On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$
The description of the total moduli of continuity of $2\pi$ -periodic functions of two variables are obtained in the space $L_{2,2}$. The proposed description can be regarded as an extension of the famous results by O. V. Besov, S. B. Stechkin, V. A.Yudin on the moduli of continuity in $L_{2}$ in th...
Збережено в:
| Дата: | 2017 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1697 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507536389570560 |
|---|---|
| author | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_facet | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. |
| author_sort | Vakarchuk, M. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | The description of the total moduli of continuity of $2\pi$ -periodic functions of two variables are obtained in the space $L_{2,2}$.
The proposed description can be regarded as an extension of the famous results by O. V. Besov, S. B. Stechkin, V. A.Yudin
on the moduli of continuity in $L_{2}$ in the two-dimensional case. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
С. Б. Вакарчук (Днепропетр. ун-т им. А. Нобеля),
М. Б. Вакарчук (Днепропетр. нац. ун-т им. О. Гончара)
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ \bftwo \bfitpi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ \bfitL \bftwo ,\bftwo
The description of the total moduli of continuity of 2\pi -periodic functions of two variables are obtained in the space L2,2.
The proposed description can be regarded as an extension of the famous results by O. V. Besov, S. B. Stechkin, V. A. Yudin
on the moduli of continuity in L2 in the two-dimensional case.
Наведено опис повних модулiв неперервностi 2\pi -перiодичних функцiй двох змiнних у просторi L2,2, який можна
розглядати як поширення вiдомих результатiв О. В. Бєсова, С. Б. Стєчкiна, В. А. Юдiна про модулi неперервностi
в L2 на двовимiрний випадок.
1. Введение. Пусть функция f является непрерывной на отрезке [a, b], где a, b — конеч-
ные числа, т. е. принадлежит пространству C([a, b]). Ее модуль непрерывности определяется
формулой
\omega (f, t)C([a,b]) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| f(x1) - f(x2)| : x1, x2 \in [a, b], | x1 - x2| \leq t
\bigr\}
, t \in [0, b - a], (1.1)
и удовлетворяет следующим свойствам [1]: \omega (f, 0)C([a,b]) = 0; функция (1.1) не убывает вмес-
те с t; \omega (f, t1 + t2)C([a,b]) \leq \omega (f, t1)C([a,b]) + \omega (f, t2)C([a,b]), т. е. модуль непрерывности (1.1)
является полуаддитивной функцией; \omega (f, t)C([a,b]) \in C([0, b - a]).
Перечисленные свойства полностью характеризуют произвольную функцию \omega (t), обладаю-
щую ими, как модуль непрерывности. При этом \omega (\omega , t)C([a,b]) = \omega (t) [2]. Указанное свойство
позволило получить описание модулей непрерывности в C([a, b]).
Пусть X — пространство C или Lq, 1 \leq q < \infty , 2\pi -периодических функций с соответствую-
щей метрикой. Тогда под модулем непрерывности произвольного элемента f в пространстве X
понимают функцию
\omega (f, t)X := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(\cdot + h) - f(\cdot )\| X : | h| \leq t
\bigr\}
, t \geq 0. (1.2)
Отметим, что характеристика гладкости (1.2) имеет те же свойства, что и модуль непрерывнос-
ти (1.1), однако в 2\pi -периодическом случае \omega (f, t)X = \omega (f, \pi )X при t \geq \pi [3]. Напомним, что
описание модулей непрерывности для пространства C было дано Лебегом [4].
О. В. Бесов и С. Б. Стечкин в работе [5] дали описание модулей непрерывности в простран-
стве L2. Напомним его. Пусть f \in L2 и
\| f\| 2 := \| f\| L2 =
\left\{ 1
\pi
2\pi \int
0
| f(x)| 2dx
\right\}
1/2
< \infty .
При этом \omega (f, t)2 := \omega (f, t)L2 — интегральный L2-модуль непрерывности функции f \in L2.
Тогда
для того чтобы функция \omega (t), 0 \leq t \leq \pi , была L2-модулем непрерывности, необходимо и
достаточно, чтобы она допускала представление
c\bigcirc С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК, 2017
300 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 2\pi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 301
\omega (t) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \sqrt{}
\varphi (0) - \varphi (h) : | h| \leq t
\Bigr\}
, (1.3)
где \varphi (h) :=
\sum \infty
k=0
ck \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kh, ck \geq 0 для любого k \in \BbbZ + и
\sum \infty
k=0
ck < \infty [5].
