Properties of strong random operators generated by an Arratia flow
We study the properties of strong random operators $T_t$ in $L_2(R)$ used to describe the shifts of the functions along an Arratia flow. We prove the formula of change of variables for the Arratia flow. As a consequence of this formula, we establish sufficient conditions for compact sets $K \subset...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1684 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507517530931200 |
|---|---|
| author | Korenovskaya, Ya. A. Кореновская, Я. А. Кореновская, Я. А. |
| author_facet | Korenovskaya, Ya. A. Кореновская, Я. А. Кореновская, Я. А. |
| author_sort | Korenovskaya, Ya. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We study the properties of strong random operators $T_t$ in $L_2(R)$ used to describe the shifts of the functions along an Arratia flow. We prove the formula of change of variables for the Arratia flow. As a consequence of this formula, we establish sufficient conditions for compact sets $K \subset L_2(R)$ under which $T_t$ has a continuous modification on $K$. We also present necessary and sufficient conditions for the convergent sequences in $L_2(R)$ under which the operator $T_t$ preserves
their convergence. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:34Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Я. А. Кореновская (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ,
ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ
We study the properties of strong random operators Tt in L2(\BbbR ) used to describe the shifts of the functions along an
Arratia flow. We prove the formula of change of variables for the Arratia flow. As a consequence of this formula, we
establish sufficient conditions for compact sets K \subset L2(\BbbR ) under which Tt has a continuous modification on K. We also
present necessary and sufficient conditions for the convergent sequences in L2(\BbbR ) under which the operator Tt preserves
their convergence.
Вивчаються властивостi сильних випадкових операторiв Tt у L2(\BbbR ), що описують зсуви функцiй уздовж потоку
Арратья. Доведено формулу замiни змiнних для потоку Арратья. Як наслiдок отримано достатнi умови на компактнi
множини K \subset L2(\BbbR ), на яких Tt має неперервну модифiкацiю. Наведено необхiднi та достатнi умови на збiжнi
послiдовностi у L2(\BbbR ), за яких оператор Tt зберiгає їх збiжнiсть.
1. Введение. В данной статье рассматриваются случайные операторы в пространстве L2(\BbbR ),
описывающие сдвиги функций вдоль потока Арратья [1].
Определение 1 [1]. Потоком Арратья называется набор случайных процессов \{ x(u, t),
u \in \BbbR , t \geq 0\} , которые удовлетворяют следующим свойствам:
1) для любого u \in \BbbR x(u, \cdot ) — винеровский процесс относительно общей фильтрации,
стартующий из точки u;
2) для произвольных u1 \leq u2 и t \geq 0
x(u1, t) \leq x(u2, t) п. н.;
3) для любых u1, u2 \in \BbbR
d\langle x(u1, \cdot ), x(u2, \cdot )\rangle t = 1\{ x(u1, t) = x(u2, t)\} dt.
Таким образом, поток Арратья — это семейство независимых до момента встречи вине-
ровских процессов, которые стартуют из каждой точки действительной прямой, а в момент
встречи склеиваются и дальше движутся вместе.
Впервые поток Арратья был введен в работе [1], где он строился как слабый предел шкали-
рованных случайных блужданий со склеиванием. В дальнейшем в работах [2, 3] было доказано,
что под действием потока Арратья образ любого интервала конечен. А именно, для любого t > 0
и произвольного C > 0
\mathrm{P}
\bigl\{
x([ - C;C], t) конечно
\bigr\}
= 1. (1)
Поскольку поток Арратья имеет непрерывную справа модификацию, как случайный про-
цесс, заданный на \BbbR и принимающий значения в C([0; 1]) [4], то в силу (1) и того, что x(\cdot , t)
— монотонно неубывающая функция, x(\cdot , t) — ступенчатая функция. Тем самым в отличие от
стохастических потоков, порожденных стохастическими дифференциальными уравнениями с
гладкими коэффициентами [5], отображение x(\cdot , t) : \BbbR \rightarrow \BbbR не является диффеоморфизмом. Та-
ким образом, для изучения геометрических свойств потока Арратья и стохастических потоков
c\bigcirc Я. А. КОРЕНОВСКАЯ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 157
158 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
со склеиванием методы дифференциальной геометрии не подходят. Именно это обстоятель-
ство привело к тому, что в [6, 7] было предложено изучать изменение геометрических свойств
компактных множеств под действием случайных отображений, описывающих сдвиги функций
вдоль стохастических потоков.
В данной статье будут изучаться случайные операторы \{ Tt\} t>0, которые задаются с помо-
щью потока Арратья \{ x(u, t), u \in \BbbR , t \geq 0\} следующим образом: для фиксированного t > 0
и произвольных f \in L2(\BbbR ), u \in \BbbR
(Ttf)(u) = f(x(u, t)).
Отметим, что случайный оператор Tt является сильным случайным оператором (ССО) в про-
странстве L2(\BbbR ) [8] в смысле определения, предложенного А. В. Скороходом [9]. Напомним
определение ССО.
Определение 2 [9]. Оператор A, действующий из сепарабельного гильбертова простран-
ства H во множество H -значных случайных элементов, называется ССО в H, если:
1) для любых \alpha , \beta \in \BbbR и f, g \in H
\mathrm{P}
\bigl\{
A(\alpha f + \beta g) = \alpha Af + \beta Ag
\bigr\}
= 1;
2) для произвольного \varepsilon > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
fn\rightarrow f
\mathrm{P}
\bigl\{
\| Afn - Af\| H > \varepsilon
\bigr\}
= 0.
В качестве примера такого объекта в [9] рассматривался интеграл Ито от функций из
пространства L2([0; 1]):
(A1f)(r) =
r\int
0
f(s)dw(s),
где r \in [0; 1], f \in L2([0; 1]),
\bigl\{
w(s), s \in [0; 1]
\bigr\}
— винеровский процесс.
В дальнейшем в работе [10] более подробно изучался класс сильных случайных опера-
торов, обладающих тем свойством, что под действием ССО образ любого элемента f \in H
имеет гауссовское распределение в H. Такие операторы называются гауссовскими сильными
случайными операторами (ГССО) [10].
Примером ГССО в сепарабельном гильбертовом пространстве H является оператор A2,
который задается следующим образом:
A2f =
\infty \sum
n=1
\xi n(f, en)en, f \in H,
где \{ en\} \infty n=1 — ортонормированный базис в H, \{ \xi n\} \infty n=1 — независимые стандартные гауссов-
ские случайные величины.
В [7] было показано, что не для любого компактного множества K \subset H можно корректно
определить образ A2(K). Причина этого заключается в том, что A2 не является ограниченным
ССО [6].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 159
Определение 3 [6, 9]. ССО A в сепарабельном гильбертовом пространстве H называ-
ется ограниченным, если существует семейство \{ \widetilde A\omega , \omega \in \Omega \} детерминированных линейных
ограниченных операторов в H такое, что для любого f \in H
(Af)\omega = \widetilde A\omega f п. н.
