On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain
We study the problem of local behavior of mappings f : D \rightarrow R^n,\; n \geq 2,$ in $D$. Under certain conditions imposed on a measurable function $Q(x), Q : D \rightarrow [0,\infty ]$, and the boundaries of $D$ and $D\prime = f(D)$, we show that a family of open discrete mappings $f : D \...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1693 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507529083092992 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:23:56Z |
| description | We study the problem of local behavior of mappings f : D \rightarrow R^n,\; n \geq 2,$ in $D$. Under certain conditions imposed on a
measurable function $Q(x), Q : D \rightarrow [0,\infty ]$, and the boundaries of $D$ and $D\prime = f(D)$, we show that a family of open
discrete mappings $f : D \rightarrow R^n$ with a characteristic of quasiconformality $Q(x)$ is equicontinuous in $D$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Житомир. гос. ун-т им. И. Франко)
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ
С ВЕТВЛЕНИЕМ В ЗАМЫКАНИИ ОБЛАСТИ
We study the problem of local behavior of mappings f : D \rightarrow \BbbR n, n \geq 2, in D. Under certain conditions imposed on a
measurable function Q(x), Q : D \rightarrow [0,\infty ], and the boundaries of D and D \prime = f(D), we show that a family of open
discrete mappings f : D \rightarrow \BbbR n with a characteristic of quasiconformality Q(x) is equicontinuous in D.
Вивчається питання про локальну поведiнку вiдображень f : D \rightarrow \BbbR n, n \geq 2, у замиканнi областi D. За певних
умов на вимiрну функцiю Q(x), Q : D \rightarrow [0,\infty ], i межi областей D i D \prime = f(D) показано, що сiм’я вiдкритих
дискретних вiдображень f : D \rightarrow \BbbR n, якi мають характеристику квазiконформностi Q(x), одностайно неперервна
в D.
1. Введение. Основные определения и обозначения, встречающиеся в тексте, но не приведен-
ные ниже, могут быть найдены в монографиях [1, 2].
В работе [3] было установлено свойство равностепенной непрерывности одного семейства
пространственных отображений с неограниченной характеристикой в предположении, что все
отображения рассматриваемого класса являются гомеоморфизмами. Здесь речь идет о равно-
степенной непрерывности в замыкании D области D \subset \BbbR n, n \geq 2, а не только во внутренних
точках. (По этому поводу см. также классический результат Някки и Палка для квазиконформ-
ных отображений [4].) В настоящей статье будет показано, что предположение гомеоморф-
ности отображений в [3] может быть ослаблено до условий открытости и дискретности, при
этом необходимо требовать условие замкнутости, эквивалентное свойству сохранения границы
(см. [5], теорема 3.3, а также [6] и [7], лемма 1.4.7), условие, заключающееся в следующем:
существует континуум K \subset D \prime = f(D) такой, что h(f - 1(K), \partial D) \geq \delta > 0 для некоторого
\delta > 0 и всех отображений f из рассматриваемого семейства (здесь и далее h — хордальное
расстояние в \BbbR n, см. раздел 12 в [8]).
Приведем теперь некоторые вспомогательные сведения, включая формулировку основных
результатов. Здесь и далее
A(x0, r1, r2) :=
\bigl\{
x \in \BbbR n : r1 < | x - x0| < r2
\bigr\}
, (1)
а Mp(\Gamma ) — p-модуль семейства кривых \Gamma . Введем в рассмотрение следующее понятие (см. [1],
раздел 7.6, гл. 7). Пусть p \geq 1 и Q : \BbbR n \rightarrow [0,\infty ] — измеримая по Лебегу функция, Q(x) \equiv 0 при
всех x \not \in D. Говорят, что отображение f : D \rightarrow \BbbR n есть кольцевое Q-отображение в точке
x0 \in D относительно p-модуля, x0 \not = \infty , если для некоторого r0 = r(x0), произвольного
сферического кольца (1) и любых континуумов E1 \subset B(x0, r1)\cap D, E2 \subset
\bigl(
\BbbR n \setminus B(x0, r2)
\bigr)
\cap D
отображение f удовлетворяет соотношению
Mp
\bigl(
f
\bigl(
\Gamma (E1, E2, D)
\bigr) \bigr)
\leq
\int
A
Q(x)\eta p
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) (2)
для каждой измеримой функции \eta : (r1, r2) \rightarrow [0,\infty ] такой, что
c\bigcirc Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2 273
274 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
r2\int
r1
\eta (r) dr \geq 1. (3)
В точке x0 = \infty данное определение можно переформулировать с помощью инверсии \varphi (x) =
=
x
| x| 2
, \infty \mapsto \rightarrow 0. Если p = n, то M(\Gamma ) := Mn(\Gamma ) и f, удовлетворяющее (2), называется
кольцевым Q-отображением в точке x0.
