Fundamental solution of the Cauchy problem for the Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness
Under the condition of minimal smoothness of the coefficients, we construct the fundamental solution of the Cauchy problem and study the principal properties of this solution for a special class of linear parabolic systems with bounded variable coefficients covering the class of Shilov-type paraboli...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1701 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507541318926336 |
|---|---|
| author | Litovchenko, V. A. Unguryan, G.M. Літовченко, В. А. Унгурян, Г. М. |
| author_facet | Litovchenko, V. A. Unguryan, G.M. Літовченко, В. А. Унгурян, Г. М. |
| author_sort | Litovchenko, V. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | Under the condition of minimal smoothness of the coefficients, we construct the fundamental solution of the Cauchy
problem and study the principal properties of this solution for a special class of linear parabolic systems with bounded
variable coefficients covering the class of Shilov-type parabolic systems of nonnegative kind. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. А. Лiтовченко, Г. М. Унгурян (Чернiв. нац. ун-т iм. Ю. Федьковича)
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ПАРАБОЛIЧНИХ
СИСТЕМ ТИПУ ШИЛОВА З КОЕФIЦIЄНТАМИ ОБМЕЖЕНОЇ ГЛАДКОСТI
Under the condition of minimal smoothness of the coefficients, we construct the fundamental solution of the Cauchy
problem and study the principal properties of this solution for a special class of linear parabolic systems with bounded
variable coefficients covering the class of Shilov-type parabolic systems of nonnegative kind.
При условии минимальной гладкости коэффициентов построено фундаментальное решение задачи Коши и иссле-
дованы его основные свойства для одного класса линейных параболических систем с ограниченными переменными
коэффициентами, охватывающего класс параболических по Шилову систем с неотрицательным родом.
1. Вступ. Сформульоване Г. Є. Шиловим в [1] означення параболiчностi узагальнює поняття
параболiчностi за I. Г. Петровським [2] та iстотно розширює клас Петровського систем рiвнянь
iз частинними похiдними першого порядку за часом тими системами зi сталими коефiцiєнтами,
у яких порядок може вiдрiзнятися вiд показника параболiчностi. Дослiдження параболiчних за
Шиловим систем проводилось у багатьох працях, при цьому основна увага придiлялась лише
випадку сталих коефiцiєнтiв (див. огляд у [3]). Намагання одержати хоча б якiсь результати
для параболiчних за Шиловим систем iз залежними вiд просторової змiнної коефiцiєнтами
були марними, оскiльки, як було з’ясовано в [4], такi системи, взагалi кажучи, є параболiчно
нестiйкими до змiни своїх коефiцiєнтiв.
Цiкавий пiдхiд до розширення класу Шилова параболiчно стiйкими системами запропо-
нував Я. I. Житомирський [5]. При цьому, вдало використовуючи поняття головної частини
системи, вiн означив новий клас так званих параболiчних систем типу Шилова iз змiнними
молодшими коефiцiєнтами (незалежними вiд часової змiнної), який гармонiчно доповнює клас
Петровського систем iз змiнними коефiцiєнтами i повнiстю охоплює клас параболiчних за Ши-
ловим систем. Для таких систем методом послiдовного наближення ним було встановлено
коректну розв’язнiсть задачi Кошi у класi обмежених функцiй.
У [3], розвиваючи зазначену iдею Я. I. Житомирського, означено широкий клас параболiч-
них систем iз змiнними коефiцiєнтами вигляду
\partial tu(t;x) = \{ P0(t; i\partial x) + P1(t, x; i\partial x)\} u(t;x), (t;x) \in \Pi (0;T ], (1)
де u := \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}(u1, . . . , um), \Pi (0;T ] := \{ (t;x) : t \in (0;T ], x \in \BbbR n\} , а P0(t; i\partial x) i P1(t, x; i\partial x) —
матричнi диференцiальнi вирази порядкiв вiдповiдно p i p1, p > p1 \geq 0, з коефiцiєнтами,
залежними вiд часової змiнної t, при цьому коефiцiєнти виразу P1 можуть залежати i вiд
просторової змiнної x. Тут припускається, що вiдповiдна система
\partial tu(t;x) = P0(t; i\partial x)u(t;x), (t;x) \in \Pi (0;T ], (2)
є рiвномiрно параболiчною за Шиловим на множинi \Pi [0;T ] з показником параболiчностi h,
0 < h \leq p, невiд’ємним родом \mu i зведеним порядком p0 [6], та вимагається виконання такої
умови:
(А) 0 \leq p1 < h - n(1 - h\mu /p0) - (m - 1)(p - h).
c\bigcirc В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН, 2017
348 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 349
Для таких систем (1) за умови, що їх коефiцiєнти є неперервними за змiнною t, нескiнченно
диференцiйовними за змiнною x комплекснозначними функцiями, обмеженими разом зi своїми
похiдними у шарi \Pi [0;T ], у [3] побудовано фундаментальний розв’язок задачi Кошi (ФРЗК)
Z(t, x; \tau , \xi ), 0 \leq \tau < t \leq T, \{ x, \xi \} \subset \BbbR n, та дослiджено його основнi властивостi гладкостi
й поведiнку в околi нескiнченно вiддалених просторових точок. Цi результати дозволили в
[7 – 9] розвинути теорiю задачi Кошi для таких систем у просторах типу S I. М. Гельфанда
i Г. Є. Шилова [10], зокрема встановити коректну розв’язнiсть задачi Кошi iз узагальненими
початковими даними типу ультрарозподiлiв Жевре, одержати форму зображення класичних
розв’язкiв iз узагальненими граничними значеннями на початковiй гiперплощинi, дослiдити їх
якiснi властивостi та описати множини узагальнених початкових функцiй, для яких вiдповiднi
розв’язки є елементами простору S Л. Шварца, або того чи iншого простору типу S.
Для одержання подiбних результатiв при слабших умовах на коефiцiєнти системи (1) не-
обхiдно спочатку з’ясувати властивостi вiдповiдного ФРЗК Z. У данiй роботi з’ясовуються
умови мiнiмальної гладкостi коефiцiєнтiв щодо змiнної x, за яких iснує класичний ФРЗК, та
дослiджуються його основнi властивостi.
2. Допомiжнi вiдомостi. Нехай диференцiальнi вирази P0 i P1 системи (1) мають структуру
P0(t; i\partial x) =
\sum
| k| +\leq p
A0,k(t)\partial
k
x , P1(t, x; i\partial x) =
\sum
| k| +\leq p1
A1,k(t;x)\partial
k
x ,
де A0,k(t) := i| k| +
\Bigl(
alj0,k(t)
\Bigr) m
l,j=1
, A1,k(t;x) := i| k| +
\Bigl(
alj1,k(t;x)
\Bigr) m
l,j=1
— матричнi коефiцiєнти,
i — уявна одиниця, а | k| + := k1 + . . .+ kn, k \in \BbbZ n
+.