Для оператора Tt имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Для любого t > 0 Tt не является ограниченным ССО в L2(\BbbR ).
Доказательство. Зафиксируем произвольное t > 0 и предположим, что существует се-
мейство \{ \widetilde Tt,\omega , \omega \in \Omega \} линейных ограниченных операторов в L2(\BbbR ) такое, что для любой
функции f \in L2(\BbbR ) существует множество \Omega f полной вероятности, на котором
(Ttf)\omega = \widetilde Tt,\omega f.
Поскольку \widetilde Tt,\omega — линейный ограниченный оператор в L2(\BbbR ), то на множестве \widetilde \Omega :=
:= \cap r1,r2\in \BbbQ \Omega 1[r1;r2]
полной вероятности
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ (p,r)\in \BbbQ 2 : r<p , p - r<\delta \}
\| \widetilde Tt,\omega 1[r;p]\| L2(\BbbR ) \rightarrow 0 при \delta \rightarrow 0. (2)
В силу вышеупомянутых свойств потока Арратья существует \Omega \prime такое, что P (\Omega \prime ) = 1 и
для каждого \omega \in \Omega \prime найдется y\omega \in \BbbR , для которого
\lambda \{ u \in [0; 1] : x(u, t, \omega ) = y\omega \} > 0,
где \lambda — мера Лебега на \BbbR .
Таким образом, для произвольных \omega \in \Omega \prime \cap \widetilde \Omega и \delta > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ (p,r)\in \BbbQ 2 : r<p, p - r<\delta \}
\| \widetilde Tt,\omega 1[r;p]\| 2L2(\BbbR ) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ (p,r)\in \BbbQ 2 : r<p, p - r<\delta , y\omega \in [r;p]\}
\| \widetilde Tt,\omega 1[r;p]\| 2L2(\BbbR ) \geq
\geq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ (p,r)\in \BbbQ 2 : r<p, p - r<\delta , y\omega \in [r;p]\}
1\int
0
1[r;p](x(u, t, \omega ))du \geq
\geq \lambda
\bigl\{
u \in [0; 1] : x(u, t, \omega ) = y\omega
\bigr\}
> 0.
Поскольку для \omega \in \Omega \prime \cap \widetilde \Omega и \delta > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\{ (p,r)\in \BbbQ 2 : r<p, p - r<\delta \}
\| \widetilde Tt,\omega 1[r;p]\| 2L2(\BbbR ) \geq \lambda
\bigl\{
u \in [0; 1] : x(u, t, \omega ) = y\omega
\bigr\}
,
то получено противоречие с (2), что и доказывает теорему.
Из приведенной теоремы следует, что для любой функции f \in L2(\BbbR ) найдется мно-
жество \Omega f , \mathrm{P}(\Omega f ) = 1, на котором Ttf(\omega ) \in L2(\BbbR ). Однако не для каждого компакта
K \subset L2(\BbbR ) существует образ Tt(K), так как множество
\bigcap
f\in K \Omega f не обязательно должно быть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
160 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
множеством полной вероятности. Таким образом, чтобы изучать образы Tt(K), нужно гаран-
тировать их существование. Цель данной статьи — найти условия на компакты K \subset L2(\BbbR ),
при которых Tt(K) существует и является компактом. Условия на семейство функций, на ко-
тором Tt ограничен, приведены в пункте 3. Чтобы их получить, используется формула замены
переменных под действием отображения x(\cdot , t) : \BbbR \rightarrow \BbbR , доказанная в пункте 2. В пункте 4
приведен пример класса компактных множеств, которые Tt переводит в компакты. Послед-
няя часть статьи посвящена исследованию образов сходящихся в L2(\BbbR ) последовательностей
функций. А именно, доказаны необходимое и достаточное условия сохранения сходимости при
действии оператора Tt.
2. Формула замены переменных при отображении \bfitx (\cdot , \bfitt ) : \BbbR \rightarrow \BbbR . Наряду с пото-
ком Арратья
\bigl\{
x(u, s), u \in \BbbR , s \in [0; t]
\bigr\}
рассмотрим двойственный к нему поток Арратья\bigl\{
y(u, s), u \in \BbbR , s \in [0; t]
\bigr\}
, движущийся в обратном времени и такой, что его траектории не
пересекаются с траекториями потока
\bigl\{
x(u, s), u \in \BbbR , s \in [0; t]
\bigr\}
.
В [1] доказано, что поток Арратья и двойственный к нему существуют как слабые преде-
лы шкалированных случайных блужданий в прямом и обратном времени, траектории которых
не пересекаются. Позже была предложена формула для представления двойственного потока
Арратья, в которой используется такой объект, как броуновская сеть [11]. Приведем соответ-
ствующие определения.
Пусть \{ wj , j = 1, n\} — независимые винеровские процессы, w(uj , \cdot ) — винеровский про-
цесс, стартующий из точки uj \in \BbbR в момент времени tj > 0,
w(uj , t) = uj + wj(t - tj), t \geq tj , j = 1, n.
Положим \widetilde w(u1, \cdot ) = w(u1, \cdot ) и для каждого j = 2, n
\widetilde w(uj , t) = w(uj , t)1\{ tj \leq t < \tau j\ast ,j\} + \widetilde w(uj\ast , t)1\{ t \geq \tau j\ast ,j\} ,
где \tau k,j = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
s > 0 | w(uj , s) = \widetilde w(uk, s)\bigr\} — момент первой встречи w(uj , \cdot ) и \widetilde w(uk, \cdot ), k =
= 1, j - 1, и номер j\ast такой, что \tau j\ast ,j = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}k=1,j - 1 \tau k,j .
Определение 4 [12]. Набор
\bigl\{ \widetilde w(uj , \cdot ), j = 1, n
\bigr\}
называется семейством склеивающихся
винеровских процессов, стартующих из точек u1, . . . , un \in \BbbR в моменты времени t1, . . . , tn \in
\in \BbbR + соответственно.
Определение 5 [12]. Броуновской сетью называется семейство
\bigl\{
xr(u, t), u \in \BbbR , r \in \BbbR ,
t \geq r
\bigr\}
склеивающихся винеровских процессов, стартующих из каждой точки в каждый мо-
мент времени.
Термин „броуновская сеть” был введен в [11], но сам объект изучался ранее в [12, 13].
Рассмотрим броуновскую сеть \{ xr(u, t), u \in \BbbR , r \in \BbbR , t \geq r\} . Для фиксированного t > 0
зададим двойственный поток к потоку Арратья
\bigl\{
x0(u, s), u \in \BbbR , s \in [0; t]
\bigr\}
следующим образом:
для любого s \in [0; t]
y(u, t - s) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
xr(v, s) : xr(v, t) > u, где v \in \BbbQ , r \in \BbbQ \cap [0; t]
\bigr\}
п. н. (3)
Можно проверить, что y — поток Арратья в обратном времени.
