертового простору L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) \otimes
\otimes L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ):
\Omega (t;x)(\lambda , \mu ) - \Omega (t0;x0)(\lambda , \mu ) =
\int
\partial S
(s)
(t;x)
\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1688 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
-
\int
\partial S
(s)
(t0;x0)
\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
=
=
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) d\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
=
=
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) Z(s)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
(5.44)
та
\Omega \circledast
(t;x)(\lambda , \mu ) - \Omega \circledast
(t0;x0)
(\lambda , \mu ) =
\int
\partial S
(s)
(t;x)
\=\Omega (s - 1),\intercal \bigl[ \varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
-
-
\int
\partial S
(s)
(t0;x0)
\=\Omega (s - 1),\intercal \bigl[ \varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
=
=
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) d\=\Omega (s - 1),\intercal \bigl[ \varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
=
=
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) \=Z(s - 1),\intercal \bigl[ \varphi (0)(\lambda ), \psi (0)(\mu )dx
\bigr]
, (5.45)
де \lambda , \mu належать \Sigma i s-вимiрнi поверхнi S(s)
+
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x) , \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
та S
(s)
-
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x) , \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\subset
\subset M напнутi гладко без самоперетинiв мiж двома гомологiчними циклами \sigma
(s - 1)
(t;x) = \partial S
(s)
(t;x)
та \sigma (s - 1)
(t0;x0)
:= \partial S
(s)
(t0;x0)
\in Cs - 1(M ;\BbbC ) так, що межа
\partial
\Bigl(
S
(s)
+
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x) , \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\cup S(s)
-
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x) , \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr) \Bigr)
= \varnothing .
Оскiльки вирази \Omega (t0;x0),\Omega
\circledast
(t0;x0)
: L(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) \rightarrow L
(\rho )
2 (\Sigma ;\BbbC ) є сталими при фiксованiй точцi
(t0;x0) \in M i, за припущенням, оборотнi, то для продовження дiй, заданих виразами (5.42),
на весь гiльбертiв простiр \scrH \times \scrH \ast можна застосувати до них, як i ранiше, класичний метод
варiацiї сталих, використавши (5.45). В результатi отримаємо такi вирази для iнтегральних
операторiв перетворення Дельсарта:
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\Sigma \times \Sigma
d\rho (\xi )d\rho (\eta ) \~\psi (x; \xi )\Omega - 1
(t0;x0)
(\xi , \eta )
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) Z(s)[\varphi (0)(\eta ), \cdot ],
\bfOmega \circledast
\pm = \bfone -
\int
\Sigma \times \Sigma
d\rho (\xi )d\rho (\eta ) \~\varphi (x; \eta )\Omega \circledast , - 1
(t0;x0)
(\xi , \eta )
\int
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) \=Z(s),\intercal [\cdot , \psi (0)(\xi )dx],
(5.46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1689
заданих для фiксованих пар
\bigl(
\varphi (0)(\xi ), \psi (0)(\eta )
\bigr)
\in \scrH \ast
0 \times \scrH 0 та
\bigl(
\~\varphi (0)(\lambda ), \~\psi (0)(\mu )
\bigr)
\in \~\scrH \ast
0 \times \~\scrH 0,
\lambda , \mu \in \Sigma , якi є обмеженими оборотними iнтегральними операторними парами типу Вольтерра
на просторi \scrH \times \scrH \ast . Застосовуючи мiркування з пункту 1, можна показати, що вiдповiднi
трансмутованi множини операторiв \~\mathrm{L}j := \bfOmega \pm \mathrm{L}j\bfOmega
- 1
\pm , j = 1, r, i \~\mathrm{L}\ast
k := \bfOmega \circledast
\pm \mathrm{L}
\ast
k\bfOmega
\circledast , - 1
\pm , k = 1, r,
є суто диференцiальними. Тому має мiсце така теорема.
Теорема 5.4. Вирази (5.46) є обмеженими оборотними iнтегральними операторами транс-
мутацiї Дельсарта типу Вольтерра на \scrH \times \scrH \ast , що перетворюють заданi комутуючi множини
операторiв \mathrm{L}j , j = 1, r, та їх формально спряженi \mathrm{L}\ast
k, k = 1, r, у вiдповiднi суто диферен-
цiальнi множини операторiв \~\mathrm{L}j := \bfOmega \pm \mathrm{L}j\bfOmega
- 1
\pm , j = 1, r, та \~\mathrm{L}\ast
k := \bfOmega \circledast
\pm \mathrm{L}
\ast
k\bfOmega
\circledast , - 1
\pm , k = 1, r. Крiм
того, належним чином побудованi замкненi пiдпростори \scrH 0 \subset \scrH i \~\scrH 0 \subset \scrH такi, що вольтер-
рiвськi оператори \bfOmega \pm суттєво залежать вiд топологiчної структури узагальнених груп кого-
мологiй \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) та \scrH 0
\Lambda ( \~\scrL ), - (M), параметризованих елементами S
(s)
\pm
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t;x) , \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\in
\in Cs(M ;\BbbC ).
