Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes
For the nonlinear kinetic Boltzmann equation in the case of a model of hard spheres, we construct an approximate solution in the form of a series of Maxwellian distributions with coefficient functions of time and the space coordinate. We establish the sufficient conditions for the coefficient functi...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1698 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507538063097856 |
|---|---|
| author | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. |
| author_facet | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. |
| author_sort | Gordevskii, V. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | For the nonlinear kinetic Boltzmann equation in the case of a model of hard spheres, we construct an approximate solution in
the form of a series of Maxwellian distributions with coefficient functions of time and the space coordinate. We establish the
sufficient conditions for the coefficient functions and the values of hydrodynamic parameters appearing in the distribution
that enable us to make the analyzed deviation arbitrarily small. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 533.72
В. Д. Гордевський (Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна),
О. О. Гукалов (Фiз.-техн. iн-т низьких температур iм. Б. I. Вєркiна, Харкiв)
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ
РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА*
For the nonlinear kinetic Boltzmann equation in the case of a model of hard spheres, we construct an approximate solution in
the form of a series of Maxwellian distributions with coefficient functions of time and the space coordinate. We establish the
sufficient conditions for the coefficient functions and the values of hydrodynamic parameters appearing in the distribution
that enable us to make the analyzed deviation arbitrarily small.
Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана в случае модели твердых шаров построено приближенное
решение в виде ряда максвелловских распределений с коэффициентными функциями времени и пространствен-
ной координаты. Получены достаточные условия на коэффициентные функции и гидродинамические параметры,
входящие в распределение, которые дают возможность сделать рассмотренное отклонение сколь угодно малым.
1. Вступ. Одним iз основних рiвнянь у кiнетичнiй теорiї газiв є рiвняння Больцмана [1, 2]. Для
моделi твердих куль воно має вигляд
D(f) = Q(f, f), (1)
де диференцiальний оператор D(f) аналiтично виражається так:
D(f) \equiv \partial f
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial f
\partial x
\biggr)
, (2)
а iнтеграл зiткнень
Q(f, f) \equiv d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha | (V - V1, \alpha )| \times
\times
\Bigl[
f(t, x, V \prime )f(t, x, V \prime
1) - f(t, x, V )f(t, x, V1)
\Bigr]
. (3)
У виразах (1) – (3) шукана функцiя f(t, x, V ) є функцiєю розподiлу частинок; параметр t \in \BbbR
позначає час; V = (V 1, V 2, V 3) — швидкiсть молекули; x = (x1, x2, x3) — просторова коорди-
ната, що визначає розташування частинки; через
\partial f
\partial x
позначено градiєнт функцiї розподiлу за
змiнною x; d > 0 — дiаметр частинки; вектор \alpha належить \Sigma \subset \BbbR 3, де \Sigma — одинична сфера; V,
V1, V
\prime , V \prime
1 — швидкостi частинок до та пiсля зiткнення вiдповiдно, якi пов’язанi таким чином:
V \prime = V - \alpha (V - V1, \alpha ),
V \prime
1 = V1 + \alpha (V - V1, \alpha ).
(4)
* Виконано за часткової пiдтримки НАН України (проект „Лiнiйнi еволюцiйнi рiвняння у гiльбертовому просторi
та рiвняння Больцмана”).
c\bigcirc В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3 311
312 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
2. Постановка задачi. Максвелiани є єдиним, вiдомим на сьогоднiшнiй час, точним розв’яз-
ком рiвняння Больцмана, який вдалося отримати в явному виглядi. Найбiльш загальний вигляд
локальних максвелiанiв (тобто таких, що залежать вiд t i x) було отримано у роботах [2 – 4]; у
статтi [5] його докладно дослiджено з точки зору геометричної структури та фiзичного сенсу.
У працях авторiв (у тому числi [6, 7]) були побудованi бiмодальнi розподiли у виглядi
суми двох максвелiанiв з коефiцiєнтними функцiями, що залежать вiд t та x. У цiй роботi ми
побудуємо нескiнченномодальнi наближенi розв’язки, тобто такi, якi зображуються у виглядi
ряду
f(t, x, V ) =
\infty \sum
i=1
\varphi i(t, x)Mi(V ), (5)
де \varphi i(t, x) (тут i скрiзь далi iндекс i \in \BbbN ) — невiд’ємнi, гладкi на \BbbR 4 функцiї, а в якостi
максвелiанiв Mi спочатку розглянемо глобальнi максвелiани
Mi(V ) = \rho i
\biggl(
\beta i
\pi
\biggr) 3/2
e - \beta i(V - V i)
2
, (6)
де \rho i — додатна стала, що позначає густину потоку, \beta i — величина, обернена до температури,
\beta i =
1
2Ti
; (7)
сталий вектор V i \in \BbbR 3 означає масову швидкiсть.
