Estimates of the product of inner radii of five nonoverlapping domains
We study the extremal V. N. Dubinin problem in the geometric theory of functions of complex variables connected with the estimates of a functional defined on a system of nonoverlapping domains. A particular solution of this problem is obtained.
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1691 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507526989086720 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Dvorak, I. Ya. Zabolotnyi, Ya. V. Бахтін, О. К. Дворак, І. Я. Заболотний, Я. В. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Dvorak, I. Ya. Zabolotnyi, Ya. V. Бахтін, О. К. Дворак, І. Я. Заболотний, Я. В. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We study the extremal V. N. Dubinin problem in the geometric theory of functions of complex variables connected with the
estimates of a functional defined on a system of nonoverlapping domains. A particular solution of this problem is obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.5
О. К. Бахтiн, Я. В. Заболотний, I. Я. Дворак (Iн-т математики НАН України, Київ)
ОЦIНКИ ДОБУТКУ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ
П’ЯТИ ВЗАЄМНО НЕПЕРЕТИННИХ ОБЛАСТЕЙ
We study the extremal V. N. Dubinin problem in the geometric theory of functions of complex variables connected with the
estimates of a functional defined on a system of nonoverlapping domains. A particular solution of this problem is obtained.
Рассматривается экстремальная проблема В. Н. Дубинина в геометрической теории функций комплексной пере-
менной, связанная с оценкой некоторого функционала, заданного на системе неналегающих областей, и найдено ее
частное решение.
У геометричнiй теорiї функцiй комплексної змiнної значне мiсце займають екстремальнi задачi
на класах областей, що не перетинаються, або, iншими словами, задачi про екстремальне
розбиття. З iсторiєю розвитку даного напрямку можна ознайомитися, наприклад, в [1 – 4]. Було
отримано багато вагомих результатiв, але водночас значна кiлькiсть задач не розв’язана i досi.
Однiй iз таких задач i присвячено дану роботу. Дана задача була сформульована в роботi [1,
с. 68].
Нехай \BbbN , \BbbC — множини натуральних i комплексних чисел вiдповiдно, Gj — область в \BbbC ,
r(Gj , gj) — внутрiшнiй радiус областi Gj у точцi gj (див., наприклад, [1 – 4]).
Задача 1. Знайти максимум виразу
In(\gamma ) = r\gamma (G0, g0)
n\prod
k=1
r(Gk, gk), (1)
де G0, G1, G2, . . . ,Gn, n \geq 2, — попарно неперетиннi областi в \BbbC , g0 = 0, | gk| = 1, k = 1, n,
r(Gj , gj) — внутрiшнiй радiус областi Gj у точцi gj , gj \in Gj , j = 0, n i \gamma \leq n, i описати
екстремальнi конфiгурацiї областей.
У роботi [2] було розв’язано дану задачу при n \geq 2 i \gamma = 1. Л. В. Ковальов у 1996 р. в роботi
[5] отримав розв’язок задачi 1 при певних суттєвих обмеженнях на геометрiю розташування
систем точок на одиничному колi i при n \geq 5. У роботi [3] задачу 1 було розв’язано для \gamma > 1,
але починаючи з деякого, заздалегiдь невiдомого номера n.
Зауважимо, що випадки n = 2, 3, 4 при \gamma > 1 є одними з найскладнiших у данiй проблемi.
Деякi конкретнi результати при даних значеннях n були отриманi в роботах [6, 7]. У статтi [8]
для випадку n = 4 було розповсюджено результат роботи [5] при \gamma \in (1; 4]. Однак найкращим
результатом при n = 4 без додаткових умов на розташування точок gk при k = 1, 4 на момент
написання даної роботи була теорема 2 з роботи [6], де задачу 1 було розв’язано для \gamma \in (1; 1, 7].
Вивченню випадку n = 4 i присвячено дану роботу.
Зауважимо, що для опису екстремальних конфiгурацiй областей ми будемо використовувати
квадратичний диференцiал (див., наприклад, [3, с. 63 – 70]).