Однако условие (1.3), налагаемое на функцию \omega в рассмотренном случае, является трудно-
проверяемым. В связи с этим В. А. Юдиным в работе [6] было дано простое необходимое
условие для \omega , а именно:
пусть \omega — модуль непрерывности в пространстве L2, тогда выполняется неравенство
\omega 2(\pi ) \leq 2
\pi
\pi \int
0
\omega 2(t) dt. (1.4)
Непосредственное применение соотношения (1.4) к функции \widetilde \omega (t) := t\alpha , 0 \leq t \leq \pi , \alpha > 0,
показывает, что \widetilde \omega не является модулем непрерывности в L2 при \alpha > 1/2 [6].
В последующем указанные исследования были продолжены С. В. Конягиным [7] и В. И. Ива-
новым [8] для Lp-пространств 1-периодических функций в случаях 1 \leq p \leq 2 и 2 < p < \infty
соответственно.
Цель данной статьи — распространение результатов работ [5, 6] на случай функций двух
переменных, являющихся 2\pi -периодическими по каждой из них.
2. Некоторые сведения о модулях непрерывности функций двух переменных. Пусть
D :=
\bigl\{
(x, y) : a \leq x \leq b, c \leq y \leq d
\bigr\}
— замкнутый ограниченный прямоугольник. Множест-
во функций, непрерывных на множестве D, обозначим символом C(D). Для произвольного
элемента f \in C(D) запишем полный модуль непрерывности
\omega (f ; t, \tau )C(D) :=
:= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
| f(x1, y1) - f(x2, y2)| : | x1 - x2| \leq t, | y1 - y2| \leq \tau
\bigr\}
, t \in [0, b - a], \tau \in [0, d - c].
(2.1)
Напомним, что характеристика гладкости (2.1) имеет следующие свойства [1]:
\omega (f ; 0, 0)C(D) = 0; функция \omega (f ; t, \tau )C(D) не убывает вместе с t и \tau ; \omega (f ; t, \tau )C(D) являет-
ся полуаддитивной функцией, т. е. \omega (f ; t1+ t2, \tau 1+\tau 2)C(D) \leq \omega (f ; t1, \tau 1)C(D)+\omega (f ; t2, \tau 2)C(D),
(t1 + t2, \tau 1 + \tau 2) \in D; функция (2.1) является непрерывной в замкнутом прямоугольнике
[0, b - a] \otimes [0, d - c], где символ \otimes обозначает декартово произведение множеств. Перечис-
ленные свойства полностью характеризуют произвольную функцию \omega (t, \tau ), удовлетворяющую
им, как модуль непрерывности. При этом \omega (\omega ; t, \tau )C(D) = \omega (t, \tau ), т. е. все приведенное выше
дает описание модуля непрерывности в пространстве C(D).
Полный модуль непрерывности (2.1) функции f \in C(D) связан с ее частными модулями
непрерывности
\omega (f ; t, 0)C(D) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(x1, \cdot ) - f(x2, \cdot )\| C([c,d]) : | x1 - x2| \leq t
\bigr\}
, (2.2)
\omega (f ; 0, \tau )C(D) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(\cdot , y1) - f(\cdot , y2)\| C([a,b]) : | y1 - y2| \leq \tau
\bigr\}
(2.3)
двойным неравенством [1]
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
\omega (f ; t, 0)C(D), \omega (f ; 0, \tau )C(D)
\bigr\}
\leq \omega (f ; t, \tau )C(D) \leq \omega (f ; t, 0)C(D) + \omega (f ; 0, \tau )C(D). (2.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
302 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Пусть a = b = 0 и c = d = 2\pi . Тогда полагаем D\ast :=
\bigl\{
(x, y) : 0 \leq x, y \leq 2\pi
\bigr\}
. Через
Lq,2 := Lq,2(D\ast ), 1 \leq q < \infty , обозначим пространство всех измеримых на D\ast функций f(x, y),
2\pi -периодических по каждой из переменных x и y, q-я степень модуля которых интегрируема
по Лебегу на множестве D\ast , а конечная норма определяется формулой
\| f\| q,2 := \| f\| Lq,2(D\ast ) =
\left\{ 1
\pi 2
\int \int
D\ast
| f(x, y)| q dx dy
\right\}
1/q
.
Пространство непрерывных 2\pi -периодических по каждой переменной функций f(x, y)
обозначим символом C\ast := C(D\ast ).
