Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear regression model with discrete time and singular spectrum
We study a nonlinear regression model with discrete time and observations errors whose spectrum is singular. Sufficient conditions are obtained for the consistency, asymptotic uniqueness and asymptotic normality of the $M$-estimates of the unknown parameters.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1674 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507503802974208 |
|---|---|
| author | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. |
| author_facet | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. |
| author_sort | Ivanov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | We study a nonlinear regression model with discrete time and observations errors whose spectrum is singular. Sufficient
conditions are obtained for the consistency, asymptotic uniqueness and asymptotic normality of the $M$-estimates of the
unknown parameters. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
О. В. Iванов, I. В. Орловський (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI \bfitM -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ
НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ З ДИСКРЕТНИМ ЧАСОМ
ТА СИНГУЛЯРНИМ СПЕКТРОМ
We study a nonlinear regression model with discrete time and observations errors whose spectrum is singular. Sufficient
conditions are obtained for the consistency, asymptotic uniqueness and asymptotic normality of the M -estimates of the
unknown parameters.
Получены достаточные условия состоятельнсти, асимптотической единственности и асимптотической нормаль-
ности M -оценок неизвестных параметров нелинейных моделей регрессии с дискретным временем и ошибками
наблюдений, имеющих сингулярный спектр.
Вступ. У роботi отримано достатнi умови консистентностi, асимптотичної єдиностi та асимпто-
тичної нормальностi M -оцiнок невiдомого параметра нелiнiйної моделi регресiї з дискретним
часом та сильно залежним випадковим шумом, який має сингулярний спектр.
Асимптотичнi властивостi M -оцiнок параметрiв лiнiйних та нелiнiйних моделей регресiї з
випадковим шумом, що задовольняє умову сильної залежностi, дослiджувались у роботах [1 – 9]
для моделей з дискретним часом та [10 – 17] для моделей з неперервним часом. У роботах [12,
14, 15, 18, 19] вивчались асимптотичнi властивостi M -оцiнок параметрiв нелiнiйних моделей
регресiї з неперервним часом та слабко залежним випадковим шумом. Дана робота поши-
рює результати [16] на випадок дискретного часу. В нiй дослiджено M -оцiнки, побудованi за
допомогою гладких функцiй втрат.
Однiєю з властивостей, дослiджених у роботi, є консистентнiсть M -оцiнки (пункт 4),
оскiльки вона є ключовою умовою, потрiбною для доведення єдиностi (у деякому асимпто-
тичному сенсi) розв’язку системи „нормальних” рiвнянь, яка визначає M -оцiнку (пункт 3).
Достатнi умови консистентностi M -оцiнок параметрiв нелiнiйних моделей регресiї отримано
у роботах [14, 17, 19].
Зазначимо також, що ключовими моментами доведення асимптотичної нормальностi
(пункт 2) є застосування граничної теореми для зваженої суми нелiнiйного перетворення
гауcсiвського стацiонарного часового ряду з сингулярним спектром з роботи [20] та теоре-
ми Брауера про нерухому точку [21]. Для коректного використання цiєї теореми i потрiбна
асимптотична єдинiсть M -оцiнки. Для нелiнiйних моделей регресiї питання асимптотичної
єдиностi M -оцiнок розглядалося в роботах [12, 15, 16].
1. Постановка задачi. На ймовiрнiсному просторi (\Omega ,\frakF ,P) розглянемо модель регресiї
Xj = g(j, \theta ) + \varepsilon j , j \geq 1, (1.1)
де g(j, \cdot ) : \Theta \beta \rightarrow \BbbR , j \geq 1, — неперервнi функцiї, \Theta \beta =
\bigcup
\| a\| \leq 1
(\Theta + \beta a), \beta > 0 — деяке число,
\Theta \subset \BbbR q — обмежена опукла вiдкрита множина, \theta \in \Theta — iстинне значення параметра.
Далi ми розглядаємо похiднi функцiї регресiї у множинi \Theta c (\Theta c — замикання \Theta ), i тому
потрiбно, щоб функцiя регресiї g була означена на \Theta \beta .
Вiдносно шуму \varepsilon j припустимо наступне:
c\bigcirc О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ, 2017
28 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 29
A1) \varepsilon j , j \in \BbbZ , є локальним функцiоналом вiд гауссiвської стацiонарної послiдовностi \xi j ,
тобто \varepsilon j = G(\xi j), де G(x), x \in \BbbR , — борелева функцiя, причому \bfE \varepsilon 0 = 0, \bfE \varepsilon 40 <\infty ;
A2) \xi j , j \in \BbbZ , — стацiонарна гауссiвська послiдовнiсть з нульовим середнiм та коварiацiй-
ною функцiєю (к. ф.) вигляду
B(n) = \bfE \xi 0\xi n =
r\sum
k=0
AkB\alpha k,\varkappa k
(n), n \in \BbbZ , r \geq 0, (1.2)
де
B\alpha k,\varkappa k
(n) =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varkappa kn)
(1 + n2)\alpha k/2
,
0 \leq \varkappa 0 < \varkappa 1 < . . . < \varkappa r < \pi , 0 < \alpha k < 1, k = 0, r,
r\sum
k=0
Ak = 1, Ak > 0.
Таку модель к. ф. було введено у роботi [22] як приклад спектральної щiльностi (с. щ.),
що має хоч i складний, але явний вигляд. Крiм цього, така с. щ. може мати сингулярнiсть не
лише в нулi, як у випадку сильно залежного процесу, а i в iнших точках. Умову A2 також було
використано в роботах [20, 23].
К. ф. B(n) має спектральний розклад
B(n) =
\pi \int
- \pi
ei\lambda nf(\lambda )d\lambda , n \in \BbbZ ,
зi с. щ. f(\lambda ) =
\sum r
k=0
Akf\alpha k,\varkappa k
(\lambda ), \lambda \in [ - \pi ;\pi ).
Наведемо деякi властивостi функцiй f\alpha k,\varkappa k
. У неперервному випадку функцiї
B\alpha k,\varkappa k
(t) =
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\varkappa kt)
(1 + t2)\alpha k/2
, t \in \BbbR ,
вiдповiдає с. щ. вигляду
\widetilde f\alpha k,\varkappa k
(\lambda ) =
C1(\alpha k)
2
\Bigl[
K\alpha k - 1
2
\bigl(
| \lambda + \varkappa k|
\bigr)
| \lambda + \varkappa k|
\alpha k - 1
2 +
+K\alpha k - 1
2
\bigl(
| \lambda - \varkappa k|
\bigr)
| \lambda - \varkappa k|
\alpha k - 1
2
\Bigr]
, k = 0, r,
де C1(\alpha ) = 2
1 - \alpha
2 /
\Bigl( \surd
\pi \Gamma
\Bigl( \alpha
2
\Bigr) \Bigr)
i
K\nu (z) =
1
2
\infty \int
0
s\nu - 1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
- 1
2
\biggl(
s+
1
s
\biggr)
z
\biggr\}
ds, z \geq 0, \nu \in \BbbR ,
є модифiкованою функцiєю Бесселя 3-го роду порядку \nu .
Зауважимо, що K - \nu (z) = K\nu (z) i для z \downarrow 0
K\nu (z) \sim \Gamma (\nu )2\nu - 1z - \nu , \nu > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
30 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Можна показати, що при \lambda \rightarrow \pm \varkappa k, k = 0, r,
\widetilde f\alpha k,\varkappa k
(\lambda ) \sim C2(\alpha k)
2
| \lambda \pm \varkappa k| \alpha k - 1
\Bigl(
1 - hk
\bigl(
| \lambda \pm \varkappa k|
\bigr) \Bigr)
,
де C2(\alpha ) =
\Bigl[
2\Gamma (\alpha ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}
\Bigl( \alpha \pi
2
\Bigr) \Bigr] - 1
,
hk(| \lambda | ) =
\Gamma
\biggl(
\alpha k + 1
2
\biggr)
\Gamma
\biggl(
3 - \alpha k
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1 - \alpha k
+
\Gamma
\biggl(
\alpha k + 1
2
\biggr)
4\Gamma
\biggl(
3 + \alpha k
2
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 - o
\bigl(
| \lambda | 2
\bigr)
, \lambda \rightarrow 0, k = 0, r.
Зауважимо, що с. щ. f та с. щ. \widetilde f(\lambda ) =
\sum r
k=0
Ak \widetilde f\alpha k,\varkappa k
(\lambda ) неперервного аналога функ-
цiї B(n) пов’язанi мiж собою спiввiдношенням [24]
f(\lambda ) =
\infty \sum
k= - \infty
\widetilde f(\lambda + 2\pi k).
Тому с. щ. f має 2r + 2 рiзнi точки сингулярностi \{ - \chi r, - \chi r - 1, . . . , - \chi 1, - \chi 0, \chi 0, \chi 1, . . . , \chi r\}
за умови A2, коли \chi 0 \not = 0 та 0 < \alpha j < 1, j = 0, r. Якщо \chi 0 = 0, то f має 2r + 1 точку
сингулярностi.
Означення 1.1. M -оцiнкою невiдомого параметра \theta \in \Theta , одержаною за спостережен-
нями Xj , j \in 1, N, вигляду (1.1) та функцiєю втрат \rho (x) \geq 0, x \in \BbbR , називається будь-який
випадковий вектор \^\theta N = \^\theta N (Xj , j \in 1, N) \in \Theta c, для якого
SN (\^\theta N ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\tau \in \Theta c
SN (\tau ), SN (\tau ) =
N\sum
j=1
\rho (Xj - g(j, \tau )).
Для принаймнi неперервних функцiй втрат \rho , за введених на параметричну множину \Theta
умов, iснування M -оцiнки \^\theta N випливає з загальної теореми 3.10 роботи [25] та леми 3.3
[26, с. 336]. Крiм цього, \^\theta N є борелевою функцiєю спостережень Xj , j \in 1, N [26, 27].
2. Асимптотична нормальнiсть \bfitM -оцiнок. 2.1. Умови та формулювання основного
результату. Зробимо деякi припущення щодо функцiї регресiї g(j, \tau ) та функцiї втрат \rho (x).
Нехай g(j, \tau ) є двiчi неперервно диференцiйовною по \tau \in \Theta c. Позначимо
gi(j, \tau ) =
\partial
\partial \tau i
g(j, \tau ), gil(j, \tau ) =
\partial
\partial \tau i\partial \tau l
g(j, \tau ), \tau \in \Theta c, i, l = 1, q,
dN (\theta ) = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(diN (\theta ))
q
i=1, diN (\theta ) =
\left( N\sum
j=1
g2i (j, \theta )
\right) 1
2
, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
N\rightarrow \infty
N - 1d2iN (\theta ) > 0, i = 1, q,
dil,N (\theta ) =
\left( N\sum
j=1
g2il(j, \theta )
\right) 1
2
, \tau \in \Theta c, i, l = 1, q.
