Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation
We study the solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation with predominant mixed derivative. The posed problem is reduced to the integral equation and the existence of its solution is proved by the help of a priori estimates.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1681 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507513335578624 |
|---|---|
| author | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. |
| author_facet | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. |
| author_sort | Yusubov, Sh. Sh. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:35Z |
| description | We study the solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation with
predominant mixed derivative. The posed problem is reduced to the integral equation and the existence of its solution
is proved by the help of a priori estimates.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Ш. Ш. Юсубов (Бакин. гос. ун-т, Азербайджан)
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
We study the solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation with
predominant mixed derivative. The posed problem is reduced to the integral equation and the existence of its solution
is proved by the help of a priori estimates.
Для гiперболiчного рiвняння високого порядку з домiнуючою мiшаною похiдною дослiджується розв’язнiсть нело-
кальної задачi з iнтегральними умовами. Сформульовану задачу зведено до iнтегрального рiвняння i з допомогою
апрiорних оцiнок доведено iснування єдиного розв’язку.
1. Постановка задачи. В области G =
\bigl\{
(t, x) : t0 < t < t1, x0 < x < x1
\bigr\}
рассмотрим гипербо-
лическое уравнение высокого порядка общего вида с доминирующей смешанной производной
(lnmu)(t, x) \equiv Dn
t D
m
x u+
\sum
i+j<n+m
i=0,n; j=0,m
aij(t, x)D
i
tD
j
xu = \varphi nm(t, x), (1)
с условиями
(l00u)(x) \equiv
t1\int
t0
u(t, x)dt = \varphi 00(x), x \in (x0, x1),
(li0u)(x) \equiv Di - 1
t u(t1, x) - Di - 1
t u(t0, x) = \varphi i0(x), x \in (x0, x1), i = 1, n - 1,
(2)
и
(ln0u)(t) \equiv
x1\int
x0
Dn
t u(t, x)dx = \varphi n0(t), t \in (t0, t1),
(lnju)(t) \equiv Dn
t D
j - 1
x u(t, x1) - Dn
t D
j - 1
x u(t, x0) = \varphi nj(t), t \in (t0, t1), j = 1,m - 1.
(3)
Здесь u(t, x) — искомая функция; Dk
s = \partial k/\partial xks — оператор обобщенного дифференцирования
в смысле С. Л. Соболева; n,m — натуральные числа; aij(t, x), i = 0, n, j = 0,m, i + j <
< n+m, — заданные измеримые на G функции, удовлетворяющие условиям aij(t, x) \in Lp(G),
i = 0, n - 1, j = 0,m - 1, 1 \leq p \leq \infty , и существуют функции a0nj(x) \in Lp(x0, x1) и a0im(t) \in
\in Lp(t0, t1) такие, что выполняются условия\bigm| \bigm| anj(t, x)\bigm| \bigm| \leq a0nj(x), j = 0,m - 1, и
\bigm| \bigm| aim(t, x)
\bigm| \bigm| \leq a0im(t), i = 0, n - 1,
почти всюду на G; \varphi i0(x) \in W
(m)
p (x0, x1), \varphi ni(t) \in Lp(t0, t1) — заданные функции, где
W
(m)
p (x0, x1) — пространство функций \varphi (x), имеющих обобщенные производные Di\varphi (x) \in
\in Lp(x0, x1), i = 0,m. Решение задачи (1) – (3) будем искать в пространстве С. Л. Соболева
W (n,m)
p (G) =
\Bigl\{
u \in Lp(G)/D
i
tD
j
xu \in Lp(G), i = 0, n, j = 0,m
\Bigr\}
c\bigcirc Ш. Ш. ЮСУБОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1 121
122 Ш. Ш. ЮСУБОВ
с доминирующей смешанной производной Di
tD
j
xu. Норму в W (n,m)
p (G) определим равенством
\| u\|
W
(n,m)
p (G)
=
n\sum
i=0
m\sum
j=0
\bigm\| \bigm\| Di
tD
j
xu
\bigm\| \bigm\|
Lp(G)
.
Отметим, что в последнее время возрос интерес к уравнениям вида (1), так как уравнение (1)
и его частные случаи встречаются при исследовании процессов сорбции, сушки [1], поглощения
почвенной влаги растениями [2], продольных волн в тонком упругом стержне с учетом эффектов
поперечной инерции [3], при изучении распространения волн в диспергирующих средах [4], в
теории оптимальных процессов [5, 6], в теории обратных задач [7] и т. д.
