Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces
We study a general parabolic initial-boundary-value problem for systems parabolic in Petrovskii’s sense with zero initial Cauchy data in some anisotropic H¨ormander inner-product spaces.We prove that the operators corresponding to this problem are isomorphisms between the appropriate H¨ormander spac...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1702 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507541075656704 |
|---|---|
| author | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_facet | Los’, V. M. Лось, В. М. |
| author_sort | Los’, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | We study a general parabolic initial-boundary-value problem for systems parabolic in Petrovskii’s sense with zero initial
Cauchy data in some anisotropic H¨ormander inner-product spaces.We prove that the operators corresponding to this problem
are isomorphisms between the appropriate H¨ormander spaces. As an application of this result, we establish a theorem on
the local increase in regularity of solutions of the problem. We also obtain new sufficient conditions of continuity for the
generalized partial derivatives of a given order of a chosen component of the solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
В. М. Лось (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ)
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА
We study a general parabolic initial-boundary-value problem for systems parabolic in Petrovskii’s sense with zero initial
Cauchy data in some anisotropic Hörmander inner-product spaces. We prove that the operators corresponding to this problem
are isomorphisms between the appropriate Hörmander spaces. As an application of this result, we establish a theorem on
the local increase in regularity of solutions of the problem. We also obtain new sufficient conditions of continuity for the
generalized partial derivatives of a given order of a chosen component of the solution.
Исследуется общая начально-краевая задача для параболических по Петровскому систем с нулевыми начальными
данными Коши в некотoрых анизотропных пространствах Хермандера. Доказано, что операторы, соответствующие
этой задаче, являются изоморфизмами между подходящими пространствами Хермандера. Как применение этого
результата доказана теорема о локальном повышении регулярности решения задачи и получены новые достаточные
условия непрерывности обобщенных частных производных заданного порядка выбранной компоненты вектор-
функции решения.
1. Вступ. Cучасна теорiя загальних параболiчних початково-крайових задач розроблена для
класичних шкал функцiональних просторiв Гельдера – Зигмунда i Соболєва [1 – 8]. Основний
результат цiєї теорiї — теореми про коректну розв’язнiсть (за Адамаром) цих задач у придатних
парах вказаних просторiв. Цi теореми мають важливi застосування до дослiдження властивос-
тей регулярностi розв’язкiв параболiчної задачi, властивостей її функцiї Грiна тощо.
Останнiм часом знаходять важливi застосування у теорiї диференцiальних рiвнянь iз частин-
ними похiдними функцiональнi простори узагальненої гладкостi [9 – 17]. Для них показником
регулярностi розподiлiв є не числовий, а досить загальний функцiональний параметр, залеж-
ний вiд частотних змiнних (дуальних до просторових вiдносно перетворення Фур’є). Теорiя
цих просторiв була започаткована Л. Хермандером у монографiї [9], де було введено нормованi
простори
\scrB p,\mu :=
\bigl\{
w \in \scrS \prime (\BbbR k) : \mu (\xi ) \widehat w(\xi ) \in Lp(\BbbR k, d\xi )
\bigr\}
.
Тут 1 \leq p \leq \infty , \mu : \BbbR k \rightarrow (0,\infty ) — вагова функцiя, а \widehat w — перетворення Фур’є розподiлу w.
В. А. Михайлець i О. О. Мурач [16 – 23] побудували теорiю розв’язностi загальних елiптич-
них крайових задач у гiльбертових шкалах iзотропних просторiв Хермандера Hs;\varphi := \scrB 2,\mu , де
показником регулярностi є функцiя вигляду
\mu (\xi ) := (1 + | \xi | 2)s/2\varphi ((1 + | \xi | 2)1/2).
Тут числовий параметр s є дiйсним, а функцiональний параметр \varphi — повiльно змiнним на не-
скiнченностi за Й. Карамата [24]. Ця теорiя ґрунтується на методi iнтерполяцiї з функцiональ-
ним параметром гiльбертових просторiв, який встановлює зв’язок мiж просторами Соболєва i
цими просторами Хермандера.
З огляду на це є перспективним застосування вказаного методу iнтерполяцiї до побудови
теорiї розв’язностi параболiчних початково-крайових задач в анiзотропних аналогах просторiв
Hs;\varphi . У роботах [25 – 34] цю теорiю розроблено для мiшаних задач для одного лiнiйного
параболiчного рiвняння.
c\bigcirc В. М. ЛОСЬ, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3 365
366 В. М. ЛОСЬ
У данiй роботi дослiджується загальна початково-крайова задача для параболiчних за Пет-
ровським систем. Ми розглядаємо важливий випадок [3], коли початковi данi Кошi є нульовими.
Мета роботи — довести теореми про коректну розв’язнiсть i локальну регулярнiсть узагальне-
них розв’язкiв цiєї задачi, а також встановити новi достатнi умови неперервностi узагальнених
частинних похiдних (заданого порядку) вибраної компоненти вектор-функцiї розв’язку. Резуль-
тати роботи частково анонсовано у [35]. Подiбнi результати у випадку мiшаної параболiчної
задачi для одного рiвняння отримано у [31].
