Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics
We obtain the Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1683 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507515825946624 |
|---|---|
| author | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_facet | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. |
| author_sort | Vlasyk, H. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We obtain the Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:33Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Г. М. Власик (Iн-т математики НАН України, Київ)
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО
ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПОЛIНОМIВ
З ДОВIЛЬНИМ ВИБОРОМ ГАРМОНIК
We obtain the Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics.
Получены неравенства типа Бернштейна – Никольского для тригонометрических полиномов с произвольным выбо-
ром гармоник.
Вступ. Перед тим, як сформулювати постановку задачi та зупинитися на iсторiї її дослiдження,
наведемо необхiднi позначення та означення.
Нехай Lq — простiр 2\pi -перiодичних i сумовних у степенi q, 1 \leq q <\infty (вiдповiдно суттєво
обмежених при q = \infty ), функцiй f на вiдрiзку [ - \pi , \pi ]. Норма в цьому просторi визначається
таким чином:
\| f\| Lq = \| f\| q =
\left\{
\left( 1
2\pi
\pi \int
- \pi
| f(x)| qdx
\right) 1
q
, 1 \leq q <\infty ,
\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in [ - \pi ,\pi ]
| f(x)| , q = \infty .
Для функцiї f \in L1 розглянемо її ряд Фур’є\sum
k\in \BbbZ
\^f(k)eikx,
де \^f(k) =
1
2\pi
\int \pi
- \pi
f(x)e - ikxdx — коефiцiєнти Фур’є функцiї f. Скрiзь нижче будемо вважати,
що для f \in L1 виконується умова
\pi \int
- \pi
f(x)dx = 0.
Далi, нехай \psi (\tau ) \not = 0, \tau \in \BbbN , — довiльна функцiя натурального аргументу, \beta — довiльне
фiксоване дiйсне число. Якщо ряд\sum
k\in \BbbZ \setminus \{ 0\}
\^f(k)
\psi (| k| )
ei(kx+\beta
\pi
2
sign k)
є рядом Фур’є деякої сумовної функцiї, то її, наслiдуючи О. I. Степанця [1, с. 25] (див. також
[2, ч. I, с. 132]), назвемо (\psi , \beta )-похiдною функцiї f i позначимо f\psi \beta . Зауважимо, що якщо
\psi (| k| ) = | k| - r, r > 0, k \in \BbbZ \setminus \{ 0\} , то (\psi , \beta )-похiдна функцiї f збiгається з її (r, \beta )-похiдною
(позначення f r\beta ) в сенсi Вейля – Надя.
c\bigcirc Г. М. ВЛАСИК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 147
148 Г. М. ВЛАСИК
Через \Psi позначимо множину функцiй \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , що задовольняють такi умови:
1) \psi (\tau ) є додатними i незростаючими;
2) iснує така стала C > 0, що
\psi (\tau )
\psi (2\tau )
\leq C.
Зазначимо, що до множини \Psi належать, наприклад, функцiї
1
\tau r
, r > 0;
\mathrm{l}\mathrm{n}\gamma (\tau + 1)
\tau r
, \gamma \in \BbbR ,
r > 0, \tau \in \BbbN , та iн.
Далi для величин A i B запис A \asymp B означає, що iснують такi додатнi сталi C1 та C2, що
C1A \leq B \leq C2A. Якщо тiльки B \leq C2A (B \geq C1A), то пишемо B \ll A (B \gg A).
Через T (m) будемо позначати множину тригонометричних полiномiв вигляду
T (m) =
\Biggl\{
t : t(x) =
m\sum
k= - m
cke
ikx
\Biggr\}
.
Нехай Km = \{ j1, . . . , jm\} — довiльний набiр iз m рiзних цiлих чисел. Тодi покладемо
T \ast (m) =
\left\{ t : t(x) = \sum
j\in Km
cje
ijx
\right\} .
Зазначимо, що у багатьох питаннях теорiї наближення перiодичних функцiй однiєї змiнної
важливу роль вiдiграють нерiвностi, якi пов’язують норми полiнома i його похiдної в рiзних
метриках (див., наприклад, [3], роздiл I, § 2), а саме:
для довiльного тригонометричного полiнома t \in T (m) та для довiльних r > 0 i \beta \in \BbbR
\| tr\beta \| q \ll mr+1/p - 1/q\| t\| p, 1 \leq p \leq q \leq \infty .