Позначимо через G(t, \tau ; \cdot ), 0 \leq \tau < t \leq T, ФРЗК для системи (2). Вiдомо [9, 11], що
G(t, \tau ; \cdot ) = F
\bigl[
\Theta t
\tau (\xi )
\bigr]
(t, \tau ; \cdot ), де F [\cdot ] — оператор перетворення Фур’є, а \Theta t
\tau (\cdot ) — матрицант
вiдповiдної двоїстої за Фур’є системи, причому
\forall T > 0 \exists \delta > 0 \forall k \in \BbbZ n
+ \exists c > 0 \forall t \in (\tau ;T ] \forall \tau \in [0;T ) \forall \{ x, \xi \} \subset \BbbR n :\bigm| \bigm| \bigm| \partial k
xG(t, \tau ;x - \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| \leq c(t - \tau ) -
n+| k| ++\gamma
h e
- \delta
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(3)
(тут \gamma := (m - 1)(p - h), \alpha := \mu /p0, | (alj)ml,j=1| := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ l,j\} \subset \BbbN m
| alj | , a \| \cdot \| — евклiдова норма
в \BbbR n).
Розглядатимемо тут системи (1), для яких окрiм умови (A) виконується ще така:
(B) коефiцiєнти alj0,k(t), a
lj
1,k(t;x) є неперервними за змiнною t рiвномiрно щодо x, дифе-
ренцiйовними за змiнною x до порядку \alpha \ast включно i обмеженими разом iз своїми похiдними
комплекснозначними функцiями в шарi \Pi [0;T ].
Прикладом системи (1) при m = n = 1, для якої виконуються умови (A) i (B) з \alpha \ast = 3, є
рiвняння
\partial tu(t;x) =
\Biggl\{
t2\partial 3
x + \partial 2
x -
\surd
t\partial x +
t
3
\surd
x10
(1 + x2)2
\Biggr\}
u(t;x), t \in (0;T ], x \in \BbbR . (4)
Вiдповiдним параболiчним за Шиловим рiвнянням є
\partial tu(t;x) =
\Bigl\{
t2\partial 3
x + \partial 2
x -
\surd
t\partial x
\Bigr\}
u(t;x), t \in (0;T ], x \in \BbbR ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
350 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
для якого p = p0 = 3, h = 2, a \mu \geq 0.
Зазначимо, що рiвняння (4) не вiдноситься нi до класу рiвнянь, параболiчних за Петров-
ським, нi до класу рiвнянь, параболiчних за Шиловим.
У [3] побудовано ФРЗК для системи (1) у виглядi
Z(t, x; \tau , \xi ) = G(t, \tau ;x - \xi ) +W (t, x; \tau , \xi ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , (5)
де \Pi 2
T := \{ (t, x; \tau , \xi )| 0 \leq \tau < t \leq T, \{ x, \xi \} \subset \BbbR n\} ,
W (t, x; \tau , \xi ) :=
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
G(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy,
a
\Phi (t, x; \tau ; \xi ) =
\infty \sum
l=1
Kl(t, x; \tau , \xi ). (6)
Тут
K1(t, x; \tau , \xi ) := P1(t, x; i\partial x)G(\tau , t;x - \xi ),
Kl(t, x; \tau , \xi ) :=
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
K1(t, x;\beta , y)Kl - 1(\beta , y; \tau , \xi )dy, l > 1. (7)
При цьому встановлено, що умова (A) та обмеженiсть коефiцiєнтiв системи (1) забезпечують
абсолютну й рiвномiрну збiжнiсть функцiонального ряду (6) для всiх \{ x, \xi \} \subset \BbbR n, t \in (\tau ;T ] i
\tau \in [0, T ), а також виконання для його суми \Phi та повторних ядер Kl оцiнок
| \Phi (t, x; \tau , \xi )| \leq c1(t - \tau )\alpha 0 - (1+\alpha n)e
- \delta 1
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, (8)
| Kl(t, x; \tau , \xi )| \leq cl0
\left( l - 1\prod
j=1
c(j\varepsilon )B(\alpha 0, j\alpha 0)
\right) \times
\times (t - \tau )l\alpha 0 - (1+\alpha n)e
- \delta (1 - (l - 1)\varepsilon )
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, \varepsilon \in (0; 1),
iз оцiночними сталими, не залежними вiд t, \tau , x i \xi . Тут \alpha 0 := 1+ \alpha n - (n+ p1 + \gamma )/h > 0, а
B(\cdot , \cdot ) — бета-функцiя Ейлера.
Зазначимо, що оцiнки (3) i (8) при \{ x, \xi \} \subset \BbbR n i 0 \leq \tau < t \leq T забезпечують абсо-
лютну збiжнiсть iнтеграла, яким визначається потенцiал W. Таким чином, матрична функцiя
Z(t, x; \tau , \xi ) коректно визначається формулою (5) на всiй множинi \Pi 2
T .
На завершення цього пункту наведемо оцiнки з [12, c. 312], якi знадобляться нам у подаль-
шому:
e
- \delta
\bigl\{ \bigl(
\| x - y\|
(t - \beta )\alpha
\bigr) 1
1 - \alpha
+
\bigl(
\| y - \xi \|
(\beta - \tau )\alpha
\bigr) 1
1 - \alpha
\bigr\}
\leq e
- \delta
\bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\bigr) 1
1 - \alpha
, (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 351
\int
\BbbR n
e
- \delta
\bigl\{ \bigl(
\| x - y\|
(t - \beta )\alpha
\bigr) 1
1 - \alpha
+
\bigl(
\| y - \xi \|
(\beta - \tau )\alpha
\bigr) 1
1 - \alpha
\bigr\}
dy
((t - \beta )(\beta - \tau ))\alpha n
\leq
\leq c\varepsilon e
- \delta (1 - \varepsilon )
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(t - \tau )\alpha n
, \delta > 0 (10)
(тут \{ x, y, \xi \} \subset \BbbR n, \beta \in (\tau ; t), 0 \leq \tau < t \leq T, \varepsilon \in (0; 1) i \delta > 0, a величина c\varepsilon залежить лише
вiд \varepsilon ).
3. Дослiдження ФРЗК. Для з’ясування гладкостi функцiї Z та властивостей її похiдних
необхiдно спочатку оцiнити похiднi повторних ядер Kl.
Згiдно iз зображенням (7) i диференцiйовнiстю функцiї G, гладкiсть ядра K1(t, x; \tau , \xi ) щодо
просторової змiнної x обмежується гладкiстю коефiцiєнтiв системи (1), тому iснують похiднi
\partial q
xK1 лише при | q| + \leq \alpha \ast , при цьому справджується рiвнiсть
\partial q
xK1(t, x; \tau , \xi ) =
\sum
| k| +\leq p1
q\sum
l=0
C l
q
\Bigl(
\partial l
xA1,k(t;x)
\Bigr) \Bigl(
\partial k+q - l
(x - \xi ) G(t, \tau ;x - \xi )
\Bigr)
, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T ,
у якiй C l
q — бiномiальний коефiцiєнт. Звiдси, враховуючи умову (B) та оцiнку (3), для q \in \BbbZ n
+,
| q| + \leq \alpha \ast , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T одержуємо
| \partial q
xK1(t, x; \tau , \xi )| \leq cq(t - \tau ) -
n+p1+\gamma +| q| +
h e
- \delta
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(11)
(тут оцiночнi сталi не залежать вiд t, \tau , x i \xi ).
