On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups
All analyzed groups are finite. Let $\sigma = \{ \sigma_i| i \in I\}$ be a partition of the set of all primes $\mathbb{P}$. If $n$ is an integer, then the symbol $\sigma (n)$ denotes a set $\{\sigma_i| \sigma_i \cap \pi (n) \not = \emptyset\}$. Integers $n$ and $m$ are called $\sigma$ -coprime i...
Збережено в:
| Дата: | 2018 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1669 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507499536318464 |
|---|---|
| author | Skiba, A. N. Zhang, Chi Скиба, А. Н. Чжан, Чи Скиба, А. Н. Чжан, Чи |
| author_facet | Skiba, A. N. Zhang, Chi Скиба, А. Н. Чжан, Чи Скиба, А. Н. Чжан, Чи |
| author_sort | Skiba, A. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:46Z |
| description | All analyzed groups are finite. Let $\sigma = \{ \sigma_i| i \in I\}$ be a partition of the set of all primes $\mathbb{P}$. If $n$ is an integer, then the
symbol $\sigma (n)$ denotes a set $\{\sigma_i| \sigma_i \cap \pi (n) \not = \emptyset\}$. Integers $n$ and $m$ are called $\sigma$ -coprime if $\sigma (n) \cap \sigma (m) = \emptyset$.
Let $t > 1$ be a natural number and let $\mathfrak{F}$ be a class of groups. Then we say that $\mathfrak{F}$ is $\Sigma^{\sigma}_ t$ -closed provided $\mathfrak{F}$ contains each group $G$ with subgroups $A_1, ... ,A_t \in \mathfrak{F}$ whose indices $| G : A_1| ,..., | G : A_t|$ are pairwise $\sigma$ -coprime.
We study $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.542
Чжан Чи* (Ун-т науки и технологии Китая),
А. Н. Скиба (Гомел. гос. ун-т им. Ф. Скорины, Беларусь)
О \bfSigma \bfitsigma
\bfitt -ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП*
All analyzed groups are finite. Let \sigma = \{ \sigma i| i \in I\} be a partition of the set of all primes \BbbP . If n is an integer, then the
symbol \sigma (n) denotes a set \{ \sigma i| \sigma i \cap \pi (n) \not = \varnothing \} . Integers n and m are called \sigma -coprime if \sigma (n) \cap \sigma (m) = \varnothing .
Let t > 1 be a natural number and let \frakF be a class of groups. Then we say that \frakF is \Sigma \sigma
t -closed provided \frakF contains
each group G with subgroups A1, . . . , At \in \frakF whose indices | G : A1| , . . . , | G : At| are pairwise \sigma -coprime.
We study \Sigma \sigma
t -closed classes of finite groups.
Усi розглянутi в роботi групи є скiнченними. Нехай \sigma = \{ \sigma i| i \in I\} — деяке розбиття множини всiх простих чисел
\BbbP . Якщо n — цiле число, символ \sigma (n) позначає множину \{ \sigma i| \sigma i \cap \pi (n) \not = \varnothing \} . Цiлi числа n i m називаються
\sigma -взаємно простими, якщо \sigma (n) \cap \sigma (m) = \varnothing .
Нехай t > 1 — натуральне число i \frakF — клас груп. Тодi говорять, що \frakF є \Sigma \sigma
t -замкненим, якщо \frakF мiстить кожну
групу G з пiдгрупами A1, . . . , At \in \frakF , iндекси яких | G : A1| , . . . , | G : At| є попарно \sigma -взаємно простими.
В данiй роботi дослiджуються \Sigma \sigma
t -замкненi класи скiнченних груп.
1. Введение. Все рассматриваемые в данной работе группы конечны, и G всегда обозначает
конечную группу. Более того, \BbbP — множество всех простых чисел, \pi = \{ p1, . . . , pn\} \subseteq \BbbP и
\pi \prime = \BbbP \setminus \pi . Если n — натуральное число, то символ \pi (n) обозначает множество всех его
простых делителей n; как обычно, \pi (G) = \pi (| G| ) — множество всех простых делителей
порядка группы G.
Следуя Л. А. Шеметкову [1], символом \sigma будем обозначать некоторое разбиение множества
\BbbP , т. е. \sigma = \{ \sigma i| i \in I\} , где \BbbP =
\bigcup
i\in I \sigma i и \sigma i \cap \sigma j = \varnothing для всех i \not = j, \Pi \subseteq \sigma и \Pi \prime = \sigma \setminus \Pi .
Группа G называется [2] \sigma -примарной, если G — \sigma i-группа для некоторого i; \sigma -разрешимой,
если каждый главный фактор группы G является \sigma -примарным.
В дальнейшем \sigma (n) = \{ \sigma i| \sigma i \cap \pi (n) \not = \varnothing \} [3, 4], \sigma (G) = \sigma (| G| ) и \sigma (\frakF ) =
\bigcup
G\in \frakF \sigma (G).
Натуральные числа n и m называются \sigma -взаимно простыми, если \sigma (n) \cap \sigma (m) = \varnothing .
Напомним, что G называется \sigma -разложимой [1] или \sigma -нильпотентной [5], если G =
= G1\times . . .\times Gn для некоторых \sigma -примарных групп G1, . . . , Gn, и мета-\sigma -нильпотентной [4],
если G является расширением некоторой \sigma -нильпотентной группы с помощью \sigma -нильпотент-
ной группы.
Отметим также, что \sigma -нильпотентные группы оказались весьма полезными в теории фор-
маций (см., например, статьи [6, 7] и монографии [1] (гл. IV), [8] (гл. 6)). В последние годы
\sigma -нильпотентные группы и различные классы мета-\sigma -нильпотентных групп нашли новые и
в определенной степени неожиданные приложения в теориях перестановочных и обобщенно
субнормальных подгрупп (см., в частности, статьи [2, 9 –18] и обзор [4]). Это обстоятельство
указывает на то, что задача дальнейшего изучения \sigma -нильпотентных и мета-\sigma -нильпотентных
групп является вполне актуальной и интересной.