Определение сильно достижимой границы области D \subset \BbbR n, используемое ниже, может
быть найдено в [1] (раздел 3.8), а понятия, связанные с регулярностью метрического простран-
ства по Альфорсу и (1; p)-неравенством Пуанкаре, приведены в монографии [9]. Для p \geq 1,
фиксированных областей D \subset \BbbR n и D \prime в \BbbR n, n \geq 2, континуума K \subset D \prime и числа \delta > 0 обозна-
чим через \frakF Q,\delta ,K,p(D,D
\prime ) семейство всех открытых дискретных кольцевых Q-отображений f :
D \rightarrow D \prime в D \prime относительно p-модуля таких, что f(D) = D \prime и h(f - 1(K), \partial D) \geq \delta > 0.
Полагаем qx0(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - x0| =r
Q(x) dS, где dS — элемент площади поверхнос-
ти S, и q \prime b(r) :=
1
\omega n - 1rn - 1
\int
| x - b| =r
Q \prime (x) dS, Q \prime (x) = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ Q(x), 1\} . Справедливы следующие
утверждения.
Теорема 1. Предположим, что область D локально связна в каждой точке b \in \partial D,
C(f, \partial D) \subset D \prime для каждого f \in \frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) и область D \prime имеет сильно достижи-
мую границу. Если функция Q имеет конечное среднее колебание в D либо в каждой точке
x0 \in D при некотором \delta (x0) > 0 выполнено условие
\int \delta (x0)
0
dt
tq
\prime 1
n - 1
x0 (t)
= \infty , то каждое из
отображений f \in \frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) имеет непрерывное продолжение в D. Если, кроме того,
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} (\BbbR n \setminus D \prime ) > 0, то семейство \frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ), состоящее из всех таким образом продол-
женных отображений f : D \rightarrow D \prime , является равностепенно непрерывным в D.
Теорема 2. Предположим, что n - 1 < p \leq n, область D локально связна в каждой точке
b \in \partial D, C(f, \partial D) \subset D \prime для каждого f \in \frakF Q,\delta ,K,p(D,D
\prime ) и область D \prime \subset \BbbR n ограничена
и является n-регулярным по Альфорсу пространством относительно евклидовой метрики
и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Если функция Q
имеет конечное среднее колебание в D либо в каждой точке x0 \in D при некотором \delta (x0) > 0
выполнено условие
\int \delta (x0)
0
dt
t
n - 1
p - 1 q
\prime 1
p - 1
x0 (t)
= \infty , то каждое из отображений f \in \frakF Q,\delta ,K,p(D,D
\prime )
имеет непрерывное продолжение в D и семейство \frakF Q,\delta ,K,p(D,D
\prime ), состоящее из всех таким
образом продолженных отображений f : D \rightarrow D \prime , является равностепенно непрерывным
в D.
2. Формулировки и доказательства основных лемм. Аналог следующего утверждения
при p = n установлен в [10] (лемма 1). Ниже мы сформулируем это утверждение при несколько
иных условиях, связанных с регулярностью по Альфорсу и неравенством типа Пуанкаре.
