Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure
We study a stochastic parabolic differential equation driven by a general stochastic measure. The existence, uniqueness, and Holder regularity of the mild solution are established.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1672 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507501733085184 |
|---|---|
| author | Bodnarchuk, I. M. Боднарчук, І. М. |
| author_facet | Bodnarchuk, I. M. Боднарчук, І. М. |
| author_sort | Bodnarchuk, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | We study a stochastic parabolic differential equation driven by a general stochastic measure. The existence, uniqueness,
and Holder regularity of the mild solution are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:19Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
I. М. Боднарчук (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ
ЗI СТОХАСТИЧНОЮ МIРОЮ
We study a stochastic parabolic differential equation driven by a general stochastic measure. The existence, uniqueness,
and Hölder regularity of the mild solution are established.
Исследовано стохастическое дифференциальное уравнение параболического типа, порождeнное общей стохастиче-
ской мерой. Доказаны существование, единственность и непрерывность по Гельдеру мягкого решения.
1. Вступ. У данiй роботi ми розглядаємо рiвняння
Lu(t, x)dt+ f(t, x, u(t, x)) dt+ \sigma (t, x) d\mu (x) = 0,
u(0, x) = u0(x),
(1)
де (t, x) \in [0, T ]\times \BbbR , \mu — загальна стохастична мiра, визначена на \sigma -алгебрi борелевих множин
з \BbbR , а оператор L має вигляд
Lu(t, x) = a(t, x)
\partial 2u(t, x)
\partial 2x
+ b(t, x)
\partial u(t, x)
\partial x
+ c(t, x)u(t, x) - \partial u(t, x)
\partial t
, (2)
до того ж функцiї a, b, c визначено в цилiндрi
S = [0, T ]\times \BbbR = \{ (t, x) : t \in [0, T ], x \in \BbbR \} .
За певних припущень щодо коефiцiєнтiв оператора L та функцiй f, \sigma , u0 ми дослiджуємо
м’який розв’язок рiвняння (1), визначений рiвнiстю
u(t, x) =
\int
\BbbR
p(t, x; 0, y)u0(y) dy +
t\int
0
ds
\int
\BbbR
p(t, x; s, y)f(s, y, u(s, y)) dy+
+
\int
\BbbR
d\mu (y)
t\int
0
p(t, x; s, y)\sigma (s, y) ds . (3)
Тут p(t, x; s, y) — фундаментальний розв’язок оператора L, визначеного рiвнiстю (2). Iнтеграли
вiд випадкових функцiй по ds та dy беруться для кожного фiксованого \omega . Деякi пiдходи до
визначення таких iнтегралiв та їх властивостi дослiджено в [12] (див. також [11], глава 3).
Докладнiше про означення м’якого розв’язку див. [6] (роздiл 6).
Частковий випадок задачi (1) (рiвняння теплопровiдностi) при
a(t, x) = a2 \in (0,+\infty ), b(t, x) = c(t, x) = 0
дослiджено у статтi [1]. У цiй публiкацiї доведено iснування та єдинiсть м’якого розв’язку i
встановлено неперервнiсть за Гельдером його траєкторiй за часовою та просторовою змiнними.
c\bigcirc I. М. БОДНАРЧУК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1 3
4 I. М. БОДНАРЧУК
Наша мета полягає в поширеннi цього результату на випадок загального параболiчного рiвняння
та покращеннi показникiв неперервностi за Гельдером.
Уперше стохастичнi диференцiальнi рiвняння параболiчного типу, породженi гауссiвським
бiлим шумом, було введено та обговорено в [2] (роздiл V). Регулярнiсть розв’язкiв стохастичних
параболiчних рiвнянь з крайовими умовами Дiрiхле або Неймана дослiджено в [3, 4]. Рiзнi типи
стохастичних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними розглянуто в [5 – 7]. У книзi
[6] рiвняння з частинними похiдними дослiджено як стохастичнi рiвняння у функцiональних
просторах, а у статтi [7] для вивчення стохастичних диференцiальних рiвнянь застосовано
теорiю iнтегральних рiвнянь Вольтерра. Статтi [8, 9] присвячено дослiдженню гельдеровостi
м’яких розв’язкiв диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, породжених загальними
стохастичними мiрами.
Опишемо коротко будову статтi. Основну теорему сформульовано i доведено в пунктi 2.
Леми 1 та 2, якi використовуються при доведеннi теореми, наведено в пунктах 4 i 5 вiдпо-
вiдно. Леми мiстять твердження про те, що iнтеграл за стохастичною мiрою з рiвняння (3)
є неперервним за Гельдером окремо за просторовою та часовою змiнними. В пунктi 3 наве-
дено додатковi вiдомостi, що використовуються при доведеннi цих лем. У пунктi 6 отриманi
результати порiвняно з результатами статтi [1].
2. Постановка проблеми та основний результат. Нехай \sansL \sanszero = \sansL \sanszero (\Omega ,\scrF ,\sansP ) — множина всiх
дiйснозначних випадкових величин, визначених на повному ймовiрнiсному просторi (\Omega ,\scrF ,\sansP ).
Збiжнiсть в \sansL \sanszero — це збiжнiсть за ймовiрнiстю. Нехай також \sansX — довiльна множина, а \scrB —
борелева \sigma -алгебра пiдмножин з \sansX .
Означення. Довiльне \sigma -адитивне вiдображення \mu : \scrB \rightarrow \sansL \sanszero називається стохастичною
мiрою.