Уравнение (1) относится к числу нестрого гиперболических уравнений, для которых пря-
мые t = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} и x = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} являются, соответственно, n- и m-кратными действительными
характеристиками. Это уравнение в некотором смысле можно рассматривать также как псев-
допараболическое уравнение высокого порядка [8].
Нелокальные задачи для уравнений с частными производными весьма активно изучаются в
настоящее время. Основная особенность таких задач заключается в том, что значения решения
уравнения или его производных задаются не только на границах рассматриваемой области, но
и в промежуточных точках, либо среднее значение задается в виде интеграла.
Из многочисленных работ, посвященных нелокальным краевым задачам, отметим некото-
рые из связанных с уравнением (1). В работе [9] рассматриваются различные задачи типа Гурса
для уравнения (1) с достаточно гладкими коэффициентами при предположении выполнения
условий согласования. В работах [10 – 22] исследованы различные локальные и нелокальные
задачи для частных случаев уравнения (1) при условиях достаточной гладкости данных.
В настоящей работе, развивая методику, предложенную в [20], мы исследуем разрешимость
задач (1) – (3) при достаточно общих условиях на данные, без предположения выполнения
условий согласования. С помощью априорных оценок доказываем существование единствен-
ного решения.
2. Сведение задачи (1) – (3) к интегральному уравнению. Задачу (1) – (3) запишем в опе-
раторном виде
lu = \varphi , (4)
где
l =
\bigl(
lnm, li0, i = 0, n - 1, lnj , j = 0,m - 1
\bigr)
: W (n,m)
p (G) \rightarrow H(n,m)
p ,
\varphi =
\bigl(
\varphi nm(t, x), \varphi i0(x), i = 0, n - 1, \varphi nj(t), j = 0,m - 1
\bigr)
\in H(n,m)
p ,
H(n,m)
p = Lp(G)\times
n - 1\prod
i=0
W (m)
p (x0, x1)\times
m - 1\prod
j=0
Lp(t0, t1).
Норму в пространстве H(n,m)
p определим естественным образом с помощью равенства
\| \varphi \|
H
(n,m)
p
= \| \varphi nm\| Lp(G) +
n - 1\sum
i=0
\| \varphi i0\| W (m)
p (x0,x1)
+
m - 1\sum
j=0
\| \varphi nj\| Lp(t0,t1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО . . . 123
Ясно, что при введенных условиях на коэффициенты задачи (1) – (3) оператор l :
W
(n,m)
p (G) \rightarrow H
(n,m)
p линеен и ограничен.
Исследование задачи (1) – (3) проводится на основе специального интегрального представ-
ления функции u \in W
(n,m)
p (G) (см. [23]):
u(t, x) \equiv (Qb)(t, x) =
n - 1\sum
i=0
(t - t0)
i
i!
bi0(x) +
m - 1\sum
j=0
(x - x0)
j
j!
t\int
t0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
bnj(\tau )d\tau +
+
t\int
t0
x\int
x0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds, (5)
где b =
\bigl(
bnm(t, x), bi0(x), i = 0, n - 1, bnj(t), j = 0,m - 1
\bigr)
\in H
(n,m)
p .
Из представления (5) следует, что любая функция u \in W
(n,m)
p (G) имеет следы Di
tu(t0, x),
i = 0, n - 1, Dn
t D
j
xu(t, x), j = 0,m - 1, и операции взятия этих следов непрерывны из
W
(n,m)
p (G) в W
(m)
p (x0, x1) и Lp(t0, t1) соответственно. Для этих следов справедливы также
равенства
Di
tu(t0, x) = bi0(x), i = 0, n - 1, Dn
t D
j
xu(t, x0) = bnj(t), j = 0,m - 1.
Непосредственно из представления (5) следует, что существуют положительные постоянные c1
и c2 такие, что для любого b \in H
(n,m)
p справедлива оценка
c1\| b\| H(n,m)
p
\leq \| Qb\|
W
(n,m)
p (G)
\leq c2\| b\| H(n,m)
p
.
Из этих неравенств следует, что оператор Q осуществляет изоморфизм между пространствами
H
(n,m)
p и W (n,m)
p (G). Поэтому пространства W (n,m)
p (G) и H(n,m)
p можно отождествить в смысле
изоморфизма.
