Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder spaces with respect to the parameter
We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r \geq 2$ whose solutions belong to the complex Hölder space $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$, where $n \in Z_{+},\; 0 < \alpha \leq 1$ и $[a, b] \subset R$, and $[a, b...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1677 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507508015104000 |
|---|---|
| author | Maslyuk, H. O. Маслюк, Г. О. |
| author_facet | Maslyuk, H. O. Маслюк, Г. О. |
| author_sort | Maslyuk, H. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r \geq 2$ whose solutions belong to the complex Hölder space $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$, where $n \in Z_{+},\;
0 < \alpha \leq 1$ и $[a, b] \subset R$, and
$[a, b] \subset R$. We establish sufficient conditions under which the solutions of these problems continuously depend on the
parameter in the H¨older space $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.927
Г. О. Маслюк (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ У ПРОСТОРАХ ГЕЛЬДЕРА
We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of
order r \geq 2 whose solutions belong to the complex Hölder space Cn+r,\alpha ([a, b]), where n \in \BbbZ +, 0 < \alpha \leq 1, and
[a, b] \subset \BbbR . We establish sufficient conditions under which the solutions of these problems continuously depend on the
parameter in the Hölder space Cn+r,\alpha ([a, b]).
Введен наиболее широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
порядка r \geq 2, решения которых принадлежат комплексному пространству Гельдера Cn+r,\alpha ([a, b]), где n \in \BbbZ +,
0 < \alpha \leq 1 и [a, b] \subset \BbbR . Найдены достаточные условия, при которых решения этих задач непрерывно зависят от
параметра в пространстве Гельдера Cn+r,\alpha ([a, b]).
1. Вступ. Питання, пов’язанi з граничним переходом у системах диференцiальних рiвнянь,
виникають у багатьох задачах. Цi питання найкраще дослiджено щодо задачi Кошi для сис-
тем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку. Бiльш складний випадок загальних
лiнiйних крайових задач вивчали I. Т. Кiгурадзе [1 – 3] та його послiдовники. Т. I. Кодлюк,
В. А. Михайлець i Н. В. Рева [4, 5] отримали суттєвi узагальнення цих результатiв. Вони
стосуються неперервностi за параметром розв’язкiв систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь
першого порядку у рiвномiрнiй нормi. Для систем лiнiйних диференцiальних рiвнянь порядку
r \geq 2 цi питання дослiджено В. А. Михайлецем i Г. О. Чехановою [6].
У роботах [7, 8] обґрунтовано граничний перехiд для широких класiв лiнiйних крайових
задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь високих порядкiв у просторах неперервно
диференцiйовних функцiй i просторах Соболєва. Такi задачi названо тотальними щодо вказаних
функцiональних просторiв. Доведено фредгольмовiсть цих задач, знайдено достатнi умови їх
коректної розв’язностi та неперервної залежностi за параметром їх розв’язкiв у цих просторах.
Щодо комплексних просторiв Гельдера, то найбiльш широкий клас лiнiйних крайових задач
введено i дослiджено В. А. Михайлецем, О. О. Мурачем та В. О. Солдатовим [9] для систем
звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку.
Мета даної роботи — поширити вказанi результати на системи диференцiальних рiвнянь
порядку r \geq 2 у просторах Гельдера.
Отриманi результати, зокрема, можна застосовувати при дослiдженнi некласичних багато-
точкових крайович задач, у спектральнiй теорiї диференцiальних операторiв сучасної матема-
тичної фiзики (див., наприклад, [10 – 12]). Зазначимо, що використаний у роботi пiдхiд можна
застосувати i для iнших функцiональних просторiв [18 – 20].
2. Постановка задачi. Нехай задано скiнченний вiдрiзок [a, b] \subset \BbbR , цiлi числа n \geq 0,
m \geq 1, r \geq 2 та дiйсне число \alpha таке, що 0 < \alpha \leq 1. Будемо використовувати комплекснi
банаховi простори Гельдера (Cn,\alpha )m := Cn,\alpha ([a, b],\BbbC m) та (Cn,\alpha )m\times m := Cn,\alpha ([a, b],\BbbC m\times m).
