Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance
For a semilinear parabolic equation, we prove a relation generalizing the Trotter – Daletskii formula.
Saved in:
| Date: | 2018 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2018
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1670 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507498969038848 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. G. Бондаренко, В. Г. Бондаренко, В. Г. |
| author_facet | Bondarenko, V. G. Бондаренко, В. Г. Бондаренко, В. Г. |
| author_sort | Bondarenko, V. G. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:22:46Z |
| description | For a semilinear parabolic equation, we prove a relation generalizing the Trotter – Daletskii formula. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.983+517.955
В. Г. Бондаренко (Ин-т прикл. систем. анализа Нац. техн. ун-та Украины „КПИ им. И. Сикорского”, Киев)
ФОРМУЛА ТРОТТЕРА – ДАЛЕЦКОГО ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
For a semilinear parabolic equation, we prove a relation generalizing the Trotter – Daletskii formula.
Для напiвлiнiйного параболiчного рiвняння доведено спiввiдношення, що узагальнює формулу Троттера – Далецького.
1. Предварительные сведения и постановка задачи. Одним из методов построения решений
возмущенных эволюционных уравнений является сведение их к интегральному уравнению
[1, 2]. Так, решение u(t,\bfx ) задачи Коши для полулинейного параболического уравнения
\partial u
\partial t
= Lu+ f(u), u(0,\bfx ) = \varphi (\bfx ), \bfx \in \BbbR d, t > 0,
Lu = \mathrm{t}\mathrm{r}A(\bfx )\nabla 2u+ (b(\bfx ),\nabla u), A(\bfx ) \geq \lambda I, \lambda > 0,
(1)
удовлетворяет интегральному уравнению
u(t,\bfx ) =
\int
\varphi (\bfy )p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy +
t\int
0
d\tau
\int
f(u(\tau ,\bfy ))p(t - \tau ,\bfx ,\bfy )d\bfy ,
где p(t,\bfx ,\bfy ) — фундаментальное решение уравнения
\partial u
\partial t
= Lu, коэффициенты A(\bfx ), b(\bfx ) —
ограниченные гельдеровы функции. Слагаемое f(u) назовем возмущением линейного уравне-
ния.
В настоящей работе объектом изучения являются некоторые свойства решения задачи Ко-
ши (1), когда функция f сохраняет постоянный знак в области значений u(t,\bfx ), ограничена
в этой области и удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Тогда u(t,\bfx ) — классическое
решение, имеющее непрерывные производные
\partial u
\partial t
,
\partial u
\partial xk
,
\partial 2u
\partial xj\partial xk
.
Введем обозначения:
1) r(t, a) — решение задачи Коши
dr
dt
= f(r), r(0, a) = a, r(t, a) = Gta, Gt — фазовый поток;
полагая \Phi (z) =
\int z
\delta
f(s) ds, где выбор числа \delta гарантирует сходимость интеграла, получаем
явное представление
r(t, a) = \Phi - 1(t+\Phi (a)); (2)
c\bigcirc В. Г. БОНДАРЕНКО, 2018
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12 1717
1718 В. Г. БОНДАРЕНКО
2) q(t,\bfx ) — решение задачи Коши невозмущенного линейного параболического уравнения
\partial q
\partial t
= Lq, q(0,\bfx ) = \varphi (\bfx ), (3)
т. е. q(t,\bfx ) = (etL\varphi )(\bfx ) \equiv
\int
\varphi (\bfy )p(t,\bfx ,\bfy )d\bfy ;
3) v(t,\bfx ) = r(t, q(t,\bfx )) = Gtq(t,\bfx ), w(t,\bfx ) =
\int
r(t, \varphi (\bfy ))p(t,\bfx ,\bfy )d\bfy — композиции
решений; v(0,\bfx ) = w(0,\bfx ) = \varphi (\bfx ).
Цель работы — установить зависимость между u(t, x), v(t, x) и w(t, x). В частности, рас-
смотрена следующая задача теории возмущений.
Пусть A, B, A+B — генераторы сжимающих C0-полугрупп etA, etB, et(A+B) в некотором
банаховом пространстве. В работах [3, 4] (при различных условиях и разными методами)
доказана формула, устанавливающая связь между введенными полугруппами. В [5] эта формула
имеет вид
eT (A+B) = s - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\Bigl(
e
T
n
Ae
T
n
B
\Bigr) n
, (4)
где
\biggl(
T
n
, . . . ,
kT
n
, . . . , T
\biggr)
— разбиение отрезка [0;T ] , T > 0. В дальнейшем (4) будем называть
формулой Троттера – Далецкого.
