Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic functions, polynomials, and splines
We prove a sharp Remez-type inequality of various metrics $$\| x\| q \leq \| \varphi_r\| q \biggl\{\frac{\| x\|_{L_p([0,2\pi ]\setminus B)}}{\|\varphi r\|_{ L_p([0,2\pi ]\setminus B_1)}}\biggr\}^{\alpha } \| x(r)\|^{1 - \alpha}_{ \infty} ,\; q > p > 0, \;\alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507519393202176 |
|---|---|
| author | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_facet | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. |
| author_sort | Kofanov, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We prove a sharp Remez-type inequality of various metrics
$$\| x\| q \leq \| \varphi_r\| q \biggl\{\frac{\| x\|_{L_p([0,2\pi ]\setminus B)}}{\|\varphi r\|_{ L_p([0,2\pi ]\setminus B_1)}}\biggr\}^{\alpha }
\| x(r)\|^{1 - \alpha}_{ \infty} ,\; q > p > 0, \;\alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),$$
for $2\pi$ -periodic functions $x \in L^r_{\infty}$ satisfying the condition
$$L(x)p \leq 2^{-\frac 1p}\| x\|_p,\quad (\ast )$$
where
$$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \| x\| L_p[a,b] : [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$
$B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda$ ($\lambda$ is chosen so that $\| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| L_p[0,2\pi /\lambda ] ), \varphi_r$ is the ideal Euler’s spline of order r, and
$$B_1 := \biggl[\frac{-\pi - \beta /2}{2}
, \frac{-\pi + \beta /2}{2} \biggr] \bigcup \biggl[ \frac{\pi - \beta /2}{2},
\frac{\pi + \beta /2}{2}
\biggr].$$
As a special case, we establish sharp Remez-type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and
polynomial splines satisfying the condition $(\ast )$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
В. А. Кофанов (Днепропетр. нац. ун-т)
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,
ПОЛИНОМОВ И СПЛАЙНОВ
We prove a sharp Remez-type inequality of various metrics
\| x\| q \leq \| \varphi r\| q
\biggl\{ \| x\| Lp([0,2\pi ]\setminus B)
\| \varphi r\| Lp([0,2\pi ]\setminus B1)
\biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , q > p > 0, \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),
for 2\pi -periodic functions x \in Lr
\infty satisfying the condition
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| p, (\ast )
where
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
,
B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda (\lambda is chosen so that \| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| Lp[0,2\pi /\lambda ] ), \varphi r is the ideal Euler’s spline of order r, and
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
.
As a special case, we establish sharp Remez-type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and
polynomial splines satisfying the condition (\ast ).
Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза
\| x\| q \leq \| \varphi r\| q
\biggl\{ \| x\| Lp([0,2\pi ]\setminus B)
\| \varphi r\| Lp([0,2\pi ]\setminus B1)
\biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , q > p > 0, \alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),
для перioдичних функцiй x \in Lr
\infty , що задовольняють умову
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| p, (\ast )
де
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
,
B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda (\lambda вибрано так, що \| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| Lp[0,2\pi /\lambda ] ), \varphi r — iдеальний сплайн Ейлера порядку r, а
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
.
Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для тригонометричних полiномiв i полiно-
мiальних сплайнiв, що задовольняють умову (\ast ).
1. Введение. Пусть G — некоторое измеримое подмножество числовой оси, а Lp(G) — про-
странство таких измеримых функций x : G \rightarrow \bfR , что \| x\| Lp(G) < \infty , где
\| x\| Lp(G) :=
\left\{
\biggl( \int
G
| x (t)| p dt
\biggr) 1/p
, если 0 < p < \infty ,
\mathrm{v}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i} \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in G
| x (t)| , если p = \infty .
Через Id обозначим окружность, реализованную в виде отрезка [0, d] с отождествленными
концами. Вместо \| x\| Lp(I2\pi ) будем писать для краткости \| x\| p.
c\bigcirc В. А. КОФАНОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 173
174 В. А. КОФАНОВ
Для r \in \bfN , G = \bfR или G = Id через Lr
\infty (G) обозначим пространство всех функций
x \in L\infty (G), имеющих локально абсолютно непрерывные производные до (r - 1)-го порядка и
таких, что x(r) \in L\infty (G).
Символом \varphi r(t), r \in \bfN , обозначим сдвиг r-го 2\pi -периодического интеграла с нулевым
средним значением на периоде от функции \varphi 0 (t) = \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t, удовлетворяющий условию
\varphi r(0) = 0.
В работе [1] доказана следующая теорема.
Теорема A. Пусть r \in \bfN , q > p > 0. Для любой функции x \in Lr
\infty (I2\pi ), имеющей нули,
выполняется точное на классе Lr
\infty (I2\pi ) неравенство
\| x\| q \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
c\in [0,Kr]
\| \varphi r + c\| q
\| \varphi r + c\| \alpha p
\| x\| \alpha p \| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (1.1)
где \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
, Kr := \| \varphi r\| \infty .
В этой же работе показано, что на классах функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), имеющих нули и удовле-
творяющих некоторым дополнительным условиям, супремум в определении точной константы
в неравенстве (1.1) достигается при c = 0. В частности, для функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), удовлетво-
ряющих условию \| x+\| p = \| x - \| p (где x\pm := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ \pm x, 0\} ), выполняется точное неравенство
\| x\| q \leq \| \varphi r\| q
\biggl(
\| x\| p
\| \varphi r\| p
\biggr) r+1/q
r+1/p
\| x(r)\|
1/p - 1/q
r+1/p
\infty , q > p > 0. (1.2)
Пусть L(x)p — локальная „норма” функции x \in Lp(Id), определяемая равенством [2]
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: [a, b] \subset Id, | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
. (1.3)
В работе [3] доказано, что если функция x \in Lr
\infty (I2\pi ) удовлетворяет условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| p, (1.4)
то для нее выполняется неравенство (1.2).
Отметим, что условие (1.4), в частности, выполнено для функций x \in Lp(I2\pi ), удовлетво-
ряющих одному из условий \| x+\| p = \| x - \| p или L(x+)p = L(x - )p .
В настоящей работе неравенство (1.2) обобщено в двух направлениях. Во-первых, оно
распространено на классы функций с заданной функцией сравнения. Во-вторых, в этих обоб-
щениях содержится „эффект Ремеза”. Приведем необходимые определения.