Вони складаються вiдповiдно з усiх вектор-функцiй i матриць-функцiй порядку m, елементи
яких належать простору Cn,\alpha := Cn,\alpha ([a, b],\BbbC ), i надiленi нормами, що є сумою норм у Cn,\alpha
усiх компонент цих функцiй.
c\bigcirc Г. О. МАСЛЮК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1 83
84 Г. О. МАСЛЮК
Нагадаємо означення просторiв Гельдера i обговоримо деякi поняття i позначення, пов’язанi
з цими просторами. Банахiв простiр C(l) := C(l)([a, b],\BbbC ) усiх l разiв неперервно диференцi-
йовних функцiй x : [a, b] \rightarrow \BbbC , де цiле l \geq 0, надiляємо нормою
\| x\| l :=
l\sum
j=0
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| x(j)(t)| : t \in [a, b]
\bigr\}
.
Простором Гельдера називається такий клас комплекснозначних функцiй над [a, b]:
C l,\alpha :=
\Biggl\{
x \in C(l) : \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t1,t2\in [a,b], t1 \not =t2
| x(l)(t2) - x(l)(t1)|
| t2 - t1| \alpha
< +\infty , де l \in \{ 0\} \cup \BbbN
\Biggr\}
.
Цей простiр є банаховим вiдносно норми
\| x\| l,\alpha := \| x\| l + \| x(l)\| \prime \alpha .
Ми будемо використовувати позначення C l,0 := C(l) i \| x\| l,0 := \| x\| l.
Слiд зазначити, що кожен простiр C l,\alpha при 0 < \alpha \leq 1 є банаховою алгеброю вiдносно
деякої норми, еквiвалентної \| \cdot \| l,\alpha . Норми у просторах (Cn,\alpha )m i (Cn,\alpha )m\times m також позначаємо
через \| \cdot \| l,\alpha . З контексту завжди буде зрозумiло в якому саме просторi Гельдера порядку n+\alpha
(скалярних, вектор- чи матриць-функцiй) розглядається ця норма.
На скiнченному вiдрiзку [a, b] розглянемо лiнiйну крайову задачу для систем m диферен-
цiальних рiвнянь r-го порядку
Ly(t) \equiv y(r)(t) +
r\sum
j=1
Ar - j(t)y
(r - j)(t) = f(t), t \in [a, b], (1)
Bjy(\cdot ) = cj , j \in \{ 1, . . . , r\} . (2)
Тут вектор-функцiя y(\cdot ) \in Cn+r,\alpha ([a, b],\BbbC m) є шуканою, а всi матрицi-функцiї Ar - j(\cdot ) \in
\in Cn,\alpha ([a, b],\BbbC m\times m), вектор-функцiя f(\cdot ) \in Cn,\alpha ([a, b],\BbbC m), лiнiйний неперервний оператор
Bj : Cn+r,\alpha ([a, b],\BbbC m) \rightarrow \BbbC m (3)
i вектор cj \in \BbbC m є заданими. Вектори i вектор-функцiї вважаємо поданими у виглядi стовпцiв.
Зауважимо, що кожний довiльний лiнiйний неперервний оператор Bj можна однозначно
зобразити у виглядi
Bjy =
n+r\sum
k=1
\beta ky
(k - 1)(a) +
b\int
a
\bigl(
d\Phi (t)
\bigr)
y(n+r)(t), y \in (C(n+r))m, (4)
де всi \beta k є деякими числовими матрицями розмiру rm\times rm, а \Phi (t) — матриця-функцiя розмiру
rm \times rm, утворена скалярними функцiями обмеженої варiацiї на вiдрiзку [a, b], неперервни-
ми справа на (a, b) i рiвними нулю при t = a. Iнтеграл тут розумiється в сенсi Рiмана –
Стiльтьєса. Таке зображення випливає з вiдомого опису простору, спряженого з C(n+r) (див.,
наприклад, [14, с. 374]).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 85
Крайова умова (2) з неперервним оператором (3) є найбiльш загальною для рiвняння (1),
розв’язок якого розглядається у просторi Cn+r,\alpha ([a, b],\BbbC m). Вона охоплює як усi класичнi види
крайових умов (умови задачi Кошi, багатоточковi умови, iнтегральнi умови, умови мiшаних
крайових задач), так i некласичнi умови, що мiстять похiднi шуканої функцiї, порядок яких
бiльший, нiж порядок рiвняння (1). За аналогiєю з роботами [8, 9] задачу (1), (2) називаємо
тотальною щодо простору Cn+r,\alpha . (У цих роботах поняття тотальної крайової задачi введено
щодо просторiв Соболєва для систем диференцiальних рiвнянь порядку r \geq 2 та просторiв
Гельдера для систем диференцiальних рiвнянь порядку r = 1.)