При l > 1 будемо використовувати очевидне зображення
Kl(t, x; \tau , \xi ) =
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
K1(t, x;\beta , y)Kl - 1(\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
K1(t, x;\beta , x - y)Kl - 1(\beta , x - y; \tau , \xi )dy, t1 := (t+ \tau )/2,
згiдно з яким
\partial q
xKl(t, x; \tau , \xi ) =
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial q
xK1(t, x;\beta , y)Kl - 1(\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
q\sum
l=0
C l
q
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\Bigl(
\partial l
xK1(t, x;\beta , x - y)
\Bigr) \Bigl(
\partial q - l
x Kl - 1(\beta , x - y; \tau , \xi )
\Bigr)
dy. (12)
Оскiльки
| \partial q
xK1(t, x; \tau , x - y)| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial q
x
\left( \sum
| k| +\leq p1
A1,k(t;x)\partial
k
xG(t, \tau ; y)
\right) \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
352 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
\leq m | \partial q
xA1,0(t;x)| | G(t, \tau ; y)| \leq \^cq(t - \tau ) -
n+p1+\gamma
h e
- \delta
\Bigl(
\| y\|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, | q| + \leq \alpha \ast , (13)
то безпосередньо з (10) i (11) при (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , \varepsilon \in (0; 1) i | q| + \leq \alpha \ast одержуємо
| \partial q
xK2(t, x; \tau , \xi )| \leq c\varepsilon ,qe
- \delta (1 - \varepsilon )
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(t - \tau ) - \alpha n
\left( t1\int
\tau
(t - \beta )\alpha n -
n+p1+\gamma +| q| +
h \times
\times (\beta - \tau )\alpha n -
n+p1+\gamma
h d\beta +
q\sum
l=0
t\int
t1
(t - \beta )\alpha n -
n+p1+\gamma
h (\beta - \tau )\alpha n -
n+p1+\gamma +| q - l| +
h d\beta
\right) .
Враховуючи тепер оцiнки
t1\int
\tau
(t - \beta )\alpha n -
n+p1+\gamma +| q| +
h (\beta - \tau )\alpha n -
n+p1+\gamma
h d\beta \leq 2
| q| +
h (t - \tau )
2\alpha 0 -
\Bigl(
1+
| q| +
h
\Bigr)
B(\alpha 0, \alpha 0),
t\int
t1
(t - \beta )\alpha n -
n+p1+\gamma
h (\beta - \tau )\alpha n -
n+p1+\gamma +| q - l| +
h d\beta \leq 2
| q - l| +
h (t - \tau )
2\alpha 0 -
\Bigl(
1+
| q - l| +
h
\Bigr)
B(\alpha 0, \alpha 0),
отримуємо нерiвнiсть
| \partial q
xK2(t, x; \tau , \xi )| \leq cq2,\varepsilon (t - \tau )
2\alpha 0 -
\Bigl(
1+\alpha n+
| q| +
h
\Bigr)
e
- \delta (1 - \varepsilon )
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
B(\alpha 0, \alpha 0), | q| + \leq \alpha \ast .
Продовжуючи процес оцiнювання, знаходимо
| \partial q
xKl(t, x; \tau , \xi )| \leq cql,\varepsilon (t - \tau )
l\alpha 0 -
\Bigl(
1+\alpha n+
| q| +
h
\Bigr)
e
- \delta (1 - (l - 1)\varepsilon )
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\left( l - 1\prod
j=1
B(\alpha 0, j\alpha 0)
\right)
для всiх q \in \BbbZ n
+, | q| + \leq \alpha \ast , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , \varepsilon \in (0; 1) i l \geq 2.
Звiдси, покладаючи l\ast :=
\biggl[
(1 + \alpha n)h+ \alpha \ast
\alpha 0h
\biggr]
+1 (тут [\cdot ] — цiла частина числа) та \varepsilon :=
1
r\ast l\ast
,
\delta \ast := \delta
\biggl(
1 - 1
r\ast
\biggr)
, r\ast > 2, переконуємося в iснуваннi такої сталої c\ast > \^cq, що для всiх
(t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T i | q| + \leq \alpha \ast cправджуються оцiнки
| \partial q
xK1(t, x; \tau , \xi )| \leq c\ast (t - \tau )
\alpha 0 -
\Bigl(
1+\alpha n+
| q| +
h
\Bigr)
e
- \delta
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
,
| \partial q
xKl(t, x; \tau , \xi )| \leq c\ast (t - \tau )
l\alpha 0 -
\Bigl(
1+\alpha n+
| q| +
h
\Bigr)
e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, l \in \{ 2, . . . , l\ast - 1\} , (14)
| \partial q
xKl\ast (t, x; \tau , \xi )| \leq c\ast e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
.
Згiдно iз зображенням (12) та нерiвностями (13) i (14), похiднi \partial q
xKl при l > l\ast оцiнюватимемо
так:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 353
| \partial q
xKl\ast +1(t, x; \tau , \xi )| \leq mc2\ast
\Biggl(
(t - t1)
- | q| +
h \times
\times
t\int
\tau
\Biggl(
(t - \beta )\alpha 0 - 1
\int
\BbbR n
e
- \delta \ast
\Biggl\{ \Bigl(
\| x - y\|
(t - \beta )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha +
\Bigl(
\| y - \xi \|
(\beta - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\Biggr\}
e
- \delta
r\ast
\Bigl(
\| x - y\|
(t - \beta )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha dy
(t - \beta )\alpha n
\Biggr)
d\beta +
+ 2| q| +
t\int
\tau
\Biggl(
(t - \beta )\alpha 0 - 1
\int
\BbbR n
e
- \delta \ast
\Biggl\{ \Bigl(
\| y\|
(t - \beta )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha +
\Bigl(
\| x - y - \xi \|
(\beta - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\Biggr\}
e
- \delta
r\ast
\Bigl(
\| y\|
(t - \beta )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha dy
(t - \beta )\alpha n
\Biggr)
d\beta
\Biggr)
.
Далi, використовуючи нерiвнiсть (9) та зважаючи на рiвнiсть\int
\BbbR n
e
- \delta
r\ast
\Bigl(
\| x - y\|
(t - \beta )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha dy
(t - \beta )\alpha n
=
\int
\BbbR n
e -
\delta
r\ast
\| z\|
1
1 - \alpha
dz \equiv E < +\infty , x \in \BbbR n,
дiстаємо оцiнку
| \partial q
xKl\ast +1(t, x; \tau , \xi )| \leq c2\ast mERB(\alpha 0, 1)(t - \tau )\alpha 0 -
| q| +
h e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, | q| + \leq \alpha \ast ,
у якiй R := 2\alpha \ast \gamma 0(1 + T\alpha \ast \gamma 0
0 ), \gamma 0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1; 1/h\} , T0 := \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ 1;T\} .