Припустимо, що всi диференцiальнi оператори Lj := Lj(x| \partial ), j = 1, r, розглянутi вище,
не залежать вiд змiнної t \in \mathrm{T}r \subset \BbbR r
+. Тодi можна взяти
\scrH 0 :=
\Bigl\{
\psi (0)
\mu (\xi ) \in L2, - (\BbbR s;\BbbC N ) : Lj\psi
(0)
\mu (\xi ) = \mu j\psi
(0)
\mu (\xi ), j = 1, r,
\psi (0)
\mu (\xi )| \Gamma = 0, \mu := (\mu 1, . . . , \mu r) \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), \xi \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\~\scrH 0 :=
\Bigl\{
\~\psi (0)
\mu (\xi ) \in L2, - (\BbbR s;\BbbC N ) : \~Lj
\~\psi (0)
\mu (\xi ) = \mu j \~\psi
(0)
\mu (\xi ), j = 1, r,
\~\psi (0)
\mu (\xi )| \~\Gamma = 0, \mu := (\mu 1, . . . , \mu r) \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), \xi \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in L2, - (\BbbR s;\BbbC N ) : Lj\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = \=\lambda j\varphi
(0)
\lambda (\eta ), j = 1, r,
\varphi
(0)
\lambda (\eta )| \Gamma = 0, \lambda := (\lambda 1, . . . , \lambda r) \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), \eta \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
\~\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) \in L2, - (\BbbR s;\BbbC N ) : \~Lj \~\varphi
(0)
\lambda (\eta ) = \=\lambda j \~\varphi
(0)
\lambda (\eta ), j = 1, r,
\~\varphi
(0)
\lambda (\eta )| \~\Gamma = 0, \lambda := (\lambda 1, . . . , \lambda r) \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), \eta \in \Sigma \sigma
\Bigr\}
(5.47)
i побудувати вiдповiднi оператори трансмутацiї Дельсарта
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\sigma (\~L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma (\lambda )
\int
\Sigma \sigma \times \Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi )d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
\times
\int
dx
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
x ,\sigma
(s - 1)
x0
\bigr) \~\psi (0)
\lambda (\xi )\Omega - 1
(x0)
(\lambda ; \xi , \eta ) \=\varphi
(0),\intercal
\lambda (\eta )(\cdot ) (5.48)
та
\bfOmega \circledast
\pm = \bfone -
\int
\sigma (\~L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma (\lambda )
\int
\Sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi )d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1690 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\times
\int
dx
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
x ,\sigma
(s - 1)
x0
\bigr) \~\varphi (0)
\lambda (\xi )\=\Omega \intercal , - 1
(x0)
(\lambda ; \xi , \eta )\times \=\psi
(0),\intercal
\lambda (\eta )(\cdot ), (5.49)
що дiють вже у гiльбертовому просторi L2(\BbbR s;\BbbC N ), де для будь-яких (\lambda ; \xi , \eta ) \in (\sigma (\~L) \cap
\cap \=\sigma (L\ast ))\times \Sigma 2
\sigma ядра
\Omega (x0)(\lambda ; \xi , \eta ) :=
\int
\sigma
(s - 1)
x0
\Omega (s - 1)
\Bigl[
\varphi
(0)
\lambda (\xi ), \psi
(0)
\lambda (\eta )dx
\Bigr]
,
\Omega \circledast
(x0)
(\lambda ; \xi , \eta ) :=
\int
\sigma
(s - 1)
x0
\=\Omega (s - 1),\intercal
\Bigl[
\varphi
(0)
\lambda (\xi ), \psi
(0)
\lambda (\eta )dx
\Bigr] (5.50)
належать до L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ) \times L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ) для кожного \lambda \in \sigma (\~L) \cap \=\sigma (L\ast ), що вважається тут
параметром. Крiм того, оскiльки \partial \bfOmega \pm /\partial tj = 0, j = 1, r, неважко отримати множину диферен-
цiальних виразiв
\scrR (\~L) :=
\Bigl\{
\~Lj(x| \partial ) := \bfOmega \pm Lj(x| \partial )\bfOmega - 1
\pm : j = 1, r
\Bigr\}
, (5.51)
що утворюють кiльце комутуючих один з одним диференцiальних операторiв, якi дiють в
L2(\BbbR s;\BbbC N ), породжених вiдповiдним початковим кiльцем \scrR (L).