По аналогии с (2.1) – (2.3) для произвольной функции f \in Lq,2 имеют место полный интег-
ральный модуль непрерывности
\omega (f ; t, \tau )q,2 := \omega (f ; t, \tau )Lq,2(D\ast ) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( 1
\pi 2
\int \int
D\ast
| f(x+ h, y + \mu ) - f(x, y)| q dx dy
\right) 1/q
: | h| \leq t, | \mu | \leq \tau
\right\} =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )\| q,2 : | h| \leq t, | \mu | \leq \tau
\bigr\}
(2.5)
и частные модули непрерывности
\omega (f ; t, 0)q,2 := \omega (f ; t, 0)Lq,2(D\ast ) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( 1
\pi 2
\int \int
D\ast
| f(x+ h, y) - f(x, y)| q dx dy
\right) 1/q
: | h| \leq t
\right\} =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(\cdot + h, \cdot ) - f(\cdot , \cdot )\| q,2 : | h| \leq t
\bigr\}
, (2.6)
\omega (f ; 0, \tau )q,2 := \omega (f ; 0, \tau )Lq,2(D\ast ) =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\left\{
\left( 1
\pi 2
\int \int
D\ast
| f(x, y + \mu ) - f(x, y)| qdxdy
\right) 1/q
: | \mu | \leq \tau
\right\} =
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
\| f(\cdot , \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )\| q,2 : | \mu | \leq \tau
\bigr\}
. (2.7)
Характеристика гладкости (2.5) при любом 1 \leq q < \infty удовлетворяет таким же четырем свой-
ствам, что и модуль непрерывности (2.1). При этом неравенство (2.4) будет иметь место, если
в нем модули непрерывности (2.1) и (2.2), (2.3) заменить соответственно на (2.5) и (2.6), (2.7).
Утверждение 1. Пусть X — пространство C\ast или пространство Lq,2, где 1 \leq q < \infty .
Тогда полный модуль непрерывности \omega (f ; t, \tau ) функции f \in X при 0 \leq t, \tau \leq 2\pi принимает
следующие значения:
\omega (f ; t, \tau )X , если 0 \leq t, \tau \leq \pi , (2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 2\pi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 303
\omega (f ; t, \pi )X , если 0 \leq t \leq \pi и \tau \geq \pi , (2.9)
\omega (f ;\pi , \tau )X , если t \geq \pi и 0 \leq \tau \leq \pi , (2.10)
\omega (f ;\pi , \pi )X , если t, \tau \geq \pi . (2.11)
Доказательство. Поскольку представление (2.8) очевидно, то покажем справедливость
представления (2.9). Исходя из отмеченных ранее свойств характеристики гладкости \omega (f ; t, \tau )X ,
при 0 \leq t \leq \pi и \tau \geq \pi получаем
\omega (f ; t, \pi )X \leq \omega (f ; t, \tau )X . (2.12)
Для вычисления оценки сверху величины \omega (f ; t, \tau )X вначале полагаем, что | h| \leq t \leq \pi и
| \mu | \leq \pi \leq \tau . Тогда в силу определения полного модуля непрерывности имеем\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
\leq \omega (f ; | h| , | \mu | )X \leq \omega (f ; t, \pi )X . (2.13)
Пусть теперь | h| \leq t \leq \pi и \pi \leq | \mu | \leq \tau . Очевидно, что существует такое число k\ast \in \BbbZ , для
которого | 2\pi k\ast - \mu | \leq \pi , и в силу 2\pi -периодичности функции f(x, y) по аргументу y имеем\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
=
\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot + 2\pi k\ast )
\bigm\| \bigm\|
X
\leq
\leq \omega (f ; | h| , | 2\pi k\ast - \mu | )X \leq \omega (f ; t, \pi )X . (2.14)
Из соотношений (2.13), (2.14) и определения характеристики гладкости \omega (f ; t, \tau )X в рассмат-
риваемом случае получаем
\omega (f ; t, \tau )X \leq \omega (f ; t, \pi )X . (2.15)
Представление (2.9) следует из неравенств (2.12) и (2.15).
Отметим, что доказательство представления (2.10) проводится практически аналогичным
образом.
Покажем справедливость представления (2.11), когда t, \tau \geq \pi . Вследствие свойств рассмат-
риваемой характеристики гладкости выполняется неравенство
\omega (f ;\pi , \pi )X \leq \omega (f ; t, \tau )X . (2.16)
Докажем, что имеет место неравенство, противоположное (2.16). Пусть | h| , | \mu | \leq \pi . Тогда\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
\leq \omega (f ; | h| , | \mu | )X \leq \omega (f ;\pi , \pi )X . (2.17)
Пусть далее | h| \leq \pi \leq t и \pi \leq | \mu | \leq \tau . Повторяя часть рассуждений из доказательства
представления (2.9), записываем\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
=
\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot + 2\pi k\ast )
\bigm\| \bigm\|
X
\leq
\leq \omega (f ; | h| , | 2\pi k\ast - \mu | )X \leq \omega (f ;\pi , \pi )X . (2.18)
Случай \pi \leq | h| \leq t и | \mu | \leq \pi \leq \tau рассматривается практически аналогично предыдущему,
в результате чего имеем
\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )\| X \leq \omega (f ;\pi , \pi )X . (2.19)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
304 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
Если \pi \leq | h| \leq t и \pi \leq | \mu | \leq \tau , то существуют такие числа \widetilde k и k\ast , принадлежащие \BbbZ , для
которых | 2\pi \widetilde k - h| \leq \pi и | 2\pi k\ast - \mu | \leq \pi . Тогда\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\|
X
=
\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot + 2\pi \widetilde k, \cdot + 2\pi k\ast )
\bigm\| \bigm\|
X
\leq
\leq \omega
\Bigl(
f ; | 2\pi \widetilde k - h| , | 2\pi k\ast - \mu |
\Bigr)
X
\leq \omega (f ;\pi , \pi )X . (2.20)
Используя определение характеристик гладкости \omega (f ; t, \tau )X и соотношения (2.17) – (2.20),
при t, \tau \geq \pi имеем
\omega (f ; t, \tau )X \leq \omega (f ;\pi , \pi )X . (2.21)
Представление (2.11) следует из формул (2.16) и (2.21).
