Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$
We obtain estimates for the areas of the solutions of differential equations with Hukuhara derivative of a special form in the space $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (R^2)$. The main methods used for the investigation are the method of comparison, the methods of the Minkowski – Aleksandrov...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1686 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507518986354688 |
|---|---|
| author | Ocheretnyuk, E. V. Slyn'ko, V. I. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. |
| author_facet | Ocheretnyuk, E. V. Slyn'ko, V. I. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. |
| author_sort | Ocheretnyuk, E. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We obtain estimates for the areas of the solutions of differential equations with Hukuhara derivative of a special form in the space $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (R^2)$. The main methods used for the investigation are the method of comparison, the methods of the Minkowski – Aleksandrov geometry of convex bodies, and the Chaplygin –Wa˙zewski method of approximate integration of differential equations. The obtained results enable us to reduce the estimates of the area of solutions to the investigation
of differential equations of the first order. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 531.36
Е. В. Очеретнюк (Черкас. гос. технол. ун-т),
В. И. Слынько (Ин-т механики НАН Украины, Киев)
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ \bfc \bfo \bfn \bfv (\BbbR \bftwo ) *
We obtain estimates for the areas of the solutions of differential equations with Hukuhara derivative of a special form
in the space \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2). The main methods used for the investigation are the method of comparison, the methods of the
Minkowski – Aleksandrov geometry of convex bodies, and the Chaplygin – Ważewski method of approximate integration
of differential equations. The obtained results enable us to reduce the estimates of the area of solutions to the investigation
of differential equations of the first order.
Отримано оцiнки для площi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз похiдною Хукухари спецiального вигляду у
просторi \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2). Основними методами дослiдження є метод порiвняння, методи геометрiї опуклих тiл Г. Мiнков-
ського i О. Д. Александрова, а також метод наближеного iнтегрування диференцiальних рiвнянь Чаплигiна – Важев-
ського. Одержанi результати дозволяють звести оцiнки площi розв’язкiв до дослiдження диференцiальних рiвнянь
першого порядку.
1. Введение. Дифференциальные уравнения с производной Хукухары используются для иссле-
дования динамики систем в условиях неопределенности, неоднозначности и неполноты инфор-
мации. Роль этого класса дифференциальных уравнений при исследовании дифференциальных
включений указана в монографии А. А. Толстоногова [1], а также в работе [2]. Метод сравнения
и прямой метод Ляпунова развиты в монографии [3]. Анализ этой монографии и значительно-
го числа работ, посвященных методу сравнения и прямому методу Ляпунова для этого клас-
са уравнений, показывает отсутствие конструктивных способов построения вспомогательных
функций Ляпунова. В настоящей работе предлагается для одного класса нелинейных диффе-
ренциальных уравнений с производной Хукухары использовать в качестве некоторого аналога
функции Ляпунова площадь решения уравнения, как элемента пространства. Хотя площадь не
имеет свойств, характерных для классической функции Ляпунова, она является естественной
мерой, присущей решениям этого класса уравнений. Мощный геометрический аппарат, создан-
ный в работах Г. Минковского и А. Д. Александрова, позволяет установить нижние оценки для
площади решений некоторых дифференциальных уравнений с производной Хукухары.
2. Постановка задачи. Пусть \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) — метрическое пространство выпуклых компак-
тов из \BbbR 2 с метрикой Хаусдорфа. В пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) определены операции сложения
(Минковского) и умножения на неотрицательный скаляр. Если A \in \frakL (\BbbR 2), \frakL (\BbbR 2) — простран-
ство линейных операторов в пространстве \BbbR 2, то действие оператора A естественным образом
распространяется на пространство \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2):
Au = \{ Ax : x \in u\} \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), u \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2).
Пусть u \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), v \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), тогда если существует элемент w \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) такой,
что u = w + v, то элемент w называется разностью Хукухары элементов u и v. При этом
* Выполнена при поддержке Министерства образования и науки Украины (проект № 0116U004691).
c\bigcirc Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 189
190 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
обозначается w = u - v. Разность двух элементов пространства \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) существует не
всегда.
Понятие разности Хукухары позволяет определить понятие производной Хукухары для
отображения F : (\alpha , \beta ) \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), (\alpha , \beta ) \subset \BbbR .
Определение 2.1 [3]. Отображение F : (\alpha , \beta ) \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) называется дифференцируе-
мым в точке t0 \in (\alpha , \beta ), если существует элемент DHF (t0) \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR n) такой, что пределы
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0+
\varrho - 1(F (t0 + \varrho ) - F (t0)), \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0 -
( - \varrho - 1)(F (t0) - F (t0 + \varrho ))
существуют и равны DHF (t0).
В этом случае DHF (t0) называется производной Хукухары в точке t0. Стандартно опреде-
ляется дифференцируемость на открытых, полуоткрытых и замкнутых интервалах.
Отображение F (t), дифференцируемое на [a, b] \subset \BbbR , восстанавливается по своей произ-
водной с помощью интеграла Ауманна [3]
F (t) = F (a) +
t\int
a
DHF (s) ds, t \in [a, b].
Отметим, что необходимым условием дифференцируемости отображения является неубывание
функции \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m} F (t).
Приведем необходимые для дальнейшего изложения результаты геометрии выпуклых тел,
следуя работам А. Д. Александрова [4 – 7] и монографии [8].
Пусть ui \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), i = 1, 2. Обозначим через S[u1, u2] смешанную площадь выпуклых
компактов ui, S[u] = S[u, u] — площадь фигуры u.
Функционал S[u1, u2] является аддитивным и позитивно однородным по каждому аргу-
менту, инвариантным относительно перестановки аргументов, а также непрерывным по сово-
купности своих аргументов относительно метрики Хаусдорфа. Поэтому справедлива формула
Штейнера
S[u1 + \varrho u2] = S[u1] + 2\varrho S[u1, u2] + \varrho 2S[u2], \varrho \in \BbbR +. (2.1)
Из этой формулы следует, что
2S[u1, u2] = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0+
S[u1 + \varrho u2] - S[u1]
\varrho
.
Неравенство Брунна – Минковского состоит в том, что
S[u1, u2] \geq
\sqrt{}
S[u1]S[u2].
В настоящей работе будут получены оценки площади решений дифференциального урав-
нения в пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2)
DHu(t) = \psi (t, S[u(t)])Au(t), (2.2)
где DH — производная Хукухары, u \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2), \psi \in C([a,+\infty ) \times [b,+\infty );\BbbR +), b > 0,
A \in \frakL (\BbbR 2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 191
Рассмотрим функцию s0(t) = S[u(t)], где u : [t0,\Omega +(t0, u0)) \rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) — решение задачи
Коши дифференциального уравнения (2.2) с начальным условием u(t0) = u0, u0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2),
t0 > a, S[u0] \geq b. Рассмотрим вопрос об изменении функции s0(t) вдоль решения u(t). Из
уравнения (2.2) следует, что
u(t+ \varrho ) = u(t) +
t+\varrho \int
t
\psi (s, S[u(s)])Au(s) ds, \varrho > 0.
Применяя формулу (2.1), получаем
s0(t+ \varrho ) - s0(t)
\varrho
= 2S
\left[ u(t), 1
\varrho
t+\varrho \int
t
\psi (s, S[u(s)])Au(s) ds
\right] +
+S
\left[ t+\varrho \int
t
\psi (s, S[u(s)])Au(s) ds,
1
\varrho
t+\varrho \int
t
\psi (s, S[u(s)])Au(s) ds
\right] .
По теореме о среднем для интеграла Ауманна
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0+
1
\varrho
t+\varrho \int
t
\psi (s, S[u(s)])Au(s) ds = \psi (t, S[u(t)])Au(t)
в метрике Хаусдорфа [3], поэтому вследствие непрерывности функционала S[u, v] получим
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0+
s0(t+ \varrho ) - s0(t)
\varrho
= 2\psi (t, s0(t))S[u(t), Au(t)].
Аналогично доказывается, что
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\varrho \rightarrow 0 -
s0(t+ \varrho ) - s0(t)
\varrho
= 2\psi (t, s0(t))S[u(t), Au(t)].