Замечание 1. Заметим, что траектории x и y не пересекаются, тем самым
\mathrm{P}\{ x(\BbbR , t) \cap (a; b) \not = \varnothing \} = \mathrm{P}\{ y(a, t) \not = y(b, t)\} . (4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 161
Замечание 2. Поскольку для любого t > 0 y(\cdot , t) — монотонно неубывающая непрерывная
справа функция [4], то можно рассматривать меру Лебега – Стилтьеса \nu t, построенную по
y(\cdot , t). Интеграл Лебега по мере \nu t обозначаем через
\int
\BbbR
f(u)dy(u, t).
В следующей теореме предполагается, что x и двойственный к нему поток y такие, как
описано выше.
Теорема 2. Пусть h : \BbbR \rightarrow \BbbR — неотрицательная измеримая функция,
\int
\BbbR
h(u)du < +\infty .
Тогда для любого t > 0 с вероятностью 1 существует интеграл
\int
\BbbR
h(x(u, t))du и справедливо
равенство \int
\BbbR
h(x(u, t))du =
\int
\BbbR
h(u)dy(u, t) п. н. (5)
Доказательство. В [8] доказано, что для неотрицательной функции h \in L1(\BbbR ) и произ-
вольного t > 0
\mathrm{E}
\int
\BbbR
h(x(u, t))du =
\int
\BbbR
h(u)du.
Следовательно, с вероятностью 1 существует интеграл
\int
\BbbR
h(x(u, t))du.
В силу теоремы о замене переменной в интеграле Лебега для доказательства (5) достаточно
показать, что для любого t > 0
\nu t = \lambda \circ x(\cdot , t) - 1 п. н.
Из (3) следует, что для произвольных t > 0 и u \in \BbbR
y(u, t) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ v \in \BbbQ : x(v, t) > u\} п. н.
Тогда для каждого b \in \BbbR и v\prime := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ v \in \BbbQ : x(v, t) > b\} существует множество \Omega b полной
вероятности такое, что для любого \omega \in \Omega b и произвольной последовательности рациональных
чисел \{ vn\} \infty n=1 , сходящейся к v\prime (\omega ) слева, имеет место x(vn, t, \omega ) \leq b для каждого n \in \BbbN .
Таким образом,
v\prime (\omega ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ v \in \BbbQ : x(v, t, \omega ) \leq b\} .
Следовательно, для всех a, b \in \BbbR существует множество \Omega a,b := \Omega a \cap \Omega b с \mathrm{P}(\Omega a,b) = 1, на
котором
y(b, t) - y(a, t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
v \in \BbbQ : x(v, t) \leq b
\bigr\}
-
- \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
v \in \BbbQ : x(v, t) \leq a
\bigr\}
= \lambda
\bigl\{
u \in \BbbR : x(u, t) \in (a; b]
\bigr\}
.
В силу последнего равенства для каждого множества \Delta вида
\Delta = \cup n
k=1(ak; bk], где (ak; bk] \cap (aj ; bj ] = \varnothing при k \not = j, n \in \BbbN , (6)
на \Omega \Delta := \cap n
k=1\Omega ak,bk с \mathrm{P}(\Omega \Delta ) = 1
\nu t(\Delta ) =
n\sum
k=1
(y(bk, t) - y(ak, t)) = \lambda \{ u \in \BbbR : x(u, t) \in \Delta \} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
162 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
Докажем, что с вероятностью 1 меры \nu t и \lambda \circ x(\cdot , t) - 1 совпадают на кольце \scrA , порожденном
множествами вида (6).
Рассмотрим множества \widetilde \Omega , \Omega \prime
x, \Omega
\prime
y :
\widetilde \Omega := \cap r1,r1\in \BbbQ \Omega r1,r2 ,
\Omega \prime
x := \{ \omega \in \Omega : x(\cdot , t) монотонно не убывает и непрерывна справа\} ,
\Omega \prime
y := \{ \omega \in \Omega : y(\cdot , t) монотонно не убывает и непрерывна справа\} .
Тогда для произвольных r \in \BbbQ , p \in \BbbR , \omega \in \widetilde \Omega \cap \Omega \prime
x \cap \Omega \prime
y и последовательности \{ rn\} \infty n=1 \subset \BbbQ
такой, что rn \rightarrow p+ 0, n \rightarrow \infty , в силу непрерывности справа функции y(\cdot , t, \omega )
\nu t
\bigl(
(r; p], \omega
\bigr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\nu t
\bigl(
(r; rn], \omega
\bigr)
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\lambda
\bigl\{
u \in \BbbR : x(u, t, \omega ) \in (r; rn]
\bigr\}
=
= \lambda
\bigl\{
u \in \BbbR : x(u, t, \omega ) \in (r; p]
\bigr\}
. (7)
Аналогично, для произвольных q \in \BbbQ , v \in \BbbR , \omega \in \widetilde \Omega \cap \Omega \prime
x \cap \Omega \prime
y
\nu t
\bigl(
(v; q], \omega
\bigr)
= \lambda
\bigl\{
u \in \BbbR : x(u, t, \omega ) \in (v; q]
\bigr\}
. (8)
Поскольку для любых a, b \in \BbbR существует такое q \in \BbbQ , что (a; b] = (a; q] \cup (q; b], то из (7), (8)
следует, что для любого \omega \in \widetilde \Omega \cap \Omega \prime
x \cap \Omega \prime
y
\nu t
\bigl(
(a; b], \omega
\bigr)
= \lambda
\bigl\{
u \in \BbbR : x(u, t, \omega ) \in (a; b]
\bigr\}
.
Таким образом, на множестве полной вероятности \widetilde \Omega \cap \Omega \prime
x \cap \Omega \prime
y
\nu t(\Delta ) = \lambda \circ x(\cdot , t) - 1(\Delta ) \forall \Delta \in \scrA .
Поскольку для каждого \omega \in \widetilde \Omega \cap \Omega \prime
x \cap \Omega \prime
y меры \nu t(\cdot , \omega ) и \lambda \circ x(\cdot , t, \omega ) - 1(\cdot ) совпадают на
кольце \scrA , то в силу теоремы Каратеодори [14] они совпадают и на \sigma -алгебре \sigma (\scrA ) = \scrB (\BbbR ).
Следовательно,
\mathrm{P}
\bigl\{
\nu t(\Delta ) = \lambda \circ x(\cdot , t, \omega ) - 1(\Delta ) \forall \Delta \in \scrB (\BbbR )
\bigr\}
= 1, (9)
что и требовалось доказать.
Теорема 2 доказана.
3. Существование образа семейства функций под действием оператора \bfitT \bfitt . Рассмотрим
пространство Соболева W 1
2 (\BbbR ) [15].
Теорема 3. Пусть семейство функций \Phi \subset W 1
2 (\BbbR ) удовлетворяет условию
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in \Phi
\| f \prime \| L2(\BbbR ,(| u| +1)3du) < +\infty . (10)
Тогда для любого t > 0
\mathrm{P}
\bigl\{
\exists C\omega > 0 \forall f \in \Phi : \| Ttf\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| f\| L2(\BbbR )
\bigr\}
= 1. (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 163
Доказательство. Из условия (10) следует, что для каждой функции f \in \Phi справедливо
соотношение
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
C\rightarrow +\infty
+\infty \int
C
(f \prime (u))2(u+ 1)3du = 0.