Утверждение 1 доказано.
Используя (2.8) – (2.10), для частных модулей непрерывности (2.2), (2.3), (2.6), (2.7), когда
X = C\ast или X = Lq,2, при 0 \leq t \leq 2\pi и 0 \leq \tau \leq 2\pi соответственно получаем
\omega (f ; t, 0)X , если 0 \leq t \leq \pi ,
\omega (f ;\pi , 0)X , если t \geq \pi ,
(2.22)
и
\omega (f ; 0, \tau )X , если 0 \leq \tau \leq \pi ,
\omega (f ; 0, \pi )X , если \tau \geq \pi .
(2.23)
Из утверждения 1 и (2.22), (2.23) следует, что для аналитического описания полного и част-
ных модулей непрерывности на множествах D\ast и [0, 2\pi ] соответственно для f \in X достаточно
иметь аналитическое представление характеристики гладкости \omega (f ; t, \tau )X , когда 0 \leq t, \tau \leq \pi .
3. Описание полного модуля непрерывности в пространстве \bfitL \bftwo ,\bftwo .
Теорема 1. Функция \omega (t, \tau ), 0 \leq t, \tau \leq \pi , является полным модулем непрерывности
некоторой функции из L2,2 тогда и только тогда, когда она допускает представление
\omega (t, \tau ) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \sqrt{}
\varphi (0, 0) - \varphi (h, \mu ) : | h| \leq t, | \mu | \leq \tau
\Bigr\}
, (3.1)
где
\varphi (h, \mu ) :=
\infty \sum
k,m=0
(\alpha km \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu ) + \beta km \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu )). (3.2)
При этом \alpha km и \beta km — такие неотрицательные числа, что
\infty \sum
k,m=0
(\alpha km + \beta km) < \infty . (3.3)
Доказательство. Покажем сначала необходимость представления (3.1), полагая для это-
го, что \omega (t, \tau ) является полным модулем непрерывности некоторой функции f \in L2,2, т. е.
\omega (f ; t, \tau )2,2 = \omega (t, \tau ) для любых t, \tau \in [0, \pi ]. В смысле сходимости в метрике пространства
L2,2 представим функцию f в виде суммы двойного ряда Фурье в комплексной форме
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 2\pi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 305
f(x, y) =
\infty \sum
k,m= - \infty
\widehat \bfc km(f)ei(kx+my), (3.4)
где \widehat \bfc km(f) =
1
4\pi 2
\int \int
D\ast
f(x, y)e - i(kx+my) dx dy. (3.5)
Собрав попарно сопряженные члены ряда (3.4), представим его в действительной форме
f(x, y) =
\infty \sum
k,m=0
\lambda km(akm(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}my + bkm(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}my+
+ckm(f) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}my + dkm(f) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}my), (3.6)
где
\lambda km =
\left\{
1/4, если k = m = 0,
1/2, если k = 0, m \in \BbbN или k \in \BbbN , m = 0,
1, если k,m \in \BbbN ,
(3.7)
akm(f) =
1
\pi 2
\int \int
D\ast
f(x, y) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}my dxdy,
bkm(f) =
1
\pi 2
\int \int
D\ast
f(x, y) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}my dx dy,
(3.8)
ckm(f) =
1
\pi 2
\int \int
D\ast
f(x, y) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} kx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}my dxdy,
dkm(f) =
1
\pi 2
\int \int
D\ast
f(x, y) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} kx \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}my dx dy.