2. Постановка задачi. Нехай довiльно задано цiле число n \geq 2, дiйсне число \tau > 0
i обмежену область G \subset \BbbR n з нескiнченно гладкою межею \Gamma := \partial G, \Omega := G \times (0, \tau ) —
вiдкритий цилiндр в \BbbR n+1, S := \Gamma \times (0, \tau ) — його бiчна поверхня. Тодi \Omega := G \times [0, \tau ] i
S := \Gamma \times [0, \tau ] є замиканням \Omega i S вiдповiдно.
Розглянемо у цилiндрi \Omega початково-крайову параболiчну за Петровським задачу для систе-
ми лiнiйних диференцiальних рiвнянь:
N\sum
k=1
Aj,k(x, t,Dx, \partial t)uk(x, t) = fj(x, t) для всiх x \in G, t \in (0, \tau ) i j \in \{ 1, . . . , N\} , (1)
N\sum
k=1
Bj,k(x, t,Dx, \partial t)uk(x, t)
\bigm| \bigm|
S
= gj(x, t) для всiх x \in \Gamma , 0 < t < \tau i j \in \{ 1, . . . ,m\} , (2)
\partial rt uk(x, t)
\bigm| \bigm|
t=0
= 0 для всiх x \in G, k \in \{ 1, . . . , N\} i r \in \{ 0, . . . , \kappa k - 1\} . (3)
Зауважимо, що початковi данi (3) ми вважаємо нульовими. Тут лiнiйнi диференцiальнi вирази
мають вигляд
Aj,k(x, t,Dx, \partial t) :=
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq 2b\kappa k
a\alpha ,\beta j,k (x, t)D
\alpha
x\partial
\beta
t , (4)
Bj,k(x, t,Dx, \partial t) :=
\left\{
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq lj+2b\kappa k
b\alpha ,\beta j,k (x, t)D
\alpha
x\partial
\beta
t , якщо lj + 2b\kappa k \geq 0,
0, якщо lj + 2b\kappa k < 0,
(5)
для всiх припустимих значень iндексiв j, k. В цiй задачi ми довiльним чином вибрали нату-
ральнi числа N \geq 2, b i \kappa 1, . . . , \kappa N , поклали m := b(\kappa 1 + . . . + \kappa N ) i вибрали ще m цiлих
чисел l1, . . . , lm. Число 2b називається параболiчною вагою даної задачi. Всi коефiцiєнти ди-
ференцiальних виразiв Aj,k та Bj,k є нескiнченно гладкими комплекснозначними функцiями,
заданими на \Omega i S вiдповiдно, тобто
a\alpha ,\beta j,k \in C\infty (\Omega ) :=
\bigl\{
w \upharpoonright \Omega : w \in C\infty (\BbbR n+1)
\bigr\}
i
b\alpha ,\beta j,k \in C\infty (S) :=
\bigl\{
v \upharpoonright S : v \in C\infty (\Gamma \times \BbbR )
\bigr\}
.
Використовуватимемо позначення D\alpha
x := D\alpha 1
1 . . . D\alpha n
n , де Dk := i \partial /\partial xk, \partial t := \partial /\partial t для
частинних похiдних функцiй, що залежать вiд x = (x1, . . . , xn) \in \BbbR n i t \in \BbbR . Тут i — уявна
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 367
одиниця, \alpha = (\alpha 1, . . . , \alpha n) — мультиiндекс i | \alpha | := \alpha 1 + . . . + \alpha n. У формулах (4) i (5) та їх
аналогах пiдсумовування проводиться за цiлими невiд’ємними iндексами \alpha 1, . . . , \alpha n i \beta , якi
задовольняють умову, вказану пiд знаком суми.
Запишемо основнi символи диференцiальних операторiв (4) i (5):
A
(0)
j,k(x, t, \xi , p) :=
\sum
| \alpha | +2b\beta =2b\kappa k
a\alpha ,\beta j,k (x, t) \xi
\alpha p\beta ,
B
(0)
j,k (x, t, \xi , p) =:
\left\{
\sum
| \alpha | +2b\beta =lj+2b\kappa k
b\alpha ,\beta j,k (x, t) \xi
\alpha p\beta , якщо lj + 2b\kappa k \geq 0,
0, якщо lj + 2b\kappa k < 0.
Цi символи є однорiдними полiномами за сукупнiстю аргументiв \xi := (\xi 1, . . . , \xi n) \in \BbbC n i p \in \BbbC
(як завжди, \xi \alpha := \xi \alpha 1
1 . . . \xi \alpha nn ). Утворимо матрицi
A(0)(x, t, \xi , p) :=
\bigl(
A
(0)
j,k(x, t, \xi , p)
\bigr) N
j,k=1
, B(0)(x, t, \xi , p) :=
\bigl(
B
(0)
j,k (x, t, \xi , p)
\bigr)
j=1,...,m
k=1,...,N
.