Задача — обобщить этот результат для нелинейного возмущения f оператора L, т. е. для
полулинейного уравнения (1).
Обозначим через H(t) нелинейную полугруппу, порожденную генератором L+ f :
(H(t)\varphi )(\bfx ) = u(t,\bfx ).
При некоторых условиях на функцию f доказывается аналог формулы Троттера – Далецкого
H(T ) = s - \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n
(GT
n
e
T
n
L)
n
,
где сходимость имеет место в норме пространства C(\BbbR d).
Замечание 1. В монографии [6, с. 307 – 315] нелинейная формула Троттера – Далецкого для
A(\bfx ) = A = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} доказана в следующей версии. Для последовательности
\psi n(T, \cdot ) =
\Bigl(
e
T
n
LGT
n
\Bigr) n
\varphi
получена оценка \| \psi n(T, \cdot ) - u(T, \cdot )\| V \leq C\| \varphi \| V n - \delta , где V — некоторое банахово простран-
ство; приведен ряд примеров, V \not = C(\BbbR d), и сходимость \psi n(T, \cdot ) требует дополнительных
условий на начальную функцию.
Замечание 2. Отметим частный случай линейного параболического уравнения
du
dt
= Lu+
+L1u , в котором оператор L1 рассматривается как возмущение. Сведение к «традиционному»
интегральному уравнению
u(t) = etLu(0) +
t\int
0
e(t - \tau )LL1u(\tau )d\tau , etLu(0) = q(t, \cdot ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ФОРМУЛА ТРОТТЕРА – ДАЛЕЦКОГО ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ 1719
возможно, если ядро полученного уравнения Вольтерра имеет интегрируемую особенность.
Достаточным условием этого является подчиненность оператора L1 оператору L. Приведем
контрпример:
L = \mathrm{t}\mathrm{r}A(\bfx )\nabla 2u, L1 = \mathrm{t}\mathrm{r}B(\bfx )\nabla 2u, A - 1
2 (\bfx )B(\bfx )A - 1
2 (\bfx ) \leq \delta I, \delta < 1.
В этом случае в [7] предложен модифицированный метод параметрикса: в качестве «нулевого»
приближения вместо q(t,\bfx ) выбрана композиция
v(t,\bfx ) =
\int
(2\pi t) -
n
2 (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}B(\bfz )) -
1
2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2t
(B - 1(\bfx )(\bfx - \bfz ),\bfx - \bfz )
\biggr\}
q(t, \bfz ) d\bfz ,
что приводит к наличию интегрируемой особенности и сходимости итерационного метода.
2. Полученные результаты. Для введенных выше функций v(t,\bfx ), w(t,\bfx ) положим
m =
\partial v
\partial t
- Lv - f(v), \mu =
\partial w
\partial t
- Lw - f(w).
Лемма 1. Невязки m(t,\bfx ), \mu (t,\bfx ) задаются равенствами
m =
f(v)
f2(q)
(A(x)\nabla q,\nabla q)(f \prime (q) - f \prime (v)),
\mu =
\int
f(r(t, \varphi (\bfy )))p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy - f(w(t,\bfx )).
Доказательство. При вычислении m используем представление (2), из которого следуют
выражения для производных:
\partial r
\partial a
=
f(r)
f(a)
,
\partial 2r
\partial a2
=
f(r)
f2(a)
(f \prime (r) - f \prime (a)),
следствием которых являются равенства (\bfh ,\bfk \in \BbbR d)
\partial v
\partial t
= f(v) +
f(v)
f(q)
\partial q
\partial t
, (\nabla v,\bfh ) = f(v)
f(q)
(\nabla q,\bfh ),
(\nabla 2v \bfk ,\bfh ) =
f(v)
f2(q)
(f \prime (v) - f \prime (q))(\nabla q,\bfk )(\nabla q,\bfh ) + f(v)
f(q)
(\nabla 2q \bfk ,\bfh ).
Формула для \mu получается дифференцированием выражения для w(t,\bfx ).
Обозначим через D область значений функций
q(t,\bfx ), v(t,\bfx ), t \in [0;T ].
Лемма 2. Пусть | f \prime (z)| \leq M, | f \prime \prime (z)| \leq M1, z \in D. Тогда невязка m удовлетворяет
оценке
| m(t,\bfx )| \leq cM1te
2Mt\| \nabla q(t,\bfx )\| 2 , c = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \| A(\bfx )\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1720 В. Г. БОНДАРЕНКО
Доказательство. Функции g1(t) = f(r(t, a)), g2(t) = f \prime (r(t, a)) - f \prime (a) удовлетворяют
уравнениям
g\prime 1(t) = f \prime (r)g1(t), g1(0) = f(a); g\prime 2(t) = f
\prime \prime
(r)g1(t), g2(0) = 0.