Тогда для произвольного \beta \in
\biggl(
1
2
; 2
\biggr)
имеет место сходимость
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
C\rightarrow +\infty
C\beta
+\infty \int
C
(f \prime (u))2(u+ 1)3 - \beta du = 0. (12)
Рассмотрим класс эквивалентности f \in \Phi и зафиксируем произвольную функцию \widetilde f \in f.
Поскольку
\int
\BbbR
\widetilde f2(u)du < +\infty , то существует такая последовательность \{ vn\} \infty n=1, что vn \rightarrow
\rightarrow +\infty и \widetilde f(vn) \rightarrow 0 при n \rightarrow \infty . Для каждого u \in \BbbR + выберем номер n(u) так, чтобы
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow +\infty u
1
2 \widetilde f(vn(u)) = 0. В силу (12) справедливы соотношения
\bigm| \bigm| \bigm| u 1
2 ( \widetilde f(u) - \widetilde f(vn(u)))\bigm| \bigm| \bigm| \leq u
1
2
vn(u)\int
u
| f \prime (s)| ds \leq
\leq u
1
2
\left( vn(u)\int
u
(f \prime (s))2(s+ 1)3 - \beta ds
\right)
1
2
\left( vn(u)\int
u
ds
(s+ 1)3 - \beta
\right)
1
2
\leq C\beta u
1 - \beta
2 ,
где C\beta =
\biggl( \int +\infty
1
ds
(s+ 1)3 - \beta
\biggr) 1
2
< \infty для \beta \in
\biggl(
1
2
; 2
\biggr)
. Следовательно, имеет место сходимость
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow +\infty u
1
2 | \widetilde f(u)| = 0. Аналогично доказывается, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}u\rightarrow - \infty ( - u)
1
2 | \widetilde f(u)| = 0. Таким обра-
зом, если выполнено условие (10), то для любого класса эквивалентности f \in \Phi и для каждой
функции \widetilde f \in f
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| u| \rightarrow +\infty
| u|
1
2 | \widetilde f(u)| = 0. (13)
В силу последнего соотношения и формулы замены переменной для потока Арратья для
произвольной функции f \in \Phi и фиксированного t > 0 справедливы равенства
\| Ttf\| 2L2(\BbbR ) =
\int
\BbbR
f2(x(u, t))du =
\int
\BbbR
f2(u)dy(u, t).
Поскольку
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| u| \rightarrow +\infty
| y(u, t)|
| u|
= 1 п. н., (14)
то для любого \omega \in \Omega \prime :=
\biggl\{
\omega \prime \in \Omega : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}| u| \rightarrow +\infty
| y(u, t, \omega \prime )|
| u|
= 1
\biggr\}
в силу (13)
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| u| \rightarrow +\infty
f2(u)| y(u, t, \omega )| = 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
164 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
Следовательно, \int
\BbbR
f2(u)dy(u, t) = - 2
\int
\BbbR
f(u)f \prime (u)y(u, t)du п. н.
Поскольку выполнено (14), то для каждого \omega \in \Omega \prime существует такое \widetilde C\omega > 0, что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
u\in \BbbR
| y(u, t, \omega )|
(| u| + 1)
3
2
\leq \widetilde C\omega
и \int
\BbbR
| f(u)f \prime (u)y(u, t, \omega )| du \leq \widetilde C\omega
\int
\BbbR
(| u| + 1)
3
2 | f(u)f \prime (u)| du.
Из условия (10) и неравенства Гельдера следует, что на множестве \Omega \prime для каждой f \in \Phi
выполнено неравенство
\| Ttf\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| f\| L2(\BbbR ),
где C\omega = \widetilde C\omega \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}f\in \Phi \| f \prime \| L2(\BbbR ,(| u| +1)3du).
Теорема 3 доказана.
4. Существование непрерывной модификации оператора \bfitT \bfitt на подмножествах \bfitL 2(\BbbR ).
Найдем условия на множество K \subset L2(\BbbR ), при которых Tt имеет непрерывную модификацию
на K.
Теорема 4. Пусть K \subseteq W 1
2 (\BbbR ) — такое множество в L2(\BbbR ), что
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f,g\in K
\int
\BbbR
(f \prime (u) - g\prime (u))2(| u| + 1)3du < \infty . (15)
Тогда для любого t > 0 Tt на K имеет непрерывную модификацию.
Доказательство. Зафиксируем произвольное t > 0. Поскольку Tt — ССО в L2(\BbbR ), то для
любых f, g \in L2(\BbbR ), \alpha , \beta \in \BbbQ существует такое множество \Omega f,g,\alpha ,\beta , что \mathrm{P}(\Omega f,g,\alpha ,\beta ) = 1 и для
каждого \omega \in \Omega f,g,\alpha ,\beta имеет место равенство\bigl(
Tt(\alpha f + \beta g)
\bigr)
(\omega ) = \alpha (Ttf)(\omega ) + \beta (Ttg)(\omega ).
Пусть \{ fn\} \infty n=1 — счетное всюду плотное в K множество. Положим
\widetilde \Omega :=
\bigcap
(\alpha ,\beta )\in \BbbQ 2
\bigcap
f,g\in \{ fn\} \infty n=1
\Omega f,g,\alpha ,\beta .
Поскольку для любого f \in K существует такая подпоследовательность \{ nk\} \infty k=1, что
fnk
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
k\rightarrow \infty
f, то в силу (15) и теоремы 3
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
\| Tt(fnk
- f)\| L2(\BbbR ) = 0
\biggr\}
= 1.
Таким образом, на множестве \widetilde \Omega существует предел \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty (Ttfnk
)(\omega ), который не зави-
сит от выбора подпоследовательности. Действительно, пусть \{ fnk
\} \infty k=1, \{ fmk
\} \infty k=1 — различные
последовательности, сходящиеся к функции f. Тогда в силу (15) и теоремы 3
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 165
\| (Ttfnk
)(\omega ) - (Ttfmk
)(\omega )\| L2(\BbbR ) \leq C\omega \| fnk
- fmk
\| L2(\BbbR ) \rightarrow 0, k \rightarrow \infty .
Следовательно, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty (Ttfnk
)(\omega ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}k\rightarrow \infty (Ttfmk
)(\omega ).
Зададим на \widetilde \Omega оператор \widetilde Tt следующим образом:
( \widetilde Ttf)(\omega ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
(Ttfnk
)(\omega ), если f \in K.