Нехай тепер при l \geq 2, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T i | q| + \leq \alpha \ast
| \partial q
xKl\ast +l(t, x; \tau , \xi )| \leq cl+1
\ast (mER)l(2\alpha \ast \gamma 0)l - 1
\left( l - 1\prod
j=0
B(\alpha 0, 1 + j\alpha 0)
\right) \times
\times (t - \tau )l\alpha 0 -
| q| +
h e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
. (15)
Тодi для всiх \{ x, \xi \} \subset \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T i | q| + \leq \alpha \ast
| \partial q
xKl\ast +l+1(t, x; \tau , \xi )| \leq m
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
| \partial q
xK1(t, x;\beta , y)| | Kl\ast +l(\beta , y; \tau , \xi )| dy+
+m
\sum
| g| +\leq | q| +
Cg
q
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
| \partial q
xK1(t, x;\beta , x - y)|
\bigm| \bigm| \bigm| \partial q - g
x - yKl\ast +l(\beta , x - y; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| dy \leq
\leq mEcl+2
\ast (mER)l (2\alpha \ast \gamma 0)l - 1
\left( l - 1\prod
j=0
B(\alpha 0, 1 + j\alpha 0)
\right) e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\times
\times
\left\{ (t - t1)
- | q| +
h +
\sum
| g| +\leq | q| +
Cg
q (t1 - \tau ) -
| q - g| +
h
\right\}
t\int
\tau
(t - \beta )\alpha 0 - 1(\beta - \tau )l\alpha 0d\beta \leq
\leq cl+2
\ast (mER)l+1 (2\alpha \ast \gamma 0)l
\left( l\prod
j=0
B(\alpha 0, 1 + j\alpha 0)
\right) (t - \tau )(l+1)\alpha 0 -
| q| +
h e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
354 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
Звiдси, згiдно з методом математичної iндукцiї, приходимо до виконання оцiнки (15) для всiх
l \in \BbbN \setminus \{ 1\} .
Безпосередньо виходячи з оцiнок (14), (15), переконуємося у правильностi наступного до-
помiжного твердження.
Лема 1. Матрична функцiя \Phi (t, x; \tau , \xi ) на множинi \Pi 2
T є диференцiйовною функцiєю за
змiнною x до порядку \alpha \ast включно, для похiдних якої виконується оцiнка
| \partial q
x\Phi (t, x; \tau , \xi )| \leq c1(t - \tau )
\alpha 0 -
\Bigl(
1+\alpha n+
| q| +
h
\Bigr)
e
- \delta \ast
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, | q| + \leq \alpha \ast , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T
(16)
(тут оцiночнi сталi c1 i \delta \ast не залежать вiд t, \tau , x i \xi ).
Теорема 1. Об’ємний потенцiал W (t, x; \tau , \xi ) на множинi \Pi 2
T є диференцiйовною за змiн-
ною x функцiєю до порядку \alpha \ast + p1 включно, при цьому
\partial q
xW (t, x; \tau , \xi ) =
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial q
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy, | q| + \leq p1, (17)
\partial q
xW (t, x; \tau , \xi ) =
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial q
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
\eta G(t, \beta ; \eta )\partial q - k
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta , | k| + = p1 < | q| + \leq \alpha \ast + p1. (18)
Доведення. Одержання формули (17) зводиться до встановлення рiвномiрної збiжностi що-
до x на \BbbR n iнтеграла
J1(t, x; \tau , \xi ) :=
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial q
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy (19)
при | q| + \leq p1, \xi \in \BbbR n i 0 \leq \tau < t \leq T. Проте ця збiжнiсть стає очевидною, якщо зважити на
умову (A) та оцiнку
| J1(t, x; \tau , \xi )| \leq cE
\left( (t - t1)
- n+\gamma +| q| +
h
t1\int
\tau
(\beta - \tau )\alpha 0 - 1d\beta + (t1 - \tau )\alpha 0 - (\alpha n+1)\times
\times
t\int
t1
(t - \beta )\alpha 0 - 1+
p1 - | q| +
h d\beta
\right) , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , | q| + \leq p1,
яку одержуємо безпосередньо iз (3) i (16).
Доведемо тепер правильнiсть формули (18). Для цього зафiксуємо таке k \in \BbbZ n
+, що | k| + =
= p1. Тодi, згiдно iз (17), при p1 < | q| + \leq \alpha \ast + p1 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 355
\partial q
xW (t, x; \tau , \xi ) = \partial q - k
x
\left( t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial k
\eta G(t, \beta ; \eta ))\Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta
\right) , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T .
Отже, залишається обґрунтувати можливiсть внесення пiд знак вiдповiдних iнтегралiв опе-
рацiї \partial q - k
x , тобто встановити рiвномiрну збiжнiсть щодо x на \BbbR n iнтегралiв
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial q
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi ) dy,
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
\eta G(t, \beta ; \eta )\partial q - k
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi ) d\eta
при p1 < | q| + \leq \alpha \ast + p1, \xi \in \BbbR n i 0 \leq \tau < t \leq T. Розмiрковуючи, як у випадку iнтеграла (19),
використовуючи оцiнку (3) та лему 1, дiстаємо необхiдну збiжнiсть зазначених iнтегралiв.
Теорему 1 доведено.
Наслiдок 1. Матрична функцiя Z(t, x; \tau , \xi ) на множинi \Pi 2
T є диференцiйовною за змiнною
x до порядку \alpha \ast + p1 включно, при цьому
\exists \delta > 0 \forall q \in \BbbZ n
+, | q| + \leq \alpha \ast + p1, \exists c > 0 \forall (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T :
| \partial q
xZ(t, x; \tau , \xi )| \leq c(t - \tau ) -
n+\gamma +| q| +
h e
- \delta
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
. (20)
Цей наслiдок випливає безпосередньо з теореми 1, рiвностi (5) та оцiнок (3) i (16).
Для з’ясування властивостей Z(t, x; \tau , \xi ) щодо змiнної t необхiдне наступне допомiжне
твердження.
Лема 2. Нехай \alpha \ast \geq p - p1, тодi матрична функцiя \Phi (t, x; \tau , \xi ) є рiвномiрно щодо x \in \BbbR n
i \xi \in \BbbR n неперервною функцiєю за змiнною t на промiжку (\tau ;T ] при кожному фiксованому
\tau \in [0;T ), причому iснує додатна нескiнченно мала в точцi 0 величина \sigma (\cdot ) така, що
\bigm| \bigm| \Phi (t+\Delta , x; \tau , \xi ) - \Phi (t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq c0\theta
- p1
h \sigma (\Delta )(t - \tau ) -
n+p1+p+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(21)
при 0 < \Delta \ll (t - \tau ) i \theta \in (0; 1). Тут \theta — залежна вiд t - \tau величина, а c0 i \delta 0 — додатнi
сталi, не залежнi вiд \Delta , \theta , t, \tau , x i \xi .