Выберем элемент
b =
\Bigl(
bnm(t, x), bi0(x), i = 0, n - 1, bnj(t), j = 0,m - 1
\Bigr)
\in H(n,m)
p
таким образом, чтобы соответствующая функция u(t, x), определяемая представлением (5),
удовлетворяла условиям (2), (3). Для этого подставим выражение (5) в условия (2), (3). Тогда
из (2) и (3) получим соотношения
(li0u)(x) \equiv
t1\int
t0
\Biggl[
n - 1\sum
k=i
(t - t0)
k - i
(k - i)!
bk0(x) +
m - 1\sum
j=0
(x - x0)
j
j!
t\int
t0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
bnj(\tau )d\tau +
+
t\int
t0
x\int
x0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds
\Biggr]
dt = \varphi i0(x), (6)
x \in (x0, x1), i = 0, n - 1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
124 Ш. Ш. ЮСУБОВ
(lnju)(t) \equiv
x1\int
x0
\left[ m - 1\sum
k=j
(x - x0)
k - j
(k - j)!
bnk(t) +
x\int
x0
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
bnm(t, s)ds
\right] dx =
= \varphi nj(t), t \in (t0, t1), j = 0,m - 1. (7)
Введя обозначения
\gamma \equiv
\left(
x1 - x0 0 . . . 0
(x1 - x0)
2
2
x1 - x0 . . . 0
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot
(x1 - x0)
m
m!
(x1 - x0)
m - 1
(m - 1)!
. . . x1 - x0
\right)
,
\Phi nj(t) \equiv \varphi nj(t) -
x1\int
x0
(x1 - x)m - j
(m - j)!
bnm(t, x)dx, j = 0,m - 1, (8)
систему (7) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных bn0(t), bn1(t), . . .
. . . , bnm - 1(t) можем записать в виде векторного уравнения\bigl(
bn0(t), bn1(t), . . . , bnm - 1(t)
\bigr)
\gamma =
\bigl(
\Phi n0(t),\Phi n1(t), . . . ,\Phi nm - 1(t)
\bigr)
. (9)
Ясно, что треугольная матрица \gamma обратима. Обратная матрица имеет вид
\gamma - 1 =
\left(
d00 d01 . . . d0m - 1
d10 d11 . . . d1m - 1
. . . . . . . . . . . .
dm - 1 0 dm - 1 1 . . . dm - 1 m - 1
\right) .
Тогда из (9) получим
bnj(t) = \Phi n0(t)d0j +\Phi n1(t)d1j + . . .+\Phi nm - 1(t)dm - 1 j =
m - 1\sum
k=0
\Phi nk(t)dkj , j = 0, n - 1. (10)
Учитывая (10) в (6) и вводя обозначения
P \equiv
\left(
t1 - t0 0 . . . 0
(t1 - t0)
2
2
t1 - t0 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
(t1 - t0)
n
n!
(t1 - t0)
n - 1
(n - 1)!
. . . t1 - t0
\right)
,
\psi k0(x) \equiv \varphi k0(x) -
m - 1\sum
j=0
(x - x0)
j
j!
t1\int
t0
(t1 - t)n - k
(n - k)!
\Biggl(
m - 1\sum
l=0
\varphi nl(t)dlj
\Biggr)
dt -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО . . . 125
-
t1\int
t0
x\int
x0
(t1 - t)n - k
(n - k)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(t, s)dtds+
+
m - 1\sum
j=0
(x - x0)
j
j!
t1\int
t0
x1\int
x0
(t1 - t)n - k
(n - k)!
\Biggl(
m - 1\sum
l=0
(x1 - x)m - l
(m - l)!
dlj
\Biggr)
bnm(t, x)dtdx, k = 0, n - 1, (11)
систему (6) линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных b00(x), b10(x), . . .
. . . , bn - 1 0(x) записываем в виде векторного уравнения\bigl(
b00(x), b10(x), . . . , bn - 1 0(x)
\bigr)
P =
\bigl(
\psi 00(x), \psi 10(x), . . . , \psi n - 1 0(x)
\bigr)
. (12)
Поскольку матрица P обратима, то, обозначив
P - 1 =
\left(
q00 q01 . . . q0n - 1
q10 q11 . . . q1n - 1
. . . . . . . . . . . .
qn - 1 0 qn - 1 1 . . . qn - 1 n - 1
\right) ,
из (11) получим
bi0(x) = \psi 00(x)q0i + \psi 10(x)q1i + . . .+ \psi n - 1 0(x)qn - 1 i =
n - 1\sum
k=0
\psi k0(x)qki, i = 0, n - 1. (13)
Учитывая (8), (10), (11) и (13) в (5), представление u(t, x) можем записать в виде
u(t, x) =
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
(t - t0)
i
i!