Отже, ми певним чином описали кiльце \scrR (\~L) комутуючих мiж собою багатовимiрних
диференцiальних операторiв, породжених початковим кiльцем \scrR (L). Зокрема, в одновимiрному
випадку ця задача розглядалась i була розв’язана у роботах [33, 57] за допомогою алгебро-
геометричних методiв та методу оберненого спектрального перетворення. Наш пiдхiд є новим
поглядом на цю задачу в багатовимiрному випадку.
6. Спецiальний випадок: теорiя солiтонiв. Розглянемо узагальнену теорiю де Рама –
Ходжа про комутуючу множину \scrL двох диференцiальних операторiв у гiльбертовому просторi
\scrH := L2(\mathrm{T}
2;H), H := L2(\BbbR s;\BbbC N ), для випадку, коли M := \mathrm{T}2 \times \=\BbbR s та
\scrL :=
\Bigl\{
\mathrm{L}j := \partial /\partial tj - Lj(t;x| \partial ) : tj \in \mathrm{T}j := [0,\mathrm{T}j) \subset \BbbR +, j = 1, 2
\Bigr\}
,
де, за означенням, \mathrm{T}2 := \mathrm{T}1 \times \mathrm{T}2,
Lj(t;x| \partial ) :=
n(Lj)\sum
| \alpha | =0
a(j)\alpha (t;x)\partial | \alpha | /\partial x\alpha (6.1)
з коефiцiєнтами a
(j)
\alpha \in C1
\bigl(
\mathrm{T}2;S(\BbbR s; \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}\BbbC N )
\bigr)
, \alpha \in \BbbZ s
+, | \alpha | = 0, n(Lj), j = 1, 2. Вiдповiдний
скалярний добуток має вигляд
(\varphi ,\psi ) :=
\int
T2
dt
\int
\BbbR s
dx\langle \varphi ,\psi \rangle (6.2)
для будь-якої пари (\varphi ,\psi ) \in \scrH \times \scrH , а узагальнений зовнiшнiй диференцiал
d\scrL :=
2\sum
j=1
dtj \wedge \mathrm{L}j , (6.3)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1691
де вважається, що для всiх t \in \mathrm{T}2 та x \in \BbbR s комутатор
[\mathrm{L}1,\mathrm{L}2] = 0. (6.4)
Це означає, що вiдповiднi узагальненi коланцюговi комплекси де Рама – Ходжа
\scrH \rightarrow \Lambda 0(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow \Lambda 1(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow . . .
d\scrL \rightarrow \Lambda m(M ;\scrH )
d\scrL \rightarrow 0,
\scrH \rightarrow \Lambda 0(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow \Lambda 1(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow . . .
d\ast \scrL \rightarrow \Lambda m(M ;\scrH )
d\ast \scrL \rightarrow 0
(6.5)
є точними. Задамо, згiдно з (5.16) та (5.41), замкненi пiдпростори \scrH \circledast
0 i \scrH 0 \subset \scrH - :
\scrH 0 :=
\Bigl\{
\psi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) : \partial \psi (0)(\lambda ; \eta )/\partial tj =
= Lj(t;x| \partial )\psi (0)(\lambda ; \eta ), j = 1, 2,
\psi (0)(\lambda ; \eta )| t=t0 = \psi \lambda (\eta ) \in H - , \psi
(0)(\lambda ; \eta )| \Gamma = 0,
(\lambda ; \eta ) \in \Sigma \subset (\sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ))\times \Sigma \sigma
\Bigr\}
,
(6.6)
\scrH \ast
0 :=
\Bigl\{
\varphi (0)(\lambda ; \eta ) \in \scrH 0
\Lambda (\scrL ), - (M) : - \partial \varphi (0)(\lambda ; \eta )/\partial tj =
= Lj(t;x| \partial )\varphi (0)(\lambda ; \eta ), j = 1, 2,
\varphi (0)(\lambda ; \eta )| t=t0 = \varphi \lambda (\eta ) \in H - , \varphi
(0)(\lambda ; \eta )| \Gamma = 0,
(\lambda ; \eta ) \in \Sigma \subset (\sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast ))\times \Sigma \sigma
\Bigr\}
для деякої гладкої гiперповерхнi \Gamma \subset M i спектральної множини виродження \Sigma \sigma \in \BbbC p - 1. За