В данной работе мы изучаем \Sigma \sigma
t -замкнутые классы мета-\sigma -нильпотентных групп в смысле
следующего определения.
* Исследования Чжан Чи поддержаны Китайским стипендиальным советом и НФСО Китая (11771409).
c\bigcirc ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12 1707
1708 ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА
Определение 1.1. Пусть t > 1 — натуральное число и \frakF — класс групп. Тогда мы говорим,
что \frakF является \Sigma \sigma
t -замкнутым, если \frakF содержит каждую группу G, имеющую подгруппы
A1, . . . , At \in \frakF , индексы которых | G : A1| , . . . , | G : At| попарно \sigma -взаимно просты.
Символ \sigma в этом определении мы опускаем в случае, когда \sigma = \sigma 1 = \{ \{ 2\} , \{ 3\} , . . .\} (здесь
используем обозначения из работы [9]). Таким образом, в этом случае мы рассматриваем \Sigma t-
замкнутые классы групп в обычном смысле [1, с. 44].
Напомним, что класс групп \frakF называется формацией, если: (i) G/N \in \frakF для каждой
группы G \in \frakF и любой ее нормальной подгруппы N, (ii) G/(N \cap R) \in \frakF для любой группы G
с G/N \in \frakF и G/R \in \frakF . Формация \frakF называется насыщенной или локальной, если G \in \frakF для
любой группы G с условием G/\Phi (G) \in \frakF .
Мы называем функцию f вида
f : \sigma \rightarrow \{ формации групп\}
формационной \sigma -функцией [19] и полагаем
LF\sigma (f) =
\Bigl(
G | G = 1 или G \not = 1 и G/O\sigma \prime
i,\sigma i
(G) \in f(\sigma i) для всех \sigma i \in \sigma (G)
\Bigr)
.
Определение 1.2. Если для некоторой формационной \sigma -функции f мы имеем \frakF = LF\sigma (f),
то говорим, следуя [19], что класс \frakF является \sigma -локальным, а f — \sigma -локальным определе-
нием \frakF .
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.1. (i) В силу результатов [20] (IV, 3.2) в случае, когда \sigma = \sigma 1, формационная
\sigma -функция и \sigma -локальная формация — это соответственно формационная функция и локальная
формация в обычном смысле [20] (IV, определение 3.1) (см. также [8], гл. 2). В этом случае
вместо LF\sigma (f) мы используем, как обычно, символ LF (f) [20] (IV, определение 3.1).
(ii) Для формации всех единичных групп \frakI имеем \frakI = LF\sigma (f), где f(\sigma i) = \varnothing для всех i.
(iii) Пусть \frakN \sigma — класс всех \sigma -нильпотентных групп. Тогда \frakN \sigma — формация [2] и, очевидно,
\frakN \sigma = LF\sigma (f), где f(\sigma i) = \frakI для всех i.
(iv) Пусть теперь \frakN 2
\sigma — класс всех мета-\sigma -нильпотентных групп. Тогда \frakN 2
\sigma = LF\sigma (f), где
f(\sigma i) = \frakN \sigma для всех i.
(v) Формация всех сверхразрешимых групп U не является \sigma -локальной для всех \sigma с \sigma \not = \sigma 1.
Действительно, предположим, что U = LF\sigma (f) является \sigma -локальной и | \sigma i| > 1 для некоторого
i. Пусть p, q \in \sigma i, где p > q. Наконец, пусть G = Cq \wr Cp = K \rtimes Cp — регулярное сплетение
групп Cq и Cp с | Cq| = q и | Cp| = p, где K — базовая группа сплетения G. Тогда CG(K) = K,
а также O\sigma \prime
i,\sigma i
(G) = G и \sigma (G) = \{ \sigma i\} . Поскольку Cp \in U, то f(\sigma i) \not = \varnothing . Следовательно,
G \in LF\sigma (f) = U, и поэтому G = Cq \times Cp, так как p > q. Противоречие. Следовательно, мы
имеем (v).
Теория \Sigma t-замкнутых классов разрешимых групп и ее приложения были рассмотрены в
работе [21] (см. также [1] (гл. 1) и [22] (гл. 2)).
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
Теорема 1.1. Каждая \sigma -локальная формация мета-\sigma -нильпотентных групп является
\Sigma \sigma
4 -замкнутой.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
О \Sigma \sigma
t -ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 1709
В случае, когда \sigma = \sigma 1, из теоремы 1.1 получаем следующие известные факты.
Следствие 1.1 [23]. Если G имеет четыре сверхразрешимые подгруппы A1, A2, A3, A4,
индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| попарно взаимно просты, то G сверх-
разрешима.
Следствие 1.2. Если G имеет четыре метанильпотентные подгруппы A1, A2, A3, A4,
индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| попарно взаимно просты, то G мета-
нильпотентна.
Следствие 1.3. Предположим, что G имеет четыре подгруппы A1, A2, A3, A4, индек-
сы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| попарно взаимно просты. Если A\prime
i является
нильпотентной для всех i = 1, 2, 3, 4, то G\prime нильпотентна.
Наконец, из теоремы 1.1 получаем следующий результат.
Следствие 1.4 [21]. Каждая локальная формация метанильпотентных групп является
\Sigma 4-замкнутой.
В теории \pi -разрешимых групп (\pi = \{ p1, . . . , pn\} ) рассматривается разбиение \sigma = \sigma 1\pi =
= \{ \{ p1\} , . . . , \{ pn\} , \pi \prime \} множества \BbbP [9]. Заметим, что G является \sigma 1\pi -разрешимой в том и
только в том случае, когда G \pi -разрешима; \sigma 1\pi -нильпотентной в том и только в том случае,
когда G является \pi -специальной [24], т. е. G = Op1(G)\times . . .\times Opn(G)\times O\pi \prime (G).
Таким образом, мы получаем в этом случае из теоремы 1.1 следующие утверждения.