Отметим, что равенство (3.6) также понимаем в смысле сходимости в метрике простран-
ства L2,2. При этом для коэффициентов Фурье (3.5) и (3.8) функции f \in L2,2 при n,m \in \BbbN
имеют место соотношения
\widehat \bfc km(f) =
1
4
(akm(f) - dkm(f) - i(ckm(f) + bkm(f))),
\widehat \bfc - k, - m(f) = \widehat \bfc km(f),
(3.9)
\widehat \bfc k, - m(f) =
1
4
(akm(f) + dkm(f) + i(ckm(f) - bkm(f))),
\widehat \bfc - k,m(f) = \widehat \bfc k, - m(f).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
306 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
В случаях k = 0, m \in \BbbN и k \in \BbbN , m = 0 получаем соответственно
\widehat \bfc 0m(f) =
1
4
(a0m(f) - ic0m(f)), \widehat \bfc 0, - m(f) = \widehat \bfc 0m(f) (3.10)
и \widehat \bfc k0(f) = 1
4
(ak0(f) - ibk0(f)), \widehat \bfc - k,0(f) = \widehat \bfc k0(f). (3.11)
Используя разложение в ряд Фурье (3.4), в смысле сходимости в метрике пространства L2,2
записываем равенство
f(x+ h, y + \mu ) - f(x, y) =
\infty \sum
k,m= - \infty
\widehat \bfc km(f)
\bigl(
ei(kh+m\mu ) - 1
\bigr)
ei(kx+my).
Отсюда получаем
\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )\| 22,2 = 4
\infty \sum
k,m= - \infty
| \widehat \bfc km(f)| 2 \cdot
\bigm| \bigm| 1 - ei(kh+m\mu )
\bigm| \bigm| 2 =
= 8
\infty \sum
k,m= - \infty
| \widehat \bfc km(f)| 2
\bigl(
1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )
\bigr)
. (3.12)
Далее полагаем
r2km(f) := (akm(f) - dkm(f))2 + (bkm(f) + ckm(f))2,
\rho 2km(f) := (akm(f) + dkm(f))2 + (bkm(f) - ckm(f))2,
(3.13)
где k,m \in \BbbZ +. Используя соотношения (3.9) – (3.11) и учитывая обозначения (3.13), записываем
равенство (3.12) в виде
\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )\| 22,2 =
=
\infty \sum
k,m=0
\bigl\{
r2km(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )) + \rho 2km(f)(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu ))
\bigr\}
. (3.14)
Поскольку для функции f \in L2,2 в силу формулы (3.6) и равенства Парсеваля имеем
\| f\| 22,2 =
\infty \sum
k,m=0
\lambda km
\bigl(
a2km(f) + b2km(f) + c2km(f) + d2km
\bigr)
< \infty ,
где числа \lambda km определяются соотношением (3.7), то, используя (3.13), отсюда получаем
\infty \sum
k,m=0
\bigl\{
r2km(f) + \rho 2km(f)
\bigr\}
=
\infty \sum
k,m=0
\bigl(
a2km(f) + b2km(f) + c2km(f) + d2km
\bigr)
< \infty . (3.15)
В формуле (3.2) полагаем
\alpha km := r2km(f), \beta km := \rho 2km(f), (3.16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 2\pi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 307
где k,m \in \BbbZ +. Учитывая, что для выбранных таким образом \alpha km и \beta km на основании (3.15)
условие (3.3) выполняется, формулу (3.14) с учетом (3.2) и (3.16) записываем в виде\bigm\| \bigm\| f(\cdot + h, \cdot + \mu ) - f(\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\| 2
2,2
= \varphi (0, 0) - \varphi (h, \mu ). (3.17)
Используя определение полного модуля непрерывности, для функции f \in L2,2 из (3.17) полу-
чаем
\omega (f ; t, \tau )2,2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Bigl\{ \sqrt{}
\varphi (0, 0) - \varphi (h, \mu ) : | h| \leq t, | \mu | \leq \tau
\Bigr\}
, (3.18)
где 0 \leq t, \tau \leq \pi . Поскольку, как полагалось ранее, \omega (f ; t, \tau )2,2 = \omega (t, \tau ); t, \tau \in [0, \pi ], то для
функции \omega справедливо представление (3.1).
Переходя к доказательству достаточности, покажем, что если для функции \omega на множестве
0 \leq t, \tau \leq \pi справедливо представление (3.1), где функция \varphi имеет вид (3.2) и удовлетво-
ряет условию (3.3), то существует такая функция \widetilde f \in L2,2, для которой ее полный модуль
непрерывности \omega ( \widetilde f ; t, \tau )2,2 совпадает с \omega (t, \tau ) при t, \tau \in [0, \pi ]. Иными словами, необходимо
подобрать такую функцию \widetilde f \in L2,2, для которой при любых | h| , | \mu | \leq \pi будет выполнено
соотношение (3.17), где f \equiv \widetilde f.
Используя формулу (3.2), записываем
\varphi (0, 0) - \varphi (h, \mu ) =
\infty \sum
k,m=0
\bigl\{
\alpha km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )) + \beta km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu ))
\bigr\}
. (3.19)
Дальнейшие рассуждения, связанные с соответствующим выбором коэффициентов Фурье ин-
тересующей нас функции \widetilde f из L2,2, базируются на следующем утверждении.