Нагадаємо [2] (розд. 1, § 1), що початково-крайова задача (1) – (3) називається параболiчною за
Петровським у цилiндрi \Omega , якщо виконуються три умови.
Умова 1. Для довiльно вибраних точок x \in G, t \in [0, \tau ] i вектора \xi \in \BbbR n усi коренi много-
члена \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A(0)(x, t, \xi , p) за змiнною p \in \BbbC задовольняють нерiвнiсть \mathrm{R}\mathrm{e} p(x, t, \xi ) \leq - \delta | \xi | 2b зi
сталою \delta > 0, яка не залежить вiд x, t i \xi .
Умова 2. У системi (1) кожне рiвняння з номером j \in \{ 1, . . . , N\} розв’язуване вiдносно
похiдної \partial
\kappa j
t uj i не мiстить жодної похiдної вигляду \partial \kappa kt uk, k \not = j. Тому можна вважати, що
a
(0,0,...,0),\kappa k
j,k (x, t) \equiv \delta j,k для довiльних j, k \in \{ 1, . . . , N\} . Тут \delta j,k — символ Кронекера.
Нехай число \delta 1 \in (0, \delta ), де \delta — стала з умови 1. Для формулювання умови 3 виберемо
довiльним чином точки x \in \Gamma , t \in [0, \tau ], вектор \xi \in \BbbR n, дотичний до межi \Gamma у точцi x, i число
p \in \BbbC такi, що \mathrm{R}\mathrm{e} p \geq - \delta 1| \xi | 2b i | \xi | + | p| > 0. Нехай \nu (x) — орт внутрiшньої нормалi до межi
\Gamma у точцi x. З умови 1 випливає, що многочлен \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}A(0)(x, t, \xi + \zeta \nu (x), p) змiнної \zeta \in \BbbC має
точно m коренiв \zeta +j (x, t, \xi , p), j = 1, . . . ,m, з додатною уявною частиною та решту m коренiв
з вiд’ємною уявною частиною (з урахуванням їхньої кратностi).
Умова 3. Для деякого числа \delta 1 \in (0, \delta ) при кожному зазначеному вище виборi параметрiв
x, t, \xi i p рядки матрицi
B(0)(x, t, \xi + \zeta \nu (x), p) \widetilde A(0)(x, t, \xi + \zeta \nu (x), p)
є лiнiйно незалежними за модулем многочлена
\prod m
j=1
(\zeta - \zeta +j (x, t, \xi , p)). Тут \widetilde A(0) — транспо-
нована матриця алгебраїчних доповнень елементiв матрицi A(0).
Зауважимо, що умови 1 i 2 є умовами (рiвномiрної) 2b-параболiчностi за I. Г. Петровським
[36, с. 100] системи (1) у замкненому цилiндрi \Omega , а умова 3 свiдчить про те, що система
крайових умов (2) накриває параболiчну систему (1) на бiчнiй поверхнi S цього цилiндра.
Запишемо систему (1) i граничнi умови (2) у матричнiй формi Au = f i Bu| S = g. Тут i
далi
A := (Aj,k(x, t,Dx, \partial t))
N
j,k=1, B :=
\bigl(
Bj,k(x, t,Dx, \partial t)
\bigr)
j=1,...,m
k=1,...,N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
368 В. М. ЛОСЬ
— матричнi диференцiальнi оператори, а u, f та g — комплекснозначнi вектор-функцiї.
Пов’яжемо з початково-крайовою задачею (1) – (3) лiнiйне вiдображення\bigl(
C\infty
+ (\Omega )
\bigr) N \ni u \mapsto \rightarrow (Au,Bu) \in
\bigl(
C\infty
+ (\Omega )
\bigr) N \times
\bigl(
C\infty
+ (S)
\bigr) m
. (6)
Тут i нижче
C\infty
+ (\Omega ) :=
\bigl\{
w \upharpoonright \Omega : w \in C\infty (\BbbR n+1), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subseteq \BbbR n \times [0,\infty )
\bigr\}
,
C\infty
+ (S) :=
\bigl\{
h\upharpoonright S : h \in C\infty (\Gamma \times \BbbR ), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}h \subseteq \Gamma \times [0,\infty )
\bigr\}
.
У роботi всi функцiї та розподiли вважаються комплекснозначними.
Вiдображення (6) встановлює взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж просторами (C\infty
+ (\Omega ))N
i (C\infty
+ (\Omega ))N \times (C\infty
+ (S))m. Це випливає з теореми 1.2 [3] (див. мiркування на початку п. 6).
Основна мета роботи — довести, що вiдображення (6) продовжується єдиним чином (за
неперервнiстю) до iзоморфiзму мiж вiдповiдними парами анiзотропних гiльбертових функцiо-
нальних просторiв Хермандера.
