Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group into its multiple subgroups
A ring $R$ is called a ring of stable rank 1.5 if, for any triple $a, b, c \in R, c \not = 0$, such that $aR + bR + cR = R$, there exists $r \in R$ such that $(a + br)R + cR = R$. It is proved that a commutative Bezout domain has a stable rank 1.5 if and only if every invertible matrix $A$ can be...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1680 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507512849039360 |
|---|---|
| author | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_facet | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. |
| author_sort | Shchedrik, V. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | A ring $R$ is called a ring of stable rank 1.5 if, for any triple $a, b, c \in R, c \not = 0$, such that $aR + bR + cR = R$, there exists
$r \in R$ such that $(a + br)R + cR = R$. It is proved that a commutative Bezout domain has a stable rank 1.5 if and only if
every invertible matrix $A$ can be represented in the form $A = HLU$, where $L, U$ are elements of the groups of lower and upper unitriangular matrices (triangular matrices with 1 on the diagonal) and the matrix $H$ belongs to the group
$$\bf{G} \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H_1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}_n(R) : H\Phi = \Phi H_1\},$$
where $\Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2,..., \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| ... | \varphi n, \varphi n \not = 0$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 552.13
В. П. Щедрик (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 ТА РОЗКЛАДНIСТЬ ПОВНОЇ
ЛIНIЙНОЇ ГРУПИ В ДОБУТОК ЇЇ ПIДГРУП
A ring R is called a ring of stable rank 1.5 if, for any triple a, b, c \in R, c \not = 0, such that aR+ bR+ cR = R, there exists
r \in R such that (a+ br)R+ cR = R. It is proved that a commutative Bezout domain has a stable rank 1.5 if and only if
every invertible matrix A can be represented in the form A = HLU, where L, U are elements of the groups of lower and
upper unitriangular matrices (triangular matrices with 1 on the diagonal) and the matrix H belongs to the group
\bfG \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) : H\Phi = \Phi H1\} ,
where \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| . . . | \varphi n, \varphi n \not = 0.
Кольцо R называется кольцом стабильного ранга 1,5, если для каждой тройки a, b, c \in R, c \not = 0, такой, что
aR+ bR+ cR = R, существует такое r \in R, что (a+ br)R+ cR = R. Доказано, что коммутативная область Безу
имеет стабильный ранг 1,5 тогда и только тогда, когда каждая обратимая матрица A представима в виде A = HLU,
где L, U — элементы групп нижних и верхних унитреугольных матриц (треугольных матриц, с 1 на диагонали), а
матрица H принадлежит группе
\bfG \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) : H\Phi = \Phi H1\} ,
где \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| . . . | \varphi n, \varphi n \not = 0.
Вступ. Зображення матрицi у виглядi добутку двох i бiльшої кiлькостi спiвмножникiв iз за-
даними властивостями є одним iз ефективних методiв розв’язання та спрощення матричних
задач. Вiдомо, що над лiвим кiльцем Ермiта кожна матриця є добутком оборотної та трикутної
матриць, над кiльцем елементарних дiльникiв — оборотної, дiагональної та оборотної матриць.
Зауважимо, що можливiсть зображення матрицi у виглядi добутку заданих спiвмножникiв
тiсно пов’язана зi стабiльним рангом кiльця, над яким розглядаються цi матрицi. Пiд стабiльним
рангом кiльця R розумiється таке найменше n, що з умови a1R+. . .+an+1R = R, a1, . . . , an+1 \in
\in R, випливає iснування таких b1, . . . , bn \in R, що
(a1 + an+1b1)R+ . . .+ (an + an+1bn)R = R.
Такi дослiдження проводились у роботах [1 – 4]. Зокрема, було показано [3], що кожна оборотна
матриця над комутативним кiльцем R є добутком верхньої трикутної, нижньої та верхньої
унiтрикутних матриць (трикутних матриць, дiагональними елементами яких є 1) тодi i тiльки
тодi, коли R є кiльцем Ермiта стабiльного рангу 1. Х. Чен [4] узагальнив цей результат на
некомутативний випадок.
Допомiжнi твердження. Будемо говорити, що кiльце R має стабiльний ранг 1,5, якщо
з умови aR + bR + cR = R, де a, b, c \in R, c \not = 0, випливає iснування такого r \in R, що
(a+ br)R+ cR = R.
