On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the second order
We establish necessary and sufficient conditions for a system of functions generated by differential equations of the second order to be a basis. Our method is based on the application of the Muckenhoupt condition.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1700 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507540341653504 |
|---|---|
| author | Levchuk, V. M. Левчук, В. М. Левчук, В. М. |
| author_facet | Levchuk, V. M. Левчук, В. М. Левчук, В. М. |
| author_sort | Levchuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for a system of functions generated by differential equations of the second
order to be a basis. Our method is based on the application of the Muckenhoupt condition. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:56Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.518
В. Н. Левчук (Полтав. нац. техн. ун-т)
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
We establish necessary and sufficient conditions for a system of functions generated by differential equations of the second
order to be a basis. Our method is based on the application of the Muckenhoupt condition.
Отримано необхiднi та достатнi умови базисностi системи функцiй, яка породжується диференцiальними рiвнян-
нями другого порядку. Основний метод полягає у використаннi умови Макенхаупта.
Введение. Изучению вопросов базисности семейств функций посвящена обширная литература.
Выделим одно из направлений исследований в этой области, которое было начато Б. С. Павло-
вым [1] и стало отправной точкой многочисленных работ, посвященных изучению базисности
функций [2 – 4]. Глубокая связь между базисностью систем функций и спектральным анализом
несамосопряженных операторов инициировала ряд фундаментальных исследований, принад-
лежащих Г. М. Губрееву [4].
Данная работа является развитием и обобщением статьи [5]. Пусть \varphi — такая вещественная
функция из C1(\BbbR ), что
\varphi (x) \geq 0 \forall x \in \BbbR +; \varphi ( - x) = ( - 1)\nu \varphi (x), \nu \in \BbbR , x \in \BbbR +
(при этом ( - 1)\nu = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} i\pi \nu с учетом надлежащей ветви корня, если \nu рациональное), причем
\BbbC \int
0
\varphi (x)dx <\infty ,
\BbbC \int
0
dx
\varphi (x)
<\infty , 0 < C <\infty .
Обозначим через L2
\varphi ( - a, a), 0 < a \leq \infty , гильбертово пространство функций относительно
скалярного произведения,
\langle f, g\rangle \varphi =
a\int
- a
f(x)g(x)| \varphi (x)| dx.
Обозначим через f(x, \lambda ) решение интегрального уравнения
f(x, \lambda ) + \lambda 2
x\int
0
dt
\varphi (t)
t\int
0
f(s, \lambda )\varphi (s) ds = 1
(которое при \varphi (x) = x\nu эквивалентно уравнению Бесселя). Зададим функцию
e(x, \lambda ) = f(x, \lambda ) - i
\lambda
f \prime (x, \lambda )
(отметим, что e(x, \lambda ) = ei\lambda x при \varphi (x) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}).
Данная работа посвящена описанию безусловных базисов, порождаемых e(x, \lambda ),\bigl\{
e(x, \lambda k); \lambda k \in \Lambda
\bigr\}
в пространстве L2
\varphi ( - a, a), где последовательность \Lambda = \{ \lambda k \in \BbbC : k \in \BbbZ \} не имеет конечных
предельных точек и находится на положительном расстоянии от \BbbR . Функция e(x, \lambda ) имеет
c\bigcirc В. Н. ЛЕВЧУК, 2017
332 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 333
резольвентное представление
e(x, \lambda ) = (I - \lambda B) - 1
1,
где B — компактный оператор в L2
\varphi ( - a, a) со спектром в нуле. Заметим, что функции e(x, \lambda k)
являются собственными (в смысле Фредгольма) для оператора K
\biggl(
Ke(x, \lambda k) =
1
\lambda k
e(x, \lambda k)
\biggr)
,
где K — одномерное возмущение вольтеррова оператора B,
K = B + \langle \cdot , g\rangle \varphi 1, g \in L2
\varphi ( - a, a).
В основе доказательства базисности семейства
\bigl\{
e(x, \lambda k)
\bigr\}
лежит развитие методов исследова-
ний таких задач, предложенных Г. М. Губреевым [4].
1. Предварительные сведения. Пусть \varphi (x) — такая вещественная функция на \BbbR , что
\varphi (x) \geq 0, x \in \BbbR +; \varphi ( - x) = ( - 1)\nu \varphi (x), \nu \in \BbbR , x \in \BbbR + (1.1)
(при этом ( - 1)\nu = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} i\pi \nu с учетом надлежащей ветви корня, если \nu рациональное). Опреде-
лим гильбертово пространство
L2
\varphi ( - a, a)
df
=
\left\{ f(x) :
a\int
- a
| f(x)| 2| \varphi (x)| dx <\infty
\right\} , (1.2)
где 0 < a \leq \infty . Справедливо разложение
L2
\varphi ( - a, a) = L+ \oplus L - ,
где
L\pm
df
=
\biggl\{
f\pm (x) =
1
2
(f(x)\pm f( - x)) : f(x) \in L2
\varphi ( - a, a)
\biggr\}
.
Зададим в L2
\varphi ( - a, a) линейный оператор
(Bf)(x)
df
= i
x\int
0
f - (t)dt+
i
\varphi (x)
x\int
0
f+(t)\varphi (t) dt. (1.3)
Нетрудно показать [6], что если
M =
a\int
0
\varphi (x)
x\int
0
dt
\varphi (t)
dx <\infty : \~M =
a\int
0
1
\varphi (x)
x\int
0
\varphi (t) dt <\infty , (1.4)
то оператор B (1.3) ограничен. Если имеют место
b =
\int
\BbbR
\varphi (x)dx <\infty , \~b =
\int
\BbbR
dx
\varphi (x)
<\infty , (1.5)
то справедливы (1.4). Оператор B (1.3) недиссипативен и имеет двумерную мнимую компо-
ненту
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
334 В. Н. ЛЕВЧУК
B - B\ast
i
f =
2\sum
\alpha ,\beta =1
\langle f1, g2\rangle (Jp)\alpha ,\beta g\beta , f \in L2
\varphi ( - a, a),
где
Jp =
\biggl[
0 1
1 0
\biggr]
, g1 =
\Biggl(
\~b
4b
\Biggr) 1/4
1, g2(x) =
\Biggl(
\~b
4b
\Biggr) 1/4\biggl\{
\chi +(x)
\varphi (x)
- \chi - (x)
\varphi ( - x)
\biggr\}
,
при этом 1 = \chi (x) и \chi \pm (x) — характеристические функции множеств [ - a, a] и \BbbR \pm \cap [ - a, a]
соответственно.