Доведення. Скористаємося тим, що \Phi — розв’язок iнтегрального рiвняння [3]
\Phi (t, x; \tau , \xi ) = K1(t, x; \tau , \xi ) +
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
K1(t, x;\beta , y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy. (22)
Тодi \bigm| \bigm| \Phi (t+\Delta , x; \tau , \xi ) - \Phi (t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| K1(t+\Delta , x; \tau , \xi ) - K1(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
(K1(t+\Delta , x;\beta , y) - K1(t, x;\beta , y))\Phi (\beta , y; \tau , \xi ) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
356 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t+\Delta \int
t
d\beta
\int
\BbbR n
K1(t+\Delta , x;\beta , y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi ) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv
\equiv | \Delta tK(t, x; \tau , \xi )| + J\Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) + J\Delta
2 (t, x; \tau , \xi ). (23)
Враховуючи те, що матрична функцiя G є розв’язком системи (2), теорему Лагранжа про
скiнченнi прирости, а також оцiнки (3) та рiвномiрну неперервнiсть за часом коефiцiєнтiв
системи (1), одержуємо\bigm| \bigm| \Delta tK(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq \bigm| \bigm| \{ P1(t+\Delta , x; i\partial x) - P1(t, x; i\partial x)\} G(t+\Delta , \tau ;x - \xi )
\bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| P1(t, x; i\partial x)\{ G(t+\Delta , \tau ;x - \xi ) - G(t, \tau ;x - \xi )\}
\bigm| \bigm| \leq
\leq
\sum
| k| +\leq p1
\Bigl\{
| A1,k(t+\Delta ;x) - A1,k(t;x)|
\bigm| \bigm| \bigm| \partial k
xG(t+\Delta , \tau ;x - \xi )
\bigm| \bigm| \bigm| +
+\Delta | A1,k(t;x)|
\bigm| \bigm| \bigm| \partial k
x\partial \eta G(\eta , \tau , x - \xi )| \eta =t+\theta \Delta
\bigm| \bigm| \bigm| \Bigr\} \leq
\leq c1
\biggl\{ \biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| k| +\leq p1
\sigma k(\Delta )
\biggr)
+\Delta
\biggr\}
(t - \tau ) -
n+p1+p+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, (24)
\theta \in (0; 1), 0 < \Delta < (t - \tau )/2, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T
(тут \sigma k(\cdot ) — модуль рiвномiрної щодо змiнної x неперервностi по t матричного коефiцiєнта
Ak,1(t;x), a c1 i \delta 0 — додатнi сталi, не залежнi вiд \theta , \Delta , t, \tau , x i \xi ).
Далi, знаходимо
J\Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
P1(t+\Delta , x; i\partial x)\{ G(t+\Delta , \beta ;x - y) - G(t, \beta ;x - y)\} \Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
(\{ P1(t+\Delta , x; i\partial x) - P1(t, x; i\partial x)\} G(t, \beta ;x - y)) \Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \equiv
\equiv J\Delta
1,1(t, x; \tau , \xi ) + J\Delta
1,2(t, x; \tau , \xi ).
Використовуючи ще раз зображення
G(t+\Delta , \beta ;x - y) - G(t, \beta ;x - y) = \Delta P0(t+ \theta \Delta ; i\partial x)G(t+ \theta \Delta , \beta ;x - y), \theta \in (0; 1),
лему 1, а також оцiнки (3) й обмеженiсть коефiцiєнтiв системи (1), для всiх (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T i
0 < \Delta \ll (t - \tau )/2 отримуємо
J\Delta
1,1(t, x; \tau , \xi ) \leq \Delta
\sum
| k| +\leq p1
| A1,k(t+\Delta ;x)|
\left( \sum
| q| +\leq p
| A0,q(t+ \theta \Delta )| \times
\times
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
\tau
\left( \partial q
x
\int
\BbbR n
(\partial k
xG(t+ \theta \Delta , \beta ;x - y))\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\right) d\beta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\right) \leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 357
\leq c\Delta
\Biggl\{ \sum
| k| +\leq p1
\Biggl( \sum
| q| +\leq p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial k+q
x G(t+ \theta \Delta , \beta ;x - y))\Phi (\beta , y; \tau , \xi ) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\sum
| q| +\leq p1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial k+q
x G(t+ \theta \Delta , \beta ;x - y))\Phi (\beta , y; \tau , \xi ) dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
+
\sum
p1<| q| +\leq p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial k+p1
\eta G(t+ \theta \Delta , \beta ; \eta ))(\partial q - p1
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )) d\eta
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr) \Biggr\}
\leq
\leq c1\Delta
1 - p1
h \theta -
p1
h (t - \tau ) -
n+p1+p+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, \theta \in (0; 1), (25)
де оцiночнi сталi c1, \delta 0 не залежать вiд \Delta , \theta , t, \tau , x i \xi .
Безпосередньо iз неперервностi по t коефiцiєнтiв A1,k(t;x) та оцiнок (3) i (16) знаходимо
J\Delta
1,2(t, x; \tau , \xi ) \leq
\sum
| k| +\leq p1
| A1,k(t+\Delta ;x) - A1,k(t;x)| \times
\times
t\int
\tau
\left( \int
\BbbR n
| \partial k
xG(t, \beta ;x - y)| | \Phi (\beta , y; \tau , \xi )| dy
\right) d\beta \leq
\leq c
\biggl(
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
| k| +\leq p1
\sigma k(\Delta )
\biggr)
B(\alpha 0, \alpha 0)(t - \tau )2\alpha 0 - (1+\alpha n)e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - y\|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
(26)
для всiх (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T i 0 < \Delta < (t - \tau )/2.
Оцiнимо тепер J\Delta
2 :
J\Delta
2 (t, x; \tau , \xi ) \leq m
\sum
| k| +\leq p1
| A1,k(t+\Delta ;x)| \times
\times
t+\Delta \int
t
d\beta
\int
\BbbR n
\bigm| \bigm| \bigm| \partial k
xG(t+\Delta , \beta ;x - y)
\bigm| \bigm| \bigm| | \Phi (\beta , y; \tau , \xi )| dy \leq
\leq c1(t - \tau ) -
n+p1+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\left( \sum
| k| +\leq p1
t+\Delta \int
t
(t+\Delta - \beta )\alpha 0 - 1+
p1 - | k| +
h d\beta
\right) =
= c2\Delta
\alpha 0(t - \tau ) -
n+p1+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , 0 < \Delta < (t - \tau )/2 (27)
(тут оцiночнi сталi також не залежать вiд \Delta , t, \tau , x i \xi ).
Оцiнки (23) – (27) забезпечують виконання нерiвностi (21), з якої безпосередньо випливає
зазначена неперервнiсть функцiї \Phi щодо часової змiнної.
Лему 2 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
358 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
Теорема 2. Об’ємний потенцiал W (t, x; \tau , \xi ) на множинi \Pi 2
T є диференцiйовною за змiн-
ною t функцiєю за умови, що \alpha \ast \geq p - p1 i \alpha \ast > n + \gamma , а у випадку, коли p1 \geq h(1 - \alpha ), то
при \alpha \ast \geq p - p1. При цьому виконується рiвнiсть
\partial tW (t, x; \tau , \xi ) = \Phi (t, x; \tau , \xi ) +
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial tG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
\sum
| k| +\leq p1
\left( A0,k(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\right) +
+
\sum
| r| +=p1<| q| +\leq p
\left( A0,q(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial r
\eta G(t, \beta ; \eta ))\partial q - r
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta
\right) (28)
для всiх (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T .
Доведення. Скористаємося зображенням
W (t, x; \tau , \xi ) =
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
G(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy+
+
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
G(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy \equiv
\equiv R(t, x; \tau , \xi ) + V (t, x; \tau , \xi ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T ,
згiдно з яким для диференцiйовностi за змiнною t функцiї W (t, x; \tau , \xi ) на множинi \Pi 2
T достат-
ньо встановити iснування \partial tR(t, x; \tau , \xi ) i \partial tV (t, x; \tau , \xi ) на цiй множинi.