У данiй роботi встановлено такi результати.
c\bigcirc О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, I. Я. ДВОРАК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 261
262 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, I. Я. ДВОРАК
Теорема 1. Для n = 4 i \gamma \in (1; 2, 09] виконується нерiвнiсть
r\gamma (G0, g0)
4\prod
k=1
r(Gk, gk) \leq r\gamma (D0, 0)
4\prod
k=1
r(Dk, dk),
причому dk = (i)k - 1, 0 \in D0, dk \in Dk, k = 1, 4, де Dk, dk — вiдповiдно круговi областi i
полюси квадратичного диференцiала
Q(w)dw2 = - (16 - \gamma )w4 + \gamma
w2(w4 - 1)2
dw2.
Теорема 2. Для n = 4 i довiльного 2, 09 < \gamma \leq 4 при додатковiй умовi r(G0, g0) \leq 1
2
виконується нерiвнiсть
I4(\gamma ) <
\Bigl( \gamma
4
\Bigr) \gamma
4
\Bigl(
1 - \gamma
16
\Bigr) 4+\gamma
4
\left( 1 -
\surd
\gamma
4
1 +
\surd
\gamma
4
\right)
2
\surd
\gamma
. (2)
Зауважимо, що теорема 2 доповнює теорему 1, але на значно вужчому класi областей.
Доведення теореми 1 розiб’ємо на 2 частини.
1. Випадок \gamma \in (1, 7; 2]. Для \gamma = 1 задачу повнiстю розв’язано в роботi [2]. З методу цiєї
роботи також випливає, що цей результат є правильним i для 0 < \gamma < 1. В роботi [6] задачу
розв’язано для \gamma \in (1; 1, 7].
Згiдно з умовою задачi, g0 = 0, | gk| = 1, k = 1, 4. Припустимо для конкретностi, що
0 = \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g1 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g2 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g3 < \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g4 < 2\pi .
Далi, означимо числа \alpha k таким чином:
\alpha 1 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g2 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g1), \alpha 2 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g3 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g2),
\alpha 3 :=
1
\pi
(\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g4 - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g3), \alpha 4 :=
1
\pi
(2\pi - \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} g4).
Доведемо, що областi, якi можуть бути екстремальними, задовольняють умову \alpha 0 \leq 2
\surd
\gamma
,
де \alpha 0 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x} \{ \alpha k\} , k = 1, 4. Припустимо протилежне, а саме \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
. Обчислимо значення
функцiонала
I04 (\gamma ) = r\gamma (D0, d0)
4\prod
k=1
r(Dk, dk).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦIНКИ ДОБУТКУ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ П’ЯТИ ВЗАЄМНО НЕПЕРЕТИННИХ ОБЛАСТЕЙ 263
Згiдно з теоремою 5.2.3 з роботи [3],
I0n(\gamma ) =
\biggl(
4
n
\biggr) n
\biggl(
4\gamma
n2
\biggr) \gamma
n
\Bigl(
1 - \gamma
n2
\Bigr) n+ \gamma
n
\left( 1 -
\surd
\gamma
n
1 +
\surd
\gamma
n
\right)
2
\surd
\gamma
.
Врахувавши, що n = 4, отримаємо
I04 (\gamma ) =
\Bigl( \gamma
4
\Bigr) \gamma
4
\Bigl(
1 - \gamma
16
\Bigr) 4+\gamma
4
\left( 1 -
\surd
\gamma
4
1 +
\surd
\gamma
4
\right)
2
\surd
\gamma
. (3)
Виконаємо в (1) такi перетворення:
I4(\gamma ) = r\gamma (G0, g0)
4\prod
k=1
r(Gk, gk) =
=
\Biggl(
4\prod
k=1
(r(G0, g0)r(Gk, gk)r(Gk+1, gk+1))
\Biggr) \gamma
4
\Biggl(
4\prod
k=1
r(Gk, gk)
\Biggr) 1 - \gamma
2
,
де G5 = G1, g5 = g1.
Згiдно з теоремою Голузiна [9, c. 165], виконуються нерiвностi
r(G0, g0)r(Gk, gk)r(Gk+1, gk+1) \leq
64
81
\surd
3
| gk - g0| | gk+1 - g0| | gk+1 - gk| =
=
64
81
\surd
3
| gk+1 - gk|
для кожного k = 1, 4. Звiдси отримуємо
4\prod
k=1
(r(G0, g0)r(Gk, gk)r(Gk+1, gk+1))
\gamma
4 \leq
\leq
\biggl(
64
81
\surd
3
\biggr) \gamma
(| g2 - g1| | g3 - g2| | g4 - g3| | g1 - g4| )
\gamma
4 .