допомогою пiдпросторiв (6.6) можна побудувати оборотнi оператори трансмутацiї Дельсарта
\bfOmega \pm : H \rightarrow H у загальному виглядi (5.49) з ядрами \Omega (t0;x0)(\lambda ; \xi , \eta ) \in L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC )\times L
(\rho )
2 (\Sigma \sigma ;\BbbC ):
\Omega (t0;x0)(\lambda ; \xi , \eta ) :=
\int
\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Omega (s - 1)
\bigl[
\varphi (0)(\lambda ; \xi ), \psi (0)(\lambda ; \eta )dx
\bigr]
,
\Omega \circledast
(t0;x0)
(\lambda ; \xi , \eta ) :=
\int
\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\=\Omega (s - 1),\intercal \bigl[ \varphi (0)(\lambda ; \xi ), \psi (0)(\lambda ; \eta )dx
\bigr] (6.7)
для всiх (\lambda ; \xi , \eta ) \in (\sigma (L) \cap \=\sigma (L\ast )) \times \Sigma 2
\sigma . В результатi отримаємо щодо вiдповiдного розкладу
мiри \rho := \rho \sigma \odot \rho \Sigma 2
\sigma
такi iнтегральнi вирази:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1692 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
\bfOmega \pm = \bfone -
\int
\sigma (\~L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma (\lambda )
\int
\Sigma \sigma \times \Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi )d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
\times
\int
dx
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) \~\psi (0)(\lambda ; \xi )\Omega - 1
(t0;x0)
(\lambda ; \xi , \eta ) \=\varphi (0),\intercal (\lambda ; \eta )(\cdot ),
\bfOmega \circledast
\pm = \bfone -
\int
\sigma (\~L)\cap \=\sigma (L\ast )
d\rho \sigma (\lambda )
\int
\Sigma \sigma \times \Sigma \sigma
d\rho \Sigma \sigma (\xi )d\rho \Sigma \sigma (\eta )\times
\times
\int
dx
S
(s)
\pm
\bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
,\sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\bigr) \~\varphi (0)
\lambda (\xi )\=\Omega \intercal , - 1
(t0;x0)
(\lambda ; \xi , \eta )\times \=\psi (0),\intercal (\lambda ; \eta )(\cdot ),
(6.8)
де S
(s)
+
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
, \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\in Cs(M ;\BbbC ) — деяка гладка s-вимiрна поверхня, напнута мiж двома
гомологiчними циклами \sigma
(s - 1)
(t0;x)
та \sigma (s - 1)
(t0;x0)
\in \scrK (M), а S(s)
-
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
, \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\in Cs(M ;\BbbC ) — така
гладка s-вимiрна поверхня, що \partial
\Bigl(
S
(s)
+
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
, \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr)
\cup S(s)
-
\Bigl(
\sigma
(s - 1)
(t0;x)
, \sigma
(s - 1)
(t0;x0)
\Bigr) \Bigr)
= \varnothing . За ре-
зультатами пункту 3 можна побудувати, врахувавши (6.8), вiдповiдно факторизованi оператори
Фредгольма \bfOmega i \bfOmega \circledast : H \rightarrow H, H = L2(\BbbR s;\BbbC N ):
\bfOmega := \bfOmega - 1
+ \bfOmega - , \bfOmega \circledast := \bfOmega \circledast - 1
+ \bfOmega \circledast
- . (6.9)
Варто зазначити, що ядра \^K\pm (\bfOmega ) та \^K\pm (\bfOmega
\circledast ) \in H - \otimes H - задовольняють узагальненi [2]
визначальнi рiвняння у тензорному виглядi
( \~\scrL \otimes \bfone ) \^K\pm (\bfOmega ) = (\bfone \otimes \scrL \ast ) \^K\pm (\bfOmega ),
( \~\scrL \ast \otimes \bfone ) \^K\pm (\bfOmega
\circledast ) = (\bfone \otimes \mathrm{L}) \^K\pm (\bfOmega
\circledast ).