Зафiксуємо довiльно \tau \in [0;T ) i t \in (\tau , T ], покладемо \varepsilon := (t - \tau )/2 та розглянемо
множину Q := [t - \varepsilon ;T ]\times \BbbR n. Згiдно з оцiнками (3) i (16) знаходимо
| I\tau (t, x, \xi )| :=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial tG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq cE(t - t1)
- n+p+\gamma
h
t1\int
\tau
(\beta - \tau )\alpha 0 - 1d\beta =
cE
\alpha 0
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) \alpha 0 - n+p+\gamma
h
, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T .
Звiдси отримуємо рiвномiрну збiжнiсть на множинi Q за сукупнiстю змiнних t, x i \xi iнтеграла
I\tau (t, x, \xi ), а вiдтак i диференцiйовнiсть по t функцiї R та виконання рiвностi
\partial tR(t, x; \tau , \xi ) =
t1\int
\tau
d\beta
\int
\BbbR n
\partial tG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T . (29)
Далi, розглянемо допомiжну функцiю
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 359
V \Delta (t, x; \tau , \xi ) :=
t - \Delta \int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
G(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy, \Delta \in (0; \varepsilon ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T .
Очевидно, що для всiх (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T i \Delta \in (0; \varepsilon )
\partial tV
\Delta (t, x; \tau , \xi ) =
\int
\BbbR n
G(t, t - \Delta ;x - y)\Phi (t - \Delta , y; \tau , \xi )dy+
+
t - \Delta \int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial tG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy \equiv V \Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) + V \Delta
2 (t, x; \tau , \xi ). (30)
Встановимо спочатку виконання граничного спiввiдношення
V \Delta
1 (t, x; \tau , \xi )
(t,x,\xi )\in Q
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
\Phi (t, x; \tau , \xi ) (31)
(тут йдеться про рiвномiрну збiжнiсть на множинi Q щодо змiнних t, x i \xi ).
У випадку p1 \geq h(1 - \alpha ) будемо використовувати зображення
V \Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) =
\int
\BbbR n
G(t, t - \Delta ;x - y)dy\Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi ) -
-
\int
\BbbR n
G(t, t - \Delta ;x - y)(\Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi ) - \Phi (t - \Delta , y; \tau , \xi ))dy \equiv
\equiv V \Delta
1,1(t, x; \tau , \xi ) - V \Delta
1,2(t, x; \tau , \xi ).
Безпосередньо з рiвностi G(t, \tau ; \cdot ) = F [\Theta t
\tau (\xi )](t, \tau ; \cdot ) та властивостi оборотностi перетво-
рення Фур’є одержуємо \int
\BbbR n
G(t, t - \Delta ;x - y)dy = \Theta t
t - \Delta (0), x \in \BbbR n.
Звiдси, враховуючи лему 2, отримуємо спiввiдношення
V \Delta
1,1(t, x; \tau , \xi )
(t,x,\xi )\in Q
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
\Phi (t, x; \tau , \xi ).
Таким чином, доведення граничного спiввiдношення (31) звелося до обґрунтування
V \Delta
1,2(t, x; \tau , \xi )
(t,x,\xi )\in Q
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
0.
Лема 1 та теорема Лагранжа про скiнченнi прирости забезпечують iснування додатних
сталих c0 i \delta 0 таких, що для всiх \{ x, y, \xi \} \subset \BbbR n, 0 \leq \tau < t \leq T i 0 < \Delta < \varepsilon
\bigm| \bigm| \Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi ) - \Phi (t - \Delta , y; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq c0\| x - y\| (t - \tau ) -
n+1+\gamma
h e
- \delta 0
\Bigl(
\| x - y\|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
360 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
Тодi
\bigm| \bigm| V \Delta
1,2(t, x; \tau , \xi )
\bigm| \bigm| \leq c\Delta - n+\gamma
h (t - \tau ) -
n+1+\gamma
h
\int
\BbbR n
e
- \delta
\Bigl(
\| x - y\|
\Delta \alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
\| x - y\| dy \leq
\leq cE \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\rho \geq 0
\biggl\{
\rho e -
\delta
2
\rho
1
1 - \alpha
\biggr\}
(t - \tau ) -
n+1+\gamma
h \Delta \alpha 0+\alpha - 1+
p1
h , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , 0 < \Delta < \varepsilon .
Одержана оцiнка забезпечує виконання спiввiдношення (31) при p1 \geq h(1 - \alpha ), оскiльки у
цьому випадку \alpha 0 + \alpha - 1 +
p1
h
> 0.
Розглянемо тепер загальний випадок p1 \geq 0. Тут користуватимемося тим, що матрична
функцiя V \Delta
1 є згорткою функцiй G(t, t - \Delta ; \cdot ) i \Phi (t - \Delta , \cdot ; \tau , \xi ):
V \Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) = G(t, t - \Delta ;x) \ast \Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , 0 < \Delta < \varepsilon .
Враховуючи властивостi функцiй G i \Phi щодо просторових змiнних, а також вiдому рiвнiсть
F [f \ast g](\cdot ) = F [f ](\cdot ) \cdot F [g](\cdot ),
одержуємо таке зображення:
V \Delta
1 (t, x; \tau , \xi ) = F - 1
\eta \rightarrow x[\Theta
t
t - \Delta (\eta )\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )](t - \Delta , x; \tau , \xi ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , 0 < \Delta < \varepsilon ,
в якому
\Psi (\beta , \eta ; \tau , \xi ) := Fx\rightarrow \eta [\Phi (\beta , x; \tau , \xi )].
Таким чином, спiввiдношення (31) виконується, якщо справджуються такi твердження:
1) \Theta t
t - \Delta (\eta )\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi ) - \Psi (t, \eta ; \tau , \xi )
\eta \in \BbbK ,\xi \in \BbbR n,t\in [t - \varepsilon ;T ]
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
0 (\forall \BbbK \subset \BbbR n) (тут \BbbK — компактна
множина);
2) \forall \tau \in [0;T ) \exists c\tau > 0 \exists r > n \forall t \in [t - \varepsilon ;T ] \forall \Delta \in (0; \varepsilon ) \forall \{ \eta , \xi \} \subset \BbbR n :
| \Theta t
t - \Delta (\eta )\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )| \leq c\tau (1 + \| \eta \| ) - r.
Оскiльки
\Theta t
t - \Delta (\eta )\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi ) - \Psi (t, \eta ; \tau , \xi ) =
= (\Theta t
t - \Delta (\eta ) - I)\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi ) + (\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi ) - \Psi (t, \eta ; \tau , \xi )),
де I — одинична матриця, то за лемою 2 виконання умови 1 рiвносильне виконанню спiввiд-
ношень
| \Theta t
t - \Delta (\eta ) - I|
\eta \in \BbbK \subset \BbbR n,t\in [t - \varepsilon ;T ]
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
0, | \Psi (t, \eta ; \tau , \xi ) - \Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )|
\eta \in \BbbK ,\xi \in \BbbR n,t\in [t - \varepsilon ;T ]
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
0. (32)
Безпосередньо з обмеженостi елементiв матрицi P0(t; \eta ) на множинi [0;T ]\times \BbbK (\forall \BbbK \subset \BbbR n)
та структури матрицанта \Theta t
\tau (\cdot ) знаходимо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 361
| \Theta t
t - \Delta (\eta ) - I| \leq
\infty \sum
l=1
(mc\Delta )l
l!
\equiv emc\Delta - 1, (t; \eta ) \in [0;T ]\times \BbbK .
Звiдси приходимо до першого граничного спiввiдношення iз (32).