Oтсюда
g1(t) = f(a) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{
t\int
0
f \prime (r(\tau , a))d\tau
\right\} , g2(t) = f(a)
t\int
0
f \prime \prime (r(\tau , a)) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{
\tau \int
0
f \prime (r(s, a))ds
\right\} d\tau .
Из условий леммы следуют оценки
| g1(t)| \leq | f(a)| eMt, | g2(t)| \leq | f(a)| M1
t\int
0
eM\tau d\tau \leq | f(a)| M1te
Mt,
что приводит к неравенству \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| f(r)f2(a)
(f \prime (r) - f \prime (a))
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M1te
2Mt.
Подставляя в это неравенство v, q вместо r, a, приходим к утверждению леммы.
Следствие. Если производная \nabla q(t,\bfx ) ограничена, то
| m(t,\bfx )| \leq Cte2Mt. (5)
При обобщении формулы Троттера – Далецкого для нелинейного скалярного возмущения
f оператора L, т. е. для полулинейного уравнения (1), преобразуем выражение
\Bigl(
GT
n
e
T
n
L
\Bigr) n
.
Построим последовательности функций
\biggl(
0 \leq t \leq T
n
\biggr)
:
q0(t,\bfx ) =
\int
\varphi (\bfy )p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy , v1(t,\bfx ) = r(t, q0(t,\bfx )),
q1(t,\bfx ) =
\int
v1
\biggl(
T
n
,\bfy
\biggr)
p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy , v2
\biggl(
t+
T
n
,\bfx
\biggr)
= r(t, q1(t,\bfx )),
qk(t,\bfx ) =
\int
vk
\biggl(
k
T
n
,\bfy
\biggr)
p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy , vk+1
\biggl(
t+ k
T
n
,\bfx
\biggr)
= r(t, qk(t,\bfx )),
0 \leq k \leq n - 1, qk(0,\bfx ) = vk
\biggl(
kT
n
,\bfx
\biggr)
= vk+1
\biggl(
kT
n
,\bfx
\biggr)
.
В терминах эволюционных операторов
vk+1
\biggl(
t+
kT
n
\biggr)
= Gte
tLvk
\biggl(
kT
n
\biggr)
.
Теорема. Пусть выполнены условия леммы 2. Если производные | \nabla qk(t,\bfx )| < c1, то
последовательность vn(T,\bfx ) \rightarrow u(T,\bfx ), n\rightarrow \infty , равномерно по \bfx \in \BbbR d.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
ФОРМУЛА ТРОТТЕРА – ДАЛЕЦКОГО ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ 1721
Доказательство. Обозначим
s = t+ k
T
n
, \Delta k =
\biggl[
k
T
n
; (k + 1)
T
n
\biggr]
.
Разность
hk+1(t,\bfx ) = vk+1(s,\bfx ) - u(s,\bfx ), s \in \Delta k,
удовлетворяет уравнению
\partial hk+1
\partial t
= Lhk+1 + f(vk+1) - f(u) +mk(t,\bfx ),
где
mk(t,\bfx ) =
\partial vk+1
\partial t
- Lvk+1 - f(vk+1),
и после умножения на 2hk+1 приходим к неравенству
\partial h2k+1
\partial t
< Lh2k+1 + (2M + 1)h2k+1 +m2
k(t,\bfx ),
из которого следует оценка
h2k+1(t,\bfx ) < e(2M+1)t
\int
h2k+1(0,\bfy )p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy +
t\int
0
d\tau
\int
e(2M+1)(t - \tau ) m2
k(t,\bfy )p(t - \tau ,\bfx ,\bfy ) d\bfy .
По лемме 2 и условию теоремы
m2
k(t,\bfx ) \leq cM2
1 t
2e4Mt| \nabla qk(t,\bfx )| 4 \leq Ct2e4Mt,
откуда
h2k+1(t,\bfx ) \leq e(2M+1)t
\int
h2k+1(0,\bfy )p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy + C1t
3e4Mt (6)
для s = t \in \Delta 0, h1(0,\bfx ) = 0, h21(t,\bfx ) \leq C1t
3e4Mt, т. е. начальное условие для интервала \Delta 1
удовлетворяет неравенству
h22(0,\bfx ) \leq C1
\biggl(
T
n
\biggr) 3
e4M
T
n .