У монографiї [10] таке \mu називається загальною стохастичною мiрою. В цiй роботi (роздiл 7)
(а також у [11], глава 1) для дiйсної вимiрної функцiї g : \sansX \rightarrow \BbbR визначено та дослiджено
iнтеграл вигляду
\int
\sansX
g d\mu . Зокрема, будь-яка вимiрна обмежена функцiя iнтегровна по \mu . Крiм
того, для такого iнтеграла справедливим є аналог теореми Лебега про мажоровану збiжнiсть
(див. [10], твердження 7.1.1 або [11], пункт 1.1.1, наслiдок).
Ми розглядаємо м’який розв’язок рiвняння (1), тобто таку вимiрну випадкову функцiю
u(t, x) = u(t, x, \omega ) : [0, T ] \times \BbbR \times \Omega \rightarrow \BbbR , що при будь-яких (t, x) задовольняє iнтегральне
рiвняння (3).
Далi будемо розглядати наступнi припущення.
A1 . Функцiя u0(y) = u0(y, \omega ) : \BbbR \times \Omega \rightarrow \BbbR вимiрна та обмежена: | u0(y, \omega )| \leq Cu0(\omega ).
A2 . Функцiя u0(y) неперервна за Гельдером по y \in \BbbR , а саме,
| u0(y1) - u0(y2)| \leq Lu0(\omega ) | y1 - y2| \beta (u0) , \beta (u0) \geq 1/2 .
A3 . Функцiя f(s, y, z) : [0, T ]\times \BbbR \times \BbbR \rightarrow \BbbR вимiрна та обмежена: | f(s, y, z)| \leq Cf .
A4 . Функцiя f(s, y, z) лiпшицева по y \in \BbbR , z \in \BbbR , тобто
| f(s, y1, z1) - f(s, y2, z2)| \leq Lf (| y1 - y2| + | z1 - z2| ) .
A5 . Функцiя \sigma (s, y) : [0, T ]\times \BbbR \rightarrow \BbbR вимiрна та обмежена: | \sigma (s, y)| \leq C\sigma .
A6 . Функцiя \sigma (s, y) неперервна за Гельдером по y \in \BbbR , тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 5
| \sigma (s, y1) - \sigma (s, y2)| \leq L\sigma | y1 - y2| \beta (\sigma ) , \beta (\sigma ) > 1/2.
P. Фундаментальний розв’язок оператора L є однорiдним за просторовими змiнними:
p(t, x; s, y) = p(t, x - y; s, 0).
\mathrm{L}1 . Функцiї a(t, x), b(t, x), c(t, x) неперервнi та обмеженi в S за сукупнiстю змiнних t та
x i для деяких \alpha > 0, A > 0 скрiзь в S виконуються нерiвностi
| a(t, x) - a(t0, x0)| \leq A
\bigl( \bigm| \bigm| x - x0
\bigm| \bigm| \alpha +
\bigm| \bigm| t - t0
\bigm| \bigm| \alpha \bigr) ,
| b(t, x) - b(t, x0)| \leq A
\bigm| \bigm| x - x0
\bigm| \bigm| \alpha ,
| c(t, x) - c(t, x0)| \leq A
\bigm| \bigm| x - x0
\bigm| \bigm| \alpha .
\mathrm{L}2 . Оператор L рiвномiрно параболiчний в S, тобто iснують такi додатнi сталi \lambda 0, \lambda 1, що
\lambda 0 \leq a(t, x) \leq \lambda 1 для всiх (t, x) \in S.
Якщо виконуються припущення \mathrm{L}1 та \mathrm{L}2 , то за теоремою 1 з роздiлу 4 [13] мають мiсце
такi оцiнки:
| p(t, x; s, y)| \leq M(t - s) -
1
2 e -
\lambda | x - y| 2
t - s , (4)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(t, x; s, y)\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M(t - s) - 1e -
\lambda | x - y| 2
t - s , (5)\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(t, x; s, y)\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq M(t - s) -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
t - s , (6)
де \lambda та M — додатнi сталi.
Зауваження. Якщо виконується умова Р, то коефiцiєнти оператора L є незалежними вiд
просторової змiнної. У цьому випадку умова \mathrm{L}1 набирає значно простiшого вигляду.
Теорема. Нехай виконуються припущення \mathrm{L}1 , \mathrm{L}2 , A1 – A6 . Тодi:
1. Рiвняння (3) має розв’язок u(t, x). Якщо v(t, x) — iнший розв’язок рiвняння (3), то для
всiх t та x u(t, x) = v(t, x) майже напевно (м.н.).
Якщо додатково виконується припущення P та функцiя | y| \tau iнтегровна по \mu на \BbbR для
деякого \tau > 1/2, то:
2. Для будь-яких фiксованих t \in [0, T ], K > 0, \gamma 1 < 1/2 випадковий процес u(t, x), x \in
\in [ - K,K], має модифiкацiю, неперервну за Гельдером з показником \gamma 1.
3. Для будь-яких фiксованих \delta > 0, K > 0, \gamma 1 < 1/2, \gamma 2 < 1/4 випадкова функцiя u(t, x)
має таку модифiкацiю \~u(t, x), що для деякого C\~u(\omega ) > 0 виконується
| \~u(t1, x1) - \~u(t2, x2)| \leq C\~u(\omega )(| t1 - t2| \gamma 2 + | x1 - x2| \gamma 1), t \in [\delta , T ], x \in [ - K,K].