Лемма 1. Пусть n - 1 < p \leq n, f : D \rightarrow \BbbR n — открытое дискретное кольцевое Q-
отображение в точке b \in \partial D относительно p-модуля, f(D) = D \prime , область D локально
связна в точке b, C(f, \partial D) \subset \partial D \prime , область D \prime ограничена и является n-регулярным по
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С ВЕТВЛЕНИЕМ . . . 275
Альфорсу пространством относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором
выполнено (1; p)-неравенство Пуанкаре. Предположим, что найдутся \varepsilon 0 > 0 и некоторая
неотрицательная измеримая по Лебегу функция \psi (t), \psi : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ], такая, что для всех
\varepsilon \in (0, \varepsilon 0)
I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\varepsilon 0\int
\varepsilon
\psi (t)dt <\infty , I(\varepsilon , \varepsilon 0) \rightarrow \infty при \varepsilon \rightarrow 0 (4)
и
\int
A(b,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi p(| x - b| ) dm(x) = o(Ip(\varepsilon , \varepsilon 0)) при \varepsilon \rightarrow 0, где A := A(b, \varepsilon , \varepsilon 0) определено
в (1). Тогда C(f, b) = \{ y\} .
Доказательство. Поскольку область D \prime ограничена и является n-регулярным по Альфор-
су пространством относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено
(1; p)-неравенство Пуанкаре, то в силу предложения 4.7 [11]
Mp(\Gamma (C
\prime
0, F,D
\prime )) \geq 1
C
\delta
R1+p - n
> 0 , (5)
где R > 0 таково, что D \prime \subset B(x0, R), x0 — некоторая фиксированная точка области D \prime ,
а F и C \prime
0 — произвольные фиксированные континуумы в D \prime , диаметры которых не мень-
ше \delta . Условие (5) подменяет при p \not = n требование сильной достижимости границы области,
которое используется в доказательстве леммы 1 в [10]. Дальнейшие рассуждения повторяют
доказательство указанной леммы.
Для доказательства теорем 1 и 2 необходимы два следующих утверждения.
Лемма 2. Предположим, что область D локально связна в каждой точке b \in \partial D,
C(f, \partial D) \subset D \prime для каждого f \in \frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ), а область D \prime имеет сильно достижи-
мую границу. Предположим также, что для каждой точки x0 \in D найдутся \varepsilon 0 = \varepsilon 0(x0) > 0
и измеримая по Лебегу функция \psi (t) : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством: для любого
\varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие (4) и, кроме того,\int
A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi n(| x - x0| ) dm(x) = o(In(\varepsilon , \varepsilon 0)) при \varepsilon \rightarrow 0, (6)
где сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено, как в (1). Тогда каждое отображение
\frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) продолжается до непрерывного отображения f : D \rightarrow D \prime . Если, кроме того,
\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{p} (\BbbR n \setminus D \prime ) > 0, то семейство \frakF Q,\delta ,K,n(D,D \prime ), состоящее из всех таким образом продол-
женных отображений f : D \rightarrow D \prime , является равностепенно непрерывным в D.
Доказательство. Равностепенная непрерывность внутри области D следует из леммы 3.6.1
[2], а возможность продолжения каждого элемента f семейства отображений
\frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) до непрерывного отображения в замыкании D — из леммы 1 [10].
Осталось показать, что семейство \frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) (обозначения не меняем) равностепенно
непрерывно в точках \partial D. Предположим противное, тогда найдутся x0 \in \partial D и число a > 0
такое, что для каждого m = 1, 2, . . . существуют точка xm \in D и элемент fm семейства
\frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) такие, что | x0 - xm| < 1/m и
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
276 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
h
\bigl(
fm(xm), fm(x0)
\bigr)
\geq a. (7)
Можно считать, что x0 \not = \infty . В виду возможности непрерывного продолжения каждого fm на
границу D можем считать, что xm \in D.