(6.10)
Оскiльки \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K+(\bfOmega )\cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K - (\bfOmega ) = \sigma
(s - 1)
(t0;x)
\cup \sigma (t0;x0) та \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K+(\bfOmega
\circledast )\cup \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} \^K - (\bfOmega
\circledast ) = \BbbR s,
за результатами [28, 46, 62] отримуємо, що вiдповiднi рiвняння Гельфанда – Левiтана – Марченка
мають вигляд
\^K+(\bfOmega ) + \^\Phi (\bfOmega )+ \^K+(\bfOmega ) \cdot \^\Phi (\bfOmega ) = \^K - (\bfOmega ),
\^K+(\bfOmega
\circledast ) + \^\Phi (\bfOmega \circledast )+ \^K+(\bfOmega
\circledast ) \cdot \^\Phi (\bfOmega \circledast ) = \^K - (\bfOmega
\circledast ),
(6.11)
де, за означенням, \bfOmega : = \bfone + \^\Phi (\bfOmega ), \bfOmega \circledast := 1+ \^\Phi (\bfOmega \circledast ), i їх можна розв’язати [27, 46] у просторi
\scrB \pm
\infty (H) для ядер \^K\pm (\bfOmega ) i \^K\pm (\bfOmega
\circledast ) \in H - \otimes H - , що параметрично залежать вiд t \in \mathrm{T}2. Тому
трансмутованi за Дельсартом диференцiальнi оператори \~\mathrm{L}j : \scrH \rightarrow \scrH , j = 1, 2, комутують мiж
собою i задовольняють спiввiдношення
\~\mathrm{L}j = \partial /\partial tj - \bfOmega \pm Lj\bfOmega
- 1
\pm -
\bigl(
\partial \bfOmega \pm /\partial tj
\bigr)
\bfOmega - 1
\pm := \partial /\partial tj - \~Lj , (6.12)
де операторнi вирази для \~Lj : H \rightarrow H, j = 1, 2, є суто диференцiальними. Остання властивiсть
дозволяє побудувати певнi нелiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними на кое-
фiцiєнти диференцiальних операторiв (6.12) i розв’язати їх за допомогою стандартної процеду-
ри оберненого спектрального перетворення [36, 38, 44, 57] або перетворення Дарбу – Беклунда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1693
[37, 60, 67], якi дають широкий клас точних розв’язкiв солiтонного типу. Iнший непростий, але
цiкавий аспект пiдходу, розвиненого в данiй роботi, пов’язаний [15] з алгоритмами дослiдження
диференцiально-операторних виразiв, залежних вiд спектрального параметра \lambda \in \BbbC , i, зокрема,
ранiше обговорювався у роботах [28, 62].
Автори вдячнi колегам з Iнституту математики НАН України, механiко-математичного фа-
культету Київського нацiонального унiверситету iменi Т. Шевченка та механiко-математичного
факультету Львiвського нацiонального унiверситету iменi I. Франка за кориснi обговорення
теорiї операторiв трансмутацiї Дельсарта та їх застосувань у сучаснiй математичнiй фiзицi.
Особливо хочемо вiдзначити плiднi дискусiї та кориснi поради i зауваження, наданi професо-
ром Л. П. Нижником та доцентом I. В. Микитюком пiд час пiдготовки рукопису до публiкацiї.
Лiтература
1. Абловиц М., Сегур X. Солитоны и метод обратной задачи рассеяния. – М.: Мир, 1989.
2. Berezansky Yu. M. Eigenfunctions expansions related with selfadjoint operators. – Kiev: Naukova Dumka, 1965
(in Russian).
3. Berezin F. A., Shubin M. A. Schrödinger equation. – Moscow: Moscow Univ. Publ., 1983 (in Russian).
4. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. Hr. Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral
and differential-geometrical integrability analysis. – World Sci. Publ., 2011.
5. Blackmore D., Prykarpatsky A. K., Zagrodzinski J. Lax-type flows on Grassmann manifolds and dual momentum
mappings // Rep. Math. Phys. –1997. – 40, № 3. – P. 539 – 549.
6. Bukhgeim A. L. Volterra equations and inverse problems. – Moscow: Nauka, 1983 (in Russian).
7. Calogero F., Degasperis A. Spectral transform and solitons // Stud. Math. and Appl. – 1982. – Vol. 1. – 532 p.
8. Chern S. S. Complex manifolds. – Chicago Univ. Publ., 1956.
9. Carroll R. Topics in soliton theory. – North Holland, 1991. – 428 p.
10. Carroll R. Transmutation and operator differential equations. – North Holland, 1979. – 245 p.
11. Carroll R. Transmutation, scattering theory and special functions. – North Holland, 1982. – 457 p.
12. Carroll R. Transmutation theory and applications. – North Holland, 1986. – 351 p.
13. Chadan K., Sabatier P. C. Inverse problems in quantum scattering theory. – Springer, 1989. – 439 p.
14. Danford N., Schwartz J. T. Linear operators. – New York: InterSci. Publ., 1963.
15. Datta B. N., Sarkissian D. R. Feedback control in distributed parameter gyroscopic systems: a solution of the partial
eigenvalue assignment problem // Mech. Syst. and Signal Proc. – 2002. – 16, № 1. – P. 3 – 17.
16. Delsarte J. Sur certaines transformations fonctionelles relative aux equations lineaires aux derives partielles du second
ordre // C. R. Acad. Sci. Paris. – 1938. – 206. – P. 178 – 182.
17. Delsarte J., Lions J. L. Transmutations d’operateurs differentielles dans le domain complexe // Comment. Math.
Helv. – 1957. – 52. – P. 113 – 128.
18. Delsarte J., Lions J. L. Moyennes generalisees // Comment. Math. Helv. – 1959. – № 34. – P. 59 – 69.
19. De Rham G. Varietes differentielles. – Paris: Hermann, 1955.
20. De Rham G. Sur la theorie des formes differentielles harmoniques // Ann. Univ. Grenoble. – 1946. – 22. – P. 135 – 152.