Доведення. Доведення тверджень 1 та 2 даної теореми аналогiчне доведенню пунктiв (i) та
(ii) теореми зi статтi [1], i ми його пропускаємо. Зауважимо лише, що використовується процес
iтерацiї, де u(0)(t, x) = 0 та
u(n+1)(t, x) =
\int
\BbbR
p(t, x; 0, y)u0(y) dy+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
6 I. М. БОДНАРЧУК
+
t\int
0
ds
\int
\BbbR
p(t, x; s, y)f(s, y, u(n)(s, y)) dy+
+
\int
\BbbR
d\mu (y)
t\int
0
p(t, x; s, y)\sigma (s, y) ds, n \geq 0,
а розв’язок будується у виглядi
u(t, x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
u(n)(t, x) \forall (t, x) \in [0, T ]\times \BbbR ,
де границя є границею збiжностi за ймовiрнiстю.
Також зауважимо, що отриманий за допомогою зазначеного вище iтерацiйного процесу
розв’язок має неперервну модифiкацiю. Ця властивiсть була обґрунтована при доведеннi пунк-
ту (i) теореми в [1]. Такi ж мiркування справедливi i у розглядуваному випадку.
Крiм того, при доведеннi застосовується лема 1 даної роботи та використовується оцiнка\int
\BbbR
| p(t, x; s, y)| dy \leq M
\int
\BbbR
(t - s) -
1
2 e -
\lambda | x - y| 2
t - s dy = C, (7)
яка випливає з (4) та рiвностi
\int
\BbbR
e - z2/b2dz = Cb. Тут i далi через C та C(\omega ) позначено додатнi
сталi, якi можуть бути рiзними у рiзних формулах.
Доведемо твердження 3 теореми. Нехай спочатку | x| \leq K є фiксованим. Доведемо гельде-
ровiсть м’якого розв’язку u(t, x) за змiнною t на множинi [\delta , T ].
Зафiксуємо довiльнi \delta \leq t1 < t2 \leq T. Тодi для вiдповiдної модифiкацiї u(\cdot , x) за лемою 2
маємо
| u(t1, x) - u(t2, x)| \leq
\int
\BbbR
| p(t1, x; 0, y) - p(t2, x; 0, y)| | u0(y)| dy+
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t1\int
0
ds
\int
\BbbR
p(t1, x; s, y)f(s, y, u(s, y)) dy -
-
t2\int
0
ds
\int
\BbbR
p(t2, x; s, y)f(s, y, u(s, y)) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + C(\omega )| t1 - t2| \gamma 2 =
= B1 +B2 + C(\omega )| t1 - t2| \gamma 2 .
За припущенням A1 , оцiнкою (6) i тим, що t1 \geq \delta , одержуємо
B1 \leq Cu0(\omega )
\int
\BbbR
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(\tau , x; 0, y)\partial \tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau dy \leq Cu0(\omega )M
\int
\BbbR
t2\int
t1
\tau -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau d\tau dy =
= C(\omega )
t2\int
t1
\tau - 1d\tau
\int
\BbbR
\tau -
1
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau dy \leq C(\omega )\delta - 1| t1 - t2| \leq C(\omega )| t1 - t2| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 7
Для доданка B2 можемо записати, враховуючи припущення A3 та (7):
B2 \leq
t1\int
0
ds
\int
\BbbR
| p(t1, x; s, y) - p(t2, x; s, y)| | f(s, y, u(s, y))| dy+
+
t2\int
t1
ds
\int
\BbbR
| p(t2, x; s, y)| | f(s, y, u(s, y))| dy \leq
\leq Cf
t1\int
0
ds
\int
\BbbR
| p(t1, x; s, y) - p(t2, x; s, y)| dy + CfC| t1 - t2| =
= B21 + C| t1 - t2| .
Далi, оскiльки | x| \leq K, то з (6) отримуємо
B21 \leq Cf
t1\int
0
ds
\int
\BbbR
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(\tau , x; s, y)\partial \tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau dy \leq C
t1\int
0
ds
\int
\BbbR
t2\int
t1
(\tau - s) -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s d\tau dy =
= C
t1\int
0
ds
\int
\{ | y| \leq K+1\}
t2\int
t1
(\tau - s) -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s d\tau dy+
+C
t1\int
0
ds
\int
\{ | y| \geq K+1\}
t2\int
t1
(\tau - s) -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s d\tau dy = B211 +B212.
Тодi
B211 = C
t1\int
0
ds
t2\int
t1
(\tau - s) -
3
2d\tau
\int
\{ | y| \leq K+1\}
e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s dy \leq C(2K + 2)
t1\int
0
t2\int
t1
(\tau - s) -
3
2d\tau ds =
= C
t1\int
0
((t1 - s) -
1
2 - (t2 - s) -
1
2 ) ds = C(t
1/2
1 - t
1/2
2 + | t1 - t2| 1/2) \leq C| t1 - t2| 1/2.
Використовуючи оцiнки ze - z2 \leq Ce - z2/2 та | x - y| \geq 1 при | x| \leq K, | y| \geq K + 1, маємо
B212 \leq C
t1\int
0
ds
t2\int
t1
\int
\{ | y| \geq K+1\}
(\tau - s) -
3
2 e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s dy d\tau \leq
\leq C
t1\int
0
ds
t2\int
t1
(\tau - s) -
1
2
\int
\{ | y| \geq K+1\}
(\tau - s) - 1\lambda 1/2| x - y| e -
\lambda | x - y| 2
\tau - s dy d\tau \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
8 I. М. БОДНАРЧУК
\leq C
t1\int
0
ds
t2\int
t1
(\tau - s) -
1
2
\int
\{ | y| \geq K+1\}
(\tau - s) -
1
2 e
- \lambda | x - y| 2
2(\tau - s) dy d\tau \leq C
t1\int
0
ds
t2\int
t1
(\tau - s) -
1
2d\tau \leq
\leq C| t1 - t2|
t1\int
0
(t1 - s) -
1
2 ds \leq C| t1 - t2| .