У якостi мiри вiдхилення мiж частинами рiвняння (1) будемо розглядати рiвномiрно iнте-
гральний вiдхил, що має вигляд
\Delta = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| . (8)
Мета роботи полягає у знаходженнi вигляду коефiцiєнтних функцiй \varphi i(t, x) та визначеннi
умов на гiдродинамiчнi параметри максвелiанiв (6) таких, щоб вiдхил (8) можна було зробити
як завгодно малим.
3. Основнi результати. Сформулюємо та доведемо кiлька теорем, що допоможуть досягти
поставленої мети: мiнiмiзацiї вiдхилу (8) для розподiлу (5).
Теорема 1. Нехай коефiцiєнтнi функцiї \varphi i(t, x) у розподiлi (5) такi, що функцiональнi ряди
\infty \sum
i=1
\varphi iMi,
\infty \sum
i=1
| V | \varphi iMi,
\infty \sum
i=1
Mi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , \infty \sum
i=1
Mi| V |
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (9)
збiгаються рiвномiрно в усьому просторi змiни (t, x, V ) : \BbbR 7 та функцiї
\varphi i,
\partial \varphi i
\partial t
,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (10)
обмеженi на \BbbR 4 .
Тодi iснує така величина \Delta \prime , що
\Delta \leq \Delta \prime , (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 313
та справджується рiвнiсть
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta i\rightarrow +\infty
\Delta \prime =
\infty \sum
i=1
\rho i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V i,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 2\pi d2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\rho i\rho j
\bigm| \bigm| \bigm| V i - V j
\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\varphi i\varphi j). (12)
Зауваження 1. Тут i далi мається на увазi, що \beta i > \beta , причому \beta \rightarrow +\infty .
Доведення. Пiдставимо розподiл (5) у лiву частину рiвняння (1), використавши вираз (2)
з огляду на умову (9):
D(f) =
\partial
\partial t
\Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi
\Biggr)
+
\Biggl(
V,
\partial
\partial x
\Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi
\Biggr) \Biggr)
=
=
\infty \sum
i=1
Mi
\partial \varphi i
\partial t
+
\infty \sum
i=1
\varphi i
\partial Mi
\partial t
+
\Biggl(
V,
\infty \sum
i=1
Mi
\partial \varphi i
\partial x
\Biggr)
+
\Biggl(
V,
\infty \sum
i=1
\varphi i
\partial Mi
\partial t
\Biggr)
=
=
\infty \sum
i=1
Mi
\partial \varphi i
\partial t
+
\infty \sum
i=1
\biggl(
V,Mi
\partial \varphi i
\partial x
\biggr)
+
\infty \sum
i=1
\varphi i
\partial Mi
\partial t
+
\infty \sum
i=1
\biggl(
V, \varphi i
\partial Mi
\partial t
\biggr)
=
=
\infty \sum
i=1
MiD(\varphi i) +
\infty \sum
i=1
\varphi iD(Mi).
Оскiльки Mi є точним розв’язком рiвняння (1), який обертає обидвi його частини на 0, то
D(f) =
\infty \sum
i=1
MiD(\varphi i). (13)
Далi отримаємо iнтеграл зiткнень Q(f, f) у випадку розподiлу (5), використавши означен-
ня (3):
Q(f, f) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| (V - V1, \alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \times
\times
\Biggl[ \Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi(V
\prime )
\Biggr) \Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi(V
\prime
1)
\Biggr)
-
\Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi(V )
\Biggr) \Biggl( \infty \sum
i=1
\varphi iMi(V1)
\Biggr) \Biggr]
.