Следствие 1.5. Предположим, что G имеет четыре мета-\pi -специальные подгруппы A1,
A2, A3, A4, индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| попарно взаимно просты
и каждый из них является либо \pi -числом, либо \pi \prime -числом. Предположим также, что только
одно из чисел | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| является \pi \prime -числом. Тогда G является мета-
\pi -специальной.
Следствие 1.6. Предположим, что G имеет четыре подгруппы A1, A2, A3, A4, индек-
сы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| попарно взаимно просты и каждый из них
является либо \pi -числом, либо \pi \prime -числом. Предположим также, что только одно из чисел
| G : A1| , | G : A2| , | G : A3| , | G : A4| является \pi \prime -числом. Если A\prime
i является \pi -специальной для
всех i = 1, 2, 3, 4, то G\prime является \pi -специальной.
Если для подгруппы A группы G имеет место \sigma (| A| ) \subseteq \Pi и \sigma (| G : A| ) \subseteq \Pi \prime , то A
называется холловой \Pi -подгруппой [4] группы G. Мы говорим, что G является \Pi -замкнутой,
если G имеет нормальную холлову \Pi -подгруппу.
Доказательству теоремы 1.1 предшествует много вспомогательных результатов. Следующая
теорема является одним из них.
Теорема 1.2. (i) Класс всех \sigma -разрешимых \Pi -замкнутых групп \frakF является \Sigma \sigma
3 -замкнутым.
(ii) Каждая формация \sigma -нильпотентных групп \frakM является \Sigma \sigma
3 -замкнутой.
Следствие 1.7. Классы всех \sigma -разрешимых групп и всех \sigma -нильпотентных групп являются
\Sigma \sigma
3 -замкнутыми.
В случае, когда \sigma = \sigma 1, из следствия 1.7 получаем следующие известные результаты.
Следствие 1.8 ([20], гл. I, теорема 3.4). Если G имеет три разрешимые подгруппы A1, A2
и A3, индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно взаимно просты, то G разрешима.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1710 ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА
Следствие 1.9 [25]. Если G имеет три нильпотентные подгруппы A1, A2 и A3, индексы
которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно взаимно просты, то G нильпотентна.
Следствие 1.10 [23]. Если G имеет три абелевы подгруппы A1, A2 и A3, индексы кото-
рых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно взаимно просты, то G абелева.
В случае, когда \sigma = \sigma 1\pi , из теоремы 1.2 получаем следующие результаты.
Следствие 1.11. Предположим, что G имеет три \pi -разрешимые подгруппы A1, A2,
A3, индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно взаимно просты и каждый из них
является либо \pi -числом, либо \pi \prime -числом. Предположим также, что только одно из чисел
| G : A1| , | G : A2| , | G : A3| является \pi \prime -числом. Тогда G является \pi -разрешимой.
Следствие 1.12. Предположим, что G имеет три \pi -специальные подгруппы A1, A2,
A3, индексы которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно взаимно просты и каждый из них
является либо \pi -числом, либо \pi \prime -числом. Предположим также, что только одно из чисел
| G : A1| , | G : A2| , | G : A3| является \pi \prime -числом. Тогда G является \pi -специальной.
2. Общие свойства \bfitsigma -локальных формаций. Если \frakM и \frakH — классы групп, то \frakM \frakH —
класс всех групп G таких, что для некоторой нормальной подгруппы N группы G имеет место
G/N \in \frakH и N \in \frakM . Гашютцево произведение \frakM \circ \frakH классов \frakM и \frakH определяется условием:
G \in \frakM \circ \frakH в том и только в том случае, когда G\frakH \in \frakM . Класс \frakF называется наследственным
(в смысле Мальцева [26]), если G \in \frakF в случае, когда G \leq A \in \frakF .
Все утверждения следующей леммы известны (см., например, [27] (гл. II) или [20] (гл. IV)),
и, фактически, каждое из них может быть доказано непосредственной проверкой.
Лемма 2.1. Пусть \frakM , \frakH и \frakF — формации.
(1) \frakM \circ \frakH — формация.
(2) Если \frakM является наследственной, то \frakM \frakH = \frakM \circ \frakH .
(3) (\frakM \circ \frakH ) \circ \frakF = \frakM \circ (\frakH \circ \frakF ).
(4) Если \frakM и \frakH являются наследственными, то \frakM \frakH также наследственная.
(5) Если \frakM является насыщенной и \pi (\frakH ) \subseteq \pi (\frakM ), то \frakM \circ \frakH также насыщенная.
Класс всех \Pi -групп мы обозначим через \frakG \Pi , а класс всех \sigma -разрешимых \Pi -групп — через
\frakG \Pi . В частности, \frakG \sigma \prime
i
— класс всех \sigma \prime
i-групп, \frakG \sigma i — класс всех \sigma i-групп и S\sigma \prime
i
— класс всех
\sigma -разрешимых \sigma \prime
i-групп.
Через F\Pi (G) обозначим произведение всех нормальных \Pi \prime -замкнутых подгрупп группы
G. Мы пишем также F\sigma i(G) вместо символа F\{ \sigma i\} (G).
Лемма 2.2. (1) Класс всех (\sigma -разрешимых) \Pi -замкнутых групп \frakF является наследствен-
ной формацией. Более того,
(2) если E — нормальная подгруппа в G и E/E \cap \Phi (G) \in \frakF , то E \in \frakF ; следовательно,
формация \frakF является насыщенной;
(3) если A,B \in \frakF — нормальные подгруппы в G и G = AB, то G \in \frakF ;
(4) если E — субнормальная подгруппа в G, то F\Pi (G) \cap E = F\Pi (E).
Доказательство. (1) Понятно, что \frakF = \frakG \Pi \frakG \Pi \prime . Следовательно, \frakF — наследственная фор-
мация по лемме 2.1 (пп. 1, 2, 4).
(2) Пусть H/E\cap \Phi (G) — нормальная холлова \Pi -подгруппа в E/E\cap \Phi (G). Тогда H/E\cap \Phi (G)
является характеристической в E/E \cap \Phi (G) \trianglelefteq G/E \cap \Phi (G), и поэтому H нормальна в G.