Будем говорить, что f \in L1
\infty (\bfR ) является функцией сравнения для x \in L1
\infty (\bfR ), если
\| x\| L\infty (R) \leq \| f\| L\infty (R),
и из равенства x(\xi ) = f(\eta ), где \xi , \eta \in \bfR , следует неравенство | x\prime (\xi )| \leq | f \prime (\eta )| , если указанные
производные существуют.
Нечетную 2\omega -периодическую функцию \varphi \in L1
\infty (I2\omega ) будем называть S -функцией, если она
имеет такие свойства: \varphi является четной относительно \omega /2, | \varphi | — выпуклой вверх на [0, \omega ] и
строго монотонной на [0, \omega /2].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 175
Для 2\omega -периодической S -функции \varphi через S\varphi (\omega ) обозначим класс функций x из про-
странства L1
\infty (Id), для которых \varphi является функцией сравнения. Отметим, что классы S\varphi (\omega )
рассматривались в работах [4, 5]. Примерами классов S\varphi (\omega ) являются соболевские классы\Bigl\{
x \in Lr
\infty (Id) : \| x\| \infty \leq A0, \| x(r)\| \infty \leq Ar
\Bigr\}
,
а также ограниченные подмножества пространства Tn (тригонометрических полиномов поряд-
ка не выше n) и пространства Sn,r (2\pi -периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами
в точках k\pi /n, k \in \bfZ ).
В теории приближения важную роль играют неравенства типа Ремеза
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq C(n, \beta ) \| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.5)
на классе Tn, где B — произвольное измеримое по Лебегу множество B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta .
Начало этой тематике положила работа Е. Ремеза [6], в которой найдена точная константа в
неравенстве вида (1.5) для алгебраических многочленов. В неравенстве Ремеза экстремальным
является многочлен Чебышева 1-го рода. Точная константа в неравенстве (1.5) для тригономет-
рических полиномов неизвестна. В ряде работ получены двусторонние оценки для точных кон-
стант C(n, \beta ). Кроме того, известно асимптотическое поведение констант C(n, \beta ) при \beta \rightarrow 2\pi
[7] и \beta \rightarrow 0 [8]. Библиографию работ по данной тематике можно найти в [7 – 10]. В работе [8]
доказано неравенство
\| T\| L\infty (I2\pi )
\leq
\biggl(
1 + 2 \mathrm{t}\mathrm{g}2
n\beta
4m
\biggr)
\| T\| L\infty (I2\pi \setminus B) (1.6)
для произвольного полинома T \in Tn, имеющего минимальный период 2\pi /m, и любого из-
меримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta , где \beta \in (0, 2\pi m/n). Равенство в (1.6)
достигается для полинома T (t) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}nx+
1
2
(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta /2). Этот результат был обобщен в [11],
где для любой d-периодической функции x \in S\varphi (\omega ) (\varphi — заданная функция сравнения) и
произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , доказано неравенство
\| x\| \infty \leq
3\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr)
\| \varphi \| \infty + \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \| x\| L\infty (Id\setminus B) ,
которое является точным на классе S\varphi (\omega ) и обращается в равенство для функции
x(t) = \varphi (t) +
1
2
\biggl(
\| \varphi \| \infty - \varphi
\biggl(
\omega - \beta
2
\biggr) \biggr)
.
В настоящей работе для d-периодических функций x \in S\varphi (\omega ), удовлетворяющих условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(Id), p > 0, (1.7)
и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B \leq \beta , доказано точное неравен-
ство разных метрик типа Ремеза (теорема 3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
176 В. А. КОФАНОВ
\| x\| Lq(Id) \leq \| \varphi \| Lq(I2\omega )
\| x\| Lp(Id\setminus B)
\| \varphi \| Lp(I2\omega \setminus B1)
, q > p > 0,
где B1 :=
\biggl[
- \omega - \beta /2
2
,
- \omega + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[ \omega - \beta /2
2
,
\omega + \beta /2
2
\biggr]
, которое обращается в равенство
для функции x(t) = \varphi (t) и множества B = B1. Как следствие получены неравенства разных
метрик типа Ремеза для функций соболевских классов Lr
\infty (I2\pi ) (теорема 4.1), для тригономет-
рических полиномов (теорема 5.1) и периодических полиномиальных сплайнов (теорема 6.1),
удовлетворяющих условию (1.7). При этом неравенство (1.2) является следствием теоремы 4.1.
2. Вспомогательные сведения. Для x \in Lp(Id) положим
L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{
\| x\| Lp[a,b]
: [a, b] \subset Id, | x(t)| > 0, t \in (a, b)
\Bigr\}
. (2.1)
Пусть f \in L1[a, b]. Через r(f, t), t \in [0, b - a], обозначим перестановку функции | f | (см.,
например, [12], § 1.3) и положим r(f, t) = 0 для t > b - a.
Лемма 2.1. Пусть p > 0, \varphi — S -функция с периодом 2\omega . Если d-периодическая функция
x \in S\varphi (\omega ) такова, что
\| x\| Lp(Id) = \| \varphi \| Lp(I2\omega ), (2.2)
и удовлетворяет условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(Id), (2.3)
то для любого q \geq p
L(x)q \leq L(\varphi )q. (2.4)
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in S\varphi (\omega ), удовлетворяющую условиям лем-
мы 2.1. Поскольку L(\varphi )p = 2
- 1
p \| \varphi \| Lp(Id), то из (2.2) и (2.3) следует, что
L(x)p \leq L(\varphi )p. (2.5)
Пусть [a, b] — отрезок, реализующий супремум величины L(x)q в определении (2.1). Вслед-
ствие непрерывности функции x выполнено равенство x(a) = x(b) = 0. Поэтому для любого
y \in (0, \| x\| \infty ) существуют точки
ti \in [a, b], i = 1, 2, . . . ,m, m \geq 2, yj \in [0, \omega ], j = 1, 2,
такие, что
y = | x(ti)| = | \varphi (yj)| .
Так как \varphi является функцией сравнения для x, то
| x\prime (ti)| \leq | \varphi \prime (yj)| .