\varphi k0(x)qki -
-
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
l=0
(t - t0)
i
i!
(x - x0)
j
j!
t1\int
t0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
\varphi nl(\tau )dljqkid\tau +
+
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
k=0
(x - x0)
j
j!
t\int
t0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
\varphi nk(\tau )dkjd\tau -
-
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
(t - t0)
i
i!
qki
t1\int
t0
x\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds+
+
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
l=0
(t - t0)
i
i!
(x - x0)
j
j!
qkidlj\times
\times
t1\int
t0
x1\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x1 - s)m - l
(m - l)!
bnm(\tau , s)d\tau ds -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
126 Ш. Ш. ЮСУБОВ
-
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
k=0
(x - x0)
j
j!
dkj
t\int
t0
x1\int
x0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
bnm(\tau , s)d\tau ds+
+
t\int
t0
x\int
x0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds. (14)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Любая функция u \in W
(n,m)
p (G), удовлетворяющая условиям (2), (3), предста-
вима в виде (14).
Поскольку решение задачи (1) – (3) ищем в классе W (n,m)
p (G), а в силу доказанной теоремы
любая функция из этого класса представима в виде (14), то решение будем искать в виде (14).
Точнее, в (14) выберем bnm(t, x) так, чтобы соответствующая функция u(t, x) была решением
уравнения (1). Для этого функцию u(t, x) запишем в виде
u(t, x) = q(t, x) + \=u(t, x), (15)
где
q(t, x) =
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
(t - t0)
i
i!
\varphi k0(x)qki -
-
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
l=0
(t - t0)
i
i!
(x - x0)
j
j!
t1\int
t0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
\varphi nl(\tau )dljqkid\tau +
+
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
k=0
(x - x0)
j
j!
t\int
t0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
\varphi nk(\tau )dkjd\tau , (16)
\=u(t, x) = -
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
(t - t0)
i
i!
qki
t1\int
t0
x\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds+
+
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
l=0
(t - t0)
i
i!
(x - x0)
j
j!
qkidlj\times
\times
t1\int
t0
x1\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x1 - s)m - l
(m - l)!
bnm(\tau , s)d\tau ds -
-
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
k=0
(x - x0)
j
j!
dkj
t\int
t0
x1\int
x0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
bnm(\tau , s)d\tau ds+
+
t\int
t0
x\int
x0
(t - \tau )n - 1
(n - 1)!
(x - s)m - 1
(m - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds. (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО . . . 127
Тогда для функции (15) уравнение (1) можно записать в виде
(lnm\=u)(t, x) = \psi (t, x), (18)
где
\psi (t, x) = \varphi nm(t, x) - (lnmq)(t, x).
Учитывая (17), уравнение (18) записываем в виде
(lnm\=u)(t, x) \equiv (Abnm)(t, x) \equiv bnm(t, x) +
t1\int
t0
K1(\tau ; t, x)bnm(\tau , x)d\tau +
+
x1\int
x0
K2(s; t, x)bnm(t, s)ds+
t1\int
t0
x1\int
x0
K(\tau , s; t, x)bnm(\tau , s)d\tau ds = \psi (t, x), (19)
где
K1(\tau ; t, x) =
n - 1\sum
i=0
aim(t, x)
\Biggl[
-
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
(t - t0)
r - i
(r - i)!
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
qkr + \theta (t - \tau )
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
\Biggr]
,
K2(s; t, x) =
m - 1\sum
j=0
anj(t, x)
\left[ - m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
(x - x0)
r - j
(r - j)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
dkr + \theta (x - s)
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
\right] ,
K(\tau , s; t, x) =
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
aij(t, s)
\Biggl[
-
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
\theta (x - s)
(t - t0)
r - i
(r - i)!
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
qkr +
+
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
\sigma =j
m - 1\sum
l=0
(t - t0)
r - i
(r - i)!
(x - x0)
\sigma - j
(\sigma - j)!
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x1 - s)m - l
(m - l)!
qkrdl\sigma -
-
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
\theta (t - \tau )
(x - x0)
r - j
(r - j)!