Якщо крайова задача (1), (2) залежить вiд малого параметра \varepsilon \geq 0, то постає важливе
питання про неперервну залежнiсть розв’язку y = y(\cdot , \varepsilon ) такої задачi за параметром \varepsilon у просторi
(Cn+r,\alpha )m, тобто коли
\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)\| n+r,\alpha \rightarrow 0 при \varepsilon \rightarrow 0 + . (5)
Мета роботи полягає у знаходженнi достатнiх умов для однозначної розв’язностi цiєї задачi
i виконання граничної властивостi (5), напевно, мiнiмальних на класi розглянутих крайових
задач.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати статтi (вони будуть доведенi у
пунктах 4, 5). Крайову задачу (1), (2) коротко запишемо у виглядi операторного рiвняння
(L,B)y = (f, c), B = (B1, . . . , Br), c = (c1, . . . , cr),
де (L,B) — лiнiйний оператор у парi банахових просторiв
(L,B) : (Cn+r,\alpha )m \rightarrow (Cn,\alpha )m \times \BbbC rm. (6)
Теорема 1. Лiнiйний оператор (6) обмежений i фредгольмовий з iндексом нуль.
З огляду на цю теорему нагадаємо, що лiнiйний неперервний оператор T : E1 \rightarrow E2, де E1
i E2 — банаховi простори, називають фредгольмовим, якщо його ядро \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T i коядро E2/T (E1)
скiнченновимiрнi. Якщо цей оператор фредгольмiв, то його область значень T (E1) замкнена в
E2. Скiнченний iндекс фредгольмового оператора T визначається за формулою
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}T := \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}T - \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}(E2/T (E1))
(див., наприклад, [15], лема 19.1.1).
Позначимо через Yk(\cdot ) \in (Cn+r,\alpha )m\times m єдиний розв’язок вiдповiдного (1) лiнiйного одно-
рiдного диференцiального рiвняння
Y
(r)
k (t) +
r\sum
j=1
Ar - j(t)Y
(r - j)
k (t) = 0, t \in (a, b), (7)
Y
(j)
k (t0) = \delta k,jIm, k, j = 0, . . . , r - 1. (8)
У початкових умовах (8) точка t0 \in [a, b] фiксована, \delta k,j — символ Кронекера, а Im — одинична
матриця порядку m\times m. Тодi загальний розв’язок однорiдного рiвняння (1) з f \equiv 0 можна
записати у виглядi
y(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Yk(\cdot )qk, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
86 Г. О. МАСЛЮК
де вектор-стовпцi qk \in \BbbC m є довiльними.
Покладемо
[BjYk] :=
\bigl(
[B1Y0] . . . [BrYr - 1]
\bigr)
, (10)
де j \in \{ 1, . . . , r\} , k \in \{ 0, . . . , r - 1\} .
Теорема 2. Оператор (L,B) оборотний тодi i тiльки тодi, коли матриця [BjYk] є неви-
родженою, тобто \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[BjYk] \not = 0.
Тут числова квадратна матриця [BjYk] порядку rm \times rm утворюється в результатi дiї
оператора Bj на вiдповiдний стовпець (з тим же номером) матрицi-функцiї Yk(\cdot ).
Розглянемо сiм’ю крайових задач вигляду (1), (2), залежних вiд числового параметра \varepsilon :
L(\varepsilon )y(t, \varepsilon ) \equiv y(r)(t, \varepsilon ) +
r\sum
j=1
Ar - j(t, \varepsilon )y
(r - j)(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in [a, b], (11)
Bj(\varepsilon )y(\cdot , \varepsilon ) = cj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (12)
де \varepsilon \in [0, \varepsilon 0), а число \varepsilon 0 > 0 є фiксованим. Тут вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn+r,\alpha )m є невiдо-
мою, а всi Ar - j(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn,\alpha )m\times m, f(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn,\alpha )m, лiнiйний неперервний оператор Bj(\varepsilon ) :
(Cn+r,\alpha )m \rightarrow \BbbC m i cj(\varepsilon ) \in \BbbC m — заданими. Крайова задача (11), (12) також є тотальною щодо
простору Гельдера Cn+r,\alpha .
