Haar’s condition and joint polynomiality of separate polynomial functions
For systems of functions $F = \{ f_n \in K^X : n \in N\}$ and $G = \{ g_n \in K^Y : n \in N\}$ we consider an $F$ -polynomial $f = \sum^n_{k=1}\lambda_k f_k$, a $G$-polynomial $h = \sum^n_{k,j=1} \lambda_{k,j} f_k \otimes g_j$, and an $F \otimes G$-polynomial $(f_k\otimes g_j)(x, y) = =...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1673 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507502450311168 |
|---|---|
| author | Voloshyn, H. A. Kosovan, V. M. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. |
| author_facet | Voloshyn, H. A. Kosovan, V. M. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. |
| author_sort | Voloshyn, H. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | For systems of functions $F = \{ f_n \in K^X : n \in N\}$ and $G = \{ g_n \in K^Y : n \in N\}$ we consider an $F$ -polynomial
$f = \sum^n_{k=1}\lambda_k f_k$, a $G$-polynomial $h = \sum^n_{k,j=1}
\lambda_{k,j} f_k \otimes g_j$, and an $F \otimes G$-polynomial $(f_k\otimes g_j)(x, y) = = f_k(x)g_j(y)$, where
$(f_k\otimes g_j)(x, y) = f_k(x)g_j(y)$. By using the well-known Haar’s condition from the approximation theory we study the
following question: under what assumptions every function $h : X \times Y \rightarrow K$, such that all $x$-sections $h^x = h(x, \cdot )$
are $G$-polynomials and all $y$-sections $h_y = h(\cdot , y)$ are $F$ -polynomials, is an $F \otimes G$-polynomialy. A similar problem is
investigated for functions of $n$ variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
Г. А. Волошин, В. М. Косован, В. К. Маслюченко (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ
НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ
For systems of functions F = \{ fn \in KX : n \in \BbbN \} and G = \{ gn \in KY : n \in \BbbN \} we consider an F -polynomial
f =
\sum n
k=1
\lambda kfk, a G-polynomial g =
\sum n
k=1
\lambda kgk, and an F \otimes G-polynomial h =
\sum n
k,j=1
\lambda k,jfk \otimes gj , where
(fk \otimes gj)(x, y) = fk(x)gj(y). By using the well-known Haar’s condition from the approximation theory we study the
following question: under what assumptions every function h : X \times Y \rightarrow K, such that all x-sections hx = h(x, \cdot )
are G-polynomials and all y-sections hy = h(\cdot , y) are F -polynomials, is an F \otimes G-polynomial? A similar problem is
investigated for functions of n variables.
Для систем функций F = \{ fn \in KX : n \in \BbbN \} и G = \{ gn \in KY : n \in \BbbN \} рассматриваются F -полиномы
f =
\sum n
k=1
\lambda kfk, G-полиномы g =
\sum n
k=1
\lambda kgk и F\otimes G-полиномы h =
\sum n
k,j=1
\lambda k,jfk \otimes gj , где (fk\otimes gj)(x, y) =
= fk(x)gj(y). С помощью известного условия Хаара из теории приближений исследуется вопрос о том, при каких
условиях каждая функция h : X \times Y \rightarrow K, у которой x-разрезы hx = h(x, \cdot ) — это G-полиномы, y-разрезы
hy = h(\cdot , y) — это F -полиномы, является F \otimes G-полиномом. Аналогичная проблема решается и для функций n
переменных.
1. Вступ. Вiдомо [1, c. 63], що кожна нарiзно полiномiальна функцiя f : \BbbK n \rightarrow \BbbK , де \BbbK — поле
\BbbR дiйсних чисел або \BbbC комплексних чисел, є полiномом вiд n змiнних. Цей результат було
розвинено у статтi [2], де встановлено, що для довiльних пiдмножин X1, . . . , Xn будь-якого
поля K наступнi умови є рiвносильними:
(i) кожна нарiзно полiномiальна функцiя f : X1\times . . .\times Xn \rightarrow K є сукупно полiномiальною;
(ii) серед множин X1, . . . , Xn є щонайбiльше одна злiченна множина.
Цей результат породив i загальну поки що не розв’язану проблему: для яких пiдмножин
E \subseteq Kn кожна нарiзно полiномiальна функцiя f : E \rightarrow K є сукупно полiномiальною? Ця
проблема та її аналоги дослiджувались у працях [3 – 7]. Крiм того, у статтях [8 – 11] вивчалися
зв’язки мiж нарiзною i сукупною полiномiальностями для вiдображень f : X1 \times . . .\times Xn \rightarrow Z,
де X1, . . . , Xn i Z — векторнi простори.