21. Dirac P. A. M. The principles of quantum mechanics. – Oxford Univ. Press, 1935. – 300 p.
22. Dunford N., Schwartz T. Linear operators. Spectral operators. – New York etc.: Wiley-lntersci., 1971.
23. Faddeev L. D. Quantum inverse scattering problem. II // Modern Problems Math. – Moscow: VINITI Publ., 1974. –
3. – P. 93 – 180 (in Russian).
24. Faddeev L. D., Takhtadjyan L. A. Hamiltonian approach to soliton theory. – Moscow: Nauka, 1986 (in Russian).
25. Gilbert R., Begehr Y. Transformations, transmutations and kernel functions. – Longman: Pitman, 1992. – Vols 1, 2.
26. Godbillon C. Geometrie differentielle et mechanique analytique. – Paris: Hermann, 1969.
27. Gokhberg I. C., Krein M. G. Theory of Volterra operators. – Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).
28. Golenia J., Prykarpatsky Y. A., Samoilenko A. M., Prykarpatsky A. K. The general differential-geometric structure
of multidimensional Delsarte transmutation operators in parametric functional spaces and their applications in soliton
theory. Pt 2 // Opuscula Math. – 2004. – № 24.
29. Holod P. I., Klimyk A. U. Theory of symmetry. – Moscow: Factorial, 2002 (in Russian).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1694 А. М. САМОЙЛЕНКО, Я. А. ПРИКАРПАТСЬКИЙ, Д. БЛЕКМОР, А. К. ПРИКАРПАТСЬКИЙ
30. Hruslov E. J. Asymptotics of the solution of the Cauchy problem for the KdV equation with step-like initial data //
Math. USSR-Sb. – 1976. – 28. – P. 229 – 248.
31. Катрахов В. В., Ситник С. М. Метод операторов преобразования и краевые задачи для сингулярных эллипти-
ческих уравнений // Совр. математика. Фундам. направления. – 2018. – 64, № 2. – С. 211 – 428.
32. Konopelchenko B. G. Solitons in multidimensions: inverse spectral transform method. – Singapore: World Sci., 1993.
33. Krichever I. M. Algebro-geometric methods in theory of nonlinear equations // Russian Math. Surveys. – 1977. – 32,
№ 6. – P. 183 – 208 (in Russian).
34. Lax P. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communs Pure and Appl. Math. – 1968. –
21, № 2. – P. 467 – 490.
35. Левитан Б. М. Теория операторов обобщенного сдвига. – M.: Наука, 1973.
36. Levitan B. M., Sargsian I. S. Sturm – Liouville and Dirac operators. – Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
37. Matveev V. B., Salle M. I. Darboux – Backlund transformations and applications. – New York: Springer, 1993.
38. Levitan B.M. Sturm – Liouville inverse problems. – Moscow: Nauka, 1984 (in Russian).
39. Lions J. L. Operateurs de Delsarte et probl‘eme mixte // Bull. Soc. Math. France. – 1956. – № 84. – P. 9 – 95.
40. Lions J. L. Quelques applications d’operateurs de transmutations // Colloq. Int. Nancy. – 1956. – P. 125 – 142.
41. Lopatynski Y. B. On harmonic fields on Riemannian manifolds // Ukr. Math. J. – 1950. – 2, № 1. – P. 56 – 60 (in
Russian).
42. Лопатинський Я. Б. Введение в современную теорию дифференциальных уравнений в частных производных. –
Киев: Наук. думка, 1980.
43. Манаков С. В. Метод обратной задачи рассеяния и двумерные эволюционные уравнения // Успехи мат. наук. –
1976. – 31, № 5. – С. 245 – 246.
44. Marchenko V. A. Spectral theory of Sturm – Liouville operators. – Kiev: Naukova Dumka, 1972 (in Russian).
45. Mitropolsky Yu. A., Bogolubov N. N. (Jr.), Prykarpatsky A. K., Samoylenko V. H. Integrable dynamical systems:
differential-geometric and spectral aspects. – Kiev: Naukova Dumka, 1987.
46. Mykytiuk Ya. V. Factorization of Fredholmian operators // Math. Stud. Proc. Lviv Math. Soc. – 2003. – 20, № 2. –
P. 185 – 199 (in Ukrainian).
47. Mykytiuk Ya. V. Factorization of Fredholmian operators in operator algebras // Math. Stud. Proc. Lviv Math. Soc. –
2004. – 21, № 1. – P. 87 – 97 (in Ukrainian).