Спiввiдношення такого вигляду називають нерiвностями Бернштейна – Нiкольського, оскiльки
в них поєднано нерiвностi Бернштейна при p = q з „нерiвностями рiзних метрик” Нiкольського
при r = 0.
Згодом В. М. Темляков (див., наприклад, [4, с. 23]) встановив нерiвностi Бернштейна –
Нiкольського для тригонометричних полiномiв багатьох змiнних iз „номерами” гармонiк iз так
званого схiдчастого гiперболiчного хреста.
У роботi [5] нерiвностi Бернштейна – Нiкольського були поширенi на випадок (\psi , \beta )-похiд-
них тригонометричних полiномiв багатьох змiнних iз „номерами” гармонiк також зi схiдчастого
гiперболiчного хреста.
Слiд зазначити, що ранiше нерiвностi Бернштейна для полiномiв t \in T (m) i їх (\psi , \beta )-
похiдних, що задовольняють певнi умови, були одержанi О. I. Степанцем i О. К. Кушпелем [6].
У зв’язку з нерiвностями Бернштейна – Нiкольського для тригонометричних полiномiв iз
множини T (m) у роботах В. Є. Майорова [7, 8] було розглянуто бiльш загальну постановку
задачi, а саме дослiджувалася величина
\scrT m(r, q, p) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Km
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T \ast (m)
\| t(r)\| q
\| t\| p
, 1 \leq p, q \leq \infty , (1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 149
де похiдна порядку r \geq 0 розумiється в сенсi Вейля, тобто \beta = r.
Пiзнiше порядковi оцiнки величини (1) для тригонометричних полiномiв багатьох змiнних
iз „номерами” гармонiк зi схiдчастого гiперболiчного хреста були одержанi Е. М. Галєєвим [9].
Основна мета цiєї роботи полягає в тому, щоб встановити порядковi оцiнки величин вигляду
\scrT m(\psi , \beta , q, p) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
Km
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T \ast (m)
\| t\psi \beta \| q
\| t\| p
(2)
при певних умовах на \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , \beta \in \BbbR i деяких спiввiдношеннях мiж параметрами p та q.
1. Допомiжнi твердження. У цьому пунктi сформулюємо кiлька вiдомих тверджень, якi
будуть використовуватися при доведеннi отриманих результатiв.
Має мiсце таке твердження.
Твердження А [2, ч. II, с. 115]. Нехай 1 < q < \infty , \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — довiльна незростаюча
послiдовнiсть невiд’ємних чисел. Тодi для довiльного полiнома t \in T (m) справджується оцiнка
\| t\psi \beta \| q \ll \psi - 1(m)\| t\| q.
Теорема А (див., наприклад, [10, с. 159]). Нехай t належить T (m). Тодi при 1 \leq p \leq q \leq
\leq \infty виконується нерiвнiсть
\| t\| q \ll m1/p - 1/q\| t\| p.
Це спiввiдношення є частковим випадком нерiвностi, одержаної у багатовимiрному ви-
падку С. М. Нiкольським, яка отримала назву „нерiвнiсть рiзних метрик”. Зауважимо, що в
одновимiрному випадку i при q = \infty вiдповiдну нерiвнiсть встановив Джексон [11].
Теорема Б (Марцинкевича) [12, с. 346]. Нехай задано послiдовнiсть \{ \lambda n\} \infty n= - \infty , що задо-
вольняє умови:
1) | \lambda n| \leq C3, n \in \BbbZ ;
2)
\sum \pm 2\nu - 1
\mu =\pm 2\nu - 1
| \lambda \mu +1 - \lambda \mu | \leq C3, \nu \in \BbbN .
Тодi якщо
f(x) =
+\infty \sum
k= - \infty
\^f(k)eikx \in Lq, 1 < q <\infty ,
то
F (x) =
+\infty \sum
k= - \infty
\lambda k \^f(k)e
ikx \in Lq
i iснує така стала C4(q), що
\| F\| q \leq C4(q)C3\| f\| q.