3. Простори Хермандера, пов’язанi з задачею. Цi простори є окремим випадком гiль-
бертових функцiональних просторiв \scrB 2,\mu , введених i дослiджених Л. Хермандером [9] (п. 2.2),
а згодом i Л. Р. Волєвичем та Б. П. Панеяхом [37] (§ 2, 3). Для зручностi наведемо коротко
необхiднi означення (бiльш детально див. [31], п. 3).
Потрiбнi простори будуються на основi базових анiзотропних функцiональних просторiв
Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR k+1), заданих на \BbbR k+1, k \geq 1. Усi цi простори параметризуються парою дiйсних
числових параметрiв s i s/(2b) та функцiональним параметром \varphi \in \scrM .
За означенням клас \scrM складається з усiх вимiрних за Борелем функцiй \varphi : [1,\infty ) \rightarrow (0,\infty ),
якi задовольняють такi умови:
а) обидвi функцiї \varphi i 1/\varphi обмеженi на кожному вiдрiзку [1, c], де 1 < c <\infty ;
б) функцiя \varphi є повiльно змiнною за Й. Карамата на нескiнченностi, тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\varphi (\lambda r)
\varphi (r)
= 1 для кожного \lambda > 0.
Теорiю повiльно змiнних функцiй (на нескiнченностi) викладено, наприклад, у монографiї
[24]. Їх важливим прикладом є функцiї вигляду
\varphi (r) = (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q1 (\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} r)q2 . . . ( \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g} . . . \mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\underbrace{} \underbrace{}
k разiв
r )qk для r \gg 1,
де k \in \BbbZ , k \geq 1, i q1, q2, . . . , qk \in \BbbR — довiльнi параметри.
Нехай s \in \BbbR , \varphi \in \scrM i дiйсне \gamma > 0. Простiр Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) буде потрiбний нам лише у
випадку \gamma = 1/(2b), але його природно ввести для довiльного \gamma > 0.
За означенням комплексний лiнiйний простiр Hs,s\gamma ,\varphi (\BbbR k+1) складається з усiх повiльно
зростаючих розподiлiв w \in \scrS \prime (\BbbR k+1) таких, що їх (повне) перетворення Фур’є \widetilde w є функцiєю,
яка локально iнтегровна на \BbbR k+1 за Лебегом i задовольняє умову\int
\BbbR k
\int
\BbbR
r2s\gamma (\xi , \eta )\varphi 2(r\gamma (\xi , \eta )) | \widetilde w(\xi , \eta )| 2 d\xi d\eta <\infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 369
Тут i нижче використовуємо позначення
r\gamma (\xi , \eta ) :=
\bigl(
1 + | \xi | 2 + | \eta | 2\gamma
\bigr) 1/2
, де \xi \in \BbbR k i \eta \in \BbbR .
Цей простiр надiлено скалярним добутком
(w1, w2)Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) :=
\int
\BbbR k
\int
\BbbR
r2s\gamma (\xi , \eta )\varphi 2(r\gamma (\xi , \eta ))\widetilde w1(\xi , \eta )\widetilde w2(\xi , \eta ) d\xi d\eta ,
де w1, w2 \in Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1). Скалярний добуток звичайним чином породжує норму
\| w\| Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) := (w,w)
1/2
Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1)
.
Зазначимо, що простiр Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) є окремим випадком просторiв \scrB 2,\mu , що були введенi
Л. Хермандером у [9] (п 2.2). А саме, Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) = \scrB 2,\mu за умови, що функцiональний
параметр
\mu (\xi , \eta ) = rs\gamma (\xi , \eta )\varphi (r\gamma (\xi , \eta )) для всiх \xi \in \BbbR k i \eta \in \BbbR .
У випадку \gamma = 1/(2b) будемо казати, що простiр Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) є 2b-анiзотропним простором
Хермандера.
Згiдно з теоремою 2.2.1 [9], простiр Хермандера Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) є повним (тобто гiльберто-
вим), сепарабельним i неперервно вкладеним у лiнiйний топологiчний простiр \scrS \prime (\BbbR k+1) повiль-
но зростаючих розподiлiв на \BbbR k+1. Бiльш того, множина C\infty
0 (\BbbR k+1) є щiльною в Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1).
Якщо \varphi (r) \equiv 1, то Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) стає анiзотропним гiльбертовим простором Соболєва
порядку (s, s\gamma ); позначимо його через Hs,s\gamma (\BbbR k+1). У загальному випадку, коли \varphi \in \scrM є
довiльною, мають мiсце неперервнi та щiльнi вкладення
Hs1,s1\gamma (\BbbR k+1) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) \lhook \rightarrow Hs0,s0\gamma (\BbbR k+1) для всiх s0 < s < s1. (7)
Цей результат безпосередньо випливає з такої властивостi \varphi \in \scrM : для довiльного \varepsilon > 0 iснує
таке число c = c(\varepsilon ) \geq 1, що c - 1r - \varepsilon \leq \varphi (r) \leq c r\varepsilon для всiх r \geq 1 (див., наприклад, [24],
п.1.5,10).