Застосовуючи вiдому теорему Кошi про добуток рядiв, завдяки умовi (9) маємо
Q(f, f) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| (V - V1, \alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \times
\times
\left[ \infty \sum
i=1
\varphi 2
iMi(V
\prime )Mi(V
\prime
1) +
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi jMi(V
\prime )Mj(V
\prime
1) -
\infty \sum
i=1
\varphi 2
iMi(V )Mi(V1) -
-
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi jMi(V )Mj(V1)
\right] =
\infty \sum
i=1
\varphi 2
iQ(Mi,Mi) +
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi jQ(Mi,Mj),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
314 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
i знову враховуючи, що Q(Mi,Mi) = 0, остаточно отримуємо
Q(f, f) =
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi jQ(Mi,Mj). (14)
Використовуючи вирази (13), (14) для частин рiвняння Больцмана при обчисленнi розподi-
лу (5), одержуємо оцiнку
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\infty \sum
i=1
Mi
\biggl(
\partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \biggr)
-
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi jQ(Mi,Mj)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
i=1
Mi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi j | Q(Mi,Mj)| . (15)
Покажемо, що другий ряд у останнiй нерiвностi рiвномiрно збiгається в усьому просторi \BbbR 7
завдяки умовам теореми. Має мiсце оцiнка
\varphi i\varphi j | Q(Mi,Mj)| =
=
d2
2
\varphi i\varphi j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| (V - V1, \alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl[ Mi(V
\prime )Mj(V
\prime
1) - Mi(V )Mj(V1)
\bigr] \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
d2
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| (V - V1, \alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl[ Mi(V
\prime )Mj(V
\prime
1) - Mi(V )Mj(V1)
\bigr]
\varphi i\varphi j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\Sigma
d\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| (V - V1, \alpha )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigl[ Mi(V
\prime )Mj(V
\prime
1) - Mi(V )Mj(V1)
\bigr]
\varphi i\varphi j
\bigm| \bigm| \leq
\leq d2
2
\int
\BbbR 3
dV14\pi (| V | + | V1| ) \cdot 2Mi(V )Mj(V1)\varphi i\varphi j =
= 4\pi d2
\left( | V | \varphi iMi(V )
\int
\BbbR 3
dV1Mj(V1)\varphi j + \varphi iMi(V )
\int
\BbbR 3
dV1Mj(V1)\varphi j
\right) ,
що є результатом множення рядiв вигляду
\sum \infty
i=1
\varphi iMi,
\sum \infty
j=1
\varphi jMj | V | та iнтегрування одного
з них, але використовуються лише члени з i \not = j. Оскiльки збiжнiсть добутку гарантована
умовою (9), то очевидно, що другий ряд у (15) збiгається рiвномiрно в усьому просторi \BbbR 7 .
Тепер зiнтегруємо нерiвнiсть (15) по простору швидкостей V, що можливо завдяки умовi (9),
яка, як було показано вище, забезпечує рiвномiрну збiжнiсть рядiв у правiй частинi останньої
нерiвностi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 315\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \sum
i=1
\int
\BbbR 3
dVMi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \infty \sum
i,j=1
i \not =j
\int
\BbbR 3
dV \varphi i\varphi j | Q(Mi,Mj)| . (16)
Як було продемонстровано в [1],\int
\BbbR 3
dV Q(Mi,Mj) = 0.
Беручи до уваги розклад Q(Mi,Mj) на „прибутковий” та „витратний” члени [1, 6]
Q(f, g) = G(f, g) - fL(g),
де
G(f, g) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\sum d\alpha | (V - V1, \alpha )| f(t, x, V \ast
1 )g(t, x, V
\ast ),
L(g) =
d2
2
\int
\BbbR 3
dV1
\int
\sum d\alpha | (V - V1, \alpha )| g(t, x, V1),
маємо \int
\BbbR 3
G(Mi,Mj)dV =
\int
\BbbR 3
MiL(Mj)dV.
З урахуванням наведеного продовжимо оцiнку (16):\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \sum
i=1
\int
\BbbR 3
dVMi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\int
\BbbR 3
dV \varphi i\varphi jG(Mi,Mj). (17)
У роботi [6] було доведено, що\int
\BbbR 3
dVG(Mi,Mj) =
d2\rho i\rho j
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ V i - V j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (18)
Iз використанням рiвностi (18) оцiнка (17) набирає вигляду\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \infty \sum
i=1
\int
\BbbR 3
dVMi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho i\rho j
\pi 2
\varphi i\varphi j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ V i - V j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (19)
Далi, переходимо до супремума в нерiвностi (19) по всьому простору (t, x) \in \BbbR 4. Врахо-
вуючи умову (10) та вигляд вiдхилу (8), переконуємося, що нерiвнiсть (11) виконується для
величини \Delta \prime вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
316 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
\Delta \prime =
\infty \sum
i=1
\rho i
\biggl(
\beta i
\pi
\biggr) 3/2 \int
\BbbR 3
dV e - \beta i(V - V i)
2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho i\rho j
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ V i - V j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\varphi i\varphi j).