Для встановлення другого граничного спiввiдношення iз (32) ще раз скористаємося лемою 2.
Тодi для всiх t \in [t - \varepsilon ;T ], \Delta \in (0; \varepsilon ), \theta \in (0; 1) i \{ \eta ; \xi \} \subset \BbbR n
| \Psi (t, \eta ; \tau , \xi ) - \Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )| \leq
\int
\BbbR n
| \Phi (t, x; \tau , \xi ) - \Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi )| dx \leq
\leq
\Bigl(
c0E\theta -
p1
h (t - \tau )\alpha n -
n+p1+p+\gamma
h
\Bigr)
\sigma (\Delta ) \equiv c(\tau ; \varepsilon )\sigma (\Delta )
(тут оцiночна величина c(\tau ; \varepsilon ) > 0 не залежить вiд \Delta , t, \eta i \xi , a \sigma (\Delta ) - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
0).
Отже, граничне спiввiдношення 1 виконується.
Доведемо тепер твердження 2. Враховуючи лему 1 та оцiнку (16), для всiх (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T ,
0 < \Delta < \varepsilon i | q| + \leq \alpha \ast знаходимо
| \eta q\Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
\BbbR n
(\partial q
xe
i(x,\eta ))\Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi )dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq
\int
\BbbR n
| \partial q
x\Phi (t - \Delta , x; \tau , \xi )| dx \leq c1E
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) \alpha n - n+| q| ++\gamma
h
,
тобто одержуємо оцiнку
| \Psi (t - \Delta , \eta ; \tau , \xi )| \leq c(\tau ; \varepsilon )(1 + \| \eta \| ) - | q| + ,
| q| + \leq \alpha \ast , \{ \eta , \xi \} \subset \BbbR n, t \in [t - \varepsilon ;T ], \Delta \in (0; \varepsilon ),
(33)
у якiй оцiночний вираз c(\tau ; \varepsilon ) не залежить вiд \Delta , t, \eta i \xi .
Згiдно з означенням параболiчностi за Шиловим системи (2) iз коефiцiєнтами, залежними
вiд t, маємо [6]
| \Theta t
\tau (\eta )| \leq c(1 + (t - \tau )\| \eta \| p)m - 1e - \delta (t - \tau )\| \eta \| h , 0 \leq \tau < t \leq T, \eta \in \BbbR n,
тодi
| \Theta t
t - \Delta (\eta )| \leq c0(1 + \| \eta \| )\gamma , 0 < \Delta < 1, t \in [0;T ], \eta \in \BbbR n. (34)
Оцiнки (33), (34) забезпечують правильнiсть твердження 2 при \alpha \ast > n + \gamma . Таким чином,
виконання спiввiдношення (31) доведено.
Далi, враховуючи те, що при \alpha \ast \geq p - p1\int
\BbbR n
P0(t; i\partial x)G(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
362 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
=
\sum
| k| +\leq p1
\left( A0,k(t)
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\right) +
+
\sum
p1<| q| +\leq p
\left( A0,q(t)
\int
\BbbR n
(\partial r
\eta G(t, \beta ; \eta ))\partial q - r
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta
\right) ,
| r| + = p1, (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T ,
а також що матрична функцiя G є розв’язком системи (2), дiстаємо рiвнiсть
V \Delta
2 (t, x; \tau , \xi ) = V \Delta
2,1(t, x; \tau , \xi ) + V \Delta
2,2(t, x; \tau , \xi ), (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T , \Delta \in (0; \varepsilon ),
у якiй
V \Delta
2,1(t, x; \tau , \xi ) :=
\sum
| k| +\leq p1
A0,k(t)
t - \Delta \int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy,
V \Delta
2,2(t, x; \tau , \xi ) :=
\sum
p1<| q| +\leq p
A0,q(t)
t - \Delta \int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial r
\eta G(t, \beta ; \eta ))\partial q - r
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta .
Оскiльки для всiх \Delta \in (0; \varepsilon ) i (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T виконуються оцiнки\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t - \Delta
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq cE
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) - n+p1+\gamma
h
t\int
t - \Delta
(t - \beta )\alpha 0 - 1+
p1 - | k| +
h d\beta =
=
cEh\Delta \alpha 0+
p1 - | k| +
h
\alpha 0h+ p1 - | k| +
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) - n+p1+\gamma
h
, | k| + \leq p1,
i \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t\int
t - \Delta
d\beta
\int
\BbbR n
\bigl(
\partial r
\eta G(t, \beta ; \eta )
\bigr)
\partial q - r
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )dy
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\leq c1E
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) - n+\gamma +| q| +
h
t\int
t - \Delta
(t - \beta )\alpha 0 - 1d\beta =
=
c1E
\alpha 0
\Delta \alpha 0
\biggl(
t - \tau
2
\biggr) - n+\gamma +| q| +
h
, | r| + = p1 < | q| + \leq p,
то справджуються граничнi спiввiдношення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНДАМЕНТАЛЬНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ЗАДАЧI КОШI . . . 363
V \Delta
2,1(t, x; \tau , \xi )
(t,x,\xi )\in Q
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
\sum
| k| +\leq p1
A0,k(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy, (35)
V \Delta
2,2(t, x; \tau , \xi )
(t,x,\xi )\in Q
- - - - - - \rightarrow
- - - - - - \rightarrow
\Delta \rightarrow +0
\sum
p1<| q| +\leq p
A0,q(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial p1
\eta G(t, \beta ; \eta ))\partial q - p1
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta . (36)
Зазначимо, що спiввiдношення (31), (35) i (36) дозволяють у формулi (30) перейти до границi
при \Delta \rightarrow +0 та отримати рiвнiсть
\partial tV (t, x; \tau , \xi ) = \Phi (t, x; \tau , \xi ) +
\sum
| k| +\leq p1
\left( A0,k(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
\partial k
xG(t, \beta ;x - y)\Phi (\beta , y; \tau , \xi )dy
\right) +
+
\sum
| r| +=p1<| q| +\leq p
\left( A0,q(t)
t\int
t1
d\beta
\int
\BbbR n
(\partial r
\eta G(t, \beta ; \eta ))\partial q - r
x \Phi (\beta , x - \eta ; \tau , \xi )d\eta
\right) , (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T ,
(37)
яка характеризує диференцiйовнiсть функцiї V за змiнною t.
Формула (28) стає очевидною, якщо зважити на (29) i (37) та рiвнiсть
\partial tW (t, x; \tau , \xi ) = \partial tR(t, x; \tau , \xi ) + \partial tV (t, x; \tau , \xi ).
Теорему 2 доведено.
Слiд зазначити, що умова p1 \geq h(1 - \alpha ) виконується, зокрема, для параболiчних за
Петровським систем, оскiльки у цьому випадку \mu = 1, h = p0 = 2b, b \in \BbbN i p1 = 2b - 1, тому
h(1 - \alpha ) = 2b
\biggl(
1 - 1
2b
\biggr)
= 2b - 1 = p1.
А для систем (1) з родом \mu = 0 завжди
p - p1 > n+ \gamma . (38)
Цей факт випливає безпосередньо iз того, що p \geq h, та умови (A), яка при \mu = 0 набирає
вигляду n + \gamma < h - p1. Бiльше того, спiввiдношення (38) виконується також для систем iз
родом 0 \leq \mu \leq p0(p - h)
nh
. Дiйсно, згiдно з умовою (A) при таких \mu матимемо
n+ \gamma < h - p1 +
nh
p0
\mu \leq h - p1 +
nh
p0
p0(p - h)
nh
= p - p1.