Методи доведення сукупної полiномiальностi функцiй в [1, 2] є рiзними: в [1] викорис-
товуються iнтерполяцiйнi многочлени Лаґранжа, а у [2] — визначники Вандермонда. В тео-
рiї наближень при дослiдженнi єдиностi многочлена найкращого рiвномiрного наближення
[12, c. 80] фiгурує умова Гаара (Hn), що накладається на систему функцiй fk : X \rightarrow \BbbR , де
k = 1, . . . , n : для довiльної множини \{ x1, . . . , xn\} , що складається з рiзних точок xj \in
\in X, визначник \Delta = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
fk((xj))
\bigr) n
j,k=1
не дорiвнює нулю. За теоремою Гаара [13] єдинiсть
многочлена найкращого наближення g =
\sum n
k=1
\lambda kfk для кожної неперервної функцiї f :
X \rightarrow \BbbR , заданої на компактi X, рiвносильна умовi Гаара (Hn). Узагальненi многочлени\sum n
k=1
\lambda kfk при X = [a, b] i fk(x) = xk - 1, k = 1, . . . , n, перетворюються у звичайнi многочле-
ни степеня меншого за n, а виконання умови Гаара для них гарантується тим, що вiдповiднi
визначники Вандермонда [16, c. 114; 17, c. 50] не дорiвнюють нулю.
Як зауважив А. М. Колмогоров [14], теорема Гаара справедлива i для комплекснозначних
функцiй. C. I. Зуховицький i М. Г. Крейн [15] розвинули теорему Гаара далi. Зрозумiло, що умо-
c\bigcirc Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1 17
18 Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
ву Гаара можна сформулювати i для системи функцiй fk : X \rightarrow K зi значеннями у довiльному
полi K, а не лише у полi \BbbK дiйсних чи комплексних чисел.
Ця умова Гаара привела авторiв до такого узагальнення теореми про сукупну полiномi-
альнiсть нарiзно полiномiальних функцiй f : \BbbK n \rightarrow \BbbK . Для довiльного поля K i пiдмножини
M \subseteq KT простору всiх функцiй f : T \rightarrow K, заданих на довiльнiй множинi T, розглянемо її
лiнiйну оболонку
\mathrm{s}\mathrm{p}(M) =
\Biggl\{
n\sum
k=1
\lambda kfk : n \in \BbbN , \lambda 1, . . . , \lambda n \in K i f1, . . . , fn \in M
\Biggr\}
.
Її елементи f =
\sum n
k=1
\lambda kfk ми називатимемо M -полiномами. Для функцiй f : X \rightarrow K i g :
Y \rightarrow K визначимо їх тензорний добуток h = f \otimes g : X \times Y \rightarrow K формулою
h(x, y) = f(x)g(y).
Нескiнченну систему (fn)
\infty
n=1 функцiй fn : T \rightarrow K таку, що кожна скiнченна система
f1, . . . , fn задовольняє умову Гаара (Hn), будемо називати послiдовнiстю Гаара на T.
Для n = 2 наше узагальнення формулюється так.
Теорема 1. Нехай K — довiльне поле, а X i Y — нескiнченнi множини, одна з яких
незлiченна, F = \{ fn : n \in \BbbN \} i G = \{ gn : n \in \BbbN \} — злiченнi множини функцiй fn : X \rightarrow K
i gn : Y \rightarrow K такi, що (fn)
\infty
n=1 i (gn)
\infty
n=1 — послiдовностi Гаара на X та Y вiдповiдно, i
F \otimes G = \{ f \otimes g : f \in F, g \in G\} . Тодi кожна функцiя h : X \times Y \rightarrow K, у якої всi вертикальнi
x-розрiзи hx = h(x, \cdot ), де x \in X, є G-полiномами, а всi горизонтальнi y-розрiзи hy = h(\cdot , y),
де y \in Y, є F -полiномами, є F \otimes G-полiномом.
Крiм того, у цiй статтi ми узагальнюємо теорему 1 на випадок функцiй багатьох змiнних.
2. Властивостi i приклади послiдовностей Гаара. Вкажемо спочатку на елементарнi пе-
ретворення, якi переводять послiдовностi Гаара у такi ж послiдовностi.
Нехай K — довiльне поле, T — довiльна множина i (fn)\infty n=1 — послiдовнiсть Гаара функцiй
fn : T \rightarrow K на T. Тодi:
1\circ . Для довiльної функцiї g : T \rightarrow K, для якої g(t) \not = 0 для кожного t \in T, система функцiй
gn = gfn теж буде послiдовнiстю Гаара на T.
2\circ . Нехай \varphi : S \rightarrow T — бiєкцiя i gn = fn \circ \varphi для кожного n \in \BbbN . Тодi (gn)\infty n=1 — послiдов-
нiсть Гаара на S.
3\circ . Нехай \alpha n,k \in K при n \in \BbbN i k = 1, . . . , n,
gn =
n\sum
k=1
\alpha n,kfk
для кожного n \in \BbbN . Якщо \alpha n,n \not = 0 для кожного n, то система (gn)
\infty
n=1 буде послiдовнiстю
Гаара.
Доведення перших двох властивостей є тривiальним. Доведемо властивiсть 3\circ . Для кожного
n розглянемо трикутну матрицю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ 19
An =
\left(
\alpha 1,1 0 0 . . . 0
\alpha 2,1 \alpha 2,2 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\alpha n,1 \alpha n,2 \alpha n,3 . . . \alpha n,n
\right) .