Кiльцями стабiльного рангу 1,5 є адекватнi кiльця [5], факторiальнi кiльця, комутативнi
областi головних iдеалiв. Також такими кiльцями є кiльця (2\times 2)-матриць над комутативними
областями Безу (областями скiнченнопороджених головних iдеалiв) стабiльного рангу 1,5 [6].
Основною метою цiєї роботи є дослiдження розкладностi повної лiнiйної групи над комута-
тивними областями Безу стабiльного рангу 1,5 у добуток трьох її пiдгруп, двi з яких є групами
верхнiх та нижнiх унiтрикутних матриць.
c\bigcirc В. П. ЩЕДРИК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1 113
114 В. П. ЩЕДРИК
Нагадаємо, що комутативне кiльце R називається кiльцем елементарних дiльникiв, якщо
для кожної матрицi A над R iснують такi оборотнi матрицi вiдповiдних розмiрiв P, Q, що
PAQ = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi n) = \Phi , (1)
де \varphi i| \varphi i+1, i = 1, . . . , n - 1. Матриця \Phi називається формою Смiта, а матрицi P, Q — лiвою та
правою перетворювальними матрицями матрицi A. Спiвставимо матрицi \Phi групу Зелiска
G\Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) : H\Phi = \Phi H1\} ,
що складається з усiх оборотних матриць вигляду\left[
h11 h12 . . . h1,n - 1 h1n
\varphi 2
\varphi 1
h21 h22 . . . h2,n - 1 h2n
. . . . . . . . . . . . . . .
\varphi n
\varphi 1
hn1
\varphi n
\varphi 2
h22 . . .
\varphi n
\varphi n - 1
hn,n - 1 hnn
\right] . (2)
Дослiдження цiєї групи було розпочато у роботi [8] i продовжено в [9]. Ця група виникла при
описовi множини лiвих перетворювальних матриць матрицi A, яку позначимо через \bfP A. Так,
\bfP A = \bfG \Phi P, де P — довiльна матриця, що задовольняє рiвнiсть (1).
Окрiм того, група \bfG \Phi вiдiграє центральну роль у питаннi асоцiйованостi матриць. Так,
матрицi A = P - 1
A \Phi Q - 1
A , B = P - 1
B \Phi Q - 1
B асоцiйованi справа, тобто A = BU, U \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R), тодi
тiльки тодi, коли PA = HPB, де H \in \bfG \Phi .
Теорема 1. Комутативна область Безу R стабiльного рангу 1,5 є областю елементарних
дiльникiв.
Доведення. На пiдставi теореми 5.2 з [7] комутативна область Безу R є кiльцем елементар-
них дiльникiв тодi i тiльки тодi, коли для кожної трiйки взаємно простих елементiв a, b, c \in R
iснують такi p, q \in R, що (ap+ bq, cp) = 1. У розглядуваному випадку, якщо c \not = 0, то, згiдно з
означенням, iснує таке r, що (a+br, c) = 1, тобто p = 1, q = r. Якщо c = 0, то p, q вибираються
з рiвностi ap+ bq = 1.
Теорему 1 доведено.
Далi, якщо це спецiально не обумовлено, R є комутативною областю Безу.
Позначимо через A(i) пiдматрицю матрицi A = [aij ]
n
i,j=1 вигляду
A(i) =
\left[
aii ai,i+1 . . . ain
ai+1,i ai+1,i+1 . . . ai+1,n
. . . . . . . . . . . .
ani an,i+1 . . . ann
\right] .
Лема 1. Нехай P = [pij ]
n
i,j=1 — оборотна матриця i HP = Q = [qij ]
n
i,j=1, де H \in \bfG \Phi .
Тодi \biggl(
\varphi i+1
\varphi i
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P(i+1)
\biggr)
=
\biggl(
\varphi i+1
\varphi i
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Q(i+1)
\biggr)
, i = 1, . . . , n - 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 ТА РОЗКЛАДНIСТЬ . . . 115
Доведення. Матриця H має вигляд (2). Тому її пiдматриця, що складена з m останнiх рядкiв,
має вигляд
Ks =
\left[
\varphi s
\varphi 1
hs1 . . .