Пусть D = O\Pi \prime (E \cap \Phi (G)). Тогда, поскольку E \cap \Phi (G) является нильпотентной, D — холлова
\Pi \prime -подгруппа в H. Следовательно, согласно теореме Шура – Цассенхауза, H имеет холлову
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
О \Sigma \sigma
t -ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 1711
\Pi -подгруппу V и любые две холловы \Pi -подгруппы группы H сопряжены в H. Следователь-
но, G = HNG(V ) = (V D))NG(V ) = NG(V ) согласно обобщенной лемме Фраттини. Таким
образом, V нормальна в G. Наконец, заметим, что V является холловой \Pi -подгруппой в E,
так как \sigma (| E/E \cap \Phi (G) : H/E \cap \Phi (G)| ) \cap \Pi = \varnothing , и поэтому E \in \frakF .
(3) Если V — холлова \Pi -подгруппа в A, то V является характеристической в A, и поэтому
V нормальна в G. Аналогично, холлова \Pi -подгруппа W группы B нормальна в G. Более того,
G/VW = AB/VW = (AVW/VW )(BVW/VW ),
где
AVW/VW \simeq A/A \cap VW = A/V (A \cap W ) \simeq (A/V )/(V (A \cap W )/V
и BVW/VW — \Pi \prime -группы. Следовательно, VW — холлова \Pi -подгруппа в G, и поэтому G \in \frakF .
(4) Так как группа A является \Pi \prime -замкнутой в том и только в том случае, когда A \in \frakG \Pi \prime \frakG \Pi ,
утверждение (4) справедливо согласно предложению [20] (гл. VIII).
Лемма 2.2 доказана.
Если f — формационная \sigma -функция, то символ \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} (f) обозначает суппорт функции f,
т. е. множество всех \sigma i таких, что f(\sigma i) \not = \varnothing .
Лемма 2.3. Пусть \frakF = LF\sigma (f) и \Pi = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} (f). Тогда:
(1) \Pi = \sigma (\frakF );
(2) G \in \frakF в том и только в том случае, когда G \in \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i) для всех \sigma i \in \sigma (G);
(3) \frakF = (
\bigcap
\sigma i\in \Pi \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i)) \cap \frakG \Pi ; следовательно, \frakF — насыщенная формация;
(4) если каждая группа класса \frakF является \sigma -разрешимой, то \frakF =
\Bigl( \bigcap
\sigma i\in \Pi \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i)
\Bigr)
\cap
\cap \frakG \Pi .
Доказательство. (1) Пусть \sigma i \in \Pi , тогда 1 \in f(\sigma i) и для всех \sigma i-групп G \not = 1 имеет
место \sigma (G) = \{ \sigma i\} и O\sigma \prime
i,\sigma i
(G) = G. Следовательно, G \in LF\sigma (f) = \frakF , и поэтому \sigma i \in \sigma (\frakF ).
Значит, \Pi \subseteq \sigma (\frakF ). С другой стороны, если \sigma i \in \sigma (\frakF ), то для некоторой группы G \in \frakF имеет
место \sigma i \in \sigma (G) и G/F\sigma i(G) \in f(\sigma i). Таким образом, \sigma i \in \Pi , и поэтому \Pi = \sigma (\frakF ).
(2) Если G \in \frakF и \sigma i \in \sigma (G), то G/F\sigma i(G) \in f(\sigma i), где F\sigma i(G) является \sigma \prime
i-замкнутой по
лемме 2.2(3). Значит, G \in \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i) по лемме 2.2(1). Аналогично, если для всех \sigma i \in \sigma (G)
имеет место G \in \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i), то G/F\sigma i(G) \in f(\sigma i), и поэтому G \in \frakF .
(3) Если G \in \frakF , то \sigma (G) \subseteq \Pi , и поэтому G \in \frakG \Pi . Более того, в этом случае для всех \sigma i \in
\in \sigma (G) имеет место G \in \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i) по утверждению (2) леммы. Наконец, если \sigma i \in \Pi \setminus \sigma (G),
то G \in \frakG \sigma \prime
i
\subseteq \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i), так как класс \frakG \sigma \prime
i
является наследственным. Следовательно,
\frakF \subseteq (
\bigcap
\sigma i\in \Pi \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i)) \cap \frakG \Pi . Значит, \frakF = (
\bigcap
\sigma i\in \Pi \frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i)) \cap \frakG \Pi является наследст-
венной формацией в силу лемм 2.1(5) и 2.2(1), (2). Следовательно, мы имеем (3).
(4) См. доказательство утверждения (3).
Лемма 2.3 доказана.
Лемма 2.4. Если \frakF = LF\sigma (f), то \frakF = LF\sigma (t), где t(\sigma i) = f(\sigma i) \cap \frakF для всех \sigma i \in \sigma .
Доказательство. Прежде всего заметим, что в силу леммы 2.3(3) t — формационная
\sigma -функция и LF\sigma (t) \subseteq \frakF . С другой стороны, если G \in \frakF , то G/F\sigma i(G) \in f(\sigma i)\cap \frakF = t(\sigma i) для
всех \sigma i \in \sigma (G), и поэтому G \in LF\sigma (t). Следовательно, \frakF = LF\sigma (t).
Лемма 2.4 доказана.
Предложение 2.1. Пусть f и h — формационные \sigma -функции и \Pi = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} (f). Предполо-
жим, что \frakF = LF\sigma (f) = LF\sigma (h).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1712 ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА
(1) Если \sigma i \in \Pi , то \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) = \frakG \sigma i(h(\sigma i) \cap \frakF ) \subseteq \frakF .
(2) \frakF = LF\sigma (F ), где F — такая формационная \sigma -функция, что
F (\sigma i) = \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) = \frakG \sigma iF (\sigma i)
для всех \sigma i \in \Pi .
Доказательство. (1) Предположим, что \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \not \subseteq \frakF и G — группа минимального
порядка в \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \setminus \frakF . Заметим, что f(\sigma i) \cap \frakF — формация по лемме 2.3(3), поэто-
му \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) — формация по лемме 2.1(1), (2). Следовательно, R = G\frakF \leq Gf(\sigma i)\cap \frakF —
единственная минимальная нормальная подгруппа в G, и поэтому R — \sigma i-группа.