Если s = t+
T
n
\in \Delta 1, то оценка (6) принимает вид
h22
\biggl(
T
n
,\bfx
\biggr)
\leq C1
\biggl(
T
n
\biggr) 3 \Bigl(
e(6M+1)T
n + e4M
T
n
\Bigr)
< 2C1
\biggl(
T
n
\biggr) 3
e(6M+1)T
n ,
и для s = t+ k
T
n
\in \Delta k
h2k+1
\biggl(
T
n
,\bfx
\biggr)
< (k + 1)C1
\biggl(
T
n
\biggr) 3
e(2kM+4M+k)T
n ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
1722 В. Г. БОНДАРЕНКО
т. е.
h2n
\biggl(
T
n
,\bfx
\biggr)
= (vn(T,\bfx ) - u(T,\bfx ))2 <
n+ 1
n3
C2T
3 \rightarrow 0, n\rightarrow \infty .
Теорема доказана.
Если в операторе L = \mathrm{t}\mathrm{r}(A\nabla 2) матрица A не зависит от \bfx , то достаточное условие нера-
венства | \nabla qk(t,\bfx )| < c1 можно сформулировать в терминах начальной функции \varphi (\bfx ).
Утверждение. Если A(\bfx ) \equiv A, то выполняется неравенство
\| \nabla q(t,\bfx )\| 2 <
\int
\| \nabla \varphi (\bfy )\| 2p(t,\bfx ,\bfy ) d\bfy .
Доказательство. Заметим, что функция z(t,\bfx ) = (\nabla q(t,\bfx ),\bfh ) удовлетворяет уравнению
\partial
\partial t
(z2) = \mathrm{t}\mathrm{r}(A\nabla 2z2) - 2(A\nabla z,\nabla z).
Полагая \bfh базисными элементами в \BbbR d и суммируя по ним, приходим к неравенству
\partial
\partial t
\| \nabla q(t,\bfx )\| 2 < \mathrm{t}\mathrm{r}(A\nabla 2\| \nabla q(t,\bfx )\| 2), \| \nabla q(0,\bfx )\} 2 = \| \nabla \varphi (\bfx )\| 2,
из которого следует утверждение.
Литература
1. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. – М.: Мир, 1985. – 376 с.
2. Yagi A. Abstract parabolic evolution equations and their applications. – Berlin: Springer, 2010.
3. Trotter T. F. Of the product of semigroups of operators // Proc. Amer. Math. Soc. – 1959. – 10. – P. 545 – 551.
4. Далецкий Ю. Л. Континуальные интегралы, связанные с операторными эволюционными уравнениями // Успехи
мат. наук. – 1962. – 17, № 5. – С. 3 – 115.
5. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. – Киев: Вища шк., 1989. – 347 с.
6. Taylor M. E. Partial differential equations. III. — New York: Springer-Verlag, 1997. – 610 p.
7. Bondarenko V. Construction of the fundamental solution of disturbed parabolic equation // Bull. Sci. Math. – 2003. –
127, № 3. – P. 191 – 206.
Получено 18.06.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2018, т. 70, № 12
|
| id | umjimathkievua-article-1670 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:17Z |
| publishDate | 2018 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d8/bfa8e4ac9a601cf39ed549986fb937d8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16702019-12-05T09:22:46Z Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance Формула Троттера – Далецкого для нелинейного возмущения Bondarenko, V. G. Бондаренко, В. Г. Бондаренко, В. Г. For a semilinear parabolic equation, we prove a relation generalizing the Trotter – Daletskii formula. Для напiвлiнiйного параболiчного рiвняння доведено спiввiдношення, що узагальнює формулу Троттера – Далецького. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2018-12-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1670 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 70 No. 12 (2018); 1717-1722 Український математичний журнал; Том 70 № 12 (2018); 1717-1722 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1670/652 Copyright (c) 2018 Bondarenko V. G. |
| spellingShingle | Bondarenko, V. G. Бондаренко, В. Г. Бондаренко, В. Г. Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title | Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title_alt | Формула Троттера – Далецкого для нелинейного возмущения |
| title_full | Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title_fullStr | Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title_full_unstemmed | Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title_short | Trotter – Daletskii formula for nonlinear disturbance |
| title_sort | trotter – daletskii formula for nonlinear disturbance |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1670 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovg trotterdaletskiiformulafornonlineardisturbance AT bondarenkovg trotterdaletskiiformulafornonlineardisturbance AT bondarenkovg trotterdaletskiiformulafornonlineardisturbance AT bondarenkovg formulatrotteradaleckogodlânelinejnogovozmuŝeniâ AT bondarenkovg formulatrotteradaleckogodlânelinejnogovozmuŝeniâ AT bondarenkovg formulatrotteradaleckogodlânelinejnogovozmuŝeniâ |