В силу локальной связности области D в точке x0 найдется последовательность окрест-
ностей Vm точки x0 с \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}Vm \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty такая, что множества D \cap Vm являются
областями и xm \in D\cap Vm. Поскольку граничные точки области, локально связной на границе,
являются достижимыми из D некоторым локально спрямляемым путем (см. [1], предложе-
ние 13.2), мы можем соединить точки xm и x0 непрерывной кривой \gamma m(t) : [0, 1] \rightarrow \BbbR n такой,
что \gamma m(0) = x0, \gamma m(1) = xm и \gamma m(t) \in Vm при t \in (0, 1). Обозначим через Cm образ кривой
\gamma m(t) при отображении fm. Из соотношения (7) следует, что
h(Cm) \geq a \forall m \in \BbbN , (8)
где h — хордальный диаметр множества. Поскольку fm сохраняет границу, точка fm(x0) при-
надлежит \partial D \prime . Далее, так как \BbbR n компактно, не ограничивая общности можно считать, что
последовательность fm(x0) сходится к некоторой точке y0 \in \partial D \prime при m \rightarrow \infty . Заметим,
что если E — компакт из определения сильно достижимой границы области D \prime , то вместо
него можно использовать произвольный континуум из D \prime (см. [3], лемма 4.1). Таким образом,
согласно определению сильно достижимой границы в точке y0 и условию (8) найдется b > 0
такое, что
M
\bigl(
\Gamma (K,Cm, D
\prime )
\bigr)
\geq b \forall m \in \BbbN . (9)
С другой стороны, рассмотрим семейство \Gamma 1
m, состоящее из всех максимальных поднятий \alpha :
[0, c) \rightarrow D семейства \Gamma m := \Gamma (K,Cm, D
\prime ) при отображении fm с началом в | \gamma m| =
\bigl\{
x \in
D : \exists t : \gamma m(t) = x
\bigr\}
. Поскольку все отображения fm являются открытыми и дискретными
и, кроме того, C(fm, \partial D) \subset \partial D \prime при каждом m \in \BbbN , указанное семейство максимальных
поднятий существует и \Gamma 1
m \subset \Gamma (| \gamma m| , f - 1
m (K), D) (см., например, лемму 3.7 в [5]). Поскольку
при каждом фиксированном m \in \BbbN множество | \gamma m| принадлежит окрестности Vm точки x0, где
\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{m}Vm \rightarrow 0 при m\rightarrow \infty , для последовательности \varepsilon k =
1
2k
найдется подпоследовательность
номеров mk, k = 1, 2, . . . , таких, что \gamma mk
\subset B
\Bigl(
x0,
1
2k
\Bigr)
. Заметим, что вследствие компактности
пространства \BbbR n при каждом фиксированном \delta > 0 множество C\delta := \{ x \in D : h(x, \partial D) \geq \delta \}
является компактом в D и f - 1
mk
(K) \subset C\delta при некотором \delta > 0 и всех натуральных k. В силу
леммы 1 [12] множество C\delta можно вложить в континуум E\delta , лежащий в области D, при этом
можно считать, что \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t} (x0, E\delta ) \geq \varepsilon 0 за счет уменьшения \varepsilon 0, если это необходимо. Тогда на
основании (2)
M
\bigl(
fmk
(\Gamma 1
mk
)
\bigr)
\leq M
\bigl(
fmk
(\Gamma (| \gamma mk
| , E\delta , D))
\bigr)
\leq
\int
A
\bigl(
x0,
1
2k
,\varepsilon 0
\bigr) Q(x)\eta n
\bigl(
| x - x0|
\bigr)
dm(x) (10)
для каждой измеримой функции \eta :
\Bigl( 1
2k
, \varepsilon 0
\Bigr)
\rightarrow [0,\infty ] такой, что
\int \varepsilon 0
1
2k
\eta (r)dr \geq 1. Заметим, что
функция
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
О РАВНОСТЕПЕННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ С ВЕТВЛЕНИЕМ . . . 277
\eta (t) =
\left\{ \psi (t)/I(2
- k, \varepsilon 0), t \in (2 - k, \varepsilon 0),
0, t \in \BbbR \setminus (2 - k, \varepsilon 0) ,
где I(\varepsilon , \varepsilon 0) :=
\int \varepsilon 0
\varepsilon
\psi (t)dt, удовлетворяет условию нормировки вида (3) при r1 := 2 - k, r2 := \varepsilon 0,
поэтому из условий (6) и (10) следует, что
M
\bigl(
fmk
(\Gamma 1
mk
)
\bigr)
\leq \alpha (2 - k) \rightarrow 0 (11)
при k \rightarrow \infty , где \alpha (\varepsilon ) — некоторая неотрицательная функция, стремящаяся к нулю при \varepsilon \rightarrow 0,
которая существует в силу условия (6). Заметим, кроме того, что fmk
(\Gamma 1
mk
) > \Gamma mk
и одновре-
менно fmk
(\Gamma 1
mk
) \subset \Gamma mk
, так что в силу теоремы 6.2, 6.4 [8]
M(fmk
(\Gamma 1
mk
)) =M(\Gamma mk
). (12)
Однако соотношения (11) и (12) в совокупности противоречат (9). Полученное противоречие
указывает на то, что предположение (7) было неверным, и, значит, семейство отображений
\frakF Q,\delta ,K,n(D,D
\prime ) равностепенно непрерывно в каждой точке x0 \in \partial D.