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
dkr+
+\theta (t - \tau )\theta (x - s)
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
\Biggr]
.
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Для того чтобы оператор l =
\bigl(
lnm, li, i = 0, n - 1, lnj , j = 0,m - 1
\bigr)
задачи (1) – (3) осуществлял гомеоморфизм между пространствами W
(n,m)
p (G) и H
(n,m)
p ,
необходимо и достаточно, чтобы интегральное уравнение (19) имело единственное решение
bnm \in Lp(G) для любого \psi \in Lp(G).
Эта теорема, в частности, показывает, что если оператор A интегрального уравнения (19)
имеет ограниченный обратный A - 1, определенный на Lp(G), то задача (1) – (3) для любого
\varphi =
\bigl(
\varphi nm(t, x), \varphi i0(x), i = 0, n - 1, \varphi nj(t), j = 0,m - 1
\bigr)
\in H(n,m)
p
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
128 Ш. Ш. ЮСУБОВ
имеет единственное решение u \in W
(n,m)
p и для некоторой постоянной M > 0 выполняется
неравенство
\| u\|
W
(n,m)
p (G)
\leq M\| \varphi \|
H
(n,m)
p
.
3. Существование и единственность решения задачи (1) – (3). Для доказательства су-
ществования единственного решения задачи (1) – (3) сначала исследуем разрешимость уравне-
ния (19). Пусть bnm \in Lp(G) является решением уравнения (19). Запишем это уравнение в
виде
(Abnm)(t, x) \equiv (I +A1 +A2)bnm = \psi , (20)
где I — единичный оператор, а
(A1bnm)(t, x) =
n - 1\sum
i=0
aim(t, x)
t\int
t0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
bnm(\tau , x)d\tau +
+
m - 1\sum
j=0
anj(t, x)
x\int
x0
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
bnm(t, s)ds+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
aij(t, x)
t\int
t0
x\int
x0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds, (21)
(A2bnm)(t, x) \equiv -
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
aim(t, x)qkr
(t - t0)
r - i
(r - i)!
t1\int
t0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
bnm(\tau , x)d\tau -
-
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
anj(t, x)dkr
(x - x0)
r - j
(r - j)!
x1\int
x0
(x1 - s)m - k
(m - k)!
bnm(t, s)ds -
-
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
aij(t, x)qkr
(t - t0)
r - i
(r - i)!
t1\int
t0
x\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
bnm(\tau , s)d\tau ds+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
\sigma =j
m - 1\sum
l=0
aij(t, x)qkrdl\sigma
(t - t0)
r - i
(r - i)!
(x - x0)
\sigma - j
(\sigma - j)!
\times
\times
t1\int
t0
x1\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x1 - s)m - l
(m - l)!
bnm(\tau , s)d\tau ds -
-
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
aij(t, x)dkr
(x - x0)
r - j
(r - j)!
t\int
t0
x1\int
x0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
bnm(\tau , s)d\tau ds. (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО . . . 129
Оператор A1, действующий в пространстве Lp(G), линеен, ограничен и является двумер-
ным вольтерровым интегральным оператором. Поэтому оператор (I+A1) имеет ограниченный
обратный оператор B = (I +A1)
- 1, действующий в пространстве Lp(G). Тогда разрешимость
уравнения (20) сводится к исследованию разрешимости уравнения
bnm +BA2bnm = B\psi . (23)
Оценим норму \| A2\| оператора A2 : Lp(G) \rightarrow Lp(G). Очевидно, что
| (A2bnm)(t, x)| \leq
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
| aim(t, x)| | qkr|
(t - t0)
r - i
(r - i)!
t1\int
t0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
| bnm(\tau , x)| d\tau +
+
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
| anj(t, x)| | dkr|
(x - x0)
r - j
(r - j)!
x1\int
x0
(x1 - s)m - k
(m - k)!
| bnm(t, s)| ds+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
| aij(t, x)| | qkr|
(t - t0)
r - i
(r - i)!
t1\int
t0
x\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x - s)m - j - 1
(m - j - 1)!
| bnm(\tau , s)| d\tau ds+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
\sigma =j
m - 1\sum
l=0
| aij(t, x)| | qkr| | dl\sigma |
(t - t0)
r - i
(r - i)!
(x - x0)
\sigma - j
(\sigma - j)!
\times
\times
t1\int
t0
x1\int
x0
(t1 - \tau )n - k
(n - k)!