Пусть x — сужение функции | x| на [a, b], а \varphi — сужение | \varphi | на [0, \omega ]. Покажем, что если точки
\theta 1 \in [0, b - a] и \theta 2 \in [0, \omega ] выбраны так, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 177
y = r(x, \theta 1) = r(\varphi , \theta 2),
то
| r\prime (x, \theta 1)| \leq | r\prime (\varphi , \theta 2)| .
Действительно, это непосредственно следует из теоремы о производной перестановки (см.,
например, [12], предложение 1.3.2), в силу которой
| r\prime (x, \theta 1)| =
\Biggl[
m\sum
i=1
| x\prime (ti)| - 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
| \varphi \prime (yj)| - 1
\right] - 1
= | r\prime (\varphi , \theta 2)| .
Учитывая также неравенство
r(x, 0) \leq \| x\| \infty \leq \| \varphi \| \infty = r(\varphi , 0),
вытекающее из определения функции сравнения и того факта, что перестановка сохраняет
L\infty -норму, заключаем, что разность \Delta (t) := r(x, t) - r(\varphi , t) меняет знак на [0,\infty ) не более
одного раза (с минуса на плюс). То же самое справедливо и для разности \Delta p(t) := rp(x, t) -
- rp(\varphi , t). Покажем, что
\xi \int
0
rp(x, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi , t)dt, \xi > 0. (2.6)
Положим I(\xi ) :=
\int \xi
0
\Delta p(t)dt и M = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ b - a, \omega \} . Тогда I(0) = 0 и, так как перестановка
сохраняет Lp-норму, в силу (2.5)
I(M) \leq L(x)p - L(\varphi )p \leq 0.
Кроме того, I \prime (\xi ) = \Delta p(\xi ) меняет знак (с минуса на плюс) не более одного раза. Следовательно,
I(\xi ) \leq 0, \xi > 0, что равносильно (2.6). Из (2.6) в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см.,
например, [12], теорема 1.3.1) следует неравенство (2.4).
Лемма 2.1 доказана.
Для \lambda > 0 положим \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
Для p,\Delta > 0 и x \in Lp(Id) определим величину
\| x\| p,\Delta := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{ \| x\| Lp[a,b] : [a, b] \subset Id, 0 < b - a \leq \Delta \} . (2.7)
Лемма 2.2 (см. лемму 1 в [3]). Если функция x непрерывна на \bfR , а супремум в определе-
нии (2.7) реализуется на отрезке [a, b], то
| x(a)| = | x(b)| .
Лемма 2.3. Пусть p > 0, \varphi — S -функция с периодом 2\omega . Если d-периодическая функция
x \in S\varphi (\omega ) такова, что
\| x\| Lp(Id) = \| \varphi \| Lp(I2\omega ), (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
178 В. А. КОФАНОВ
и удовлетворяет условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(Id), (2.9)
а число \Delta выбрано так, что
\| x\| p,\Delta = 2
- 1
p \| x\| Lp(Id) , (2.10)
то
\omega \leq \Delta \leq d
2
. (2.11)
Доказательство. Заметим, что второе из неравенств (2.11) (\Delta \leq d/2) непосредственно
следует из условия (2.10) в силу определения (2.7) величины \| x\| p,\Delta .
Докажем первое из неравенств (2.11). Предположим противное, т. е. пусть \Delta < \omega . Через
[a, b] обозначим отрезок, на котором реализуется супремум величины \| x\| p,\Delta в определении
(2.7). Рассмотрим два случая: 1) x(t) \not = 0 для t \in [a, b]; 2) существует c \in [a, b] такое, что
x(c) = 0. В первом случае вследствие непрерывности функции x(t) найдутся такие \alpha и \beta , что
\alpha < a < b < \beta , причем x(t) \not = 0 на отрезке [\alpha , \beta ]. Тогда, принимая во внимание определение
(2.1) величины L(x)p и равенство (2.10), получаем
L(x)p \geq \| x\| Lp[\alpha ,\beta ] > \| x\| Lp[a,b] = \| x\| p,\Delta = 2
- 1
p \| x\| p,
что противоречит условию (2.9).
Рассмотрим теперь второй случай: существует c \in [a, b] такое, что x(c) = 0. Если c = a или
c = b, то по лемме 2.2 x(a) = x(b) = 0. Так как по предположению b - a < \omega , то существует
такой сдвиг функции \varphi (\cdot + \tau ), что [a, b] \subset [\alpha , \alpha + \omega ], где \alpha — некоторый нуль \varphi (\cdot + \tau ). А
поскольку \varphi является функцией сравнения для x, то
| x(t)| \leq \varphi (t+ \tau ), t \in [a, b] .
Отсюда в силу предположения b - a < \omega получаем
\| x\| p,\Delta = \| x\| Lp[a,b] \leq \| \varphi (\cdot + \tau )\| Lp[a,b] < L(\varphi (\cdot + \tau ))p = L(\varphi )p,
что противоречит условиям (2.8) и (2.10), из которых следует, что \| x\| p,\Delta = L(\varphi )p.
Пусть теперь в рассматриваемом случае c \in (a, b). Переходя, если нужно, к сдвигу функции
\varphi , можно считать, что \varphi (c) = 0. Через x1 обозначим сужение функции x на отрезок [a, c], а
через x2 — сужение x на отрезок [c, b]. Пусть далее \~x1(t) := x1(t - \omega ). Ясно, что
\| x\| pLp[a,b]
= \| x1\| pLp[a,c]
+ \| x2\| pLp[c,b]
и
\| x1\| pLp[a,c]
= \| \~x1\| pLp[a+\omega , c+\omega ].
Кроме того, поскольку \varphi является функцией сравнения для x и | x(a)| = | x(b)| по лемме 2.2,
то выполнены неравенства
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 179
| \~x1(t)| \leq | \varphi (t)| , t \in [a+ \omega , c+ \omega ],
и
| x2(t)| \leq | \varphi (t)| , t \in [c, b].
Из этих неравенств в силу предположения b < a+ \omega следует, что
\| x\| pp,\Delta = \| x\| pLp[a,b]
\leq \| \varphi \| pLp[c,b]
+ \| \varphi \| pLp[a+\omega , c+\omega ] < \| \varphi \| pLp[c, c+\omega ] = L(\varphi )pp.
Это противоречит равенству \| x\| p,\Delta = L(\varphi )p, вытекающему из условий (2.8) и (2.10). Тем
самым неравенство \Delta \geq \omega , а вместе с ним и лемма 2.3 доказаны.