Рассмотрим в безвесовом пространстве L2( - a, a) (которое совпадает с L2
\varphi ( - a, a) (1.2) при
\varphi (x) \equiv 1 \forall x \in [ - a, a]) оператор интегрирования
(\BbbJ f)(x) = i
x\int
0
f(x) dt. (1.6)
При этом очевидно, что \BbbJ = B (1.3), если \varphi (x) \equiv 1. Если для \varphi (x) имеет место (1.5) и
\varphi (x) \not = 0,
1
\varphi (x)
\not = 0 \forall x \in [0, a), то [6] оператор B (1.3) подобен оператору \BbbJ (1.6).
Обозначим через e(x, \lambda ) функцию
e(x, \lambda ) = (I - \lambda B) - 11, (1.7)
где B имеет вид (1.3). Тогда
Be(x, \lambda ) =
e(x, \lambda ) - 1
\lambda
, (1.8)
где
e(x, \lambda ) = f(x, \lambda ) - i
\lambda
f \prime (x, \lambda ), (1.9)
f(x, \lambda ) — решение интегрального уравнения
f(x, \lambda ) = 1 - \lambda 2
x\int
0
dt
\varphi (t)
t\int
0
f(x, \lambda )\varphi (s) ds. (1.10)
Если имеет место оценка
1
\varphi (x)
x\int
0
\varphi (t) dt \leq M \forall x \in [0, a], (1.11)
то нетрудно видеть, что
| f(x)| \leq 1 +M2x2eMx
и, значит,
| e(x, \lambda )| \leq (1 +M)(1 +M2x2| \lambda | 2)eMx| \lambda | .
Отсюда следует, что в случае (1.11) e(x, \lambda ) (1.7) является целой функцией экспоненциального
типа, который мы обозначим через \sigma \varphi .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 335
Замечание 1.1. Если \varphi (x) \equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}, то решение интегрального уравнения (1.10) имеет вид
f(x) = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}x и, значит, e(x, \lambda ) = ei\lambda x в силу (1.9).
В дальнейшем нам понадобится следующая оценка.
Теорема 1.1. Пусть для функции \varphi (x) (1.1) имеет место (1.5), причем \varphi (x) \not = 0 и
\varphi - 1(x) \not = 0 \forall x \in (0, a). Тогда на прямой \BbbR справедлива оценка\int
\BbbR
\| B(x)g\| 2L2
\varphi ( - a,a) dz \leq M\| g\| 2L2
\varphi ( - a,a) \forall g \in L2
\varphi ( - a, a), (1.12)
где B(z) = B(1 - zB) - 1 — резольвента Фредгольма оператора B (1.3).
Доказательство. Поскольку оператор B подобен оператору \BbbJ (1.6), то достаточно доказать
оценку (1.12) для \BbbJ в безвесовом пространстве L2( - a, a). Учитывая, что
\BbbJ (z)f = \BbbJ (I - z\BbbJ ) - 1f =
x\int
0
f(x - t)eizt dt, f \in L2( - a, a), (1.13)
получаем
\| \BbbJ (x)f\| 2 =
\infty \sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggl\langle x\int
0
f(x - t)eiztdt, ek
\Biggr\rangle \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
=
\infty \sum
k=1
\bigm| \bigm| \bigl\langle ezt, T \ast ek
\bigr\rangle \bigm| \bigm| ,
где \{ ek\} \infty — произвольный ортонормированный базис в L2( - a, a), а оператор T имеет вид
(Tg)(x) =
x\int
0
f(x - t)g(t) dt, g \in L2( - a, a). (1.14)
Поэтому \int
\BbbR +iC
\| \BbbJ (x)f\| 2 dz =
\infty \sum
k=1
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigl\langle eizt, T \ast ek
\bigr\rangle \bigm| \bigm| 2 dz \leq M
\infty \sum
k=1
\| T \ast ek\| \leq N\| T \ast \| 22,
где \| .\| 2 — норма Гильберта – Шмидта. Завершает доказательство очевидное неравенство
\| T \ast \| 22 \leq K\| f\| 2.
Зададим функцию
F (\lambda , g)
df
= \langle e(x, \lambda ), g(x)\rangle L2
\varphi ( - a,a) , (1.15)
где g \in L2
\varphi ( - a, a), а e имеет вид (1.7). При любом g \in L2
\varphi ( - a, a) функция F (\lambda , g) является
целой функцией экспоненциального типа.
Очевидно, что
f(\lambda ,B\ast g) = \langle B(\lambda )1, g\rangle L2
\varphi ( - a,a)
в силу (1.7), где B(\lambda ) = B(1 - \lambda B) - 1. Обозначим через A ограниченный и ограниченно
обратимый оператор из L2
\varphi ( - a, a) в безвесовое пространство L2( - a, a), который осуществляет
подобие B (1.3) и \BbbJ (1.6); AB = \BbbJ A. Тогда для F (\lambda ,B\ast g) будем иметь
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
336 В. Н. ЛЕВЧУК
F (\lambda ,B\ast g) =
\bigl\langle
\BbbJ (\lambda )f,A\ast - 1g
\bigr\rangle
L2( - a,a)
,
где f = A1 \in L2( - a, a) и \BbbJ (\lambda ) = \BbbJ (I - \lambda \BbbJ ) - 1. Используя формулу (1.13), получаем
F (\lambda ,B\ast g) =
\bigl\langle
eizt, T \ast (A\ast - 1g)
\bigr\rangle
L2( - a,a)
, (1.16)
при этом оператор T в L2( - a, a) имеет вид (1.14). Поскольку T \ast (A\ast - 1g) \in L2( - a, a), то из
теоремы Винера – Пэли следует, что
ei\lambda aF (\lambda ,B\ast g) \in H2
+.