В iнтегралi першого функцiонального ряду виконаємо замiну змiнних
p =
\sqrt{}
\beta i(V - V i),
якобiан якої J = \beta
- 3/2
i та V =
p\surd
\beta i
+ V i. Тодi
\Delta \prime = \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho i
\int
\BbbR 3
dV e - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ V i,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho i\rho j
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ V i - V j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\varphi i\varphi j). (20)
Виконавши перепозначення
\gamma i =
1\surd
\beta i
, (21)
отримаємо
\Delta \prime = \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho i
\int
\BbbR 3
dV e - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
p\gamma i + V i,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho i\rho j
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| q\gamma i - q1\gamma j + V i - V j
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\varphi i\varphi j). (22)
Граничний перехiд у (20) при \beta i \rightarrow +\infty рiвносильний тому, що \gamma i \rightarrow +0 у (22), для чого
потрiбна неперервнiсть виразу (22) в нулi, яку забезпечує умова рiвномiрної збiжностi (9) та
очевидна оцiнка | \gamma i| \leq
1
\beta
(див. зауваження 1). Тодi з огляду на лему з роботи [8] про неперерв-
нiсть супремума за параметром та теорему про неперервнiсть iнтеграла та функцiонального
ряду за параметром маємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta i\rightarrow +\infty
\Delta \prime = \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho i
\int
\BbbR 3
dpe - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V i,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho i\rho j
\pi 2
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| V i - V j
\bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\varphi i\varphi j).
Обчислюючи iнтеграли у сумах, отримуємо (12), що i доводить теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 317
Наслiдок 1. Нехай функцiї \varphi i мають вигляд
\varphi i(t, x) = Ci(x - V it), (23)
або
\varphi i(t, x) = Ei
\bigl( \bigl[
x, V i
\bigr] \bigr)
, (24)
причому функцiї Ci, Ei такi, що задовольняють умови (9), (10). Крiм того, нехай виконується
хоча б одна з вимог
V i = V j , (25)
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi i \cap \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi j = \varnothing , i \not = j, (26)
d\rightarrow 0. (27)
Тодi вiдхил (8) для розподiлу (5) можна зробити як завгодно малим.
Доведення. Якщо функцiї \varphi i мають вигляд (23), то
\partial \varphi i
\partial t
= - (V i, C
\prime
i),
\partial \varphi i
\partial x
= C \prime
i.
Покажемо, що у випадку функцiї \varphi i вигляду (23) виконуються умови теореми 1, а саме рiв-
номiрна збiжнiсть рядiв (9), якщо функцiї Ci такi, що умова (10) виконується. Ряди
\sum \infty
i=1 \varphi iMi
та
\sum \infty
i=1Mi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| внаслiдок обмеженостi функцiй Ci та їх похiдних (завдяки умовi (10)) оче-
видно збiгаються рiвномiрно в усьому просторi \BbbR 7.
Розглянемо ряд
\infty \sum
i=1
Ci(x - V it)| V | \rho i
\biggl(
\beta i
\pi
\biggr) 3/2
e - \beta i(V - V i)
2
,
де \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| Ci(x - V it)| V | \rho i
\biggl(
\beta i
\pi
\biggr) 3/2
e - \beta i(V - V i)
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq Ki| V | \beta 3/2i e - \beta i(V - V i)
2
,
стала Ki > 0. Тодi, ввiвши позначення V - V i = wi, V = wi + V i, отримаємо
Ki| wi + V i| \beta 3/2i e - \beta iw
2
i \leq
\leq Ki| wi| \beta 3/2i e - \beta iw
2
i +Ki| V i| \beta 3/2i e - \beta iw
2
i .
Звичайно, другий доданок обмежений по wi, а обмеженiсть першого випливає з такого:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
wi\in \BbbR 3
| wi| e\beta iw
2
i
z=| wi|
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbR +
ze - \beta iz
2
=
1\surd
2e\beta i
.
Знайденi похiднi обертають у нуль першу суму у (12), а виконання однiєї з умов (25),
(26) або (27) обертає в нуль другу суму. З урахуванням нерiвностi (11) та невiд’ємного вiд-
хилу (8) маємо нескiнченну мализну розглянутого рiвномiрно iнтегрального вiдхилу (8) для
розподiлу (5) з коефiцiєнтними функцiями \varphi i вигляду (23).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
318 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
Якщо коефiцiєнтнi функцiї \varphi i мають вигляд (24), то похiдна за часом дорiвнює нулю, а
градiєнт по x добуток
\biggl(
V i,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr)
обертає в нуль. Тодi знову з урахуванням однiєї з умов (25),
(26) або (27) отримуємо, що вiдхил (8) можна зробити як завгодно малим.