Лемма 2.4. Пусть p > 0, \varphi — S -функция с периодом 2\omega . Если d-периодическая функция
x \in S\varphi (\omega ) такова, что
\| x\| Lp(Id) = \| \varphi \| Lp(I2\omega ), (2.12)
и удовлетворяет условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(Id), (2.13)
то
\xi \int
0
rp(x, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi , t)dt, \xi > 0. (2.14)
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in S\varphi (\omega ), удовлетворяющую условиям леммы
2.4. Выберем \Delta > 0, как в условии леммы 2.3, т. е. так, чтобы выполнялось равенство
\| x\| p,\Delta = 2
- 1
p \| x\| Lp(Id) . (2.15)
Тогда выполнены все условия леммы 2.3. В силу этой леммы
\omega \leq \Delta \leq d
2
. (2.16)
Отметим, что из (2.15) и (2.12) в силу равенства L(\varphi )p = 2 - 1/p\| \varphi \| Lp(I2\omega ) следует, что
\| x\| p,\Delta = L(\varphi )p . (2.17)
Пусть далее [a, b] — отрезок, на котором реализуется супремум величины \| x\| p,\Delta в определении
(2.7). Через x1 обозначим сужение функции x на [a, b], а через x2 — сужение функции x на
[b, a+d]. Положим a1 = a+d. Вследствие леммы 2.2 и d-периодичности функции x выполнены
равенства
| x1(a)| = | x1(b)| = | x2(b)| = | x2(a1)| . (2.18)
При этом из (2.15) и (2.12) вытекают равенства
\| x1\| Lp[a, b] = \| x2\| Lp[b, a1] = L(\varphi )p . (2.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
180 В. А. КОФАНОВ
Следовательно, в силу (2.16) и (2.7) выполнены неравенства
b - a \geq \omega , a1 - b \geq \omega . (2.20)
Положим \mu 1 = b - a, \mu 2 = a1 - b. Через r(xk, t), t \in [0, \mu k], обозначим убывающую переста-
новку функции | xk| и положим r(xk, t) = 0 для t > \mu k, k = 1, 2. Пусть далее \varphi — сужение
функции | \varphi | на [0, \omega ], а r(\varphi , t), t \in [0, \omega ], — убывающая перестановка функции \varphi . Также
положим r(\varphi , t) = 0 для t > \omega .
Чтобы доказать неравенство (2.14), сначала докажем неравенства
\xi \int
0
rp(xk, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi , t)dt, \xi > 0, k = 1, 2. (2.21)
Прежде всего покажем, что разности \Delta k(t) := r(xk, t) - r(\varphi , t) меняют знак на [0,\infty ) не более
одного раза (с минуса на плюс). Для этого заметим, во-первых, что
r(xk, 0) \leq r(\varphi , 0), k = 1, 2, (2.22)
вследствие неравенства
\| x\| \infty \leq \| \varphi \| \infty ,
которое выполняется, так как \varphi является функцией сравнения для x. Положим далее I1 := [a, b],
I2 := [b, a1], a1 = a+ d, и пусть
mk := \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ | xk(t)| , t \in Ik\} , Mk := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ | xk(t)| , t \in Ik\} .
Докажем, что если для произвольного yk \in (mk,Mk) точки \Theta k \in [0, \mu k] и \Theta \in [0, \omega ] выбраны
так, что
yk = r(xk,\Theta k) = r(\varphi ,\Theta ), (2.23)
то
| r\prime (xk,\Theta k)| \leq | r\prime (\varphi ,\Theta )| . (2.24)
Действительно, пусть точки
tki \in Ik, i = 1, ...,mk, k = 1, 2, zj \in [0, \omega ], j = 1, 2,
таковы, что
yk = | xk(tki )| = | \varphi (zj)| .
При этом из (2.18) следует оценка mk \geq 2. Тогда, поскольку \varphi является функцией сравнения
для x, выполнены неравенства
| x\prime k(tki )| \leq | \varphi \prime (zj)| , i = 1, ...,mk, j = 1, 2.
Поэтому по теореме о производной перестановки (см., например, [12]), предложение 1.3.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 181
| r\prime (xk,\Theta k)| =
\Biggl[
mk\sum
i=1
| x\prime k(tki )| - 1
\Biggr] - 1
\leq
\left[ 2\sum
j=1
| \varphi \prime (zj)| - 1
\right] - 1
= | r\prime (\varphi ,\Theta )| .
Тем самым импликация (2.23) \Rightarrow (2.24) доказана. Из этой импликации и неравенств (2.22) и
(2.20) следует, что разности \Delta k(t) := r(xk, t) - r(\varphi , t) меняют знак на [0,\infty ) не более одного
раза (с минуса на плюс). То же самое выполняется и для разностей
\Delta k,p(t) := rp(xk, t) - rp(\varphi , t).
Завершая доказательство неравенств (2.21), положим fk(\xi ) =
\int \xi
0 \Delta k,p(t)dt, k = 1, 2. Посколь-
ку перестановка сохраняет Lp-норму, из (2.19) следует, что fk(0) = fk(\mu k) = 0, причем
производная f \prime
k(t) = \Delta k,p(t) меняет знак на [0,\infty ) не более одного раза (с минуса на плюс).
Следовательно, fk(\xi ) \leq 0, \xi > 0, что равносильно (2.21).
Докажем, наконец, неравенство (2.14). Для этого воспользуемся известным неравенством\int
B
| x(u)| pdu \leq
t\int
0
rp(x, u)du, (2.25)
где B — произвольное измеримое по Лебегу подмножество Id, \mu B \leq t, и тем фактом, что для
любого t \in (0, d) существует такое измеримое множество B = Bt \subset Id, \mu Bt = t, что в (2.25)
выполнено равенство (см., например, [12], предложение 1.3.1). Положим B1
t = Bt
\bigcap
[a, b] и
B2
t = Bt
\bigcap
[b, a1], и пусть t1 := \mu B1
t , t2 := \mu B2
t . Тогда t = t1+ t2 и, применяя (2.25), получаем
t\int
0
rp(x, u)du =
\int
Bt
| x(u)| pdu =
\int
B1
t
| x1(u)| pdu+
\int
B2
t
| x2(u)| pdu \leq
\leq
t1\int
0
rp(x1, u)du+
t2\int
0
rp(x2, u)du. (2.26)
Через \varphi \pm обозначим сужение положительной (отрицательной) части \varphi на [0, 2\omega ]. Очевидно,
что
r(\varphi \pm , t) = r(\varphi , t), t \geq 0. (2.27)
Поэтому, оценивая два последних интеграла в (2.26) с помощью (2.21) и учитывая (2.27), имеем
t\int
0
rp(x, u)du \leq
t1\int
0
rp(\varphi +, u)du+
t2\int
0
rp(\varphi - , u)du,
где t1 + t2 = t. Отсюда следует неравенство (2.14) в силу неравенства [12] (предложение 1.3.6)
t1\int
0
rp(\varphi +, u)du+
t2\int
0
rp(\varphi - , u)du \leq
t\int
0
rp(\varphi , u)du.