Лiтерою k будемо позначати додатнi сталi. Припустимо, що для всiх достатньо великих
N (N > N0) виконано такi умови:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 31
B1) для будь-якого j \in \BbbN g(j, \cdot ) \in C2 (\Theta c) та
(i) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq N \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \in \Theta c
| gi(j, \tau )|
diN (\theta )
\leq kiN - 1/2;
(ii) \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq j\leq N \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \in \Theta c
| gil(j, \tau )|
dil,N (\theta )
\leq kilN - 1/2;
(iii)
dil,N (\theta )
diN (\theta )dlN (\theta )
\leq \~kilN - 1/2, i, l = 1, q;
C1) функцiя \rho є невiд’ємною, парною, двiчi неперервно диференцiйовною, \rho (0) = 0, а її
похiднi \rho \prime = \psi i \rho \prime \prime = \psi \prime задовольняють умови:
(i) \bfE \psi
\bigl(
G(\xi 0)
\bigr)
= 0;
(ii) \bfE \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) > 0;
(iii) для довiльних x, h \in \BbbR та деякої сталої L\bigm| \bigm| \psi \prime (x+ h) - \psi \prime (x)
\bigm| \bigm| \leq L| h| .
За умови C1(iii) для кожного x та деякого \eta = \eta (x) \in (0, 1)
| \psi (x) - \psi (0)| = | \psi \prime (\eta x)| | x| \leq
\bigl(
| \psi \prime (0)| + L| \eta x|
\bigr)
| x| \leq | \psi \prime (0)| | x| + Lx2,
або
| \psi (x)| \leq | \psi (0)| + | \psi \prime (0)| | x| + Lx2.
Крiм того, \bigm| \bigm| \psi \prime (x)
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \psi \prime (0)
\bigm| \bigm| + L| x| .
Таким чином, випадковi послiдовностi \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
та \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) , j \in \BbbZ , за умов A1, A2, C1,
мають скiнченнi другi моменти.
Нехай \varphi (x) = (2\pi ) -
1
2 e -
x2
2 i функцiя K \in L2(\BbbR , \varphi (x)dx). Тодi її можна розкласти в цьому
просторi в ряд Фур’є
K(x) =
\infty \sum
n=0
Cn(K)
n!
Hn(x), Cn(K) =
\infty \int
- \infty
K(x)Hn(x)\varphi (x)dx, n \geq 0,
за полiномами Чебишова – Ермiта
Hn(x) = ( - 1)ne
x2
2
dn
dxn
e -
x2
2 , n \geq 0. (2.1)
Означення 2.1. Функцiя K \in L2(\BbbR , \varphi (x)dx) має ранг Ермiта m (\mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(K) = m), якщо
або C1(K) \not = 0 та m = 1, або для деякого m \geq 2
C1(K) = . . . = Cm - 1(K) = 0, Cm(K) \not = 0.
Функцiї \psi \circ G та \psi \prime \circ G можна розкласти у ряди Фур’є за полiномами Чебишова – Ермiта
у просторi L2(\BbbR , \varphi (x)dx):
\psi (G(x)) =
\infty \sum
n=m
Cn(\psi \circ G)
n!
Hn(x),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
32 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
\psi \prime (G(x)) = C0(\psi
\prime \circ G) +
\infty \sum
n=m\prime
Cn(\psi
\prime \circ G)
n!
Hn(x),
де m = \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\psi \circ G), m\prime = \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\psi \prime \circ G); C0(\psi \circ G) = \bfE \psi
\Bigl(
G
\bigl(
\xi (0)
\bigr) \Bigr)
= 0 за умови C1(i).
Припустимо, що виконується така умова:
C2) або (i) \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\psi \circ G) = 1, \alpha >
1
2
, або (ii) \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(\psi \circ G) = m, \alpha m > 1, де
\alpha = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
k=0,r
\alpha k, (2.2)
\alpha k — параметри к. ф. (1.2).
Нехай \frakB — \sigma -алгебра борелевих пiдмножин пiвiнтервалу [ - \pi ;\pi ).
Введемо матричну мiру \mu N (dx; \theta ) на
\Bigl(
[ - \pi ;\pi ),\frakB
\Bigr)
з матрицею щiльностi
\bigl(
\mu klN (x; \theta )
\bigr) q
k,l=1
=
\left( gkN (x, \theta )glN (x, \theta )
\left( \pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| gkN (x, \theta )\bigm| \bigm| 2dx \pi \int
- \pi
\bigm| \bigm| \bigm| glN (x, \theta )\bigm| \bigm| \bigm| 2 dx
\right) - 1
2
\right)
q
k,l=1
,
gkN (x, \theta ) =
N\sum
j=1
eixjgk(j, \theta ), k = 1, q.
Зауважимо, що d2kN (\theta ) = (2\pi ) - 1
\int \pi
- \pi
\bigm| \bigm| gkN (x, \theta )\bigm| \bigm| 2dx.
Будемо вважати, що виконується така умова:
B2) сiм’я мiр \mu N (\cdot ; \theta ) слабко збiгається при N \rightarrow \infty до додатно визначеної матричної
мiри \mu (\cdot ; \theta ).
Це означає, що компоненти \mu kl(d\lambda , \theta ) є комплексними зарядами обмеженої варiацiї, матрицi
\mu (B, \theta ) =
\bigl(
\mu kl(B, \theta )
\bigr) q
k,l=1
невiд’ємно визначенi для будь-якого B \in \frakB , а \mu ([ - \pi ;\pi ); \theta ) —
додатно визначена матриця.
Означення 2.2 [28, 29]. Матрична мiра \mu (\cdot ; \theta ) =
\bigl(
\mu kl(\cdot ; \theta )
\bigr) q
k,l=1
називається спектраль-
ною мiрою функцiї регресiї g(j, \theta ).
Запишемо
JN (\theta ) =
\bigl(
Jil,N (\theta )
\bigr) q
i.l=1
=
\left( d - 1
iN (\theta )d - 1
lN (\theta )
N\sum
j=1
gi(j, \theta )gl(j, \theta )
\right) q
i.l=1
.
Зауважимо, що з умови B2 випливає, що
JN (\theta ) =
\pi \int
- \pi
\mu N (dx; \theta ) \rightarrow
\pi \int
- \pi
\mu (dx; \theta ) = \mu ([ - \pi ;\pi ); \theta ) = J(\theta ) при N \rightarrow \infty . (2.3)
Позначимо \Lambda (\theta ) = J - 1(\theta ).
Введемо поняття \mu -припустимостi с. щ. f(\lambda ) (детальнiше див. [29, 30]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 33
Означення 2.3. С. щ. f називається \mu -припустимою, якщо вона \mu -iнтегровна, тобто всi
елементи матрицi
\int \pi
- \pi
f(\lambda )\mu (d\lambda ) скiнченнi, та
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
N\rightarrow \infty
\pi \int
- \pi
f(\lambda )\mu N (d\lambda ) =
\pi \int
- \pi
f(\lambda )\mu (d\lambda ).
Достатнi умови \mu -припустимостi с. щ. стацiонарної послiдовностi, якi, зокрема, задовольняє
с. щ. f послiдовностi \xi j з к. ф. (1.2), можна знайти в роботах [20, 31]. Основна умова полягає в
тому, щоб сукупнiсть точок сингулярностi f не перетиналась iз сукупнiстю атомiв спектральної
мiри \mu , яка є атомною для всiх вiдомих на сьогоднi прикладiв її iснування.
Нехай f (\ast 1)(\lambda ) = f(\lambda ) i для n \geq 2
f (\ast n)(\lambda ) =
=
\int
[ - \pi ,\pi )n - 1
f(\lambda - \lambda 2 - . . . - \lambda n)1[ - \pi ,\pi )(\lambda - \lambda 2 - . . . - \lambda n)
n\prod
i=2
f(\lambda i)d\lambda 2 . . . d\lambda n, \lambda \in [ - \pi , \pi ),
— n-та згортка с. щ. f випадкової послiдовностi \xi j , j \in \BbbZ ,
\gamma =
\Bigl(
E\psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) \Bigr) - 1
. (2.4)
Припустимо, що виконано також таку умову:
D1) для будь-якого \varepsilon > 0 iснує таке N0 = N0(\varepsilon ), що для всiх N > N0 система рiвнянь
\nabla SN (\tau ) = 0 має єдиний розв’язок з iмовiрнiстю не меншою за 1 - \varepsilon .
У пунктi 3 наведено достатнi умови виконання D1, якi одночасно виконуються з умовами
наступної теореми, якщо припустити, що diN (\theta ) = O(N
1
2 ), dil,N (\theta ) = O(N
1
2 ), i, l = 1, q.
Теорема 2.1. Нехай виконуються умови A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, та с. щ. f випад-
кової послiдовностi \xi є \mu -припустимою у випадку виконання умови C2 (i). Тодi випадковий
вектор \^uN (\theta ) = dN (\theta )(\^\theta N - \theta ) при N \rightarrow \infty збiгається за розподiлом до нормального закону
N(0,\Sigma (\theta )), де
\Sigma (\theta ) = 2\pi \gamma 2
\infty \sum
n=m
C2
n(\psi \circ G)
n!
\Lambda (\theta )
\left( \pi \int
- \pi
f (\ast n)(\lambda )\mu (d\lambda , \theta )
\right) \Lambda (\theta ). (2.5)
Зауважимо, що коварiацiйна матриця (2.5), за умов теореми, є додатно визначеною. Цей
факт випливає з леми 2.3, доведеної в наступному пiдпунктi.
2.2. Допомiжнi твердження. Розглянемо нормовану M -оцiнку
\^uN = \^uN (\theta ) = dN (\theta )(\^\theta N - \theta ). (2.6)
Виконаємо замiну змiнних, яка вiдповiдає нормуванню (2.6), у функцiї регресiї та її похiд-
них, тобто
g(j, \tau ) = g(j, \theta + d - 1
N (\theta )u) = h(j, u), gi(j, \tau ) = gi
\bigl(
j, \theta + d - 1
N (\theta )u
\bigr)
= hi(j, u),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
34 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
gil(j, \tau ) = gil(j, \theta + d - 1
N (\theta )u) = hil(j, u), i, l = 1, q.