Теорема В (Хаусдорфа – Юнга, див., наприклад, [12, с. 154]). Нехай 1 < q \leq 2 i
1
q
+
1
q\prime
=
= 1. Тодi для будь-якої функцiї f \in Lq
\| f\| q \geq
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ
| \^f(k)| q\prime
\Biggr) 1/q\prime
.
Якщо послiдовнiсть \{ ck\} є такою, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
150 Г. М. ВЛАСИК\sum
k\in \BbbZ
| ck| q <\infty ,
то iснує функцiя f \in Lq\prime , для якої \^f(k) = ck i
\| f\| q\prime \leq
\Biggl( \sum
k\in \BbbZ
| \^f(k)| q
\Biggr) 1/q
.
2. Основнi результати. Спочатку розглянемо частковий випадок величини (2), а саме
встановимо порядковi оцiнки величини
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T (m)
\| t\psi \beta \| q
\| t\| p
для певних спiввiдношень мiж параметрами p та q.
Має мiсце така теорема.
Теорема 1. Нехай \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна та незростаюча послiдовнiсть i \beta \in \BbbR . Тодi
справджуються спiввiдношення
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T (m)
\| t\psi \beta \| q
\| t\| q
\asymp \psi - 1(m), 1 < q <\infty , (3)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T (m)
\| t\psi \beta \| q
\| t\| p
\ll \psi - 1(m)m1/p - 1/q, 1 < p < q <\infty . (4)
Якщо ж, крiм цього, \psi (\tau ) \in \Psi , то
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in T (m)
\| t\psi \beta \| q
\| t\| p
\asymp \psi - 1(m)m1/p - 1/q, 1 < p < q <\infty . (5)
Доведення. Оцiнки зверху у спiввiдношеннi (3) встановлено у твердженнi А. Оцiнка (4) є
наслiдком оцiнки зверху в (3) i теореми А:
\| t\psi \beta \| q \ll \psi - 1(m)\| t\| q \ll \psi - 1(m)m1/p - 1/q\| t\| p.
Тепер перейдемо до встановлення вiдповiдних оцiнок знизу. Для цього наведемо приклади
полiномiв, для яких реалiзуються оцiнки знизу у спiввiдношеннях (3) i (5).
Нехай спочатку p = q i \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна i незростаюча послiдовнiсть. Тодi розглянемо
полiном
\=t(x) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mx.
Згiдно з означенням (\psi , \beta )-похiдної для полiнома \=t маємо
\=t\psi \beta (x) = \psi - 1(m) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\Bigl(
mx+ \beta
\pi
2
\Bigr)
i вiдповiдно
\| \=t\psi \beta \| q = \psi - 1(m)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\Bigl( mx+ \beta
\pi
2
\Bigr) \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= \psi - 1(m)\| \=t\| q.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 151
Нехай тепер p < q. У цьому випадку по заданому m виберемо \~s так, щоб 2\~s - 1 \leq m \leq 2\~s.
Розглянемо полiном
\~t(x) =
1
2
\sum
k\in \rho (\~s)
ei(kx - \beta
\pi
2
sign k),
де \rho (\~s) = \{ k : 2\~s - 1 \leq | k| < 2\~s\} . Тодi згiдно з означенням (\psi , \beta )-похiдної для полiнома \~t
можемо записати
\~t\psi \beta (x) =
1
2
\sum
k\in \rho (\~s)
\psi - 1(| k| )eikx =
\sum
k\in \rho +(\~s)
\psi - 1(k) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx,
де \rho +(\~s) = \{ k : 2\~s - 1 \leq k < 2\~s\} .
Далi розглянемо полiном вигляду
\~t\ast (x) =
\sum
k\in \rho +(\~s)
\psi - 1(2\~s) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx,
який отримується при дiї оператора \Lambda \~s, породженого послiдовнiстю
\{ \lambda k,\~s\} =
\biggl\{
\psi (k)
\psi (2\~s)
\biggr\}
, k \in \rho +(\~s),
на полiном \~t\psi \beta , тобто
\~t\ast (x) = \Lambda \~s\~t
\psi
\beta (x). (6)
Легко переконатися, що числа \{ \lambda k,\~s\} є множниками Марцинкевича, тобто вони задоволь-
няють умови 1 i 2 теореми Б.