Зазначимо також, що iз теореми 2, рiвностi (5) та оцiнок (3) i (16) випливає очевидний
наслiдок.
Наслiдок 2. Нехай виконуються умови теореми 2, тодi на множинi \Pi 2
T матрична функцiя
Z(t, x; \tau , \xi ) є диференцiйовною за змiнною t, при цьому
\exists \delta > 0 \exists c > 0 \forall (t, x; \tau , \xi ) \in \Pi 2
T : | \partial tZ(t, x; \tau , \xi )| \leq c(t - \tau ) -
n+p+\gamma
h e
- \delta
\Bigl(
\| x - \xi \|
(t - \tau )\alpha
\Bigr) 1
1 - \alpha
. (39)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
364 В. А. ЛIТОВЧЕНКО, Г. М. УНГУРЯН
Основний результат сформулюємо у виглядi наступного твердження.
Теорема 3. Нехай для системи (1) виконуються умови (A) i (B). Тодi при \alpha \ast \geq p - p1
i \alpha \ast > n + \gamma , а у випадку, коли p1 \geq h(1 - \alpha ), то при \alpha \ast \geq p - p1 матрична функцiя Z,
що визначається рiвнiстю (5), є ФРЗК для цiєї системи. При цьому для вiдповiдних похiдних
функцiї Z виконуються оцiнки (20) i (39).
Доведення. Те, що у кожнiй фiксованiй точцi (\tau ; \xi ) \in \Pi [0;T ) матрична функцiя Z(t, x; \tau , \xi ),
що визначається рiвнiстю (5), є класичним розв’язком системи (1) за змiнними t i x на множинi
\Pi (\tau ;T ], випливає безпосередньо з рiвностi (22) i того, що матрична функцiя G є розв’язком
системи (2), a також iз теорем 1, 2.
Властивiсть \delta -подiбностi функцiї Z(t, x; \tau , \xi ) щодо змiнної t встановлено в [3].
Теорему 3 доведено.
Лiтература
1. Шилов Г. Е. Об условиях корректности задачи Коши для систем дифференциальных уравнений в частных
производных с постоянными коэффициентами // Успехи мат. наук. – 1955. – 10, № 4. – С. 89 – 101.
2. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем уравнений с частными производными в области неаналити-
ческих функций // Бюлл. МГУ. Математика и механика. – 1938. – 1, № 7. – С. 1 – 72.
3. Лiтовченко В. А., Довжицька I. М. Фундаментальна матриця розв’язкiв задачi Кошi для одного класу парабо-
лiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. вiсн. – 2010. – 7, № 4. – С. 516 – 552.
4. У Хоу Синь. Об определении параболичности систем уравнений в частных производных // Успехи мат. наук. –
1960. – 15, № 6. – С. 157 – 161.
5. Житомирский Я. И. Задача Коши для некоторых типов параболических по Г. Е. Шилову систем линейных
уравнений в частных производных с непрерывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1959. –
23. – С. 925 – 932.
6. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз,
1958. – 274 с.
7. Litovchenko V. A., Dovzhytska I. M. Cauchy problem for a class parabolic systems of Shilov type with variable
coefficients // Cent. Eur. J. Math. – 2012. – 10, № 3. – P. 1084 – 1102.
8. Литовченко В. А, Довжицкая И. М. Стабилизация решений параболических систем типа Шилова с неотрица-
тельным родом // Сиб. мат. журн. – 2014. – 55, № 2. – С. 341 – 349.
9. Довжицька I. М. Задача Кошi для параболiчних систем типу Шилова iз змiнними коефiцiєнтами та невiд’ємним
родом: Автореф. дис. ... канд. фiз.-мат. наук. – Чернiвцi, 2014. – 20 с.
10. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с.
11. Литовченко В. А. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений // Сиб. мат. журн. – 2004. – 45,
№ 4. – С. 809 – 821.
12. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. – М.: Мир, 1968. – 427 с.
Одержано 20.09.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1701 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/77/d90e5f0390cf6959bfea6f020adc5977.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17012019-12-05T09:24:16Z Fundamental solution of the Cauchy problem for the Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness Фундаментальний розв’язок задачі Коші для параболічних систем типу Шилова з коефіцієнтами обмеженої гладкості Litovchenko, V. A. Unguryan, G.M. Літовченко, В. А. Унгурян, Г. М. Under the condition of minimal smoothness of the coefficients, we construct the fundamental solution of the Cauchy problem and study the principal properties of this solution for a special class of linear parabolic systems with bounded variable coefficients covering the class of Shilov-type parabolic systems of nonnegative kind. При условии минимальной гладкости коэффициентов построено фундаментальное решение задачи Коши и исследованы его основные свойства для одного класса линейных параболических систем с ограниченными переменными коэффициентами, охватывающего класс параболических по Шилову систем с неотрицательным родом. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1701 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 348-364 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 348-364 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1701/683 Copyright (c) 2017 Litovchenko V. A.; Unguryan G.M. |
| spellingShingle | Litovchenko, V. A. Unguryan, G.M. Літовченко, В. А. Унгурян, Г. М. Fundamental solution of the Cauchy problem for the Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title | Fundamental solution of the Cauchy problem for the
Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title_alt | Фундаментальний розв’язок задачі Коші для параболічних
систем типу Шилова з коефіцієнтами обмеженої гладкості |
| title_full | Fundamental solution of the Cauchy problem for the
Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title_fullStr | Fundamental solution of the Cauchy problem for the
Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title_full_unstemmed | Fundamental solution of the Cauchy problem for the
Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title_short | Fundamental solution of the Cauchy problem for the
Shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| title_sort | fundamental solution of the cauchy problem for the
shilov-type parabolic systems with coefficients of bounded smoothness |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1701 |
| work_keys_str_mv | AT litovchenkova fundamentalsolutionofthecauchyproblemfortheshilovtypeparabolicsystemswithcoefficientsofboundedsmoothness AT unguryangm fundamentalsolutionofthecauchyproblemfortheshilovtypeparabolicsystemswithcoefficientsofboundedsmoothness AT lítovčenkova fundamentalsolutionofthecauchyproblemfortheshilovtypeparabolicsystemswithcoefficientsofboundedsmoothness AT ungurângm fundamentalsolutionofthecauchyproblemfortheshilovtypeparabolicsystemswithcoefficientsofboundedsmoothness AT litovchenkova fundamentalʹnijrozvâzokzadačíkošídlâparabolíčnihsistemtipušilovazkoefícíêntamiobmeženoígladkostí AT unguryangm fundamentalʹnijrozvâzokzadačíkošídlâparabolíčnihsistemtipušilovazkoefícíêntamiobmeženoígladkostí AT lítovčenkova fundamentalʹnijrozvâzokzadačíkošídlâparabolíčnihsistemtipušilovazkoefícíêntamiobmeženoígladkostí AT ungurângm fundamentalʹnijrozvâzokzadačíkošídlâparabolíčnihsistemtipušilovazkoefícíêntamiobmeženoígladkostí |