Теорема А (см., например, [9], глава 2, § 1, теорема 2.3). Пусть заданы четыре последо-
вательности вещественных чисел \{ Akm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Bkm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Ckm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Dkm\} k,m\in \BbbZ +
такие, что сходится ряд
\infty \sum
k,m=0
\lambda km
\bigl(
A2
km +B2
km + C2
km +D2
km
\bigr)
. (3.20)
Тогда существует такая функция \widetilde f \in L2,2, что данные числа Akm, Bkm, Ckm, Dkm являются
ее коэффициентами Фурье, т. е.
akm( \widetilde f) = Akm, bkm( \widetilde f) = Bkm, ckm( \widetilde f) = Ckm, dkm( \widetilde f) = Dkm, (3.21)
где k,m \in \BbbZ +. При этом указанная функция \widetilde f, как элемент пространства L2,2, единственна.
Рассмотрим далее две последовательности неотрицательных вещественных чисел
\{ \alpha km\} k,m\in \BbbZ + и \{ \beta km\} k,m\in \BbbZ + , участвующих в определении функции \varphi из (3.2). Можно по-
добрать, причем не единственным способом, такие четыре последовательности вещественных
чисел \{ \gamma km\} k,m\in \BbbZ + , \{ \delta km\} k,m\in \BbbZ + , \{ \sigma km\} k,m\in \BbbZ + , \{ \eta km\} k,m\in \BbbZ + , для элементов которых будут
выполняться равенства
\gamma 2km + \delta 2km = \alpha km,
\sigma 2
km + \eta 2km = \beta km,
(3.22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
308 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
где k,m \in \BbbZ +. Если \alpha km > 0 или \beta km > 0, то будем полагать, что в левых частях соответ-
ствующих равенств из (3.22) оба слагаемых также положительны.
Можно подобрать, причем также не единственным способом, такие четыре последователь-
ности вещественных чисел \{ Akm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Bkm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Ckm\} k,m\in \BbbZ + , \{ Dkm\} k,m\in \BbbZ + , чтобы
имели место равенства
| Akm - Bkm| = | \gamma km| ,
| Akm +Bkm| = | \sigma km| ,
(3.23)
| Ckm +Dkm| = | \delta km| ,
| Ckm - Dkm| = | \eta km| ,
где k,m \in \BbbZ +. Укажем один из возможных вариантов выбора элементов числовых после-
довательностей, для которых равенства (3.23) будут выполнены: Akm := (\sigma km + \gamma km)/2,
Bkm := (\sigma km - \gamma km)/2, Ckm := (\delta km + \eta km)/2, Dkm := (\delta km - \eta km)/2.
Используя формулы (3.3) и (3.22), (3.23), имеем
\infty \sum
k,m=0
\bigl(
A2
km +B2
km + C2
km +D2
km
\bigr)
< \infty ,
т. е. ряд (3.20) будет сходиться при указанном выше способе выбора чисел Akm, Bkm, Ckm,
Dkm, где k,m \in \BbbZ +. Воспользовавшись, исходя из этого, теоремой A, рассмотрим функцию\widetilde f \in L2,2, у которой коэффициенты Фурье определяются соотношением (3.21) при указан-
ном выше способе выбора чисел Akm, Bkm, Ckm, Dkm, k,m \in \BbbZ +. Как уже отмечалось,
определенная таким образом функция \widetilde f является единственной в L2,2. Из формул (3.13) и
(3.21) – (3.23) получаем соотношения (3.16), в которых f \equiv \widetilde f. При этом для \widetilde f будет спра-
ведливой и формула (3.17), в которой правая часть вычисляется согласно (3.19). Используя
определение полного модуля непрерывности и (3.17), видим, что для полученной указанным
образом функции \widetilde f имеет место формула (3.18). Тогда в силу (3.1) при любых t, \tau \in [0, \pi ]
получаем \omega (t, \tau ) = \omega ( \widetilde f ; t, \tau )2,2.
Теорема 1 доказана.
4. Необходимое условие для описания полного модуля непрерывности в простран-
стве \bfitL \bftwo ,\bftwo . Условия (3.1) – (3.3), налагаемые в теореме 1 на функцию \omega для того, чтобы она
была полным модулем непрерывности некоторой функции f \in L2,2, являются, с нашей точки
зрения, труднопроверяемыми. Поэтому цель данного пункта — получение достаточно простого
необходимого условия, касающегося функции \omega .