(x1 - s)m - l
(m - l)!
| bnm(\tau , s)| d\tau ds+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=j
| aij(t, x)| | dkr|
(x - x0)
r - j
(r - j)!
\times
\times
t\int
t0
x1\int
x0
(t - \tau )n - i - 1
(n - i - 1)!
(x1 - s)m - k
(m - k)!
| bnm(\tau , s)| d\tau ds. (24)
В силу неравенств Гельдера и Минковского для любого bnm \in Lp(G) из (24) имеем
\| A2bnm\| Lp(G) \leq c \| bnm\| Lp(G) , (25)
где
c =
n - 1\sum
i=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
(t1 - t0)
n+r - i - k+ 1
q
(r - i)!(n - k)! ((n - k)q + 1)1/q
| qkr|
\bigm\| \bigm\| a0im\bigm\| \bigm\| Lp(t0,t1)
+
+
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
(x1 - x0)
m+r - j - k+ 1
q
(m - k)! ((m - k)q + 1)1/q
| dkr|
\bigm\| \bigm\| a0nj\bigm\| \bigm\| Lp(x0,x1)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
130 Ш. Ш. ЮСУБОВ
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
(t1 - t0)
n+r - k - i+ 1
q
(r - i)!(n - k)! ((n - k)q + 1)1/q
\times
\times (x1 - x0)
m - j - 1+ 1
q
(m - j - 1)! ((m - j - 1)q + 1)1/q
| qkr| \| aij\| Lp(G)+
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
n - 1\sum
r=i
n - 1\sum
k=0
m - 1\sum
\sigma =j
m - 1\sum
l=0
(t1 - t0)
n+r - i - k+ 1
q
(r - i)!(n - k)! ((n - k)q + 1)1/q
\times
\times (x1 - x0)
m+\sigma - l - j+ 1
q
(\sigma - j)!(m - l)! ((m - l)q + 1)1/q
\| aij\| Lp(G) | qkr| | dl\sigma | +
+
n - 1\sum
i=0
m - 1\sum
j=0
m - 1\sum
r=j
m - 1\sum
k=0
(t1 - t0)
n - i - 1+ 1
q
(n - i - 1)! ((n - i - 1)q + 1)1/q
\times
\times (x1 - x0)
m+r - j - k+ 1
q
(r - j)!(m - k)! ((m - k)q + 1)1/q
| dkr| \| aij\| Lp(G) . (26)
Следовательно, \| A2\| \leq c. Тогда для оператора BA2 имеем
\| BA2bnm\| Lp(G) \leq c\| B\| \| bnm\| Lp(G).
Поэтому если
c1 = \| B\| c < 1,
то уравнение (19) для любого \psi \in Lp(G) имеет единственное решение bnm \in Lp(G).
Очевидно, что при c1 < 1 решение bnm \in Lp(G) уравнения (23) удовлетворяет также
условию
\| bnm\| Lp(G) \leq
1
1 - c1
\| B\| \| \psi \| Lp(G) . (27)
Таким образом, справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Если c1 < 1, то уравнение (20) для любой функции \psi \in Lp(G) имеет един-
ственное решение bnm \in Lp(G) и для этого решения справедлива оценка (27).
На основе теорем 2, 3 получаем, что имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Если c1 < 1, то задача (1) – (3) везде корректно разрешима.
Условие c1 < 1 теорем 3 и 4 является существенным. Для подтверждения этого рассмотрим
пример. Пусть в задаче (1) – (3) n = m = 2, t0 = x0 = 0, t1 = x1 = 1, коэффициент a20 =
= 4\pi 2, а все остальные коэффициенты и правые части уравнения и условий равны нулю. Легко
показать, что c1 =
\pi (\pi +
\surd
10)\surd
15
> 1 при p = q = 2, и, следовательно, условие теорем 3 и 4 не
выполняется. Непосредственной проверкой можно убедиться, что кроме нулевого решения эта
задача имеет семейство решений u(t, x) = a \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi t \cdot \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} 2\pi x, где a — произвольная постоянная.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО . . . 131
Литература
1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 2004. – 798 с.
2. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.
3. Березанский Ю. М. О задаче типа Дирихле для уравнения колебания струны // Укр. мат. журн. – 1960. – 12,
№ 4. – С. 363 – 372.
4. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. – М.: Наука, 1979. – 384 c.
5. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. – М.: Факториал пресс, 2002. – 824 c.