\varphi s
\varphi s - 1
hs,s - 1 hss . . . hs,n - 1 hsn
\varphi s+1
\varphi 1
hs+1,1 . . .
\varphi s+1
\varphi s - 1
hs+1,s - 1
\varphi s+1
\varphi s
hs+1,s . . . hs+1,n - 1 hs+1,n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
\varphi n
\varphi 1
hn1 . . .
\varphi n
\varphi s - 1
hn,s - 1
\varphi n
\varphi s
hns . . .
\varphi n
\varphi n - 1
hn,n - 1 hnn
\right]
=
=
\bigl[
H \prime
s H(s)
\bigr]
,
де s = n - m + 1. Зауважуючи, що
\varphi s
\varphi s - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \varphi s+k
\varphi s - 1 - l
, отримуємо, що всi елементи матрицi H \prime
s
дiляться на
\varphi s
\varphi s - 1
. Отже, всi мiнори порядку m матрицi Ks, за винятком мiнора \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s), дiляться
на
\varphi s
\varphi s - 1
. Звiдси випливає, що
\biggl(
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s),
\varphi s
\varphi s - 1
\biggr)
= 1. (3)
Оскiльки
Q(s) = Ks
\left[
p1s p1,s+1 . . . p1n
p2s p2,s+1 . . . p2n
. . . . . . . . . . . .
pns pn,s+1 . . . pnn
\right] ,
то, використавши формулу Бiне – Кошi, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Q(s) можна записати у виглядi
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Q(s) =
\sum
m
+\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P(s),
де
\sum
m
— сума добуткiв всеможливих мiнорiв m-го порядку матрицi Ks, за винятком мiнора
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s), на вiдповiднi мiнори матрицi P. Оскiльки всi мiнори \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Hj дiляться на
\varphi s
\varphi s - 1
, то
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Q(s) =
\varphi s
\varphi s - 1
d+ \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P(s), d \in R.
Тодi з огляду на рiвнiсть (3) отримуємо\biggl(
\varphi s
\varphi s - 1
,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}Q(s)
\biggr)
=
\biggl(
\varphi s
\varphi s - 1
,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}H(s) \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P(s)
\biggr)
=
\biggl(
\varphi s
\varphi s - 1
,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}P(s)
\biggr)
.
Лему 1 доведено.
Лема 2. Нехай R — комутативна область Безу стабiльного рангу 1,5 i a1, a2, . . . , an —
взаємно простi елементи кiльця R, до того ж an \not = 0. Тодi iснують такi r2, r3, . . . , rn - 1, що
(a1 + a2r2 + . . .+ an - 1rn - 1, an) = 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
116 В. П. ЩЕДРИК
Доведення. Позначимо \delta = (a2, a3, . . . , an - 1). Тодi iснують такi v2, v3, . . . , vn - 1, що \delta =
= v2a2 + v3a3 + . . .+ vn - 1an - 1. Оскiльки (a1, \delta , an) = 1, то iснує таке r, що (a1 + r\delta , an) = 1,
тобто (a1 + a2(ru2) + . . .+ an - 1(run - 1), an) = 1.
Лему 2 доведено.
Основнi результати.
Теорема 2. Нехай S — оборотна матриця. Для того щоб у групi \bfG \Phi iснувала така
матриця H, щоб HS була нижньою унiтрикутною матрицею, необхiдно та достатньо, щоб\biggl(
\varphi i+1
\varphi i
,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}S(i+1)
\biggr)
= 1, i = 1, . . . , n - 1. (4)
Доведення. Необхiднiсть. Нехай HS = T = [tij ]
n
i,j=1 — нижня унiтрикутна матриця. Тодi
на пiдставi леми 1
\biggl(
\varphi i+1
\varphi i
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}S(i+1)
\biggr)
=
\left( \varphi i+1
\varphi i
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left[
1 0 0
ti+2,i+1 1 0
. . . . . .
tn,i+1 tn,i+2 . . . tn,n - 1 1
\right]
\right) = 1, i = 1, . . . , n - 1.
Достатнiсть. Нехай S = [sij ]
2
i,j=1 — оборотна матриця над R. Маємо
(s12, s22) = 1,
\biggl(
\varphi 2
\varphi 1
, s22
\biggr)
= 1 \Rightarrow
\biggl(
\varphi 2
\varphi 1
s12, s22
\biggr)
= 1.