Для довiльної множини точок t1, . . . , tn з T розглянемо матрицю
Hn = Hf ,n(t1, . . . , tn) =
\left(
f1(t1) f1(t2) . . . f1(tn)
f2(t1) f2(t2) . . . f2(tn)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fn(t1) fn(t2) . . . fn(tn)
\right) ,
яку ми називатимемо n-ю матрицею Гаара послiдовностi \bff = (fn)
\infty
n=1 у точках t1, . . . , tn, а її
визначник \Delta n = \Delta f ,n(t1, . . . , tn) = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hn — визначником Гаара.
Легко перевiрити, що для матрицi Гаара
\widetilde Hn = Hg,n(t1, . . . , tn)
перетвореної послiдовностi \bfg = (gn)
\infty
n=1 маємо \widetilde Hn = AnHn. Звiдси випливає, що
\widetilde \Delta n = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \widetilde Hn = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}An \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hn
для кожного n. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}An = \alpha 1,1 . . . \alpha n,n \not = 0 i \Delta n = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hn \not = 0 для рiзних точок
t1, . . . , tn за умовою Гаара, то i \widetilde \Delta n \not = 0 для рiзних точок t1, . . . , tn i для кожного n. Отже,
\bfg = (gn)
\infty
n=1 — послiдовнiсть Гаара на T.
Наведемо приклади послiдовностей Гаара.
Приклад 1. Нехай fk(t) = tk - 1 при k = 1, 2, . . . — степеневi функцiї з цiлими невiд’ємни-
ми показниками на пiдмножинi T довiльного поля K. Для них визначник Vn = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hn матрицi
Гаара
Hn = Hf ,n(t1, . . . , tn) =
\left(
1 1 . . . 1
t1 t2 . . . tn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tn - 1
1 tn - 1
2 . . . tn - 1
n
\right)
— це вiдомий визначник Вандермонда, для якого
Vn =
\prod
1\leq k<j\leq n
(tj - tk).
Якщо tk \not = tj при k \not = j, то Vn \not = 0. Отже, система степеневих функцiй 1, t, . . . , tn - 1, . . .
утворює послiдовнiсть Гаара на T.
Приклад 2. Нехай K\ast = \{ t \in K : t \not = 0\} — множина всiх ненульових елементiв у довiльно-
му полi K i T \subseteq K\ast . Розглянемо систему функцiй f1(t) = 1, f2(t) = t, f3(t) = t - 1, . . . , f2k(t) =
= tk, f2k+1(t) = t - k, . . . на множинi T.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
20 Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
Пiдрахуємо її визначник Гаара \Delta n у точках t1, t2, . . . , tn з T. Розглянемо окремо випадки
непарного n = 2m+ 1, де m = 0, 1, . . . , i парного n = 2m, де m = 1, 2, . . . .
При n = 2m+ 1
\Delta 2m+1 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 1 . . . 1
t1 t2 . . . t2m+1
t - 1
1 t - 1
2 . . . t - 1
2m+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tm1 tm2 . . . tm2m+1
t - m
1 t - m
2 . . . t - m
2m+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t - m
1 t - m
2 . . . t - m
2m+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t - 1
1 t - 1
2 . . . t - 1
2m+1
1 1 . . . 1
t1 t2 . . . t2m+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
tm1 tm2 . . . tm2m+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
=
= t - m
1 t - m
2 . . . t - m
2m+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 1 . . . 1
t1 t2 . . . t2m+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t2m1 t2m2 . . . t2m2m+1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
= t - m
1 t - m
2 . . . t - m
2m+1
\prod
1\leq k<j\leq 2m+1
(tj - tk).
Тому для рiзних точок tk маємо \Delta 2m+1 \not = 0.
Аналогiчно при n = 2m
\Delta 2m = t
- (m - 1)
1 t
- (m - 1)
2 . . . t
- (m - 1)
2m
\prod
1\leq k<j\leq 2m
(tj - tk).
I в цьому випадку для рiзних точок tk визначник \Delta 2m \not = 0. Ми бачимо, що i ця система функцiй
є послiдовнiстю Гаара на T.
Зокрема, якщо T = \BbbS = \{ z \in \BbbC : | z| = 1\} — одиничне коло на комплекснiй площинi \BbbC ,
то система функцiй 1, z, z - 1, . . . , zm, z - m, . . . є послiдовнiстю Гаара на \BbbS . Звiдси на основi
теореми Колмогорова отримуємо, що для кожної неперервної функцiї f : \BbbS \rightarrow \BbbC iснує єдиний
многочлен найкращого наближення g(z) =
\sum n
k= - n
\lambda kz
k.
Приклад 3. Розглянемо тригонометричну систему функцiй
1, \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} t, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, . . . , \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt, \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt, . . . .
Легко зрозумiти, що вона не задовольняє умову Гаара на \BbbR , оскiльки функцiї з цiєї системи
2\pi -перiодичнi.