Поэтому
ds0(t)
dt
= 2\psi (t, s0(t))S[u(t), Au(t)]. (2.3)
Рассмотрим функцию s1(t) = S[u(t), Au(t)]. Аналогично предыдущему можно показать, что
ds1(t)
dt
= \psi (t, s0(t))(S[Au(t), Au(t)] + S[u(t), A2u(t)]) =
= \psi (t, s0(t))(| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u(t)] + S[u(t), A2u(t)]). (2.4)
Соотношения (2.3) и (2.4) позволяют установить верхние и нижние оценки для площади S[u(t)]
решения дифференциального уравнения с производной Хукухары (2.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
192 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
3. Нижние оценки. Соотношение (2.3) можно записать в виде
ds0(t)
dt
= 2\psi (t, s0(t))s1(t). (3.1)
Установим дифференциальное неравенство для функции s0(t) для оценки площади S[u(t)]
снизу. Применяя для соотношения (2.4) неравенство Брунна – Минковского, получаем
ds1(t)
dt
\geq 2\psi (t, s0(t))| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s0(t). (3.2)
Из соотношений (3.1) и (3.2) следует неравенство
d
dt
(s21(t) - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s20(t)) \geq 0,
поэтому
s1(t) \geq
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s20(t) + s21(t0) - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s20(t0).
Из равенства (3.1) и последнего неравенства следует дифференциальное неравенство для функ-
ции s0(t):
ds0(t)
dt
\geq 2\psi (t, s0(t))
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s20(t) + S2[u0, Au0] - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S2[u0].
Наряду с этим неравенством рассмотрим дифференциальное уравнение
d\zeta (t)
dt
= 2\psi (t, \zeta (t))
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \zeta 2(t) + S2[u0, Au0] - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S2[u0]. (3.3)
Из теоремы о дифференциальном неравенстве [9] следует такая теорема.
Теорема 3.1. Пусть \zeta - : [t0, \omega +(t0, \zeta 0)) \rightarrow \BbbR + — минимальное решение задачи Коши для
уравнения (3.3) с начальным условием \zeta 0 = S[u0].
Тогда при всех t \in [t0,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[\Omega +(t0, u0), \omega
+(t0, \zeta 0)]) справедлива оценка
S[u(t)] \geq \zeta - (t).
4. Верхние оценки площади. Сформулируем основные результаты этой работы, касаю-
щиеся верхних оценок площади решений дифференциального уравнения с производной Хуку-
хары (2.2). При этом дополнительно предположим, что функция \psi (t, s) не убывает по пере-
менной s. Рассмотрим квадратное уравнение
2\mu 2 - | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \mu - 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| = 0.
Обозначим через \mu i, i = 1, 2, корни этого квадратного уравнения, \mu 1 \geq 0. Для любого u0 \in
\in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) определим величину асимметрии множества u0 \in \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) следующим образом:
\sigma [u0] =
1
S[u0]
\sqrt{}
(S[u0, - u0] - S[u0])2 + (S[u0, Au0] - S[u0, - Au0])2.
Можно показать, что \sigma [u0] = 0 тогда и только тогда, когда множество u0 является центрально-
симметричным.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 193
Определим функцию G(\varrho ) следующим образом:
1) если \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} A = 0, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, то положим
G(\varrho ) =
\biggl(
S2[u0, Au0]
\varrho 2
+
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A
4
\biggl(
1 - S2[u0]
\varrho 2
\biggr)
+
+| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
\biggl(
S[u0, - Au0]
S[u0]
- | \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
\biggr) \biggl(
S[u0]
\varrho
- S2[u0]
\varrho 2
\biggr) \biggr) 1/2
,
где \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} x =
\left\{
1, x > 0,
0, x = 0,
- 1, x < 0;
2) если \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A = 0, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 1, то положим
G(\varrho ) =
S[u0, Au0]
\varrho
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
\biggl(
1 - S[u0]
\varrho
\biggr)
;
3) если \mathrm{t}\mathrm{r} A = 0, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1, то положим
G(\varrho ) =
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + S2[u0, Au0] - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S2[u0]
\varrho 2
;
в этом случае уравнения сравнения для \zeta (t) и \varrho (t) совпадают, поэтому в данном случае пред-
ложенный подход позволяет установить точное значение площади решения u(t);
4) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1, то положим
G(\varrho ) = \mu 1 +
S[u0]
\varrho
\delta 0\chi (\delta 0),
где \delta 0 =
S[u0, Au0]
S[u0]
- \mu 1, \chi (\delta 0) — функция Хевисайда;
5) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1, S[u0, - Au0] \geq S[u0, Au0], то положим
G(\varrho ) = \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)
S[u0]
\varrho
+
a0N1
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
Na0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta 0|
\beta
\Biggr\} \biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \gamma
\sigma [u0],
где a0 =
1 + | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \gamma = 1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
\mu 1
> 0,
\beta =
\left\{
1, \delta 0 \geq 0,
1 - \mu 2
\mu 1
, \delta 0 < 0,
N =
\left\{
S[u0]
\mu 1S[u0, Au0]
, \delta 0 \geq 0,
\beta S[u0]
(\mu 1 + 2| \mu 2| )S[u0, Au0] - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u0]
, \delta 0 < 0,
N1 =
\left\{
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| S[u0]
2S[u0, Au0]
, \delta 0 \leq 0,
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\mu 1
, \delta 0 > 0;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
194 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
6) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1, S[u0, - Au0] < S[u0, Au0], то положим
G(\varrho ) = \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)
S[u0]
\varrho
+
\surd
2a20N
\ast
1
1 - \gamma
e\omega a0
\surd
| detA|
\biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \gamma
\sigma [u0],
где
M =
\left\{
1, \delta 0 \geq 0,
\mu 1\beta S[u0, Au0]
(\mu 1 + 2| \mu 2| )S[u0, Au0] - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u0]
, \delta 0 < 0,
N\ast
1 =
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, N\ast =
1
(2
\surd
2 - 1)| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
,
\omega =
N | \delta 0|
\beta
+N\ast M | \delta 0| +N\ast a0N1
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
Na0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta 0|
\beta
\Biggr\}
\sigma [u0];
7) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = 1, S[u0, - Au0] \geq S[u0, Au0], то положим
G(\varrho ) = \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)
S[u0]
\varrho
+
a1N2
1 - \gamma 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N | \delta 0|
\beta
\biggr\} \biggl( \biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \gamma 1
- S[u0]
\varrho
\biggr)
\sigma [u0],
где a1 =
1 + 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \gamma 1 = 1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
2\mu 1
, b1 =
\sqrt{}
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| 2 + 17| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + 8
2
\surd
2
,
N2 =
\left\{
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A+ \mathrm{t}\mathrm{r} 2A
2\mu 1
, \delta 0 \geq 0,
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A+ \mathrm{t}\mathrm{r} 2AS[u0]
2S[u0, Au0]
, \delta 0 < 0;
(4.1)
8) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = \pm 1, либо \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 0 и \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = 1, S[u0, - Au0] < S[u0, Au0],
то положим
G(\varrho ) = \mu 1
\biggl(
1 - S[u0]
\varrho
\biggr)
+
S[u0, Au0]
\varrho
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N
\beta - 1
\Biggl(
S[u0]
\varrho
-
\biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \beta
\Biggr)
+
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\mu 1
S[u0, - u0] - S[u0]
\varrho
\mathrm{l}\mathrm{n}
\varrho
S[u0]
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N
\beta
S[u0]
\varrho
\Biggl(
1 -
\biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \beta
\Biggr)
;
9) если \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = 1, S[u0, - Au0] \geq S[u0, Au0], то положим
G(\varrho ) = \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)
S[u0]
\varrho
+
a2N3
1 - \gamma 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N | \delta 0|
\beta
\biggr\} \biggl( \biggl(
S[u0]
\varrho
\biggr) \gamma 2
- S[u0]
\varrho
\biggr)
\sigma [u0].
Здесь введены обозначения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 195
\gamma 2 =
1
2
\Biggl(
1 - \mu 2
\mu 1
-
\sqrt{}
1 +
\mu 22
\mu 21
\Biggr)
, a2 =
\sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 6| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
,
b2 =
\left( \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
+
1
4
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) 2
+
+
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A
16
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) 2
+
\Biggl(
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
+
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
4
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) \Biggr) 2
\right) 1/2
,
N3 =
\left\{
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\mu 1
, \delta 0 \geq 0,
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u0]
2S[u0, Au0]
, \delta 0 < 0.
Рассмотрим дифференциальное уравнение сравнения
d\varrho (t)
dt
= 2\varrho (t)\psi (t, \varrho (t))G(\varrho (t)). (4.2)
Основным результатом настоящей работы является следующая теорема.