Дiйсно, оскiльки \psi \in \Psi i k \in \rho +(\~s), то:
1) | \lambda k,\~s| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (k)\psi (2\~s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \psi (2\~s - 1)
\psi (2\~s)
\leq C5,
2)
\sum 2\~s - 1
k=2\~s - 1
| \lambda k,\~s - \lambda k+1,\~s| =
\sum 2\~s - 1
k=2\~s - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (k)\psi (2\~s)
- \psi (k + 1)
\psi (2\~s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
\psi (2\~s)
\sum 2\~s - 1
k=2\~s - 1
(\psi (k) -
- \psi (k + 1)) \leq 1
\psi (2\~s)
\bigl(
\psi (2\~s - 1) - \psi (2\~s)
\bigr)
\leq \psi (2\~s - 1)
\psi (2\~s)
\leq C5.
Тодi згiдно з теоремою Б має мiсце оцiнка\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Lambda \~s\~t
\psi
\beta
\bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\ll
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \~t\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
(7)
i тому, спiвставивши спiввiдношення (6) i (7), отримаємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \~t\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\gg
\bigm\| \bigm\| \~t\ast \bigm\| \bigm\|
q
. (8)
Таким чином, для \| \~t\ast \| q можемо записати
\bigm\| \bigm\| \~t\ast \bigm\| \bigm\|
q
= \psi - 1(2\~s)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
k\in \rho +(\~s)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= \psi - 1(2\~s)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\~s - 1\sum
k=2\~s - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
152 Г. М. ВЛАСИК
Далi, скористаємося спiввiдношенням (див., наприклад [2, ч. II, с. 42])\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
l\sum
k=m
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kt
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp (l - m)1 - 1/q,
m, l \in \BbbN , l > m i 1 < q <\infty , згiдно з яким можемо запиcати\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\~s - 1\sum
k=2\~s - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\asymp 2(\~s - 1)(1 - 1/q) \asymp 2\~s(1 - 1/q).
Вiдповiдно для \| \~t\ast \| q отримаємо оцiнку
\| \~t\ast \| q \asymp \psi - 1(2\~s)2\~s(1 - 1/q). (9)
Таким чином, спiвставивши (8) i (9) та врахувавши, що \psi (2\~s) \asymp \psi (m) (оскiльки \psi (\tau ) \in \Psi ,
\tau \in \BbbN , i 2\~s - 1 \leq m \leq 2\~s), будемо мати
\| \~t\psi \beta \| q \gg \psi - 1(2\~s)2\~s(1 - 1/q) \asymp \psi - 1(2\~s)2\~s(1 - 1/q)2 - \~s(1 - 1/p)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\~s - 1\sum
k=2\~s - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
\asymp
\asymp \psi - 1(m)m1/p - 1/q
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2\~s - 1\sum
k=2\~s - 1
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
p
= \psi - 1(m)m1/p - 1/q\| \~t\| p.
Теорему 1 доведено.
Зауваження 1. У випадку, коли \psi (| k| ) = | k| - r, r > 0, \beta = r, 1 < p \leq q < \infty , порядки
вiдповiдних величин встановленi В. М. Темляковим (див., наприклад, [4, c. 23]).
Далi сформулюємо i доведемо твердження, у яких встановлюються порядковi оцiнки вели-
чин \scrT m(\psi , \beta , q, p) при 2 \leq p \leq q <\infty i 1 < q \leq p <\infty .
Теорема 2. Нехай 2 \leq p \leq q <\infty , \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна i незростаюча послiдовнiсть,
\beta \in \BbbR . Тодi справджується оцiнка
\scrT m(\psi , \beta , q, p) \ll \psi - 1(m)m1/p - 1/q.
Якщо ж \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , i, крiм того, iснує таке \varepsilon > 0, що послiдовнiсть \psi (\tau )\tau 1/q+\varepsilon не
зростає, то
\scrT m(\psi , \beta , q, p) \asymp \psi - 1(m)m1/p - 1/q.
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 1.
Доведемо оцiнку знизу. Нехай Km = \{ j1, . . . , jm\} — довiльний набiр iз m рiзних цiлих
чисел i ms = | Km \cap \rho (s)| — кiлькiсть елементiв даного набору, якi потрапляють до множини
\rho (s), s \in \BbbZ +. Зрозумiло, що у подальших мiркуваннях ми розглядаємо лише тi s \in \BbbZ +, для
яких Km \cap \rho (s) \not = \varnothing , i тому кiлькiсть таких s є скiнченною.