Итак, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.2. Если для функции \varphi (x) (1.1) имеет место (1.5), то справедливы включения
ei\lambda aF (\lambda ,B\ast g) \in H2
+, e - i\lambda aF (\lambda ,B\ast g) \in H2
- \forall g \in L2
\varphi ( - a, a),
где F (\lambda , g) имеет вид (1.15). Кроме того,
\| F (\lambda ,B\ast g)\| L2(\BbbR ) \leq C\| g\| L2
\varphi ( - a,a). (1.17)
Оценка (1.17) следует из равенства (1.16) в силу унитарности преобразования Фурье и
ограниченности операторов A и A - 1, а также T (1.14).
Замечание 1.2. Поскольку \mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}B = \{ 0\} , если \varphi (x) \not = 0 почти всюду на ( - a, a), то при
этом условии множество B\ast L2
\varphi ( - a, a) плотно в L2
\varphi ( - a, a).
Таким образом, если \varphi (x) \not = 0 почти всюду, то отображение g \rightarrow F, задаваемое форму-
лой (1.15), является ограниченным оператором на плотном множестве g \in B\ast L2
\varphi ( - a, a). Кроме
того, из (1.16) следует, что тип функции F (\lambda ,B\ast g) равен a.
2. Одномерные возмущения. Рассмотрим в пространстве L2
\varphi ( - a; a) (1.2) оператор K,
Kh
df
= Bh+ \langle h, g\rangle 1, h \in L2
\varphi ( - a; a), (2.1)
где B имеет вид (1.3) и 1 = \chi ( - a,a)(x).
Лемма 2.1. Для резольвент Фредгольма K(\lambda ) = K(I - \lambda K), B(\lambda ) = B(I - \lambda K) - 1 опе-
раторов K (2.1) и B (1.3) справедлива формула
K(\lambda )f = B(\lambda )f +
\langle (I - \lambda B) - 1f, g\rangle
1 - \lambda \langle e, g\rangle
e (2.2)
для любого f \in L2
\varphi ( - a, a)(1.2), где e имеет вид (1.7).
Доказательство. Пусть (K - zI) - 1f = h, тогда
f = (B - zI)h+ \langle h, g\rangle 1
или
RB(z)f = h+ \langle h, g\rangle RB(z)1, (2.3)
где RB(z) = (B - zI) - 1. Отсюда следует, что
\langle RB(z)f, g\rangle = \langle h, g\rangle (1 + \langle RB(z)1, g\rangle ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 337
поэтому
RK(z)f = RB(z)f - \langle RB(z)f, g\rangle
1 + \langle RB(z)1, g\rangle
RB(z)1
в силу (2.3) и h = RK(z)f, где RK(z) = (K - zI) - 1. Полагая z = \lambda - 1, получаем
(I - \lambda K) - 1f = (I - \lambda B) - 1f +
\lambda \langle (I - \lambda B) - 1f, g\rangle
1 - \lambda \langle (I - \lambda B) - 11, g\rangle
(I - \lambda B) - 11.
Учитывая равенство (I - \lambda B) - 1 - 1 = \lambda B(I - \lambda B) - 1 и определение (1.7) функции e(x\lambda ),
находим
K(I - \lambda K) - 1f = B(I - \lambda B) - 1f +
\langle (I - \lambda B) - 1f, g\rangle
1 - \lambda \langle e, g\rangle
e,
что и дает (2.2).
В дальнейшем важную роль играет функция
n(\lambda )
df
= 1 - \lambda \langle e, g\rangle . (2.4)
Из (2.2) следует, что фредгольмов спектр вполне непрерывного оператора K (2.1) совпадает с
множеством
\Lambda = \{ \lambda \in \BbbC : n(\lambda ) = 0\} . (2.5)
Если \lambda n \in \Lambda , то
Ke(x, \lambda n) =
1
\lambda n
e(x, \lambda n) (2.6)
и, значит, e(x, \lambda n) является собственной функцией оператора K. Действительно,
Ke(x, \lambda n) = Be+ \langle e, g\rangle 1 =
e(x, \lambda n) - 1
\lambda n
+ \langle e, g\rangle 1 =
1
\lambda n
e(x, \lambda n) -
1
\lambda n
n(\lambda n)1 =
1
\lambda n
e(x, \lambda n),
так как \lambda n принадлежит \Lambda (2.5) в силу (1.8).
Размерность корневого подпространства оператора K, соответствующего собственному
числу \lambda - 1
n , равна кратности корня \lambda n функции n(\lambda ) (2.4).
Задача описания базисов вида \{ e(x, \lambda n)\} \infty тесно связана с изучением оператора K (2.1).
Теорема 2.1. Предположим, что функция \varphi (x) (1.1) такова, что имеют место (1.5), и
пусть совокупность \{ e(x, \lambda n)\} (\lambda n \in \Lambda , 0 /\in \Lambda ) образует безусловный базис в L2
\varphi ( - a, a)
(1.2). Тогда существует единственная функция g \in L2
\varphi ( - a, a) такая, что для оператора K
вида (2.1) справедливы равенства (2.6).
Доказательство. Из того, что совокупность \{ e(x, \lambda n)\} образует базис, следует, что по-
следовательность \{ \lambda n\} совпадает с множеством нулей некоторой целой функции и, значит,
\lambda - 1
n ограничена, если \lambda n \in \Lambda . Определим в пространстве L2
\varphi ( - a, a) оператор K, который на
базисе вектора e(x, \lambda n) действует по правилу (2.6). Тогда оператор K ограничен вследствие
равномерной ограниченности \lambda - 1
n . Будем искать K в виде K = B + \Gamma , где B имеет вид (1.3).
Из (2.6) и (1.8) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
338 В. Н. ЛЕВЧУК
1
\lambda n
e(x, \lambda n) =
1
\lambda n
(e(x, \lambda n) - 1) + \Gamma e(x, \lambda n),
поэтому \Gamma e(x, \lambda n) =
1
\lambda n
1. Оператор \Gamma ограничен, так как B и K ограничены, и имеет од-
номерный образ. Отсюда следует, что существует единственная функция g \in L2
\varphi ( - a, a) такая,
что \Gamma = \langle ., g\rangle 1, что и доказывает утверждение.