Тодi iснують такi u1, u2, що
s12
\varphi 2
\varphi 1
u1 + s22 u2 = 1.
Це означає, що матриця
K =
\left[ s22 - s12
\varphi 2
\varphi 1
u1 u2
\right]
є елементом групи \bfG \Phi . Тодi
KS =
\biggl[
d 0
c 1
\biggr]
.
З оборотностi матрицi KS випливає, що d \in U(R). Тому матриця H = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (d - 1, 1)K i буде
шуканою. Таким чином, теорема є правильною у випадку матриць другого порядку.
Припустимо правильнiсть теореми для всiх матриць порядку меншого за n i розглянемо
оборотну матрицю S = [sij ]
n
i,j=1. З рiвностей (4) випливає\biggl(
\varphi i+1
\varphi i
, (sn,i+1, sn,i+2, . . . , snn)
\biggr)
= 1, i = 1, . . . , n - 1.
Отже, зокрема, \biggl(
\varphi 2
\varphi 1
, (sn2, sn3, . . . , snn)
\biggr)
= 1.
Також (sn1, (sn2, sn3, . . . , snn)) = 1. Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 ТА РОЗКЛАДНIСТЬ . . . 117\biggl(
\varphi 2
\varphi 1
sn1, (sn2, sn3, . . . , snn)
\biggr)
=
\biggl( \biggl(
\varphi 2
\varphi 1
sn1, sn2
\biggr)
, (sn3, . . . , snn)
\biggr)
= 1.
Зважаючи на те, що \biggl(
\varphi 3
\varphi 2
, (sn3, . . . , snn)
\biggr)
= 1,
отримуємо \biggl( \biggl(
\varphi 3
\varphi 1
sn1,
\varphi 3
\varphi 2
sn2
\biggr)
, (sn3, . . . , snn)
\biggr)
= 1.
Покроково продовжуючи описаний процес, одержуємо\biggl(
\varphi n
\varphi 1
s1n, . . . ,
\varphi n
\varphi n - 2
sn - 2,n,
\varphi n
\varphi n - 1
sn - 1,n, snn
\biggr)
= 1.
В кiльцi R iснують такi un1, un2, . . . , unn, що
\varphi n
\varphi 1
un1s1n + . . .+
\varphi n
\varphi n - 1
un,n - 1sn - 1,n + unnsnn = 1.
Це означає, що рядок
\biggl[
\varphi n
\varphi 1
un1 . . .
\varphi n
\varphi n - 1
un,n - 1 unn
\biggr]
є унiмодулярним. Скориставшись
теоремою 3.7 iз [7], доповнимо цей рядок до оборотної матрицi вигляду
H1 =
\left[
u11 u12 . . . u1,n - 2 u1,n - 1 u1n
0 u22 . . . u2,n - 2 u2,n - 1 u2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 un - 2,n - 2 un - 2,n - 1 un - 2,n
0 0 . . . 0 un - 1,n - 1 un - 1,n
\varphi n
\varphi 1
un1
\varphi n
\varphi 2
un2 . . .
\varphi n
\varphi n - 2
un,n - 2
\varphi n
\varphi n - 1
un,n - 1 unn
\right]
,
яка є елементом групи \bfG \Phi . Тодi
H1S =
\biggl[
S1 \bfq
\bfp 1
\biggr]
,
де \bfp =
\bigl[
s\prime n1 s\prime n2 . . . s\prime n,n - 1
\bigr]
, \bfq =
\bigl[
s\prime 1n s\prime 2n . . . s\prime n - 1,n
\bigr] T
. Тодi\biggl[
I - \bfq
\bfzero 1
\biggr]
\underbrace{} \underbrace{}
H2
H1S =
\biggl[
S2 \bfzero
\bfp 1
\biggr]
,
де S2 = [s\prime \prime ij ]
n - 1
i,j=1. Оскiльки H2H1 \in \bfG \Phi , то за лемою 1\left( \varphi i+1
\varphi i
, \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left[
s\prime \prime i+1,i+1 . . . s\prime \prime i+1,n - 1 0
. . . . . . . . . . . .
s\prime \prime n - 1,i+1 . . . s\prime \prime n - 1,n - 1 0
s\prime n,i+1 . . . s\prime n,n - 1 1
\right]
\right) = 1, i = 1, . . . , n - 1.