Таким чином, одержуємо
| u(t1, x) - u(t2, x)| \leq C(\omega )| t1 - t2| \gamma 2 .
Отже, за припущень пункту 3 ми отримали модифiкацiю \~u(x), неперервну за Гельдером
за змiнною x при фiксованому t, та модифiкацiю \~u(t), що задовольняє умову Гельдера по t
при кожному фiксованому x. Вилучимо всi \omega \in \Omega , для яких \~u(x)(t, x) \not = \~u(t)(t, x) хоча б для
однiєї пари рацiональних (t, x) \in [\delta , T ] \times \BbbR . Для всiх iнших \omega покладемо \~u = \~u(x) = \~u(t) для
рацiональних (t, x) та довизначимо \~u на всю множину [\delta , T ] \times \BbbR за неперервнiстю. Тобто ми
одержали модифiкацiю \~u(t, x), яка є неперервною за Гельдером за змiнними t та x.
Теорему доведено.
3. Допомiжнi вiдомостi. Розглядаємо простiр Бєсова B\alpha
22([c, d]), 0 < \alpha < 1. Функцiя g на-
лежить B\alpha
22([c, d]), якщо скiнченною є її норма у просторi Бєсова:
\| g\| B\alpha
22([c,d])
= \| g\| L2([c,d]) +
\left( d - c\int
0
(w2(g, r))
2r - 2\alpha - 1 dr
\right) 1/2
, (8)
де
w2(g, r) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
\left( d - h\int
c
| g(v + h) - g(v)| 2 dv
\right) 1/2
.
Покладемо для довiльного j \in \BbbZ
\Delta
(j)
kn = (j + (k - 1)2 - n, j + k2 - n], n \geq 0, 1 \leq k \leq 2n.
Нехай функцiя g(z, v) : Z \times [j, j + 1] \rightarrow \BbbR така, що для будь-якого z \in Z функцiя g(z, \cdot )
неперервна на [j, j + 1]. Тут Z — довiльна множина. Позначимо
gn(z, v) = g(z, j)\bfone \{ j\} (v) +
\sum
1\leq k\leq 2n
g(z, j + (k - 1)2 - n)\bfone
\Delta
(j)
kn
(v).
Тодi за лемою 3 [14] випадкова функцiя
\eta (z) =
\int
[j,j+1]
g(z, v)d\mu (v), z \in Z,
має модифiкацiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 9
\widetilde \eta (z) = \int
[j,j+1]
g0(z, v)d\mu (v) +
\sum
n\geq 1
\left( \int
[j,j+1]
gn(z, v)d\mu (v) -
\int
[j,j+1]
gn - 1(z, v)d\mu (v)
\right) (9)
таку, що для всiх \varepsilon > 0, \omega \in \Omega , z \in Z виконується
| \widetilde \eta (z)| \leq | g(z, j)\mu ([j, j + 1])| +
\left\{ \sum
n\geq 1
2n\varepsilon
\sum
1\leq k\leq 2n
| g(z, j + k2 - n) - g(z, j + (k - 1)2 - n)| 2
\right\}
1/2
\times
\times
\left\{ \sum
n\geq 1
2 - n\varepsilon
\sum
1\leq k\leq 2n
| \mu (\Delta (j)
kn)|
2
\right\}
1/2
.
Для цiєї модифiкацiї за теоремoю 1.2 [15] справджується оцiнка
| \widetilde \eta (z)| \leq | g(z, j)\mu ([j, j + 1])| + C\| g(z, \cdot )\| B\alpha
22([j,j+1])
\left\{ \sum
n\geq 1
2 - n\varepsilon
\sum
1\leq k\leq 2n
| \mu (\Delta (j)
kn)|
2
\right\}
1/2
, (10)
де \alpha = \varepsilon /2 + 1/2, а сума зi стохастичною мiрою є скiнченною за лемою 3.1 [1].
4. Регулярнiсть стохастичного iнтеграла по \bfitx . У даному пунктi будемо дослiджувати
неперервнiсть за Гельдером стохастичного iнтеграла з рiвностi (3) за просторовою змiнною при
фiксованiй часовiй змiннiй.
Лема 1. Нехай | y| \tau iнтегровна по \mu на \BbbR для деякого \tau > 1/2 та виконуються припущення
\mathrm{L}1 , \mathrm{L}2 , A5 , A6 , P. Тодi для будь-яких фiксованих t \in [0, T ], K > 0 та \gamma 1 < 1/2 випадковий
процес
\vargamma (x) =
\int
\BbbR
d\mu (y)
t\int
0
p(t, x; s, y)\sigma (s, y) ds, | x| \leq K,
має модифiкацiю, неперервну за Гельдером з показником \gamma 1.
Доведення. Для довiльних фiксованих t, x1 \leq x2 покладемо
q(z, y) =
t\int
0
p(t, x1; s, y)\sigma (s, y) ds -
t\int
0
p(t, x2; s, y)\sigma (s, y) ds, z = (t, x1, x2), y \in \BbbR .
Тодi для модифiкацiї (9) стохастичного iнтеграла
\eta (z) =
\int
[j,j+1]
q(z, y)d\mu (y)
справджується оцiнка (10).
Оцiнимо норму функцiї q(z, \cdot ) у просторi Бєсова на [j, j+1]. Для цього розглянемо величину
q(z, y + h) - q(z, y) =
t\int
0
(p(t, x1; s, y) - p(t, x2; s, y)) (\sigma (s, y + h) - \sigma (s, y)) ds+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
10 I. М. БОДНАРЧУК
+
t\int
0
(p(t, x1; s, y + h) - p(t, x1; s, y) - p(t, x2; s, y + h) + p(t, x2; s, y))\sigma (s, y + h)ds = I1 + I2.