Наслiдок 1 доведено.
Зауваження 2. Враховуючи, що розглянутий розподiл (5) мiстить суму нескiнченної
кiлькостi максвелiанiв, бачимо, що для нескiнченної мализни рiвномiрно iнтегрального вiдхи-
лу (8) можна вибирати не лише одну з умов (25), (26), а кiлька одночасно для рiзних наборiв
максвелiанiв.
Зауваження 3. З фiзичної точки зору побудований наближений розв’язок описує взає-
модiю нескiнченного набору плинiв у газi з твердих куль, кожен з яких вiдповiдає або згустку
газу (23), або цилiндричному розподiлу (24), причому кожнi два з цих плинiв або мають однаковi
лiнiйнi швидкостi, або не перетинаються у просторi, або всi вiдповiдають навколокнудсенiв-
ському газу.
Тепер розглянемо стацiонарний неоднорiдний максвелiан [1, 5, 6], тобто на вiдмiну вiд
максвелiана, який залежить лише вiд швидкостi молекули V, з’являється залежнiсть вiд про-
сторової координати x. Структура максвелiана Mi (6) залишається без змiн, але, на вiдмiну вiд
глобального, густина \rho i має вигляд
\rho i = \rho 0ie
\beta i\omega
2
i r
2
i , (28)
де \rho 0i — невiд’ємна скалярна стала, а квадрат вiдстанi r2i визначається виразом
r2i =
1
\omega 2
i
[\omega i, x - x0i]
2, (29)
що задає вiдстань вiд молекули до осi обертання x0i у момент часу t = 0,
x0i =
1
\omega 2
i
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] . (30)
Тут \omega i — кутова швидкiсть течiї газу в цiлому, а \widehat Vi — довiльна векторна стала. Також, на вiдмiну
вiд (6), масова швидкiсть V i залежить вiд розташування молекули таким чином:
V i = \widehat Vi + [\omega i, x]. (31)
Стацiонарний неоднорiдний максвелiан описує гвинтовий рух течiї газу, що обертається
навколо осi x0i .
Як i ранiше, розв’язок рiвняння (1) – (3) будемо шукати у виглядi (5), за винятком того, що
максвелiани Mi залежать тепер i вiд x у зв’язку з новим виглядом густини (28) та масової
швидкостi (31).
Теорема 2. Нехай коефiцiєнтнi функцiї \varphi i(t, x) мають вигляд
\varphi i(t, x) = e - \beta i\omega
2
i r
2
i \psi i(t, x), (32)
де \psi i(t, x) — невiд’ємнi, обмеженi, гладкi в усьому просторi R4 функцiї, що задовольняють
умови (9), (10) з пiдстановкою замiсть \varphi i функцiї \psi i, та, крiм того, функцiї
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 319
\psi i| x| ,
\biggl(
[\omega i, x],
\partial \psi i
\partial x
\biggr)
(33)
є обмеженими, а функцiональнi ряди з таким загальним членом збiгаються рiвномiрно на R4 .
Також нехай виконується умова
\omega i = \omega 0i\beta
- ki,
i , (34)
де ki \geq
1
2
. Тодi також iснує така величина \Delta \prime , що виконується оцiнка (11), але замiсть (12)
низькотемпературна границя \Delta \prime має такий вигляд:
a) при ki >
1
2
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta i\rightarrow +\infty
\Delta \prime =
\infty \sum
i=1
\rho 0i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \psi i
\partial t
+
\biggl( \widehat Vi, \partial \psi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + 2\pi d2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\rho 0i\rho 0j
\bigm| \bigm| \bigm| \widehat Vi - \widehat Vj\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
(\psi i\psi j); (35)
b) якщо ki =
1
2
, то у правiй частинi рiвностi (35) з’являється додатковий доданок
4\pi
\infty \sum
i=1
\rho 0i
\bigm| \bigm| \bigm| [\omega 0i, \widehat Vi]\bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\psi i. (36)
Доведення. Нерiвнiсть (19), яка була отримана при доведеннi попередньої теореми, за-
лишається у силi, тому, використовуючи новий вигляд густини \rho i та масової швидкостi V i,
отримуємо оцiнку \int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\infty \sum
i=1
\rho 0i
\biggl(
\beta i
\pi
\biggr) 3/2
e\beta i\omega
2
i r
2
i
\int
\BbbR 3
dV e - \beta i(V - \widehat Vi - [\omega i,x])
2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
V,
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
e\beta i\omega
2
i r
2
i+\beta j\omega
2
jr
2
j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
(37)
У першому ряду в (37) пiд iнтегралом виконаємо замiну змiнних
p =
\sqrt{}
\beta i
\Bigl(
V - \widehat Vi - [\omega i, x]
\Bigr)
. (38)
Звiдси випливає, що
V =
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
а якобiан замiни J = \beta
- 3/2
i . Тодi нерiвнiсть (37) з урахуванням (38) набирає вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
320 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0ie
\beta i\omega
2
i r
2
i
\int
\BbbR 3
dpe - p2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
\varphi i\varphi j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
e\beta i\omega
2
i r
2
i+\beta j\omega
2
jr
2
j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
(39)
Використовуючи коефiцiєнтнi функцiї \varphi i(t, x) (32), знаходимо частинну похiдну \varphi i(t, x) за
часом t:
\partial \varphi i
\partial t
= e\beta i\omega
2
i r
2
i
\partial \psi i
\partial t
(40)
та градiєнт \varphi i за просторовою координатою x:
\partial \varphi i
\partial x
= e\beta i\omega
2
i r
2
i
\biggl(
\partial \psi i
\partial x
+ 2\beta i\psi i
\Bigl[
\omega i, [\omega i, x - x0i]
\Bigr] \biggr)
.