Звiдси випливає, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
118 В. П. ЩЕДРИК\left( \varphi i+1
\varphi i
,\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}
\left[ s\prime \prime i+1,i+1 . . . s\prime \prime i+1,n - 1
. . . . . . . . .
s\prime \prime n - 1,i+1 . . . s\prime \prime n - 1,n - 1
\right] \right) = 1, i = 1, . . . , n - 2.
Розглянемо матрицю \Phi n - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, . . . , \varphi n - 1). Згiдно з припущенням iндукцiї, у групi
\bfG \Phi n - 1 iснує така матриця K, що KS2 — нижня унiтрикутна матриця. Тодi\biggl[
K \bfzero
\bfzero 1
\biggr]
H2H1S
також буде нижньою унiтрикутною матрицею, i для завершення доведення потрiбно лише
зауважити, що
\biggl[
K \bfzero
\bfzero 1
\biggr]
є елементом групи \bfG \Phi .
Теорему 2 доведено.
Нехай \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2, . . . , \varphi n) — неособлива d-матриця над R, тобто матриця, в якiй
\varphi i| \varphi i+1, i = 1, . . . , n - 1. Позначимо через Uup
n (R) та U lw
n (R) групи верхнiх та нижнiх унiтри-
кутних (n\times n)-матриць над R вiдповiдно.
Теорема 3. Нехай R — комутативна область Безу. Наступнi умови є еквiвалентними:
1) R має стабiльний ранг 1,5;
2) \mathrm{G}\mathrm{L}2(R) = \bfG \Phi U
lw
2 (R)Uup
2 (R) для всiх неособливих d-матриць \Phi над R;
3) \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) = \bfG \Phi U
lw
n (R)Uup
n (R) для всiх неособливих d-матриць \Phi над R та для кожно-
го n \geq 2.
Доведення. 1) \Rightarrow 2). Нехай A = [aij ]
2
i,j=1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}2(R). Тодi
(a21, a22) = 1 \Rightarrow
\biggl(
a21, a22,
\varphi 2
\varphi 1
\biggr)
= 1.
В кiльцi R iснує таке r, що \biggl(
a22 + a21r,
\varphi 2
\varphi 1
\biggr)
= 1.
Розглянемо матрицю AU = [a\prime ij ]
2
i,j=1, де
U =
\biggl[
1 r
0 1
\biggr]
.
Оскiльки \biggl(
a\prime 22,
\varphi 2
\varphi 1
\biggr)
= 1,
то на пiдставi теореми 1 у групi \bfG \Phi iснує така матриця H, що HAU = V — нижня унiтрикутна
матриця. Тодi A = H - 1V U - 1. Таким чином,
\mathrm{G}\mathrm{L}2(R) = \bfG \Phi U
lw
2 (R)Uup
2 (R).
2) \Rightarrow 1). Нехай (a, b, c) = 1, abc \not = 0. Маємо
a = (a, b)a1, b = (a, b)b1, (a1, b1) = 1.
Iснують такi u, v, що a1u+ b1v = 1. Отже, матриця
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
КIЛЬЦЯ БЕЗУ СТАБIЛЬНОГО РАНГУ 1,5 ТА РОЗКЛАДНIСТЬ . . . 119\biggl[
u - v
b1 a1
\biggr]
= A
є оборотною. Розглянемо d-матрицю \Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (1, c). Згiдно з умовою теореми, матриця A є
добутком трьох матриць: A = HUV, де H \in \bfG \Phi , U \in U lw
2 (R), V \in Uup
2 (R). Зауважуючи, що
H - 1 =
\biggl[
h11 h12
ch21 h22
\biggr]
, U =
\biggl[
1 0
u 1
\biggr]
, V - 1 =
\biggl[
1 r
0 1
\biggr]
,
отримуємо
U =
\biggl[
1 0
u 1
\biggr]
= H - 1AV - 1 = H - 1
\biggl( \biggl[
u - v
b1 a1
\biggr] \biggl[
1 r
0 1
\biggr] \biggr)
=
=
\biggl[
h11 h12
ch21 h22
\biggr] \biggl[
u ur - v
b1 b1r + a1
\biggr]
=
\biggl[
\ast \ast
\ast ch21(ur - v) + h22(b1r + a1)
\biggr]
.