Лемма 2.4 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
182 В. А. КОФАНОВ
3. Основная теорема.
Теорема 3.1. Пусть p > 0, \varphi — S -функция с периодом 2\omega , \beta \in [0, 2\omega ). Если d-периодическая
функция x \in S\varphi (\omega ) такова, что
\| x\| Lp(Id) = \| \varphi \| Lp(I2\omega ), (3.1)
и удовлетворяет условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(Id), (3.2)
то для любого q \geq p и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset Id, \mu B \leq \beta ,
имеет место неравенство
\| x\| Lq(Id) \leq \| \varphi \| Lq(I2\omega )
\| x\| Lp(Id\setminus B)
\| \varphi \| Lp(I2\omega \setminus B1)
, (3.3)
где
B1 :=
\biggl[
- \omega - \beta /2
2
,
- \omega + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\omega - \beta /2
2
,
\omega + \beta /2
2
\biggr]
.
Неравенство (3.3) является точным и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi (t) и
множества B = B1.
Доказательство. Зафиксируем функцию x \in S\varphi (\omega ), удовлетворяющую условиям теоре-
мы 3.1. Тогда для нее выполнены и условия леммы 2.4. По этой лемме имеет место неравенство
\xi \int
0
rp(x, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi , t)dt, \xi > 0. (3.4)
Отсюда в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см., например, [12], теорема 1.3.1) следует,
что
\| x\| Lq(Id) \leq \| \varphi \| Lq(I2\omega ), q \geq p . (3.5)
Зафиксируем далее произвольное измеримое по Лебегу множество B \subset Id, \mu B \leq \beta .
Учитывая, что перестановка сохраняет Lp-норму, и применяя неравенство (2.25), получаем
\| x\| pLp(Id\setminus B) =
d\int
0
| x(t)| pdt -
\int
B
| x(t)| pdt \geq
d\int
0
rp(x, t)dt -
\beta \int
0
rp(x, t)dt.
Отсюда в силу (3.1) и (3.4) имеем
\| x\| pLp(Id\setminus B) \geq
2\omega \int
0
rp(\varphi , t)dt -
\beta \int
0
rp(\varphi , t)dt =
2\omega \int
\beta
rp(\varphi , t)dt =
\int
I2\omega \setminus B1
| \varphi (t)| pdt.
Таким образом,
\| x\| Lp(Id\setminus B) \geq \| \varphi \| Lp(I2\omega \setminus B1).
Из последнего неравенства в силу (3.5) следует утверждение теоремы 3.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 183
4. Неравенство разных метрик типа Ремеза для функций \bfitx \in \bfitL \bfitr
\infty (\bfitI 2\bfitpi ). Напомним,
что \varphi \lambda ,r(t) := \lambda - r\varphi r(\lambda t).
Теорема 4.1. Пусть r \in \bfN , p > 0, \beta \in [0, 2\pi ), а функция x \in Lr
\infty (I2\pi ) удовлетворяет
условию
L(x)p \leq 2
- 1
p \| x\| Lp(I2\pi ). (4.1)
Если число \lambda выбрано так, что
\| x\| Lp(I2\pi ) = \| \varphi \lambda ,r\| Lp(I2\pi /\lambda )\| x
(r)\| \infty , (4.2)
то для любого q \geq p и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda ,
имеет место неравенство
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\Biggl\{
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
\Biggr\} \alpha
\| x(r)\| 1 - \alpha
\infty , (4.3)
где
B1 :=
\biggl[
- \pi - \beta /2
2
,
- \pi + \beta /2
2
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi - \beta /2
2
,
\pi + \beta /2
2
\biggr]
, \alpha =
r + 1/q
r + 1/p
.
Неравенство (4.3) является точным и обращается в равенство для функции x(t) = \varphi r(t)
и множества B = B1.
Доказательство. Вследствие однородности неравенства (4.3) можно считать, что
\| x(r)\| \infty = 1. (4.4)
Для функций x \in Lr
\infty (I2\pi ), удовлетворяющих условию (4.1), имеет место неравенство [3]
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\Biggl(
\| x\| Lp(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi )
\Biggr) r+1/q
r+1/p
\| x(r)\|
1/p - 1/q
r+1/p
\infty , q \geq p.
Из этого неравенства, условия (4.4) и очевидного равенства
\| \varphi \lambda ,r\| Lq(I2\pi /\lambda ) = \lambda - (r+1/q)\| \varphi r\| Lq(I2\pi ), q > 0, (4.5)
следует, что если число \lambda удовлетворяет условию (4.2), то
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi \lambda ,r\| Lq(I2\pi /\lambda ). (4.6)
В частности, в силу (4.4) и (4.6) (при q = \infty ) для функции x выполнены условия теоремы срав-
нения Колмогорова [13]. По этой теореме сплайн \varphi (t) = \varphi \lambda ,r(t) является функцией сравнения
для функции x, т. е. x \in S\varphi
\Bigl( \pi
\lambda
\Bigr)
. Таким образом, для функции x выполнены все условия тео-
ремы 3.1. По этой теореме для любого q \geq p и произвольного измеримого по Лебегу множества
B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta /\lambda , выполняется неравенство
\| x\| Lq(I2\pi ) \leq \| \varphi \lambda ,r\| Lq(I2\pi /\lambda )
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B)
\| \varphi \lambda ,r\| Lp
\Bigl(
I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
\Bigr) .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
184 В. А. КОФАНОВ
Из последнего неравенства (при q = p) и условий (4.2), (4.4) следует, что
\| x\| Lp(I2\pi \setminus B) \geq \| \varphi \lambda ,r\| Lp
\Bigl(
I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
\Bigr) . (4.7)
Из (4.6) и (4.7) в силу (4.5) и аналогичного соотношения
\| \varphi \lambda ,r\| Lp
\Bigl(
I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
\Bigr) = \lambda - (r+1/p)\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B1)
следует оценка
\| x\| Lq(I2\pi )
\| x\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B)
\leq
\| \varphi \lambda ,r\| Lq(I2\pi /\lambda )
\| \varphi \lambda ,r\| \alpha
Lp
\Bigl(
I2\pi /\lambda \setminus
B1
\lambda
\Bigr) =
\| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\| \varphi r\| \alpha Lp(I2\pi \setminus B1)
.