Пусть последовательность комплексных чисел \Lambda = \{ \lambda k : k \in \BbbZ \} лежит на положительном
расстоянии от прямой \BbbR и имеет единственную предельную точку \infty . Разобьем \Lambda на две части:
\Lambda + = \{ \lambda K \in \Lambda : \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda K > 0\} , \Lambda - = \{ \lambda K \in \Lambda : \mathrm{I}\mathrm{m}\lambda K < 0\} (2.7)
— последовательности чисел из \BbbC + и \BbbC - соответственно.
Напомним [3], что множество \{ \lambda k\} k\in \BbbZ удовлетворяет условию Карлесона, если
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
k
\prod
j \not =k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \lambda k - \lambda j
\lambda k - \lambda j
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| > 0. (2.8)
Вес \omega (x) удовлетворяет A2-условию (или условию Макенхаупта) [3, 7], если
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\Delta
\left( 1
| \Delta |
\int
\Delta
\omega dx
\right) \biggl( 1
\Delta
\int
1
\omega
dx
\biggr)
<\infty , (2.9)
где \Delta пробегает множество интервалов из \BbbR , а | \Delta | — длина \Delta .
3. Свойства функции \bfitn (\bfitlambda ). Описание класса функций n(\lambda ) (2.4) основано на свойствах
функций \langle e, g\rangle , где e(x, \lambda ) имеет вид (1.7), а g \in L2
\varphi ( - a, a).
Лемма 3.1. Резольвента (I - \lambda \BbbJ ) - 1 оператора \BbbJ (1.6) задается формулой
\bigl(
(I - \lambda \BbbJ ) - 1h
\bigr)
(x) = h(x) + i\lambda
x\int
0
ei\lambda th(x - t) dt \forall h \in L2( - a, a). (3.1)
Доказательство. Функция f = (I - \lambda \BbbJ ) - 1h удовлетворяет уравнению
f(x) - i\lambda
x\int
0
f(t)dt = h(x),
т. е.
f = h+ i\lambda Kf
\left( K. = x\int
0
.dt
\right) ,
и, значит,
f = h+ i\lambda K
\infty \sum
s=0
(i\lambda k)s h,
что и дает представление (3.1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 339
Пусть A — ограниченный (и ограниченно обратимый) оператор из L2
\varphi ( - a, a) в L2( - a, a),
осуществляющий подобие B (1.3), \BbbJ (1.6), AB = JA [5, 6]. Тогда
\langle e, h\rangle =
\bigl\langle
(I - \lambda B) - 11, h
\bigr\rangle
=
\Bigl\langle
A(I - \lambda B) - 11, A\ast - 1
h
\Bigr\rangle
=
\bigl\langle
(I - \lambda J) - 1f,H
\bigr\rangle
,
где f = A1 \in L2( - a, a) и H = (A\ast ) - 1f \in L2( - a, a). Используя (3.1), находим
\langle e, h\rangle =
a\int
- a
\left( f(x) + i\lambda
x\int
0
ei\lambda tf(x - t) dt
\right) H(x)dx =
= \langle f,H\rangle + i\lambda
a\int
0
x\int
0
ei\lambda tf(x - t) dtH(x) dx+ i\lambda
0\int
- a
x\int
0
ei\lambda tf(x - t) dtH(x) dx.
Отсюда после замены порядков интегрирования получаем
\langle e, h\rangle = \langle 1, h\rangle + i\lambda
a\int
- a
ei\lambda t\psi (t) dt, (3.2)
где
\psi (t) =
\left\{
a\int
t
f(\xi - t)H(\xi ) d\xi , t \in [0, a],
-
t\int
- a
f(\xi - t)H(\xi ) d\xi , t \in [ - a, 0].
(3.3)
Поскольку f,H \in L2( - a, a), то \psi \in L2( - a, a). Функция \langle e, h\rangle представляет собой аналог
преобразования Фурье функции h(x) в силу замечания 1.1.
Лемма 3.2. Для функции
\~h(\lambda ) = \langle e, h\rangle , (3.4)
где e имеет вид (1.7), справедливо представление
\~h(\lambda ) = \~h(0) + i\lambda
a\int
- a
ei\lambda t\psi (t) dt. (3.5)
Здесь \psi (t) задается формулой (3.3) и принадлежит L2( - a, a).
Равенство (3.5) следует из (3.2), так как e(x, 0) = 1.
Определение 3.1 [8]. Функция f(\lambda ) принадлежит классу Бернштейна B\sigma , если f(\lambda ) —
целая функция экспоненциального типа \leq \sigma и
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x\in \BbbR
| f(x)| <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
340 В. Н. ЛЕВЧУК
Известно, что для любого f \in B\sigma имеет место представление (3.5) (\sigma = a). Таким образом,
\~h(\lambda ) (3.4) принадлежит классу Ba.
Замечание 3.1. Для n(\lambda ) (2.4) имеет место
h
\Bigl(
n,\pm \pi
2
\Bigr)
= a (3.6)
в силу (3.4), (3.5). Кроме того, для h(\lambda ) = \lambda - 1 (n(\lambda ) - n(0)) справедливо включение \lambda - 1(h(\lambda ) -
- h(0)) \in L2(\BbbR ).
Замечание 3.2. Пусть q(\lambda ) \geq 0 (\forall \lambda \in \BbbR ) и q \in L1(\BbbR ), тогда для любого h \in Ba имеют
место соотношения hq \in L1(\BbbR ), h\surd q \in L2(\BbbR ). В частности, это справедливо при q = | \varphi |
(q = | \varphi | - 1) в силу (1.5).