48. Newell A. C. Solitons in mathematics and physics. – Arizona, SIAM Publ., 1985.
49. Newton R. G. Inverse Schrödinger scattering in three dimensions. – Berlin etc.: Springer, 1989.
50. Nimmo J. C. C. Darboux tarnsformations from reductions of the KP -hierarchy. – 2002. – 11 p. – (Preprint / Univ.
Glasgow).
51. Нижник Л. П. Интегрирование нелинейных многомерных уравнений методом обратной задачи // Докл. АН
СССР. – 1980. – 254, № 2. – С. 332 – 335.
52. Нижник Л. П., Обратная задача рассеяния для гиперболических уравнений. – Киев: Наук. думка, 1991.
53. Nizhnik L. P. The inverse scattering problems for the hyperbolic equatioins and their applications to non-linear
integrable equatiins // Rep. Math. Phys. – 1988. – 26, № 2. – P. 261 – 283.
54. Nizhnik L. P. Inverse scattering problem for he wave equation and its application // Parameter Identification and
Inverse Problems in Hydrology, Geology and Ecology. – 1996. – P. 233 – 238.
55. Nizhnik L. P., Pochynaiko M. D. The integration of a spatially two-dimensional Schrödinger equation by the inverse
problem method // Func. Anal. and Appl. – 1982. – 16, № 1. – P. 80 – 82 (in Russian).
56. von Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics // Princeton Landmarks Math. and Phys. – 1955. –
464 p.
57. Novikov S. P., Manakov S. V., Pitaevskii L. P., Zakharov V. E. Theory of solitons. The inverse scattering method. –
Springer, 1984.
58. Ovsienko V. Bi-Hamilton nature of the equation utx = uxyuy - uyyux // arXiv:0802.1818v1 [math-ph] 13 Feb 2008.
59. Ovsienko V., Roger C. Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1 //
Communs Math. Phys. – 2007. – 273. – P. 357 – 378.
60. Prykarpatsky A. K., Blackmore D. Versal deformations of a Dirac type differential operator // J. Nonlinear Math.
Phys. – 1999. – 6, № 3. – P. 246 – 254.
61. Prykarpatsky A. K., Mykytiuk I. V. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds: classical and
quantum aspects. – Kluwer Acad. Publ., 1998.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ТЕОРIЯ БАГАТОВИМIРНИХ ОПЕРАТОРIВ ТРАНСМУТАЦIЇ ДЕЛЬСАРТА – ЛIОНСА. I 1695
62. Prykarpatsky A. K., Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A. The multi-dimensional Delsarte transmutation operators,
their differential-geometric structure and applications. Pt. 1 // Opuscula Math. – 2003. – 23. – P. 71 – 80.
63. Reyman A. G., Semenov-Tian-Shansky M. A. Integrable systems. – Moscow; Izhevsk: Comput. Res. Inst. Publ., 2003
(in Russian).
64. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебро-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних динамiчних систем
та їх збурень. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – 41.
65. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A., Prykarpatsky A. K. Generalized de-Rham – Hodge – Skrypnik theory:
differential-geometric and spectral aspects with applications // Ukr. Math. Bull. – 2005. – 2, № 4. – P. 550 – 582.
66. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A., Prykarpatsky A. K. The de-Rham – Hodge – Skrypnik theory of Delsarte – Lions
transmutations in multidimension and its applications // Rep. Math. Phys. – 2005. – 55, № 3. – P. 351 – 370.
67. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A., Samoylenko V. G. The structure of Darboux-type binary transformations and
their applications in soliton theory // Ukr. Mat. Zh. – 2003. – 55, № 12. – P. 1704 – 1723 (in Ukrainian).
68. Samoilenko A. M., Prykarpatsky Y. A., Prykarpatsky A. K. The spectral and differential geometric aspects of a generali-
zed De Rham – Hodge theory related with Delsarte transmutation operators in multidimension and its applications to
spectral and soliton problems // Nonlinear Anal. – 2006. – 65. – P. 395 – 432.
69. Sitnik S. M. Buschman – Erdelyi transmutations, classification and applications // arXiv:1304.2114v1 [math.CA] 8
Apr. 2013.
70. Sitnik S. M. Transmutations and applications. A survey // Advances in Modern Anal. and Math. Modeling / Eds
Yu. F. Korobeinik, A. G. Kusraev. – Vladikavkaz: Vladikavkaz Sci. Center Rus. Acad. Sci. and Rep. North Ossetia-
Alania. – 2008. – P. 226 – 293.
71. Skrypnik I. V. Periods of A-closed forms // Proc. USSR Acad. Sci. – 1965. – 160, № 4. – P. 772 – 773 (in Russian).
72. Skrypnik I. V. A harmonique fields with peculiarities // Ukr. Math. J. – 1965. – 17, № 4. – P. 130 – 133 (in Russian).