Лемма 3. Предположим, что n - 1 < p \leq n, область D локально связна в каждой точке
b \in \partial D, а область D \prime \subset \BbbR n ограничена и является n-регулярным по Альфорсу простран-
ством относительно евклидовой метрики и меры Лебега в \BbbR n, в котором выполнено (1; p)-
неравенство Пуанкаре. Предположим также, что для каждой точки x0 \in D найдутся \varepsilon 0 =
= \varepsilon 0(x0) > 0 и измеримая по Лебегу функция \psi (t) : (0, \varepsilon 0) \rightarrow [0,\infty ] со следующим свойством:
для любого \varepsilon \in (0, \varepsilon 0) выполнено условие (4) и, кроме того,
\int
A(x0,\varepsilon ,\varepsilon 0)
Q(x)\psi p(| x - x0| ) dm(x) =
= o
\bigl(
Ip(\varepsilon , \varepsilon 0)
\bigr)
при \varepsilon \rightarrow 0, где, как обычно, сферическое кольцо A(x0, \varepsilon , \varepsilon 0) определено, как в (1).
Тогда каждое отображение \frakF Q,\delta ,K,p(D,D
\prime ) продолжается до непрерывного отображения f :
D \rightarrow D \prime и семейство \frakF Q,\delta ,K,p(D,D \prime ), состоящее из всех таким образом продолженных отоб-
ражений f : D \rightarrow D \prime , является равностепенно непрерывным в D.
Доказательство. Схема доказательства полностью аналогична схеме доказательства лем-
мы 2. Условие типа (9) при p \not = n обеспечивается соответствующей оценкой снизу для p-
модуля, которая имеет место в силу предложения 4.7 [11]. Дальнейшее доказательство иден-
тично доказательству леммы 2.
3. Доказательство основных результатов. Утверждения теорем 1 и 2 непосредственно
следуют из лемм 2, 3 и леммы 3.1 [13] (см. детали доказательства теоремы 4.2 в [13], а также
лемму 2.3.1 в [2]).
4. Несколько замечаний о точности условий. Ограничимся для простоты случаем p = n.
Прежде всего заметим, что в лемме 2 и теореме 1 нельзя, вообще говоря, отказаться от условия
наличия такого континуума K, что h
\bigl(
f - 1(K), \partial D
\bigr)
\geq \delta > 0, как показывает простой пример
семейства отображений f(z) = zn, D = B(0, 1) \subset \BbbC . Здесь указанное семейство отображений
является равностепенно непрерывным в D, но не является равностепенно непрерывным в D,
так как оно не является нормальным в этой замкнутой области. Несколько сложнее постро-
ить пример семейства \{ \frakF \} кольцевых Q-отображений, являющихся открытыми, дискретными,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
278 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
удовлетворяющими условию C(f, \partial D) \subset \partial D \prime для каждого f \in \{ \frakF \} , удовлетворяющих усло-
вию h
\bigl(
f - 1(K), \partial D
\bigr)
\geq \delta > 0 для некоторого континуума K и числа \delta > 0, но при этом не
являющегося равностепенно непрерывным. Такой пример построен в пункте 3.10 моногра-
фии [2] (см. теорему 3.10.1).
