Darboux problem for the generalized Euler – Poisson – Darboux equation
In the article Euler – Poisson – Darboux equation was considered in the characteristic triangle and Darboux problem was investigated. The solution of the problem was found by Riemann’s method. Theorems on the existence and uniqueness of the solution were proved.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1675 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507504838967296 |
|---|---|
| author | Ismoilov, A. I. Mamanazarov, A. O. Urinov, A. K. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. |
| author_facet | Ismoilov, A. I. Mamanazarov, A. O. Urinov, A. K. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. |
| author_sort | Ismoilov, A. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | In the article Euler – Poisson – Darboux equation was considered in the characteristic triangle and Darboux problem was
investigated. The solution of the problem was found by Riemann’s method. Theorems on the existence and uniqueness of
the solution were proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.951.2
А. И. Исмоилов, А. О. Маманазаров, А. К. Уринов (Ферган. гос. ун-т, Узбекистан)
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ
ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ
In the article Euler – Poisson – Darboux equation was considered in the characteristic triangle and Darboux problem was
investigated. The solution of the problem was found by Riemann’s method. Theorems on the existence and uniqueness of
the solution were proved.
Розглянуто узагальнене рiвняння Ейлера – Пуассона – Дарбу в характеристичному трикутнику та дослiджено задачу
Дарбу. Методом Рiмана знайдено формулу для розв’язку задачi i доведено теорему про iснування єдиного розв’язку.
1. Введение. Известно, что многие вырождающиеся дифференциальные уравнения гипербо-
лического типа и уравнения такого типа с сингулярным коэффициентом заменой независимых
переменных приводятся к так называемому уравнению Эйлера – Пуассона – Дарбу
E\alpha ,\beta (u) \equiv u\xi \eta -
\beta
\xi - \eta
u\xi +
\alpha
\xi - \eta
u\eta = 0.
Это уравнение и более общее уравнение E\alpha ,\beta (u) + \gamma (\xi - \eta ) - 2u = 0 первым изучал Эйлер при
\alpha = \beta = m, \gamma = n, m, n \in N [1], а также Дарбу [2], Пуассон [3], Риман [4] и многие другие
исследователи XX века (см., например, [5 – 9]).
Следующим представителем дифференциальных уравнений типа E\alpha ,\beta (u) = 0 является
уравнение
L\gamma
\alpha ,\beta (u) \equiv u\xi \eta +
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
u\xi +
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
u\eta + \gamma u = 0. (1)
Из этого уравнения при \alpha = 0 следует уравнение E\beta ,\beta (u) = 0, а при \alpha = \beta \not = 0 замена t =
\surd
\xi ,
z =
\surd
\eta сводит уравнение L\gamma
\alpha ,\beta (u) = 0 к уравнению E\beta ,\beta (v) = 0, где v(t, z) = u
\bigl( \surd
\xi ,
\surd
\eta
\bigr)
.
Поэтому уравнение L\gamma
\alpha ,\beta (u) = 0 в настоящее время называют обобщенным уравнением Эйле-
ра – Пуассона – Дарбу.
В данной статье, рассматривая уравнение (1) в области \Delta = \{ (\xi , \eta ) : 0 < \xi < \eta < 1\} , мы
исследуем следующую задачу.
Задача Дарбу. Найти регулярное в области \Delta решение u(\xi , \eta ) \in C( \=\Delta ) уравнения (1),
удовлетворяющее краевым условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
u(\xi , \eta ) = \tau (\xi ), 0 \leq \xi \leq 1, (2)
u(0, \eta ) = \psi 1(\eta ), 0 \leq \eta \leq 1, (3)
где \tau (\xi ) и \psi 1(\eta ) — заданные непрерывные функции, причем выполняется условие согласования
\tau (0) = \psi 1(0).
Задача Дарбу для уравнения E\alpha ,\beta (u) = 0 при 0 < \alpha = \beta <
1
2
изучена Геллерстедтом
[5]. Им построена функция Римана – Адамара этой задачи, что дало возможность ее решения
c\bigcirc А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ, 2017
52 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 53
записать в явном виде. В работе [10], где рассматривалось уравнение E\alpha ,\beta (u) = 0 при 0 < \alpha ,
\beta , \alpha + \beta < 1, построена функция Римана – Адамара задачи Дарбу, методом Римана найдена
формула решения этой задачи, а также доказана теорема существования решения задачи. Задача
Дарбу для уравнения ( - y)muxx - xmuyy = 0, где x > 0, y < 0, m > 0, в характеристическом
треугольнике исследована в [11], построена функция Римана – Адамара, найдена формула для
решения и доказано существование единственного решения. В [13, 14] формально получена
формула решения задачи Дарбу для уравнения
uxx - uyy + (2p/x)ux - (2q/y)uy + \lambda 2u = 0 (4)
при \psi 1(\eta ) \equiv 0, но эта формула не исследована, т. е. не доказана теорема существования
решения задачи с указанием гладкости функции \tau (\xi ).
В настоящей статье методом Римана найдена формула решения задачи Дарбу для уравнения
L\gamma
\alpha ,\beta (u) = 0 при 0 < \alpha \leq \beta <
1
2
для любого \gamma \in R и доказана теорема о существовании
единственного решения.
2. Исследование задачи Дарбу {(1), (2), (3)}. Эту задачу будем решать методом Римана.
При этом существенно используем так называемую функцию Римана – Адамара W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ),
которая удовлетворяет следующим условиям:
10) по переменным \xi 0, \eta 0 она удовлетворяет уравнению (1), а по переменным \xi , \eta —
сопряженному уравнению
M\gamma
\alpha ,\beta (W ) \equiv W\xi \eta -
\partial
\partial \xi
\biggl[ \biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr]
- \partial
\partial \eta
\biggl[ \biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr]
+ \gamma W = 0;
20) W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W = 0 при \eta = \eta 0, W\eta -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
W = 0 при \xi = \xi 0;
30) W (\xi 0, \eta 0; \xi 0, \eta 0; \gamma ) = 1;
40) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) = 0;
50) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\Biggl\{ \biggl[
W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0+\varepsilon
-
\biggl[
W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0 - \varepsilon
\Biggr\}
= 0,
\varepsilon > 0.