Вкладення (7) показують роль функцiонального параметра \varphi \in \scrM у класi гiльбертових
функцiональних просторiв \bigl\{
Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) : s \in \BbbR , \varphi \in \scrM
\bigr\}
. (8)
Бачимо, що \varphi визначає додаткову гладкiсть по вiдношенню до основної анiзотропної гладкостi,
заданої парою чисел (s, s\gamma ). Якщо \varphi (r) \rightarrow \infty (або \varphi (r) \rightarrow 0) при r \rightarrow \infty , то \varphi визначає
позитивну (або негативну) додаткову гладкiсть. Iншими словами, \varphi уточнює основну гладкiсть
(s, s\gamma ).
Використовуючи шкалу (8), введемо функцiональнi простори, пов’язанi iз задачею (1) – (3).
Нехай V — вiдкрита непорожня множина в \BbbR k+1. (Зокрема, при k = n i V = \Omega .) Покладемо
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) :=
\bigl\{
w \upharpoonright V : w \in Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subseteq \BbbR k \times [0,\infty )
\bigr\}
. (9)
Норма у лiнiйному просторi (9) визначається формулою
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
370 В. М. ЛОСЬ
\| u\| Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
\| w\| Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1) :
w \in Hs,s\gamma ;\varphi (\BbbR k+1), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subseteq \BbbR k \times [0,\infty ), u = w \upharpoonright V
\bigr\}
, (10)
де u \in Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ). Лiнiйний простiр Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно
норми (3) (див. [31], п. 3).
Розв’язок задачi (1) – (3) та правi частини системи (1) будемо розглядати у просторах
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) з k = n i V = \Omega . Зауважимо, що множина C\infty
+ (\Omega ) є щiльною в Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Omega ).
Також нам потрiбно ввести аналог простору Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) для бiчної поверхнi S цилiндра \Omega .
Для розглядуваної задачi достатньо обмежитись випадком s > 0. Нехай \Pi := \BbbR n - 1 \times (0, \tau ).
Розглянемо гiльбертiв простiр Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) у випадку k = n - 1 i V = \Pi . Означимо простiр
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) на основi простору Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Pi ) за допомогою спецiальних локальних карт на S.
Довiльно виберемо скiнченний атлас iз C\infty -структури на замкненому многовидi \Gamma . Нехай
цей атлас утворений локальними картами \theta j : \BbbR n - 1 \updownarrow \Gamma j , де j = 1, . . . , \lambda . Тут кожна \theta j — це
C\infty -дифеоморфiзм усього евклiдового простору \BbbR n - 1 на вiдкриту пiдмножину \Gamma j множини
\Gamma . Бiльш того, \Gamma := \Gamma 1 \cup . . . \cup \Gamma \lambda , тобто вiдкритi множини \Gamma 1, . . . ,\Gamma \lambda утворюють покриття \Gamma .
Окрiм цього, довiльно виберемо такi функцiї \chi j \in C\infty (\Gamma ), j = 1, . . . , \lambda , що \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi j \subset \Gamma j i
\chi 1 + . . .+\chi \lambda = 1 на \Gamma . Цi функцiї утворюють C\infty -розбиття одиницi на \Gamma , яке пiдпорядковане
покриттю.
Цей атлас на \Gamma породжує набiр спецiальних локальних карт
\theta \ast j : \BbbR n - 1 \times [0, \tau ] \updownarrow \Gamma j \times [0, \tau ], j = 1, . . . , \lambda ,
на S = \Gamma \times [0, \tau ] за формулою \theta \ast j (x, t) := (\theta j(x), t) для всiх x \in \BbbR n - 1 i t \in [0, \tau ]. Розглянемо
функцiї \chi \ast
j (x, t) := \chi j(x) для x \in \Gamma i t \in [0, \tau ], де j = 1, . . . , \lambda . Вони утворюють C\infty -розбиття
одиницi на S, яке пiдпорядковане покриттю \{ \Gamma j \times [0, \tau ] : j = 1, . . . , \lambda \} многовиду S.
Тепер покладемо
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) :=
\bigl\{
v \in L2(S) : (\chi \ast
jv) \circ \theta \ast j \in Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Pi ) для всiх j \in \{ 1, . . . , \lambda \}
\bigr\}
. (11)
Тут, нагадаємо, s > 0 i L2(S) — гiльбертовий простiр усiх iнтегровних iз квадратом вiдносно
мiри Лебега функцiй v : S \rightarrow \BbbC на гладкому многовидi S. Як звичайно, \circ позначає композицiю
функцiй або вiдображень, так що
((\chi \ast
jv) \circ \theta \ast j )(x, t) = (\chi \ast
jv)(\theta
\ast
j (x, t)) = \chi j(\theta j(x)) v((\theta j(x), t))
для всiх x \in \BbbR n - 1 i t \in (0, \tau ). Скалярний добуток у лiнiйному просторi (11) означається за
формулою
(v1, v2)Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) :=
\lambda \sum
j=1
((\chi \ast
jv1) \circ \theta \ast j , (\chi \ast
jv2) \circ \theta \ast j )Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Pi ),
де v1, v2 \in Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S). Цей скалярний добуток природним чином породжує норму
\| v\| Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) := (v, v)
1/2
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 371
Простiр Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) є повним (тобто гiльбертовим), сепарабельним i не залежить з точнiстю до
еквiвалентностi норм вiд зазначеного вибору локальних карт i розбиття одиницi на \Gamma ; множина
C\infty
+ (S) є щiльною у цьому просторi [31] (лема 3.1).