Более того, F\sigma i(G) = O\sigma i(G) и F\sigma j (G/R) = F\sigma j (G)/R для всех j \not = i. Следовательно,
поскольку G/R \in \frakF , имеет место
(G/R)/F\sigma j (G/R) \simeq G/F\sigma j (G) \in f(\sigma j)
для всех \sigma j \in \sigma (G) \setminus \{ \sigma i\} . Наконец, справедливо
G/F\sigma i(G) = G/O\sigma i(G) \in f(\sigma i),
так как G \in \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) и класс \frakG \sigma i является наследственным. Но тогда G \in \frakF . Противо-
речие. Следовательно, \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \subseteq \frakF .
Теперь предположим, что \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \not \subseteq \frakG \sigma i(h(\sigma i) \cap \frakF ) и G — группа минимального
порядка в \frakG \sigma i(f(\sigma i)\cap \frakF )\setminus \frakG \sigma i(h(\sigma i)\cap \frakF ). Тогда в G имеется лишь одна минимальная нормальная
подгруппа R, R = G\frakG \sigma i (h(\sigma i)\cap \frakF ) и R \nleq O\sigma i(G). Следовательно, O\sigma i(G) = 1.
Пусть A — неединичная \sigma i-группа и E = A \wr G = K \rtimes G — регулярное сплетение A и
G, где K — базовая группа сплетения E. Тогда O\sigma \prime
i
(E) = 1, поэтому F\sigma i(E) = O\sigma i(E) =
= K(O\sigma i(E) \cap G) = K, так как O\sigma i(G) = 1. Более того, поскольку G \in \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \subseteq \frakF ,
имеет место E \in \frakF , и поэтому E/F\sigma i(E) = E/K \simeq G \in h(\sigma i) \cap \frakF \subseteq \frakG \sigma i(h(\sigma i) \cap \frakF ).
Следовательно, \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) \subseteq \frakG \sigma i(h(\sigma i) \cap \frakF ), что влечет \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) = \frakG \sigma i(h(\sigma i) \cap \frakF ).
(2) Пусть \frakM = LF\sigma (F ). Тогда
\frakM =
\left( \bigcap
\sigma i\in \Pi
\frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma i(\frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ))
\right) \cap \frakG \Pi =
=
\left( \bigcap
\sigma i\in \Pi
\frakG \sigma \prime
i
\frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF )
\right) \cap \frakG \Pi = \frakF
в силу лемм 2.3(3) и 2.4. Следовательно, мы имеем (2).
Предложение доказано.
Следствие 2.1. (1) Для каждой формационной \sigma -функции f класс LF\sigma (f) является непус-
той насыщенной формацией.
(2) Каждая \sigma -локальная формация \frakF имеет и притом единственное \sigma -локальное определе-
ние F такое, что для любого \sigma -локального определения f формации \frakF и для любого \sigma i \in \sigma (\frakF )
имеет место
F (\sigma i) = \frakG \sigma i(f(\sigma i) \cap \frakF ) = \frakG \sigma iF (\sigma i).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
О \Sigma \sigma
t -ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 1713
Доказательство. (1) Прежде всего заметим, что каждая единичная группа принадлежит
LF\sigma (f) по определению, поэтому этот класс не является пустым. С другой стороны, класс
LF\sigma (f) является насыщенной формацией по лемме 2.3(3).
(2) Непосредственно следует из предложения 2.1(2).
Следствие доказано.
Напомним, что \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m} (X) обозначает пересечение всех формаций, содержащих совокупность
групп X.
Предложение 2.2. Пусть \frakF = LF\sigma (f) — \sigma -локальная формация, \Pi = \sigma (\frakF ), m — такая
формационная \sigma -функция, что m(\sigma i) = \mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m} (G/F\sigma i(G)| G \in \frakF ) для всех \sigma i \in \Pi и m(\sigma i) = \varnothing
для всех \sigma i \in \Pi \prime . Тогда:
(i) \frakF = LF\sigma (m),
(ii) m(\sigma i) \subseteq h(\sigma i)\cap \frakF для каждой формационной \sigma -функции h формации \frakF и для каждого
\sigma i \in \sigma .
Доказательство. Пусть \frakF (\sigma i) = (G/F\sigma i(G)| G \in \frakF ) для всех \sigma i \in \Pi и \frakM = LF\sigma (m).
Тогда \frakF \subseteq \frakM . С другой стороны, \frakF (\sigma i) \subseteq f(\sigma i), и поэтому m(\sigma i) \subseteq f(\sigma i) для всех \sigma i \in \Pi .
Кроме того, имеет место m(\sigma i) = \varnothing \subseteq f(\sigma i) для всех \sigma i \in \Pi \prime . Следовательно, \frakM \subseteq \frakF , и
поэтому \frakM = \frakF .
Утверждение доказано.
Мы называем \sigma -локальное определение m формации \frakF в предложении 2.2 наименьшим
\sigma -локальным определением формации \frakF .
3. Доказательства теорем 1.1 и 1.2. Доказательство теоремы 1.2. (i) Предположим,
что \frakF не является \Sigma \sigma
3 -замкнутой и G — группа минимального порядка среди групп G таких,
что G \not \in \frakF , но G имеет подгруппы A1, A2, A3 \in \frakF , индексы которых | G : A1| , | G : A2| и
| G : A3| попарно \sigma -взаимно просты. Тогда G = AiAj для всех i \not = j. Пусть R — минимальная
нормальная подгруппа в G.
(1) G/R является \sigma -разрешимой и \Pi -замкнутой. Следовательно, R не является \sigma -при-
марной \Pi -группой.