Отже,
ch21(ur - v) + h22(b1r + a1) = 1.
Звiдси випливає, що (b1r + a1, c) = 1. Зважаючи на те, що ((a, b), c) = 1, отримуємо
((a, b)(b1r + a1), c) = (a+ br, c) = 1.
Це означає, що кiльце R має стабiльний ранг 1,5.
Випадок, коли a = 0 чи b = 0, є очевидним.
3) \Rightarrow 2) очевидно.
2) \Rightarrow 3). Доведення проведемо методом математичної iндукцiї. Для матриць порядку 2, як
ми показали, твердження є правильним. Припустимо його правильнiсть для матриць порядку
меншого за n. Оскiльки 2) \leftrightarrow 1), то R є комутативною областю Безу стабiльного рангу 1,5.
Нехай A = [aij ]
n
i,j=1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R). Тодi
(an1, . . . , ann) = 1 \Rightarrow
\biggl(
an1, . . . , ann,
\varphi n
\varphi 1
\biggr)
= 1.
Згiдно з лемою 2, iснують такi r1, . . . , rn - 1, що\biggl(
ann + an,n - 1rn - 1 + . . .+ an1r1,
\varphi n
\varphi 1
\biggr)
= 1.
Розглянемо матрицю AUn = [a\prime ij ]
n
i,j=1, де
Un =
\left[
1 0 r1
. . . 0
...
0 1 rn - 1
0 . . . 0 1
\right] .
Оскiльки ((a\prime n1, . . . , a
\prime
n,n - 1), a
\prime
nn) = 1 i \biggl(
\varphi n
\varphi 1
, a\prime nn
\biggr)
= 1,
то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
120 В. П. ЩЕДРИК\biggl(
\varphi n
\varphi 1
(a\prime n1, . . . , a
\prime
n,n - 1), a
\prime
nn
\biggr)
= 1.
Звiдси випливає, що \biggl(
\varphi n
\varphi 1
a\prime n1,
\varphi n
\varphi 2
a\prime n2, . . . ,
\varphi n
\varphi n - 1
a\prime n,n - 1, a
\prime
nn
\biggr)
= 1.
Iз доведення достатностi теореми 2 випливає, що в групi \bfG \Phi iснує така матриця Hn, що
HnAUn =
\biggl[
A1 \bfzero
A2 1
\biggr]
.
Розглянемо d-матрицю \Phi n - 1 = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, . . . , \varphi n - 1). Оскiльки A1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}n - 1(R), то згiдно з
припущенням A1 = Hn - 1Vn - 1Un - 1, де Hn - 1 \in \bfG \Phi n - 1 , Vn - 1 \in U lw
n - 1(R), Un - 1 \in Uup
n - 1(R).
Отже,
HnAUn =
\biggl[
A1 \bfzero
A2 1
\biggr]
=
\biggl[
Hn - 1Vn - 1Un - 1 \bfzero
A2 1
\biggr]
=
=
\biggl[
Hn - 1 \bfzero
\bfzero 1
\biggr]
\underbrace{} \underbrace{}
M
\biggl[
Vn - 1 \bfzero
A2U
- 1
n - 1 1
\biggr]
\underbrace{} \underbrace{}
S
\biggl[
Un - 1 \bfzero
\bfzero 1
\biggr]
\underbrace{} \underbrace{}
N
= MSN.
Таким чином, матрицю A можна записати у виглядi A = (H - 1
n M)S(NU - 1
n ). Зауважуючи,
що H - 1
n M \in \bfG \Phi , S \in U lw
n (R), NU - 1
n \in Uup
n (R), отримуємо
\mathrm{G}\mathrm{L}n(R) = \bfG \Phi U
lw
n (R)Uup
n (R).
Теорему 3 доведено.
Зауваження. Теорема 3 є вiдповiддю на питання Б. Забавського, яке вiн задав автору
пiд час його виступу на семiнарi „The problems of elementary divisor rings” у Львiвському
нацiональному унiверситетi iменi Iвана Франка.