Якщо \varphi \equiv 1, то означенi вище простори стають анiзотропними соболєвськими просторами.
У цьому випадку будемо пропускати iндекс \varphi у позначеннях цих просторiв.
Наприкiнцi зазначимо (див. [31], п. 3), що для введених просторiв Хермандера на \Omega та S
мають мiсце аналоги вкладень (7). А саме, для довiльного \varphi \in \scrM мають мiсце неперервнi та
щiльнi вкладення
Hs1,s1\gamma
+ (V ) \lhook \rightarrow Hs,s\gamma ;\varphi
+ (V ) \lhook \rightarrow Hs0,s0\gamma
+ (V ) для всiх s0 < s < s1. (12)
Тут V = \Omega або V = S i s0 > 0.
4. Основний результат. У цьому пунктi ми сформулюємо теорему про iзоморфiзм для
параболiчної задачi (1) – (3) у просторах Хермандера, введених вище. Потiм розглянемо засто-
сування цiєї теореми до дослiдження регулярностi узагальнених розв’язкiв цiєї задачi.
Позначимо через \sigma 0 найменше цiле число таке, що
\sigma 0 \geq 0, \sigma 0 \geq lj + 1 для всiх j \in \{ 1, . . . ,m\} , \sigma 0
2b
\in \BbbZ .
Теорема 1. Для довiльного дiйсного числа \sigma > \sigma 0 i довiльного функцiонального параметра
\varphi \in \scrM вiдображення (6) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до iзоморфiзму
(A,B) : \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi + (\Omega ) :=
N\bigoplus
k=1
H
\sigma +2b\kappa k,(\sigma +2b\kappa k)/(2b);\varphi
+ (\Omega ) \updownarrow
\updownarrow
\bigl(
H
\sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega )
\bigr) N \oplus
m\bigoplus
j=1
H
\sigma - lj - 1/2,(\sigma - lj - 1/2)/(2b);\varphi
+ (S) =: \scrH \sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega , S). (13)
Якщо \varphi \equiv 1, то iзоморфiзм (13) дiє у парах анiзотропних просторiв Соболєва. У цьому
випадку теорема 1 встановлена В. О. Солоннiковим [3] (теорема 1.2) у припущеннi, що \sigma /(2b) \in
\in \BbbZ . Його результат охоплює i граничний випадок \sigma = \sigma 0. У загальному випадку ми виведемо
теорему 1 iз теореми Солоннiкова за допомогою iнтерполяцiї з функцiональним параметром
пар гiльбертових просторiв Соболєва.
Як зазначено вище, вiдображення (6) продовжується за неперервнiстю до iзоморфiзму
(A,B) : \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) \updownarrow \scrH \sigma 0,\sigma 0/(2b)
+ (\Omega , S), (14)
який дiє в анiзотропних просторах Соболєва. Всi iзоморфiзми (13), де \sigma > \sigma 0 i \varphi \in \scrM , є
звуженнями (14). Цей результат випливає iз вкладень (12).
Кожна вектор-функцiя
(f, g) \in \scrH \sigma 0,\sigma 0/(2b)
+ (\Omega , S) (15)
має єдиний прообраз u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) при взаємно однозначному вiдображеннi (14). Цю
вектор-функцiю u називаємо (сильним) узагальненим розв’язком параболiчної задачi (1) – (3)
iз правою частиною (15).
Розглянемо властивостi регулярностi цього розв’язку у просторах Хермандера. Наступне
твердження безпосередньо випливає з теореми 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
372 В. М. ЛОСЬ
Наслiдок 1. Припустимо, що u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) є узагальненим розв’язком параболiчної
задачi (1) – (3), правi частини якої задовольняють умову
(f, g) \in \scrH \sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega , S)
для деяких \sigma > \sigma 0 i \varphi \in \scrM . Тодi u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi + (\Omega ).
Зауважимо, що додаткова регулярнiсть \varphi правих частин успадковується розв’язком задачi.
Тепер сформулюємо локальний аналог цього результату. Нехай U — вiдкрита множина в
\BbbR n+1, \omega := U \cap \Omega \not = \varnothing , \pi 1 := U \cap \partial \Omega i \pi 2 := U \cap S. Введемо необхiднi локальнi аналоги
просторiв Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Omega ) i Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S), де s > 0, \gamma = 1/(2b) i \varphi \in \scrM .