Будемо вважати, що виконується таке припущення.
Припущення. Однорiдна гранична крайова задача
y(r)(t, 0) +
r\sum
j=1
Ar - j(t, 0)y
(r - j)(t, 0) = 0, t \in [a, b],
Bj(0)y(\cdot , 0) = 0, j \in \{ 1, . . . , r\} ,
має лише тривiальний розв’язок.
Умови, достатнi для однозначної розв’язностi задачi (11), (12) i неперервної залежностi її
розв’язку за малим параметром, дає така теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються припущення i при \varepsilon \rightarrow 0+ та j \in \{ 1, . . . , r\} умови:
(i) \| Ar - j(\cdot , \varepsilon ) - Ar - j(\cdot , 0)\| n,\alpha \rightarrow 0;
(ii) Bj(\varepsilon )y \rightarrow Bj(0)y для кожного y \in (Cn+r,\alpha )m.
Тодi для достатньо малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Якщо, окрiм цього,
(iii) \| f(\cdot , \varepsilon ) - f(\cdot , 0)\| n,\alpha \rightarrow 0;
(iv) cj(\varepsilon ) \rightarrow cj(0),
то при малих \varepsilon єдиний розв’язок y(\cdot , \varepsilon ) крайової задачi (11), (12) задовольняє граничну власти-
вiсть (5).
Зауваження. Для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) запишемо крайовий оператор Bj(\varepsilon ) у виглядi (4), де
\beta k = \beta k(\varepsilon ) i \Phi (t) = \Phi (t, \varepsilon ). З теореми Рiса про критерiй слабкої збiжностi лiнiйних неперерв-
них функцiоналiв на C([a, b],\BbbC ) (див., наприклад, [16]) випливає, що умова (ii) рiвносильна
виконанню чотирьох умов щодо \beta k(\varepsilon ) i \Phi (\cdot , \varepsilon ) при \varepsilon \rightarrow 0+:
(2a) \beta k(\varepsilon ) \rightarrow \beta k(0) для кожного k \in \{ 1, . . . , n+ r\} ;
(2b) \| V b
a\Phi (\cdot , \varepsilon )\| \BbbC rm\times rm = O(1);
(2c) \Phi (b, \varepsilon ) \rightarrow \Phi (b, 0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 87
При цьому умова Bj(\varepsilon ) \rightarrow Bj(0) рiвносильна умовi (2а) i набагато сильнiша, нiж умови (2b),
(2c) i умова
(2d)
\int t
a
\Phi (s, \varepsilon )ds \rightarrow
\int t
a
\Phi (s, 0)ds для кожного t \in (a, b].
4. Доведення теорем 1 i 2. Обмеженiсть лiнiйного оператора L : (Cn+r,\alpha )m \rightarrow (Cn,\alpha )m
випливає з означення норм у просторах Гельдера i того, що кожний iз цих просторiв утворює
банахову алгебру. Оператор B обмежений за означенням. Доведемо фредгольмовiсть операто-
ра (L,B).
Означимо лiнiйний обмежений оператор C : (Cn+r,\alpha )m \rightarrow \BbbC rm, поклавши
Cy = (y(a), y\prime (a), . . . , y(r - 1)(a)).
Оскiльки неоднорiдна задача Кошi
(L,C)y = (f, c) \in (Cn,\alpha )m \times \BbbC rm
має єдиний розв’язок y \in (Cn+r,\alpha )m при будь-якому значеннi правої частини рiвняння, то
оператор (L,C) є бiєктивним. За теоремою Банаха про обернений оператор вiн є оборотним. З
iншого боку, оператор (L,B) допускає зображення
(L,B) = (L,C) + (0, B - C), (13)
де другий доданок — це скiнченновимiрний оператор. Тодi за теоремою Нiкольського [18]
(§ 21.5) оператор (L,B) є фредгольмовим з iндексом 0.