Если для некоторого i имеет место Ai \leq R, то для любого j \not = i имеем G/R = AiAj/R =
= AjR/R \simeq Aj/(Aj \cap R) \in \frakF , так как \frakF — формация по лемме 2.2. Теперь предположим, что
Ai \nleq R для всех i. Тогда условие теоремы выполнено для G/R, поэтому G/R — \sigma -разрешимая
\Pi -замкнутая группа в силу выбора группы G. Таким образом, R не является \sigma -примарной \Pi -
группой, так как G \not \in \frakF . Следовательно, мы имеем (1).
(2) G является \sigma -разрешимой.
Пусть L — минимальная нормальная подгруппа в A1. Так как A1 является \sigma -разрешимой,
L — \sigma i-группа для некоторого i. Более того, поскольку | G : A2| = | A1 : A1 \cap A2| и | G : A3| =
= | A1 : A1 \cap A3| \sigma -взаимно просты по условию, имеет место L \leq A1 \cap A2 или L \leq A1 \cap A3.
Следовательно, мы можем предполагать, не теряя общности, что L \leq A2, и поэтому LG =
= LA1A2 = LA2 \leq A2. Значит, 1 < LG является \sigma -разрешимой, и поэтому справедливо (2) в
силу утверждения (1).
(3) R — единственная минимальная нормальная подгруппа в G, R \nleq \Phi (G) и R является
\sigma i-группой для некоторого \sigma i \in \Pi \prime . Следовательно, CG(R) \leq R.
Поскольку G \sigma -разрешима согласно (2), R является \sigma i-группой для некоторого i. Более
того, из утверждения (2) и леммы 2.2 следует, что R — единственная минимальная нормальная
подгруппа в G, R является \Pi \prime -группой и R \nleq \Phi (G). Следовательно, CG(R) \leq R согласно
результатам [20] (гл. A, 17.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1714 ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА
(4) Найдутся такие j \not = k, что R \leq Aj \cap Ak.
Поскольку | G : Aj | и | G : Ak| являются \sigma -взаимно простыми по условию, это следует из
утверждения (3).
Заключительное противоречие для (i). Так как O\Pi (Aj) нормальна в Aj и R \leq O\Pi \prime (Aj)
согласно (3) и (4), получаем, что O\Pi (Aj) \leq CG(R) \leq R \leq O\Pi \prime (Aj) согласно (3). Следовательно,
O\Pi (Aj) = 1. Но Aj является \Pi -замкнутой по условию, и поэтому Aj — \Pi \prime -группа. Аналогично,
Ak — \Pi \prime -группа, и поэтому G = AjAk — \Pi \prime -группа. Но тогда G является \Pi -замкнутой. Это
противоречие завершает доказательство утверждения (i).
(ii) Предположим, что \frakM не является \Sigma \sigma
3 -замкнутой и G — группа минимального порядка
среди групп G таких, что G \not \in \frakM , но G имеет подгруппы A1, A2, A3 \in \frakM , индексы которых
| G : A1| , | G : A2| и | G : A3| попарно \sigma -взаимно просты. Тогда G \not = Ai для всех i и G является
\sigma -нильпотентной согласно утверждению (i). Более того, в силу выбора группы G для каждой
минимальной нормальной подгруппы R группы G имеет место G/R \in \frakM . Следовательно,
R является единственной минимальной нормальной подгруппой группы G, поскольку класс
\frakM является формацией. В частности, G является \sigma i-группой для некоторого i. Но тогда в
силу A1 < G и A2 < G индексы | G : A1| и | G : A2| не являются \sigma -взаимно простыми. Это
противоречие завершает доказательство утверждения (ii).
Теорема 1.2 доказана.
Лемма 3.1. Если G является \sigma -разрешимой, то CG(F\sigma (G)) \leq F\sigma (G).
Доказательство. Пусть C = CG(F\sigma (G)). Предположим, что C \nleq F\sigma (G) и H/F\sigma (G) —
такой главный фактор группы G, что H \leq F\sigma (G)C. Тогда H = F\sigma (G)(H \cap C). Поскольку G
является \sigma -разрешимой,
H/F\sigma (G) = F\sigma (G)(H \cap C)/F\sigma (G) \simeq (H \cap C)/((H \cap C) \cap F\sigma (G))
— \sigma i-группа для некоторого i.
Пусть теперь U — минимальное добавление к (H \cap C)\cap F\sigma (G) в H \cap C. Тогда ((H \cap C)\cap
\cap F\sigma (G))\cap U \leq \Phi (U), поэтому U является \sigma i-группой. Более того, (H\cap C)\cap F\sigma (G) \leq Z(H\cap C),
и поэтому H\cap C — нормальная \sigma -нильпотентная подгруппа группы G. Следовательно, H\cap C \leq
\leq F\sigma (G), и поэтому H = F\sigma (G). Это противоречие завершает доказательство леммы.
Лемма 3.2. Пусть \frakF = S\Pi X, где X \subseteq S\sigma . Если формация X является \Sigma \sigma
t -замкнутой, то
\frakF является \Sigma \sigma
t+1-замкнутой.
Доказательство. Предположим, что данная лемма не является справедливой и G — группа
минимального порядка среди таких групп G, что G \not \in \frakF , но G имеет подгруппы A1, . . . , At+1 \in
\in \frakF , индексы которых | G : A1| , . . . , | G : At+1| попарно \sigma -взаимно просты. Тогда G является
\sigma -разрешимой по теореме 1.2.
Пусть R — минимальная нормальная подгруппа группы G, тогда R — \sigma i-группа для не-
которого i. Более того, условие теоремы выполняется для G/R, так как \frakF — формация по
лемме 2.1(1), (2), и поэтому G/R \in \frakF согласно выбору группы G. Следовательно, R — един-
ственная минимальная нормальная подгруппа в G. Значит, \sigma i \in \Pi \prime и R \leq O\sigma i(G) = F\sigma (G).
Таким образом, CG(F\sigma (G) = CG(O\sigma i(G)) \leq O\sigma i(G) по лемме 3.1.