Литература
1. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer Sci. +
Business Media, LLC, 2009.
2. Севостьянов Е. А. Исследование пространственных отображений геометрическим методом. – Киев: Наук.
думка, 2014.
3. Севостьянов Е. А. О равностепенной непрерывности гомеоморфизмов с неограниченной характеристикой //
Мат. труды. – 2012. – 15, № 1. – С. 178 – 204.
4. Näkki R., Palka B. Uniform equicontinuity of quasiconformal mappings // Proc. Amer. Math. Soc. – 1973. – 37,
№ 2. – P. 427 – 433.
5. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n-space // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A 1. Math. Dissertationes. – 1976. – 11. – P. 1 – 44.
6. Зелинский Ю. Б. Некоторые критерии гомеоморфизма при отображении областей евклидова пространства //
Тр. VIII лет. мат. школы. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1971. – С. 194 – 211.
7. Бахтин А. К., Бахтина Г. П., Зелинский Ю. Б. Тополого-алгебраические структуры и геометрические методы
в комплексном анализе // Працi Iн-ту математики НАН України. – 2008. – 73.
8. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. – 229.
9. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. – New York: Springer Sci.+Business Media, 2001.
10. Севостьянов Е. А. О граничном поведении открытых дискретных отображений с неограниченной характерис-
тикой // Укр. мат. журн. – 2012. – 64, № 6. – С. 855 – 859.
11. Adamowicz T., Shanmugalingam N. Non-conformal Loewner type estimates for modulus of curve families // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Math. – 2010. – 35. – P. 609 – 626.
12. Смоловая Е. С. Граничное поведение кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах // Укр. мат.
журн. – 2010. – 62, № 5. – С. 682 – 689.
13. Golberg A., Salimov R., Sevost’yanov E. Singularities of discrete open mappings with controlled p-module // J. Anal.
Math. – 2015. – 127. – P. 303 – 328.
Получено 17.02.16,
после доработки — 17.05.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-1693 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:45Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/15/ec0deb25d9c211eacddd071e3e923c15.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16932019-12-05T09:23:56Z On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain О равностепенной непрерывности отображений с ветвлением в замыкании области Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. We study the problem of local behavior of mappings f : D \rightarrow R^n,\; n \geq 2,$ in $D$. Under certain conditions imposed on a measurable function $Q(x), Q : D \rightarrow [0,\infty ]$, and the boundaries of $D$ and $D\prime = f(D)$, we show that a family of open discrete mappings $f : D \rightarrow R^n$ with a characteristic of quasiconformality $Q(x)$ is equicontinuous in $D$. Вивчається питання про локальну поведiнку вiдображень $f : D \rightarrow R^n,\; n \geq 2$, у замиканнi областi $D$. За певних умов на вимiрну функцiю $Q(x),\ Q: D \rightarrow [0,\infty ]$, i межi областей $D$ i $D\prime = f(D)$ показано, що сiм’я вiдкритих дискретних вiдображень $f : D \rightarrow R^n$, якi мають характеристику квазiконформностi $Q(x)$, одностайно неперервна в $D$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1693 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 2 (2017); 273-279 Український математичний журнал; Том 69 № 2 (2017); 273-279 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1693/675 Copyright (c) 2017 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title | On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title_alt | О равностепенной непрерывности отображений с ветвлением в замыкании области |
| title_full | On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title_fullStr | On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title_full_unstemmed | On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title_short | On the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| title_sort | on the equicontinuity of mappings with branching in the closure of the domain |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1693 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ontheequicontinuityofmappingswithbranchingintheclosureofthedomain AT sevostʹânovea ontheequicontinuityofmappingswithbranchingintheclosureofthedomain AT sevostʹânovea ontheequicontinuityofmappingswithbranchingintheclosureofthedomain AT sevost039yanovea oravnostepennojnepreryvnostiotobraženijsvetvleniemvzamykaniioblasti AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostiotobraženijsvetvleniemvzamykaniioblasti AT sevostʹânovea oravnostepennojnepreryvnostiotobraženijsvetvleniemvzamykaniioblasti |