Будемо також використовувати позначення
H(j;u1, u2) = h(j, u1) - h(j, u2), Hi(j;u1, u2) = hi(j, u1) - hi(j, u2), i = 1, q.
Введемо вектори
MN (u) =
\bigl(
M i
N (u)
\bigr) q
i=1
=
\left( \gamma N\sum
j=1
\psi (Xj - h(j, u))
hi(j, u)
diN (\theta )
\right) q
i=1
та
\Psi N (u) =
\bigl(
\Psi i
N (u)
\bigr) q
i=1
=
\left( \gamma N\sum
j=1
\psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr) hi(j, u)
diN (\theta )
+
N\sum
j=1
H(j; 0, u)
hi(j, u)
diN (\theta )
\right) q
i=1
,
де \gamma задано формулою (2.4).
Вектори MN (u) та \Psi N (u) визначенi для u \in U cN (\theta ), UN (\theta ) = dN (\theta )(\Theta - \theta ).
Зауважимо, що за нашими припущеннями множини UN (\theta ) розширюються до \BbbR q при N \rightarrow
\rightarrow \infty . Тодi для довiльних R > 0 v(R) :=
\bigl\{
u \in \BbbR q : \| u\| < R
\bigr\}
\subset UN (\theta ) для N > N0(R).
Легко зрозумiти статистичний змiст векторiв MN (u) та \Psi N (u). Розглянемо функцiонал
\gamma SN (\theta + d - 1
N (\theta )u). Тодi нормована M -оцiнка \^uN задовольняє систему рiвнянь
MN (u) = 0. (2.7)
Нехай
\eta j = \gamma \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
, j \in \BbbZ , (2.8)
та спостереження мають вигляд
Yj = g(j, \theta ) + \eta j , j = 1, N. (2.9)
Тодi
\Psi N (u) = 0
є системою нормальних рiвнянь для знаходження нормованої оцiнки найменших квадратiв
\u uN = \u uN (\theta ) = dN (\theta )(\u \theta N - \theta )
невiдомого параметра \theta вiртуальної нелiнiйної моделi регресiї (2.9).
Лема 2.1. Нехай виконуються умови A1, A2, B1 та C1. Тодi для довiльних R > 0, r > 0
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\| MN (u) - \Psi N (u)\| > r
\biggr\}
\rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.10)
Доведення. Для фiксованого i
M i
N (u) - \Psi i
N (u) =
= \gamma
N\sum
j=1
hi(j, u)
diN (\theta )
\bigl[
\psi (G(\xi j) +H(j; 0, u)) - \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
- \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) H(j; 0, u)
\bigr]
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 35
+\gamma
N\sum
j=1
H(j; 0, u)
hi(j, u)
diN (\theta )
\zeta j = I1(u) + I2(u),
\zeta j = \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) - \bfE \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) , j \in \BbbZ .
Доведемо, що I1(u) та I2(u) збiгаються до нуля за ймовiрнiстю рiвномiрно по u \in vc(R).
Нехай u \in vc(R) фiксоване. Тодi \bfE I2(u) = 0 та
\bfE I22 (u) = \gamma 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
H(j; 0, u)H(l; 0, u)
hi(j, u)
diN (\theta )
hi(l, u)
diN (\theta )
\bfc \bfo \bfv (\zeta j , \zeta l). (2.11)
Маємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| H(j; 0, u)
\bigm| \bigm| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q\sum
i=1
hi(j, u
\ast
N )
diN (\theta )
ui
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| u\| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\Biggl(
q\sum
i=1
\biggl[
hi(j, u
\ast
N )
diN (\theta )
\biggr] 2\Biggr) 1
2
,
де \| u\ast N\| \leq \| u\| .
З цiєї нерiвностi завдяки умовi B1(i) випливає, що
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| H(j; 0, u)
\bigm| \bigm| \leq N - 1/2\| k\| \| u\| , (2.12)
де k = (k1, . . . , kq) — вектор констант з нерiвностi i умови B1(i).
Застосовуючи нерiвнiсть (2.12) та умову B1(i) до суми (2.11), отримуємо
\bfE I22 (u) \leq \gamma 2\| k\| 2(ki)2R2N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\zeta j , \zeta l).
Покажемо, що
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\zeta j , \zeta l) \rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.13)
Використовуючи спiввiдношення (див., наприклад, [32, с. 58])
\bfE Hn(\xi j)Hk(\xi l) = \delta knn!B
n(j - l),
де \delta kn — символ Кронекера, записуємо
\bfc \bfo \bfv
\Bigl(
\psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) , \psi \prime \bigl( G(\xi l)\bigr) \Bigr) =
\infty \sum
n=m\prime
C2
n(\psi
\prime \circ G)
n!
Bn(j - l).
Оскiльки | B(j)| \leq 1, j \in \BbbZ , то\bigm| \bigm| \bigm| \bfc \bfo \bfv \Bigl( \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) , \psi \prime \bigl( G(\xi l)\bigr) \Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
n=m\prime
C2
n(\psi
\prime \circ G)
n!
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \leq \bfD \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) \bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| (2.14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
36 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
та
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\zeta j , \zeta l) \leq N - 2\bfD \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| .
З iншого боку,
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \leq r\sum
k=0
Ak
\left( N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
1
(1 + (j - l)2)\alpha k/2
\right) =
=
r\sum
k=0
Ak
\left( N - 1 + 2N - 1
N\sum
j=1
\biggl(
1 - j
N
\biggr)
1
(1 + j2)\alpha k/2
\right) \leq
\leq N - 1 + 2
r\sum
k=0
AkN
- \alpha k
\left( N\sum
j=1
\biggl(
1 - j
N
\biggr) \biggl(
j
N
\biggr) - \alpha k 1
N
\right) \leq
\leq N - 1 + 2
r\sum
k=0
AkN
- \alpha k
1\int
0
(1 - t)t - \alpha kdt = N - 1 + 2
r\sum
k=0
AkN
- \alpha k
(1 - \alpha k)(2 - \alpha k)
,
тобто
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = O(N - \alpha ), (2.15)
де \alpha задано формулою (2.2). Це означає, що виконується (2.13), i тому I2(u)
P\rightarrow 0 при N \rightarrow \infty
для кожного u \in vc(R).
Для u1, u2 \in vc(R) розглянемо
I2(u1) - I2(u2) = \gamma
N\sum
j=1
H(j; 0, u1)
Hi(j;u1, u2)
diN (\theta )
\zeta j -
- \gamma
N\sum
j=1
H(j;u1, u2)
hi(j;u2)
diN (\theta )
\zeta j = I3(u1, u2) + I4(u1, u2).
Для довiльних h > 0, r > 0 за нерiвнiстю Маркова
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
| I3(u1, u2)| > r
\biggr\}
\leq r - 1\bfE \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
| I3(u1, u2)| \leq
\leq 2r - 1\gamma \bfE
\bigm| \bigm| \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) \bigm| \bigm| N \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
| H(j; 0, u)| \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| Hi(j;u1, u2)
\bigm| \bigm|
diN (\theta )
, (2.16)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| Hi(j;u1, u2)
\bigm| \bigm|
diN (\theta )
\leq
\leq h \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
q\sum
l=1
\Biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| hil(j, u)\bigm| \bigm|
dil,N (\theta )
\Biggr)
dil,N (\theta )
diN (\theta )dlN (\theta )
\leq
q\sum
l=1
kil\~kilhN - 1 (2.17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 37
завдяки умовам B1(i), (iii).
Застосуємо (2.12) та (2.17) до (2.16) i в результатi отримаємо
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I3(u1, u2)\bigm| \bigm| > r
\biggr\}
\leq k1r
- 1N - 1
2h, (2.18)
де k1 = 2\gamma \bfE
\bigm| \bigm| \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) \bigm| \bigm| R\| k\| \Bigl( \sum q
i,l=1
kil\~kil
\Bigr)
.
Аналогiчним чином, згiдно з умовою B1(i)
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I4(u1, u2)\bigm| \bigm| > r
\biggr\}
\leq r - 1\bfE \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I4(u1, u2)\bigm| \bigm| \leq
\leq 2r - 1\gamma \bfE
\bigm| \bigm| \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) \bigm| \bigm| N \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
| hi(j, u)|
diN (\theta )
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq j\leq N
\bigm| \bigm| H(j;u1, u2)
\bigm| \bigm| \leq k2r
- 1h,
(2.19)
де k2 = 2\gamma \bfE | \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) | ki\| k\| .
З (2.18) та (2.19) випливає, що
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I2(u1) - I2(u2)
\bigm| \bigm| > r
\biggr\}
\leq 2r - 1h
\Bigl(
k1N
- 1/2 + k2
\Bigr)
\leq k3r
- 1h. (2.20)
Позначимо через Nh скiнченну h-сiтку кулi vc(R). Тодi
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I2(u1) - I2(u2)
\bigm| \bigm| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in Nh
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| . (2.21)
З (2.20) та (2.21) маємо
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| > r
\biggr\}
\leq 2k3r
- 1h+ \mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in Nh
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| > r
2
\biggr\}
для будь-якого r > 0.
Для \varepsilon > 0 задамо h =
\varepsilon r
4k3
. Тодi для N > N0 завдяки поточковiй збiжностi I2(u) до нуля за
ймовiрнiстю
\mathrm{P}
\Biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in N \varepsilon r
4k3
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| > r
2
\Biggr\}
\leq \varepsilon
2
i, таким чином,
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I2(u)\bigm| \bigm| > r
\biggr\}
\leq \varepsilon .
З iншого боку, при фiксованих 1 \leq j \leq N, u \in vc(R) iснує таке \delta \in (0, 1), що майже
напевно (м. н.) \bigm| \bigm| \psi (G(\xi j) +H(j; 0, u)) - \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
- \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) H(j; 0, u)
\bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \psi \prime (G(\xi j) + \delta H(j; 0, u)) - \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| H(j; 0, u)
\bigm| \bigm| \leq
\leq L
\bigm| \bigm| H(j; 0, u)
\bigm| \bigm| 2 \leq L\| k\| 2R2N - 1. (2.22)
Завдяки умовi B1(i) та (2.22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
38 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I1(u)\bigm| \bigm| \leq L\gamma ki \| k\| 2R2N - 1
2 м. н.
Лему 2.1 доведено.