Теорему 1 доведено.
Наведемо допомiжне твердження, яке буде використано у доведеннi теореми 2.
Лема 1. Для довiльних матрицi-функцiї Yk(\cdot ) \in (Cn+r,\alpha )m\times m, вектора qk \in \BbbC m та лiнiй-
ного неперервного оператора Bj : (Cn+r,\alpha )m \rightarrow \BbbC m справджується рiвнiсть
Bj(Yk(t) \cdot qk) = [BjYk(t)]qk, (14)
де j \in \{ 1, . . . , r\} , k \in \{ 0, . . . , r - 1\} .
Рiвнiсть (14) перевiряється безпосередньо.
За теоремою 1 оператор (6) є оборотним тодi i тiльки тодi, коли \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) = \{ 0\} . Тому для
доведення теореми 2 достатньо показати, що \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} \leftrightarrow \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}[BjYk(t)] = 0.
Нехай \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} . Тодi iснує нетривiальний розв’язок однорiдного рiвняння (L,B)y =
= (0, 0), який можна записати у виглядi (9), де хоча б один iз вектор-стовпцiв q0, q1, . . . , qr - 1 \in
\in \BbbC m вiдмiнний вiд нуля. За лемою 1
0 = Bjy(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(Yk(\cdot )qk) =
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk.
Отже, стовпцi матрицi (10) є лiнiйно залежними i вона є виродженою.
Навпаки, нехай матриця (10) є виродженою. Тодi її стовпцi є лiнiйно залежними i
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk = 0 (15)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
88 Г. О. МАСЛЮК
для деяких вектор-стовпцiв q0, q1, . . . , qr - 1 \in \BbbC m, серед яких принаймнi один вiдмiнний вiд
нуля. Означимо ненульову функцiю y(\cdot ) \in (Cn+r,\alpha )m за формулою (9). Для неї Ly = 0 i
Bjy(\cdot ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(Yk(\cdot )qk) =
r - 1\sum
k=0
[BjYk(\cdot )]qk = 0
за лемою 1 i рiвнiстю (15). Отже, y \in \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) i тому \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(L,B) \not = \{ 0\} .
Теорему 2 доведено.
5. Доведення теореми 3. Розглянемо спочатку параметричну сiм’ю неоднорiдних задач
Кошi для системи k \geq 1 лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку
y\prime (t, \varepsilon ) = A(t, \varepsilon )y(t, \varepsilon ) + g(t, \varepsilon ), t \in [a, b], y(a, \varepsilon ) = h(\varepsilon ). (16)
Тут для кожного \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn+1,\alpha )k є шуканою, а матриця-функцiя
A(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn,\alpha )k\times k, вектор-функцiя g(\cdot , \varepsilon ) \in (Cn,\alpha )k i вектор h(\varepsilon ) \in \BbbC k — заданими. Як вiдомо,
ця задача має єдиний розв’язок для кожного фiксованого \varepsilon .
Лема 2. Нехай при \varepsilon \rightarrow 0+ виконуються такi умови:
(a) A(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow A(\cdot , 0) у (Cn,\alpha )k\times k;
(b) g(\cdot , \varepsilon ) \rightarrow g(\cdot , 0) у (Cn,\alpha )k;
(c) h(\varepsilon ) \rightarrow h(0).
Тодi при \varepsilon \rightarrow 0+
\| y(\cdot , \varepsilon ) - y(\cdot , 0)\| n+1,\alpha \rightarrow 0. (17)
Це твердження є безпосереднiм наслiдком основної теореми iз статтi [9].
Доведемо спочатку теорему 3 щодо задач Кошi
L(\varepsilon )x(t, \varepsilon ) = f(t, \varepsilon ), t \in [a, b], (18)
x(j - 1)(a, \varepsilon ) = hj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (19)
де параметр \varepsilon \in [0, \varepsilon 0). Єдиний розв’язок x(\cdot , \varepsilon ) такої задачi належить простору (Cn+r,\alpha )m.