Як вiдомо, \Bigl[
a, [b, c]
\Bigr]
= b(a, c) - c(a, b). (41)
Отже, враховуючи вигляд осi x0i (30), отримуємо\Bigl[
\omega i, [\omega i, x - x0i]
\Bigr]
= \omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix+
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] .
Тодi
\partial \varphi i
\partial x
= e\beta i\omega
2
i r
2
i
\biggl(
\partial \psi i
\partial x
+ 2\beta i\psi i
\Bigl(
\omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix+
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] \Bigr) \biggr) . (42)
Знайденi похiднi шуканих функцiй \varphi i (40), (42) пiдставимо у нерiвнiсть (39):\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i\times
\times
\int
\BbbR 3
dpe - p2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \psi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \psi i
\partial x
+ 2\beta i\psi i
\Bigl(
\omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix+
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] \Bigr) \biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
\psi i\psi j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
тодi пiсля елементарних перетворень остаточно отримаємо\int
\BbbR 3
dV
\bigm| \bigm| \bigm| D(f) - Q(f, f)
\bigm| \bigm| \bigm| \leq \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i\times
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 321
\times
\int
\BbbR 3
dpe - p2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \psi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \psi i
\partial x
\biggr)
+ 2p
\sqrt{}
\beta i\psi i
\Bigl(
\omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix+
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] \Bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
\psi i\psi j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (43)
Далi, в останнiй нерiвностi перейдемо до супремума по всьому простору R4, iснування якого
забезпечують умови теореми та лема, що доведена у [8]. В результатi отримаємо нерiвнiсть (11)
з величиною \Delta \prime , яка визначається таким чином:
\Delta \prime =
= \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i
\int
\BbbR 3
dpe - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \psi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \psi i
\partial x
\biggr)
+
+2p
\sqrt{}
\beta i\psi i
\Bigl(
\omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix+
\Bigl[
\omega i, \widehat Vi\Bigr] \Bigr)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\psi i\psi j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (44)
Скористаємось уповiльненням кутової швидкостi обертання \omega i, що забезпечує умова (34).
Тодi, виконуючи низькотемпературний граничний перехiд, аргументуючи його можливiсть ана-
логiчно тому, як це зроблено у попереднiй теоремi, у випадку ki >
1
2
отримуємо рiвнiсть (35),
а додатковий доданок (36) виникає як наслiдок використаної нерiвностi трикутника, тобто
\Delta \prime \leq
\leq \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i
\int
\BbbR 3
dpe - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \psi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \psi i
\partial x
\biggr)
+
+2p
\sqrt{}
\beta i\psi i
\bigl(
\omega i(\omega i, x) - \omega 2
ix
\bigr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2\pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i
\int
\BbbR 3
dpe - p2 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
| p|
\sqrt{}
\beta i\psi i
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigl[ \omega i, \widehat Vi\Bigr] \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1
i \not =j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
3\psi i\psi j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| , (45)
та умови
\omega i =
\omega 0i\surd
\beta i
. (46)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
322 В. Д. ГОРДЕВСЬКИЙ, О. О. ГУКАЛОВ
Обчислюючи низькотемпературну границю (45), у випадку (46) одержуємо рiвнiсть (35) з до-
данком (36) пiсля обчислення iнтеграла\int
\BbbR 3
| p| e - p2dp = 2\pi ,
що доводить теорему 2.