Лемма 3.3. Пусть q(\lambda ) \geq 0 (\forall \lambda \in \BbbR ) и q \in L1(\BbbR ), а функция f = A1 такова, что
существуют f \prime и f \prime \in L2( - a, a). Тогда для \~h (3.4) справедлива оценка\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \~h(\lambda )\bigm| \bigm| \bigm| 2 q(\lambda ) d\lambda \leq C\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a). (3.7)
Доказательство. Действительно,\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \~h(\lambda )\bigm| \bigm| \bigm| 2 q(\lambda ) d\lambda =
\int
\BbbR
| \langle e, h\rangle | 2 q(\lambda ) d\lambda =
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigl\langle (I - \lambda \BbbJ ) - 1f,H
\bigr\rangle \bigm| \bigm| 2 q(\lambda ) d\lambda ,
где f = A1, H = (A\ast ) - 1h \in L2( - a, a). Из неравенства Коши – Буняковского следует, что\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \~h(\lambda )\bigm| \bigm| \bigm| 2 q(\lambda ) d\lambda \leq \| H\| 2L2
\int
\BbbR
\bigm\| \bigm\| (I - \lambda \BbbJ ) - 1f
\bigm\| \bigm\| 2 q(\lambda ) d\lambda \leq
\leq M \| h\| 2L2
\varphi ( - a,a)
\int
\BbbR
\bigm\| \bigm\| (1 - \lambda \frakI ) - 1f
\bigm\| \bigm\| 2 q(\lambda ) d\lambda .
Докажем ограниченность последнего интеграла. Поскольку
(I - \lambda \BbbJ ) - 1f = f(x) + i\lambda
x\int
0
ei\lambda (x - \xi )f(\xi ) = f(0)ei\lambda x +
x\int
0
ei\lambda (x - \xi )f \prime (\xi ) d\xi , (3.8)
то
\bigm\| \bigm\| (I - \lambda \BbbJ ) - 1f
\bigm\| \bigm\| 2 = a\int
- a
\left\{ | f(0)| 2 + 2\mathrm{R}\mathrm{e}f(0)
x\int
0
e - i\lambda \xi f \prime (\xi )d\xi +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
e - i\lambda \xi f \prime (\xi )d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2\right\} dx.
Учитывая ограниченность оператора интегрирования в L2( - a, a)\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x\int
0
g(\xi )d\xi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq N\| g\| , N <\infty , g \in L2( - a, a),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 341
и то, что f \prime \in L2( - a, a), получаем\bigm\| \bigm\| (I - \lambda \BbbJ ) - 1f
\bigm\| \bigm\| 2 \leq 2a| f(0)| 2 + 2| f(0)| N\| f \prime \| +N2\| f \prime \| 2 < K.
Оценка (3.7) теперь следует из q \in L1(\BbbR ).
Рассмотрим обратное по отношению к соответствию h\rightarrow \~h (3.4) преобразование. Покажем,
что для любого p \in L2
\varphi ( - a, a) найдется функция \^p(\lambda ) такая, что
p(x) =
\int
\BbbR
e(x, \lambda )\^p(\lambda )d\lambda , (3.9)
где e имеет вид (1.7). Применим к обеим частям (3.8) оператор A (L2
\varphi ( - a, a) \rightarrow L2( - a, a)),
тогда
P (x) =
\int
\BbbR
\^p(\lambda )
\left\{ f(0)ei\lambda x +
x\int
0
ei\lambda \xi f \prime (x - \xi )d\xi
\right\} d\lambda
в силу равенства Ae = (I - \lambda \BbbJ ) - 1f и (3.8), где P = Ap, f = A1. Следовательно,
f(0)r(x) +
x\int
0
r(\xi )f \prime (x - \xi )d\xi = P (x), (3.10)
где
r(x) =
\int
\BbbR
\^p(\lambda )ei\lambda xd\lambda , (3.11)
в предположении, что интеграл (3.11) сходится. Пусть, как и в лемме 3.2, f(0) \not = 0 и f \prime \in
\in L2( - a, a), тогда уравнение Вольтерра второго рода (3.10) всегда имеет единственное решение
[9] r(x) \in L2( - a, a) в силу P, f \prime \in L2( - a, a). Отсюда и из (3.11) следует, что \^p(\lambda ) является
обратным преобразованием Фурье функции r(x) \in L2( - a, a) и, значит, представляет собой
целую функцию экспоненциального типа \leq a такую, что \^p \in L2(\BbbR ).
Теорема 3.1. Пусть функция f = A1 из L2( - a, a) такова, что f(0) \not = 0, существует f \prime
и принадлежит L2( - a, a). Тогда для любой функции p \in L2
\varphi ( - a, a) существует единственная
целая функция \^p(\lambda ) экспоненциального типа \leq a, принадлежащая L2(\BbbR ) при \lambda \in \BbbR , такая,
что справедливо представление (3.9), при этом имеет место оценка
\| p(x)\| L2
\varphi ( - a,a) \leq C \| \^p(\lambda )\| L2(\BbbR ) . (3.12)
Доказательство. Нам осталось доказать оценку (3.12). Для P = Ap в силу обратимости
A имеет место неравенство \| p\| < N\| P\| , поэтому нужно в L2( - a, a) оценить норму P. Из
(3.10) следует, что
\| P\| 2L2( - a,a) \leq | f(0)| 2\| r\| 2 + 2| f0| \| r\|
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x\int
0
r(\xi )f \prime (x - \xi )
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| +
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
x\int
0
r(\xi )f \prime (x - \xi )d\xi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
342 В. Н. ЛЕВЧУК
Заметим, что \| r\| = \| \^p\| вследствие унитарности преобразования Фурье и (3.11), а так как\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
r(\xi )f \prime (x - \xi )d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
\leq
x\int
0
| r(\xi )| 2d\xi
x\int
0
\bigm| \bigm| f \prime (x - \xi )
\bigm| \bigm| 2 d\xi ,
то из f \prime \in L2( - a, a) заключаем, что\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
r(\xi )f \prime (x - \xi )d\xi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
\leq \| r\| 2K2.
Поэтому
\| p\| 2 \leq \| \^p\| 2
\bigl(
| f(0)| 2 + 2| f(0)| K +K2
\bigr)
,
что и доказывает неравенство (3.12).