Лема 3. Нехай виконуються умови (i), (iii) теореми 3 i, крiм того,
hj(\varepsilon ) \rightarrow hj(0), \varepsilon \rightarrow 0 + для кожного j \in \{ 1, . . . , r\} . (20)
Тодi
\| x(\cdot , \varepsilon ) - x(\cdot , 0)\| n+r,\alpha \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (21)
Доведення. При r = 1 лема 3 рiвносильна лемi 2. Нехай r \geq 2. Як вiдомо (див., наприклад,
[13], п. 2.5), крайова задача (18), (19) рiвносильна задачi (16), в якiй
A(\cdot , \varepsilon ) :=
\left(
0m Im 0m . . . 0m
0m 0m Im . . . 0m
...
...
...
. . .
...
0m 0m 0m . . . Im
- A0(\cdot ; \varepsilon ) - A1(\cdot ; \varepsilon ) - A2(\cdot ; \varepsilon ) . . . - Ar - 1(\cdot ; \varepsilon )
\right)
\in (Cn,\alpha )rm\times rm,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 89
де 0m i Im позначають вiдповiдно нульову i одиничну матрицi порядку m, а
g(\cdot , \varepsilon ) := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(0, f(\cdot , \varepsilon )), h(\varepsilon ) := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(h1(\varepsilon ), . . . , hr(\varepsilon )).
Розв’язки цих задач пов’язанi мiж собою спiввiдношенням
y(\cdot , \varepsilon ) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(x(\cdot , \varepsilon ), x\prime (\cdot , \varepsilon ) . . . , xr - j(\cdot , \varepsilon )). (22)
При цьому умови (i), (iii) теореми 3 i умова (20) рiвносильнi вiдповiдно умовам (a), (b)
i (c) леми 2. Окрiм того, (21) \leftrightarrow (17) за умови (22). Отже, твердження леми 3 випливає зi
справедливостi леми 2.
Встановимо iснування i єдинiсть розв’язку крайової задачi (11), (12) при малих значеннях
параметра \varepsilon .
Лема 4. Нехай виконуються умови (i) i (ii) теореми 3 i припущення. Тодi для достатньо
малих \varepsilon > 0 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Доведення. Розглянемо при кожному \varepsilon \in [0, \varepsilon 0) i k \in \{ 0, . . . , r - 1\} задачу Кошi (7), (8), де
Y
(r)
k (\cdot ) = Y
(r)
k (\cdot , \varepsilon ), Ar - j(\cdot ) = Ar - j(\cdot , \varepsilon ).
Вона складається з m задач Кошi вигляду (18), (19) з f = 0 вiдносно вектор-функцiй x(\cdot , \varepsilon ),
якi є стовпцями матрицi Yk(\cdot , \varepsilon ). Тодi згiдно з лемою 3\bigm\| \bigm\| Yk(\cdot , \varepsilon ) - Yk(\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
n+r,\alpha
\rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (23)
Звiдси на пiдставi умови (ii) теореми 3 випливає збiжнiсть при \varepsilon \rightarrow 0+ блочних числових
матриць
([B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )] . . . [Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )]) \rightarrow ([B1(0)Y0(\cdot , 0)] . . . [Br(0)Yr - 1(\cdot , 0)]). (24)
Тут гранична матриця невироджена згiдно з припущенням i теоремою 2. Тому для достатньо
малих \varepsilon \geq 0
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\bigl(
[B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )] . . . [Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )]
\bigr)
\not = 0. (25)
Отже, за теоремою 2 оператор (L(\varepsilon ), B(\varepsilon )) є оборотним.
Лему 4 доведено.
Розглянемо напiводнорiдну крайову задачу
L(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) \equiv 0, Bj(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) = cj(\varepsilon ), j \in \{ 1, . . . , r\} , (26)
залежну вiд параметра \varepsilon \in [0, \varepsilon 0).