Введемо випадковий вектор
LN (u) = (LiN (u))
q
i=1 =
\left( N\sum
j=1
\Biggl(
\eta j -
q\sum
l=1
gl(j, \theta )
dlN (\theta )
ul
\Biggr)
gi(j, \theta )
diN (\theta )
\right) q
i=1
, (2.23)
який вiдповiдає вiртуальнiй лiнiйнiй моделi регресiї
Zj =
q\sum
l=1
gl(j, \theta )\beta l + \eta j , j = 1, N,
де \eta j введено в (2.8). Система нормальних рiвнянь
LN (u) = 0, u = dN (\theta )(\tau - \beta ), (2.24)
задає нормовану лiнiйну оцiнку найменших квадратiв \~\beta N параметра \beta \in \BbbR q. Покладемо
\~uN = \~uN (\theta ) = dN (\theta )( \~\beta N - \beta ). (2.25)
Лема 2.2. В умовах леми 2.1 для довiльних R > 0, r > 0
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm\| \bigm\| \Psi N (u) - LN (u)
\bigm\| \bigm\| >\biggr\} \rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.26)
Доведення. Очевидно,
\Psi i
T (u) - LiT (u) =
N\sum
j=1
\eta j
hi(j, u)
diN (\theta )
+
N\sum
j=1
H(j; 0, u)
hi(j, u)
diN (\theta )
-
-
N\sum
j=1
\eta j
gi(j, \theta )
diN (\theta )
+
N\sum
j=1
gi(j, \theta )
diN (\theta )
q\sum
l=1
gl(j, \theta )
dlN (\theta )
ul =
=
N\sum
j=1
\eta j
Hi(j;u, 0)
diN (\theta )
+
N\sum
j=1
H(j; 0, u)
Hi(j;u, 0)
diN (\theta )
+
+
N\sum
j=1
gi(j, \theta )
diN (\theta )
\Biggl[
H(j; 0, u) +
q\sum
l=1
gl(j, \theta )
dlN (\theta )
ul
\Biggr]
= I5(u) + I6(u) + I7(u).
Для фiксованого u \in vc(R) за допомогою (2.17) отримуємо
\bfE I25 (u) =
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\eta j , \eta l)
Hi(j;u, 0)
diN (\theta )
Hi(l;u, 0)
diN (\theta )
\leq
\leq
\Biggl(
q\sum
l=1
kil\~kil
\Biggr) 2
R2N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| \bfc \bfo \bfv (\eta j , \eta l)\bigm| \bigm| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 39
Покажемо, що
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\eta j , \eta l) \rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.27)
Аналогiчно (2.14)\bigm| \bigm| \bigm| \bfc \bfo \bfv \Bigl( \psi \bigl( G(\xi j)\bigr) , \psi (G(\xi l))\Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \leq \bfE \psi 2
\bigl(
G(\xi 0)
\bigr) \bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| . (2.28)
Використовуючи (2.8), (2.15) та (2.28), маємо
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\eta j , \eta l) \leq \gamma 2\bfE \psi 2
\bigl(
G(\xi 0)
\bigr)
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = O(N - \alpha ),
i (2.27) виконується, тобто I5(u)
P\rightarrow 0 при N \rightarrow \infty для всiх u \in vc(R).
З iншого боку, завдяки (2.17)
\bfE \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\| u1 - u2\| \leq h
\bigm| \bigm| I5(u1) - I5(u2)
\bigm| \bigm| = \gamma \bfE
\bigm| \bigm| \psi \bigl( G(\xi 0)\bigr) \bigm| \bigm| \Biggl( q\sum
l=1
kil\~kil
\Biggr)
h,
i, як i для I2(u) у доведеннi леми 2.1, можна показати рiвномiрну по u \in vc(R) збiжнiсть I5(u)
до нуля за ймовiрнiстю.
Беручи до уваги нерiвностi (2.12) та (2.17), отримуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I6(u)\bigm| \bigm| \leq \| k\|
\Biggl(
q\sum
l=1
kil\~kil
\Biggr)
R2N - 1
2 - \rightarrow 0, N \rightarrow \infty .
Зауважимо, що I7(u) можна записати у виглядi
I7(u) = - 1
2
q\sum
l1=1
q\sum
l2=1
\left( N\sum
j=1
hl1l2(j, u
\ast
N )
dl1N (\theta )dl2N (\theta )
gi(j, \theta )
diN (\theta )
\right) ul1ul2
для деякого u\ast N \in v(R). Тодi за умовою B1
\bigm| \bigm| I7(u)\bigm| \bigm| \leq ki
2
q\sum
l1=1
q\sum
l2=1
\Bigl(
kl1l2\~kl1l2 | ul1 | | ul2 |
\Bigr)
N - 1
2 \leq qki
2
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
l1,l2=1,q
\Bigl[
kl1l2\~kl1l2
\Bigr]
\| u\| 2N - 1
2 ,
тобто \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}u\in vc(R)
\bigm| \bigm| I7(u)\bigm| \bigm| \rightarrow
N\rightarrow \infty
0.
Лему 2.2 доведено.
З (2.10) та (2.26) випливає такий наслiдок.
Наслiдок 2.1. В умовах леми 2.1 для довiльних R > 0, r > 0
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
u\in vc(R)
\bigm\| \bigm\| MN (u) - LN (u)
\bigm\| \bigm\| > r
\biggr\}
\rightarrow 0, N \rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
40 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
З умови B2 та (2.3) випливає, що для N > N0 матрицi JN (\theta ) є додатно визначеними, а
тому iснують оберненi до них \Lambda N (\theta ) = J - 1
N (\theta ).
Таким чином, за умови B2 iз (2.23) та (2.24) знаходимо (див. (2.25))
\~uN = \Lambda N (\theta )d
- 1
N (\theta )
N\sum
j=1
\eta j\nabla g(j, \theta ). (2.29)
Наступна лема забезпечує додатну визначенiсть матриць
\int \pi
- \pi
f (\ast n)(\lambda )\mu (d\lambda , \theta ), n \geq 1, якi
є елементами розкладу коварiацiйної матрицi (2.5) в ряд.
Лема 2.3. Нехай виконано умови A2 та B2. Тодi матрицi
\pi \int
- \pi
f (\ast n)(\lambda )\mu (d\lambda , \theta ), n \geq 2,
додатно визначенi. Якщо f(\lambda ) є \mu -припустимою, то
\int \pi
- \pi
f(\lambda )\mu (d\lambda , \theta ) — також додатно
визначена матриця.
Доведення. За умови A2
f (\ast n)(\lambda ) \geq cn > 0, n \geq 1, \lambda \in [ - \pi ;\pi ).
Оскiльки \mu (d\lambda , \theta ) — ермiтова матриця, то квадратична форма
\sum q
k,l=1
\mu kl(d\lambda , \theta )zkzl = mZ(d\lambda , \theta )
для будь-яких Z = (z1, . . . , zq) \in \BbbC q є звичайною мiрою. Тодi квадратична форма\Biggl\langle \pi \int
- \pi
f (\ast n)(\lambda )\mu (d\lambda , \theta )Z, Z
\Biggr\rangle
=
\pi \int
- \pi
f (\ast n)(\lambda )mZ(d\lambda , \theta ) \geq cn
\pi \int
- \pi
mZ(d\lambda , \theta ) =
= cn
\Biggl\langle \pi \int
- \pi
\mu (d\lambda , \theta )Z, Z
\Biggr\rangle
= cn \langle J(\theta )Z, Z\rangle > 0,
якщо Z \not = 0, за умовою B2.
Сформулюємо теорему про асимптотичну нормальнiсть зваженої суми вiд нелiнiйного пе-
ретворення гауссiвської стацiонарної випадкової послiдовностi з сингулярним спектром [20].
Теорема 2.2. Нехай виконано умови A1, A2, B1(i), B2 та одну з наступних умов для функцiї
K \in L2(\BbbR , \varphi (x)dx):
(i) \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(K) = 1 та с. щ. f випадкового процесу \xi є \mu -припустимою;
(ii) \mathrm{H}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(K) = m та \alpha m > 1, де \alpha задано формулою (2.2).
Тодi випадковий вектор
\zeta N = d - 1
N (\theta )
N\sum
j=1
K(\xi j)\nabla g(j, \theta )
асимптотично при N \rightarrow \infty нормальний N(0, \=\Sigma ), де
\=\Sigma = 2\pi
\infty \sum
n=m
C2
n(K)
n!
\pi \int
- \pi
f (\ast n)(\lambda )\mu (d\lambda , \theta ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 41
Сформулюємо теорему Брауера про нерухому точку (див., наприклад, [21]).
Теорема 2.3. Нехай F : vc(R) \rightarrow vc(R) — неперервне вiдображення. Тодi iснує таке x0 \in
\in vc(R), що F (x0) = x0.
Нехай для A \in \frakB q (\frakB q — \sigma -алгебра борелевих пiдмножин \BbbR q ) та \varepsilon > 0
A\varepsilon =
\biggl\{
x \in \BbbR q : \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
y\in A
\| x - \| < \varepsilon
\biggr\}
, A - \varepsilon = \BbbR q\setminus (\BbbR q\setminus A)\varepsilon .
Наступну теорему доведено в § 3 [33].
Теорема 2.4. Нехай \nu — невiд’ємна диференцiйовна функцiя на [0,+\infty ) така, що
b =
\infty \int
0
| \nu \prime (\lambda )| \lambda q - 1d\lambda < +\infty , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\lambda \rightarrow \infty
\nu (\lambda ) = 0.
Тодi для довiльної опуклої множини C \in \frakB q та довiльних \varepsilon , \delta > 0 має мiсце нерiвнiсть
\int
C\varepsilon \setminus C - \delta
\nu (\| \lambda \| )d\lambda \leq b
\left( 2\pi
q
2
\Gamma
\Bigl( q
2
\Bigr)
\right) (\varepsilon + \delta ).
2.3. Доведення теореми 2.1. Покажемо, що для довiльного r > 0
\Delta N (r) = \mathrm{P}
\bigl\{
\| \^uN - \~uN\| > r
\bigr\}
\rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.30)
Розглянемо подiю AN =
\bigl\{
\| \~uN\| \in vc(R - r)
\bigr\}
, де R таке, що для N > N0, завдяки асимп-
тотичнiй нормальностi \~uN , яка випливає iз застосування до (2.29) теореми 2.2, виконується
\mathrm{P}( \=AN ) \leq
\varepsilon
3
, де \varepsilon > 0 — фiксоване як завгодно мале число.
Введемо також подiю
BN =
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in vc(R)
\bigm\| \bigm\| \Lambda N (\theta )(MN (u) - LN (u))
\bigm\| \bigm\| \leq r
\Biggr\}
.