Тогда \widetilde Tt — модификация Tt на K. Чтобы это показать, рассмотрим произвольную функцию
f \in K и множество \widetilde \Omega f := \cap \infty
n=1\Omega f,fn,1, - 1, \mathrm{P}(\widetilde \Omega f ) = 1. В силу (15) и теоремы 3 существует
такое \Omega \prime
f , \mathrm{P}(\Omega
\prime
f ) = 1, что для каждого \omega \in \Omega \prime
f выполнено неравенство
\| Tt(f - fn)\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| f - fn\| L2(\BbbR ),
где константа C\omega > 0 не зависит от n \in \BbbN . Для сходящейся последовательности \{ fnk
\} \infty k=1,
fnk
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
f, на множестве \Omega f := \widetilde \Omega f \cap \Omega \prime
f имеют место соотношения
\| Ttf - Ttfnk
\| L2(\BbbR )(\omega ) = \| Tt(f - fnk
)\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| f - fnk
\| L2(\BbbR ).
Следовательно, для произвольного \omega \in \Omega f справедливо
(Ttf)(\omega ) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
k\rightarrow \infty
(Ttfnk
)(\omega ),
что влечет равенство Ttf и \widetilde Ttf на множестве \Omega f , \mathrm{P}(\Omega f ) = 1. Таким образом, для любой
функции f \in K
\mathrm{P}\{ Ttf = \widetilde Ttf\} = 1.
Заметим, что для каждого \omega \in \widetilde \Omega и произвольных n,m \in \BbbN имеют место соотношения
\| \widetilde Ttfn - \widetilde Ttfm\| L2(\BbbR )(\omega ) = \| Ttfn - Ttfm\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| fn - fm\| L2(\BbbR ).
Тогда для любых k \in \BbbN и f, g \in K, fnk
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
k\rightarrow \infty
f, fmk
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
k\rightarrow \infty
g, выполнено неравенство
\| \widetilde Ttf - \widetilde Ttg\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq \| \widetilde Ttf - \widetilde Ttfnk
\| L2(\BbbR )(\omega ) + \| \widetilde Ttg - \widetilde Ttfmk
\| L2(\BbbR )(\omega )+
+C\omega (\| f - fnk
\| L2(\BbbR ) + \| g - fmk
\| L2(\BbbR )) + C\omega \| f - g\| L2(\BbbR ).
Следовательно, на множестве \widetilde \Omega существует такая константа C\omega > 0, что для всех f, g \in K
справедливо
\| \widetilde Ttf - \widetilde Ttg\| L2(\BbbR )(\omega ) \leq C\omega \| f - g\| L2(\BbbR ),
что равносильно непрерывности отображения \widetilde Tt(\omega ) : K \rightarrow L2(\BbbR ) при каждом \omega \in \widetilde \Omega .
Теорема 4 доказана.
5. Сохранение сходимости для произвольных функций. В предыдущем пункте рассмат-
ривались множества, содержащие функции из узкого класса. Каждый элемент множества из
теоремы 4 не только является непрерывной функцией, но и удовлетворяет условию Гельдера
с показателем 1/2. Настоящий пункт посвящен более широкому классу функций L2(\BbbR ), для
которых изучается сохранение сходимости под действием оператора Tt.
Поскольку оператор Tt не является ограниченным ССО в L2(\BbbR ), то не для каждой схо-
дящейся последовательности функций \{ fn\} \infty n=1 ее образ \{ Ttfn\} \infty n=1 под действием Tt будет
сходящейся последовательностью.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
166 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
Пример 1. Для каждого n \in \BbbN и k \in \{ 0, . . . , 2n - 1\} рассмотрим функцию fn,k = 1[ k
2n
; k+1
2n
].
Занумеруем последовательность
\bigl\{
fn,k, n \in \BbbN , k \in \{ 0, . . . , 2n - 1\}
\bigr\}
в одну \{ fn\} \infty n=1, сходящую-
ся к 0 в L2(\BbbR ). Если бы Tt сохранял сходимость этой последовательности, то
\mathrm{P}
\bigl\{
\| Ttfn\| L2(\BbbR ) \rightarrow 0, n \rightarrow \infty
\bigr\}
= 1. (16)
Отметим, что справедливы следующие соотношения:
\mathrm{P}
\bigl\{
б. ч. \| Ttfn\| 2L2(\BbbR ) = 1
\bigr\}
\geq
\geq \mathrm{P}
\bigl\{
б. ч. \| Ttfn\| 2L2(\BbbR ) = 1, x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in [0; 1]
\bigr\}
\geq
\geq \mathrm{P}
\bigl\{
б. ч. fn(x(0, t)) = 1, x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in [0; 1]
\bigr\}
=
= \mathrm{P}
\bigl\{
x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in [0; 1]
\bigr\}
,
где б. ч. означает бесконечно часто. Противоречие с (16) дает следующая лемма.
Лемма 1. Для потока Арратья \{ x(u, t), u \in \BbbR , t \geq 0\} и множества \Delta \subset \BbbR с положи-
тельной мерой Лебега \lambda (\Delta ) > 0
\mathrm{P}\{ x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in \Delta \} > 0.
Доказательство. Пусть w1, w2 — независимые винеровские процессы, стартующие из 0 и
1 соответственно,
0 = w1(0) < w2(0) = 1.
Рассмотрим их первый момент встречи \sigma := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s \geq 0 : w1(s) = w2(s)\} и зададим новые
винеровские процессы
z1(s) := w1(s),
z2(s) := w2(s)1\{ s < \sigma \} + w1(s)1\{ s \geq \sigma \} .
Поскольку (x(0, t), x(1, t))
d
= (z1(t), z2(t)) [1], то
\mathrm{P}\{ x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in \Delta \} = \mathrm{P}\{ \sigma \leq t, z1(t) \in \Delta \} =
= \mathrm{M}(1\{ \sigma \leq t\} \mathrm{M}(1\{ w1(t) \in \Delta , w2(t) \in \BbbR \} /\scrF \sigma )).
Рассмотрим поток \sigma -алгебр \{ \scrF t\} t\geq 0, где \scrF t = \sigma (w1(s), w2(s), s \leq t). В силу строго
марковского свойства для двумерного винеровского процесса (w1(t), w2(t)) и того, что \sigma —
марковский момент относительно \{ \scrF t\} t\geq 0, справедливо равенство
\mathrm{M}(1\{ \sigma \leq t\} \mathrm{M}(1\{ w1(t) \in \Delta , w2(t) \in \BbbR \} /\scrF \sigma )) = \mathrm{M}F (\sigma ,w1(\sigma )),
где функция F задается соотношением
F (y1, y2) = 1\{ y1 \leq t\} 1\sqrt{}
2\pi (t - y1)
\int
\Delta
e
- (u - y2)
2
2(t - y1) du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 167
Совместная плотность распределения для (\sigma ,w1(\sigma )) имеет вид
f(\sigma ,w1(\sigma ))(y1, y2) =
1
2
\surd
2\pi y21
e
- 2y22+1
4y1 .
Следовательно,
\mathrm{P}\{ x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in \Delta \} =
=
\int
\BbbR
t\int
0
1
2
\surd
2\pi y21
e
- 2y22+1
4y1
1\sqrt{}
2\pi (t - y1)
\int
\Delta
e
- (v - y2)
2
2(t - y1) dvdy1dy2 > 0.
Лемма 1 доказана.