Позначимо через Hs,s\gamma ;\varphi
+,loc (\omega , \pi 1) лiнiйний простiр усiх розподiлiв u в областi \Omega таких, що
\chi u \in Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Omega ) для кожної функцiї \chi \in C\infty (\Omega ) iз \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \omega \cup \pi 1. Топологiя в цьому просторi
задається напiвнормами
u \mapsto \rightarrow \| \chi u\| Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Omega ),
де \chi — довiльна згадана вище функцiя. Аналогiчно, позначимо через Hs,s\gamma ;\varphi
+,loc (\pi 2) лiнiйний
простiр усiх розподiлiв v на S таких, що \chi v \in Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) для кожної функцiї \chi \in C\infty (S) iз
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi \subset \pi 2. Топологiя у цьому просторi задається напiвнормами
v \mapsto \rightarrow \| \chi v\| Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S),
де \chi — довiльна щойно згадана функцiя.
Теорема 2. Нехай вектор-функцiя u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) є узагальненим розв’язком задачi
(1) – (3) iз правою частиною (15). Припустимо, що
(f, g) \in \scrH \sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1, \pi 2) :=
\bigl(
H
\sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1)
\bigr) N \oplus
m\bigoplus
j=1
H
\sigma - lj - 1/2,(\sigma - lj - 1/2)/(2b);\varphi
+,loc (\pi 2)
(16)
для деяких \sigma > \sigma 0 i \varphi \in \scrM . Тодi
u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1) :=
N\bigoplus
k=1
H
\sigma +2b\kappa k,(\sigma +2b\kappa k)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1). (17)
У випадку \omega = \Omega i \pi 1 = \partial \Omega (тодi \pi 2 = S ) теорема 2 є повторенням наслiдку 1. Якщо
\pi 1 = \varnothing , то ця теорема стверджує, що регулярнiсть розв’язку пiдвищується в околах внутрiшнiх
точок замкненої областi \Omega .
Виберемо довiльну компоненту uk узагальненого розв’язку u. Використання просторiв
Хермандера дозволяє отримати кращi, нiж у випадку просторiв Соболєва, достатнi умови не-
перервностi на \omega \cup \pi 1 вибраної компоненти uk та її узагальнених частинних похiдних заданого
порядку.
Теорема 3. Виберемо довiльне k \in \{ 1, . . . , N\} . Нехай цiле p \geq 0 таке, що p + b + n/2 >
> \sigma 0 + 2b\kappa k, i вектор-функцiя u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) є узагальненим розв’язком задачi (1) – (3)
iз правою частиною (15). Припустимо, що права частина задовольняє умову (16) для \sigma :=
:= p+ b+ n/2 - 2b\kappa k i деякого функцiонального параметра \varphi \in \scrM такого, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 373
\infty \int
1
dr
r\varphi 2(r)
<\infty . (18)
Тодi компонента uk(x, t) розв’язку u та всi її узагальненi частиннi похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t uk(x, t), для
яких | \alpha | + 2b\beta \leq p, є неперервними на множинi \omega \cup \pi 1.
Щодо цiєї теореми наведемо два зауваження.
Зауваження 1. Умова (18) у теоремi 3 є точною. А саме, нехай \sigma := p + b + n/2 - 2b\kappa k,
\varphi \in \scrM i для кожної вектор-функцiї u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) є правильною iмплiкацiя\bigl(
u є розв’язком задачi (1) – (3) для деякої правої частини (16)
\bigr)
\Rightarrow
\bigl(
компонентаuk задовольняє висновок теореми 3
\bigr)
.
Тодi \varphi задовольняє умову (18).
Це зауваження випливає iз твердження 4(ii), детальнiше див. [31] (п. 4, зауваження 1).
Зауваження 2. Якщо сформулювати аналог теореми 3 для соболєвської шкали (випадок
\varphi \equiv 1), то доведеться замiнити умову теореми на бiльш сильну, оскiльки (18) не виконується
у цьому випадку. А саме, потрiбно стверджувати, що права частина задачi (1) – (3) задовольняє
умову (16) для деякого \sigma > p+ b+n/2 - 2b\kappa k. Це припущення сильнiше, нiж умова теореми 3,
завдяки лiвому вкладенню у (12).
5. Iнтерполяцiя з функцiональним параметром. У цьому пунктi розглянемо метод iнтер-
поляцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв, який було введено К. Фойа-
шем i Ж.-Л. Лiонсом [38, с. 278]. Ця iнтерполяцiя є природним узагальненням класичного
методу iнтерполяцiї С. Г. Крейна i Ж.-Л. Лiонса в тому випадку, коли замiсть числа в якостi
параметра iнтерполяцiї використовується досить загальна функцiя (див., наприклад, монографiї
[39] (гл. 4, п. 1.10) i [40] (гл. 1, пп. 2 i 5)). Iнтерполяцiя з функцiональним параметром вiдiграє
ключову роль у доведеннi теореми 1. Для наших цiлей достатньо обмежитись випадком сепа-
рабельних комплексних гiльбертових просторiв. Ми дотримуємось монографiї [17] (п. 1.1), у
якiй систематично викладено цю iнтерполяцiю (див. також [23], п. 2).