Используя функции Римана и Грина – Адамара, построенные М. Капилевичем в работе [13]
для уравнения (4), нетрудно убедиться, что функция W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) со свойствами 10 – 50
существует и определяется равенством
W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) =
\Biggl\{
R1 (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) при \eta > \xi 0,
R2 (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) при \eta < \xi 0,
(5)
где
R1 (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) =
\biggl(
\eta + \xi
\eta 0 + \xi 0
\biggr) \alpha \biggl( \eta - \xi
\eta 0 - \xi 0
\biggr) \beta
\times
\times
+\infty \sum
k=0
\sigma k3
(k!)2
+\infty \sum
m=0
(\alpha )m(1 - \alpha )m
m!(1 + k)m
\sigma m1 F (\beta , 1 - \beta ; 1 + k +m;\sigma 2) , (6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
54 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
R2(\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) = \chi
\biggl(
\eta + \xi
\eta 0 + \xi 0
\biggr) \alpha (\eta - \xi )2\beta \sigma 2\beta - 1
2
[(\xi 0 - \xi )(\eta 0 - \eta )]\beta
+\infty \sum
k=0
\sigma k3
k!(\beta )k
\times
\times
+\infty \sum
m=0
(\alpha )m(1 - \alpha )m
m!(\beta + k)m
\sigma m1 F
\biggl(
1 - \beta - k - m; 1 - \beta ; 2 - 2\beta ;
1
\sigma 2
\biggr)
, (7)
\sigma 1 = - (\xi - \xi 0)(\eta - \eta 0)
(\eta + \xi )(\eta 0 + \xi 0)
, \sigma 2 =
(\xi - \xi 0)(\eta - \eta 0)
(\eta - \xi )(\eta 0 - \xi 0)
,
\sigma 3 = - \gamma (\xi - \xi 0)(\eta - \eta 0), \chi = \Gamma (1 - \beta )/[\Gamma (\beta )\Gamma (2 - 2\beta )],
(z)n = z(z + 1) . . . (z + n - 1) = \Gamma (z + n)/\Gamma (z) — символ Похгаммера,
F (a, b; c;x) =
\infty \sum
n=0
(a)n(b)n
(c)nn!
xn
— гипергеометрическая функция Гаусса; \Gamma (z) — гамма-функция Эйлера [14].
Пусть u(\xi , \eta ) — решение задачи Дарбу для уравнения (1), а P (\xi 0, \eta 0) — произвольная точка
области \Delta . Найдем u(\xi 0, \eta 0).
В треугольнике O\prime A\prime B\prime , ограниченном отрезками O\prime A\prime , A\prime B\prime , O\prime B\prime прямых \eta = \xi + \varepsilon ,
\eta = \xi 0 - \varepsilon , \xi = 0 соответственно, и в прямоугольнике B\prime \prime A\prime \prime P \prime \prime P \prime , ограниченном отрезками
B\prime \prime A\prime \prime , A\prime \prime P \prime \prime , P \prime \prime P \prime , P \prime B\prime \prime прямых \eta = \xi 0 + \varepsilon , \xi = \xi 0 - 2\varepsilon , \eta = \eta 0, \xi = 0 соответственно,
справедливо тождество
2
\Bigl[
WL\gamma
\alpha ,\beta (u) - uM\gamma
\alpha ,\beta (W )
\Bigr]
\equiv \partial
\partial \eta
\biggl[
Wu\xi - uW\xi +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
- 2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr]
+
+
\partial
\partial \xi
\biggl[
Wu\eta - uW\eta +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
+
2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr]
\equiv 0,
где \varepsilon — достаточно малое положительное число.
Интегрируя это тождество по треугольнику O\prime A\prime B\prime и прямоугольнику B\prime \prime A\prime \prime P \prime \prime P \prime , а затем
применяя формулу Грина к полученным интегралам, получаем\left( \int
\partial O\prime A\prime B\prime
+
\int
\partial B\prime \prime A\prime \prime P \prime \prime P \prime
\right) \biggl[
Wu\eta - uW\eta +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
+
2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr]
d\eta -
-
\biggl[
Wu\xi - uW\xi +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
- 2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr]
d\xi = 0.
Вычисляя интегралы по контурам \partial O\prime A\prime B\prime и \partial B\prime \prime A\prime \prime P \prime \prime P \prime , имеем
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\biggl[
W (u\eta - u\xi ) + u
\biggl(
W\xi - W\eta +
4\beta
\eta - \xi
W
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi +\varepsilon
d\xi +
+
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\biggl[
Wu\xi - uW\xi +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
- 2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0 - \varepsilon
d\xi +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 55
+
\xi 0 - \varepsilon \int
0
\biggl[
uW\eta - Wu\eta -
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
+
2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =0
d\eta -
-
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\biggl[
Wu\xi - uW\xi +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
- 2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0+\varepsilon
d\xi +
+
\eta 0\int
\xi 0+\varepsilon
\biggl[
Wu\eta - uW\eta +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
+
2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =\xi 0 - 2\varepsilon
d\eta +
+
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\biggl[
Wu\xi - uW\xi +
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
- 2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\eta 0
d\xi +
+
\eta 0\int
\xi 0+\varepsilon
\biggl[
uW\eta - Wu\eta -
\biggl(
2\alpha
\eta + \xi
+
2\beta
\eta - \xi
\biggr)
uW
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =0
d\eta = 0.
Отсюда, применяя формулу интегрирования по частям к первым слагаемым выражений, стоя-
щих под интегралами (кроме первого), находим
u (\xi 0 - 2\varepsilon , \eta 0)W (\xi 0 - 2\varepsilon , \eta 0; \xi 0, \eta 0; \gamma ) = u (\xi 0 - 2\varepsilon , \xi 0 + \varepsilon )W (\xi 0 - 2\varepsilon , \xi 0 + \varepsilon ; \xi 0, \eta 0; \gamma )+
+
1
2
u(0, \varepsilon )W (0, \varepsilon ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) -
1
2
u (\xi 0 - 2\varepsilon , \xi 0 - \varepsilon )W (\xi 0 - 2\varepsilon , \xi 0 - \varepsilon ; \xi 0, \eta 0; \gamma )+
+
\eta 0\int
\xi 0+\varepsilon
u
\biggl[
W\eta -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =\xi 0 - 2\varepsilon
d\eta +
+
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
u
\biggl[
W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\eta 0
d\xi -
-
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\Biggl\{
u
\biggl[
W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0+\varepsilon
-
- u
\biggl[
W\xi -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi 0 - \varepsilon
\Biggr\}
d\xi +
+
1
2
\xi 0 - 2\varepsilon \int
0
\biggl[
W (u\xi - u\eta ) + u
\biggl(
W\eta - W\xi -
4\beta
\eta - \xi
W
\biggr) \biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi +\varepsilon
d\xi +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
56 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
+
\left( \xi 0 - \varepsilon \int
0
+
\eta 0\int
\xi 0+\varepsilon
\right) W
\biggl[
u\eta +
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
u
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =0
d\eta . (8)
Исследуем выражения, содержащиеся в равенстве (8), при \varepsilon \rightarrow 0. При этом в силу свой-
ства 30 функции W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) левая часть равенства (8) стремится к u(\xi 0, \eta 0). На основании
свойств 40, 20 и 50 функции W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) соответственно первое — шестое слагаемые
в правой части равенства (8) стремятся к нулю. Кроме того, в силу свойства 40 функции
W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma )
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
W (u\xi - u\eta )
\bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi +\varepsilon
= 0.