Таким образом, для последовательности функций из примера 1
\mathrm{P}\{ б. ч. \| Ttfn,k\| 2L2(\BbbR ) = 1\} > 0,
что противоречит (16).
Оказывается, что необходимым условием сохранения сходимости под действием операто-
ра Tt является сходимость почти всюду по мере Лебега \lambda на \BbbR .
Теорема 5. Пусть последовательность \{ fn\} \infty n=1 \subset L2(\BbbR ) такова, что fn
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0. Если
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| Ttfn\| L2(\BbbR ) = 0
\Bigr\}
= 1, (17)
то fn \rightarrow 0 почти всюду по мере Лебега \lambda на \BbbR при n \rightarrow \infty .
Доказательство. Заметим, что fn \rightarrow 0 почти всюду по \lambda на \BbbR при n \rightarrow \infty тогда и только
тогда, когда для любого C > 0
\lambda
\Bigl\{
u \in \BbbR : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
| fn(u)| \geq C
\Bigr\}
= 0.
Предположим, что для некоторого C > 0 множество \Delta C := \{ v \in \BbbR : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty | fn(v)| > C\}
имеет положительную меру Лебега \lambda (\Delta C) > 0.
В силу леммы 1 и предположения для произвольного t > 0
\mathrm{P}\{ б. ч. \| Ttfn\| 2L2(\BbbR ) \geq C2\} \geq
\geq \mathrm{P}\{ б. ч. f2
n(x(0, t)) \geq C2, x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in \Delta C\} =
= \mathrm{P}\{ x(0, t) = x(1, t), x(0, t) \in \Delta C\} > 0,
что противоречит (17).
Теорема 5 доказана.
Необходимое условие сохранения сходимости из теоремы не является достаточным. Про-
иллюстрируем это на примере.
Пример 2. Пусть fn =
1
cn
1(an;an+1], где c0 := 1, a0 := 0 и для любого n \in \BbbN
cn = (\mathrm{l}\mathrm{n}n)1/4, an = an - 1 + 1 + 2n(t \mathrm{l}\mathrm{n} 2)1/2. (18)
Очевидно, что fn \rightarrow 0, n \rightarrow \infty , почти всюду. Для заданной последовательности функций
справедливо следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
168 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
Лемма 2. Для фиксированного t > 0 и произвольного \delta \in (0; 2
\surd
t)
\mathrm{P}\{ б. ч. \| Ttfn\| 2L2(\BbbR ) \geq \delta \} = 1.
Доказательство. Рассмотрим такие независимые винеровские процессы \{ wj\} j\geq 0 на [0; t],
что для любого n \in \BbbN \cup \{ 0\} w2n(0) = an и w2n+1(0) = an + 1. По заданному семейству
\{ wj , j \geq 0\} построим новые случайные процессы \{ \widetilde y(uk, \cdot )\} \infty k=0, где u2n = an и u2n+1 = an+1.
Для функций g1, g2 \in \scrC (\BbbR ) введем обозначение
\tau [g1, g2] := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\{ s \geq 0 : g1(s) = g2(s)\} .
Для каждого n \in \BbbN \cup \{ 0\} положим
\widetilde y(an, s) := w2n(s)1
\bigl\{
s < \tau [w2n, \widetilde y(an - 1 + 1, \cdot )]
\bigr\}
+
+\widetilde y(an - 1 + 1, s)1
\bigl\{
s \geq \tau [w2n, \widetilde y(an - 1 + 1, \cdot )]
\bigr\}
,
\widetilde y(an + 1, s) := w2n+1(s)1
\bigl\{
s < \tau [w2n+1, \widetilde y(an, \cdot )]\bigr\} +
+\widetilde y(an + 1, s)1
\bigl\{
s \geq \tau [w2n+1, \widetilde y(an, \cdot )]\bigr\} ,
где \widetilde y(0, s) := w0(s).
В [3] отмечено, что для потока Арратья \{ y(u, s), u \in \BbbR , s \geq 0\} в пространстве \scrC ([0; t])\infty
\{ y(uk, \cdot )\} \infty k=0 и \{ \widetilde y(uk, \cdot )\} \infty k=0 имеют одинаковые распределения. Следовательно, для любого
\delta > 0
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
y(an + 1, t) - y(an, t)
c2n
\geq \delta
\biggr\}
= \mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\widetilde y(an + 1, t) - \widetilde y(an, t)
c2n
\geq \delta
\biggr\}
. (19)
Таким образом,
\mathrm{P}\{ б. ч. \| Ttfn\| 2L2(\BbbR ) \geq \delta \} =
= \mathrm{P}
\left\{ б. ч.
1
c2n
\int
\BbbR
1(an;an+1](x(u, t))du \geq \delta
\right\} (9)
=
(9)
= \mathrm{P}
\biggl\{
б. ч.
y(an + 1, t) - y(an, t)
c2n
\geq \delta
\biggr\}
,
где \{ y(u, r), u \in \BbbR , r \in [0; t]\} — двойственный поток к потоку Арратья
\bigl\{
x(u, r), u \in \BbbR , r \in
\in [0; t]
\bigr\}
.
Значит, согласно (19), достаточно показать, что
\mathrm{P}
\biggl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\widetilde y(an + 1, t) - \widetilde y(an, t)
c2n
\geq \delta
\biggr\}
= 1.
Доказательство последнего равенства базируется на следующей лемме.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 169
Лемма 3. Пусть \{ wj , j \geq 0\} — семейство независимых винеровских процессов на [0; t]
таких, что для любого n \in \BbbN \cup \{ 0\} w2n(0) = an и w2n+1(0) = an + 1. Тогда для каждого
n \in \BbbN имеет место неравенство
\mathrm{P}
\bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=0,2n - 1
wj(s) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
w2n(s)
\Bigr\}
<
1
2nt
\surd
\pi \mathrm{l}\mathrm{n} 2
. (20)
Доказательство. Пусть \widetilde w1, \widetilde w2 — независимые винеровские процессы на [0; t] такие, что\widetilde w1(0) = \widetilde w2(0) = 0. Заметим, что
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=0,2n - 1
wj(s) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
w2n(s)
\Bigr\}
=
= \mathrm{P}
\Bigl\{
\exists j = 0, 2n - 1 : \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
wj(s) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
w2n(s) \geq 0
\Bigr\}
\leq
\leq
n - 1\sum
j=0
\biggl(
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\widetilde w1(s) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
\widetilde w2(s) \geq an - aj
\Bigr\}
+
+\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\widetilde w1(s) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
\widetilde w2(s) \geq an - aj - 1
\Bigr\} \biggr)
.
Поскольку \{ an\} n\geq 0 — возрастающая последовательность, то для произвольного n \in \BbbN выпол-
нены следующие соотношения:
n - 1\sum
j=0
\biggl(
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\widetilde w1(s) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
\widetilde w2(s) \geq an - aj
\Bigr\}
+
+ \mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\widetilde w1(s) - \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
\widetilde w2(s) \geq an - aj - 1
\Bigr\} \biggr)
\leq
\leq 2\surd
\pi t
n - 1\sum
j=0
1
an - aj - 1
e -
(an - aj - 1)2
4t \leq
\leq 2(n - 1)\surd
\pi t
1
an - an - 1 - 1
e -
(an - an - 1 - 1)2
4t \leq 1
2nt
\surd
\pi \mathrm{l}\mathrm{n} 2
,
где последнее неравенство следует из выбора последовательности \{ an\} \infty n=0.