Розглянемо її на множинi T = [0, 2\pi ). Перетворення
z = \varphi (t) = eit
— бiєкцiя \varphi : T \rightarrow \BbbS множини T на одиничне коло \BbbS . За формулами Ейлера
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nt =
eint + e - int
2
i \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt =
eint - e - int
2i
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ 21
Тому тригонометрична система функцiй на T замiною z = eit переходить в систему функцiй 1,
z + z - 1
2
,
z - z - 1
2i
, . . . ,
zn + z - n
2
,
zn - z - n
2i
, . . . на колi \BbbS . Позначимо n-ту матрицю Гаара цiєї
системи, що вiдповiдає точкам z1, . . . , zn з \BbbS , через \widetilde Hn, а її визначник через \widetilde \Delta n; для системи
1, z, z - 1, . . . , zm, z - m, . . . — вiдповiдно Hn i \Delta n.
Для n = 2m+ 1 маємо
\widetilde H2m+1 =
\left(
1 1 . . . 1
z1 + z - 1
1
2
z2 + z - 1
2
2
. . .
z2m+1 + z - 1
2m+1
2
z1 - z - 1
1
2i
z2 - z - 1
2
2i
. . .
z2m+1 - z - 1
2m+1
2i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zm1 + z - m
1
2
zm2 + z - m
2
2
. . .
zm2m+1 + z - m
2m+1
2
zm1 - z - m
1
2i
zm2 - z - m
2
2i
. . .
zm2m+1 - z - m
2m+1
2i
\right)
i
H2m+1 =
\left(
1 1 . . . 1
z1 z2 . . . z2m+1
z - 1
1 z - 1
2 . . . z - 1
2m+1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
zm1 zm2 . . . zm2m+1
z - m
1 z - m
2 . . . z - m
2m+1
\right)
.
Розглянемо матрицю розмiру (2m+ 1)\times (2m+ 1):
Bm =
\left(
1 0 0 0 . . . 0 0
0
1
2
1
2
0 . . . 0 0
0
1
2i
- 1
2i
0 . . . 0 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 0 0 . . .
1
2
1
2
0 0 0 0 . . .
1
2i
- 1
2i
\right)
.
Легко перевiрити, що \widetilde H2m+1 = BmH2m+1. Тому
\widetilde \Delta 2m+1 = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \widetilde H2m+1 = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Bn \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H2m+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
22 Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
Але \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Bm = 1 \cdot
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
2
1
2
1
2i
- 1
2i
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
m
=
\biggl(
- 1
2i
\biggr) m
=
\biggl(
i
2
\biggr) m
\not = 0. А як доведено у прикладi 2,
\Delta 2m+1 \not = 0 для рiзних точок z1, . . . , z2m+1. Тому i \widetilde \Delta 2m+1 \not = 0 для рiзних точок z1, . . . , z2m+1.
Не зважаючи на це, система функцiй 1,
z + z - 1
2
,
z - z - 1
2i
, . . . не задовольняє умову Гаара.
Справдi, розглянемо точку z1 на колi \BbbS , вiдмiнну вiд - 1 i 1, i покладемо z2 = z1 = z - 1
1 . Для
цих точок
\widetilde \Delta 2 =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 1
z1 + z - 1
1
2
z2 + z - 1
2
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1 1
z1 + z1
2
z1 + z1
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = 0,
хоча z1 \not = z2. Отже, вже для n = 2 умова Гаара для цiєї системи порушується. Таким чи-
ном, система функцiй 1,
z + z - 1
2
,
z - z - 1
2i
, . . . не задовольняє умову Гаара на колi \BbbS , а отже, i
тригонометрична система не задовольняє умову Гаара на промiжку T = [0, 2\pi ).
3. Допомiжнi твердження. Тут i далi символом K будемо позначати довiльне поле.
Лема 1. Нехай x1, . . . , xn — рiзнi точки множини X, f1, . . . , fn — такi функцiї з KX , що
\Delta = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
fk(xj)
\bigr) n
j,k=0
\not = 0,
i f =
\sum n
k=1
\lambda kfk, де \lambda k \in K при k = 1, . . . , n. Тодi iснують такi елементи \mu k,j \in K, якi
залежать тiльки вiд точок x1, . . . , xn, що
\lambda k =
n\sum
j=1
\mu k,jf(xj)
для кожного k = 1, . . . , n.
Доведення. Система лiнiйних рiвнянь
n\sum
k=1
\xi kfk(xj) = f(xj), j = 1 . . . , n,
визначник якої \Delta \not = 0, має єдиний розв’язок \xi k = \lambda k, який шукається за правилом Крамера
\lambda k =
\Delta k
\Delta
, де
\Delta k =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
f1(x1) . . . fk - 1(x1) f(x1) fk+1(x1) . . . fn(x1)
f1(x2) . . . fk - 1(x2) f(x2) fk+1(x2) . . . fn(x2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
f1(xn) . . . fk - 1(xn) f(xn) fk+1(xn) . . . fn(xn)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
.
Розкладаючи цей визначник по елементах k-го стовпчика, отримуємо
\Delta k =
n\sum
j=1
\alpha k,jf(xj),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ 23
де \alpha k,j — вiдповiднi алгебраїчнi доповнення. Покладаючи \mu k,j =
\alpha k,j
\Delta
, одержуємо
\lambda k =
n\sum
j=1
\mu k,jf(xj)
для кожного k = 1, . . . , n.