Розглянемо полiном вигляду
fs,m(x) =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
eilx
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 153
i покажемо, що виконується спiввiдношення\bigm\| \bigm\| \bigm\| (fs,m)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\gg \psi - 1(2s)\| fs,m\| q.
З цiєю метою для s \in \BbbZ + розглянемо послiдовнiсть \{ \lambda l,s\} , яка задається формулою
\{ \lambda l,s\} =
\biggl\{
\psi (| l| )
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
sign l
\biggr\}
, l \in Km \cap \rho (s).
Переконаємося, що послiдовнiсть \{ \lambda l,s\} задовольняє умови 1 та 2 теореми Б. Зауважимо,
що для цього достатньо перевiрити виконання цих умов для таких додатних l, що l \in Km\cap \rho (s).
Оскiльки \psi \in \Psi , то:
1) | \lambda l,s| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (l)\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \psi (2s - 1)
\psi (2s)
\leq C6,
2)
\sum 2s - 1
l=2s - 1
| \lambda l,s - \lambda l+1,s| =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
| \lambda l,s - \lambda l+1,s| =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \psi (l)\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2 -
- \psi (l + 1)
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 1
\psi (2s)
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
(\psi (l) - \psi (l+1)) \leq 1
\psi (2s)
(\psi (2s - 1) - \psi (2s)) \leq \psi (2s - 1)
\psi (2s)
\leq
\leq C6.
Тепер подiємо мультиплiкатором \Lambda l,s, який задається послiдовнiстю \{ \lambda l,s\} , на полiном\bigl(
f\ast s,m
\bigr) \psi
\beta
(x) =
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(| l| )ei\beta
\pi
2
sign leilx.
В результатi одержимо
\Lambda l,s
\bigl(
f\ast s,m
\bigr) \psi
\beta
(x) = \Lambda l,s
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(| l| )ei\beta
\pi
2
sign leilx =
=
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi (| l| )
\psi (2s)
e - i\beta
\pi
2
sign l\psi - 1(| l| )ei\beta
\pi
2
sign leilx =
=
1
\psi (2s)
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
eilx =
1
\psi (2s)
fs,m(x).
Звiдси маємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Lambda l,s \bigl( f\ast s,m\bigr) \psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\| q = 1
\psi (2s)
\| fs,m\| q . (10)
З iншого боку, згiдно з теоремою Б
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Lambda l,s \bigl( f\ast s,m\bigr) \psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\| q =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \Lambda l,s
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(| l| )ei\beta
\pi
2
sign leilx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\leq
\leq C7
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
l\in Km\cap \rho (s)
\psi - 1(| l| )ei\beta
\pi
2
sign leilx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
= C7
\bigm\| \bigm\| \bigm\| (fs,m)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
154 Г. М. ВЛАСИК
Отже, спiвставляючи (10) i (11), отримуємо потрiбне спiввiдношення
\| (fs,m)\psi \beta \| q \gg \psi - 1(2s)\| fs,m\| q. (12)
Далi, на пiдставi теореми А можемо записати
\psi - 1(2s)\| fs,m\| q \gg \psi - 1(2s)2 - s/q\| fs,m\| \infty = \psi - 1(2s)2 - s/qms. (13)
Тодi з (12) i (13) маємо \bigm\| \bigm\| \bigm\| (fs,m)\psi \beta \bigm\| \bigm\| \bigm\|
q
\gg \psi - 1(2s)2 - s/qms. (14)
З iншого боку, за теоремою В при 2 \leq p <\infty
\| fs,m\| p \ll
\left( \sum
l\in Km\cap \rho (s)
| \^fs,m| p
\prime
\right) 1/p\prime
= m1/p\prime
s = m1 - 1/p
s . (15)
Тому згiдно з (14) i (15) будемо мати
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in T \ast (m)
\| f\psi \beta \| q
\| f\| p
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in T \ast (m)\cap T (\rho (s)),
s\in \BbbZ +
\| f\psi \beta \| q
\| f\| p
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
\| (fs,m)\psi \beta \| q
\| fs,m\| p
\gg
\gg \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
\psi - 1(2s)2 - s/qms
m
1 - 1/p
s
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
\psi - 1(2s)2 - s/qm1/p
s , (16)
де T (\rho (s)) =
\biggl\{
t : t(x) =
\sum
k\in \rho (s)
cke
ikx
\biggr\}
.