73. Skrypnik I. V. The generalized De Rham theorem // Proc. UkrSSR Acad. Sci. – 1965. – 1. – P. 18 – 19 (in Ukrainian).
74. Skrypnik I. V. A-harmonic forms on a compact Riemannian space // Proc. UkrSSR Acad. Sci. – 1965. – 2. – P. 174 – 175
(in Ukrainian).
75. Spivak M. Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus. – Addison-Wesley
Publ. Co., 1965. – 146 p.
76. Shubin M. A. Pseudo-differential operators and spectral theory. – Moscow: Nauka, 1978 (in Russian).
77. Teleman R. Elemente de topologie si varietati diferentiabile. – Bucuresti Publ., 1964.
78. Trimeche Kh. Transmutation operators and mean-periodic functions associated with differential operators // Math.
Rep. – 1988. – 4, Pt. 1. – 282 p.
79. Веселов А. П., Новиков С. П. Конечнозонные двумерные операторы Шредингера. Потенциальные операторы //
Докл. АН СССР. – 1984. – 279, № 4. – С. 20 – 24.
80. Warner F. Foundations of differential manifolds and Lie groups. – New York: Acad. Press, 1971.
81. Zakharov V. E., Shabat A. B. An exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional automodulation
of waves in nonlinear media // Zh. Eksp. Teor. Fiz. – 1971. – 61, № 1. – P. 118 – 134.
Одержано 13.06.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1667 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:15Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ab/94911ef49173fb739cfc470561c45bab.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16672019-12-05T09:22:46Z Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I Теорія багатовимірних операторів трансмутації Дельсарта – Ліонса. I Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. We present a brief review of the original results obtained by the authors in the theory of Delsarte –Lions transmutations of multidimensional spectral differential ope rators based on the classical works by Yu. M. Berezansky, V. A. Marchenko, B. M. Levitan, and R. G. Newton, on the well-known L. D. Faddeev’s survey, the book by L. P. Nyzhnyk, and the generalized De-Rham – Hodge theory suggested by I. V. Skrypnik and developed by the authors for the differential-operator complexes. The operator structure of Delsarte – Lions transformations and the properties of their Volterra factorizations are analyzed in detail. In particular, we study the differential-geometric and topological structures of the spectral properties of the Delsarte – Lions transmutations within the framework of the generalized De-Rham – Hodge theory. У данiй статтi наведено короткий огляд оригiнальних результатiв авторiв у теорiї трансмутацiй Дельсарта – Лiонса багатовимiрних спектральних диференцiальних операторiв, що базується на класичних працях Ю. М. Березанського, В. А. Марченка, Б. М. Левiтана та Р. Ньютона, на вiдомих у лiтературi оглядi Л. Д. Фаддєєва, книзi Л. П. Нижника й узагальненiй теорiї де Рама – Ходжа, започаткованiй I. В. Скрипником i розвиненiй авторами для диференцiально-операторних комплексiв. Детально проаналiзовано операторну структуру перетворень Дельсарта – Лiонса та властивостi їхнiх вольтеррових факторизацiй. Зокрема, вивчено диференцiально-геометричну i топологiчну структуру спектральних властивостей операторiв трансмутацiї Дельсарта – Лiонса в рамках узагальненої теорiї де Рама –Ходжа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1667 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 12 (2018); 1660-1695 Український математичний журнал; Том 70 № 12 (2018); 1660-1695 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1667/649 Copyright (c) 2018 Blackmore D.; Prykarpatsky A. K.; Prykarpatsky Ya. A.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Blackmore, D. Prykarpatsky, A. K. Prykarpatsky, Ya. A. Samoilenko, A. M. Блекмор, Д. Прикарпатський, А. К. Прикарпатський, Я. А. Самойленко, А. М. Theory of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title_alt | Теорія багатовимірних операторів трансмутації Дельсарта – Ліонса. I |
| title_full | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title_fullStr | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title_full_unstemmed | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title_short | Theory
of multidimensional Delsarte – Lions transmutation operators. I |
| title_sort | theory
of multidimensional delsarte – lions transmutation operators. i |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1667 |
| work_keys_str_mv | AT blackmored theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT prykarpatskyak theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT prykarpatskyyaa theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT samoilenkoam theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT blekmord theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT prikarpatsʹkijak theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT prikarpatsʹkijâa theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT samojlenkoam theoryofmultidimensionaldelsartelionstransmutationoperatorsi AT blackmored teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT prykarpatskyak teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT prykarpatskyyaa teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT samoilenkoam teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT blekmord teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT prikarpatsʹkijak teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT prikarpatsʹkijâa teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai AT samojlenkoam teoríâbagatovimírnihoperatorívtransmutacíídelʹsartalíonsai |