Теорема 4.1. Пусть \varrho + : [t0, \omega +(t0, \zeta 0)) \rightarrow \BbbR + — максимальное решение задачи Коши для
уравнения (4.2) с начальным условием \varrho 0 = S[u0].
Тогда при всех t \in [t0,\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}[\Omega +(t0, u0), \omega
+(t0, \varrho 0)]) справедлива оценка
S[u(t)] \leq \varrho +(t).
Следующие три пункта посвящены обоснованию этого утверждения.
5. Доказательство верхних оценок. Рассмотрим теперь вопрос о доказательстве теоремы
о верхних оценках площади S[u(t)] при t \geq t0. В силу теоремы Гамильтона – Кели
A2 - (\mathrm{t}\mathrm{r} A)A+ (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A)I = 0,
поэтому
S[u(t), A2u(t)] = S[u(t), ((\mathrm{t}\mathrm{r} A)A - \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}AI)u(t)] \leq | \mathrm{t}\mathrm{r} A| S[u(t), \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A)Au(t)]+
+| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u(t), - \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A)Iu(t)]. (5.1)
Таким образом, приходим к необходимости рассмотрения четырех случаев.
Случай 1. Пусть \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1. В этом случае из неравенства (5.1) и
соотношения (2.4) следует неравенство
ds1
dt
\leq \psi (t, s0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| s1(t)). (5.2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
196 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Рассмотрим систему уравнений сравнения
d\xi 0
dt
= 2\psi (t, \xi 0(t))\xi 1(t),
d\xi 1
dt
= \psi (t, \xi 0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \xi 0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \xi 1(t))
(5.3)
с начальными условиями \xi 0(t0) = S[u0], \xi 1(t0) = S[u0, Au0]. Поскольку \psi (t, \xi 0) не убывает по
переменной \xi 0, то правые части этой системы удовлетворяют условиям Важевского. Поэтому
при t \geq t0 выполняются неравенства
s1(t) \leq \xi 1(t). (5.4)
Из системы (5.3) следует однородное дифференциальное уравнение
d\xi 1
d\xi 0
= | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \xi 0
\xi 1
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
. (5.5)
Введем новые переменные \tau = \mathrm{l}\mathrm{n} \xi 0, \varphi =
\xi 1
\xi 0
, тогда в этих переменных дифференциальное
уравнение (5.5) принимает вид
d\varphi
d\tau
=
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \varphi - 2\varphi 2
2\varphi
. (5.6)
Это уравнение интегрируется в квадратурах. Его решение имеет вид
| \varphi (\tau ) - \mu 2| \mu 2
| \varphi (\tau ) - \mu 1| \mu 1
= e(\mu 1 - \mu 2)(\tau - \tau 0) | \varphi (\tau 0) - \mu 2| \mu 2
| \varphi (\tau 0) - \mu 1| \mu 1
. (5.7)
Прежде чем рассмотреть другие случаи, отметим, что если множество u0 является цент-
рально-симметричным, то при всех t \geq t0 выпуклое множество u(t) также является центрально-
симметричным. В этом случае приведенная система уравнений сравнения (5.3) позволяет по-
лучить оценки площади решений независимо от знаков \mathrm{t}\mathrm{r} A и \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A.
Случай 2. Пусть \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1. Обозначим \widetilde s0(t) = S[u(t), - Iu(t)],\widetilde s1(t) = S[u(t), - Au(t)], тогда с учетом (5.1) имеем
ds1(t)
dt
\leq \psi (t, s0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| s0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \widetilde s1(t)),
d\widetilde s0(t)
dt
= 2\psi (t, s0(t))\widetilde s1(t),
d\widetilde s1(t)
dt
\leq \psi (t, s0(t))(| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \widetilde s0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| S[u(t), - \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A)Au]+
+| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| S[u(t), \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A)u(t)]).
Из последнего неравенства в рассматриваемом случае следует неравенство
d\widetilde s1(t)
dt
\leq \psi (t, s0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \widetilde s0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| s1(t)).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 197
Рассмотрим систему сравнения
d\xi 0(t)
dt
= 2\psi (t, \xi 0(t))\xi 1(t),
d\widetilde \xi 0(t)
dt
= 2\psi (t, \xi 0(t))\widetilde \xi 1(t),
d\xi 1(t)
dt
= \psi (t, \xi 0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \xi 0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \widetilde \xi 1(t)),
d\widetilde \xi 1(t)
dt
= \psi (t, \xi 0(t))(2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \widetilde \xi 0(t) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| \xi 1(t)).
(5.8)
Поскольку функция \psi (t, \xi 0) не убывает по \xi 0, то правые части системы сравнения удовлетво-
ряют условиям Важевского. Поэтому из теоремы о дифференциальном неравенстве следует
неравенство (5.4), в котором \xi 1(t) — \xi 1-компонента решения задачи Коши для системы сравне-
ния (5.8) с начальными условиями \xi 0(t0) = S[u0, u0], \widetilde \xi 0(t0) = S[u0, - u0], \xi 1(t0) = S[u0, Au0],\widetilde \xi 1(t0) = S[u0, - Au0].
В новых переменных z1 = \widetilde \xi 0/\xi 0, z2 = \xi 1/\xi 0, z3 = \widetilde \xi 1/\xi 0, \tau = \mathrm{l}\mathrm{n} \xi 0 система сравнения (5.8)
сводится к автономной системе третьего порядка
dz1
d\tau
=
z3
z2
- z1,
dz2
d\tau
=
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z3 - 2z22
2z2
,
dz3
d\tau
=
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| z1 + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z2z3
2z2
.
(5.9)
Случай 3. Пусть \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = 1. В этом случае соответствующая система
уравнений сравнения cводится к виду
dz1
d\tau
=
z3
z2
- z1,
dz2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (1 + z1) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z3 - 2z22
2z2
,
dz3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (1 + z1) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z2z3
2z2
.
(5.10)
Случай 4. В случае \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = 1 соответствующая система уравнений
сравнения cводится к автономной системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dz1
d\tau
=
z3
z2
- z1,
dz2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (1 + z1) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
,
dz3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (1 + z1) + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z3 - 2z2z3
2z2
.
(5.11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
198 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Отметим, что в случае, когда \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A = 0 либо \mathrm{t}\mathrm{r} A = 0, можно также использовать одну из
систем (5.9) – (5.11).
Таким образом, задача о верхних оценках площади решений u(t) сводится к интегриро-
ванию некоторой автономной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. В общем случае неизвестно, интегрируются ли эти уравнения в квадратурах. В следующем
пункте рассмотрим некоторые частные случаи, когда можно получить оценки решений этих
систем.
6. Частные решения вспомогательных систем. Укажем некоторые точные решения
основных систем в частных случаях.
Отметим, что если \mathrm{t}\mathrm{r} A = 0, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1, то система дифференциальных уравнений
(5.9) имеет решение
z2(\tau ) =
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + e - 2(\tau - \tau 0)(z22(\tau 0) - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| ).
Если \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A = 0, то системы (5.9) и (5.10) имеют точное решение
z2(\tau ) =
\biggl(
e - 2(\tau - \tau 0)z22(\tau 0) +
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A
4
(1 - e - 2(\tau - \tau 0))+
+| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
\biggl(
z3(\tau 0) -
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
\biggr)
(e - (\tau - \tau 0) - e - 2(\tau - \tau 0))
\biggr) 1/2
.
В этом же случае система (5.11) имеет точное решение
z2(\tau ) = e - (\tau - \tau 0)z2(\tau 0) +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
(1 - e - (\tau - \tau 0)).
7. Качественное исследование вспомогательных систем. Явное решение основных сис-
тем является сложной задачей, поскольку эта система является нелинейной системой третьего
порядка. Поэтому для построения верхних оценок площади необходимо получить оценки ре-
шений этих систем. При этом используем метод приближенного интегрирования Чаплыгина —
Важевского и методы теории интегральных неравенств.
Отметим, что вследствие неравенства Брунна – Минковского для целей настоящей работы
достаточно изучить решения задачи Коши, начальные условия которых удовлетворяют нера-
венствам z1(\tau 0) \geq 1, z2(\tau 0) \geq
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| , z3(\tau 0) \geq
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| . Далее всегда предполагается, что
эти условия выполняются. Также по самому смыслу рассматриваемой задачи системы (5.8) –
(5.11) являются позитивными относительно конуса \BbbR 3
+ (впрочем, это может быть доказано
непосредственно).
Случай 1. Несмотря на то, что в этом случае дифференциальное уравнение (5.6) является
скалярным и интегрируется в квадратурах, нахождение его решений в явном виде осложнено
необходимостью обращения функции (5.7). Поэтому целесообразно провести качественное
исследование этого уравнения и получить оценки решений. Эти результаты также важны для
исследования других случаев — систем (5.9) – (5.11).
Лемма 7.1. Если \varphi (\tau 0) \geq \mu 1, то при всех \tau \geq \tau 0 выполняется оценка
0 \leq \varphi (\tau ) - \mu 1 \leq (\varphi (\tau 0) - \mu 1)e
- (\tau - \tau 0).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 199
Доказательство. Левое неравенство — следствие единственности решений задачи Коши.
Обозначим y = \varphi (\tau ) - \mu 1, тогда
dy
d\tau
=
\Bigl( \mu 2
\mu 1
- 1
\Bigr)
y - \mu 2
\mu 1
y2
y + \mu 1
. (7.1)
Из уравнения (7.1) следует дифференциальное неравенство
dy
d\tau
\leq - y.
Применение теоремы о дифференциальном неравенстве завершает доказательство леммы.
Лемма 7.2. Если
\surd
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A \leq \varphi (\tau 0) \leq \mu 1, то при всех \tau \geq \tau 0 выполняется оценка
0 \leq \mu 1 - \varphi (\tau ) \leq M1(\mu 1 - \varphi (\tau 0))e
- \beta (\tau - \tau 0),
где \beta = 1 - \mu 2
\mu 1
> 0, M1 =
\mu 1\beta \varphi (\tau 0)
\mu 1\beta \varphi (\tau 0) - | \mu 2| (\mu 1 - \varphi (\tau 0))
> 0.
Доказательство. Из уравнения (7.1) по формуле Коши следуют интегральное уравнение
y(\tau ) = e - \beta (\tau - \tau 0)y(\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
e - \beta (\tau - s) | \mu 2|
\mu 1
y2(s)
\varphi (s)
ds
и оценка
| y(\tau )| \leq e - \beta (\tau - \tau 0)| y(\tau 0)| +
\tau \int
\tau 0
e - \beta (\tau - s) | \mu 2|
\mu 1
y2(s)
\varphi (\tau 0)
ds, \tau \geq \tau 0.
Обозначая u(\tau ) = e\beta \tau | y(\tau )| , получаем интегральное неравенство
u(\tau ) \leq u(\tau 0) +
| \mu 2|
\mu 1\varphi (\tau 0)
\tau \int
\tau 0
e - \beta su2(s) ds, \tau \geq \tau 0.
Применяя лемму Бихари [10], имеем оценку
u(\tau ) \leq e\beta \tau 0 | y(\tau 0)|
1 +
| \mu 2| | y(\tau 0)|
\mu 1\varphi (\tau 0)\beta
(e - \beta (\tau - \tau 0) - 1)
, \tau \geq \tau 0.
Поскольку \varphi (\tau 0) \geq
\surd
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A, то M1 =
\mu 1\beta \varphi (\tau 0)
\mu 1\beta \varphi (\tau 0) - | \mu 2| (\mu 1 - \varphi (\tau 0))
> 0 и
0 \leq \mu 1 - \varphi (\tau ) \leq (\mu 1 - \varphi (\tau 0))M1e
- \beta (\tau - \tau 0), \tau \geq \tau 0.
Лемма доказана.
Случай 2. Пусть \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{t}\mathrm{r} A) = - 1, \mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n} (\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A) = - 1.
Приведем некоторые вспомогательные результаты о качественных свойствах основной
системы (5.9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
200 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Лемма 7.3. Для системы (5.9) при всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство z2(\tau ) \geq
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| .
Доказательство. Действительно, из второго уравнения системы следует дифференциаль-
ное неравенство
dz2
d\tau
\geq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| - z22
z2
.
Применение теоремы о дифференциальном неравенстве завершает доказательство леммы.
Лемма 7.4. Предположим, что начальные условия для задачи Коши (5.9) таковы, что
z3(\tau 0) \geq z2(\tau 0).
Тогда при всех \tau \geq \tau 0 выполняются неравенства
z1(\tau ) \geq 1, z3(\tau ) \geq z2(\tau ). (7.2)
Доказательство. Вследствие непрерывной зависимости решений задачи Коши (5.9) от
начальных условий достаточно рассмотреть случай, когда z1(\tau 0) > 1, z3(\tau 0) > z2(\tau 0). Пусть
\scrT = \{ \tau | \forall s \in [\tau 0, \tau ] z1(s) > 1, z3(s) > z2(s)\} . Множество \scrT непустое. Предположим, от
противного, что оно ограничено, тогда существует число \tau 1 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \scrT > \tau 0. По непрерывности,
z3(\tau ) \geq z2(\tau ) при всех \tau \in [\tau 0, \tau 1]. Поэтому из первого уравнения системы (5.9) следует
z1(\tau 1) \geq e - (\tau 1 - \tau 0)z1(\tau 0) +
\tau 1\int
\tau 0
e - (\tau 1 - s) z3(s)
z2(s)
ds \geq e - (\tau 1 - \tau 0)z1(\tau 0) + 1 - e - (\tau 1 - \tau 0) > 1.
Если z3(\tau 1) = z2(\tau 1), то, вычитая из третьего уравнения системы второе, получаем
d(z3(\tau ) - z2(\tau ))
d\tau
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\tau =\tau 1
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 1) - 1)
z2(\tau 1)
> 0.
Поэтому существует положительное число \delta такое, что функция z3(\tau ) - z2(\tau ) возрастает на
сегменте [\tau 1 - \delta , \tau 1 + \delta ], т. е. при всех \tau \in [\tau 1 - \delta , \tau 1) выполняется неравенство z3(\tau ) < z2(\tau ),
что противоречит определению числа \tau 1. Тогда z3(\tau 1) > z2(\tau 1). По непрерывности, существует
положительное число \delta 1 > 0 такое, что z1(\tau ) > 1, z3(\tau ) > z2(\tau ) при всех \tau \in [\tau 1, \tau 1 + \delta 1],
что опять приводит к противоречию с определением числа \tau 1. Таким образом, полученное
противоречие доказывает лемму.
Введем обозначения \delta (\tau 0) = z2(\tau 0) - \mu 1, a0 =
1 + | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \gamma = 1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
\mu 1
> 0,
\beta (\tau 0) =
\left\{
1, \delta (\tau 0) \geq 0,
1 - \mu 2
\mu 1
, \delta (\tau 0) < 0,
N(\tau 0) =
\left\{
1
\mu 1z2(\tau 0)
, \delta (\tau 0) \geq 0,
\beta
(\mu 1 + 2| \mu 2| )z2(\tau 0) - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \delta (\tau 0) < 0,
N1(\tau 0) =
\left\{
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2z2(\tau 0)
, \delta (\tau 0) \leq 0,
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\mu 1
, \delta (\tau 0) > 0,
\sigma (\tau ) =
\sqrt{}
(z1(\tau ) - 1)2 + (z3(\tau ) - \varphi (\tau ))2.
Установим оценки для функции \sigma (\tau ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 201
Лемма 7.5. Предположим, что начальные условия для задачи Коши (5.9) таковы, что
z3(\tau 0) \geq z2(\tau 0).
Тогда при всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) +
a0N1
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0). (7.3)
Доказательство. Из предыдущей леммы следует, что при всех \tau \geq \tau 0 выполняются нера-
венства
z1(\tau ) \geq 1, z3(\tau ) \geq z2(\tau ).
Поэтому из второго уравнения системы (5.9) следует дифференциальное неравенство
dz2
d\tau
\geq 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
, \tau \geq \tau 0.
По теореме о дифференциальном неравенстве при всех \tau \geq \tau 0 выполняется оценка z2(\tau ) \geq
\geq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) \equiv \varphi (\tau ). Поэтому из системы (5.9) следует система дифференциальных
неравенств
dz1
d\tau
\leq 1
\varphi (\tau )
z3 - z1,
dz2
d\tau
\leq - z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
z3 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
,
dz3
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
z1 - z3 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
.
Правые части этой системы неравенств удовлетворяют условию Важевского, поэтому по тео-
реме о дифференциальном неравенстве при всех \tau \geq \tau 0 справедлива оценка
\bfz (\tau ) \leq \bfz (\tau ), (7.4)
где \bfz (\tau ) — решение задачи Коши
dz1
d\tau
=
1
\varphi (\tau )
z3 - z1,
dz2
d\tau
= - z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
z3 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
, (7.5)
dz3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
z1 - z3 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
, z(\tau 0) = z(\tau 0).
Система дифференциальных уравнений (7.5) имеет частное решение z1(\tau ) \equiv 1, z2(\tau ) =
= z3(\tau ) = \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)). Соответствующее уравнение в вариациях имеет вид
d\delta z1
d\tau
=
1
\varphi (\tau )
\delta z3 - \delta z1,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
202 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
d\delta z2
d\tau
= - \delta z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
\delta z3,
d\delta z3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
\delta z1 - \delta z3, \delta z(\tau 0) = \delta z(\tau 0).
Поскольку первое и третье уравнения в правой части не содержат вариацию \delta z2, то целесооб-
разно ввести вектор \delta \bfz \ast = (\delta z1, \delta z3)
T и представить уравнение для этого вектора в матричном
виде
d\delta \bfz \ast
d\tau
= A\ast (\tau )\delta \bfz \ast (\tau ).
Отметим, что в силу свойств решения \varphi (\tau ) существует предел A0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\tau \rightarrow +\infty A\ast (\tau ). Матрицу
A\ast (\tau ) представим в виде A\ast (\tau ) = A0 + \delta A\ast (\tau ), тогда, применяя формулу Коши, получаем
интегральное представление
\delta \bfz \ast (\tau ) = eA0(\tau - \tau 0)\delta \bfz \ast (\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
eA0(\tau - s)\delta A\ast (s)\delta \bfz \ast (s) ds.
Нетрудно установить, что
eA0\tau = E+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\Biggl(
1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
\mu 1
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
+ E - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\Biggl(
1 +
\sqrt{}
| \mu 2|
\mu 1
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
,
где
E\pm =
\left(
1
2
\pm 1
2
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\pm
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2
1
2
\right) .
Поэтому в силу лемм 7.1 и 7.2
\| eA0\tau \| \leq 1 + | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
e - \gamma \tau = a0e
- \gamma \tau , \tau \geq 0,
\| eA0(\tau - s)\delta A\ast (s)\| \leq N(\tau 0)(1 + | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| )| z2(\tau 0) - \mu 1| e - \gamma (\tau - s) - \beta (\tau 0)(s - \tau 0) =
= N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)| e - \gamma (\tau - s) - \beta (\tau 0)(s - \tau 0), \tau 0 \leq s \leq \tau .
Определим функцию w(\tau ) = e\gamma \tau \| \delta z\ast (\tau )\| , тогда
w(\tau ) \leq a0w(\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)| e - \beta (\tau 0)(s - \tau 0)w(s) ds, \tau \geq \tau 0.
Применяя лемму Гронуолла – Беллмана, получаем неравенство
w(\tau ) \leq a0w(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
, \tau \geq \tau 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 203
Поэтому
\| \delta \bfz \ast (\tau )\| \leq a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| , \tau \geq \tau 0.
Из второго уравнения системы (5.9) по формуле Коши, с учетом условия \delta z2(\tau 0) = 0, получим
| \delta z2(\tau )| \leq N1(\tau 0)
\tau \int
\tau 0
e - (\tau - s)| \delta z3(s)| ds \leq
\leq a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0).
Таким образом, с учетом неравенства (7.4) имеем
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) +
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0), \tau \geq \tau 0.
Лемма доказана.
Следствие 7.1. В условиях леммы 7.1 при всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)e
- (\tau - \tau 0) +
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma 0. (7.6)
Следствие 7.2. В условиях леммы 7.1 при всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство
\sigma (\tau ) \leq a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0). (7.7)
Далее докажем следующее утверждение.
Лемма 7.6. Предположим, что начальные условия для задачи Коши (5.9) таковы, что
z3(\tau 0) < z2(\tau 0). Пусть
\tau 2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p} \{ \tau \geq \tau 0 | \forall s \in [\tau 0, \tau ] z3(s) < z2(s)\} \leq +\infty .
Тогда при всех \tau \in [\tau 0, \tau 2] справедливы оценки
\sigma (\tau ) \leq
\surd
2a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0),
| z2(\tau ) - \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0))| \leq
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0).
Доказательство. Из второго уравнения системы (5.9) следует дифференциальное нера-
венство
dz2
d\tau
\leq 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
, \tau \in [\tau 0, \tau 2]. (7.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
204 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
По теореме о дифференциальном неравенстве при всех \tau \geq \tau 0 выполняется оценка z2(\tau ) \leq
\leq \varphi (\tau ).
Также из условия леммы и первого уравнения системы (5.9) следует неравенство
dz1
d\tau
\leq 1 - z1(\tau ), \tau \in [\tau 0, \tau 2]. (7.9)
Поэтому, применяя теорему о дифференциальном неравенстве, получaeм оценку
z1(\tau ) \leq 1 + e - (\tau - \tau 0)(z1(\tau 0) - 1), \tau \in [\tau 0, \tau 2].
Из системы (5.9) следует система дифференциальных неравенств
dz1
d\tau
\geq 1
\varphi (\tau )
z3 - z1,
dz2
d\tau
\geq - z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
z3 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
,
dz3
d\tau
\geq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
z1 - z3 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
при всех \tau \in [\tau 0, \tau 2].
Правые части этой системы неравенств удовлетворяют условию Важевского, поэтому по
теореме о дифференциальном неравенстве при всех \tau \in [\tau 0, \tau 2] справедлива оценка
\bfz (\tau ) \geq \bfz (\tau ),
где \bfz (\tau ) — решение задачи Коши (7.5).
Из рассуждений, приведенных при доказательстве леммы 7.6, при всех \tau \in [\tau 0, \tau 2] следуют
неравенства
1 - a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0) \leq z1(\tau ) \leq
\leq 1 + e - (\tau - \tau 0)(z1(\tau 0) - 1),
\varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) -
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0) \leq
\leq z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)),
\varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) - a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0) \leq
\leq z3(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)).
Поскольку \gamma < 1, то из этих неравенств следует утверждение леммы.
Установим теперь в условиях леммы 7.6 оценки для z2(\tau ) при всех значениях \tau \geq \tau 0.
Предварительно введем обозначения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 205
N\ast
1 =
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, N\ast =
1
(2
\surd
2 - 1)| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
,
\omega (\tau 0) =
N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
+N\ast M(\tau 0)| \delta (\tau 0)| +
+N\ast a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
\sigma (\tau 0),
M(\tau 0) =
\left\{ 1, \delta (\tau 0) \geq 0,
\mu 1\beta z2(\tau 0)
(\mu 1 + 2| \mu 2| )z2(\tau 0) - | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \delta (\tau 0) < 0.
Лемма 7.7. В условиях леммы 7.6 при всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \mu 1 + \delta 0\chi (\delta 0)e
- (\tau - \tau 0) +
\surd
2a20N
\ast
1
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
\omega (\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Bigr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0). (7.10)
Доказательство. Предположим сначала, что \tau 2 < +\infty . Из леммы 7.6 следуют неравенства
\sigma (\tau 2) \leq
\surd
2a0 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
a0N(\tau 0)
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau 2 - \tau 0)\sigma (\tau 0), (7.11)
z2(\tau 2) \leq \varphi (\tau 2 - \tau 0; z2(\tau 0)). (7.12)
Лемма 7.5 гарантирует выполнение при всех \tau \geq \tau 2 неравенства
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 2; z2(\tau 2)) +
a0N1(\tau 2)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
a0N(\tau 2)
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 2)|
\beta (\tau 2)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau 2 - \tau 0)\sigma (\tau 2). (7.13)
Из неравенства (7.12) следует, что при всех \tau \geq \tau 2 выполняется неравенство
\varphi (\tau - \tau 2; z2(\tau 2)) \leq \varphi (\tau - \tau 2;\varphi (\tau 2 - \tau 0; z2(\tau 0))) = \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)).
Здесь учтено групповое свойство решений автономных дифференциальных уравнений и неубы-
вание решений дифференциальных уравнений по начальным условиям (вследствие единствен-
ности решений задачи Коши).
Поскольку z2(\tau 2) \geq
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| , то справедливы оценки
N1(\tau 2) \leq N\ast
1 , \beta (\tau 2) \geq 1, N(\tau 2) \leq N\ast .
Как следствие лемм 7.1 и 7.2, получаем
| \delta (\tau 2)| = | z2(\tau 2) - \mu 1| \leq | \varphi (\tau 2 - \tau 0; z2(\tau 0)) - \mu 1| + | z2(\tau 2) - \varphi (\tau 2 - \tau 0; z2(\tau 0))| \leq
\leq M(\tau 0)e
- \beta (\tau 0)(\tau 2 - \tau 0)| \delta (\tau 0)| +
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
e - \gamma (\tau 2 - \tau 0)\sigma (\tau 0) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
206 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
\leq M(\tau 0)| \delta (\tau 0)| +
a0N1(\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
\sigma (\tau 0).
Поэтому выполняется неравенство
N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
+
N(\tau 2)| \delta (\tau 2)|
\beta (\tau 2)
\leq N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
+N\ast M(\tau 0)| \delta (\tau 0)| +
+
a0N1N
\ast (\tau 0)
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
N(\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| | \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\Biggr\}
\sigma (\tau 0) = \omega (\tau 0).
Далее, из неравенства (7.13) при всех \tau \geq \tau 2 следует оценка
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) +
\surd
2a20N
\ast
1
1 - \gamma
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Bigl\{
\omega (\tau 0)a0
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Bigr\}
e - \gamma (\tau - \tau 0)\sigma (\tau 0).
Очевидно, что это неравенство выполняется и при \tau \in [\tau 0, \tau 2]. Поэтому оно имеет место и в
случае, если \tau 2 = +\infty . Очевидно, что вследствие лемм 7.1 и 7.2 из этого неравенства следует
утверждение леммы.
Рассмотрим далее случаи систем (5.10) и (5.11), предварительно установив общее свойство
соответствующих основных систем дифференциальных уравнений в случае, когда | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| > 0.
Лемма 7.8. Если для начальных условий выполняется неравенство z3(\tau 0) \geq z2(\tau 0), то при
всех \tau \geq \tau 0 выполняется неравенство z3(\tau ) \geq z2(\tau ).
Если для начальных условий выполняется неравенство z3(\tau 0) \leq z2(\tau 0), то при всех \tau \geq \tau 0
выполняется неравенство z3(\tau ) \leq z2(\tau ).
Доказательство. Отметим, что из второго уравнения системы (5.10) или системы (5.11)
следует неравенство
dz22
d\tau
+ 2z22 \geq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2
.
Поэтому из формулы Коши и теоремы о дифференциальном неравенстве следует, что
z22(\tau ) \geq e - 2(\tau - \tau 0)z22(\tau 0) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
4
(1 - e - 2(\tau - \tau 0)) \geq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
4
> 0, \tau \geq \tau 0.
Вычитая из третьего уравнения системы (5.10) (или системы (5.11)) второе уравнение и при-
меняя формулу Коши, получаем интегральное представление
z3(\tau ) - z2(\tau ) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{
\tau \int
\tau 0
\biggl(
\mp | \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2z2(s)
- 1
\biggr)
ds
\right\} (z3(\tau 0) - z2(\tau 0)).
Здесь знак - относится к системе (5.10), а знак + — к системе (5.11).
Из этого представления утверждение леммы следует очевидным образом.
Случай 3. Введем обозначения
a1 =
1 + 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
, \gamma 1 = 1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
2\mu 1
, b1 =
\sqrt{}
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| 2 + 17| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + 8
2
\surd
2
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 207
N2(\tau 0) =
\left\{
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A+ \mathrm{t}\mathrm{r} 2A
2\mu 1
, \delta (\tau 0) \geq 0,
\sqrt{}
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A+ \mathrm{t}\mathrm{r} 2A
2z2(\tau 0)
, \delta (\tau 0) < 0.
(7.14)
Лемма 7.9. Предположим, что z3(\tau 0) \geq z2(\tau 0). Тогда для системы (5.10) при всех \tau \geq \tau 0
выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) +
a1N2(\tau 0)
1 - \gamma 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
(e - \gamma 1(\tau - \tau 0) - e\tau 0 - \tau )\sigma (\tau 0).
Доказательство. С учетом леммы 7.8 из первого уравнения системы (5.10) следует нера-
венство
dz1
d\tau
\geq 1 - z1,
откуда, применяя теорему о дифференциальном неравенстве, получаем
z1(\tau ) \geq 1 + e - (\tau - \tau 0)(z1(\tau 0) - 1) \geq 1
при всех \tau \geq \tau 0.
Из второго уравнения системы (5.10) следует дифференциальное неравенство
dz2
d\tau
\geq 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
.
Отсюда, по теореме о дифференциальном неравенстве, имеем z2(\tau ) \geq \varphi (\tau ) \equiv \varphi (\tau - \tau 0, z2(\tau 0)).
Поэтому из системы (5.10) получим дифференциальные неравенства
dz1
d\tau
\leq - z1 +
1
\varphi (\tau )
z3,
dz2
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
z3 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
, (7.15)
dz3
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z3 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
.
Система дифференциальных неравенств (7.15) удовлетворяет условию Важевского, поэтому
\bfz (\tau ) \leq \bfz (\tau ), \tau \geq \tau 0.
Здесь \bfz (\tau ) — решение задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений
dz1
d\tau
= - z1 +
1
\varphi (\tau )
z3,
dz2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
z3 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
, (7.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
208 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
dz3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z3 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
с начальным условием \bfz (\tau 0) = \bfz (\tau 0).
Система дифференциальных уравнений (7.16) имеет частное решение z1(\tau ) \equiv 1, z2(\tau ) =
= z3(\tau ) \equiv \varphi (\tau ). Соответствующее уравнение в вариациях имеет вид
d\delta z1
d\tau
= - \delta z1 +
1
\varphi (\tau )
\delta z3,
d\delta z2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
\delta z1 - \delta z2 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
\delta z3, (7.17)
d\delta z3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
\delta z1 - \delta z3, \delta z(\tau 0) = \delta z(\tau 0).
Введем вектор \delta \bfz \ast = (\delta z1, \delta z3)
T . Тогда уравнение для этого вектора представим в матричном
виде
d\delta \bfz \ast
d\tau
= A\ast (\tau )\delta \bfz \ast .
Здесь
A\ast (\tau ) =
\left( - 1
1
\varphi (\tau )
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
- 1
\right) .
Из свойств решения \varphi (\tau ) следует существование предела A0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\tau \rightarrow +\infty A\ast (\tau ), \delta A\ast (\tau ) =
= A\ast (\tau ) - A0. Тогда, применяя формулу Коши, получаем интегральное представление
\delta \bfz \ast (\tau ) = eA0(\tau - \tau 0)\delta \bfz \ast (\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
eA0(\tau - s)\delta A\ast (s) \delta \bfz \ast (s)ds. (7.18)
Нетрудно установить, что
eA0\tau = E+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\Biggl(
1 -
\sqrt{}
| \mu 2|
2\mu 1
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
+ E - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
-
\Biggl(
1 +
\sqrt{}
| \mu 2|
2\mu 1
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
,
где
E\pm =
\left(
1
2
\pm 1
2
\sqrt{}
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\pm
\sqrt{}
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2
1
2
\right) .
Из этого представления следуют оценки
\| eA0\tau \| \leq a1e
- \gamma 1\tau , \tau \geq 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 209
\| eA0(\tau - s)\delta A\ast (s)\| \leq b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)| e - \gamma 1(\tau - s) - \beta (\tau 0)(s - \tau 0), \tau 0 \leq s \leq \tau .
Из интегрального представления (7.18) следует оценка
\| \delta \bfz \ast (\tau )\| \leq a1e
- \gamma 1(\tau - \tau 0)\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| + b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\tau \int
\tau 0
e - \gamma 1(\tau - s) - \beta (\tau 0)(s - \tau 0)\| \delta \bfz \ast (s)\| ds, \tau \geq \tau 0.
Для функции w1(\tau ) = e\gamma 1\tau \| \delta \bfz \ast (\tau )\| имеет место интегральное неравенство
w1(\tau ) \leq a1w1(\tau 0) + b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\tau \int
\tau 0
e - \beta (\tau 0)(s - \tau 0)w1(s) ds, \tau \geq \tau 0.
Применяя лемму Гронуолла – Беллмана, получаем оценку
w1(\tau ) \leq a1w1(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\left\{ b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\tau \int
\tau 0
e - \beta (\tau 0)(s - \tau 0) ds
\right\} <
< a1w1(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
, \tau \geq \tau 0.
Поэтому выполняется оценка
\| \delta \bfz \ast (\tau )\| \leq a1 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
e - \gamma 1(\tau - \tau 0)\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| , \tau \geq \tau 0.
Из второго уравнения системы уравнений в вариациях (7.17) следует интегральное представ-
ление
\delta z2(\tau ) = e - (\tau - \tau 0)\delta z2(\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
e - (\tau - s)
\biggl(
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (s)
\delta z1(s) +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (s)
\delta z3(s)
\biggr)
ds.
Учитывая, что \delta z2(\tau 0) = 0, и применяя неравенство Коши – Буняковского, получаем оценку
| \delta z2(\tau )| \leq N2(\tau 0)
\tau \int
\tau 0
e - (\tau - s)\| \delta \bfz \ast (s)\| ds.
Отсюда выводим
| \delta z2(\tau )| \leq a1N2(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\|
\tau \int
\tau 0
e - \tau +s - \gamma 1s+\gamma 1\tau 0 ds \leq
\leq a1N2(\tau 0)
1 - \gamma 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
(e - \gamma 1(\tau - \tau 0) - e - (\tau - \tau 0))\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| , \tau \geq \tau 0.
Таким образом, приходим к неравенству
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
210 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau )) +
a1N2(\tau 0)
1 - \gamma 1
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b1N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
(e - \gamma 1(\tau - \tau 0) - e\tau 0 - \tau ))\sigma (\tau 0)
при \tau \geq \tau 0.
Лемма доказана.
Лемма 7.10. Пусть z3(\tau 0) \leq z2(\tau 0). Тогда для решений системы (5.10) (и системы (5.11))
выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \mu 1(1 - e\tau 0 - \tau )) + e\tau 0 - \tau z2(\tau 0) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N(\tau 0)
\beta (\tau 0) - 1
(e\tau 0 - \tau - e\beta (\tau 0)(\tau 0 - \tau ))+
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (\tau - \tau 0)e
\tau 0 - \tau
\mu 1
(z1(\tau 0) - 1) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N(\tau 0)e
\tau 0 - \tau
\beta (\tau 0)
(1 - e\beta (\tau 0)(\tau 0 - \tau )). (7.19)
Доказательство. Из первого уравнения системы (5.10) (или (5.11)) получаем оценку
z1(\tau ) \leq 1 + e\tau 0 - \tau (z1(\tau 0) - 1), \tau \geq \tau 0.
Поэтому из второго уравнения системы получим дифференциальное неравенство
dz2
d\tau
\leq 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
+
e\tau - \tau 0 | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 0) - 1)
2z2
.
По теореме о дифференциальном неравенстве выполняется неравенство z2(\tau ) \leq \psi (\tau ), где \psi (\tau )
— решение задачи Коши
d\psi
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\psi
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
- \psi +
e\tau - \tau 0 | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 0) - 1)
2\psi
, \psi (\tau 0) = z2(\tau 0).
С другой стороны, из той же теоремы о дифференциальном неравенстве следует неравенство
\psi (\tau ) \geq \varphi (\tau ) \equiv \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)), \tau \geq \tau 0. Поэтому
d\psi
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (\tau )
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
- \psi +
e\tau 0 - \tau | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 0) - 1)
\varphi (\tau )
, \psi (\tau 0) = z2(\tau 0).
Таким образом, с учетом формулы Коши получим неравенство
\psi (\tau ) \leq e\tau 0 - \tau z2(\tau 0) +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
(1 - e\tau 0 - \tau ) +
\tau \int
\tau 0
es - \tau
\biggl(
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\varphi (s)
+
+
e\tau 0 - s| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 0) - 1)
2\varphi (s)
\biggr)
ds \leq e\tau 0 - \tau z2(\tau 0) +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
(1 - e\tau 0 - \tau )+
+
\tau \int
\tau 0
es - \tau
\biggl(
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\mu 1
+
e\tau 0 - s| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (z1(\tau 0) - 1)
2\mu 1
\biggr)
ds+
+
\tau \int
\tau 0
es - \tau
\biggl(
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + e\tau 0 - s | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2
(z1(\tau 0) - 1)
\biggr)
| \mu 1 - \varphi (s)|
\varphi (s)\mu 1
ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 211
Применяя леммы 7.1 и 7.2, получаем оценку
\psi (\tau ) \leq e\tau 0 - \tau z2(\tau 0) +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
(1 - e\tau 0 - \tau ) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\mu 1
(1 - e\tau 0 - \tau )+
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N(\tau 0)
\beta (\tau 0) - 1
(e\tau 0 - \tau - e\beta (\tau 0)(\tau 0 - \tau ))+
+
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| (\tau - \tau 0)e
\tau 0 - \tau
2\mu 1
(z1(\tau 0) - 1) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| N(\tau 0)e
\tau 0 - \tau
2\beta (\tau 0)
(1 - e - \beta (\tau 0)(\tau - \tau 0))(z1(\tau 0) - 1).
Лемма доказана.
Обозначим
\gamma 2 =
1
2
\Biggl(
1 - \mu 2
\mu 1
-
\sqrt{}
1 +
\mu 22
\mu 21
\Biggr)
, a2 =
\sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 6| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
,
b2 =
\left( \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
+
1
4
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) 2
+
+
\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}2A
16
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) 2
+
\Biggl(
2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
+
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
4
\Biggl(
1 +
| \mathrm{t}\mathrm{r} A| \sqrt{}
\mathrm{t}\mathrm{r} 2A+ 8| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
\Biggr) \Biggr) 2
\right) 1/2
,
N3(\tau 0) =
\left\{
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\mu 1
, \delta (\tau 0) \geq 0,
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2z2(\tau 0)
, \delta (\tau 0) < 0.
Лемма 7.11. Предположим, что z3(\tau 0) \geq z2(\tau 0). Тогда для системы (5.11) при всех \tau \geq \tau 0
выполняется неравенство
z2(\tau ) \leq \varphi (\tau - \tau 0; z2(\tau 0)) +
a2N3(\tau 0)
1 - \gamma 2
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
(e - \gamma 2(\tau - \tau 0) - e\tau 0 - \tau )\sigma (\tau 0). (7.20)
Доказательство. Из первого уравнения системы дифференциальных уравнений (5.11) и
предположения леммы следует дифференциальное неравенство
dz1
d\tau
\geq 1 - z1.
Из этого неравенства следует, что z1(\tau ) \geq 1 при всех \tau \geq \tau 0. Из второго уравнения системы
(5.11) следует дифференциальное неравенство
dz2
d\tau
\geq 2| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A| + | \mathrm{t}\mathrm{r} A| z2 - 2z22
2z2
, \tau \geq \tau 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
212 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
Применяя теорему о дифференциальном неравенстве, получаем z2(\tau ) \geq \varphi (\tau ) при всех \tau \geq \tau 0.
Из первого и третьего неравенств этой системы следуют неравенства
dz1
d\tau
\leq 1
\varphi (\tau )
z3 - z1,
dz2
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z2 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
,
dz3
d\tau
\leq | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 +
\biggl(
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
- 1
\biggr)
z3(\tau ) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
.
Из этой системы неравенств следует оценка
\bfz (\tau ) \leq \bfz (\tau ), \tau \geq \tau 0.
Здесь \bfz (\tau ) — решение задачи Коши
dz1
d\tau
=
1
\varphi (\tau )
z3 - z1,
dz2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 - z2 +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
+
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2
, (7.21)
dz3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
z1 +
\biggl(
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
- 1
\biggr)
z3(\tau ) +
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
, \bfz (\tau 0) = \bfz (\tau 0).
Эта система имеет частное решение z1(\tau ) \equiv 1, z2(\tau ) = z3(\tau ) \equiv \varphi (\tau ). Соответствующая
система уравнений в вариациях имеет вид
d\delta z1
d\tau
=
1
\varphi (\tau )
\delta z3 - \delta z1,
d\delta z2
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
\delta z1 - \delta z2,
d\delta z3
d\tau
=
| \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (\tau )
\delta z1 +
\biggl(
| \mathrm{t}\mathrm{r} A|
2\varphi (\tau )
- 1
\biggr)
\delta z3(\tau ), \delta z(\tau 0) = \delta z(\tau 0).
Определим вектор \delta \bfz \ast = (\delta z1, \delta z3)
T , тогда
d\delta \bfz \ast
d\tau
= A\ast (\tau )\delta \bfz \ast (\tau ).
Обозначим A0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\tau \rightarrow +\infty A\ast (\tau ), \delta A\ast (\tau ) = A\ast (\tau ) - A0, тогда
\delta \bfz \ast (\tau ) = eA0(\tau - \tau 0)\delta \bfz \ast (\tau 0) +
\tau \int
\tau 0
eA0(\tau - s)\delta A\ast (s) \delta \bfz \ast (s) ds.
Далее,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦЕНКИ ПЛОЩАДИ РЕШЕНИЙ ПСЕВДОЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 213
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}A0\tau = E+ \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- 1
2
\Biggl(
1 - \mu 2
\mu 1
-
\sqrt{}
1 +
\mu 22
\mu 21
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
+ E - \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\Biggl\{
- 1
2
\Biggl(
1 - \mu 2
\mu 1
+
\sqrt{}
1 +
\mu 22
\mu 21
\Biggr)
\tau
\Biggr\}
.
Здесь
E\pm =
\left(
1
2
\Biggl(
1\mp \mu 1 + \mu 2\sqrt{}
\mu 21 + \mu 22
\Biggr)
- 1\sqrt{}
\mu 21 + \mu 22
\mu 1\mu 2
2
\sqrt{}
\mu 21 + \mu 22
1
2
\Biggl(
1\pm \mu 1 + \mu 2\sqrt{}
\mu 21 + \mu 22
\Biggr)
\right) .
Поэтому справедлива оценка
\| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}A0\tau \| \leq a2e
- \gamma 2\tau , \tau \geq 0.
Непосредственными вычислениями можно показать выполнение неравенства
\| \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\{ A0(\tau - s)\} \delta A\ast (s)\| \leq b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)| e - \gamma 2(\tau - s) - \beta (\tau 0)(s - \tau 0), \tau 0 \leq s \leq \tau .
Обозначим w2(s) = e\gamma 2s\| \delta \bfz \ast (s)\| , тогда получим интегральное неравенство
w2(\tau ) \leq a2w2(\tau 0) + b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\tau \int
\tau 0
e - \beta (\tau 0)(s - \tau 0)w2(s) ds.
Применяя лемму Гронуолла – Беллмана, получаем оценку
w2(\tau ) \leq a2w2(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
, \tau \geq \tau 0.
Таким образом,
\| \delta \bfz \ast (\tau )\| \leq a2 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
e - \gamma 2(\tau - \tau 0)\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| , \tau \geq \tau 0.
Из второго уравнения системы уравнений (7.21) с учетом того, что \delta \bfz \ast (\tau 0) = 0, следует
\delta z2(\tau ) =
\tau \int
\tau 0
es - \tau | \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A|
2\varphi (s)
\delta z1(s) ds.
Принимая во внимание оценку для \delta z1(s), получаем
| \delta z2(\tau )| \leq a2N3(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\} \tau \int
\tau 0
e - \gamma 2(s - \tau 0)+s - \tau ds\| \delta \bfz \ast (\tau 0)\| =
= a2N3(\tau 0) \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl\{
b2N(\tau 0)| \delta (\tau 0)|
\beta (\tau 0)
\biggr\}
e - \gamma 2(\tau - \tau 0) - e\tau 0 - \tau
1 - \gamma 2
\sigma (\tau 0).
Из последнего неравенства утверждение леммы 7.11 следует очевидным образом.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
214 Е. В. ОЧЕРЕТНЮК, В. И. СЛЫНЬКО
8. Заключение. Таким образом, в настоящей работе предложены новые подходы к качест-
венному анализу псевдолинейных дифференциальных уравнений с производной Хукухары в
пространстве \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2). В основу этих подходов положены свойства элементов пространства
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (\BbbR 2) и фундаментальные результаты геометрии выпуклых тел, а также теоремы обыкно-
венных дифференциальных уравнений — метод сравнения, метод интегральных неравенств и
метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений Чаплыгина – Важевского.
Данные результаты позволяют получить двусторонние оценки для площади решений. В
частных случаях эти оценки являются такими, что сводят задачу о вычислении площади реше-
ний к интегрированию некоторого дифференциального уравнения первого порядка.
Литература
1. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. – Новосибирск: Наука, 1986. –
296 c.
2. Плотникова Н. В. Системы линейных дифференциальных уравнений с \pi -производной и линейные диффе-
ренциальные включения // Мат. сб. – 2005. – 196, № 11. – C. 127 – 140.
3. Lakshmikantham V., Bhaskar T. G., Devi J. V. Theory of set differential equations in metric spaces. – Cambridge:
Cambridge Sci. Publ., 2006. – 202 p.
4. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. I. Расширение некоторых понятий теории
выпуклых тел // Мат. сб. – 1937. – 2(44), № 5. – C. 947 – 972.
5. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. II. Новые неравенства между смешанными
объемами и их приложения // Мат. сб. – 1937. – 2(44), № 6. – C. 1205 – 1238.
6. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. III. Распространение двух теорем Минковского
о выпуклых многогранниках на произвольные выпуклые тела // Мат. сб. – 1938. – 3(45), № 1. – C. 27 – 46.
7. Александров А. Д. К теории смешанных объемов выпуклых тел. IV. Смешанные дискриминанты и смешанные
объемы // Мат. сб. – 1938. – 3(45), № 2. – C. 227 – 251.
8. Бляшке В. Круг и шар. – М.: Наука, 1967. – 233 c.
9. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. – М.: Мир, 1980. – 300 c.
10. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967. – 472 c.
Получено 30.03.15,
после доработки — 24.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1686 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:36Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f2/bdf239996465e812b4167a161362d6f2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16862019-12-05T09:23:56Z Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ Оценки площади решений псевдолинейных дифференци- альных уравнений с производной Хукухары в пространстве $\text{conv} (R^2)$ Ocheretnyuk, E. V. Slyn'ko, V. I. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. We obtain estimates for the areas of the solutions of differential equations with Hukuhara derivative of a special form in the space $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (R^2)$. The main methods used for the investigation are the method of comparison, the methods of the Minkowski – Aleksandrov geometry of convex bodies, and the Chaplygin –Wa˙zewski method of approximate integration of differential equations. The obtained results enable us to reduce the estimates of the area of solutions to the investigation of differential equations of the first order. Отримано оцiнки для площi розв’язкiв диференцiальних рiвнянь iз похiдною Хукухари спецiального вигляду у просторi $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{v} (R^2)$. Основними методами дослiдження є метод порiвняння, методи геометрiї опуклих тiл Г. Мiнковського i О. Д. Александрова, а також метод наближеного iнтегрування диференцiальних рiвнянь Чаплигiна – Важевського. Одержанi результати дозволяють звести оцiнки площi розв’язкiв до дослiдження диференцiальних рiвнянь першого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1686 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 189-214 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 189-214 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1686/668 Copyright (c) 2017 Ocheretnyuk E. V.; Slyn'ko V. I. |
| spellingShingle | Ocheretnyuk, E. V. Slyn'ko, V. I. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. Очеретнюк, Е. В. Слынько, В. И. Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title | Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title_alt | Оценки площади решений псевдолинейных дифференци-
альных уравнений с производной Хукухары в пространстве $\text{conv} (R^2)$ |
| title_full | Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title_fullStr | Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title_full_unstemmed | Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title_short | Estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with Hukuhara derivative in the space $\text{conv} (R^2)$ |
| title_sort | estimates of the area of solutions of the pseudolinear differential equations with hukuhara derivative in the space $\text{conv} (r^2)$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1686 |
| work_keys_str_mv | AT ocheretnyukev estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT slyn039kovi estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT očeretnûkev estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT slynʹkovi estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT očeretnûkev estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT slynʹkovi estimatesoftheareaofsolutionsofthepseudolineardifferentialequationswithhukuharaderivativeinthespacetextconvr2 AT ocheretnyukev ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 AT slyn039kovi ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 AT očeretnûkev ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 AT slynʹkovi ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 AT očeretnûkev ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 AT slynʹkovi ocenkiploŝadirešenijpsevdolinejnyhdifferencialʹnyhuravnenijsproizvodnojhukuharyvprostranstvetextconvr2 |