В силу условия найдутся такие числа i1, . . . , it, что O\sigma i(G) \leq Ai1 \cap . . . \cap Ait . Тогда
O\Pi (Aij ) \leq CG(O\sigma i(G)) \leq O\sigma i(G). Следовательно, O\Pi (Aij ) = 1, и поэтому Aij \in X для
всех j = 1, . . . , t. Таким образом, G \in X \subseteq \frakF , поскольку X является \Sigma \sigma
t -замкнутой. Это
противоречие завершает доказательство леммы.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
О \Sigma \sigma
t -ЗАМКНУТЫХ КЛАССАХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 1715
Лемма 3.3. Пусть \frakM — формация \sigma -разрешимых \Pi -замкнутых групп и \frakF = S\Pi \frakM . Если
\frakM является \Sigma \sigma
3 -замкнутой, то \frakF также \Sigma \sigma
3 -замкнута.
Доказательство. Предположим, что G имеет такие подгруппы A1, A2, A3 \in \frakF , индексы
которых | G : A1| , | G : A2| , | G : A3| попарно \sigma -взаимно просты. Тогда G имеет нормальную
холлову \Pi -подгруппу V по теореме 1.2. Следовательно, V \cap Ai — нормальная холлова \Pi -
подгруппа V в Ai, и поэтому из изоморфизма V Ai/V \simeq Ai/Ai\cap V вытекает, что V Ai/V \in \frakM и
индексы | (G/V ) : (A1V/V )| , | (G/V ) : (A2V/V )| , | (G/V ) : (A3V/V )| попарно \sigma -взаимно про-
сты. Но тогда G/V \in \frakM , поскольку \frakM является \Sigma \sigma
3 -замкнутой по условию. Значит, G \in \frakF .
Лемма доказана.
Следующая лемма очевидна.
Лемма 3.4. Если класс групп \frakF j является \Sigma \sigma
t -замкнутым для всех j \in J, то класс
\bigcap
j\in J \frakF j
также является \Sigma \sigma
t -замкнутым.
Формационная \sigma -функция f называется внутренней, если f(\sigma i) \subseteq LF\sigma (f) для всех i, и
полной, если f(\sigma i) = \frakG \sigma if(\sigma i) для всех i.
В силу следствия 2.1 каждая \sigma -локальная формация \frakF имеет единственное внутреннее
и полное \sigma -локальное определение F. Мы называем такую функцию F каноническим \sigma -
локальным определением формации \frakF .
Теорема 3.1. Пусть \frakF = LF\sigma (F ) — \sigma -локальная формация \sigma -разрешимых групп, где
F — каноническое \sigma -локальное определение формации \frakF . Если формация F (\sigma i) является \Sigma \sigma
t -
замкнутой для всех i, то формация \frakF также \Sigma \sigma
t+1-замкнута.
Доказательство. Пусть \Pi = \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p} (\frakF ). Тогда, согласно лемме 2.3(4) и следствию 2.1,
\frakF =
\left( \bigcap
\sigma i\in \Pi
S\sigma \prime
i
\frakG \sigma if(\sigma i)
\right) \cap S\Pi =
\left( \bigcap
\sigma i\in \Pi
S\sigma \prime
i
F (\sigma i)
\right) \cap S\Pi .
Согласно лемме 3.2, формация S\sigma \prime
i
F (\sigma i) является \Sigma \sigma
t+1-замкнутой. С другой стороны, класс
S\Pi является \Sigma \sigma
2 -замкнутым, и поэтому данный класс \Sigma \sigma
t+1-замкнут. Следовательно, формация
\frakF является \Sigma \sigma
t+1-замкнутой по лемме 3.4.
Теорема 3.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.1. Пусть \frakF = LF\sigma (f) — произвольная \sigma -локальная формация
мета-\sigma -нильпотентных групп, где f — наименьшее \sigma -локальное определение формации \frakF .
Тогда согласно предложению 2.1 формация f(\sigma i) содержится в \frakN \sigma для всех \sigma i. Следовательно,
f(\sigma i) является \Sigma \sigma
3 -замкнутой по теореме 1.2.
Пусть F — каноническое \sigma -локальное определение формации \frakF . Тогда F (\sigma i) = \frakG \sigma if(\sigma i)
для всех \sigma i \in \sigma согласно предложениям 2.1 и 2.2. Следовательно, F (\sigma i) является \Sigma \sigma
3 -замкнутой
по лемме 3.3, и поэтому \frakF является \Sigma \sigma
4 -замкнутой по теореме 3.1.
Теорема 1.1 доказана.
Литература
1. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. – М.: Наука, 1978.
2. Skiba A. N. On \sigma -subnormal and \sigma -permutable subgroups of finite groups // J. Algebra. – 2015. – 436. – P. 1 – 16.
3. Skiba A. N. A generalization of a Hall theorem // J. Algebra and Appl. – 2015. – 15, № 4. – P. 21 – 36.
4. Skiba A. N. On some results in the theory of finite partially soluble groups // Communs Math. Statist. – 2016. – 4,
№ 3. – P. 281 – 309.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1716 ЧЖАН ЧИ, А. Н. СКИБА
5. Guo W., Skiba A. N. Finite groups with permutable complete Wielandt sets of subgroups // J. Group Theory. – 2018. –
18. – P. 191 – 200.
6. Ballester-Bolinches A., Doerk K., Pèrez-Ramos M. D. On the lattice of \frakF -subnormal subgroups // J. Algebra. – 1992. –
148. – P. 42 – 52.
7. Васильев А. Ф., Каморников С. Ф., Семенчук В. Н. О решетке подгрупп конечных групп // Бесконечные
группы и их примыкающие алгебраические структуры / Под ред. Н. С. Черникова. – Киев: Ин-т математики
НАН Украины, 1993. – С. 27 – 54.
8. Ballester-Bolinches A., Ezquerro L. M. Classes of finite groups. – Dordrecht: Springer, 2006.
9. Skiba A. N. Some characterizations of finite \sigma -soluble P\sigma T -groups // J. Algebra. – 2018. – 495. – P. 114 – 129.