Враховуючи, що \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
, i дослiджуючи добуток (| g2 - g1| | g3 - g2| | g4 - g3| | g1 - g4| ) на
екстремум при данiй умовi на \alpha 0, переконуємося, що його максимальне значення досягається
у випадку, коли
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
264 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, I. Я. ДВОРАК
| g2 - g1| = | g3 - g2| = | g4 - g3| = 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl(
1 - 1
\surd
\gamma
\biggr)
\pi
3
.
Тодi | g1 - g4| = 2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi
\biggl(
1 - 1
\surd
\gamma
\biggr)
.
Нехай \pi
\biggl(
1 - 1
\surd
\gamma
\biggr)
= \mu (\gamma ). У цьому випадку маємо
4\prod
k=1
(r\gamma (G0, g0)r(Gk, gk)r(Gk+1, gk+1))
\gamma
4 \leq
\leq
\biggl(
128
81
\surd
3
\biggr) \gamma \biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\biggr) \gamma
4
\leq
\leq (0, 912356)1,7
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\biggr) \gamma
4
.
Далi, згiдно з теоремою Кузьмiної [4, с. 25], отримуємо
4\prod
k=1
r(Gk, gk) \leq
9
4
8
3
(| g1 - g2| | g1 - g3| | g2 - g3| | g1 - g4| | g2 - g4| | g3 - g4| )
2
3 \leq
\leq 16
9
4
8
3
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
4
3
\biggl(
2\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2
3 \mu (\gamma ) < 1
для \gamma \in (1, 7; 2].
Пiдсумовуючи викладене, одержуємо
I4(\gamma ) \leq (0, 912356)1,7
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\biggr) \gamma
4
.
Для \gamma = 2 маємо I4(\gamma ) \leq 0, 126623. Водночас I04 (\gamma ) = 0, 15947244 при \gamma = 2 (див. (3)),
тобто I4(\gamma ) < I04 (\gamma ) при \gamma = 2. Якщо ж \gamma \in (1, 7; 2), то
(0, 912356)1,7
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\biggr) \gamma
4
< I4(2),
водночас I04 (\gamma ) > I04 (2), тобто I4(\gamma ) < I04 (\gamma ) для \gamma \in (1, 7; 2).
Таким чином, для \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
конфiгурацiї областей не можуть бути екстремальними.
Звiдси \alpha 0 \leq 2
\surd
\gamma
, i за теоремою 1 з роботи [8] екстремальною є конфiгурацiя, вказана в
умовi даної теореми. Для \gamma \in (1, 7; 2] теорему доведено.
2. Випадок \gamma \in (2; 2, 09]. Виконаємо такi перетворення:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦIНКИ ДОБУТКУ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ П’ЯТИ ВЗАЄМНО НЕПЕРЕТИННИХ ОБЛАСТЕЙ 265
I4(\gamma ) = r\gamma (G0, g0)
4\prod
k=1
r(Gk, gk) = r\gamma - 2(G0, g0)
\Biggl(
r2(G0, g0)
4\prod
k=1
r(Gk, gk)
\Biggr)
=
= r\gamma - 2(G0, g0)
\Biggl(
4\prod
k=1
(r(G0, g0)r(Gk, gk)r(Gk+1, gk+1))
\Biggr) 1
2
\leq
\leq r\gamma - 2(G0, g0)
\biggl(
64
81
\surd
3
\biggr) 2
(| g2 - g1| | g3 - g2| | g4 - g3| | g1 - g4| )
1
2 \leq
\leq r\gamma - 2(G0, g0)
\biggl(
128
81
\surd
3
\biggr) 2\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mu (\gamma )
\biggr) 1
2
.
Згiдно з лемою 1 iз роботи [6],
r(G0, g0) \leq (I04 (\gamma ))
1
\gamma - 4 .