Нам будуть потрiбнi наступнi оцiнки. Для довiльного b > 0
t\int
0
1
r
e -
b
r dr =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| br = z
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\infty \int
b/t
1
z
e - zdz \leq \bfone \{ t>b\}
1\int
b/t
1
z
dz +
\infty \int
1
e - zdz =
= \bfone \{ t>b\} \mathrm{l}\mathrm{n}
t
b
+ e - 1 \leq \bfone \{ t>b\} \mathrm{l}\mathrm{n}
T
b
+ 1 \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} T
b
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 1.
Також за (5)
| p(t, x1; s, y) - p(t, x2; s, y)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x2\int
x1
\partial p(t, x; s, y)
\partial x
dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C
t - s
x2\int
x1
e -
\lambda | x - y| 2
t - s dx.
Використовуючи данi оцiнки та припущення A6, для доданка I1 маємо
| I1| \leq Ch\beta (\sigma )
t\int
0
| p(t, x1; s, y) - p(t, x2; s, y)| ds \leq
\leq Ch\beta (\sigma )
t\int
0
\left( C
t - s
x2\int
x1
e -
\lambda | x - y| 2
t - s dx
\right) ds =
= | t - s = r| = Ch\beta (\sigma )
x2\int
x1
dx
t\int
0
1
r
e -
\lambda | x - y| 2
r dr \leq
\leq Ch\beta (\sigma )
x2\int
x1
\biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{l}\mathrm{n} T
\lambda | x - y| 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 1
\biggr)
dx \leq
\leq Ch\beta (\sigma )
\left( C1| x1 - x2| + C2
x2\int
x1
| \mathrm{l}\mathrm{n} | x - y| | dx
\right) \leq
\leq Ch\beta (\sigma )
\left( C1| x1 - x2| + 2C2
| x1 - x2| /2\int
0
| \mathrm{l}\mathrm{n} z| dz
\right) =
= Ch\beta (\sigma )
\biggl(
C1| x1 - x2| + 2C2(z - z \mathrm{l}\mathrm{n} z)
\bigm| \bigm| \bigm| | x1 - x2| /2
0
\biggr)
=
= Ch\beta (\sigma ) ((C1 + C2)| x1 - x2| - C2| x1 - x2| \mathrm{l}\mathrm{n} | x1 - x2| ) \leq Ch\beta (\sigma )| x1 - x2| \gamma , (11)
де 0 < \gamma < 1 довiльне, стала C залежить вiд \gamma , \lambda , K, T, i ми використали той факт, що
| x1 - x2| 1 - \gamma \mathrm{l}\mathrm{n} | x1 - x2| \leq C для x1, x2 \in \{ x \in \BbbR : | x| \leq K\} та будь-якого \gamma < 1, оскiльки
| x1 - x2| 1 - \gamma \mathrm{l}\mathrm{n} | x1 - x2| \rightarrow 0, | x1 - x2| \rightarrow 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 11
Аналогiчну оцiнку отримуємо i для доданка I2, записавши його у виглядi суми двох доданкiв
i використавши припущення A5 :
| I2| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
(p(t, x1; s, y + h) - p(t, x2; s, y + h))\sigma (s, y + h)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
(p(t, x1; s, y) - p(t, x2; s, y))\sigma (s, y + h)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq C| x1 - x2| \gamma . (12)
Дослiдимо тепер модуль неперервностi
(w2(q, r))
2 \leq 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I21dy + 2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I22dy.
За спiввiдношенням (11) маємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I21dy \leq C| x1 - x2| 2\gamma \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
h2\beta (\sigma )(1 - h) \leq Cr2\beta (\sigma )| x1 - x2| 2\gamma .
Враховуючи (12), одержуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I22dy \leq C| x1 - x2| 2\gamma . (13)
Потрiбно ще отримати оцiнку I2 за допомогою степеня r. Використовуючи припущення
A5 , P та метод доведення (11), приходимо до спiввiдношення\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
0
(p(t, x1; s, y + h) - p(t, x1; s, y))\sigma (s, y + h)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C
t\int
0
| (p(t, x1 - h; s, y) - p(t, x1; s, y))| ds \leq C
t\int
0
1
t - s
x1\int
x1 - h
e -
\lambda | x - y| 2
t - s dx ds \leq Ch\gamma .
Аналогiчно мiркуємо i у випадку з другим доданком. Отже,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I22dy \leq Cr2\gamma . (14)
Перемножимо нерiвнiсть (13), пiднесену до степеня \theta , та (14), взяту в степенi 1 - \theta , для
деякого 0 < \theta < 1. В результатi одержимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
12 I. М. БОДНАРЧУК
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0\leq h\leq r
j+1 - h\int
j
I22dy \leq Cr2\gamma (1 - \theta )| x1 - x2| 2\gamma \theta .
Таким чином,
(w2(q, r))
2 \leq Cr2\beta (\sigma )| x1 - x2| 2\gamma + Cr2\gamma (1 - \theta )| x1 - x2| 2\gamma \theta \leq C| x1 - x2| 2\gamma \theta (r2\beta (\sigma ) + r2\gamma (1 - \theta )).
Щоб iнтеграл iз (8) був скiнченним, необхiдно, щоб
2\gamma (1 - \theta ) > 2\alpha \leftrightarrow \gamma \theta < \gamma - \alpha .
Якщо вибрати \gamma \rightarrow 1 - та \alpha \rightarrow 1/2+, то отримаємо показник гельдеровостi \gamma \theta \rightarrow 1/2 - .