Из этой оценки в силу (4.4) следует (4.3).
Теорема 4.1 доказана.
Замечание. Для \beta = 0 теорема 4.1 доказана в [3].
5. Неравенство разных метрик типа Ремеза для тригонометрических полиномов. На-
помним, что Tn — пространство тригонометрических полиномов порядка \leq n.
Теорема 5.1. Пусть n,m \in \bfN , p > 0. Если тригонометрический полином T \in Tn имеет
минимальный период 2\pi /m, m \leq n, и удовлетворяет условию
L(T )p \leq 2
- 1
p \| T\| Lp(I2\pi /m), (5.1)
то для любого q \geq p и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta ,
\beta \in [0, 2\pi m/n), имеет место неравенство
\| T\| Lq(I2\pi ) \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p -
1
q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lq(I2\pi )
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lp(I2\pi \setminus B(m,n))
\| T\| Lp(I2\pi \setminus B), (5.2)
где
B(m,n) :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4m
, - \pi
2
+
\beta n
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4m
,
\pi
2
+
\beta n
4m
\biggr]
.
Неравенство (5.2) точное и обращается в равенство для любого полинома T (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}mt,
m \leq n, и множества
B = Bm :=
m - 1\bigcup
k=0
\biggl\{ \biggl( \biggl[
- \pi
2m
- \beta
4m
, - \pi
2m
+
\beta
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2m
- \beta
4m
,
\pi
2m
+
\beta
4m
\biggr] \biggr)
+
2k\pi
m
\biggr\}
.
Доказательство. Зафиксируем полином T \in Tn, удовлетворяющий условиям теоремы
5.1. Вследствие однородности неравенства (5.2) можно считать, что
\| T\| Lp(I2\pi /m) = \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| Lp(I2\pi /n). (5.3)
Покажем, что в этом случае
\| T\| \infty \leq 1. (5.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 185
Действительно, предположим противное. Тогда существует такое \gamma \in (0, 1), что \| \gamma T\| \infty = 1,
и, следовательно, полином \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома \gamma T (см. доказа-
тельство теоремы 8.1.1 в [14]). Переходя, если нужно, к сдвигу полинома \gamma T и меняя его знак,
можно считать, что
\| \gamma T\| \infty = \gamma T (\pi /2n) = 1.
А поскольку \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома \gamma T, то
\gamma T (t) \geq \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
2n
.
Следовательно, в силу (5.1) имеем
\| \gamma T\| pLp(2\pi /m) \geq 2L(\gamma T )pp \geq 2
\pi
n\int
0
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt| pdt = \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| pLp(I2\pi /n)
,
что противоречит (5.3). Тем самым неравенство (5.4) доказано.
Поскольку неравенство (5.4) выполнено, то из доказательства теоремы 8.1.1 из [14] следует,
что \varphi (t) = \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}nt является функцией сравнения для полинома T (t), т. е. T \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Таким
образом, полином T удовлетворяет всем условиям леммы 2.4 с d = \pi /m и \omega = \pi /n. По этой
лемме имеет место неравенство
\xi \int
0
rp(tm, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), t)dt, \xi > 0, (5.5)
где tm — сужение полинома T на I2\pi /m. Отсюда, в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа
(см., например, [12], теорема 1.3.1) и 2\pi /m-периодичности полинома T, следует, что
m
- 1
q \| T\| Lq(I2\pi ) = \| T\| Lq(I2\pi /m) \leq \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| Lq(I2\pi /n) = n
- 1
q \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot )\| Lq(I2\pi ). (5.6)
С другой стороны, поскольку перестановка сохраняет Lp-норму, а полином T имеет период
2\pi /m, то, применяя (2.25), для произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi ,
\mu B \leq \beta , получаем
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) =
2\pi \int
0
| T (t)| pdt -
\int
B
| T (t)| pdt \geq
2\pi \int
0
rp(T, t)dt -
\beta \int
0
rp(T, t)dt =
= m
\left[ 2\pi /m\int
0
rp(tm, t)dt -
\beta /m\int
0
rp(tm, t)dt
\right] .
Отсюда, применяя (5.3) и (5.5), выводим оценку снизу
\| T\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\left[ 2\pi /n\int
0
rp(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), t)dt -
\beta /m\int
0
rp(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), t)dt
\right] = m
2\pi /n\int
\beta /m
rp(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n(\cdot ), t)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
186 В. А. КОФАНОВ
=
m
n
2\pi \int
\beta n/m
rp(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot ), t)dt = m
n
\int
I2\pi \setminus B(m,n)
| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} t| pdt = m
n
\| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| pLp(I2\pi \setminus B(m,n)) .
Из этой оценки и оценки (5.6) следует неравенство (5.2). Точность неравенства (5.2) легко
проверяется с помощью равенства \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}m(\cdot )\| Lp(I2\pi \setminus Bm) = \| \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\cdot )\| Lp(I2\pi \setminus B(m,m)).
Теорема 5.1 доказана.
Замечания. 4.1. Неравенства вида (5.2) (при q = \infty ) были получены в работе [8] для
произвольных тригонометрических полиномов порядка не выше n.
4.2. Для \beta = 0 и m = 1 теорема 5.1 доказана в [3].
6. Неравенство разных метрик типа Ремеза для сплайнов. Напомним, что Sn,r —
пространство 2\pi -периодических сплайнов порядка r дефекта 1 с узлами в точках k\pi /n, k \in \bfZ .