Позначимо
I = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
s\in \BbbZ +
\psi - 1(2s)2 - s/qm1/p
s , (17)
де ms \leq 2s i \sum
s\in \BbbZ +
ms = m.
Виберемо \mu > 0 так, щоб 2\mu - 1 \leq m < 2\mu i\sum
s\leq \mu
ms \leq
\sum
s\leq \mu
2s \leq C82
\mu \leq m
2
.
У такому випадку повинно виконуватися спiввiдношення\sum
s>\mu
ms \geq C9
m
2
. (18)
Крiм цього, безпосередньо з (17) випливає, що для будь-якого s \in \BbbZ +, Km \cap \rho (s) \not = \varnothing
ms \leq Ip\psi p(2s)2sp/q, (19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
НЕРIВНОСТI ТИПУ БЕРНШТЕЙНА – НIКОЛЬСЬКОГО ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ПОЛIНОМIВ . . . 155
i тому, згiдно з (18) i (19), оскiльки послiдовнiсть \psi (\tau )\tau 1/q+\varepsilon , \tau \in \BbbN , не зростає, отримуємо
m
2
\ll
\sum
s>\mu
ms \leq Ip
\sum
s>\mu
\psi p(2s)2sp/q =
= Ip
\sum
s>\mu
\psi p(2s)2sp/q2s\varepsilon p2 - s\varepsilon p \ll Ip\psi p(2\mu )2\mu p/q2\mu \varepsilon p
\sum
s>\mu
2 - s\varepsilon p \ll
\ll Ip\psi p(2\mu )2\mu p/q2\mu \varepsilon p2 - \mu \varepsilon p = Ip\psi p(2\mu )2\mu p/q. (20)
З (20) знаходимо
I \gg \psi - 1(2\mu )2 - \mu /qm1/p
i, враховуючи, що 2\mu - 1 \leq m < 2\mu , одержуємо
I \gg \psi - 1(m)m - 1/qm1/p = \psi - 1(m)m1/p - 1/q. (21)
Таким чином, спiвставляючи (16), (17) i (21), приходимо до шуканої оцiнки знизу
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in T \ast (m)
\| f\psi \beta \| q
\| f\| p
\gg \psi - 1(m)m1/p - 1/q.
Теорему 2 доведено.
Теорема 3. Нехай 1 < q \leq p <\infty , \psi (\tau ), \tau \in \BbbN , — додатна i незростаюча послiдовнiсть,
\beta \in \BbbR . Тодi справджується оцiнка
\scrT m(\psi , \beta , q, p) \ll \psi - 1(m).
Якщо ж \psi (\tau ) \in \Psi , \tau \in \BbbN , то
\scrT m(\psi , \beta , q, p) \asymp \psi - 1(m).
Доведення. Оцiнка зверху випливає з теореми 1.
Доведемо оцiнку знизу. Нехай, як i вище, Km = \{ j1, . . . , jm\} — довiльний набiр рiзних цiлих
чисел, ms = | Km \cap \rho (s)| — кiлькiсть елементiв даного набору, якi потрапляють до множини
\rho (s), s \in \BbbZ +.
Позначимо
Km = Km \cap (\r \BbbZ \setminus K),
де
K = \{ \rho (s), s \leq \mu \} ,
а величину \mu вибрано з умови
| K| =
\sum
s\leq \mu
2s \leq C102
\mu \leq m
2
i 2\mu - 1 \leq m < 2\mu . Тодi
| K| \asymp m,
де | K| — кiлькiсть елементiв множини K. Оскiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
156 Г. М. ВЛАСИК\sum
s>\mu
ms \geq C11
m
2
,
то
| Km| \asymp m.