6. Idczak D. The bang-bang principle for the Goursat – Darboux problem // Int. J. Cont. – 2003. – 76, № 11. –
P. 1089 – 1094.
7. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных
уравнений. – Новосибирск, 1969. – 67 c.
8. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Different. Equat. – 1972. – 12, № 3. – P. 559 – 565.
9. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для
псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. – 1987. – 297, № 3. – С. 547 – 552.
10. Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического
типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференц. уравнения. – 1978. – 14, № 1. –
С. 66 – 73.
11. Нахушев А. М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и
его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 1. –
С. 72 – 81.
12. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического
уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 2. – С. 280 – 285.
13. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделиро-
вании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения. – 1982. – 18, № 4. – С. 689 – 699.
14. Нахушева З. А. Об одной нелокальной задаче для уравнения в частных производных // Дифференц. уравнения. –
1986. – 22, № 1. – С. 171 – 174.
15. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гипер-
болических уравнений третьего порядка // Мат. заметки. – 2003. – 74, № 4. – С. 517 – 528.
16. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений тепло-
проводности и Аллера // Дифференц. уравнения. – 2004. – 40, № 6. – С. 763 – 774.
17. Mesloub S., Mansour A. A mixed problem for a Boussinesq hyperbolic equation with integral condition // Int. J.
Open Problems Comput. Math. – 2009. – № 4. – 10 p.
18. Уткина Е. А. Задача Дирихле для одного уравнения четвертого порядка // Дифференц. уравнения. – 2011. –
47, № 4. – С. 600 – 604.
19. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. – Самара: Изд-во
Самар. ун-та, 2012. – 194 с.
20. Юсубов Ш. Ш. Задача типа Гурса для уравнения высокого порядка // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 6. –
С. 874 – 880.
21. Cirnu M. I. Goursat problem for some hyperbolic equations solved by Laplace transform method // Int. J. Modern
Sci. and Eng. Technol. – 2014. – 1, № 1. – P. 9 – 15.
22. Жегалов В. И., Миронов А. Н., Уткина Е. А. Уравнения с доминирующей частной производной. – Казань:
Изд-во Казан. ун-та, 2014. – 385 с.
23. Никольский С. М. Об устойчивых граничных значениях дифференцируемой функции многих переменных //
Мат. сб. – 1963. – (63)103, № 2. – С. 224 – 252.
Получено 28.07.14,
после доработки — 19.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 1
|
| id | umjimathkievua-article-1681 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:30Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/04/9fc4121ba42fb6bc2526f257bd9ad204.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16812019-12-05T09:23:35Z Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения высокого порядка Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. We study the solvability of a nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation with predominant mixed derivative. The posed problem is reduced to the integral equation and the existence of its solution is proved by the help of a priori estimates. Для гiперболiчного рiвняння високого порядку з домiнуючою мiшаною похiдною дослiджується розв’язнiсть нелокальної задачi з iнтегральними умовами. Сформульовану задачу зведено до iнтегрального рiвняння i з допомогою апрiорних оцiнок доведено iснування єдиного розв’язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-01-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1681 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 1 (2017); 121-131 Український математичний журнал; Том 69 № 1 (2017); 121-131 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1681/663 Copyright (c) 2017 Yusubov Sh. Sh. |
| spellingShingle | Yusubov, Sh. Sh. Юсубов, Ш. Ш. Юсубов, Ш. Ш. Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title | Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title_alt | Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического
уравнения высокого порядка |
| title_full | Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title_fullStr | Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title_full_unstemmed | Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title_short | Nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| title_sort | nonlocal problem with integral conditions for a high-order hyperbolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1681 |
| work_keys_str_mv | AT yusubovshsh nonlocalproblemwithintegralconditionsforahighorderhyperbolicequation AT ûsubovšš nonlocalproblemwithintegralconditionsforahighorderhyperbolicequation AT ûsubovšš nonlocalproblemwithintegralconditionsforahighorderhyperbolicequation AT yusubovshsh nelokalʹnaâzadačasintegralʹnymiusloviâmidlâgiperboličeskogouravneniâvysokogoporâdka AT ûsubovšš nelokalʹnaâzadačasintegralʹnymiusloviâmidlâgiperboličeskogouravneniâvysokogoporâdka AT ûsubovšš nelokalʹnaâzadačasintegralʹnymiusloviâmidlâgiperboličeskogouravneniâvysokogoporâdka |