Далее, используя краевое условие (2) и разложение (7) функции R2(\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ), нетрудно
доказать, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
u
\biggl(
W\eta - W\xi -
4\beta
\eta - \xi
W
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\eta =\xi +\varepsilon
=
= (1 - 2\beta )\chi (\eta - \xi )1 - 2\beta
\biggl(
2\xi
\xi 0 + \eta 0
\biggr) \alpha \tau (\xi )\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ;\sigma 1, \sigma 3)| \eta =\xi
[(\xi 0 - \xi ) (\eta 0 - \xi )]1 - \beta
,
где \Xi 2(a, b; c;x, y) — гипергеометрическая функция Гумберта [14]:
\Xi 2(a, b, c;x, y) =
\infty \sum
m,n=0
(a)m(b)m
(c)m+nm!n!
xmyn, | x| < 1.
Наконец, в силу краевого условия (3) восьмое слагаемое в правой части равенства (8) стремит-
ся к
\eta 0\int
0
\biggl[
\psi \prime
1(\eta ) +
\alpha + \beta
\eta
\psi 1(\eta )
\biggr]
W (0, \eta ; \xi 0, \eta 0,; \gamma ) d\eta .
Теперь из равенства (8), переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 и учитывая доказанное выше, получаем
формулу для решения задачи Коши – Гурса {(1), (2), (3)}:
u(\xi 0, \eta 0) = (1 - 2\beta )(\eta 0 - \xi 0)
1 - 2\beta
\xi 0\int
0
\biggl(
2\xi
\eta 0 + \xi 0
\biggr) \alpha \tau (\xi )
[(\xi 0 - \xi )(\eta 0 - \xi )]1 - \beta
\times
\times \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ;\sigma 1, \sigma 3)| \eta =\xi d\xi +
\eta 0\int
0
\biggl[
\psi \prime
1(\eta ) +
\alpha + \beta
\eta
\psi 1(\eta )
\biggr]
W (0, \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma )d\eta . (9)
Из самого способа получения формулы (9) следует, что если задача Дарбу {(1), (2), (3)} имеет
решение, то оно единственно.
Теорема 1. Если \tau (\xi ) принадлежит C[0, 1] и удовлетворяет условию Гельдера с показате-
лем \delta > 1 - \beta на [0, 1), то функция
I(\xi , \eta ) = \~\chi
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha (\eta - \xi )1 - 2\beta \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 57
где y1 = - (\xi - t)(\eta - t)/[2t(\xi + \eta )], y2 = - \gamma (\xi - t)(\eta - t), \~\chi = (1 - 2\beta )\chi , удовлетворяет
уравнению (1) и краевым условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
I(\xi , \eta ) = \tau (\xi ), 0 \leq \xi \leq 1, (10)
I(0, \eta ) = 0, 0 \leq \eta \leq 1. (11)
При доказательстве теоремы 1 нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Если функция v(\xi , \eta ) удовлетворяет уравнению L\gamma
\alpha ,1 - \beta (u) = 0, то функция
(\eta - \xi )1 - 2\beta v(\xi , \eta ) удовлетворяет уравнению (1).
Эта лемма доказывается непосредственной проверкой.
Лемма 2. Если \tau (\xi ) принадлежит C[0, 1] и удовлетворяет условию Гельдера с показате-
лем \delta > 1 - \beta на [0, 1), то функция
I1(\xi , \eta ) =
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
dt
удовлетворяет уравнению L\gamma
\alpha ,1 - \beta (u) = 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
I\varepsilon 1(\xi , \eta ) =
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
dt,
где \varepsilon — достаточно малое положительное число. Очевидно, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\varepsilon \rightarrow 0 I
\varepsilon
1(\xi , \eta ) = I1(\xi , \eta ).
Непосредственным дифференцированием получаем
\partial
\partial \xi
I\varepsilon 1(\xi , \eta ) = - \alpha
\xi + \eta
I\varepsilon 1(\xi , \eta ) + \tau (\xi - \varepsilon )[\varepsilon (\eta - \xi + \varepsilon )]\beta - 1\times
\times
\biggl(
2\xi - 2\varepsilon
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha , \beta ; y1, y2)| t=\xi - \varepsilon +
+(1 - \beta )
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
(\xi - t)2 - \beta (\eta - t)1 - \beta
dt+
+
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\partial
\partial \xi
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt -
- (1 - \beta )\tau (\xi )
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha
(\xi - t)\beta - 2(\eta - t)\beta - 1dt. (12)
Справедливы следущие равенства:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
58 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
\xi - \varepsilon \int
0
(\beta - 1)t\alpha dt
(\xi - t)2 - \beta (\eta - t)1 - \beta
= -
\xi - \varepsilon \int
0
(\partial /\partial t)(\xi - t)\beta - 1dt
t - \alpha (\eta - t)1 - \beta
=
= - (\xi - \varepsilon )\alpha (\eta - \xi + \varepsilon )\beta - 1\varepsilon \beta - 1+
+
\xi - \varepsilon \int
0
\alpha t\alpha - 1dt
(\xi - t)1 - \beta (\eta - t)1 - \beta
+
\xi - \varepsilon \int
0
(1 - \beta )t\alpha dt
(\xi - t)1 - \beta (\eta - t)2 - \beta
.
Учитывая это, равенство (12) можно записать в виде
\partial
\partial \xi
I\varepsilon 1(\xi , \eta ) = - \alpha
\xi + \eta
I\varepsilon 1(\xi , \eta ) +
\biggl(
2\xi - 2\varepsilon
\xi + \eta
\biggr) \alpha
(\eta - \xi + \varepsilon )\beta - 1\times
\times \varepsilon \beta - 1
\Bigl[
\tau (\xi - \varepsilon )\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)| t=\xi - \varepsilon - \tau (\xi )
\Bigr]
+
+(1 - \beta )
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
(\xi - t)2 - \beta (\eta - t)1 - \beta
dt+
+
\xi - \varepsilon \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\partial
\partial \xi
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt+
+\tau (\xi )
\biggl(
2
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\left[ \alpha \xi - \varepsilon \int
0
t\alpha - 1(\xi - t)\beta - 1(\eta - t)\beta - 1dt +
+(1 - \beta )
\xi - \varepsilon \int
0
t\alpha (\xi - t)\beta - 1(\eta - t)\beta - 2dt
\right] . (13)
Рассмотрим выражение
l = \alpha
\xi \int
0
t\alpha - 1(\xi - t)\beta - 1(\eta - t)\beta - 1dt+ (1 - \beta )
\xi \int
0
t\alpha (\xi - t)\beta - 1(\eta - t)\beta - 2dt.