Наслiдок 2. Якщо в якостi функцiй \psi i розглянути функцiї Ci, Ei iз наслiдку 1, що зада-
ються формулами (23), (24), а також залишити виконання однiєї iз умов (25), (26) або (27) iз
символiчною замiною \varphi i на \psi i, то при виконаннi (35) вiдхил (8) можна зробити як завгодно
малим.
Для випадку ki =
1
2
, крiм таких же умов, що накладенi, коли показник степеня ki бiльший
за
1
2
, необхiдно накласти додаткову умову
\omega 0i| | \widehat Vi, (47)
тодi вiдхил (8) знову можна зробити як завгодно малим.
Доведення цього наслiдку повнiстю аналогiчне доведенню наслiдку 1.
Теорема 3. Вiдмовимось вiд вимоги (32), але будемо вимагати, щоб умови, що накладенi
на ряди (9) та вирази (10), виконувались i пiсля їх домноження на множник e\beta i\omega
2
i r
2
i . Крiм
того, нехай
\omega i = \omega 0i\beta
- ki,
i , ki >
1
2
, (48)
та виконується умова паралельностi (47).
Тодi, як i ранiше, iснує така величина \Delta \prime , що виконується нерiвнiсть (11) та її низькотем-
пературна границя збiгається з (35), де \psi i замiнено на \varphi i.
Доведення. Оцiнка (39) iз доведення теореми 2 залишається правильною. Переходячи до
супремума вiд обох частин нерiвностi (39), що дозволяють накладенi умови в цiй теоремi,
отримуємо нерiвнiсть (11) та
\Delta \prime =
= \pi - 3/2
\infty \sum
i=1
\rho 0i \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
e\beta i\omega
2
i r
2
i
\int
\BbbR 3
dpe - p2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial \varphi i
\partial t
+
\biggl(
p\surd
\beta i
+ \widehat Vi + [\omega i, x],
\partial \varphi i
\partial x
\biggr) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+2
\infty \sum
i,j=1i \not =j
d2\rho 0i\rho 0j
\pi 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
(t,x)\in \BbbR 4
\varphi i\varphi je
\beta i\omega
2
i r
2
i+\beta j\omega
2
jr
2
j
\int
\BbbR 3
dq
\int
\BbbR 3
dq1e
- q2 - q21\times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| q\surd
\beta i
- q1\sqrt{}
\beta j
+ \widehat Vi - \widehat Vj + [\omega i - \omega j , x]
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| . (49)
Перетворимо показник експоненти \beta i\omega 2
i r
2
i , використавши (29):
\beta i\omega
2
i r
2
i = \beta i
\Bigl[
\omega i, x - x0i
\Bigr] 2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
НЕСКIНЧЕННОМОДАЛЬНI НАБЛИЖЕНI РОЗВ’ЯЗКИ РIВНЯННЯ БОЛЬЦМАНА 323
Далi, використовуючи ще одну формулу векторної алгебри
([a, b], [c, d]) = (a, c)(b, d) - (a, d)(b, c),
отримуємо
\beta i [\omega i, x - x0i]
2 = \beta i\omega
2
i (x - x0i)
2 - \beta i(\omega i, x)
2,
враховуючи, що з (30) випливає \omega i\bot x0i. Тодi на пiдставi (30) та умови (47) остаточно маємо
\beta i\omega
2
i r
2
i = \beta i\omega
2
ix
2 - \beta i(\omega i, x)
2. (50)
Використовуючи умову (48), переконуємось, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\beta i\rightarrow +\infty
\beta i\omega
2
i r
2
i = 0. (51)
Тодi, виконуючи низькотемпературний граничний перехiд у (49), аргументуючи повнiстю ана-
логiчно тому, як це було зроблено в теоремi 1 з урахуванням умови (48) та границi (50),
завершуємо доведення теореми.
Зауваження 4. Оскiльки теорема 3 з накладеними умовами зберiгає рiвнiсть (35), де функ-
цiї \psi i замiнено функцiями \varphi i (тут мається на увазi, що \psi i \equiv \varphi i), то ми фактично отримуємо
теорему 1, а саме, границю (12), де V i \equiv \widehat Vi, що дозволяє використати наслiдки 1 та 2, враху-
вавши умови теореми 3.