Теорема 3.2. Пусть функция \varphi (1.1) имеет свойства (1.5), а n(\lambda ) имеет вид
n(\lambda ) = 1 - \lambda \langle e, g\rangle ,
где g \in L2
\varphi ( - a, a), а e задается формулой (1.7). При этом оператор B в L2
\varphi ( - a, a) имеет вид
(1.9). Если корни n(\lambda ) не лежат на \BbbR , то следующие условия эквивалентны:
1) для любого h \in L2
\varphi ( - a, a) имеет место оценка\int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1| n(z)| 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\langle (I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 dz \leq M\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a); (3.13)
2) вес \omega 2(\lambda ) = | \varphi (\lambda )| | n(\lambda )| 2 удовлетворяет A2-условию на \BbbR .
Доказательство. 1) \Rightarrow 2). Заменим в выражении
\bigl\langle
(I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
функцию h выражением
h(x) =
\int
\BbbR
e(x, \lambda )\^h(\lambda )d\lambda
в силу теоремы 3.1 и (3.9). Тогда, используя (1.7), имеем
\bigl\langle
(I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
=
\int
\BbbR
\bigl\langle
(I - zB) - 1(I - \lambda B) - 11, g
\bigr\rangle
\~h(\lambda )d\lambda .
Поскольку
(1 - zB) - 1(1 - \lambda B) - 1 = (z - \lambda ) - 1
\bigl\{
z(I - zB) - 1 - \lambda (I - \lambda B) - 1
\bigr\}
,
то, учитывая определение n (2.4), получаем
\bigl\langle
(1 - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
=
\int
\BbbR
n(z) - n(\lambda )
\lambda - z
\~h(\lambda )d\lambda .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 343
Подставляя последнее равенство в (3.13), находим
\int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1| n(z)| - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
n(z) - n(\lambda )
\lambda - z
\^h(\lambda )d\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
dz \leq M\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a).
Используя неравенство (3.12), записываем это неравенство в виде
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | \varphi (z)| - 1
2
\int
\BbbR
\^h(\lambda )
\lambda - z
i\lambda - | \varphi (z)| -
1
2n(z) - 1
\int
\BbbR
n(\lambda )| \varphi (\lambda )|
1
2
\lambda - z
\^h(\lambda )| \varphi (\lambda )| -
1
2d\lambda
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
dz \leq M1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \^h(\lambda )\bigm\| \bigm\| \bigm\|
L2(\BbbR )
.
Поскольку
\bigm\| \bigm\| \^h| \varphi | - 1
2
\bigm\| \bigm\|
L2(\BbbR ) < C
\bigm\| \bigm\| \^h\bigm\| \bigm\|
L2(\BbbR ) (в силу (1.5)) и
\bigm\| \bigm\| \^h\bigm\| \bigm\| \leq \~C
\bigm\| \bigm\| \^h| \varphi | - 1
2
\bigm\| \bigm\| по той же причине,
то отсюда следует ограниченность оператора \omega - 1H\omega (где H — преобразование Гильберта) в
пространстве L2(\BbbR ) и, значит, для \omega = | \varphi | n2 имеет место A2-условие.
2) \Rightarrow 1). Рассуждая в обратном порядке, получаем оценку\int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1| n(z)| - 2
\bigl\langle
(I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
dz \leq M1
\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \^h(\lambda )\bigm| \bigm| 2d\lambda
в силу теоремы 3.1. Используя (3.12), завершаем доказательство теоремы.
Замечание 3.3. Теорема 3.2 справедлива, если интегрирование в (3.13) осуществляется
вдоль прямой \BbbR + ic в предположении, что функция \varphi (x) (1.1) имеет продолжение в \BbbC из \BbbR .
4. Безусловная базисность семейства \{ \bfite (\bfitx , \bfitlambda \bfitk )\} . Основным результатом работы явля-
ется следующая теорема.
Теорема 4.1. Предположим, что функция \varphi (x) (1.1) имеет свойства (1.5), множество
\Lambda =
\bigl\{
\lambda k \in \BbbC : k \in \BbbZ
\bigr\}
лежит на положительном расстоянии от оси \BbbR и функция f = A1
(A — оператор из L2
\varphi ( - a, a) в L2( - a, a), осуществляющий подобие операторов B (1.3) и \BbbJ
(1.6)) такова, что f(0) \not = 0 и существует f \prime (x) почти всюду, причем f \prime \in L2( - a, a). Для
того чтобы семейство \bigl\{
e(x, \lambda k), \lambda k \in \Lambda
\bigr\}
, 0 /\in \Lambda , (4.1)
было безусловным базисом в L2
\varphi ( - a, a) (1.2), необходимо и достаточно, чтобы \Lambda образовало
множество корней целой функции экспоненциального типа n такой, что:
1) \lambda - 1 (n(\lambda ) - n(0)) \in L2
\varphi (\BbbR );
2) h
\Bigl(
n,\pm \pi
2
\Bigr)
= a;
3) вес \omega 2(\lambda ) = | \varphi (\lambda )| | n(\lambda )| 2 удовлетворяет A2-условию (2.9);
4) корни n(\lambda ) простые и последовательности \Lambda \pm (2.7) удовлетворяют условию Карлесо-
на (2.8).
Доказательство. Необходимость. Шаг 1. Если семейство (4.1) образует базис в L2
\varphi ( - a, a),
то e(x, \lambda k) — собственные функции оператора K (2.1), где \{ \lambda k\} — нули функции n(\lambda ) (2.4).
Условия 1, 2 следуют из замечаний 3.1, 3.2.
Если \{ e(x, \lambda k)\} — базис в L2
\varphi ( - a, a), то существует оператор K (2.1) такой, что имеют
место равенства (2.6) (теорема 1.2). Разложим произвольную функцию h \in L2
\varphi ( - a, a) по базису
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
344 В. Н. ЛЕВЧУК
h =
\sum
k\in \BbbZ
bke(x, \lambda k), bk \in \BbbC .
Тогда \int
\BbbR
\bigm\| \bigm\| K(1 - zK) - 1h
\bigm\| \bigm\| 2
L2
\varphi ( - a,a)
dz \not =
\int
\BbbR
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum
k
bke(x, \lambda k)
z - \lambda k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
dz \leq
\leq M
\sum
| bk| 2\| e(x, \lambda k)\| 2L2
\varphi ( - a,a) \leq M1\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a),
так как \int
\BbbR
dz
| z - \lambda k| 2
\leq m \forall \lambda \in \Lambda
в силу отделимости множества \Lambda от \BbbR . Отсюда, из теоремы 1.1 и формулы (2.2) получаем\int
\BbbR
\bigm| \bigm| \bigm| n - 1(z)
\bigl\langle
(1 - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 \cdot \| e(x, z)\| 2L2
\varphi ( - a,a) dz \leq M\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a).