Теорема 2. Если \omega (t, \tau ) — полный модуль непрерывности в пространстве L2,2, то имеет
место неравенство
\omega 2(\pi , \pi ) \leq 2
\pi 2 - 4
\pi \int
0
\pi \int
0
\omega 2(t, \tau ) dt d\tau . (4.1)
Доказательство. Пусть \omega — полный модуль непрерывности в L2,2. Тогда согласно теоре-
ме 1 существует функция f\ast \in L2,2, для которой \omega (f\ast ; t, \tau )2,2 = \omega (t, \tau ), t, \tau \in [0, \pi ]. При этом,
согласно формулам (3.11) и (3.19),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О ПОЛНЫХ МОДУЛЯХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 2\pi -ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . 309
\| f\ast (\cdot + h, \cdot + \mu ) - f\ast (\cdot , \cdot )\| 22,2 =
=
\infty \sum
k,m=0
\bigl\{
\alpha km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )) + \beta km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu ))
\bigr\}
, (4.2)
где последовательности неотрицательных чисел \{ \alpha km\} k,m\in \BbbZ + и \{ \beta km\} k,m\in \BbbZ + удовлетворяют
условию (3.3). В формуле (4.2) \alpha km = r2km(f\ast ), \beta km = \rho 2km(f\ast ), k,m \in \BbbZ +, а правые части
данных равенств определяются формулами (3.13), в которых f \equiv f\ast .
Интегрируя обе части равенства (4.2) по переменным h и \mu в пределах от 0 до \pi , получаем
\pi \int
0
\pi \int
0
\| f\ast (\cdot + h, \cdot + \mu ) - f\ast (\cdot , \cdot )\| 22,2dhd\mu =
=
\infty \sum
k,m=0
\left\{ \alpha km
\left( \pi 2 -
\pi \int
0
\pi \int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )dhd\mu
\right) + \beta km
\left( \pi 2 -
\pi \int
0
\pi \int
0
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu )dhd\mu
\right) \right\} =
=
\infty \sum
k,m=1
\biggl\{
\alpha km
\biggl(
\pi 2 +
(1+( - 1)k+1)(1+( - 1)m+1)
km
\biggr)
+ \beta km
\biggl(
\pi 2 - (1+( - 1)k+1)(1+( - 1)m+1)
km
\biggr) \biggr\}
+
+\pi 2
\infty \sum
k=1
(\alpha k0 + \beta k0) + \pi 2
\infty \sum
m=1
(\alpha 0m + \beta 0m) =
= \pi 2
\sum
(k,m)\in \BbbZ 2
+\setminus (0,0)
(\alpha km + \beta km) + 4
\infty \sum
p,q=1
\alpha 2p - 1,2q - 1 - \beta 2p - 1,2q - 1
(2p - 1)(2q - 1)
\geq
\geq \pi 2
\sum
(k,m)\in \BbbZ 2
+\setminus (0,0)
(\alpha km + \beta km) - 4
\infty \sum
p,q=1
\alpha 2p - 1,2q - 1 + \beta 2p - 1,2q - 1
(2p - 1)(2q - 1)
, (4.3)
где \BbbZ 2
+ := \BbbZ + \otimes \BbbZ +, а знак \otimes обозначает декартово произведение множеств.
Учитывая вид правой части соотношения (4.3), записываем оценку снизу двойного интег-
рала, расположенного в его левой части:
\pi \int
0
\pi \int
0
\bigm\| \bigm\| f\ast (\cdot + h, \cdot + \mu ) - f\ast (\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\| 2
2,2
dh d\mu \geq (\pi 2 - 4)
\sum
(k,m)\in \BbbZ 2
+\setminus (0,0)
(\alpha km + \beta km). (4.4)
Поскольку
\omega (t, \tau ) = \omega (f\ast ; t, \tau )2,2 \geq
\bigm\| \bigm\| f\ast (\cdot + t, \cdot + \tau ) - f\ast (\cdot , \cdot )
\bigm\| \bigm\| 2
2,2
,
где 0 \leq t, \tau \leq \pi , то из (4.4) и (4.2) получаем
\pi \int
0
\pi \int
0
\omega 2(t, \tau ) dt d\tau =
\pi \int
0
\pi \int
0
\omega 2(f\ast ; t, \tau )2,2 dt d\tau \geq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
310 С. Б. ВАКАРЧУК, М. Б. ВАКАРЧУК
\geq
\pi \int
0
\pi \int
0
\| f\ast (\cdot + t, \cdot + \tau ) - f\ast (\cdot , \cdot )\| 22,2 dt d\tau \geq \pi 2 - 4
2
\sum
(k,m)\in \BbbZ 2
+\setminus (0,0)
2(\alpha km + \beta km) \geq
\geq \pi 2 - 4
2
\infty \sum
k,m=0
\bigl\{
\alpha km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh+m\mu )) + \beta km(1 - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(kh - m\mu ))
\bigr\}
=
=
\pi 2 - 4
2
\| f\ast (\cdot + h, \cdot + \mu ) - f\ast (\cdot , \cdot )\| 22,2, (4.5)
где | h| , | \mu | \leq \pi . Используя определение полного модуля непрерывности функции f\ast , приме-
ненное к левой части соотношения (4.5), имеем
\pi \int
0
\pi \int
0
\omega 2(t, \tau )dtd\tau \geq \pi 2 - 4
2
\omega 2(f\ast ;\pi , \pi )2,2 =
\pi 2 - 4
2
\omega 2(\pi , \pi ). (4.6)
Требуемое неравенство (4.1) следует из соотношения (4.6), что и завершает доказательство
теоремы 2.