Нехай l — довiльне число з множини Km. Тодi можемо записати
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in T \ast (m)
\| f\psi \beta \| q
\| f\| p
\geq
\| (eilx)\psi \beta \| q
\| eilx\| p
. (22)
Оскiльки
\| (eilx)\psi \beta \| q \asymp \psi - 1(| l| )\| eilx\| q, (23)
то, враховуючи, що l \in \rho (s) при деякому s > \mu i 2\mu - 1 \leq m < 2\mu , для правої частини
спiввiдношення (23) отримуємо
\psi - 1(| l| )\| eilx\| q > \psi - 1(2s)\| eilx\| q > \psi - 1(2\mu )\| eilx\| q \asymp \psi - 1(m)\| eilx\| q.
Тому, продовжуючи (22), маємо
\| (eilx)\psi \beta \| q
\| eilx\| p
\gg \psi - 1(m)\| eilx\| q
\| eilx\| p
\asymp \psi - 1(m).
Теорему 3 доведено.
Зауваження 2. Якщо \psi (| k| ) = | k| - r, \beta = r, то вiдповiднi результати до теорем 2, 3 було
встановлено у роботi [8].
Лiтература
1. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка, 1987. – 268 с.
2. Степанец А. И. Методы теории приближений: В 2 ч. — Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. – 40. –
Ч. I. – 427 с.; Ч. II. – 468 с.
3. Temlyakov V. N. Approximation of periodic functions. – New York: Nova Sci. Publ. Inc., 1993. – 419 p.
4. Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Тр. Мат. ин-та АН СССР. –
1986. – 178, № 2. – С. 3 – 113.
5. Романюк А. С. Неравенства для Lp -норм (\psi , \beta )-производных и поперечников по Колмогорову классов функ-
ций многих переменных L\psi \beta ,p // Исследования по теории аппроксимации функций: Сб. науч. тр. – Киев: Ин-т
математики АН УССР, 1987. – С. 92 – 105.
6. Степанец А. И., Кушпель А. К. Наилучшие приближения и поперечники классов периодических функций. –
Киев, 1984. – 44 с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 84.15).
7. Майоров В. Е. Об одной модификации неравенства Бернштейна – Никольского для тригонометрических поли-
номов // Докл. АН СССР. – 1981. – 258, № 1. – С. 23 – 26.
8. Майоров В. Е. Неравенства Бернштейна – Никольского и оценки норм ядер Дирихле для тригонометрических
полиномов по произвольным гармоникам // Мат. заметки. – 1990. – 47, № 6. – С. 55 – 61.
9. Галеев Э. М. Неравенства Бернштейна – Никольского для функций нескольких переменных, наилучших по
выбору гармоник // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. – 1992. – 6. – С. 3 – 6.
10. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. – М.: Наука, 1989. – 480 с.
11. Jackson D. Certain problems of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39, № 12. – P. 889 – 906.
12. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 2. – 538 с.
Одержано 06.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1683 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:33Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6f/c45b22516af177991bba45a11118bc6f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16832019-12-05T09:23:56Z Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для тригонометричних поліномів з довільним вибором гармонік Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. We obtain the Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics. Получены неравенства типа Бернштейна – Никольского для тригонометрических полиномов с произвольным выбором гармоник. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1683 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 147-156 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 147-156 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1683/665 Copyright (c) 2017 Vlasyk H. M. |
| spellingShingle | Vlasyk, H. M. Власик, Г. М. Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an arbitrary choice of harmonics |
| title | Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| title_alt | Нерівності типу Бернштейна – Нікольського для тригонометричних поліномів з довільним вибором гармонік |
| title_full | Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| title_fullStr | Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| title_full_unstemmed | Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| title_short | Bernstein – Nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| title_sort | bernstein – nikol’skii-type inequalities for trigonometric polynomials with an
arbitrary choice of harmonics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1683 |
| work_keys_str_mv | AT vlasykhm bernsteinnikolskiitypeinequalitiesfortrigonometricpolynomialswithanarbitrarychoiceofharmonics AT vlasikgm bernsteinnikolskiitypeinequalitiesfortrigonometricpolynomialswithanarbitrarychoiceofharmonics AT vlasykhm nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâtrigonometričnihpolínomívzdovílʹnimviboromgarmoník AT vlasikgm nerívnostítipubernštejnaníkolʹsʹkogodlâtrigonometričnihpolínomívzdovílʹnimviboromgarmoník |