Для \gamma = 2, 09 отримуємо
I4(\gamma ) \leq (I04 (2, 09))
1
2,09 - 4
\biggl(
128
81
\surd
3
\biggr) 2\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}3
\biggl( \biggl(
1 - 1\surd
2, 09
\biggr)
\pi
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\pi
\biggl(
1 - 1\surd
2, 09
\biggr) \biggr) 1
2
\leq
\leq 0, 147638.
Водночас I04 (2, 09) \approx 0, 150321, тобто для \gamma = 2, 09 виконується нерiвнiсть I4(\gamma ) < I04 (\gamma ).
Для \gamma \in (2; 2, 09) виконуються такi нерiвностi: I4(\gamma ) \leq I4(2, 09), I04 (2, 09) \leq I04 (\gamma ), тобто
I4(\gamma ) < I04 (\gamma ) для \gamma \in (2; 2, 09). Таким чином, для \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
конфiгурацiї областей не можуть
бути екстремальними.
Звiдси \alpha 0 \leq 2
\surd
\gamma
, i за теоремою 1 з роботи [8] екстремальною є конфiгурацiя, вказана в
умовi даної теореми. Для випадку \gamma \in (2; 2, 09] теорему доведено.
Таким чином, теорему 1 доведено повнiстю.
Доведення теореми 2. Зауважимо, що вираз, який мiститься у правiй частинi нерiвностi
(2), дорiвнює значенню функцiонала I04 (\gamma ).
За умовою
I4(\gamma ) = r\gamma (G0, g0)
4\prod
k=1
r(Gk, gk) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) \gamma 4\prod
k=1
r(Gk, gk) \leq
\leq
\biggl(
1
2
\biggr) \gamma 9
4
8
3
(| g1 - g2| | g1 - g3| | g2 - g3| | g1 - g4| | g2 - g4| | g3 - g4| )
2
3 .
Остання нерiвнiсть виконується за вищезгаданою теоремою Кузьмiної [4]. Далi, враховую-
чи, що \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
, i дослiджуючи останнiй вираз на екстремум при данiй умовi на \alpha 0, отримуємо
нерiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
266 О. К. БАХТIН, Я. В. ЗАБОЛОТНИЙ, I. Я. ДВОРАК
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) \gamma
16
9
4
8
3
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
4
3
\biggl(
2\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2
3 \mu (\gamma ).
Нехай 16
9
4
8
3
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2
\biggl(
\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
4
3
\biggl(
2\mu (\gamma )
3
\biggr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}
2
3 \mu (\gamma ) = \Phi (\gamma ). Розiб’ємо промiжок \gamma \in (2, 09; 4]
на кiлька менших промiжкiв.
Нехай спочатку \gamma \in (2, 09; 2, 8]. Тодi, враховуючи, що \Phi (\gamma ) зростає, одержуємо
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 2,09
\Phi (2, 8) = 0, 092058.
Водночас
I04 (2, 8) = 0, 097443,
тобто для \gamma \in (2, 09; 2, 8]
I4(\gamma ) < 0, 092058 < I04 (2, 8) < I04 (\gamma ),
а отже, для \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
i \gamma \in (2, 09; 2, 8] конфiгурацiї областей не можуть бути екстремальними.
Нехай тепер \gamma \in (2, 8; 3, 2]. Тодi
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 2,8
\Phi (3, 2) = 0, 074467 < 0, 078027 \approx I04 (3, 2),
тобто для \gamma \in (2, 8; 3, 2]
I4(\gamma ) < 0, 074467 < I04 (3, 2) < I04 (\gamma ),
а отже, для \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
i \gamma \in (2, 8; 3, 2] конфiгурацiї областей не можуть бути екстремальними.
Аналогiчно для \gamma \in (3, 2; 3, 5]
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 3,2
\Phi (3, 5) \approx 0, 065995 < 0, 066642 < I04 (3, 5) \leq I04 (\gamma ).
Для \gamma \in (3, 5; 3, 7]
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 3,5
\Phi (3, 7) \approx 0, 058435 < 0, 060225 < I04 (3, 7) \leq I04 (\gamma ).
Для \gamma \in (3, 7; 3, 85]
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 3,7
\Phi (3, 85) \approx 0, 053862 < 0, 05593 < I04 (3, 85) \leq I04 (\gamma ).