Учитывая оценку [3]
\| e(x, \lambda )\| 2L2
\varphi ( - a,a) \geq m| \varphi (\lambda )| - 1, \lambda \in \BbbR ,
имеем \int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1| n(z)| - 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\langle (I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 dz \leq M\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a). (4.2)
Используя теорему 3.2, приходим к тому, что вес \omega 2(\lambda ) = | \varphi (\lambda )| | n(\lambda )| 2 удовлетворяет A2-
условию.
Шаг 2. Функция
\psi (\lambda ) = \psi (0) - \lambda \langle e, g0\rangle , g0 \in L2
\varphi ( - a, a), (4.3)
принадлежит классу Ba (лемма 3.2, замечание 3.1). Поэтому, используя теорему 3.2, получаем
оценку \int
\BbbR
| \varphi (\lambda )| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\langle (1 - \lambda B) - 1h, g0
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 d\lambda \leq M\| h\| L2
\varphi ( - a,a). (4.4)
Поскольку
(I - zK) - 1h = (I - zB) - 1h+ zn - 1(z)e(z)
\bigl\langle
(1 - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
,
то \bigl\langle
(1 - zK) - 1h, g0
\bigr\rangle
=
\bigl\langle
(1 - zB) - 1h, g0
\bigr\rangle
+
\psi (0) - \psi (z)
n(z)
\bigl\langle
(I - zB) - 1h, g
\bigr\rangle
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 345
Учитывая (4.2), (4.4), имеем\int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigl\langle (1 - zK) - 1h, g0
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 dz \leq M1\| h\| 2L2
\varphi ( - a,a). (4.5)
Пусть
h(x) =
\sum
cke(x, \lambda k), \lambda k \in \Lambda ,
тогда из (2.6) заключаем, что
(1 - zK) - 1h =
\sum
ck
\lambda k
\lambda k - z
e(x, \lambda k).
Отсюда в силу (4.3) получаем
\bigl\langle
(1 - zK) - 1h, g0
\bigr\rangle
L2
\varphi ( - a,a)
=
\sum
ck
\psi (\lambda k) - \psi (0)
z - \lambda k
.
Представим h в виде
h =
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ake(x, \lambda k) +
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bke(x, \lambda k), ak, bk \in \BbbC ,
тогда
\bigl\langle
(1 - zB) - 1h, g0
\bigr\rangle
=
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ak
\delta +k e
- i\lambda ka
z - \lambda k
+
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bk
\delta - k e
i\lambda ka
z - \lambda k
, (4.6)
при этом
\delta +k
df
= ei\lambda ka (\psi (\lambda k) - \psi (0)) , \lambda k \in \Lambda +,
\delta - k
df
= e - i\lambda ka (\psi (\lambda k) - \psi (0)) , \lambda k \in \Lambda - .
Тогда из (4.5), (4.6) следует, что
\int
\BbbR
| \varphi (z)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ak
\delta +k e
- i\lambda ka
z - \lambda k
+
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bk
\delta - k e
i\lambda ka
z - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
d\lambda \leq
\leq M1
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ake(x, \lambda k) +
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bke(x, \lambda k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
, (4.7)
где \delta \pm k \asymp 1, \lambda k \in \Lambda \pm , \{ ak, bk\} — произвольные конечные наборы из \BbbC .
Шаг 3. Используя теорему 1.2 и лемму 3.3, получаем, что для любого g \in L2
\varphi ( - a, a) для
\~g(x) = \langle e, g\rangle (3.4) имеет место
ei\lambda a\~g(\lambda )| \varphi (\lambda )|
1
2 \in H2
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
346 В. Н. ЛЕВЧУК
и, значит, ei\lambda a\~g(\lambda ) принадлежит весовому классу Харди в \BbbC + с весом Макенхаупта \omega 2 = | \varphi | .
Ее значения в \BbbC + определяются предельными значениями на \BbbR интеграла Коши\sum
\^ak\~g(\lambda k)e
i\lambda ka =
1
2\pi i
\int
\BbbR
\sum
\^ak
\~g(x)
x - \lambda k
eixadx, \lambda k \in \Lambda +
k ,
а последовательность \{ ak\} финитна. Пусть ak = \^ake
i\lambda ka, тогда
\bigm| \bigm| \bigm| \sum ak \langle e(x, \lambda k), g\rangle L2
\varphi ( - a,a)
\bigm| \bigm| \bigm| 2 \leq 1
4\pi 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR
\sum
ak
e - i\lambda ka\~g(x)
x - \lambda k
eixadx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
2
\leq
\leq M
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum ake
- \lambda kai
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx\int
\BbbR
| \varphi (x)|
1
2
\bigm| \bigm| \~g(x)eixa\bigm| \bigm| 2 dx \leq
\leq M
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum ake
- ia\lambda k
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 x\| g\| 2L2
\varphi ( - a,a).
Итак, мы получили оценку\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ake(x, \lambda k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
\leq M
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum ake
- i\lambda ka
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx. (4.8)
Аналогичным образом для финитной последовательности bk имеет место неравенство\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bke(x, \lambda k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
\leq M
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum bke
i\lambda kb
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx. (4.9)
Если совокупность (4.1) образует безусловный базис, то из (4.7) при bk = 0 и (4.9) следует
двойная оценка \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\lambda k\in \Lambda +
cke(x, \lambda k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
\asymp
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum cke
- i\lambda ka
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx
для любой конечной последовательности \{ ck\} . Таким образом, совокупность
\biggl\{
1
x - \lambda k
\biggr\}
, \lambda k \in
\in M+, является безусловным базисом в L2
\varphi ( - a, a) своей линейной оболочки и, значит, справед-
ливо условие Карлесона (2.8). Аналогично доказывается, что имеет место условие Карлесона
и для M - , что доказывает условие 4.