Позначимо через \lambda min(A) (\lambda max(A)) найменше (найбiльше) власне число додатно визначеної
матрицi A.
З (2.3) випливає, що для деякого \lambda \ast > 0 та всiх N > N0
\lambda min(JN (\theta )) \geq \lambda \ast . (2.31)
Тодi з (2.31) та наслiдку 2.1 для N > N0 маємо
\mathrm{P}( \=BN ) \leq \mathrm{P}
\Biggl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in vc(R)
\| MN (u) - LN (u)\| > \lambda \ast r
\Biggr\}
\leq \varepsilon
3
.
Взявши до уваги умову D1, розглянемо також подiю CN , яка полягає в тому, що M -оцiнка
\^uN є єдиним розв’язком системи рiвнянь (2.7), причому \mathrm{P}( \=CN ) \leq
\varepsilon
3
для N > N0. Отже, для
N > N0
\mathrm{P} (AN
\bigcap
BN
\bigcap
CN ) \geq 1 - \varepsilon . (2.32)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
42 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Iз формул (2.23) та (2.29) отримуємо \Lambda N (\theta )LN (u) = \~uN - u. Якщо подiя AN
\bigcap
BN
\bigcap
CN
сталася, то
\| u+ \Lambda N (\theta )MN (\theta )\| \leq
\leq \| \~uN\| + \| \Lambda N (\theta )(MN (u) - LN (u))\| \leq (R - r) + r = R для u \in vc(R),
тобто FN (u) = u+ \Lambda N (\theta )MN (u) — неперервне вiдображення vc(R) в vc(R).
Застосуємо теорему Брауера про нерухому точку (теорема 2.3) до FN (u). В результатi
отримуємо, що iснує точка u0N \in vc(R) така, що F (u0N ) = u0N , або, оскiльки \Lambda N (\theta ) є невиро-
дженою, MN (u
0
N ) = 0. Завдяки виконанню подiї CN єдиним розв’язком системи рiвнянь (2.7)
в кулi vc(R) є нормована M -оцiнка \^uN .
Таким чином, \{ AN
\bigcap
BN
\bigcap
CN\} \subset
\bigl\{
\^uN \in vc(R)
\bigr\}
i \mathrm{P}
\bigl\{
\^uN \in vc(R)
\bigr\}
\geq 1 - \varepsilon .
Зауважимо, що з (2.32) випливає нерiвнiсть
1 - \varepsilon \leq \mathrm{P}
\Bigl\{ \bigl\{
\^uN \in vc(R)
\bigr\} \bigcap
BN
\Bigr\}
\leq
\leq \mathrm{P}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| \Lambda N (\theta )\bigl( MN (\^uN ) - LN (\^uN )
\bigr) \bigm\| \bigm\| \leq r
\bigr\}
= \mathrm{P}
\bigl\{ \bigm\| \bigm\| \~uN - \^uN
\bigm\| \bigm\| \leq r
\bigr\}
для N > N0, (2.33)
тобто (2.30) виконується.
Позначимо \Pi
\bigl(
- \infty ; y\pm \vec{}\varepsilon
\bigr)
= ( - \infty ; y1\pm \varepsilon )\times . . .\times ( - \infty ; yq\pm \varepsilon ), \varepsilon \geq 0. Беручи до уваги (2.30),
для функцiї розподiлу FN (y, \theta ) = \mathrm{P}
\bigl\{
\^uN \in \Pi ( - \infty , y)
\bigr\}
для будь-яких y \in \BbbR q та довiльного
\varepsilon > 0 отримуємо
\mathrm{P}
\bigl\{
\~uN \in \Pi
\bigl(
- \infty ; y - \vec{}\varepsilon
\bigr) \bigr\}
- \Delta N (\varepsilon ) \leq FN (y, \theta ) \leq
\leq \mathrm{P}
\bigl\{
\~uN \in \Pi
\bigl(
- \infty ; y + \vec{}\varepsilon
\bigr) \bigr\}
+\Delta N (\varepsilon ). (2.34)
З теореми 2.2, випливає, що випадковий вектор \~uN є асимптотично при N \rightarrow \infty нормаль-
ним N(0,\Sigma (\theta )), де \Sigma (\theta ) визначена формулою (2.5). Таким чином,\bigm| \bigm| \mathrm{P}\bigl\{ \~uN \in \Pi ( - \infty ; y + \vec{}\varepsilon )
\bigr\}
- \Phi 0,\Sigma (\theta )
\bigl(
y \pm \vec{}\varepsilon
\bigr) \bigm| \bigm| \rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (2.35)
Нехай \varphi (y, \theta ) — гауссiвська щiльнiсть, що вiдповiдає функцiї розподiлу \Phi 0,\Sigma (\theta )(y).
Оскiльки \lambda min(\Sigma (\theta )) = \lambda > 0, \lambda max(\Sigma (\theta )) = \lambda < +\infty , то
\varphi (y, \theta ) \leq (2\pi \lambda ) - q/2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
- \| y\| 2/2\lambda
\bigr\}
= \nu (\| y\| ).
Якщо A = \Pi ( - \infty , y), то A - \varepsilon = \Pi ( - \infty , y - \vec{}\varepsilon ], (\Pi ( - \infty , y + \vec{}\varepsilon ]) - \varepsilon = \Pi ( - \infty , y] = Ac.
Застосовуючи теорему 2.4 до \nu (\| y\| ), для будь-якого \omega \not = 0 маємо
\bigm| \bigm| \Phi 0,\Sigma (\theta )(y) - \Phi 0,\Sigma (\theta )(y + \vec{}\omega )
\bigm| \bigm| = \int
\Pi
\varphi (y, \theta )dy \leq b
\left( 2\pi
q
2
\Gamma
\Bigl( q
2
\Bigr)
\right) | \omega | ,
де
\Pi =
\left\{ \Pi
\bigl(
- \infty , y + - \rightarrow \omega
\bigr)
\setminus Ac, якщо \omega > 0,
A\setminus A\omega , якщо \omega < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 43
Для будь-яких y \in \BbbR q та для довiльного \varepsilon > 0
FN (y, \theta ) - \Phi 0,\Sigma (\theta )(y) \leq \Delta N (\varepsilon ) +
\bigm| \bigm| \mathrm{P}\bigl\{ \widetilde uN \in \Pi ( - \infty , y + - \rightarrow \varepsilon )
\bigr\}
- \Phi 0,\Sigma (\theta )(y +
- \rightarrow \varepsilon )
\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \Phi 0,\Sigma (\theta )(y +
- \rightarrow \varepsilon ) - \Phi 0,\Sigma (\theta )(y)
\bigm| \bigm| , (2.36)
\Phi 0,\Sigma (\theta )(y) - FN (y, \theta ) \leq \Delta N (\varepsilon ) +
\bigm| \bigm| \mathrm{P}\bigl\{ \Phi 0,\Sigma (\theta )(y - - \rightarrow \varepsilon ) - \widetilde uN \in \Pi ( - \infty , y - - \rightarrow \varepsilon )
\bigr\} \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \Phi 0,\Sigma (\theta )(y) - \Phi 0,\Sigma (\theta )(y - - \rightarrow \varepsilon )
\bigm| \bigm| . (2.37)
Зi спiввiдношень (2.30) – (2.37) випливає, що
\bigm| \bigm| FN (y, \theta ) - \Phi 0,\Sigma (\theta )(y)
\bigm| \bigm| \rightarrow 0 при N \rightarrow \infty .
Таким чином, теорему 2.1 доведено.
3. Асимптотична єдинiсть \bfitM -оцiнок. Знайдемо достатнi умови виконання умови D1,
тобто асимптотичної єдиностi за ймовiрнiстю M -оцiнок параметрiв моделi (1.1). Якщо функцiя
регресiї та функцiя втрат диференцiйовнi, то M -оцiнка \^\theta N задовольняє систему рiвнянь
\nabla SN (\tau ) = 0. (3.1)
Деякi подальшi умови є модифiкацiями припущень, зроблених у пiдпунктi 2.1.
Запишемо
\widetilde JN (\theta ) = \Bigl( \widetilde Jil,N (\theta )\Bigr) q
i,l=1
=
\left( N - 1
N\sum
j=1
gi(j, \theta )gl(j, \theta )
\right) q
i,l=1
.
Припустимо, що виконуються такi умови:
B3) для деякого \widetilde \lambda \ast > 0 та N > N0 \lambda min( \widetilde JN (\theta )) \geq \widetilde \lambda \ast ;
B4) (i) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j\geq 0\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \in \Theta c | gi(j, \tau )| \leq k(i) <\infty ;
(ii) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}j\geq 0\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \in \Theta c | gil(j, \tau )| \leq k(i, l) <\infty ;
(iii) N - 1\Phi ilN (\tau 1, \tau 2) = N - 1
\sum N
j=1
\Bigl(
gil(j, \tau 1) - gil(j, \tau 2)
\Bigr) 2
\leq kil\| \tau 1 - \tau 2\| 2, i, l = 1, q,
\tau 1, \tau 2 \in \Theta c,
а також
C3) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR | \psi (x)| = k\psi <\infty , \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}x\in \BbbR | \psi \prime (x)| = k\psi \prime <\infty .
Вiдносно M -оцiнки припустимо таке:
D2) \^\theta N є слабко консистентною оцiнкою \theta в тому сенсi, що для довiльного r > 0
\mathrm{P}
\Bigl\{
\| \^\theta N - \theta \| \geq r
\Bigr\}
= O(N - \alpha ), N \rightarrow \infty ,
де \alpha задано формулою (2.2).
Теорема 3.1. Нехай виконуються умови A1, A2, B3, B4, C1, C3 та D2. Тодi для будь-якого
\varepsilon > 0 iснує таке N0 = N0(\varepsilon ), що для N > N0 система рiвнянь (3.1) має єдиний розв’язок з
iмовiрнiстю не меншою за 1 - \varepsilon .
Доведення. Нагадаємо, що \gamma задано в (2.4). Позначимо
H(j; \tau , \theta ) = g(j, \tau ) - g(j, \theta ), Hi(j; \tau , \theta ) = gi(j, \tau ) - gi(j, \theta ),
Hil(j; \tau , \theta ) = gil(j, \tau ) - gil(j, \theta ), i, l = 1, q,
GN (\tau ) =
\Bigl(
GilN (\tau )
\Bigr) q
i,l=1
=
\biggl(
\gamma
\partial 2SN (\tau )
\partial \tau i\partial \tau l
\biggr) q
i,l=1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
44 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Для доведення теореми покажемо, що матриця Гессе GN (\tau ) функцiонала \gamma SN (\tau ) є додатно
визначеною матрицею в деякому околi iстинного значення параметра \theta з iмовiрнiстю, що
прямує до одиницi при N \rightarrow \infty .
Для довiльних i, l = 1, q
GilN (\tau ) = \gamma N - 1
N\sum
j=1
\psi \prime (Xj - g(j, \tau ))gi(j, \tau )gl(j, \tau ) -
- \gamma N - 1
N\sum
j=1
\psi (Xj - g(j, \tau ))gil(j, \tau ) = 1G
il(\tau ) + 2G
il(\tau ). (3.2)
Розглянемо другий доданок у (3.2):
2G
il(\tau ) = - \gamma N - 1
N\sum
j=1
\Bigl[
\psi
\bigl(
G(\xi j) - H(j; \tau , \theta )
\bigr)
- \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr) \Bigr]
gil(j, \tau ) -
- \gamma N - 1
N\sum
j=1
\psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
Hil(j; \tau , \theta ) - \gamma N - 1
N\sum
j=1
\psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
gil(j, \theta ) =
= 3G
il(\tau ) + 4G
il(\tau ) + 5G
il.
Завдяки умовi B4(i)
| H(j; \tau , \theta )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
q\sum
i=1
gi(j, \tau
\ast
j )(\tau i - \theta i)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \| k\| \| \tau - \theta \| , (3.3)
де \tau \ast j = \theta + \eta (\tau - \theta ), \eta = \eta j \in (0, 1), k =
\bigl(
k(1), . . . , k(q)
\bigr)
. Крiм того, для деякого \delta N \in (0, 1)
\psi (G(\xi j) - H(j; \tau , \theta )) - \psi
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
= \psi \prime \bigl( G(\xi j) - \delta jH(j; \tau , \theta )
\bigr)
H(j; \tau , \theta ). (3.4)
Тодi з урахуванням умов C3, B4(ii) та формул (3.3), (3.4) отримуємо
| 3Gil(\tau )| \leq \gamma k\psi \prime k(i, l)\| k\| \| \tau - \theta \| . (3.5)
За умовами C3 та B4(iii)
| 4Gil(\tau )| \leq \gamma
\left( N - 1
N\sum
j=1
\psi 2
\bigl(
G(\xi j)
\bigr) \right) 1
2 \Bigl(
N - 1\Phi ilN (\tau , \theta )
\Bigr) 1
2 \leq \gamma k\psi k
1
2
il\| \tau - \theta \| . (3.6)
З (2.15) та (2.28) випливає, що
\bfE
\Bigl(
5G
il
\Bigr) 2
\leq \gamma 2k2(i, l)\bfE \psi 2
\bigl(
G(\xi 0)
\bigr)
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = O(N - \alpha ),
а тому \bigm| \bigm| \bigm| 5Gil\bigm| \bigm| \bigm| P\rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (3.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 45
Iз нерiвностей (3.5) – (3.7) видно, що\bigm| \bigm| \bigm| 2Gil(\tau )\bigm| \bigm| \bigm| \leq \gamma
\biggl(
k\psi \prime k(i, l)\| k\| + k\psi k
1
2
il
\biggr)
\| \tau - \theta \| + | 5Gil| = K
(2)
il \| \tau - \theta \| + | 5Gil| . (3.8)
З iншого боку,
1G
il(\tau ) = \gamma N - 1
N\sum
j=1
\Bigl[
\psi \prime (G(\xi j) - H(j; \tau , \theta )) - \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) \Bigr] gi(j, \tau )gl(j, \tau )+
+\gamma N - 1
N\sum
j=1
\psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) \Bigl[ gi(j, \tau )Hl(j; \tau , \theta ) + gl(j, \theta )Hi(j; \tau , \theta )
\Bigr]
+
+\gamma N - 1
N\sum
j=1
\Bigl[
\psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) - \bfE \psi \prime \bigl( G(\xi j)\bigr) \Bigr] gi(j, \theta )gl(j, \theta ) + \widetilde J ilN (\theta ) =
= 6G
il(\tau ) + 7G
il(\tau ) + 8G
il + \widetilde J ilN (\theta ).
За умовами B4, C1(iii) та (3.3)\bigm| \bigm| \bigm| 6Gil(\tau )\bigm| \bigm| \bigm| \leq \gamma Lk(i)k(l)\| k\| \| \tau - \theta \| . (3.9)
Крiм того, аналогiчно (3.6)\bigm| \bigm| \bigm| 7Gil(\tau )\bigm| \bigm| \bigm| \leq \gamma k\psi \prime
\Bigl(
k(i)
\bigm\| \bigm\| kl\bigm\| \bigm\| + k(l)\| ki\|
\Bigr)
\| \tau - \theta \| , (3.10)
де ki =
\bigl(
k(i, 1), . . . , k(i, q)
\bigr)
, i = 1, q.
Нарештi, за формулами (2.14) та (2.15) отримуємо
\bfE
\Bigl(
8G
il
\Bigr) 2
\leq \gamma 2k2(i)k2(l)\bfD \psi \prime \bigl( G(\xi 0)\bigr) N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = O(N - \alpha ),
звiдки випливає, що \bigm| \bigm| \bigm| 8Gil\bigm| \bigm| \bigm| P\rightarrow 0, N \rightarrow \infty . (3.11)
Iз спiввiдношень (3.9) – (3.11) знаходимо\bigm| \bigm| \bigm| 1Gil(\tau ) - \widetilde J ilN (\theta )\bigm| \bigm| \bigm| \leq \gamma
\bigl(
Lk(i)k(l)
\bigm\| \bigm\| k\bigm\| \bigm\| + k\psi \prime
\bigl(
k(i)\| kl\| + k(l)\| ki\|
\bigr) \bigr)
\| \tau - \theta \| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| 8Gil\bigm| \bigm| \bigm| = K
(1)
il \| \tau - \theta \| +
\bigm| \bigm| \bigm| 8Gil\bigm| \bigm| \bigm| . (3.12)
З огляду на властивiсть власних чисел суми двох симетричних матриць (див. [34, с. 101 –
103]) записуємо \bigm| \bigm| \bigm| \lambda min(GN (\tau )) - \lambda min( \widetilde JN (\theta ))\bigm| \bigm| \bigm| \leq q \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i,l\leq q
\bigm| \bigm| \bigm| GilN (\tau ) - \widetilde J ilN (\theta )\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq q
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i,l\leq q
\bigm| \bigm| \bigm| 1Gil(\tau ) - \widetilde J ilN (\theta )\bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i,l\leq q
\bigm| \bigm| \bigm| 2Gil(\tau )\bigm| \bigm| \bigm| \biggr) . (3.13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
46 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
Нехай r = \widetilde \lambda \ast \big/ 4q, де \widetilde \lambda \ast — число з умови B3. Якщо вiдбувається подiя
\Omega r =
\biggl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
1\leq i,l\leq q
\Bigl( \bigm| \bigm| \bigm| 5Gil\bigm| \bigm| \bigm| + \bigm| \bigm| \bigm| 8Gil\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr) < r, \| \^\theta N - \theta \| \leq r
R
\biggr\}
,
де R = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}1\leq i,l\leq q
\Bigl(
K
(1)
il +K
(2)
il
\Bigr)
, K
(1)
il та K(2)
il — сталi з формул (3.12) та (3.8) вiдповiдно, то
з (3.13) випливає, що
\mathrm{P} (\Omega r) \leq \mathrm{P}
\Bigl\{ \bigm| \bigm| \bigm| \lambda min(G(\^\theta N )) - \lambda min( \widetilde JN (\theta ))\bigm| \bigm| \bigm| \leq 4qr
\Bigr\}
\leq
\leq \mathrm{P}
\Biggl\{
\lambda min(G(\^\theta N )) - \lambda min( \widetilde JN (\theta )) \geq -
\widetilde \lambda \ast
2
\Biggr\}
\leq \mathrm{P}
\Biggl\{
\lambda min(G(\^\theta N )) \geq
\widetilde \lambda \ast
2
\Biggr\}
для N > N0 згiдно з умовою B3. Для довiльного \varepsilon > 0 та N > N0 внаслiдок (3.8), (3.12)
та умови D2 виконується \mathrm{P}(\Omega r) < \varepsilon . Таким чином, \mathrm{P}\{ \Omega r\} \geq 1 - \varepsilon для N > N0. Це означає,
що \^\theta N є єдиним розв’язком системи рiвнянь (3.1) з iмовiрнiстю не меншою за 1 - \varepsilon , оскiльки
матриця Гессе GN (\tau ) функцiонала \gamma SN (\tau ) є додатно визначеною матрицею в деякому околi
точки \theta з iмовiрнiстю, що прямує до одиницi при N \rightarrow \infty .
Теорему 3.1 доведено.
4. Консистентнiсть \bfitM -оцiнок. Знайдемо достатнi умови виконання умови D2, тобто слаб-
кої консистентностi M -оцiнок параметрiв моделi (1.1). Введемо такi припущення:
C4) функцiя \rho (x) \geq 0, x \in \BbbR , \rho (0) = 0 та задовольняє умову Лiпшиця: для довiльних
x, y \in \BbbR та деякої сталої C\rho : | \rho (x) - \rho (y)| \leq C\rho | x - y| :
C5) для будь-якого r > 0 iснує таке \Delta (r) > 0, що
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in Uc(\theta )\setminus v(r)
N - 1\bfE S\ast
N (u) \geq \bfE \rho (\varepsilon 0) + \Delta (r),
де U c(\theta ) = \Theta c - \theta , S\ast
N (u) = SN (\theta + u);
B5) (i) для будь-якого \varepsilon > 0 iснує таке \delta = \delta (\varepsilon ) > 0, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u1,u2\in Uc(\theta ) : \| u1 - u2\| \leq \delta
N - 1
N\sum
j=1
| g(j, \theta + u1) - g(j, \theta + u2)| < \varepsilon ;
(ii) для будь-якого r > 0 iснує таке \kappa = \kappa (r) > 0, що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in vc(r)
\bigcap
Uc(\theta )
N - 1
N\sum
j=1
(g(j, \theta + u) - g(j, \theta ))2 \leq \kappa (r).
Теорема 4.1. Якщо виконано умови A1, A2, B5, C4 та C5, то для будь-якого r > 0
\mathrm{P}
\Bigl\{ \bigm\| \bigm\| \bigm\| \^\theta N - \theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \geq r
\Bigr\}
= O(N - \alpha ), N \rightarrow \infty ,
де \alpha задано формулою (2.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 47
Доведення. Позначимо
\delta N (\theta , u) = S\ast
N (u) - \bfE S\ast
N (u), \delta N (\theta , 0) = S\ast
N (0) - \bfE S\ast
N (0) =
N\sum
j=1
\rho (\varepsilon j) - N\bfE \rho (\varepsilon 0).
За означенням M -оцiнки маємо
SN (\^\theta T ) = S\ast
N (
\^\theta N - \theta ) = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
u\in Uc(\theta )
S\ast
N (u),
S\ast
N (
\^\theta T - \theta ) \leq S\ast
N (0) = \delta N (\theta , 0) +N\bfE \rho (\varepsilon 0) м. н.
Нехай r0 > 0 — таке число, що \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\tau \in \Theta c \| \tau - \theta \| \leq r0. За умови C5 для будь-яких r \in (0, r0)
та \gamma \prime \in (0, 1)
\mathrm{P}
\Bigl(
r \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^\theta N - \theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq r0
\Bigr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\Bigl( \Bigl\{
r \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^\theta N - \theta
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq r0
\Bigr\} \bigcap \Bigl\{
S\ast
N
\Bigl(
\^\theta T - \theta
\Bigr)
\leq \delta N (\theta , 0) +N\bfE \rho (\varepsilon 0)
\Bigr\} \Bigr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in (vc(r0)\setminus v(r))\cap Uc(\theta )
N - 1S\ast
N (u) \leq N - 1\delta N (\theta , 0) +\bfE \rho (\varepsilon 0)
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in (vc(r0)\setminus v(r))\cap Uc(\theta )
N - 1S\ast
N (u) \leq
\leq N - 1\delta N (\theta , 0) + \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in (vc(r0)\setminus v(r))\cap Uc(\theta )
N - 1\bfE S\ast
N (u) - \Delta (r)
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\bigl(
N - 1\delta N (\theta , 0) \geq (1 - \gamma \prime )\Delta (r)
\bigr)
+
+\mathrm{P}
\biggl(
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
u\in (vc(r0)\setminus v(r))\cap Uc(\theta )
N - 1\delta N (\theta , u) \leq - \gamma \prime \Delta (r)
\biggr)
\leq
\leq \mathrm{P}
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in vc(r0)
\bigcap
Uc(\theta )
N - 1 | \delta N (\theta , u)| \geq \gamma \prime \Delta (r)
\Biggr)
+
+\mathrm{P}
\Bigl(
N - 1\delta N (\theta , 0) \geq (1 - \gamma \prime )\Delta (r)
\Bigr)
= \mathrm{P}1+\mathrm{P}2 .
Оцiнимо ймовiрнiсть \mathrm{P}1 . Нехай F (1), . . . , F (p) \subset vc(r0) — замкненi множини, дiаметри
яких не перевищують значення \delta з умови B5(i) для r = r0 та \varepsilon = \nu \Delta (r)\gamma \prime / (2C\rho ) , \nu \in (0, 1) —
деяке число, причому
p\bigcup
i=1
F (i) = vc(r0).
Зафiксуємо точки ui \in F (i)
\bigcap
U c(\theta ), i = 1, p. Тодi
\mathrm{P}1 = \mathrm{P}
\left( \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in
p\bigcup
i=1
(F (i)\cap Uc(\theta ))
N - 1 | \delta N (\theta , u)| \geq \gamma \prime \Delta (r)
\right) =
= \mathrm{P}
\Biggl(
p\bigcup
i=1
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in F (i)\cap Uc(\theta )
N - 1 | \delta N (\theta , u)| \geq \gamma \prime \Delta (r)
\Biggr) \Biggr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
48 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
\leq
p\sum
i=1
\mathrm{P}
\Biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\prime ,u\prime \prime \in F (i)\cap Uc(\theta )
N - 1
\bigm| \bigm| \delta N (\theta , u\prime ) - \delta N (\theta , u
\prime \prime )
\bigm| \bigm| +N - 1 | \delta N (\theta , ui)| \geq \gamma \prime \Delta (r)
\Biggr)
.
Використовуючи умову C4, маємо\bigm| \bigm| \delta N (\theta , u\prime ) - \delta N (\theta , u
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| S\ast
N (u
\prime ) - S\ast
N (u
\prime \prime )
\bigm| \bigm| +\bfE
\bigm| \bigm| S\ast
N (u
\prime ) - S\ast
N (u
\prime \prime )
\bigm| \bigm| \leq
\leq
N\sum
j=1
\bigm| \bigm| \rho \bigl( Xj - g(j, \theta + u\prime )
\bigr)
- \rho
\bigl(
Xj - g(j, \theta + u\prime \prime )
\bigr) \bigm| \bigm| +
+\bfE
N\sum
j=1
\bigm| \bigm| \rho \bigl( Xj - g(j, \theta + u\prime )
\bigr)
- \rho
\bigl(
Xj - g(j, \theta + u\prime \prime )
\bigr) \bigm| \bigm| \leq
\leq 2C\rho
N\sum
j=1
\bigm| \bigm| g(j, \theta + u\prime ) - g(j, \theta + u\prime \prime )
\bigm| \bigm| .
Таким чином, беручи до уваги умову B5(i), отримуємо
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\prime ,u\prime \prime \in F (i)
\bigcap
Uc(\theta )
2N - 1C\rho
N\sum
j=1
\bigm| \bigm| g(j, \theta + u\prime ) - g(j, \theta + u\prime \prime )
\bigm| \bigm| \leq 2C\rho \varepsilon = \nu \gamma \prime \Delta (r).
Тому
\mathrm{P}1 \leq
p\sum
i=1
\mathrm{P}
\bigl(
N - 1 | \delta N (\theta , ui)| \geq (1 - \nu )\gamma \prime \Delta (r)
\bigr)
. (4.1)
Оцiнимо кожен iз доданкiв останньої суми окремо:
\mathrm{P}
\bigl(
N - 1 | \delta N (\theta , ui)| \geq (1 - \nu )\gamma \prime \Delta (r)
\bigr)
\leq
N - 2\bfE \delta 2N (\theta , ui)
((1 - \nu )\gamma \prime \Delta (r))2
,
де \delta N (\theta , ui) = S\ast
N (ui) - \bfE S\ast
N (ui) =
\sum N
j=1
\rho (Xj - g(j, \theta + ui)) -
\sum N
j=1
\bfE \rho (Xj - g(j, \theta + ui)) .
Позначимо \Delta g(j, \theta + ui) = g(j, \theta + ui) - g(j, \theta ) та
\rho (Xj - g(j, \theta + ui)) = \rho (\varepsilon j - \Delta g(j, \theta + ui)) = Z(\varepsilon j) = Z
\bigl(
G(\xi j)
\bigr)
.
Тодi
\bfE \delta 2N (\theta , ui) =
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfE Z(\varepsilon j)Z(\varepsilon l) -
\left( N\sum
j=1
\bfE Z(\varepsilon j)
\right) 2
=
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (Z(\varepsilon j), Z(\varepsilon l)) .
Оскiльки при кожному фiксованому j \in 1, N
\bfE Z2(\varepsilon j) = \bfE (\rho (G(\xi j) - \Delta g(j, \theta + ui)))
2 =
= \bfE | \rho (G(\xi j) - \Delta g(j, \theta + ui)) - \rho (0)| 2 \leq C2
\rho \bfE | G(\xi j) - \Delta g(j, \theta + ui)| 2 \leq
\leq 2C2
\rho
\bigl(
\bfE G2(\xi 0 +\Delta 2g(j, \theta + ui)
\bigr)
<\infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 49
то функцiю Z(G(\cdot )) можна розкласти у гiльбертовому просторi L2(\BbbR , \varphi (x)dx) у ряд за полi-
номами Чебишова – Ермiта (2.1), причому
Z(G(x)) = \rho (G(x) - \Delta g(j, \theta + ui)) =
\infty \sum
n=0
Cn(j, ui)
n!
Hn(x),
Cn(j, ui) =
\int
\BbbR
\rho (G(x) - \Delta g(j, \theta + ui))Hn(x)\varphi (x)dx, n \geq 0, C0(j, ui) = \bfE Z(\varepsilon 0).
Аналогiчно (2.14)
\bfc \bfo \bfv (Z(\varepsilon j), Z(\varepsilon l)) =
\infty \sum
n=1
Cn(j, ui)Cn(l, ui)
n!
Bn(j - l) \leq
\leq
\infty \sum
n=1
C2
n(j, ui)
n!
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \leq \bfE Z2(\varepsilon 0)
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| . (4.2)
Тодi при N \rightarrow \infty
N - 2\bfE \delta 2N (\theta , ui) =
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (Z(\varepsilon j), Z(\varepsilon l)) \leq N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfE Z2(\varepsilon 0)
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \leq
\leq 2C2
\rho N
- 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigl(
\bfE G2(\xi 0) + \Delta 2g(j, \theta + ui)
\bigr) \bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \leq
\leq 2C2
\rho N
- 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| + 2C2
\rho N
- 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\Delta 2g(j, \theta + ui)
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = S1 + S2.
З (2.15) випливає, що S1 = O(N - \alpha ).
Оцiнимо суму S2, використавши умову B5(ii):
S2 = 2C2
\rho N
- 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\Delta 2g(j, \theta + ui)
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| =
= 2C2
\rho N
- 1
N\sum
j=1
\Delta 2g(j, \theta + ui)
\Biggl(
N - 1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| \Biggr) \leq
\leq 2C2
\rho N
- 1\kappa (r0)
N\sum
l= - N
| B(l)| \leq 4C2
\rho \kappa (r0)N
- 1
N\sum
l=0
| B(l)| .
Оскiльки за аналогiчних (2.15) мiркувань
N - 1
N\sum
l=0
| B(l)| \leq N - 1 +
r\sum
k=0
AkN
- \alpha k
\Biggl(
N\sum
l=1
\biggl(
l
N
\biggr) - \alpha k 1
N
\Biggr)
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
50 О. В. IВАНОВ, I. В. ОРЛОВСЬКИЙ
\leq N - 1 +
r\sum
k=0
AkN
- \alpha k
1 - \alpha k
= O(N - \alpha ),
то N - 2\bfE \delta 2N (\theta , ui) = O(N - \alpha ). Отже,
\mathrm{P}
\bigl(
N - 1 | \delta N (\theta , ui)| \geq (1 - \nu )\gamma \prime \Delta (r)
\bigr)
= O(N - \alpha ), i = 1, p. (4.3)
З (4.1) та (4.3) отримуємо \mathrm{P}1 = O(N - \alpha ).
З iншого боку,
\mathrm{P}2 \leq
N - 2\bfE \delta 2N (\theta , 0)
((1 - \gamma \prime )\Delta (r))2
=
\bigl(
(1 - \gamma \prime )\Delta (r)
\bigr) - 2
N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\rho (\varepsilon j), \rho (\varepsilon l)).
Зауважимо, що \bfE \rho 2(\varepsilon j) \leq C2
\rho \bfE | \varepsilon 0| 2 < \infty , тобто функцiю \rho \circ G можна розкласти в ряд
Фур’є за полiномами Чебишова – Ермiта в гiльбертовому просторi L2(\BbbR , \varphi (x)dx):
\rho (G(x)) =
\infty \sum
n=0
Cn
n!
Hn(x), Cn =
\int
\BbbR
\rho (G(x))Hn(x)\varphi (x)dx, n \geq 0.
Таким чином, аналогiчно (4.2)
\bfc \bfo \bfv (\rho (\varepsilon j), \rho (\varepsilon l)) \leq \bfE \rho 2(\varepsilon 0)
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| .
З останньої нерiвностi та (2.15) випливає, що
N - 2\bfE \delta 2N (\theta , 0) = N - 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bfc \bfo \bfv (\rho (\varepsilon j), \rho (\varepsilon l)) \leq
\leq \bfE \rho 2(\varepsilon 0)N
- 2
N\sum
j=1
N\sum
l=1
\bigm| \bigm| B(j - l)
\bigm| \bigm| = O(N - \alpha ).
Отже, \mathrm{P}2 = O(N - \alpha ).
Теорему 4.1 доведено.
Лiтература
1. Koul H. L. M -estimators in linear models with long range dependent errors // Statist. and Probab. Lett. – 1992. –
14. – P. 153 – 164.
2. Koul H. L. Asymptotics of M -estimations in non-linear regression with long-range dependence errors // Proc. Athens
Conf. Appl. Probab. and Time Ser. Anal.: Springer Verlag Lect. Notes Statist. – 1996. – II. – P. 272 – 291.
3. Koul H. L., Mukherjee K. Regression quantiles and related processes under long range dependent errors // J. Multivar.
Anal. – 1994. – 51. – P. 318 – 337.
4. Giraitis L., Koul H. L., Surgailis D. Asymptotic normality of regression estimators with long memory errors // Statist.
and Probab. Lett. – 1996. – 29. – P. 317 – 335.
5. Koul H. L., Surgailis D. Asymptotic expansion of M -estimators with long memory errors // Ann. Statist. – 1997. –
25. – P. 818 – 850.
6. Koul H. L., Surgailis D. Second order behavior of M -estimators in linear regression with long-memory errors // J.
Statist. Planning and Inference. – 2000. – 91. – P. 399 – 412.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI M -ОЦIНОК ПАРАМЕТРIВ НЕЛIНIЙНОЇ РЕГРЕСIЇ . . . 51
7. Koul H. L., Surgailis D. Robust estimators in regression models with long memory errors // Theory and Appl. Long-
Range Dependence / Eds P. Doukhan, G. Oppenheim and M. S. Taqqu. – Boston: Birkhäuser, 2003. – P. 339 – 353.
8. Giraitis L., Koul H. L. Estimation of the dependence parameter in linear regression with long-range dependent errors //
Statist. and Probab. Lett. – 1996. – 29. – P. 317 – 335.
9. Koul H. L., Baillie R. T., Surgailis D. Regression model fitting with a long memory covariance process // Econ.
Theory. – 2004. – 20. – P. 485 – 512.
10. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Asymptotic behavior of M -estimators in continuous-time non-linear regression with
long-range dependent errors // Random Oper. and Stochast. Equat. – 2002. – 10, № 3. – P. 201 – 222.
11. Ivanov A. V., Leonenko N. N. Robust estimators in nonlinear regression models with long-range dependence // Optimal
Design and Related Areas in Optimization and Statistics / Eds L. Pronzato and A. Zhigljavsky. – Berlin: Springer,
2009. – P. 193 – 221.
12. Ivanov A. V. Asymptotic properties of Lp -estimators // Theory Stochast. Process. – 2008. – 14(30), № 1. – P. 60 – 68.
13. Ivanov A. V., Orlovsky I. V. Lp -estimates in nonlinear regression with long-range dependence // Theory Stochast.
Process. – 2002. – 7(23), № 3-4. – P. 38 – 49.
14. Iванов О. В., Орловський I. В. Конзистентнiсть M -оцiнок у нелiнiйних моделях регресiї з неперервним часом //
Наук. вiстi НТУ України „КПI”. – 2005. – № 4(42). – С. 140 – 147.
15. Iванов О. В., Орловський I. В. Про єдинiсть M -оцiнок параметрiв нелiнiйних моделей регресiї // Наук. вiстi
НТУ України „КПI”. – 2009. – № 4(46). – С. 135 – 141.
16. Iванов О. В., Орловський I. В. Асимптотичнi властивостi M -оцiнок параметрiв нелiнiйної регресiї з випадковим
шумом, що має сингулярний спектр // Теорiя ймовiрностей та мат. статистика. – 2015. – Вип. 93. – С. 34 – 49.
17. Савич I. М. Конзистентнiсть квантильних оцiнок у моделях регресiї з сильно залежним шумом // Теорiя
ймовiрностей та мат. статистика. – 2010. – Вип. 82. – С. 128 – 136.
18. Orlovsky I. V. M -estimates in nonlinear regression with weak dependence // Theory Stochast. Process. – 2003. –
9(25), № 1-2. – P. 108 – 122.
19. Ivanov A. V., Orlovsky I. V. Consistency of M -estimates in general nonlinear model // Theory Stochast. Process. –
2007. – 13(29), № 1-2. – P. 86 – 97.
20. Ivanov A. V., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D., Savych I. N. Limit theorems for weighted non-linear transformations
of Gaussian processes with singular spectra // Ann. Probab. – 2013. – 41, № 2. – P. 1088 – 1114.
21. Гончаренко Ю. В., Ляшко С. И. Теорема Брауэра. – Киев: Кий, 2000.
22. Anh V. V., Knopova V. P., Leonenko N. N. Continuous-time stochastic processes with cyclical long-range dependence //
Aust. NZ J. Statist. – 2004. – 46. – P. 275 – 296.
23. Ivanov A. V., Leonenko N. N., Ruiz-Medina M. D., Zhurakovsky B. M. Estimation of harmonic component in regression
with cyclically dependent errors // Statist.: J. Theor. and Appl. Statist. – 2015. – 49, № 1. – P. 156 – 186.
24. Хеннан Э. Многомерные временные ряды. – М.: Мир, 1974.
25. Pfanzagl J. On the measurability and consistency of minimum contrast estimates // Metrika. – 1969. – 14. – P. 249 –
272.
26. Шметтерер Л. Введение в математическую статистику. – М.: Наука, 1976.
27. Jennrich R. I. Asymptotic properties of non-linear least squares estimators // Ann. Math. Statist. – 1969. – 40. –
P. 633 – 643.
28. Grenander U. On the estimation of regression coefficients in the case of an autocorrelated disturbance // Ann. Statist. –
1954. – 25, № 2. – P. 252 – 272.
29. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. – М.: Наука, 1970.
30. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977.
31. Iванов О. В., Савич I. М. \mu -Припустимiсть спектральної щiльностi сильно залежного випадкового шуму в
нелiнiйних моделях регресiї // Наук. вiстi НТУ України „КПI”. – 2009. – № 1. – С. 143 – 148.
32. Леоненко Н. Н., Иванов А. В. Статистический анализ случайных полей. – Киев: Вища шк., 1986.
33. Бхаттачария Р. Н., Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложе-
ния. – М.: Наука, 1982.
34. Wilkinson J. H. The algebraic eigen value problem. – Oxford: Clarendon Press, 1982.
Одержано 04.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1674 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:21Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/8b9c34f669841e8fd22414117d552c02.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16742019-12-05T09:23:35Z Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear regression model with discrete time and singular spectrum Асимптотичні властивості $M$-оцінок параметрів нелінійної регресії з дискретним часом та сингулярним спектром Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. We study a nonlinear regression model with discrete time and observations errors whose spectrum is singular. Sufficient conditions are obtained for the consistency, asymptotic uniqueness and asymptotic normality of the $M$-estimates of the unknown parameters. Получены достаточные условия состоятельности, асимптотической единственности и асимптотической нормальности $M$-оценок неизвестных параметров нелинейных моделей регрессии с дискретным временем и ошибками наблюдений, имеющих сингулярный спектр. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1674 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 28-51 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 28-51 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1674/656 Copyright (c) 2017 Ivanov O. V.; Orlovs’kyi I. V. |
| spellingShingle | Ivanov, O. V. Orlovs’kyi, I. V. Іванов, О. В. Орловський, І. В. Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear regression model with discrete time and singular spectrum |
| title | Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| title_alt | Асимптотичні властивості $M$-оцінок параметрів нелінійної регресії з дискретним часом та сингулярним спектром |
| title_full | Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| title_fullStr | Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| title_full_unstemmed | Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| title_short | Asymptotic properties of $M$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| title_sort | asymptotic properties of $m$-estimates of parameters in a nonlinear
regression model with discrete time and singular spectrum |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1674 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovov asymptoticpropertiesofmestimatesofparametersinanonlinearregressionmodelwithdiscretetimeandsingularspectrum AT orlovskyiiv asymptoticpropertiesofmestimatesofparametersinanonlinearregressionmodelwithdiscretetimeandsingularspectrum AT ívanovov asymptoticpropertiesofmestimatesofparametersinanonlinearregressionmodelwithdiscretetimeandsingularspectrum AT orlovsʹkijív asymptoticpropertiesofmestimatesofparametersinanonlinearregressionmodelwithdiscretetimeandsingularspectrum AT ivanovov asimptotičnívlastivostímocínokparametrívnelíníjnoíregresíízdiskretnimčasomtasingulârnimspektrom AT orlovskyiiv asimptotičnívlastivostímocínokparametrívnelíníjnoíregresíízdiskretnimčasomtasingulârnimspektrom AT ívanovov asimptotičnívlastivostímocínokparametrívnelíníjnoíregresíízdiskretnimčasomtasingulârnimspektrom AT orlovsʹkijív asimptotičnívlastivostímocínokparametrívnelíníjnoíregresíízdiskretnimčasomtasingulârnimspektrom |