10. Beidleman J. C., Skiba A. N. On \tau \sigma -quasinormal subgroups of finite groups // J. Group Theory. – 2017. – 20, № 5. –
P. 955 – 964.
11. Guo W., Skiba A. N. Groups with maximal subgroups of Sylow subgroups \sigma -permutable embedded // J. Group
Theory. – 2017. – 20, № 1. – P. 169 – 183.
12. Guo W., Skiba A. N. On \Pi -quasinormal subgroups of finite groups // Monatsh. Math. – 2018. – 185, № 3. –
P. 443 – 453.
13. Guo W., Skiba A. N. Groups with maximal subgroups of Sylow subgroups \sigma -permutable embedded // J. Group
Theory. – 2017. – 20, № 1. – P. 169 – 183.
14. Huang J., Hu B., Wu X. Finite groups all of whose subgroups are \sigma -subnormal or \sigma -abnormal // Communs Algebra. –
2017. – 45, № 1. – P. 4542 – 4549.
15. Hu B., Huang J., Skiba A. N. On weakly \sigma -quasinormal subgroups of finite groups // Publ. Math. Debrecen. – 2018. –
92, № 1 – 2. – P. 201 – 216.
16. Hu B., Huang J., Skiba A. N. Groups with only \sigma -semipermutable and \sigma -abnormal subgroups // Acta Math. Hung. –
2017. – 153, № 1. – P. 236 – 248.
17. Guo W., Skiba A. N. On the lattice of \Pi \frakI -subnormal subgroups of a finite group // Bull. Austral. Math. Soc. – 2017. –
96, № 2. – P. 233 – 244.
18. Guo W., Skiba A. N. Finite groups whose n-maximal subgroups are \sigma -subnormal // Sci. China Math. – 2018. – 61.
19. Skiba A. N. On one generalization of local formations // Probl. Phys., Math. and Techn. – 2018. – 1, № 34. – P. 76 – 81.
20. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. – Berlin etc.: Walter de Gruyter, 1992.
21. Kramer O.-U. Endliche Gruppen mit Untergruppen mit paarweise teilerfremden Indizes // Math. Z. – 1974. – 139,
№ 1. – S. 63 – 68.
22. Guo W. The theory of classes of groups. – Berlin etc.: Sci. Press-Kluwer Acad. Publ., 2000.
23. Doerk K. Minimal nicht überauflösbare, endliche Gruppen // Math. Z. – 1966. – 91. – S. 198 – 205.
24. Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп. – Минск: Наука и техника, 1964.
25. Kegel O. H. Zur Struktur mehrafach faktorisierbarer endlicher Gruppen // Math. Z. – 1965. – 87. – S. 42 – 48.
26. Мальцев А. И. Алгебраические системы. – М.: Наука, 1970.
27. Скиба А. Н., Шеметков Л. А. Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989.
Получено 12.03.18
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1669 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:17Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/65/6486d1218a5104f6c2e47644c6ea6765.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16692019-12-05T09:22:46Z On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups О $\Sigma_t^{σ}$ -замкнутых классах конечных групп Skiba, A. N. Zhang, Chi Скиба, А. Н. Чжан, Чи Скиба, А. Н. Чжан, Чи All analyzed groups are finite. Let $\sigma = \{ \sigma_i| i \in I\}$ be a partition of the set of all primes $\mathbb{P}$. If $n$ is an integer, then the symbol $\sigma (n)$ denotes a set $\{\sigma_i| \sigma_i \cap \pi (n) \not = \emptyset\}$. Integers $n$ and $m$ are called $\sigma$ -coprime if $\sigma (n) \cap \sigma (m) = \emptyset$. Let $t > 1$ be a natural number and let $\mathfrak{F}$ be a class of groups. Then we say that $\mathfrak{F}$ is $\Sigma^{\sigma}_ t$ -closed provided $\mathfrak{F}$ contains each group $G$ with subgroups $A_1, ... ,A_t \in \mathfrak{F}$ whose indices $| G : A_1| ,..., | G : A_t|$ are pairwise $\sigma$ -coprime. We study $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups. Усi розглянутi в роботi групи є скiнченними. Нехай $\sigma = \{ \sigma_i| i \in I\}$ — деяке розбиття множини всiх простих чисел $\mathbb{P}$. Якщо $n$ — цiле число, символ $\sigma (n)$ позначає множину $\{\sigma_i| \sigma_i \cap \pi (n) \not = \emptyset\}$. Цiлi числа $n$ i $m$ називаються $\sigma$ -взаємно простими, якщо $\sigma (n) \cap \sigma (m) = \emptyset$. Нехай $t > 1$ — натуральне число i $\mathfrak{F}$ — клас груп. Тодi говорять, що $\mathfrak{F}$ є $\Sigma^{\sigma}_ t$ -замкненим, якщо $\mathfrak{F}$ мiстить кожну групу $G$ з пiдгрупами $A_1, ... ,A_t \in \mathfrak{F}$, iндекси яких $| G : A_1| ,..., | G : A_t|$ є попарно $\sigma$ -взаємно простими. В данiй роботi дослiджуються $\Sigma_t^{σ}$ -замкненi класи скiнченних груп. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1669 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 12 (2018); 1707-1716 Український математичний журнал; Том 70 № 12 (2018); 1707-1716 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1669/651 Copyright (c) 2018 Skiba A. N.; Zhang Chi |
| spellingShingle | Skiba, A. N. Zhang, Chi Скиба, А. Н. Чжан, Чи Скиба, А. Н. Чжан, Чи On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title | On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title_alt | О $\Sigma_t^{σ}$ -замкнутых классах конечных групп |
| title_full | On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title_fullStr | On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title_full_unstemmed | On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title_short | On $\Sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| title_sort | on $\sigma_t^{σ}$ -closed classes of finite groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1669 |
| work_keys_str_mv | AT skibaan onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT zhangchi onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT skibaan onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT čžanči onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT skibaan onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT čžanči onsigmatsclosedclassesoffinitegroups AT skibaan osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp AT zhangchi osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp AT skibaan osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp AT čžanči osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp AT skibaan osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp AT čžanči osigmatszamknutyhklassahkonečnyhgrupp |