Отже, для довiльного 0 < \gamma 1 < 1/2 iснує таке \alpha > 1/2, що
\| q(z, \cdot )\| B\alpha
22([j,j+1]) \leq C| x1 - x2| \gamma 1 .
Крiм того, аналогiчнi мiркування, як i при оцiнюваннi (11), приводять до нерiвностей
| q(z, j)| \leq C| x1 - x2| \gamma , \| q(z, \cdot )\| L2([j,j+1]) \leq C| x1 - x2| \gamma .
Тепер дослiдимо стохастичний iнтеграл на множинi y \in \BbbR . Використовуючи попереднi
оцiнки, спiввiдношення (10) та нерiвнiсть Кошi, для вiдповiдної модифiкацiї маємо
| \vargamma (x1) - \vargamma (x2)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
q(z, y)d\mu (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\sum
j\in \BbbZ
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
j+1\int
j
q(z, y) d\mu (y)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\sum
j\in \BbbZ
| q(z, j)\mu ([j, j + 1])| + C
\sum
j\in \BbbZ
\| q(z, \cdot )\| B\alpha
22([j, j+1])
\left\{ \sum
n\geq 1
2n(1 - 2\alpha )
\sum
1\leq k\leq 2n
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \Bigl(
\Delta
(j)
kn
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right\}
1/2
\leq
\leq C| x2 - x1| \gamma 1
\left[ \sum
j\in \BbbZ
| \mu ([j, j + 1])| +
\sum
j\in \BbbZ
\left\{ \sum
n\geq 1
2n(1 - 2\alpha )
\sum
1\leq k\leq 2n
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \Bigl(
\Delta
(j)
kn
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right\}
1/2
\right] \leq
\leq C| x2 - x1| \gamma 1
\left[
\left( \sum
j\in \BbbZ
(| j| + 1)\rho (\mu ([j, j + 1]))2
\right) 1/2\left( \sum
j\in \BbbZ
(| j| + 1) - \rho
\right) 1/2
+
+
\left( \sum
j\in \BbbZ
\sum
n\geq 1
\sum
1\leq k\leq 2n
(| j| + 1)\rho 2n(1 - 2\alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \mu \Bigl(
\Delta
(j)
kn
\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| 2
\right) 1/2\left( \sum
j\in \BbbZ
(| j| + 1) - \rho
\right) 1/2
\right] .
Тут для довiльного \rho > 1 виконується
\sum
j\in \BbbZ
(| j| +1) - \rho < +\infty , а суми зi стохастичними мiрами
мають вигляд
\sum \infty
l=1
\biggl( \int
\sansx
fl d\mu
\biggr) 2
, де
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 13
\{ fl(y), l \geq 1\} =
\Bigl\{
(| j| + 1)\rho /2 \bfone [j, j+1](y), j \in \BbbZ
\Bigr\}
,
\{ fl(y), l \geq 1\} =
\Bigl\{
(| j| + 1)\rho /2 2n(1 - 2\alpha )/2\bfone
\Delta
(j)
kn
(y), j \in \BbbZ , n \geq 1, 1 \leq k \leq 2n
\Bigr\}
у першiй та другiй частинах останньої суми вiдповiдно. Оскiльки
\sum \infty
l=1
| fl(y)| \leq C(| y| \tau + 1)
для \tau = \rho /2 та за умовою даної леми | y| \tau iнтегровна по \mu на \BbbR , то за лемою 3.1 [1] одержимо
скiнченнiсть вiдповiдних сум, що й завершує доведення леми 1.
5. Регулярнiсть стохастичного iнтеграла по \bfitt . У даному пунктi будемо дослiджувати
неперервнiсть за Гельдером стохастичного iнтеграла з рiвностi (3) за часовою змiнною при
фiксованiй просторовiй змiннiй.
Лема 2. Нехай | y| \tau iнтегровна по \mu на \BbbR для деякого \tau > 1/2 та виконуються припущення
\mathrm{L}1 , \mathrm{L}2 , A5 , A6 , P. Тодi для будь-яких фiксованих x \in \BbbR та \gamma 2 < 1/4 випадковий процес
\^\vargamma (t) =
\int
\BbbR
d\mu (y)
t\int
0
p(t, x; s, y)\sigma (s, y) ds, t \in [0, T ],
має модифiкацiю, неперервну за Гельдером з показником \gamma 2.
Доведення. Нехай x \in \BbbR , 0 \leq t1 < t2 \leq T — довiльнi фiксованi. Покладемо
\^q(z, y) =
t2\int
0
p(t2, x; s, y)\sigma (s, y) ds -
t1\int
0
p(t1, x; s, y)\sigma (s, y) ds, z = (t1, t2, x).
Тодi для модифiкацiї (9) стохастичного iнтеграла
\^\eta (z) =
\int
[j,j+1]
\^q(z, y) d\mu (y)
виконується спiввiдношення (10). Оцiнимо норму простору Бєсова функцiї \^q(z, \cdot ). Маємо
\^q(z, y + h) - \^q(z, y) =
t1\int
0
(p(t2, x; s, y + h) - p(t1, x; s, y + h))\sigma (s, y + h)ds -
-
t1\int
0
(p(t2, x; s, y) - p(t1, x; s, y))\sigma (s, y)ds+
+
t2\int
t1
p(t2, x; s, y + h)\sigma (s, y + h)ds -
t2\int
t1
p(t2, x; s, y)\sigma (s, y)ds =
=
t1\int
0
(p(t2, x; s, y + h) - p(t1, x; s, y + h)) (\sigma (s, y + h) - \sigma (s, y)) ds+
+
t1\int
0
(p(t2, x; s, y + h) - p(t2, x; s, y))\sigma (s, y)ds -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
14 I. М. БОДНАРЧУК
-
t1\int
0
(p(t1, x; s, y + h) - p(t1, x; s, y))\sigma (s, y)ds+
+
t2\int
t1
p(t2, x; s, y + h)(\sigma (s, y + h) - \sigma (s, y))ds+
+
t2\int
t1
(p(t2, x; s, y + h) - p(t2, x; s, y))\sigma (s, y)ds =
= J11 + J12 - J13 + J21 + J22 = J1 + J2.
За припущенням A6, використовуючи (4), отримуємо
| J21| \leq Ch\beta (\sigma )
t2\int
t1
(t2 - s) - 1/2e
- \lambda | x - y - h| 2
t2 - s ds \leq
\leq Ch\beta (\sigma )
t2\int
t1
(t2 - s) - 1/2ds = Ch\beta (\sigma )(t2 - t1)
1/2. (15)
Далi, з одного боку, за припущенням A5 та (4)
| J22| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2\int
t1
p(t2, x; s, y + h)\sigma (s, y)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t2\int
t1
p(t2, x; s, y)\sigma (s, y)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C
t2\int
t1
(t2 - s) - 1/2e
- \lambda | x - y - h| 2
t2 - s ds+ C
t2\int
t1
(t2 - s) - 1/2e
- \lambda | x - y| 2
t2 - s ds \leq C(t2 - t1)
1/2. (16)
З iншого боку, мiркуючи, як i при отриманнi (11), маємо
| J22| \leq C
t2\int
t1
x\int
x - h
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(t2, v; s, y)\partial v
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dv ds \leq C
t2\int
t1
x\int
x - h
(t2 - s) - 1e
- \lambda | v - y| 2
t2 - s dv ds \leq Ch\gamma 0 , (17)
де 0 < \gamma 0 < 1 — довiльне та стала C залежить вiд \gamma 0.
Отже, перемноживши (16) та (17) у степенях \theta 0 та 1 - \theta 0, \theta 0 \in (0, 1), вiдповiдно, з ураху-
ванням (15) одержимо
| J2| \leq Ch\beta (\sigma )(t2 - t1)
1/2 + Ch(1 - \theta 0)\gamma 0(t2 - t1)
\theta 0/2 \leq C(t2 - t1)
\theta 0/2(h\beta (\sigma ) + h(1 - \theta 0)\gamma 0).
При \gamma 0 \rightarrow 1 - та 1 - \theta 0 \rightarrow 1/2+ матимемо (1 - \theta 0)\gamma 0 > 1/2 та \theta 0 \rightarrow 1/2 - .
Використовуючи припущення A6 та (6), можемо записати
| J11| \leq L\sigma h
\beta (\sigma )
t1\int
0
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(\tau , x; s, y + h)
\partial \tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau ds \leq Ch\beta (\sigma )
t1\int
0
t2\int
t1
(\tau - s) - 3/2e -
\lambda | x - y - h| 2
\tau - s d\tau ds \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
РЕГУЛЯРНIСТЬ М’ЯКОГО РОЗВ’ЯЗКУ ПАРАБОЛIЧНОГО РIВНЯННЯ . . . 15
\leq Ch\beta (\sigma )
t1\int
0
t2\int
t1
(\tau - s) - 3/2d\tau ds \leq Ch\beta (\sigma )(t2 - t1)
1/2. (18)
Аналогiчно, за припущенням A5 маємо
| J12 - J13| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t1\int
0
(p(t2, x; s, y + h) - p(t1, x; s, y + h))\sigma (s, y)ds -
-
t1\int
0
(p(t2, x; s, y) - p(t1, x; s, y))\sigma (s, y)ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C
t1\int
0
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(\tau , x; s, y + h)
\partial \tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau ds+ C
t1\int
0
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial p(\tau , x; s, y)\partial \tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| d\tau ds \leq C(t2 - t1)
1/2. (19)
З iншого боку, такi ж мiркування, як i при отриманнi (17), приводять до оцiнки
| J12 - J13| \leq | J12| + | J13| \leq Ch\gamma 0 . (20)
Отже, перемноживши (19) та (20) у степенях \theta 0 та 1 - \theta 0 вiдповiдно, з урахуванням (18)
отримаємо
| J1| \leq Ch\beta (\sigma )(t2 - t1)
1/2 + Ch(1 - \theta 0)\gamma 0(t2 - t1)
\theta 0/2 \leq C(t2 - t1)
\theta 0/2(h\beta (\sigma ) + h(1 - \theta 0)\gamma 0).
Таким чином, маємо
| \^q(z, y + h) - \^q(z, y)| \leq C(t2 - t1)
\theta 0/2(h\beta (\sigma ) + h(1 - \theta 0)\gamma 0),
i тодi \left( 1\int
0
(w2(g, r))
2r - 2\alpha - 1 dr
\right) 1/2
\leq
\leq C(t2 - t1)
\theta 0/2
\left( 1\int
0
r2\beta (\sigma ) - 2\alpha - 1dr -
1\int
0
r2(1 - \theta 0)\gamma 0 - 2\alpha - 1dr
\right) \leq
\leq C(t2 - t1)
\theta 0/2
для вiдповiдного 1/2 < \alpha < (1 - \theta 0)\gamma 0.
Крiм того, для y \in \BbbR за (16) та (19)
| \^q(z, y)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t1\int
0
(p(t2, x; s, y) - p(t1, x; s, y))\sigma (s, y) ds+
t2\int
t1
p(t2, x; s, y)\sigma (s, y) ds
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq C(t2 - t1)
1/2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
16 I. М. БОДНАРЧУК
а тому
\| \^q(z, \cdot )\| L2([j,j+1]) \leq C(t2 - t1)
1/2, | \^q(z, j)| \leq C(t2 - t1)
1/2 \forall j \in \BbbZ .