Лiтература
1. Nagarajan K., Devasahayam M., Soundararajan T. Products of three triangular matrices // Linear Algebra and Appl. –
1999. – 292. – P. 61 – 71.
2. Васерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функцион. анализ и
его прил. – 1971. – 5, вып. 2. – С. 17 – 27.
3. Nagarajan K., Devasahayam M., Soundararajan T. Products of three triangular matrices over commutative rings //
Linear Algebra and Appl. – 2002. – 348. – P. 1 – 6.
4. Chen H. Rings related to stable range conditions. – World Sci., 2011. – Vol. 11.
5. Helmer O. The elementary divisor for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1943. – 49,
№ 2. – P. 225 – 236.
6. Щедрик В. П. Кiльця Безу стабiльного рангу 1,5 // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 6. – C. 849 – 860.
7. Kaplansky I. Elementary divisor and modules // Trans. Amer. Math. Soc. – 1949. – 66. – P. 464 – 491.
8. Зелиско В. Р. О строении одного класса обратимых матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. –
С. 14 – 21.
9. Shchedryk V. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra and Discrete Math. – 2009. –
№ 2. – P. 79 – 99.
Одержано 22.07.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1680 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/90/052e593144c09a098dceddc5cf2d1590.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16802019-12-05T09:23:35Z Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group into its multiple subgroups Кільця Безу стабільного рангу 1,5 та розкладність повної лінійної групи в добуток її підгруп Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. A ring $R$ is called a ring of stable rank 1.5 if, for any triple $a, b, c \in R, c \not = 0$, such that $aR + bR + cR = R$, there exists $r \in R$ such that $(a + br)R + cR = R$. It is proved that a commutative Bezout domain has a stable rank 1.5 if and only if every invertible matrix $A$ can be represented in the form $A = HLU$, where $L, U$ are elements of the groups of lower and upper unitriangular matrices (triangular matrices with 1 on the diagonal) and the matrix $H$ belongs to the group $$\bf{G} \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H_1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}_n(R) : H\Phi = \Phi H_1\},$$ where $\Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2,..., \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| ... | \varphi n, \varphi n \not = 0$. Кольцо $R$ называется кольцом стабильного ранга 1,5, если для каждой тройки $a, b, c \in R, c \not = 0$, такой, что $aR + bR + cR = R$, существует такое $r \in R$, что $(a + br)R + cR = R$. Доказано, что коммутативная область Безу имеет стабильный ранг 1,5 тогда и только тогда, когда каждая обратимая матрица $A$ представима в виде $A = HLU$, где $L, U$ — элементы групп нижних и верхних унитреугольных матриц (треугольных матриц, с 1 на диагонали), а матрица $H$ принадлежит группе $$\bf{G} \Phi = \{ H \in \mathrm{G}\mathrm{L}n(R) | \exists H_1 \in \mathrm{G}\mathrm{L}_n(R) : H\Phi = \Phi H_1\},$$ где $\Phi = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g} (\varphi 1, \varphi 2,..., \varphi n), \varphi 1| \varphi 2| ... | \varphi n, \varphi n \not = 0$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1680 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 113-120 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 113-120 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1680/662 Copyright (c) 2017 Shchedrik V. P. |
| spellingShingle | Shchedrik, V. P. Щедрик, В. П. Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group into its multiple subgroups |
| title | Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| title_alt | Кільця Безу стабільного рангу 1,5 та розкладність повної лінійної групи в добуток
її підгруп |
| title_full | Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| title_fullStr | Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| title_full_unstemmed | Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| title_short | Bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| title_sort | bezout rings of stable ranк 1.5 and the decomposition of a complete linear group
into its multiple subgroups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1680 |
| work_keys_str_mv | AT shchedrikvp bezoutringsofstablerank15andthedecompositionofacompletelineargroupintoitsmultiplesubgroups AT ŝedrikvp bezoutringsofstablerank15andthedecompositionofacompletelineargroupintoitsmultiplesubgroups AT shchedrikvp kílʹcâbezustabílʹnogorangu15tarozkladnístʹpovnoílíníjnoígrupivdobutokíípídgrup AT ŝedrikvp kílʹcâbezustabílʹnogorangu15tarozkladnístʹpovnoílíníjnoígrupivdobutokíípídgrup |