Зауваження 5. Теореми 2, 3 та наслiдок 2 мають фiзичний сенс, що аналогiчний до опи-
саного у зауваженнi 3, але плини, що тепер розглядаються, мають ще й обертальну швидкiсть,
яка паралельна (47) до лiнiйної, або з тим чи iншим ступенем уповiльнюють своє обертання
при низьких температурах (див. (46), (48)).
4. Висновки. Побудовано деякi наближенi розв’язки рiвняння Больцмана для моделi твер-
дих куль, для чого уперше розглянуто нескiнченну сумму максвелiанiв з коефiцiєнтними функ-
цiями вiд часу t та просторової координати x. Розглянуто два випадки максвеллiвських мод:
глобальний максвелiан та один iз локальних — гвинт, аналiтичний вираз для якого, на вiдмiну
вiд глобального, залежить не лише вiд лiнiйної швидкостi молекули, а ще й вiд її просторової
координати. Отримано деякi достатнi умови на гiдродинамiчнi параметри розподiлу, що дозво-
ляють рiвномiрно iнтегральну похибку (8) мiж частинами рiвняння (1) – (3) зробити нескiнченно
малою.
Лiтература
1. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. – М.: Мир, 1978. – 495 с.
2. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 118 с.
3. Grad H. On the kinetic theory of rarefield gases // Communs Pure and Appl. Math. – 1949. – 2, № 4. – P. 331 – 407.
4. Фридлендер О. Г. Локально-максвелловские решения уравнения Больцмана // Прикл. математика и механика. –
1965. – 29, вып. 5. – C. 973 – 977.
5. Gordevskyy V. D. On the non-stationary Maxwellians // Math. Meth. Appl. Sci. – 2004. – 27, № 2. – P. 231 – 247.
6. Гордевский В. Д. Двухпотоковое распределение с винтовыми модами // Теор. и мат. физика. – 2001. – 126,
№ 2. – С. 283 – 300.
7. Gukalov A. A. Interaction between “accelarating-packing” flows for the Bryan – Pidduck model // J. Math. Phys.,
Anal., Geom. – 2003. – 9, № 3. – P. 316 – 331.
8. Gordevskyy V. D. Approximate biflow solutions of the kinetic Bryan – Pidduck equation // Math. Meth. Appl. Sci. –
2003. – 23. – P. 1121 – 1137.
Одержано 26.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1698 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:54Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/58/5c6e729a965ffe45fb8bd2200b35e558.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-16982019-12-05T09:24:16Z Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes Нескінченномодальні наближені розв’язки рівняння Больцмана Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. For the nonlinear kinetic Boltzmann equation in the case of a model of hard spheres, we construct an approximate solution in the form of a series of Maxwellian distributions with coefficient functions of time and the space coordinate. We establish the sufficient conditions for the coefficient functions and the values of hydrodynamic parameters appearing in the distribution that enable us to make the analyzed deviation arbitrarily small. Для нелинейного кинетического уравнения Больцмана в случае модели твердых шаров построено приближенное решение в виде ряда максвелловских распределений с коэффициентными функциями времени и пространственной координаты. Получены достаточные условия на коэффициентные функции и гидродинамические параметры, входящие в распределение, которые дают возможность сделать рассмотренное отклонение сколь угодно малым. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1698 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 311-323 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 311-323 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1698/680 Copyright (c) 2017 Gordevskii V. D.; Gukalov A. A. |
| spellingShingle | Gordevskii, V. D. Gukalov, A. A. Гордевський, В. Д. Гукалов, О. О. Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title | Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title_alt | Нескінченномодальні наближені розв’язки рівняння
Больцмана |
| title_full | Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title_fullStr | Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title_full_unstemmed | Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title_short | Approximate solutions of the Boltzmann equation with infinitely many modes |
| title_sort | approximate solutions of the boltzmann equation with infinitely many modes |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1698 |
| work_keys_str_mv | AT gordevskiivd approximatesolutionsoftheboltzmannequationwithinfinitelymanymodes AT gukalovaa approximatesolutionsoftheboltzmannequationwithinfinitelymanymodes AT gordevsʹkijvd approximatesolutionsoftheboltzmannequationwithinfinitelymanymodes AT gukalovoo approximatesolutionsoftheboltzmannequationwithinfinitelymanymodes AT gordevskiivd neskínčennomodalʹnínabliženírozvâzkirívnânnâbolʹcmana AT gukalovaa neskínčennomodalʹnínabliženírozvâzkirívnânnâbolʹcmana AT gordevsʹkijvd neskínčennomodalʹnínabliženírozvâzkirívnânnâbolʹcmana AT gukalovoo neskínčennomodalʹnínabliženírozvâzkirívnânnâbolʹcmana |