Лема 5. Нехай виконуються умови (i), (ii), (iv) теореми 3. Тодi\bigm\| \bigm\| \upsilon (\cdot , \varepsilon ) - \upsilon (\cdot , 0)
\bigm\| \bigm\|
n+r,\alpha
\rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (27)
Доведення. Запишемо при кожному \varepsilon \rightarrow 0+ розв’язок однорiдного диференцiального
рiвняння (26) у виглядi
\upsilon (\cdot , \varepsilon ) =
r - 1\sum
k=0
Yk(\cdot , \varepsilon )qk(\varepsilon ) (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
90 Г. О. МАСЛЮК
з довiльними вектор-функцiями q0(\varepsilon ), ..., qr - 1(\varepsilon ) \in \BbbC m, де кожна матриця-функцiя Yk(\cdot , \varepsilon )
належить простору (Cn+r,\alpha )m\times m. За лемою 1 маємо
Bj(\varepsilon )\upsilon (\cdot , \varepsilon ) =
r - 1\sum
k=0
Bj(\varepsilon )(Yk(\cdot , \varepsilon )qk(\varepsilon )) =
r - 1\sum
k=0
[Bj(\varepsilon )Yk(\cdot , \varepsilon )]qk(\varepsilon ).
Тому друга рiвнiсть у формулi (26) рiвносильна, тому що
r - 1\sum
k=0
[Bj(\varepsilon )Yk(\cdot , \varepsilon )]qk(\varepsilon ) = cj(\varepsilon ). (29)
Рiвнiсть (29) можна записати у виглядi системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь\bigl(
[B1(\varepsilon )Y0(\cdot , \varepsilon )] . . . [Br(\varepsilon )Yr - 1(\cdot , \varepsilon )]
\bigr)
q(\varepsilon ) = cj(\varepsilon ) (30)
вiдносно координат стовпця q(\varepsilon ) := col(q0(\varepsilon ), . . . , qr - 1(\varepsilon )).
Звiдси на пiдставi умови (iv) теореми 3 i формул (24), (25) випливає, що система (30) має
єдиний розв’язок при достатньо малих \varepsilon i вiн задовольняє граничну умову q(\varepsilon ) \rightarrow q(0) \in \BbbC m
при \varepsilon \rightarrow 0 + . Iз нього i спiввiдношення (23) отримуємо формулу (27).
Лему 5 доведено.
Доведемо тепер справедливiсть граничної рiвностi без припущення про однорiднiсть дифе-
ренцiального рiвняння (11). Для кожного достатньо малого \varepsilon \geq 0 покладемо
z(\cdot , \varepsilon ) = y(\cdot , \varepsilon ) - x(\cdot , \varepsilon ),
де вектор-функцiя y(\cdot , \varepsilon ) є розв’язком неоднорiдної крайової задачi (11), (12), а вектор-функцiя
x(\cdot , \varepsilon ) — розв’язком задачi Кошi (18), (19) з hj(\varepsilon ) \equiv 0. Тодi z(\cdot , \varepsilon ) є розв’язком напiводнорiдної
крайової задачi
L(\varepsilon )z(\cdot , \varepsilon ) \equiv 0, Bj(\varepsilon )z(\cdot , \varepsilon ) = \~c(\varepsilon ), \~c(\varepsilon ) := cj(\varepsilon ) - Bj(\varepsilon )x(\cdot , \varepsilon ) \in \BbbC m.
На пiдставi зроблених припущень i леми 3 \~c(\varepsilon ) \rightarrow \~c(0) при \varepsilon \rightarrow 0+. Таким чином, у вiдповiд-
ностi з лемою 5
\| z(\cdot , \varepsilon ) - z(\cdot , 0)\| n+r,\alpha \rightarrow 0, \varepsilon \rightarrow 0 + . (31)
Iз (21) i (31) випливає гранична властивiсть (5).
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Кигурадзе И. Т. Краевые задачи для систем обыкновенных диференциальних уравнений // Совр. пробл.
математики. Новейшие достижения / ВИНИТИ. – 1987. – 30. – С. 3 – 103.
2. Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. –
Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1975. – 352 с.
3. Кигурадзе И. Т. О краевых задачах для линейных дифференциальных систем с сингулярностями // Дифференц.
уравнения. – 2003. – 39, № 2. – С. 198 – 209.
4. Kodlyuk T. I. , Mikhailets V. A., Reva N. V. Limit theorems for one-dimensional boundary-value problems // Ukr.
Math. J. – 2013. – 65, № 1. – P. 77 – 90.
5. Михайлец В. А., Рева Н. В. Обобщения теоремы Кигурадзе о корректности линейных краевых задач // Доп.