Теорема 6.1. Пусть r, n,m \in \bfN , p > 0. Если сплайн s \in Sn,r имеет минимальный период
2\pi /m, m \leq n, и удовлетворяет условию
L(s)p \leq 2
- 1
p \| s\| Lp(I2\pi /m), (6.1)
то для любого q \geq p и произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi , \mu B \leq \beta ,
\beta \in [0, 2\pi m/n), имеет место неравенство
\| s\| Lq(I2\pi ) \leq
\Bigl( n
m
\Bigr) 1
p -
1
q \| \varphi r\| Lq(I2\pi )
\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B(m,n))
\| s\| Lp(I2\pi \setminus B), (6.2)
где
B(m,n) :=
\biggl[
- \pi
2
- \beta n
4m
, - \pi
2
+
\beta n
4m
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2
- \beta n
4m
,
\pi
2
+
\beta n
4m
\biggr]
.
Неравенство (6.2) точное и обращается в равенство для сплайна s(t) = \varphi n,r(t) и множест-
ва
B = Bn :=
n - 1\bigcup
k=0
\biggl\{ \biggl( \biggl[
- \pi
2n
- \beta
4n
, - \pi
2n
+
\beta
4n
\biggr] \bigcup \biggl[
\pi
2n
- \beta
4n
,
\pi
2n
+
\beta
4n
\biggr] \biggr)
+
2k\pi
n
\biggr\}
.
Доказательство. Зафиксируем сплайн s \in Sn,r, удовлетворяющий условиям теоремы 6.1.
Вследствие однородности неравенства (6.2) можно считать, что
\| s\| Lp(I2\pi /m) = \| \varphi n,r\| Lp(I2\pi /n). (6.3)
Покажем, что в этом случае
\| s\| \infty \leq \| \varphi n,r\| \infty . (6.4)
Действительно, предположив противное, найдем такое \gamma \in (0, 1), что \| \gamma s\| \infty = \| \varphi n,r\| \infty . Тогда
в силу неравенства Тихомирова [15]\bigm\| \bigm\| \bigm\| \gamma s(r)\bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty
\leq \| \gamma s\| \infty
\| \varphi n,r\| \infty
= 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА РАЗНЫХ МЕТРИК ТИПА РЕМЕЗА . . . 187
Таким образом, для сплайна \gamma s \in Lr
\infty (\bfR ) выполнены условия теоремы сравнения Колмогорова
[13]. В силу этой теоремы \varphi n,r является функцией сравнения для сплайна \gamma s . Переходя, если
нужно, к сдвигу сплайна \gamma s и меняя его знак, можно считать, что
\| \gamma s\| \infty = \gamma s(\pi /2n) = | \varphi n,r(\pi /2n)| = \| \varphi n,r\| \infty .
А поскольку \varphi n,r(t) является функцией сравнения для сплайна \gamma s, то
\gamma s(t) \geq | \varphi n,r(t)| ,
\bigm| \bigm| \bigm| t - \pi
2n
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi
2n
.
Следовательно, в силу (6.1) имеем
\| \gamma s\| pLp(2\pi /m) \geq 2L(\gamma s)pp \geq 2
\pi
n\int
0
| \varphi n,r(t)| pdt = \| \varphi n,r\| pLp(I2\pi /n)
,
что противоречит (6.3). Тем самым неравенство (6.4) доказано.
Поскольку (6.4) выполнено, то, применяя приведенные выше рассуждения к сплайну s
вместо сплайна \gamma s, заключаем, что \varphi = \varphi n,r является функцией сравнения для сплайна s, т. е.
s \in S\varphi
\Bigl( \pi
n
\Bigr)
. Таким образом, сплайн удовлетворяет всем условиям леммы 2.4 с d = \pi /m и
\omega = \pi /n. По лемме 2.4 имеет место неравенство
\xi \int
0
rp(sm, t)dt \leq
\xi \int
0
rp(\varphi n,r, t)dt, \xi > 0, (6.5)
где sm — сужение сплайна s на I2\pi /m. Отсюда, в силу теоремы Харди – Литлвуда – Полиа (см.,
например, [12], теорема 1.3.1) и 2\pi /m-периодичности сплайна s, следует, что
m
- 1
q \| s\| Lq(I2\pi ) = \| s\| Lq(I2\pi /m) \leq \| \varphi n,r\| Lq(I2\pi /n) = n
-
\Bigl(
r+
1
q
\Bigr)
\| \varphi r\| Lq(I2\pi ). (6.6)
С другой стороны, поскольку перестановка сохраняет Lp-норму, а сплайн s имеет период
2\pi /m, то, применяя (2.25), для произвольного измеримого по Лебегу множества B \subset I2\pi ,
\mu B \leq \beta , получаем
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) =
2\pi \int
0
| s(t)| pdt -
\int
B
| s(t)| pdt \geq
2\pi \int
0
rp(s, t)dt -
\beta \int
0
rp(s, t)dt =
= m
\left[ 2\pi /m\int
0
rp(sm, t)dt -
\beta /m\int
0
rp(sm, t)dt
\right] .
Отсюда, применяя (6.3), (6.5) и определение \varphi n,r(t) := n - r\varphi r(nt), выводим оценку
\| s\| pLp(I2\pi \setminus B) \geq m
\left[ 2\pi /n\int
0
rp(\varphi n,r, t)dt -
\beta /m\int
0
rp(\varphi n,r, t)dt
\right] = m
2\pi /n\int
\beta /m
rp(n - r\varphi r(n(\cdot )), t)dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
188 В. А. КОФАНОВ
=
m
n
n - rp
2\pi \int
\beta n/m
rp(\varphi r(\cdot ), t)dt =
m
n
n - rp
\int
I2\pi \setminus B(m,n)
| \varphi r(t)| pdt =
m
n
n - rp \| \varphi r\| pLp(I2\pi \setminus B(m,n)) .
Из этой оценки и оценки (6.6) следует неравенство (6.2). Точность (6.2) легко проверяется с
помощью равенства \| \varphi n,r\| Lp(I2\pi \setminus Bn) = n - r\| \varphi r\| Lp(I2\pi \setminus B(n,n)).
Теорема 6.1 доказана.
Замечание. Для \beta = 0 и m = 1 теорема 6.1 доказанa в [3].