Заменяя переменную интегрирования по формуле t = \xi s и принимая во внимание интегральное
представление гипергеометрической функции Гаусса [14]
F (a, b; c;x) =
\Gamma (c)
\Gamma (a)\Gamma (c - a)
1\int
0
ta - 1(1 - t)c - a - 1(1 - xt) - bdt,
можно показать, что
l =
\xi \alpha +\beta - 1
\eta 1 - \beta
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (1 + \alpha + \beta )
\biggl[
(\alpha + \beta )F
\biggl(
\alpha , 1 - \beta ;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 59
+ (1 - \beta )
\xi
\eta
F
\biggl(
1 + \alpha , 2 - \beta ; 1 + \alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr) \biggr]
.
Отсюда, используя равенства [14, 15]
cF (a, b; c; z) - cF (a+ 1, b; c; z) + bzF (a+ 1, b+ 1; c+ 1; z) = 0,
F (a, b; c; z) = (1 - z)c - a - bF (c - a, c - b; c; z),
находим
l =
\xi \alpha +\beta - 1\eta 1 - \beta
(\eta - \xi )2 - 2\beta
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (\alpha + \beta )
F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
. (14)
Теперь из (13), переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 и учитывая равенства (14) и
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)| t=\xi - \varepsilon = 1 + \varepsilon O(1),
а также свойства функции \tau (\xi ), получаем равенство
\partial I1(\xi , \eta )
\partial \xi
= - \alpha I1(\xi , \eta )
\eta + \xi
+
+(1 - \beta )
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
(\xi - t)2 - \beta (\eta - t)1 - \beta
dt+
+
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\partial
\partial \xi
\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2) dt+
+
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (\alpha + \beta )
\tau (\xi )
\biggl(
2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\times
\times
\biggl(
\xi
\eta
\biggr) \beta - 1
(\eta - \xi )2\beta - 2F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
. (15)
Аналогично доказывается, что
\partial I1(\xi , \eta )
\partial \eta
= - \alpha I1(\xi , \eta )
\eta + \xi
+
+(1 - \beta )
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
(\xi - t)1 - \beta (\eta - t)2 - \beta
dt+
+
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\partial
\partial \eta
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt -
- (1 - \beta )
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (1 + \alpha + \beta )
\tau (\xi )
\biggl(
2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
60 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
\times
\biggl(
\xi
\eta
\biggr) \beta
(\eta - \xi )2\beta - 2F
\biggl(
\beta , \alpha + 2\beta - 1; 1 + \alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
. (16)
Теперь, принимая во внимание (15), (16) и равенство [15]
c F (a, b+ 1; c; z) - a z F (a+ 1, b+ 1; c+ 1; z) = c F (a, b; c; z), (17)
находим
\partial I1(\xi , \eta )
\partial \xi
- \partial I1(\xi , \eta )
\partial \eta
=
= (1 - \beta )
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha (\eta - \xi ) [\tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)]
[(\xi - t)(\eta - t)]2 - \beta
dt -
-
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\biggl(
\partial
\partial \xi
- \partial
\partial \eta
\biggr)
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt+
+
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (\alpha + \beta )
\tau (\xi )(\eta - \xi )2\beta - 2\times
\times
\biggl(
2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha \biggl( \xi
\eta
\biggr) \beta - 1
F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 2;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
. (18)
Далее, из (15) следует, что
\partial 2I1(\xi , \eta )
\partial \xi \partial \eta
=
\alpha (1 - \alpha )
(\eta + \xi )2
I1(\xi , \eta ) -
\alpha
\eta + \xi
\biggl[
\partial I1(\xi , \eta )
\partial \xi
+
\partial I1(\xi , \eta )
\partial \eta
\biggr]
-
- (1 - \beta )2
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (\xi ) - \tau (t)\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)
[(\xi - t)(\eta - t)]2 - \beta
dt -
-
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\times
\times
\biggl[
1 - \beta
\xi - t
\partial
\partial \eta
+
1 - \beta
\eta - t
\partial
\partial \xi
- \partial 2
\partial \xi \partial \eta
\biggr]
\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2) dt+
+
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (\alpha + \beta )
\tau (\xi )
\biggl(
2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\times
\times \partial
\partial \eta
\Biggl[ \biggl(
\xi
\eta
\biggr) \beta - 1
(\eta - \xi )2\beta - 2F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr) \Biggr]
. (19)
Принимая во внимание (18), (19) и вид функции I1, имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 61
L\gamma
\alpha ,1 - \beta (I1) =
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\times
\times
\biggl[
\partial 2
\partial \xi \partial \eta
- 1 - \beta
\xi - t
\partial
\partial \eta
- 1 - \beta
\eta - t
\partial
\partial \xi
+
1 - \beta
\eta - \xi
\biggl(
\partial
\partial \xi
- \partial
\partial \eta
\biggr)
+
+
\alpha (1 - \alpha )
(\eta + \xi )2
+ \gamma
\biggr]
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt+
+
\Gamma (1 + \alpha )\Gamma (\beta )
\Gamma (\alpha + \beta )
\tau (\xi )
\biggl(
2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha
l1, (20)
где
l1 = (1 - \beta )
\biggl(
\xi
\eta
\biggr) \beta - 1
(\eta - \xi )2\beta - 3F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 2;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
+
+
\partial
\partial \eta
\Biggl[ \biggl(
\xi
\eta
\biggr) \beta - 1
(\eta - \xi )2\beta - 2F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr) \Biggr]
. (21)
Нетрудно убедиться, что
1 - \beta
\eta - \xi
\biggl(
\partial
\partial \xi
- \partial
\partial \eta
\biggr)
= - 1 - \beta
2t(\xi + \eta )
\partial
\partial y1
- (1 - \beta )\gamma
\partial
\partial y2
,
1 - \beta
\xi - t
\partial
\partial \eta
+
1 - \beta
\eta - t
\partial
\partial \xi
= -
\biggl[
1 - \beta
2t(\xi + \eta )
+
1 - \beta
(\eta + \xi )2
\biggr]
\partial
\partial y1
- 2(1 - \beta )\gamma
\partial
\partial y2
,
\partial 2
\partial \xi \partial \eta
=
1
(\xi + \eta )2
\biggl[
y1(y1 - 1)
\partial 2
\partial y21
- y2
\partial 2
\partial y1\partial y2
+ (2y1 - 1)
\partial
\partial y1
\biggr]
+
+( - \gamma )
\biggl[
y2
\partial 2
\partial y22
+ y1
\partial 2
\partial y1\partial y2
+
\partial
\partial y2
\biggr]
.
Тогда \biggl[
\partial 2
\partial \xi \partial \eta
- 1 - \beta
\xi - t
\partial
\partial \eta
- 1 - \beta
\eta - t
\partial
\partial \xi
+
1 - \beta
\eta - \xi
\biggl(
\partial
\partial \xi
- \partial
\partial \eta
\biggr)
+
\alpha (1 - \alpha )
(\eta + \xi )2
+ \gamma
\biggr]
\times
\times \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2) =
= - 1
(\eta + \xi )2
\biggl[
y1(1 - y1)
\partial 2
\partial y21
+ y2
\partial 2
\partial y1\partial y2
+ (\beta - 2y1)
\partial
\partial y1
- \alpha (1 - \alpha )
\biggr]
\times
\times \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha \beta ; y1, y2) - \gamma
\biggl[
y2
\partial 2
\partial y22
+ y1
\partial 2
\partial y1\partial y2
+ \beta
\partial
\partial y2
- 1
\biggr]
\times
\times \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2) = 0, (22)
так как функция \Xi 2(a, b; c;x, y) удовлетворяет системе уравнений [14]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
62 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ\biggl[
x(1 - x)
\partial 2
\partial x2
+ y
\partial 2
\partial x\partial y
+ [c - (a+ b+ 1)x]
\partial
\partial x
- ab
\biggr]
\Xi 2 = 0,
\biggl[
y
\partial 2
\partial y2
+ x
\partial 2
\partial x\partial y
+ c
\partial
\partial y
- 1
\biggr]
\Xi 2 = 0.
Теперь рассмотрим выражение l1, определяемое равенством (21). Применяя формулу [14]
d
dz
zaF (a, b; c; z) = aza - 1F (a+ 1, b; c; z)
и выполняя некоторые преобразования, получаем
l1 = (1 - \beta )(\eta - \xi )2\beta - 3(\xi /\eta )\beta - 1\times
\times
\biggl[
F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 2;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
- F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
+
+
\biggl(
1 - \xi
\eta
\biggr)
F
\biggl(
\beta , \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
-
- F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr) \biggr]
.
В силу равенства [14]
c(1 - z)F (a, b; c; z) - cF (a - 1, b; c; z) = (b - c)zF (a, b; c+ 1; z)
сумма последних двух слагаемых в квадратной скобке равна
- [(1 - \beta )/(\alpha + \beta )]
\xi
\eta
F
\biggl(
\beta , \alpha + 2\beta - 1; 1 + \alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
.
Принимая это во внимание, находим
l1 = (1 - \beta )(\eta - \xi )2\beta - 3(\xi /\eta )\beta - 1\times
\times
\biggl[
F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 2;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
- F
\biggl(
\beta - 1, \alpha + 2\beta - 1;\alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr)
-
- 1 - \beta
\alpha + \beta
\xi
\eta
F
\biggl(
\beta , \alpha + 2\beta - 1; 1 + \alpha + \beta ;
\xi
\eta
\biggr) \biggr]
.
В силу равенства (17) выражение в квадратной скобке равно нулю. Следовательно, l1 = 0.
Если учесть это и (22), то из (20) следует, что L\gamma
\alpha ,1 - \beta (I1) = 0.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если 0 < \alpha \leq \beta <
1
2
, то для любых (\xi , \eta ) \in \=\Delta и n = 0, 1, 2, . . . выполняется
неравенство
0 \leq F (a, 1 - \alpha ;\beta + n; y1) \leq 1. (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 63
Доказательство. Применяя формулу [14]
F (a, b; c;x) = (1 - x) - bF
\biggl[
c - a, b; c;
x
x - 1
\biggr]
,
имеем
F (a, 1 - \alpha ;\beta + n; y1) = (1 - z)1 - \alpha F (\beta - \alpha + n, 1 - \alpha ;\beta + n; z), (24)
где z = (\xi - t)(\eta - t)/(\xi + t)(\eta + t), причем 0 \leq z \leq 1.
Введем обозначение
f(z) = (1 - z)1 - \alpha F (\beta - \alpha + n, 1 - \alpha ;\beta + n; z).
Учитывая неравенства 0 < \alpha \leq \beta <
1
2
, 0 \leq z \leq 1 и разложение функции Гаусса в ряд,
заключаем, что f(z) \geq 0 при n = 0, 1, 2, . . . .
Далее, дифференцируя функцию f(z) по формуле [14]
d
dx
\Bigl[
(1 - x)bF (a, b; c;x)
\Bigr]
=
b(a - c)
c
(1 - x)b - 1F (a, b+ 1; c+ 1;x),
получаем
f \prime (z) = - \alpha (1 - \alpha )
\beta + n
(1 - z) - \alpha F (\beta - \alpha + n, 2 - \alpha ;\beta + n+ 1; z),
откуда следует, что f \prime (z) \leq 0. Следовательно, f(z) — невозрастающая функция. Тогда 0 \leq
\leq f(z) \leq f(0) = 1 для любого z \in [0, 1]. Отсюда и из (24) следует неравенство (23).
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если 0 < \alpha \leq \beta <
1
2
и \gamma \in R, то для любых (\xi , \eta ) \in \=\Delta имеет место
неравенство
| \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)| \leq \=I\beta - 1
\Bigl[
2
\sqrt{}
| \gamma | (\xi - t)(\eta - t)
\Bigr]
, (25)
где I\beta - 1(z) =
\sum \infty
n=0
\Bigl( z
2
\Bigr) n
[(\beta )nn!]
- 1 — модифицированная функция Бесселя – Клиффорда.
Доказательство. Пусть \gamma \not = 0. Тогда нетрудно убедиться, что
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2) =
\infty \sum
n=0
yn2
(\beta )nn!
F (\alpha , 1 - \alpha ;\beta + n; y1). (26)
В силу леммы 3 выполняется неравенство (23). С учетом этого из (26) следует, что
| \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)| \leq
\infty \sum
n=0
| y2| n
(\beta )nn!
=
=
\infty \sum
n=0
\Bigl[ \sqrt{}
| \gamma | (\xi - t)(\eta - t)
\Bigr] 2n
[(\beta )nn!]
- 1 = \=I\beta - 1
\Bigl[
2
\sqrt{}
| \gamma | (\xi - t)(\eta - t)
\Bigr]
.
Выполнение неравенства (25) при \gamma = 0 непосредственно следует из равенства \Xi 2(\alpha , 1 -
- \alpha ;\beta , y1, 0) = F (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1) и неравенства (23).
Лемма 4 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
64 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
Доказательство теоремы 1. Согласно лемме 2, функция I1(\xi , \eta ) удовлетворяет уравнению
L\gamma
\alpha ,1 - \beta (u) = 0. Тогда в силу леммы 1 функция I(\xi , \eta ) является решением уравнения (1), т. е.
L\gamma
\alpha ,\beta (u) = 0.
Докажем равенство (10). Рассмотрим выражение
l2 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
I(\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\~\chi
\xi \int
0
\biggl(
2t
\xi + \eta
\biggr) \alpha
\times
\times (\eta - \xi )1 - 2\beta \tau (t)
[(\xi - t)(\eta - t)]1 - \beta
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)dt.
Заменяя переменную интегрирования по формуле t = \xi - (\eta - \xi )s, получаем
l2 = \~\chi \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\xi /(\eta - \xi )\int
0
s\beta - 1(1 + s)\beta - 1\tau [\xi - (\eta - \xi )s]
\biggl[
2\xi - 2(\eta - \xi )s
\xi + \eta
\biggr] \alpha
\times
\times \Xi 2
\biggl[
\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; - 2 - 1(\eta - \xi )2s(1 + s)
[\xi - (\eta - \xi )s](\xi + \eta )
, - \gamma (\eta - \xi )2s(1 + s)
\biggr]
ds.
Отсюда, учитывая равенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\biggl[
2\xi - 2(\eta - \xi )s
\xi + \eta
\biggr] \alpha
= 1, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
2 - 1(\eta - \xi )2s(1 + s)
[\xi - (\eta - \xi )s](\xi + \eta )
= 0,
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\gamma (\eta - \xi )2s(1 + s) = 0, \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; 0, 0) = 1,
имеем
l2 = \~\chi \tau (\xi )
+\infty \int
0
s\beta - 1(1 + s)\beta - 1ds,
откуда в силу равенства [16]
+\infty \int
0
s\beta - 1(1 + s)\beta - 1ds =
\Gamma (\beta )\Gamma (1 - 2\beta )
\Gamma (1 - \beta )
следует, что l2 = \tau (\xi ), 0 \leq \xi \leq 1, т. е. \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\eta - \xi \rightarrow +0 I(\xi , \eta ) = \tau (\xi ), 0 \leq \xi \leq 1.
Теперь докажем равенство (11). Заменяя переменную интегрирования по формуле t = \xi z,
находим
I(\xi , \eta ) = \~\chi
\biggl(
1 - \xi
\eta
\biggr) 1 - 2\beta \biggl( 2\xi
\xi + \eta
\biggr) \alpha \biggl( \xi
\eta
\biggr) \beta
1\int
0
z\alpha (1 - z)\beta - 1\times
\times
\biggl(
1 - \xi
\eta
z
\biggr) \beta - 1
\Xi 2(\alpha , 1 - \alpha , \beta ; y1, y2)| t=\xi z dz. (27)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 65
Согласно лемме 4, выполняется неравенство
| \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha , \beta ; y1, y2)| t=\xi z \leq \=I\beta - 1
\Bigl[
2
\sqrt{}
| \gamma | \xi (1 - z)(\eta - \xi z)
\Bigr]
,
откуда в силу равенства \=I\beta - 1(0) = 1 следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\xi \rightarrow 0
| \Xi 2(\alpha , 1 - \alpha ;\beta ; y1, y2)| t=\xi z \leq 1.
Учитывая это, из (27) при \xi \rightarrow 0 имеем \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\xi \rightarrow 0 I(\xi , \eta ) = 0, 0 \leq \eta \leq 1, что и требовалось
доказать.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Если \psi 1(\eta ) принадлежит C2[0, 1], то функция
\Phi (\xi , \eta ) =
\eta \int
0
\bigl[
\psi \prime
1(t) + (\alpha + \beta )t - 1\psi 1(t)
\bigr]
W (0, t; \xi , \eta ; \gamma )dt
имеет следующие свойства:
1) \Phi (\xi , \eta ) и ее производные представимы в виде
\Phi (\xi , \eta ) = \varphi (\xi )
\eta \int
0
W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
R1(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds, (28)
\Phi \xi (\xi , \eta ) = - \varphi (\xi ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\beta \pi )\xi \alpha +\beta - 1(\eta + \xi ) - \alpha (\eta - \xi ) - \beta +
+\varphi (\xi )
\eta \int
0
W\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
R1\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds, (29)
\Phi \eta (\xi , \eta ) = \varphi (\eta )\eta \alpha +\beta - 1(\eta + \xi ) - \alpha (\eta - \xi ) - \beta +
+\varphi (\xi )
\eta \int
0
W\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
R1\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds, (30)
где \varphi (t) = t\psi 1
\prime (t) + (\alpha + \beta )\psi 1(t);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
66 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
2) \Phi (\xi , \eta ) удовлетворяет уравнению (1) и краевым условиям
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\Phi (\xi , \eta ) = 0, 0 \leq \xi \leq 1, (31)
\Phi (0, \eta ) = \psi 1(\eta ), 0 \leq \eta \leq 1. (32)
Доказательство. Принимая во внимание процесс получения формулы (9) и обозначение
\varphi (t), функцию \Phi (\xi , \eta ) записываем в виде
\Phi (\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) \varphi (t)t - 1W (0, t; \xi , \eta ; \gamma ) dt.
Отсюда, полагая u = \varphi (t), dv = t - 1W (0, t, \xi , \eta ; \gamma )dt и применяя правило интегрирования по
частям, имеем
\Phi (\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left\{ [\varphi (\xi - \varepsilon )\mu 2(\xi - \varepsilon ; \xi , \eta ) - \varphi (\xi + \varepsilon )\mu 1(\xi + \varepsilon ; \xi , \eta )] -
-
\xi - \varepsilon \int
0
\varphi \prime (t)\mu 2(t, \xi , \eta )dt -
\eta \int
\xi +\varepsilon
\varphi \prime (t)\mu 1(t, \xi , \eta )dt
\right\} ,
где
\mu 1(t, \xi , \eta ) = -
\eta \int
t
s - 1R1(0, s; \xi , \eta ; \gamma )ds, \mu 2(t, \xi , \eta ) =
t\int
0
s - 1R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )ds.
Подставляя выражения функций \mu 1(t, \xi , \eta ) и \mu 2(t, \xi , \eta ), а затем переходя к пределу, получаем
равенство (28).
Теперь равенство (28) запишем в виде
\Phi (\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left[ \varphi (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) s - 1W (0, s; \xi , \eta ; \gamma ) ds -
-
\xi - \varepsilon \int
0
\varphi \prime (t) dt
t\int
0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\varphi \prime (t) dt
\eta \int
t
R1(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds
\right] . (33)
Дифференцируя это равенство по \xi , находим
\Phi \xi (\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left\{ \varphi (\xi )
\bigl[
s - 1W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
\bigr] \bigm| \bigm| s=\xi - \varepsilon
s=\xi +\varepsilon
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 67
+\varphi \prime (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+ \varphi (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) W\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
- \varphi \prime (\xi - \varepsilon )
\xi - \varepsilon \int
0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds - \varphi \prime (\xi + \varepsilon )
\eta \int
\xi +\varepsilon
R1(0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
-
\xi - \varepsilon \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
R1\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds
\right\} .
Отсюда, переходя к пределу, получаем
\Phi \xi (\xi , \eta ) = \varphi (\xi ) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\bigl[
s - 1W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
\bigr] \bigm| \bigm| s=\xi - \varepsilon
s=\xi +\varepsilon
+
+\varphi (\xi )
\eta \int
0
W\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
R1\xi (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds. (34)
Используя разложения (6) и (7) функций R1 и R2, а также формулу [14]
F (a, b; c; 1) =
\Gamma (c)\Gamma (c - a - b)
\Gamma (c - a)\Gamma (c - b)
, c - a - b > 0,
F (a, b; c; 1 - x) = - \Gamma (a+ b)
\Gamma (a)\Gamma (b)
F (a, b; 1;x)lnx+
\Gamma (a+ b)
\Gamma 2(a)\Gamma 2(b)
\times
\times
\infty \sum
k=0
\Gamma (a+ k)\Gamma (b+ k)
(k!)2
\biggl[
\Gamma \prime (1 + k)
\Gamma (1 + k)
- \Gamma \prime (a+ k)
\Gamma (a+ k)
- \Gamma \prime (b+ k)
\Gamma (b+ k)
\biggr]
xk,
нетрудно доказать, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\bigl\{
s - 1W (0, s, \xi , \eta ; \gamma )
\bigr\} \bigm| \bigm| s=\xi - \varepsilon
s=\xi +\varepsilon
= - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi \beta )\xi \alpha +\beta - 1
(\eta + \xi )\alpha (\eta - \xi )\beta
. (35)
Подставляя (35) в (34), получаем равенство (29).
Далее, дифференцируя равенство (33) по \eta , находим
\Phi \eta (\xi , \eta ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left\{ \varphi (\xi )\eta - 1R1(0, \eta ; \xi , \eta ; \gamma ) + \varphi (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) W\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
+\eta - 1R1(0, \eta ; \xi , \eta ; \gamma )[\varphi (\eta ) - \varphi (\xi + \varepsilon )] -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
68 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
-
\xi - \varepsilon \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R1\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds
\right\} .
Отсюда, переходя к пределу и учитывая, что
\eta - 1R1(0, \eta ; \xi , \eta ; \gamma ) = \eta \alpha +\beta - 1(\eta + \xi ) - \alpha (\eta - \xi ) - \beta ,
получаем равенство (30).
Аналогично, дифференцируя равенство (30) по \xi , находим
\Phi \xi \eta (\xi , \eta ) = - \varphi (\eta )\eta \alpha +\beta - 1(\eta + \xi ) - \alpha (\eta - \xi ) - \beta
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
+
+ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow +0
\left\{ \varphi (\xi )
\biggl[
s - 1 \partial
\partial \eta
W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| s=\xi - \varepsilon
s=\xi +\varepsilon
+
+\varphi \prime (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) W\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+ \varphi (\xi )
\left( \xi - \varepsilon \int
0
+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\right) W\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
- \varphi \prime (\xi - \varepsilon )
\xi - \varepsilon \int
0
R2\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds - \varphi \prime (\xi + \varepsilon )
\eta \int
\xi +\varepsilon
R1\eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
-
\xi - \varepsilon \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
\eta \int
\xi +\varepsilon
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R1\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds
\right\} .
Отсюда, переходя к пределу при \varepsilon \rightarrow 0 и учитывая равенство (35), получаем
\Phi \xi \eta (\xi , \eta ) = - \varphi (\eta )\eta \alpha +\beta - 1
(\eta + \xi )\alpha (\eta - \xi )\beta
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
- \beta
\eta - \xi
\biggr)
+
+
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\pi \beta )\varphi (\xi )\xi \alpha +\beta - 1
(\eta + \xi )\alpha (\eta - \xi )\beta
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
+ \varphi (\xi )
\eta \int
0
W\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds -
-
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R2\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
R1\xi \eta (0, s; \xi , \eta ; \gamma )
s
ds. (36)
Из (28) – (30) и (36) следует, что
L\gamma
\alpha ,\beta (\Phi ) = \varphi (\xi )
\eta \int
0
L\gamma
\alpha ,\beta [W (0, s; \xi , \eta ; \gamma )]
s
ds -
-
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
L\gamma
\alpha ,\beta [R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )]
s
ds+
\eta \int
\xi
\varphi \prime (t)dt
\eta \int
t
L\gamma
\alpha ,\beta [R1(0, s; \xi , \eta ; \gamma )]
s
ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
ЗАДАЧА ДАРБУ ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА – ПУАССОНА – ДАРБУ 69
откуда в силу свойств функций W и R1, R2 следует, что L\gamma
\alpha ,\beta (\Phi ) \equiv 0, т. е. функция \Phi (\xi , \eta )
удовлетворяет уравнению (1).
Теперь докажем равенство (31). Из равенства (28) следует, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
\Phi (\xi , \eta ) = \varphi (\xi )
\xi \int
0
s - 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )ds -
-
\xi \int
0
\varphi \prime (t)dt
t\int
0
s - 1 \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow 0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma )ds.
Отсюда в силу легко проверяемого равенства
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\eta - \xi \rightarrow +0
R2(0, s; \xi , \eta ; \gamma ) = 0
следует справедливость равенства (31).
Докажем равенство (32). В силу \sigma 0 = (\eta /\eta 0)
\alpha +\beta , \sigma 1 = \sigma 2 = \sigma 3 = 0 при \xi = \xi 0 = 0 из (5)
и (6) следует, что W (0, t; 0, \eta ; \gamma ) = (t/\eta )\alpha +\beta . Учитывая это и очевидное равенство\bigl[
\psi \prime
1(t) + (\alpha + \beta )t - 1\psi 1(t)
\bigr]
t\alpha +\beta =
\Bigl[
t\alpha +\beta \psi 1(t)
\Bigr] \prime
,
получаем
\Phi (0, \eta ) =
\eta \int
0
\bigl[
\psi \prime
1(t) + (\alpha + \beta )t - 1\psi 1(t)
\bigr]
W (0, t; 0, \eta ; \gamma )dt =
=
\eta \int
0
\bigl[
\psi \prime
1(t) + (\alpha + \beta )t - 1\psi 1(t)
\bigr]
(t/\eta )\alpha +\beta dt = \psi 1(\eta ), 0 \leq \eta \leq 1.
Теорема 2 доказана.
На основании доказанного выше справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если \tau (\xi ) принадлежит C[0, 1] и удовлетворяет условию Гельдера с показате-
лем \delta > 1 - \beta на [0, 1), а \psi 1(\eta ) принадлежит C2[0, 1], то функция, определяемая равен-
ством (9), является единственным решением задачи Дарбу {(1), (2), (3)}.
Теперь рассмотрим задачу Дарбу для уравнения (1) в следующей постановке: найти ре-
гулярное в области \Delta решение u(\xi , \eta ) \in C( \=\Delta ) уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям (2) и
u(\xi , 1) = \psi 2(\xi ), 0 \leq \xi \leq 1, (37)
где \tau (\xi ) и \psi 2(\xi ) — заданные непрерывные функции, причем \tau (1) = \psi 2(1).
Функция Римана – Адамара \~W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) для этой задачи определяется равенством
\~W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) =
\biggl\{
R1(\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) при \xi < \eta 0,
R2(\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) при \xi > \eta 0,
где R1 и R2 — функции, определяемые равенствами (6) и (7).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
70 А. И. ИСМОИЛОВ, А. О. МАМАНАЗАРОВ, А. К. УРИНОВ
Функция \~W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) имеет свойства 10 – 40 функции W (\xi , \eta ; \xi 0, \eta 0; \gamma ) и свойство
50 \prime ) \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varepsilon \rightarrow 0
\Biggl\{ \biggl[
\~W\eta -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
\~W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =\eta 0+\varepsilon
-
\biggl[
\~W\eta -
\biggl(
\alpha
\eta + \xi
+
\beta
\eta - \xi
\biggr)
\~W
\biggr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\xi =\eta 0 - \varepsilon
\Biggr\}
=
= 0, \varepsilon > 0.
Методом, примененным выше, можно доказать, что справедлива следующая теорема.
Теорема 4. Если \tau (\xi ) принадлежит C[0, 1] и удовлетворяет условию Гельдера с показа-
телем \delta > 1 - \beta на (0, 1], а \psi 2(\xi ) принадлежит C2[0, 1], то функция, определяемая формулой
u(\xi 0, \eta 0) = (1 - 2\beta )\chi (\eta 0 - \xi 0)
1 - 2\beta \times
\times
1\int
\eta 0
\biggl(
2\xi
\eta 0 + \xi 0
\biggr) \alpha \tau (\xi )
[(\xi 0 - \xi )(\eta 0 - \xi )]1 - \beta
\Xi 2 (\alpha , 1 - \alpha ;\beta ;\sigma 1, \sigma 3)| \eta =\xi d\xi -
-
1\int
\xi 0
\biggl[
\psi \prime
2(\xi ) +
\biggl(
\alpha
1 + \xi
- \beta
1 - \xi
\biggr)
\psi 2(\xi )
\biggr]
\~W (\xi , 1; \xi 0, \eta 0; \gamma )d\xi ,
является единственным решением задачи {(1), (3), (37)}.
Литература
1. Эйлер Л. Интегральное исчисление. – М.: Физматгиз, 1958. – Т. 3.
2. Darbux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. – Paris, 1915. – IV.
3. Poisson S. D. Memoire sur l’integration des equations lineaires aux derivees partieeles // J. l’Ecole Roy.
Polytechnique. – 1823. – 12, № 19. – P. 215 – 248.
4. Риман Б. О распространении волн конечной амплитуды. Сочинения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1949.
5. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limites pour une equation lineaire aux derivees partielles du second ordre de tipe
mixte: Thesis. – Uppsala, 1935.
6. Волкодавов В. Ф., Николаев Н. Я. Краевые задачи для уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу. – Куйбышев,
1984. – 80 с.
7. Хайруллин Р. С. К теории уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу // Изв. вузов. Математика. – 1993. – № 11(378). –
С. 69 – 76.
8. Салахитдинов М. С., Уринов А. К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. – Ташкент, 2010. –
355 с.
9. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. – М.: Высш. шк., 1995. – 301 с.
10. Уринов А. К., Исмоилов А. И. Задача Дарбу и принцип абсолютного экстремума для уравнения Эйлера –
Пуассона – Дарбу // Докл. АН Республики Узбекистан. – 2011. – № 5. – С. 20 – 23.
11. Сабитов К. Б., Шарафутдинова Г. Г. Задача Коши – Гурса для вырождающегося гиперболического уравнения //
Изв. вузов. Математика. – 2003. – № 5. – С. 21 – 29.
12. Капилевич М. Б. О сингулярных задачах Коши и Трикоми // Докл. АН СССР. – 1967. – 177, № 6. – С. 1265 – 1268.
13. Капилевич М. Б. Об одном классе гипергеометрических функций Горна // Дифференц. уравнения. – 1968. – 4,
№ 8. – С. 1465 – 1483.
14. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежанд-
ра. – М.: Наука, 1965. – 296 с.
15. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. – М.: Физматгиз, 1962. –
1100 с.
16. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. – М.: Наука,
1981. – 800 с.
Получено 16.03.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1675 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:22Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f8/725764ed256123161d5e64d3963312f8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16752019-12-05T09:23:35Z Darboux problem for the generalized Euler – Poisson – Darboux equation Задача Дарбу для обобщенного уравнения Эйлера – Пуассона – Дарбу Ismoilov, A. I. Mamanazarov, A. O. Urinov, A. K. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. In the article Euler – Poisson – Darboux equation was considered in the characteristic triangle and Darboux problem was investigated. The solution of the problem was found by Riemann’s method. Theorems on the existence and uniqueness of the solution were proved. Розглянуто узагальнене рiвняння Ейлера – Пуассона – Дарбу в характеристичному трикутнику та дослiджено задачу Дарбу. Методом Рiмана знайдено формулу для розв’язку задачi i доведено теорему про iснування єдиного розв’язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1675 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 52-70 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 52-70 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1675/657 Copyright (c) 2017 Ismoilov A. I.; Mamanazarov A. O.; Urinov A. K. |
| spellingShingle | Ismoilov, A. I. Mamanazarov, A. O. Urinov, A. K. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. Исмоилов, А. И. Маманазаров, А. О. Уринов, А. К. Darboux problem for the generalized Euler – Poisson – Darboux equation |
| title | Darboux problem for the generalized Euler –
Poisson – Darboux equation |
| title_alt | Задача Дарбу для обобщенного уравнения
Эйлера – Пуассона – Дарбу |
| title_full | Darboux problem for the generalized Euler –
Poisson – Darboux equation |
| title_fullStr | Darboux problem for the generalized Euler –
Poisson – Darboux equation |
| title_full_unstemmed | Darboux problem for the generalized Euler –
Poisson – Darboux equation |
| title_short | Darboux problem for the generalized Euler –
Poisson – Darboux equation |
| title_sort | darboux problem for the generalized euler –
poisson – darboux equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1675 |
| work_keys_str_mv | AT ismoilovai darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT mamanazarovao darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT urinovak darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT ismoilovai darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT mamanazarovao darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT urinovak darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT ismoilovai darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT mamanazarovao darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT urinovak darbouxproblemforthegeneralizedeulerpoissondarbouxequation AT ismoilovai zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT mamanazarovao zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT urinovak zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT ismoilovai zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT mamanazarovao zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT urinovak zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT ismoilovai zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT mamanazarovao zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu AT urinovak zadačadarbudlâobobŝennogouravneniâéjlerapuassonadarbu |