Достаточность. Шаг 1. Поскольку 0 /\in \Lambda , то мы можем считать, что n(0) = 1. Из
условий 1, 2 и теорем 3.1, 3.2 заключаем, что
n(\lambda ) = 1 - \lambda \langle e, g\rangle , g \in L2
\varphi ( - a, a).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О БЕЗУСЛОВНЫХ БАЗИСАХ ЯДЕР, ПОРОЖДАЕМЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ . . . 347
Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве необходимости (см. шаг 2), полу-
чаем неравенства (4.7). Складывая далее (4.8) и (4.9), имеем\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\sum
\lambda k\in \Lambda +
ake(x, \lambda k) +
\sum
\lambda k\in \Lambda -
bke(x, \lambda k)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
2
L2
\varphi ( - a,a)
\leq
\leq M
\int
\BbbR
| \varphi (x)| - 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \sum ak
e - i\lambda ka
x - \lambda k
+
\sum
bk
ei\lambda ka
x - \lambda k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 2 dx.
Из условия 4 следует, что семейство дробей
\biggl\{
1
x - \lambda k
\biggr\}
\lambda k\in \Lambda +
,
\biggl\{
1
x - \lambda k
\biggr\}
\lambda k\in \Lambda -
образует без-
условный базис замыкания своей оболочки в L2 на \BbbR с мерой | \varphi (x)| - 1dx. Тогда из (4.7) следует
базисность совокупности (4.1) в замыкании своей линейной оболочки L2
\varphi ( - a, a).
Шаг 2. Осталось установить полноту семейства (4.1). Предполагая противное, выберем
функцию f \in L2
\varphi ( - a, a) такую, что f \bot e(x, \lambda k) (\forall k). Рассмотрим функцию (см. (3.4))
\~f(\lambda ) = \langle e, f\rangle .
Из леммы 3.2 заключаем, что \~f — целая функция из класса Ba, для которой справедливо
представление (3.5), причем \~f(\lambda k) = 0 (\forall k). Рассмотрим целую функцию
F (\lambda ) =
\~f(\lambda )
n(\lambda )
.
Поскольку функции \~f и n имеют вполне регулярный рост [7], то
h
\Bigl(
F,\pm \pi
2
\Bigr)
= h
\Bigl(
\~f,\pm \pi
2
\Bigr)
- h
\Bigl(
n,\pm \pi
2
\Bigr)
\leq 0
в силу условия 2. При \lambda \in \BbbR имеем
\omega 2(\lambda )| F (\lambda )| 2 = | \varphi (\lambda )|
\bigm| \bigm| \bigm| \~f(\lambda )\bigm| \bigm| \bigm| 2 \in L1(\BbbR )
и, значит, \omega (\lambda )F (\lambda ) \in L2(\BbbR ), где \omega 2 — вес Макенхаупта. Следовательно [3], F (\lambda ) допускает
интегральное представление (аналог теоремы Винера – Пэли). Отсюда следует, что F (\lambda ) \equiv 0
и, значит, f = 0.
Литература
1. Павлов Б. С. Базисность систем экспонент и условие Макенхаупта // Докл. АН СССР. – 1979. – 247, №. 1. –
С. 37 – 40.
2. Khruschev S. V., Nikolskii N. K., Pavlov B. S. Unconditional based of exponentials and reproducting kernels // Lect.
Notes Math. – 1981. – 804. – P. 214 – 335.
3. Губреев Г. М. Спектральная теория регулярных квазиэкспонент и регулярных B -представимых вектор-
функций // Алгебра и анализ. – 2000. – 12, №. 6. – С. 1 – 97.
4. Губреев Г. М. Избранные труды. – Днепропетровск: Середняк Т. К., 2014. – 445 с.
5. Губреев Г. М., Левчук В. Н. Описание безусловных базисов из значений ядер Данкла // Функцион. анализ и
его прил. – 2015. – 49, №. 1. – С. 79 – 82.
6. Левчук В. Н. Классы несамосопряженных операторов // Докл. НАН Украины. – 2016. – №. 12. – С. 36 – 42.
7. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. – М.: Мир, 1984.
8. Ахиезер Н. И. Лекции по теории апроксимации. – М.: Наука, 1965.
9. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
Получено 15.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1700 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:56Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/20/5bc4bbb222b7c2e13f9c8f703fbef520.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17002019-12-05T09:24:16Z On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the second order О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями второго порядка Levchuk, V. M. Левчук, В. М. Левчук, В. М. We establish necessary and sufficient conditions for a system of functions generated by differential equations of the second order to be a basis. Our method is based on the application of the Muckenhoupt condition. Отримано необхiднi та достатнi умови базисностi системи функцiй, яка породжується диференцiальними рiвняннями другого порядку. Основний метод полягає у використаннi умови Макенхаупта. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1700 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 332-347 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 332-347 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1700/682 Copyright (c) 2017 Levchuk V. M. |
| spellingShingle | Levchuk, V. M. Левчук, В. М. Левчук, В. М. On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the second order |
| title | On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| title_alt | О безусловных базисах ядер, порождаемых дифференциальными уравнениями
второго порядка |
| title_full | On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| title_fullStr | On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| title_full_unstemmed | On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| title_short | On conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| title_sort | on conditionless bases of the kernels generated by differential equations of the
second order |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1700 |
| work_keys_str_mv | AT levchukvm onconditionlessbasesofthekernelsgeneratedbydifferentialequationsofthesecondorder AT levčukvm onconditionlessbasesofthekernelsgeneratedbydifferentialequationsofthesecondorder AT levčukvm onconditionlessbasesofthekernelsgeneratedbydifferentialequationsofthesecondorder AT levchukvm obezuslovnyhbazisahâderporoždaemyhdifferencialʹnymiuravneniâmivtorogoporâdka AT levčukvm obezuslovnyhbazisahâderporoždaemyhdifferencialʹnymiuravneniâmivtorogoporâdka AT levčukvm obezuslovnyhbazisahâderporoždaemyhdifferencialʹnymiuravneniâmivtorogoporâdka |