Литература
1. Babenko V. F., Kofanov V. A., Pichugov S. A. Comparison of rearrangements and Kolmogorov – Nagy type inequalities
for periodic functions // Approxim. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov / Ed. B. Bojanov. – Sofia: Darba,
2002. – P. 24 – 53.
2. Pinkus A., Shisha O. Variations on the Chebyshev and Lq theories of best approximation // J. Approxim. Theory. –
1982. – 35, № 2. – P. 148 – 168.
3. Кофанов В. А. Неравенства разных метрик для дифференцируемых периодических функций // Укр. мат. журн. –
2015. – 67, № 2. – С. 202 – 212.
4. Bojanov B., Naidenov N. An extension of the Landau – Kolmogorov inequality. Solution of a problem of Erdos // J.
d’Anal. Math. – 1999. – 78. – P. 263 – 280.
5. Кофанов В. А. Точные верхние грани норм функций и их производных на классах функций с заданной
функцией сравнения // Укр. мат. журн. – 2011. – 63, № 7. – С. 969 – 984.
6. Remes E. Sur une propriete еxtremale des polynomes de Tchebychef // Зап. Наук.-дослiд. iн-ту математики й
механiки та Харкiв. мат. тов-ва. Сер. 4. – 1936. – 13, вип. 1. – С. 93 – 95.
7. Ganzburg M. I. On a Remez-type inequality for trigonometric polynomials // J. Approxim. Theory. – 2012. – 164. –
P. 1233 – 1237.
8. Nursultanov E., Tikhonov S. A sharp Remez inequality for trigonometric polynomials // Constr. Approxim. – 2013. –
38. – P. 101 – 132.
9. Borwein P., Erdelyi T. Polynomials and polynomial inequalities. – New York: Springer, 1995.
10. Ganzburg M. I. Polynomial inequalities on measurable sets and their applications // Constr. Approxim. – 2001. –
17. – P. 275 – 306.
11. Кофанов В. А. Точные неравенства типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов
и сплайнов // Укр. мат. журн. – 2016. – 68, № 2. – С. 227 – 240.
12. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Лигун А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 304 с.
13. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на
бесконечном интервале // Избр. труды. Математика, механика.– М.: Наука, 1985. – С. 252 – 263.
14. Корнейчук Н. П., Бабенко В. Ф., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. –
Киев: Наук. думка, 2003. – 590 с.
15. Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближе-
ний // Успехи мат. наук. – 1960. – 15, № 3. – С. 81 – 120.
Получено 06.04.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1685 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/33/1fba177a94438add34abe44f0288ee33.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16852019-12-05T09:23:56Z Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic functions, polynomials, and splines Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. We prove a sharp Remez-type inequality of various metrics $$\| x\| q \leq \| \varphi_r\| q \biggl\{\frac{\| x\|_{L_p([0,2\pi ]\setminus B)}}{\|\varphi r\|_{ L_p([0,2\pi ]\setminus B_1)}}\biggr\}^{\alpha } \| x(r)\|^{1 - \alpha}_{ \infty} ,\; q > p > 0, \;\alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),$$ for $2\pi$ -periodic functions $x \in L^r_{\infty}$ satisfying the condition $$L(x)p \leq 2^{-\frac 1p}\| x\|_p,\quad (\ast )$$ where $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_p[a,b] : [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda$ ($\lambda$ is chosen so that $\| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| L_p[0,2\pi /\lambda ] ), \varphi_r$ is the ideal Euler’s spline of order r, and $$B_1 := \biggl[\frac{-\pi - \beta /2}{2} , \frac{-\pi + \beta /2}{2} \biggr] \bigcup \biggl[ \frac{\pi - \beta /2}{2}, \frac{\pi + \beta /2}{2} \biggr].$$ As a special case, we establish sharp Remez-type inequalities of various metrics for trigonometric polynomials and polynomial splines satisfying the condition $(\ast )$. Доведено непокращувану нерiвнiсть рiзних метрик типу Ремеза $$\| x\| q \leq \| \varphi_r\| q \biggl\{\frac{\| x\|_{L_p([0,2\pi ]\setminus B)}}{\|\varphi r\|_{ L_p([0,2\pi ]\setminus B_1)}}\biggr\}^{\alpha } \| x(r)\|^{1 - \alpha}_{ \infty} ,\; q > p > 0, \;\alpha = (r + 1/q)/(r + 1/p),$$ для перioдичних функцiй $x \in L^r_{\infty}$, що задовольняють умову $$L(x)p \leq 2^{-\frac 1p}\| x\|_p,\quad (\ast )$$ де $$L(x)p := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \Bigl\{ \| x\| L_p[a,b] : [a, b] \subset [0, 2\pi ], | x(t)| > 0, t \in (a, b)\Bigr\},$$ $B \subset [0, 2\pi ], \mu B \leq \beta /\lambda$ ($\lambda$ вибрано так, що $\| x\| p = \| \varphi \lambda ,r\| Lp[0,2\pi /\lambda ]), \varphi_r$ — iдеальний сплайн Ейлера порядку $r$, а $$B_1 := \biggl[\frac{-\pi - \beta /2}{2} , \frac{-\pi + \beta /2}{2} \biggr] \bigcup \biggl[ \frac{\pi - \beta /2}{2}, \frac{\pi + \beta /2}{2} \biggr].$$ Як наслiдок отримано точнi нерiвностi рiзних метрик типу Ремеза для тригонометричних полiномiв i полiномiальних сплайнiв, що задовольняють умову $(\ast )$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 173-188 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 173-188 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685/667 Copyright (c) 2017 Kofanov V. A. |
| spellingShingle | Kofanov, V. A. Кофанов, В. А. Кофанов, В. А. Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic functions, polynomials, and splines |
| title | Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| title_alt | Точные неравенства разных метрик типа Ремеза для дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов |
| title_full | Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| title_fullStr | Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| title_full_unstemmed | Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| title_short | Sharp Remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| title_sort | sharp remez-type inequalities of various metrics for differentiable periodic
functions, polynomials, and splines |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1685 |
| work_keys_str_mv | AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva sharpremeztypeinequalitiesofvariousmetricsfordifferentiableperiodicfunctionspolynomialsandsplines AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov AT kofanovva točnyeneravenstvaraznyhmetriktiparemezadlâdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijpolinomovisplajnov |