Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials

We establish the best asymptotic one-sided approximation on the average for $r$ -differentiable functions from the class $W_{∞}^r$ where r is even, by algebraic polynomials.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2017
Автори:	Sedunova, V. V., Сєдунова, В. В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1687
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860507523100966912
author	Sedunova, V. V. Сєдунова, В. В.
author_facet	Sedunova, V. V. Сєдунова, В. В.
author_sort	Sedunova, V. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2019-12-05T09:23:56Z
description	We establish the best asymptotic one-sided approximation on the average for $r$ -differentiable functions from the class $W_{∞}^r$ where r is even, by algebraic polynomials.
first_indexed	2026-03-24T02:10:40Z
format	Article
fulltext	© В. В. СЄДУНОВА, 2017 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 215 УДК 517.5 В. В. Сєдунова (Дніпропетр. нац. ун-т ім. О. Гончара) НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ АЛГЕБРАЇЧНИМИ ПОЛІНОМАМИ В СЕРЕДНЬОМУ We establish the best asymptotic one-sided approximation on the average for r -differentiable functions from the class W∞ r where r is even, by algebraic polynomials. Установлена асимптотически точная оценка наилучшего одностороннего приближения алгебраическими полинома- ми в среднем класса дифференцируемых функций W∞ r для случая нечетного r . 1. Постановка задачі. У цій статті ми встановимо асимптотичну оцінку найкращого односто- роннього наближення класу диференційовних функцій W∞ r алгебраїчними поліномами в середньому. W∞ r , r = 1, 2,… , — клас функцій f , визначених на [−1;1] , (r −1) -ша похідна яких абсолютно неперервна, а для r -ї майже скрізь на [−1;1] виконується нерівність f (r)(t) ≤ 1 . Нехай En+ ( f )1 En− ( f )1( ) — найкраще одностороннє наближення зверху (знизу) функції f алгебраїчними поліномами в середньому, тобто En+ ( f )1 := inf u∈Pn u≥ f u − f 1 En− ( f )1 := inf u∈Pn f ≥u f − u 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ , Pn — множина алгебраїчних поліномів степеня не вищого за n і En± W∞ r( )1 := sup f∈W∞ r En± ( f )1. Результатом даної статті є асимптотична оцінка En+ W∞ r( )1 = En− W∞ r( )1 = Br (t) 1 πnr −1 1 ∫ (1− t 2 )r /2dt +O 1 nr+1/2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (1) для будь-якого n ∈N і непарного r > 1 , r ≤ n −1 . Тут Br (t) , r = 1, 2,… , — функція Бер- нуллі, Br (t) : = ν=1 ∞∑ cos νt − πr 2 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ νr . Br (t) є 2π -періодичною функцією, її норма обчис- люється на проміжку [0; 2π] , тобто 216 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Br (t) [0; 2π] := 0 2π ∫ Br (t) dt , Br ⋅( ) ∞ := max t ∈[0; 2π] Br (t) . В усіх інших випадках норма будь-якої функції x — це норма у просторі L1[−1;1] , тобто x(⋅) 1 = x(⋅) L1[−1;1] : = −1 1 ∫ x(t) dt . Згідно зі співвідношеннями двоїстості для односторонніх наближень [1, с. 46] маємо En± ( f )1 := sup h0∈W∞ 0,± −1 1 ∫ f (t)h0(t) dt , де W∞ 0,± , n = 0,1, 2,… , — клас функцій, заданих на відрізку [−1;1] , обмежених майже скрізь зверху (знизу), тобто max ± f (t), 0{ } ≤ 1 , і ортогональних будь-якому многочлену сте- пеня не вищого за n . Для будь-якого натурального r через Wn r, ± позначимо клас функцій, у яких r -та похідна належить класу Wn 0, ± , тобто Wn r, ± = hr (t) = 1 (r −1)! −1 1 ∫ (t − u)+r−1h0(u) du, h0(t) ∈Wn 0, ±⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪ . Тоді співвідношення двоїстості для функцій f класу W∞ r можна записати у вигляді En± W∞ r( )1 = sup f∈W∞ r En± ( f )1 = sup f∈W∞ r sup hr∈Wn r , ∓ −1 1 ∫ f (r)(t) hr (t) dt = sup hr∈Wn r , ∓ hr (⋅) 1. (2) Отже, оцінку величини En± W∞ r( )1 можна отримати, оцінивши suphr∈Wn r , ∓ hr (⋅) 1. Вико- ристовуючи описані в роботі [2] функції порівняння, отримуємо нерівність En+ W∞ r( )1 = sup hr∈Wn r , − hr (⋅) 1 ≤ Br (⋅) [0;2π] πnr −1 1 ∫ 1− t 2( )r dt 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . (3) У роботі [3] описано сплайни Sn,r± , побудовані так, що Sn,r± ∈Wn ±, r . Оцінка норми сплай- на Sn, r+ знизу дає нерівність En− W∞ r( )1 = sup hr∈Wn r , + hr (⋅) 1 ≥ Sn, r+ 1 ≥ Br (⋅) [0;2π] πnr −1 1 ∫ (1− t 2 )r /2dt 1−O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . (4) НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 217 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Оскільки клас W∞ r є симетричним, то [1, с. 13] En+ W∞ r( )1 = En− W∞ r( )1. Тому з нерівнос- тей (3), (4) отримуємо (1). 2. Оцінка зверху величини En+ W∞ r( )1 . Для hr (t) ∈Wn r, − у кожній точці a проміжку (−1;1) [2, с. 2] Cr, a 1− a2( )r nr min t∈[0;2π] Dr (t)( ) ≤ hr (a) ≤ Cr, a 1− a2( )r nr max t∈[0;2π] Dr (t)( ) , (5) де Dr (t) : = 2Br (t) , Cr, a визначається рівністю Cr, a = 1 + 2Cr n(1− a2 ) , n ∈N , r = 1, 2,…, n −1 , (6) Cr — деяка стала, залежна від r (у різних місцях може мати різне значення). Функцією порівняння на проміжку (a;b) для функції f (t) називатимемо функцію w(t) , визначену і диференційовну на R , таку, що ∀x ∈(a;b) , y ∈R : f (x) = w(y), sign ′f (x) = = sign ′w (y) виконується нерівність ′f (x) ≤ ′w (y) . У роботі [2] (теорема 3) показано, що при непарному r функція порівняння для hr ∈Wn −, r на проміжку її знакосталості (a;b) ∈ −1+ π n ; − π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ визначається рівністю wr (t) := Cr, aϕr, b* (t) , де Cr, a визначено рівністю (6), а ϕr, b* (t) = Dr nt 1− b* 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n 1− b* 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r . Точка b* визначається таким чином: b* = b + π n 1− b* 2 , b ∈(−1; 0) , b* = b − π n 1− b* 2 , b ∈(0;1) . 218 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Існування такого b* для будь-якого b показано в роботі [4] (лема 1). Далі для спрощен- ня позначатимемо ν(x) = π n 1− x2 , тоді, зокрема, 2ν(b) — період функції порівняння. В роботі [2] (зауваження 3) зазначено, що для будь-якого t0 ∈R функція wr (t − t0 ) та- кож є функцією порівняння для hr (t) на (a;b) . Тому далі wr (t) означатиме функцію wr (t) := Cr, aϕr, b (t − θr, b ) , де θr, b ∈(b;b) вибрано так, що wr (b) = hr (b) = 0, sign ′wr (b) = sign ′hr (b). (7) На підставі оцінки (5) маємо min 0≤u≤2ν(b) wr (u) ≤ hr (t) ≤ max 0≤u≤2ν(b) wr (u) , t ∈(−1;b) , (8) зокрема max a≤t≤b hr (t) ≤ max 0≤u≤ν(b) wr (u) . (9) Нехай тепер r є непарним, wr (t) — функція порівняння для hr на її проміжку знакоста- лості (a;b) ∈ −1+ π n ; −π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ (нехай для визначеності hr (t) > 0 , t ∈(a;b) ). З огляду на ви- значення функції порівняння, а також (7), (9) на кожному відрізку знакосталості, що менше за півперіод функції порівняння, отримуємо 0 ≤ hr (t) ≤ wr (t) , t ∈(a;b) , отже, a b ∫ hr (t) dt ≤ a b ∫ wr (t) dt = u = t − a b − a ν(b); dt = b − a ν(b) du⎧ ⎨ ⎩ ⎫ ⎬ ⎭ = = b − a ν(b) a ν(b) ∫ Cr, aϕr, b* (t) dt = b − a ν(b) 1+ 2Cr n(1− a2 ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ a ν(b) ∫ Dr nt 1− b* 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n 1− b* 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r dt = НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 219 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 = 1− b* 2 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r+1 n(b − a) π 1− b* 2 1+ 2Cr n(1− a2 ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 π ∫ Dr (t) dt . Враховуючи, що 1− b* 2( )r − 1− a2( )r ≤ 2πr n , 1− a2 ≤ 1, маємо a b ∫ hr (t) dt ≤ 1− b* 2 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r b − a π 1+ 2Cr n(1− a2 ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 π ∫ Dr (t) dt ≤ ≤ Br (⋅) [0;2π] πnr 1− a2( )r (b − a) 1+ 2Cr n 1− −1+ π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1+ 2πr n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = Br (⋅) [0;2π] πnr 1− a2( )r (b − a) 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . Далі, нехай (a;b) — відрізок знакосталості, що більший за півперіод функції порівняння. Враховуючи (8), (9), одержуємо max −1≤t≤b hr+1(t) ≤ max 0≤t≤ν(b) wr+1(t) , a b ∫ hr (t) dt = hr+1(b) − hr+1(a) ≤ wr+1 ν(b)( ) − wr+1(0) = 0 ν(b) ∫ wr (t) dt = = 0 ν(b) ∫ Cr, aϕr, b* (t) dt = 1+ 2Cr n(1− a2 ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ a ν(b) ∫ Dr nt 1− b 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ n 1− b* 2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r dt = = 1− b* 2 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r ν(b) π 1+ 2Cr n(1− a2 ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 0 π ∫ Dr (t) dt . 220 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Враховуючи нерівності 1− b 2( )r − 1− b12( )r ≤ 2πr n , b1 = b − ν(b) , 1− b12 ≤ 1, знаходимо a b ∫ hr (t) dt ≤ 1− b 2 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ r ν(b) π 1+ 2Cr n 1− a2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 0 π ∫ Dr (t) dt ≤ ≤ Br (⋅) [0;2π] πnr 1− b12( )r ν(b) 1+ 2Cr n 1− −1+ π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 1+ 2πr n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = Br (⋅) [0;2π] πnr 1− b12( )r ν(b) 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . Так само можна оцінити інтеграл −1+π/n b ∫ hr (t) dt на проміжку знакосталості −1+ π n ; b⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ функції hr (t). Тут b — найближчий справа до точки −1+ π n нуль функції hr ; hr (b) = 0 , але необов’язково hr −1+ π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 0. Функція порівняння wr (t) визначається рівністю wr (t) = Cr, −1+π/n( )ϕr, b t − θr, b( ) . З (5) отримуємо оцінку −1 −1+ π n ∫ hr t( ) dt ≤ π n max −1≤a≤−1+ π n hr a( ) ≤ π n max −1≤a≤−1+ π n Cr,a 1− a2( )r nr ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ max t Dr (t)( ) = = 2π Br (⋅) ∞ n 1− π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ r nr + 2Cr 1− π n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ (r−2)+ nr+1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ≤ dr nr+1 . НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 221 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Якщо b ∈ − π n ; π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , то wr (t) = Cr, 0ϕr, 0 (t) = 1+ 2Cr nr+1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Dr (nt) nr . Оцінюємо так само, як і на проміжку a;b( ) ∈ −1+ π n ; −π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . На проміжку знакосталості a;b( ) ∈ π n ; 1−π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ функцією порівняння для hr (t) є функ- ція wr (t) = Cr, bϕr, a t + θr, a( ) , де a = a + ν(a) і θr,a — таке, що wr (t) є функцією порівняння для hr (t) в точці a . Інтеграл a b ∫ hr (t) dt оцінюємо зверху так само, як інтег- рал по відрізку a;b( ) ∈ −1+ π n ; −π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . Так само, як для −1; −1+ π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ , отримуємо оцінку hr (t) dt 1−π/n 1 ∫ ≤ dr nr+1 . Підсумовуючи отримані оцінки, маємо −1 1 ∫ hr (t) dt = = −1 −1+ π n ∫ hr (t) dt + 1− π n 1 ∫ hr (t) dt + b−a <ν(b) ∑ a b ∫ hr (t) dt + b−a ≥ν(b) ∑ a b ∫ hr (t) dt ≤ ≤ 2dr nr+1 + b−a <ν(b) ∑ Br (⋅) [0;2π] πnr 1− a2( )r b − a( ) 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + + b−a ≥ν(b) ∑ Br (⋅) [0;2π] πnr 1− b12( )r ν(b) 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = Br (⋅) [0;2π] πnr 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∆ t∈ −1+ π n ;1− π n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ∑ 1− t 2( )r ∆ t ≤ ≤ Br (⋅) [0;2π] πnr −1 1 ∫ 1− t 2( )r dt 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 222 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 Отже, має місце нерівність (3): En+ W∞ r( )1 ≤ Br (⋅) [0;2π] πnr −1 1 ∫ 1− t 2( )r dt 1+O 1 n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . 3. Оцінка знизу величини En − W∞ r( )1 . Розглянемо тепер сплайни Sn,r+ ∈Wn +,r , побу- довані й описані в роботі [3]. Для випадку n = 2m −1 сплайн S2m−1,r + визначається рівністю S2m−1, r + (t) := x +1( )r r ! + 1 r −1( )! i=1 m ∑γ 2m−1, i + t − y2m−1, i +( )+ r−1 , де y2m−1, i + , i = 1,…,m , — нулі полінома Лежандра Pm (t) степеня m ; коефіцієнти γ 2m−1, i + = −2 1− y2m−1, i +( )2⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ′Pm y2m−1, i +( )( )2 , i = 1,…,m . Сплайн S2m−1, r + побудовано так, що між кожними двома точками локального екстремуму лежить точно один нуль. Позначимо через xkr{ }k=1 m−r , −1 < x1r < x2r <… < xm−r r < 1 , нулі S2m−1, r + , занумеровані у порядку зростання. Точки локальних екстремумів S2m−1, r + — xkr−1{ }k=1 2m−r+1 — одночасно є нулями сплайна S2m−1,r−1 + . Тоді xk−1r ; xkr( ) — проміжки знако- сталості сплайна S2m−1, r + , xk−1r−1; xkr−1( ) — проміжки монотонності. Зауважимо ще, що нулі сплайнів Sn, r+ розташовані симетрично відносно точки 0. Між двома сусідніми точками локального екстремуму лежить точно один нуль сплайна [3, с. 204], тобто xkr−1 < xkr < xk+1r−1 , k = 1,…, n − r 2 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ . З теорем 3.1 та 7.1 роботи [3] випливає, що модуль сплайна в точці локального екстремуму тим більше, чим ближче ця точка до 0. Отже, S2m−1, r + xk−1r−1( ) < S2m−1,r + xkr−1( ) , k = 1,…, n − r +1 2 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ . Сплайн S2m−1,1 + має n точок зміни знака всередині проміжку −1;1( ) ; вони розташовані між точками xk0{ }k=0 n+1 , xk0 = cos kπ n +1 [5, с. 130]. Тому 1− xkr( )2 > 1− xk0( )2 = sin kπ n +1 , НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 223 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 ∆ x, k := xk0 − xk−10 ≤ π n +1 sin kπ n +1 = π n +1 1− xk0( )2 . Знайдемо тепер S2m−1, r + 1 . Оскільки S2m−1, r + (t) — парна функція, то S2m−1, r + 1 = −1 1 ∫ S2m−1, r + (t) dt = 2 −1 0 ∫ S2m−1, r + (t) dt ≥ 2 k=k0 m−r+1[ ] ∑ xk−1r xkr ∫ S2m−1, r + (t) dt , де k0 таке, що xk0−1 r ≥ −1+ π n ≥ xk0−2 r . Нехай r є непарним, r > 1 . На кожному відрізку знакосталості xk−1r ; xkr( ) сплайна S2m−1, r + функція порівняння для S2m−1, r + ∈Wn r,+ визначається рівністю wr, k (t) = Cr, xk−1r ϕr, xk , r t − θr, xkr( ) . Розглянемо δk = maxxk−1r ≤t≤xkr wr, k (t) maxxk−1r ≤t≤xkr S2m−1, r + (t) . На підставі визначення функції порівняння δk ≥ 1 . Далі, з теореми 3.3 [3] маємо max xk−1r ≤t≤xkr S2m−1, r + (t) = Sn, r+ xkr−1( ) = En+ xkr−1 − ⋅( )+ r−1 r −1( )! ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1 , (10) а з теореми 1 [6] отримуємо En+ xkr−1 − ⋅( )+ r−1 r −1( )! ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1 ≥ 2 Br (⋅) ∞ 1− xkr−1( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr − Cr 1− xkr−1( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r−2( )+ nr+1 . (11) Оцінимо зверху maxxk−1r ≤t≤xkr wr, k (t) : max xk−1r ≤t≤xkr wr, k (t) ≤ max 0≤t≤ν xk , * r( ) Cr, xk−1r ϕr, xk , * r (t) = 224 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 = max 0≤t≤ν xk , * r( ) 1+ 2Cr n 1− xk−1r( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr Dr nt 1− xk, * r( )2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ = = 1+ 2Cr n 1− xk−1r( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr 2 Br (⋅) ∞ . (12) Тоді з (10) – (12) випливає оцінка δk ≤ 1+ 2Cr n 1− xk−1r( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr 2 Br (⋅) ∞ 1− ′Cr n 1− xkr−1( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1− xkr−1( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr 2 Br (⋅) ∞ = = n 1− xk−1r( )2( ) + 2Cr( ) n 1− xkr−1( )2( ) − ′Cr( ) 1− xkr−1( )2( ) 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r 1− xk−1r( )2( ) 1− xkr−1( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r < < n 1− xk−1r( )2( ) + 2Cr( ) 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r n 1− xk−1r( )2( ) − ′Cr( ) 1− xkr−1( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r = = 1+ 2Cr + ′Cr n 1− xk−1r( )2( ) − ′Cr ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r 1− xk−1r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r . Враховуючи, що 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r − 1− xk−1r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r = xkr − xk−1r + ν xk, * r( )( ) r2 2ξ 1− ξ2( )r−1 ≤ НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 225 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 ≤ 2ν xk, * r( ) r 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r−1 = 2rπ n 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r ≤ 2rπ n , і той факт, що для будь-якого k ≥ k0 1+ 2Cr + ′Cr n 1− xk−1r( )2⎛ ⎝ ⎞ ⎠ − ′Cr ≤ 1+ 2Cr + ′Cr n 1− −1+ 1 n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ′Cr = 1+ 2Cr + ′Cr n − ′Cr +1( ) , маємо оцінку δk ≤ 1+ 2Cr + ′Cr n − ′Cr +1( ) ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1+ 2rπ n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ≤ 1+ dr n , де dr — стала, значення якої залежить від r . Нехай тепер, для визначеності, S2m−1, r + (t) > 0 , t ∈ xk−1r ; xkr( ) . Функція 1 δk wr, k δkt( ) також є функцією порівняння для S2m−1, r + на xk−1r ; xkr( ) (див. [2], зауваження 5). Позна- чимо через ξk точку максимуму 1 δk wr,k δkt( ) на xkr − 1 δk ν xk, * r( ) ; xkr⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ . Тоді функція wr, kδ (t) = 1 δk wr, k δkt − ξk + xkr−1( ) має максимум у точці xkr−1 , причому wr, kδ xkr−1( ) = max xk−1r ≤t≤xkr S2m−1, r + (t) = S2m−1, r + xkr−1( ) . (13) Нехай ще βkr = xkr − ξk + xkr−1 , αk r = βkr − 1 δk ν xk, * r( ) — нулі функції wr,kδ t( ) . Тоді, згід- но з (13) і визначенням функції порівняння, проміжок αk r ; βkr( ) (півперіод функції порівнян- ня) повністю лежить у xk−1r ; xkr( ) ; окрім того, 0 < wr, kδ (t) ≤ S2m−1, r + (t) , t ∈ αk r ; βkr( ) . Отже, 226 В. В. СЄДУНОВА ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 xk−1r xkr ∫ S2m−1, r + (t) dt ≥ αk r βkr ∫ wr, kδ (t) dt = 1 δk 0 1 δk ν xk , * r( ) ∫ Cr, xk−1r ϕr, xk , * r δkt( ) dt = = 1 δk 0 1 δk ν xk , * r( ) ∫ 1+ 2Cr n 1− xk−1r( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ Dr nδkt 1− xk, * r( )2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ n 1− xk, * r( )2 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ r dt = = 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nrδk2 1− xk, * r( )2 n 1+ 2Cr n 1− xk−1r( )2( ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ 0 π ∫ Dr (t) dt > > 1− xk, * r( )2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ r nr 1+ dr n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 2 n +1 πn π n +1 sin kπ n +1 1+ 2Cr n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 0 π ∫ Dr (t) dt ≥ ≥ Br (⋅) [0;2π] πnr 1− xk−10( )2( ) r 2 ∆ x,k 1− 2dr n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ . Таким чином, S2m−1, r + 1 ≥ 2 k=k0 m−r+1[ ] ∑ αk r βkr ∫ wr, kδ (t) dt > > Br (⋅) [0;2π] πnr 2 k=k0 m−r+1[ ] ∑ 1− xk0( )2( ) r 2 ∆ x, k 1− 2dr n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ≥ ≥ Br (⋅) [0;2π] πnr −1 1 ∫ 1− t 2( ) r 2 dt 1− 2dr n ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ . Враховуючи (2), отримуємо нерівність (4) для випадку непарного n . Якщо n є пар- ним, то НАЙКРАЩЕ ОДНОСТОРОННЄ НАБЛИЖЕННЯ КЛАСУ ДИФЕРЕНЦІЙОВНИХ ФУНКЦІЙ … 227 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 E2m−2 − W∞ r( )1 ≥ E2m−1 − W∞ r( )1 ≥ ≥ Br (⋅) 0;2π[ ] π 2m −1( )r −1 1 ∫ 1− t 2( ) r 2 dt 1−O 1 2m −1 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ≥ ≥ Br (⋅) 0;2π[ ] π 2m − 2( )r −1 1 ∫ 1− t 2( ) r 2 dt 1−O 1 2m −1 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ 1− r2 2m −1( )2r ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = Br (⋅) 0;2π[ ] π 2m − 2( )r −1 1 ∫ 1− t 2( ) r 2 dt 1−O 1 2m − 2 ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ ⎛ ⎝ ⎞ ⎠ . Нерівність (4) доведено. Як було зазначено в п. 1, із (3) та (4) маємо рівність (1) для до- вільного n ∈N і непарного r > 1 . Література 1. Корнейчук Н. П., Лигун А. А., Доронин В. Г. Аппроксимация с ограничениями. – Киев: Наук. думка, 1984. – 250 с. 2. Моторный В. П., Моторная О. В. Теоремы сравнения для некоторых несимметричных классов функций // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 7. – С. 969 – 975. 3. Бабенко В. Ф., Кофанов В. А. Несимметричные приближения классов дифференцируемых функций алгебра- ическими многочленами в среднем // Anal. Math. – 1988. – 14. – P. 193 – 217. 4. Моторный В. П., Моторная О. В. Наилучшее приближение классов дифференцируемых функций алгебраи- ческими многочленами в среднем // Тр. Мат. ин-та РАН. – 1995. – 210. – С. 171 – 188. 5. Сеге Г. Ортогональные многочлены. – М.: Физматгиз, 1962. – 500 с. 6. Моторный В. П., Моторная О. В. Об одностороннем приближении усеченных степеней алгебраическими мно- гочленами в среднем // Тр. Мат. ин-та РАН. – 2005. – 248. – С. 185 – 193. Одержано 22.12.14, після доопрацювання — 07.12.16
id	umjimathkievua-article-1687
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian
last_indexed	2026-03-24T02:10:40Z
publishDate	2017
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/64/be42f31d7de1435b8704b842880fe164.pdf
spelling	umjimathkievua-article-16872019-12-05T09:23:56Z Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials Найкраще одностороннє наближення класу диференційовних функцій алгебраїчними поліномами в середньому Sedunova, V. V. Сєдунова, В. В. We establish the best asymptotic one-sided approximation on the average for $r$ -differentiable functions from the class $W_{∞}^r$ where r is even, by algebraic polynomials. Установлена асимптотически точная оценка наилучшего одностороннего приближения алгебраическими полинома- ми в среднем класса дифференцируемых функций $W_{∞}^ r$ для случая нечетного $r$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1687 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 215-227 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 215-227 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1687/669 Copyright (c) 2017 Sedunova V. V.
spellingShingle	Sedunova, V. V. Сєдунова, В. В. Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title	Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title_alt	Найкраще одностороннє наближення класу диференційовних функцій алгебраїчними поліномами в середньому
title_full	Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title_fullStr	Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title_full_unstemmed	Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title_short	Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
title_sort	best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1687
work_keys_str_mv	AT sedunovavv bestonesidedapproximationontheaveragefortheclassesofdifferentiablefunctionsbyalgebraicpolynomials AT sêdunovavv bestonesidedapproximationontheaveragefortheclassesofdifferentiablefunctionsbyalgebraicpolynomials AT sedunovavv najkraŝeodnostoronnênabližennâklasudiferencíjovnihfunkcíjalgebraíčnimipolínomamivserednʹomu AT sêdunovavv najkraŝeodnostoronnênabližennâklasudiferencíjovnihfunkcíjalgebraíčnimipolínomamivserednʹomu

Best one-sided approximation on the average for the classes of differentiable functions by algebraic polynomials

Репозитарії

Схожі ресурси