Лема 2. Нехай A — нескiнченна пiдмножина множини X, F = \{ fn : n \in \BbbN \} — злiченна
система функцiй fn : X \rightarrow K така, що (fn)
\infty
n=1 — послiдовнiсть Гаара, i f : A \rightarrow K —
F | A-полiном, де F | A = \{ fn| A : n \in \BbbN \} . Тодi iснує єдиний F -полiном g : X \rightarrow K такий, що
g| A = f.
Доведення. За умовою iснує такий F -полiном
g =
n\sum
k=1
\lambda kfk,
що f = g| A. Оскiльки множина A нескiнченна, то з неї можна вибрати n рiзних точок
x1, . . . , xn. Маємо
n\sum
k=1
\lambda kfk(xj) = g(xj)
для кожного j = 1, . . . , n. Тодi за лемою 1 iснують такi числа \mu k,j , що
\lambda k =
n\sum
j=1
\mu k,jg(xj).
Але g(xj) = f(xj) при j = 1, . . . , n, тому що xj \in A. Отже,
\lambda k =
n\sum
j=1
\mu k,jf(xj)
при k = 1, . . . , n. Таким чином, коефiцiєнти \lambda k многочлена g однозначно знаходяться через
заданi числа f(xj).
З леми 2 безпосередньо випливає таке твердження.
Лема 3. Нехай A,X i F — такi ж множини, як i в лемi 2, i g : X \rightarrow K та h : X \rightarrow K —
такi F -полiноми, що g| A = h| A. Тодi g = h.
Для системи функцiй F = \{ fn : n \in \BbbN \} i F -полiнома f =
\sum n
k=1
\lambda kfk будемо писати, що
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f \leq n. Можна дати i означення степеня \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f для F -полiнома f як такого найменшого
числа n, що f =
\sum n
k=1
\lambda kfk.
4. Доведення теореми 1. Припустимо, для певностi, що множина X незлiченна, а множина
Y нескiнченна. Для кожного номера n розглянемо множини
An = \{ x \in X : \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} hx \leq n\} .
Зрозумiло, що
\bigcup \infty
n=1An = X, адже hx для кожного x \in X — це якийсь G-полiном, а G = \{ gn :
n \in \BbbN \} . Оскiльки множина X незлiченна, то iснує такий номер m, що i множина A = Am
буде незлiченною, зокрема, i нескiнченною.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
24 Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
Виберемо з нескiнченної множини Y рiзнi елементи y1, . . . , ym. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} hx \leq m для
кожного x \in A, то iснують такi функцiї bj : A \rightarrow K, що
h(x, y) =
m\sum
j=1
bj(x)gi(y)
на множинi A \times Y. Оскiльки \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(gj(yk))
m
k,j=1 \not = 0, то за лемою 1 iснують такi числа \mu j,k, що
залежать лише вiд точок y1, . . . , ym, для яких
bj(x) =
m\sum
k=1
\mu j,kh(x, yk)
для кожного x \in A. Але функцiї hyk : X \rightarrow K — це F -полiноми, тому i їх лiнiйнi комбiнацiї bj
— це F | A-полiноми, тобто iснують такi числа \lambda j,k, що
bj(x) =
n\sum
k=1
\lambda j,kfk(x)
на A для кожного j = 1, . . . ,m i для деякого номера n. В такому випадку
h(x, y) =
m\sum
j=1
n\sum
k=1
\lambda j,kfk(x)gj(y) =
m\sum
j=1
n\sum
k=1
\lambda j,k(fk \otimes gj)(x, y)
на A\times Y.
Розглянемо F \otimes G-полiном
p =
m\sum
j=1
n\sum
k=1
\lambda j,kfk \otimes gj
на множинi X\times Y. За побудовою p| A\times Y = h| A\times Y . Доведемо, що h = p. Для фiксованого y \in Y
функцiї py i hy — це F -полiноми, до того ж py| A = hy| A. Оскiльки множина A нескiнченна,
то з леми 3 отримуємо рiвнiсть py = hy для кожного y \in Y, звiдки i випливає, що p = h.
5. Випадок функцiї багатьох змiнних: узагальнення лем 2 i 3. Нехай X1, . . . , Xn —
множини i X = X1 \times . . .\times Xn — їх декартiв добуток. Для функцiй fk : Xk \rightarrow K, k = 1, . . . , n,
i точки x = (x1, . . . , xn) \in X покладемо
(f1 \otimes . . .\otimes fn)(x1, . . . , xn) = f1(x1) . . . fn(xn).
Функцiя f = f1 \otimes . . .\otimes fn : X \rightarrow K називається тензорним добутком функцiй f1, . . . , fn.
Нехай для кожного k = 1, . . . , n задано деяку множину Fk \subseteq KXk . Покладемо
F = F1 \otimes . . .\otimes Fn = \{ f1 \otimes . . .\otimes fn : fk \in Fk, k = 1, . . . , n\} .
Для функцiї f : X1 \times . . .\times Xn \rightarrow K i фiксованого набору ai1 , . . . , aim значень змiнних xik
при k = 1, . . . ,m, де 1 \leq i1 < . . . < im \leq n, символом fai1 ...aim позначаємо функцiю вiд
решти l = n - m змiнних, яку одержуємо з функцiї f(x1, . . . , xn), покладаючи xik = aik при
k = 1, . . . ,m. Для довiльного k = 1, . . . , n i точки x = (x1, . . . , xn) \in X = X1 \times . . . \times Xn
позначимо \widehat xk = (x1, . . . , xk - 1, xk+1, . . . , xk) i \widehat Xk = X1 \times . . .\times Xk - 1 \times Xk+1 \times . . .\times Xn.
Нехай X — довiльна множина, E \subseteq X i F \subseteq KX . Функцiю g : E \rightarrow K назвемо F -
полiномiальною, якщо iснує такий F -полiном f \in \mathrm{s}\mathrm{p}(F ), що f | E = g. Зрозумiло, що F -
полiномiальнi функцiї на E — це в точностi F | E -полiноми, де F | E = \{ f | E : f \in F\} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ 25
Лема 4. Нехай k = 1, . . . , n, Ak — нескiнченна пiдмножина множини Xk, A = A1 \times . . .
. . .\times An, X = X1 \times . . .\times Xn, Fk = \{ fk,j : j \in \BbbN \} — злiченна система функцiй fk,j : Xk \rightarrow K
така, що система (fk,j)
\infty
j=1 для кожного k = 1, . . . , n є послiдовнiстю Гаара, F = F1\otimes . . .\otimes Fn
i f : A \rightarrow K — F -полiномiальна функцiя. Тодi iснує єдиний F -полiном g : X \rightarrow K такий, що
g| A = f.
Доведення. Застосуємо iндукцiю вiдносно n. При n = 1 дане твердження збiгається з
лемою 2.
Припустимо, що n > 1 i дане твердження є справедливим, коли число множин дорiвнює
n - 1. Доведемо, що воно виконується i для n множин, як у формулюваннi теореми.
Припустимо, що g\prime i g\prime \prime — такi F -полiноми, що g\prime | A = f = g\prime \prime | A, i доведемо, що g\prime = g\prime \prime .
Для довiльного фiксованого набору \widehat x1 = (x2, . . . , xn) \in \widehat A1 = A2 \times . . . \times An розглянемо
F1-полiноми g\prime \widehat x1
i g\prime \prime \widehat x1
на X1. Оскiльки g\prime \widehat x1
| A1 = g\prime \prime \widehat x1
| A1 , то g\prime \widehat x1
= g\prime \prime \widehat x1
за лемою 3.
Зафiксуємо тепер довiльне x1 \in X1. Для F2 \otimes . . . \otimes Fn-полiномiв g\prime x1
i g\prime \prime x1
будемо мати
g\prime x1
| \widehat A1
= g\prime \prime x1
| \widehat A1
. Тому за iндуктивним припущенням g\prime x1
= g\prime \prime x1
. Таким чином,
g\prime (x1, x2, . . . , xn) = g\prime x1
(x2, . . . , xn) = g\prime \prime x1
(x2, . . . , xn) = g\prime \prime (x1, x2, . . . , xn)
для довiльних xk \in Xk при k = 1, . . . , n, тобто g\prime = g\prime \prime .
З цiєї леми безпосередньо випливає таке твердження.
Лема 5. Нехай A,X i F — такi ж, як у лемi 4, A \subseteq E \subseteq X, fi : E \rightarrow K при i = 1, 2 —
такi F -полiномiальнi функцiї , що f1| A = f2| A. Тодi f1 = f2.
6. Основний результат. Тут ми узагальнимо теорему 1 на випадок функцiй n змiнних.
Теорема 2. Нехай X1, . . . , Xn - 1 — незлiченнi множини, Xn — нескiнченна множина, для
кожного k = 1, . . . , n задано злiченну множину Fk = \{ fk,j : j \in \BbbN \} функцiй fk,j : Xk \rightarrow K, для
якої (fk,j)\infty j=1 — послiдовнiсть Гаара, F = F1 \otimes . . . \otimes Fn i f : X1 \times . . .\times Xn \rightarrow K — функцiя,
у якої для кожного x = (x1, . . . , xn) \in X1 \times . . . \times Xn i довiльного k = 1, . . . , n функцiї f\widehat xk
:
Xk \rightarrow K — це Fk -полiноми. Тодi f — F -полiном.
Доведення. Для F -полiнома f будемо писати, що \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f \leq m, якщо
f =
m\sum
i1,...,in=1
\alpha i1,...,inf1,i1 \otimes . . .\otimes fn,in .
Степенем F -полiнома f, який позначається \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f, ми називаємо найменше з чисел m таких,
що f =
\sum m
i1,...,ik=1
\alpha i1,...,ikfi1 \otimes . . .\otimes fim .
Для n = 1 твердження тривiальне. Припустимо, що n > 1, i будемо вважати, що теорема
справджується, коли кiлькiсть множин дорiвнює n - 1. Доведемо, що вона справедлива i коли
кiлькiсть множин дорiвнює n.
Для кожного x1 \in X1 розглянемо функцiю fx1 : \widehat X1 \rightarrow K. За iндуктивним припущенням
функцiя fx1 буде F2 \otimes . . .\otimes Fn-полiномом на \widehat X1. Для кожного номера m введемо до розгляду
множини
Am = \{ x1 \in X1 : \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} fx1 \leq m\} .
Зрозумiло, що
\bigcup \infty
m=1Am = X1. Оскiльки множина X1 незлiченна, то iснує такий номер m, що
i множина A = Am незлiченна, а отже, i нескiнченна.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
26 Г. А. ВОЛОШИН, В. М. КОСОВАН, В. К. МАСЛЮЧЕНКО
Зафiксуємо точку \widehat xn = (x1, . . . , xn - 1) \in \widetilde A = A\times X2 \times . . .\times Xn - 1.
Функцiя f\widehat xn
= (fx1)x2...xn - 1 : Xn \rightarrow K — це Fn-полiном, до того ж \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} f\widehat xn
\leq \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g} fx1 \leq m,
адже x1 \in A. Тому
f\widehat xn
(xn) =
m\sum
k=1
ak(\widehat xn)fn,k(xn)
для деяких функцiй ak : \widetilde A \rightarrow K i кожного xn \in Xn. Оскiльки множина Xn нескiнченна, то з
неї можна вибрати m рiзних точок xn,1, . . . , xn,m. За лемою 1 iснують такi числа \mu k,j , що
ak(\widehat xn) = m\sum
j=1
\mu k,jf(x1, . . . , xn - 1, xn,j)
для кожного k = 1, . . . ,m i \widehat xn \in \widetilde A. За iндуктивним припущенням fxn,j : \widehat Xn \rightarrow K — це
F1\otimes . . .\otimes Fn - 1-полiном, тому i коефiцiєнти ak є F1\otimes . . .\otimes Fn - 1-полiномiальними на множинi\widetilde A. Розглянемо функцiю
g(x1, . . . , xn) =
m\sum
k=1
m\sum
j=1
\mu k,jf(x1, . . . , xn - 1, xn,j)fn,k(xn),
яка, очевидно, є F -полiномом. При цьому зрозумiло, що g| \widetilde A = f | \widetilde A.
Зафiксуємо \widehat x1 = (x2, . . . , xn) \in \widehat X1. Для нього f\widehat x1
| A = g\widehat x1
| A. Оскiльки f\widehat x1
i g\widehat x1
— це
F1-полiноми i множини A є нескiнченною, то f\widehat x1
= g\widehat x1
за лемою 3. Це означає, що f = g, а
отже, f — F -полiном.
7. Заключнi зауваження. Ми кажемо, що система (fn)\infty n=1 функцiй fn : T \rightarrow K задовольняє
слабку умову Гаара, якщо iснує така строго зростаюча послiдовнiсть (nk)
\infty
k=1 натуральних чисел
nk, що для кожного k i довiльної множини рiзних точок t1, . . . , tnk
з T вiдповiдний визначник
Гаара \Delta nk
для цiєї системи є вiдмiнним вiд нуля. Як показано в пунктi 2, тригонометрична
система функцiй задовольняє слабку умову Гаара на промiжку [0; 2\pi ). Схоже на те, що умову
Гаара в теоремах 1 i 2 можна замiнити слабкою умовою Гаара, але це вже буде предметом
наступної публiкацiї авторiв.
Лiтература
1. Bochnak J., Siciak J. Polynomials and multilinear mapping in topological vector spaces // Stud. Math. – 1971. – 39. –
P. 59 – 76.
2. Косован В. М., Маслюченко В. К. Нарiзно полiномiальнi функцiї // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. –
2008. – Вип. 374. – С. 66 – 76.
3. Косован В. М., Маслюченко В. К. Нарiзно полiномiальнi функцiї на довiльних пiдмножинах \BbbR n // Наук. вiсн.
Чернiв. ун-ту. Математика. – 2009. – Вип. 454. – С. 50 – 53.
4. Косован В. М., Маслюченко В. К. Про нарiзно сталi та стало-лiнiйнi функцiї // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту.
Математика. – 2011. – 1, № 3. – С. 44 – 49.
5. Косован В. М., Маслюченко В. К. Про (m,n)-полiномiальнi функцiї на добутках та нарiзно полiномiальнi
функцiї на хрестах // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. Математика. – 2012. – 2-3, № 3. – С. 108 – 113.
6. Косован В. М., Маслюченко В. К. Про полiномiальнiсть нарiзно сталих функцiй // Карпат. мат. публ. – 2014. –
5, № 3. – С. 61 – 66.
7. Косован В. М. Про полiномiальнiсть нарiзно полiномiальних функцiй вiд багатьох змiнних // Бук. мат. журн. –
2014. – 2, № 2-3. – С. 126 – 129.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
УМОВА ГААРА ТА СУКУПНА ПОЛIНОМIАЛЬНIСТЬ НАРIЗНО ПОЛIНОМIАЛЬНИХ ФУНКЦIЙ 27
8. Mazur S., Orlicz W. Grundlegende Eigenschaften der polynomischen Operationen. Erste Mitteilung // Stud. Math. –
1934. – 5, № 1. – S. 50 – 68.
9. Mazur S., Orlicz W. Grundlegende Eigenschaften der polynomischen Operationen. Zweite Mitteilung // Stud. Math. –
1934. – 5, № 1. – S. 179 – 189.
10. Косован В. М., Маслюченко В. К. Про полiномiальнiсть нарiзно полiномiальних функцiй на добутках комплекс-
них банахових просторiв // Мат. вiсн. НТШ. – 2008. – 5. – С. 89 – 96.
11. Плiчко А. М. Полiномiальнiсть нарiзно полiномiальних операторiв // Мат. вiсн. НТШ. – 2014. – 11. – С. 33 – 35.
12. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. – М.: Наука, 1965. – 408 с.
13. Haar A. Die Minkowskische Geometrie und die Annaherung an stetige Funktionen // Math. Ann. – 1918. – 78. –
S. 294 – 311.
14. Колмогоров А. Н. Замечание но поводу многочленов П. Л. Чебышева, наименее уклоняющихся от заданной
функции // Успехи мат. наук. – 1948. – 3, вып. 1 (23). – С. 216 – 221.
15. Зуховицкий С. И., Крейн М. Г. Замечание об одном возможном обобщении теорем А. Хаара и А. Н. Колмого-
рова // Успехи мат. наук. – 1950. – 5, вып. 1 (35). – С. 217 – 229.
16. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.
17. Чарiн В. С. Лiнiйна алгебра. – Київ: Технiка, 2004. – 416 с.
Одержано 24.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1673 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:20Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6b/82e069363474d573d54d182ace4a0c6b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16732019-12-05T09:23:35Z Haar’s condition and joint polynomiality of separate polynomial functions Умова Гаара та сукупна поліноміальність нарізно поліноміальних функцій Voloshyn, H. A. Kosovan, V. M. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. For systems of functions $F = \{ f_n \in K^X : n \in N\}$ and $G = \{ g_n \in K^Y : n \in N\}$ we consider an $F$ -polynomial $f = \sum^n_{k=1}\lambda_k f_k$, a $G$-polynomial $h = \sum^n_{k,j=1} \lambda_{k,j} f_k \otimes g_j$, and an $F \otimes G$-polynomial $(f_k\otimes g_j)(x, y) = = f_k(x)g_j(y)$, where $(f_k\otimes g_j)(x, y) = f_k(x)g_j(y)$. By using the well-known Haar’s condition from the approximation theory we study the following question: under what assumptions every function $h : X \times Y \rightarrow K$, such that all $x$-sections $h^x = h(x, \cdot )$ are $G$-polynomials and all $y$-sections $h_y = h(\cdot , y)$ are $F$ -polynomials, is an $F \otimes G$-polynomialy. A similar problem is investigated for functions of $n$ variables. Для систем функций $F = \{ f_n \in K^X : n \in N\}$ и $G = \{ g_n \in K^Y : n \in N\}$ рассматриваются $F$ -полиномы $f = \sum^n_{k=1}\lambda_k f_k$, $G$-полиномы $g = \sum^n_{k=1} \lambda_k g_k$ и $F \otimes G$-полиномы $h = \sum^n_{k,j=1} \lambda_{k,j} f_k \otimes g_j$, где $(f_k\otimes g_j)(x, y) = f_k(x)g_j(y)$. С помощью известного условия Хаара из теории приближений исследуется вопрос о том, при каких условиях каждая функция $h : X \times Y \rightarrow K$, у которой $x$-разрезы $h^x = h(x, \cdot )$ — это $G$-полиномы, $y$-разрезы $h_y = h(\cdot , y)$ — это $F$ -полиномы, является $F \otimes G$-полиномом. Аналогичная проблема решается и для функций $n$ переменных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1673 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 17-27 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 17-27 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1673/655 Copyright (c) 2017 Voloshyn H. A.; Kosovan V. M.; Maslyuchenko V. K. |
| spellingShingle | Voloshyn, H. A. Kosovan, V. M. Maslyuchenko, V. K. Волошин, Г. А. Косован, В. М. Маслюченко, В. К. Haar’s condition and joint polynomiality of separate polynomial functions |
| title | Haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| title_alt | Умова Гаара та сукупна поліноміальність
нарізно поліноміальних функцій |
| title_full | Haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| title_fullStr | Haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| title_full_unstemmed | Haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| title_short | Haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| title_sort | haar’s condition and joint polynomiality of
separate polynomial functions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1673 |
| work_keys_str_mv | AT voloshynha haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT kosovanvm haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT maslyuchenkovk haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT vološinga haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT kosovanvm haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT maslûčenkovk haarsconditionandjointpolynomialityofseparatepolynomialfunctions AT voloshynha umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj AT kosovanvm umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj AT maslyuchenkovk umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj AT vološinga umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj AT kosovanvm umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj AT maslûčenkovk umovagaaratasukupnapolínomíalʹnístʹnaríznopolínomíalʹnihfunkcíj |