Завершення даного доведення повторює завершення доведення леми 1 з використанням
умови про iнтегровнiсть функцiї | y| \tau для деякого \tau > 1/2.
6. Висновки. Дослiджено стохастичне диференцiальне рiвняння параболiчного типу на
множинi [0, T ]\times \BbbR , породжене загальною стохастичною мiрою \mu (x), x \in \BbbR . Доведено iснуван-
ня, єдинiсть та неперервнiсть за Гельдером м’якого розв’язку.
Порiвнявши одержанi результати з результатами роботи [1], зазначимо, що ми отримали
умову Гельдера з показниками \gamma 1 < 1/2 та \gamma 2 < 1/4 за просторовою та часовою змiнни-
ми вiдповiдно. Для випадку рiвняння теплопровiдностi в [1] одержано показники \gamma 1 < 1/6
та \gamma 2 < 1/18. Таким чином, нам вдалося зробити узагальнення та покращити показники непе-
рервностi за Гельдером.
Автор висловлює щиру подяку професору В. М. Радченку за постановку задачi та постiйну
увагу до даної роботи.
Лiтература
1. Radchenko V. Mild solution of the heat equation with a general stochastic measure // Stud. Math. – 2009. – 194,
№ 3. – P. 231 – 251.
2. Walsh J. B. An introduction to stochastic partial differential equations // Lect. Notes Math. – 1986. – 1180. –
P. 231 – 251.
3. Millet A., Morien P. L. On implicit and explicit discretization schemes for parabolic SPDEs in any dimension //
Stochast. Process. and Appl. – 2005. – 115. – P. 1073 – 1106.
4. Printems J. On the discretization in time of parabolic stochastic partial differential equations // Math. Model. Numer.
Anal. – 2001. – 35, № 6. – P. 1055 – 1078.
5. Sanz-Solé M., Süss A. Absolute continuity for SPDEs with irregular fundamental solution // Electron. Commun.
Probab. – 2015. – 20, № 14. – P. 1 – 11. DOI 10.1214/ECP.v20-3831; arXiv:1409.8031.
6. Da Prato G., Zabczyk J. Stochastic equations in infinite dimentions // Encycl. Math. Appl. – Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1992. – Vol. 45. – 454 p.
7. Zhang X. Stochastic Volterra equations in Banach spaces and stochastic partial differential equation // J. Funct. Anal. –
2010. – 258. – P. 1361 – 1425.
8. Radchenko V. Heat equation with general stochastic measure colored in time // Modern Stochastics: Theory and
Appl. – 2014. – 1. – P. 129 – 138.
9. Боднарчук I. М’який розв’язок хвильового рiвняння iз загальною випадковою мiрою // Вiсн. Київ. ун-ту.
Математика i механiка. – 2010. – 24. – C. 28 – 33.
10. Kwapień S., Woyczyński W. A. Random series and stochastic integrals: single and multiple. – Boston: Birkhäuser,
1992. – 360 p.
11. Радченко В. Н. Интегралы по общим случайным мерам // Труды Ин-та математики НАН Украины. – 1999. –
27. – 196 c.
12. Radchenko V. On a definition of the integral of a random function // Theory Probab. and Appl. – 1996. – 41, № 3. –
P. 597 – 601.
13. Ilyin А. М., Kalashnikov А. S., Oleynik О. А. Linear second-order partial differential equations of the parabolic type //
J. Math. Sci. – 2002. – 108, № 4. – P. 435 – 542.
14. Радченко В. Н. Эволюционные уравнения с общими стохастическими мерами в гильбертовом пространстве //
Теория вероятностей и ее применения. – 2014. – 59, № 2. – C. 375 – 386.
15. Kamont A. A discrete characterization of Besov spaces // Approxim. Theory Appl. – 1997. – 13, № 2. – P. 63 – 77.
Одержано 01.10.15,
пiсля доопрацювання — 21.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1672 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:19Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/53/cd4dc819cef6dfab76c948434ef04b53.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16722019-12-05T09:23:35Z Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure Регулярність м’якого розв’язку параболічного рівняння зі стохастичною мірою Bodnarchuk, I. M. Боднарчук, І. М. We study a stochastic parabolic differential equation driven by a general stochastic measure. The existence, uniqueness, and Holder regularity of the mild solution are established. Исследовано стохастическое дифференциальное уравнение параболического типа, порождeнное общей стохастической мерой. Доказаны существование, единственность и непрерывность по Гельдеру мягкого решения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1672 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 3-16 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 3-16 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1672/654 Copyright (c) 2017 Bodnarchuk I. M. |
| spellingShingle | Bodnarchuk, I. M. Боднарчук, І. М. Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title | Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title_alt | Регулярність м’якого розв’язку параболічного рівняння зі стохастичною
мірою |
| title_full | Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title_fullStr | Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title_full_unstemmed | Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title_short | Regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| title_sort | regularity of the mild solution of a parabolic equation with stochastic measure |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1672 |
| work_keys_str_mv | AT bodnarchukim regularityofthemildsolutionofaparabolicequationwithstochasticmeasure AT bodnarčukím regularityofthemildsolutionofaparabolicequationwithstochasticmeasure AT bodnarchukim regulârnístʹmâkogorozvâzkuparabolíčnogorívnânnâzístohastičnoûmíroû AT bodnarčukím regulârnístʹmâkogorozvâzkuparabolíčnogorívnânnâzístohastičnoûmíroû |