Лемма 3 доказана.
Следствие 1. Для семейства \{ wj , j \geq 0\} независимых винеровских процессов, удовлетво-
ряющих условиям леммы 3, справедливо
\mathrm{P}
\biggl\{
б. ч. \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
s\in [0;t]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
j=0,2n - 1
wj(s) \geq \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
s\in [0;t]
w2n(s)
\biggr\}
= 0.
Согласно построению процессов \{ \widetilde y(uk, \cdot )\} \infty k=0 и следствию 1
\mathrm{P}
\bigl\{
\exists N \in \BbbN \forall n \geq N : \widetilde y(an, t) = w2n(t), \widetilde y(an + 1, t) =
= w2n+1(t)1
\bigl\{
t < \tau [w2n, w2n+1]
\bigr\}
+ w2n(t)1
\bigl\{
t \geq \tau [w2n, w2n+1]
\bigr\} \bigr\}
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
170 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
Таким образом,
\mathrm{P}
\bigl\{
\exists N \in \BbbN \forall n \geq N : \widetilde y(an + 1, t) - \widetilde y(an, t) = w2n+1(t) - w2n(t)
\bigr\}
= 1. (21)
Поскольку \mathrm{P}
\bigl\{
w2n+1(t) - w2n(t) \geq c2n\delta
\bigr\}
\geq 1\surd
\pi t
e -
1
4t
(c2n\delta +1)2 , то в силу выбора последователь-
ности \{ cn\} \infty n=0 для произвольного \delta \in (0; 2
\surd
t) и некоторого N0 \in \BbbN
\mathrm{P}
\bigl\{
w2n+1(t) - w2n(t) \geq c2n\delta
\bigr\}
\geq 1
n
для всех n \geq N0.
Следовательно, согласно лемме Бореля – Кантелли
\mathrm{P}
\bigl\{
б. ч. w2n+1(t) - w2n(t) \geq c2n\delta
\bigr\}
= 1,
что с учетом (21) эквивалентно следующему:
\mathrm{P}\{ б. ч. \widetilde y(an + 1, t) - \widetilde y(an, t) \geq c2n\delta \} = 1.
Лемма 2 доказана.
Пример 2 иллюстрирует, что из сходимостей последовательности \{ fn\} \infty n=1 \subset L2(\BbbR ) к нулю
в L2(\BbbR ) и почти всюду по мере Лебега на \BbbR , вообще говоря, не следует сходимость \{ Ttfn\} \infty n=1
к нулю. Однако при дополнительном условии на носители функций \{ fn\} \infty n=1 сходимости к
нулю почти всюду достаточно для того, чтобы \mathrm{P}\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \| Ttfn\| L2(\BbbR ) = 0\} = 1. А именно,
имеет место следующая теорема, которая дает достаточное условие сохранения сходимости.
Теорема 6. Пусть последовательность функций \{ fn\} \infty n=1 \subset L2(\BbbR ) удовлетворяет следу-
ющим условиям:
1) fn
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0;
2) fn - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0 почти всюду по \lambda на \BbbR ;
3) \exists C > 0 \forall n \geq 1 : suppfn \subset [ - C;C].
Тогда \mathrm{P}\{ \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \| Ttfn\| L2(\BbbR ) = 0\} = 1 для любого t > 0.
Доказательство. Основной идеей доказательства является следующее вспомогательное
утверждение.
Лемма 4. Пусть выполнены условия 1 – 3 теоремы 6. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует
открытое множество \Delta \varepsilon \subseteq [ - C;C] такое, что:
а) \lambda (\Delta \varepsilon ) < \varepsilon ;
б) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\in [ - C;C]\setminus \Delta \varepsilon | fn(u)| - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
0;
в) \mathrm{P}\{ x(\BbbR , t) \cap \Delta \varepsilon \not = \varnothing \} <
\varepsilon \surd
\pi t
для любого t > 0.
Доказательство. Из условий 2, 3 в силу теоремы Егорова следует, что для любого \varepsilon > 0 су-
ществует измеримое множество G\varepsilon \subseteq [ - C;C] такое, что \lambda (G\varepsilon ) <
\varepsilon
2
и \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}u\in [ - C;C]\setminus G\varepsilon | fn(u)| \rightarrow
\rightarrow 0, n \rightarrow \infty . Поскольку G\varepsilon \subseteq [ - C;C] измеримо, то можно найти открытое множество
\Delta \varepsilon = \cup k(a
\varepsilon
k; b
\varepsilon
k), где объединение не более чем счетно, для которого \lambda (\Delta \varepsilon ) < \varepsilon и G\varepsilon \subseteq \Delta \varepsilon .
Таким образом, в силу (4) справедливы соотношения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
СВОЙСТВА СИЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ПОСТРОЕННЫХ ПО ПОТОКУ АРРАТЬЯ 171
\mathrm{P}\{ x(\BbbR , t) \cap \Delta \varepsilon \not = \varnothing \} \leq
\sum
k
\mathrm{P}\{ x(\BbbR , t) \cap (a\varepsilon k; b
\varepsilon
k) \not = \varnothing \} =
=
\sum
k
\mathrm{P}\{ y(b\varepsilon k; t) \not = y(a\varepsilon k; t)\} \leq
\sqrt{}
2
\pi t
\sum
k
b\varepsilon k - a\varepsilon k\surd
2\int
0
e -
u2
2t du \leq
\leq 1\surd
\pi t
\sum
k
(b\varepsilon k - a\varepsilon k) \leq
\varepsilon \surd
\pi t
,
что и требовалось доказать.
Зафиксируем произвольное t > 0. Согласно условию б) для каждого \varepsilon > 0 на множестве
\Omega \varepsilon := \{ \omega \in \Omega : x(\BbbR , t, \omega ) \cap \Delta \varepsilon = \varnothing \}
имеет место сходимость \| (Ttfn)(\omega )\| L2(\BbbR ) - - - \rightarrow n\rightarrow \infty
0.
Следовательно, для каждого \varepsilon > 0
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| Ttfn\| L2(\BbbR ) = 0
\Bigr\}
\geq \mathrm{P}(\Omega \varepsilon ) > 1 - \varepsilon ,
что в силу произвольности выбора \varepsilon > 0 влечет
\mathrm{P}
\Bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\| Ttfn\| L2(\BbbR ) = 0
\Bigr\}
= 1.
Теорема 6 доказана.
Используя достаточное условие сохранения сходимости, приведем пример класса компактов
K в пространстве L2(\BbbR ), для которых из условия fn
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
f, \{ fn\} \infty n=1 \subseteq K, следует, что
\mathrm{P}
\bigl\{
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty \| Tt(fn - f)\| L2(\BbbR ) = 0
\bigr\}
= 1.