Непосредственно применяя соотношение (4.1) к \widetilde \omega (t, \tau ) := (t + \tau )\alpha , где \alpha > 0, путем
несложных вычислений можно убедиться в том, что при \alpha > 0, 980129 функция \widetilde \omega не является
полным модулем непрерывности в пространстве L2,2.
В заключение отметим, что константа 2/(\pi 2 - 4) в правой части неравенства (4.1), скорее
всего, может быть уменьшена. Однако следует особо подчеркнуть, что основной целью данного
сообщения была демонстрация того, что основные результаты работ О. В. Бесова, С. Б. Стеч-
кина [5] и В. А. Юдина [6] могут быть соответствующим образом распространены на случай
2\pi -периодических по обеим переменным функций f(x, y), принадлежащих пространству L2,2.
Литература
1. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. – М.: Физматгиз, 1960. – 624 с.
2. Никольский С. М. Ряд Фурье с заданным модулем непрерывности // Докл. АН СССР. – 1946. – 52, № 3. –
С. 191 – 194.
3. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
4. Lebesque H. Sur be representation trigonometrique approchee des functions satisfaisant a une condition de Lipschitz //
Bull. Soc. Math. France. – 1910. – 38. – P. 184 – 210.
5. Бесов О. В., Стечкин С. Б. Описание модулей непрерывности в L2 // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1975. – 134. –
С. 22 – 25.
6. Юдин В. А. О модулях непрерывности в L2 // Сиб. мат. журн. – 1972. – 20, № 2. – С. 449 – 450.
7. Конягин С. В. О модулях непрерывности функций // Всесоюз. школа по теории функций, посвящ. 100-летию
со дня рождения акад. Н. Н. Лузина: Тез. докл. (Кемерово, 10 – 19 сент. 1983 г.). – Кемерово, 1983. — C. 59.
8. Иванов В. И. О модуле непрерывности в Lp // Мат. заметки. – 1987. – 41, № 5. – С. 682 – 686.
9. Янушаускас А. И. Кратные тригонометрические ряды. – Новосибирск: Наука, 1986. – 272 с.
Получено 09.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1697 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:52Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ee/7b54ac059d31d7208477ffd2a4f6afee.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16972019-12-05T09:24:16Z On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ О полных модулях непрерывности $2\pi$-периодических функций двух переменных в пространстве $L_{2,2}$ Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. The description of the total moduli of continuity of $2\pi$ -periodic functions of two variables are obtained in the space $L_{2,2}$. The proposed description can be regarded as an extension of the famous results by O. V. Besov, S. B. Stechkin, V. A.Yudin on the moduli of continuity in $L_{2}$ in the two-dimensional case. Наведено опис повних модулiв неперервностi $2\pi$ -перiодичних функцiй двох змiнних у просторi $L_{2,2}$, який можна розглядати як поширення вiдомих результатiв О. В. Бєсова, С. Б. Стєчкiна, В. А. Юдiна про модулi неперервностi в $L_{2}$ на двовимiрний випадок. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1697 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 300-310 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 300-310 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1697/679 Copyright (c) 2017 Vakarchuk M. B.; Vakarchuk S. B. |
| spellingShingle | Vakarchuk, M. B. Vakarchuk, S. B. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. Вакарчук, М. Б. Вакарчук, С. Б. On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title | On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title_alt | О полных модулях непрерывности $2\pi$-периодических
функций двух переменных в пространстве $L_{2,2}$ |
| title_full | On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title_fullStr | On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title_full_unstemmed | On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title_short | On total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $L_{2,2}$ |
| title_sort | on total moduli of continuity for $2\pi$-periodic functions of two variables in the space $l_{2,2}$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1697 |
| work_keys_str_mv | AT vakarchukmb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarchuksb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarčukmb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarčuksb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarčukmb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarčuksb ontotalmoduliofcontinuityfor2piperiodicfunctionsoftwovariablesinthespacel22 AT vakarchukmb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 AT vakarchuksb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 AT vakarčukmb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 AT vakarčuksb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 AT vakarčukmb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 AT vakarčuksb opolnyhmodulâhnepreryvnosti2piperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyhvprostranstvel22 |