Для \gamma \in (3, 85; 4]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
ОЦIНКИ ДОБУТКУ ВНУТРIШНIХ РАДIУСIВ П’ЯТИ ВЗАЄМНО НЕПЕРЕТИННИХ ОБЛАСТЕЙ 267
I4(\gamma ) \leq
\biggl(
1
2
\biggr) 3,85
\Phi (4) \approx 0, 051116 < 0, 052025 < I04 (4) \leq I04 (\gamma ),
звiдки випливає, що для \gamma \in (2, 09; 4] i \alpha 0 >
2
\surd
\gamma
I4(\gamma ) < I04 (\gamma ) =
\Bigl( \gamma
4
\Bigr) \gamma
4
\Bigl(
1 - \gamma
16
\Bigr) 4+\gamma
4
\left( 1 -
\surd
\gamma
4
1 +
\surd
\gamma
4
\right)
2
\surd
\gamma
.
Звiдси \alpha 0 \leq 2
\surd
\gamma
i за теоремою 1 iз роботи [8] випливає нерiвнiсть, вказана в умовi даної
теореми.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Дубинин В. Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного // Успехи
мат. наук. – 1994. – 49, № 1(295). – С. 3 – 76.
2. Дубинин В. Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап. науч. сем.
Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48 – 66.
3. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73. – 308 с.
4. Кузьмина Г. В. Методы геометрической теории функций // Алгебра и анализ. – 1997. – 9, № 5. – С. 1 – 50.
5. Ковалев Л. В. К задаче об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности // Дальневост.
мат. сб. – 1996. – 2. – С. 96 – 98.
6. Заболотний Я. В. Про одну екстремальну задачу В. М. Дубiнiна // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 1. – С. 24 – 31.
7. Бахтiн О. К., Заболотний Я. В. Оцiнки добутку внутрiшнiх радiусiв трьох неперетинних областей // Доп.
НАН України. – 2013. – № 10. – С. 7 – 10.
8. Бахтин А. К., Денега И. В. Метод разделяющего преобразования в задачах о максимуме произведения степеней
внутренних радиусов неналегающих областей // Аналiз i застосування: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2012. – 9, № 2. – С. 32 – 44.
9. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1966. – 628 с.
Одержано 22.12.15
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1691 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:43Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a7/426eceaa0a235d517b298088db68e6a7.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16912019-12-05T09:23:56Z Estimates of the product of inner radii of five nonoverlapping domains Оцінки добутку внутрішніх радіусів п’яти взаємно неперетинних областей Bakhtin, A. K. Dvorak, I. Ya. Zabolotnyi, Ya. V. Бахтін, О. К. Дворак, І. Я. Заболотний, Я. В. We study the extremal V. N. Dubinin problem in the geometric theory of functions of complex variables connected with the estimates of a functional defined on a system of nonoverlapping domains. A particular solution of this problem is obtained. Рассматривается экстремальная проблема В. Н. Дубинина в геометрической теории функций комплексной переменной, связанная с оценкой некоторого функционала, заданного на системе неналегающих областей, и найдено ее частное решение. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1691 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 261-267 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 261-267 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1691/673 Copyright (c) 2017 Bakhtin A. K.; Dvorak I. Ya.; Zabolotnyi Ya. V. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Dvorak, I. Ya. Zabolotnyi, Ya. V. Бахтін, О. К. Дворак, І. Я. Заболотний, Я. В. Estimates of the product of inner radii of five nonoverlapping domains |
| title | Estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| title_alt | Оцінки добутку внутрішніх радіусів п’яти
взаємно неперетинних областей |
| title_full | Estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| title_fullStr | Estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| title_full_unstemmed | Estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| title_short | Estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| title_sort | estimates of the product of inner radii of five
nonoverlapping domains |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1691 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT dvorakiya estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT zabolotnyiyav estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT bahtínok estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT dvorakíâ estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT zabolotnijâv estimatesoftheproductofinnerradiioffivenonoverlappingdomains AT bakhtinak ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej AT dvorakiya ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej AT zabolotnyiyav ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej AT bahtínok ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej AT dvorakíâ ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej AT zabolotnijâv ocínkidobutkuvnutríšníhradíusívpâtivzaêmnoneperetinnihoblastej |