Пример 3. Пусть K — компакт в \scrC ([0; 1]). Тогда на его естественном вложении в про-
странство L2([0; 1]) в силу предыдущей теоремы достаточно показать, что из сходимости в
L2(\BbbR ) последовательности \{ fn\} \infty n=1 \subseteq K к функции f \in K следует сходимость почти всюду
по мере Лебега на [0; 1].
В силу теоремы Арцела – Асколи для любого \varepsilon > 0 существует такое \delta > 0, что для любых
точек u, v \in [0, 1], удовлетворяющих условию | u - v| < \delta , выполняется неравенство
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
f\in K
| f(u) - f(v)| < \varepsilon
3
. (22)
Для последовательности \{ fn\} \infty n=1 \subseteq K, сходящейся в L2(\BbbR ) к f, fn
L2(\BbbR ) - - - \rightarrow
n\rightarrow \infty
f, существует такой
номер n(\delta ), что для всех n \geq n(\delta )
\lambda
\Bigl\{
u \in [0; 1] : | fn(u) - f(u)| \geq \varepsilon
3
\Bigr\}
< \delta .
Рассмотрим разбиение
\Biggl\{
xk, k = 0,
\biggl[
1
\delta
\biggr]
+ 1
\Biggr\}
отрезка [0; 1] вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
172 Я. А. КОРЕНОВСКАЯ
x[ 1\delta ]+1 = 1 и xk = k\delta для каждого k = 0,
\biggl[
1
\delta
\biggr]
.
Из (22) следует, что для любого n \geq n(\delta ) и произвольного k = 0,
\biggl[
1
\delta
- 1
\biggr]
существует unk \in
\in [xk;xk+1) такой, что \bigm| \bigm| fn(unk) - f(unk)
\bigm| \bigm| < \varepsilon
3
,
и для каждой точки v \in [x[ 1\delta ]
; 1] существует такой un
[ 1\delta ]
\in [1 - \delta ; 1], что
| f(un[ 1\delta ]
) - f(v)| < \varepsilon
3
и | fn(un[ 1\delta ]
) - fn(v)| <
\varepsilon
3
.
Следовательно, доказана равномерная сходимость на [0; 1] последовательности \{ fn\} \infty n=1 к f,
что влечет сходимость почти всюду на [0; 1].
Литература
1. Arratia R. Coalescing Brownian motions on the line: PhD Thesis. – Madison, 1979.
2. Harris T. E. Coalescing and noncoalescing stochastic flows in \BbbR 1 // Stochast. Process. and Appl. – 1984. – 17. –
P. 187 – 210.
3. Дороговцев А. А. Мерозначные процессы и стохастические потоки. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2007. – 289 с.
4. Дороговцев А. А. Некоторые замечания о винеровском потоке со склеиванием // Укр. мат. журн. – 2005. – 57,
№ 10. – С. 1327 – 1333.
5. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations. – Cambridge Univ. Press, 1997. – 346 p.
6. Dorogovtsev A. A. Semigroups of finite-dimensional random projections // Lith. Math. J. – 2011. – 51, № 3. –
P. 330 – 341.
7. Korenovska I. A. Random maps and Kolmogorov widths // Theory Stochast. Process. – 2015. – 20(36), № 1. –
P. 78 – 83.
8. Dorogovtsev A. A. Krylov – Veretennikov expansion for coalescing stochastic flows // Commun. Stochast. Anal. –
2012. – 6, № 3. – P. 421 – 435.
9. Скороход А. В Случайные линейные операторы. – Киев: Наук. думка, 1978. – 200 с.
10. Дороговцев А. А. Стохастический анализ и случайные отображения в гильбертовом пространстве. – Киев:
Наук. думка, 1992. – 120 с.
11. Fontes L. R. G., Isopi M., Newman C. M., Ravishankar K. The Brownian web // Proc. Nat. Acad. Sci. – 2002. –
99. – P. 15888 – 15893.
12. Tóth B., Werner W. The true self-repelling motion // Probab. Theory Relat. Fields. – 1998. – 111. – P. 375 – 452.
13. Arratia R. Coalescing Brownian motions and the voter model on \BbbZ // Unpublished Partial Manuscript. – 1981 /
available from rarratia@math.usc.edu.
14. Халмош П. Теория меры. – М.: Изд-во иностр. лит., 1953. – 291 с.
15. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – М.: Наука, 1988. –
333 с.
Получено 14.07.16,
после доработки — 03.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1684 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:34Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ea/ee3c8e7a637aa41831b6b8eeaee7ffea.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16842019-12-05T09:23:56Z Properties of strong random operators generated by an Arratia flow Свойства сильных случайных операторов, построенных по потоку Арратья Korenovskaya, Ya. A. Кореновская, Я. А. Кореновская, Я. А. We study the properties of strong random operators $T_t$ in $L_2(R)$ used to describe the shifts of the functions along an Arratia flow. We prove the formula of change of variables for the Arratia flow. As a consequence of this formula, we establish sufficient conditions for compact sets $K \subset L_2(R)$ under which $T_t$ has a continuous modification on $K$. We also present necessary and sufficient conditions for the convergent sequences in $L_2(R)$ under which the operator $T_t$ preserves their convergence. Вивчаються властивостi сильних випадкових операторiв $T_t$ у $L_2(R)$, що описують зсуви функцiй уздовж потоку Арратья. Доведено формулу замiни змiнних для потоку Арратья. Як наслiдок отримано достатнi умови на компактнi множини $K \subset L_2(R)$, на яких $T_t$ має неперервну модифiкацiю. Наведено необхiднi та достатнi умови на збiжнi послiдовностi у $L_2(R)$, за яких оператор $T_t$ зберiгає їх збiжнiсть. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1684 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 157-172 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 157-172 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1684/666 Copyright (c) 2017 Korenovskaya Ya. A. |
| spellingShingle | Korenovskaya, Ya. A. Кореновская, Я. А. Кореновская, Я. А. Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title | Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title_alt | Свойства сильных случайных операторов, построенных по потоку Арратья |
| title_full | Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title_fullStr | Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title_full_unstemmed | Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title_short | Properties of strong random operators generated by an Arratia flow |
| title_sort | properties of strong random operators generated by an arratia flow |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1684 |
| work_keys_str_mv | AT korenovskayayaa propertiesofstrongrandomoperatorsgeneratedbyanarratiaflow AT korenovskaââa propertiesofstrongrandomoperatorsgeneratedbyanarratiaflow AT korenovskaââa propertiesofstrongrandomoperatorsgeneratedbyanarratiaflow AT korenovskayayaa svojstvasilʹnyhslučajnyhoperatorovpostroennyhpopotokuarratʹâ AT korenovskaââa svojstvasilʹnyhslučajnyhoperatorovpostroennyhpopotokuarratʹâ AT korenovskaââa svojstvasilʹnyhslučajnyhoperatorovpostroennyhpopotokuarratʹâ |