НАН України. – 2008. – № 9. – С. 23 – 27.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕПЕРЕРВНIСТЬ ЗА ПАРАМЕТРОМ РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНОВИМIРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ . . . 91
6. Mikhailets V. A., Chehanova G. A. Limit theorems for general one-dimensional boundary-value problems // J. Math.
Sci. – 2015. – 204, № 3. – P. 333 – 342.
7. Soldatov V. A. On the continuity in a parameter for the solutions of boundary-value problems total with respect to the
spaces C(n+r)[a, b] // Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 785 – 794.
8. Gnyp E. V., Kodlyuk T. I., Mikhailets V. A. Fredholm boundary-value problems with parameter in Sobolev space //
Ukr. Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 658 – 667.
9. Mikhailets V. A., Murach A. A., Soldatov V. A. Continuity in a parameter of solutions to generic boundary-value
problems // Electron. J. Qual. Theory Different. Equat. – 2016. – 87. – P. 1 – 16.
10. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Resolvent convergence of Sturm -– Liouville operators with singular potentials //
Math. Notes. – 2010. – 87, № 2. – P. 287 – 292.
11. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of singular Sturm -– Liouville equations // Meth. Funct. Anal. and
Top. – 2010. – 16, № 2. – P. 120 – 130.
12. Goriunov A. S., Mikhailets V. A. Regularization of two-term differential equations with singular coefficients by
quasiderivatives // Ukr. Math. J. – 2012. – 63, № 9. – P. 1361 – 1378.
13. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971. – 392 с.
14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 895 с.
15. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: В 4 т. Т.3. Псев-
додифференциальные операторы. – М.: Мир, 1987. – 696 с.
16. Никольский С. М. Математический анализ. – М.: Наука, 1991. – Т. 2. – 544 с.
17. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
18. Трибель Х. Теория функциональных пространств. – М.: Мир, 1986. – 447 с.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin; Boston: De Gruyter,
2014. – xii + 297 p.
Одержано 29.06.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1677 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:25Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2f/7b60c1741f998984c75e15adaa2c592f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16772019-12-05T09:23:35Z Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder spaces with respect to the parameter Неперервність за параметром розв’язків одновимірних крайових задач у просторах Гельдера Maslyuk, H. O. Маслюк, Г. О. We introduce the most general class of linear boundary-value problems for systems of ordinary differential equations of order $r \geq 2$ whose solutions belong to the complex Hölder space $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$, where $n \in Z_{+},\; 0 < \alpha \leq 1$ и $[a, b] \subset R$, and $[a, b] \subset R$. We establish sufficient conditions under which the solutions of these problems continuously depend on the parameter in the H¨older space $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$. Введен наиболее широкий класс линейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений порядка $r \geq 2$, решения которых принадлежат комплексному пространству Гельдера $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$, где $n \in Z_{+},\; 0 < \alpha \leq 1$ и $[a, b] \subset R$. Найдены достаточные условия, при которых решения этих задач непрерывно зависят от параметра в пространстве Гельдера $C^{n+r,\alpha} ([a, b])$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1677 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 83-91 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 83-91 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1677/659 Copyright (c) 2017 Maslyuk H. O. |
| spellingShingle | Maslyuk, H. O. Маслюк, Г. О. Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder spaces with respect to the parameter |
| title | Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder
spaces with respect to the parameter |
| title_alt | Неперервність за параметром розв’язків одновимірних крайових задач у просторах
Гельдера |
| title_full | Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder
spaces with respect to the parameter |
| title_fullStr | Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder
spaces with respect to the parameter |
| title_full_unstemmed | Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder
spaces with respect to the parameter |
| title_short | Continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in Hölder
spaces with respect to the parameter |
| title_sort | continuity of the solutions of one-dimensional boundary-value problems in hölder
spaces with respect to the parameter |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1677 |
| work_keys_str_mv | AT maslyukho continuityofthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsinholderspaceswithrespecttotheparameter AT maslûkgo continuityofthesolutionsofonedimensionalboundaryvalueproblemsinholderspaceswithrespecttotheparameter AT maslyukho neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačuprostorahgelʹdera AT maslûkgo neperervnístʹzaparametromrozvâzkívodnovimírnihkrajovihzadačuprostorahgelʹdera |