Нехай X := [X0, X1] — впорядкована пара сепарабельних комплексних гiльбертових про-
сторiв, для яких має мiсце неперервне i щiльне вкладення X1 \lhook \rightarrow X0. Таку пару називають
допустимою. Для неї iснує оператор J, що є самоспряженим додатно визначеним оператором
в X0 з областю визначення X1, причому \| Jv\| X0 = \| v\| X1 для кожного v \in X1. Оператор
J визначається парою X однозначно i називається породжуючим оператором для X (див.,
наприклад, [39], гл. 4, теорема 1.12). Вiн визначає iзометричний iзоморфiзм J : X1 \updownarrow X0.
Позначимо через \scrB множину всiх вимiрних за Борелем функцiй \psi : (0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), для
яких \psi є обмеженою на кожному вiдрiзку [a, b], де 0 < a < b < \infty , а 1/\psi — обмеженою на
кожному променi [a,\infty ), де a > 0.
Для заданої функцiї \psi \in \scrB розглянемо (взагалi необмежений) оператор \psi (J), визначений в
X0 як борелiвська функцiя \psi вiд J. Цей оператор будується за допомогою спектральної теоре-
ми, застосованої до самоспряженого оператора J. Позначимо через [X0, X1]\psi (або скорочено
X\psi ) область визначення оператора \psi (J), надiлену скалярним добутком
(v1, v2)X\psi := (\psi (J)v1, \psi (J)v2)X0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
374 В. М. ЛОСЬ
Лiнiйний простiр X\psi є гiльбертовим i сепарабельним вiдносно цього скалярного добутку.
Останнiй породжує норму \| v\| X\psi := \| \psi (J)v\| X0 .
Функцiю \psi \in \scrB назвемо iнтерполяцiйним параметром, якщо для всiх припустимих пар
X = [X0, X1] та Y = [Y0, Y1] гiльбертових просторiв i для довiльного лiнiйного вiдображення
T, заданого на X0, правильним є таке: якщо звуження вiдображення T на Xj є обмеженим
оператором T : Xj \rightarrow Yj для кожного j \in \{ 0, 1\} , то звуження вiдображення T на X\psi також є
обмеженим оператором T : X\psi \rightarrow Y\psi .
Якщо \psi — iнтерполяцiйний параметр, то будемо казати, що гiльбертiв простiр X\psi отримано
в результатi iнтерполяцiї з функцiональним параметром \psi пари X = [X0, X1]. У цьому випадку
маємо щiльнi та неперервнi вкладення X1 \lhook \rightarrow X\psi \lhook \rightarrow X0.
Вiдомо, що функцiя \psi \in \scrB є iнтерполяцiйним параметром тодi i тiльки тодi, коли \psi є
псевдовгнутою в околi \infty , тобто коли iснує вгнута додатна функцiя \psi 1(r) при r \gg 1 така,
що обидвi функцiї \psi /\psi 1 та \psi 1/\psi є обмеженими в деякому околi \infty . Цей критерiй випливає з
опису Ж. Петре класу всiх iнтерполяцiйних функцiй для вагових просторiв типу Lp(\BbbR n) (див.
[41], теорема 5.4.4). Доведення цього критерiю наведено в [17] (п. 1.1.9).
Ми будемо використовувати такий наслiдок з цього критерiю [17] (теорема 1.11).
Твердження 1. Припустимо, що функцiя \psi \in \scrB є правильно змiнною на нескiнченностi
функцiєю порядку \theta , де 0 < \theta < 1, тобто
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
r\rightarrow \infty
\psi (\lambda r)
\psi (r)
= \lambda \theta для кожного \lambda > 0.
Тодi \psi є iнтерполяцiйним параметром.
Поняття правильно змiнної функцiї належить Й. Карамата [42]. Очевидно, що функцiя \psi :
(r0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), де r0 \in \BbbR , є правильно змiнною порядку \theta \in \BbbR на нескiнченностi тодi
i тiльки тодi, коли \psi (r) \equiv r\theta \psi 0(r) для певної функцiї \psi 0 : (r0,\infty ) \rightarrow (0,\infty ), що повiльно
змiнюється на нескiнченностi. Обидвi функцiї припускаються вимiрними за Борелем.
Зазначимо, що у випадку степеневих функцiй твердження 1 приводить до згаданого вище
класичного результату Ж.-Л. Лiонса та С. Г. Крейна. А саме, вони довели, що функцiя \psi (r) \equiv r\theta
є iнтерполяцiйним параметром при 0 < \theta < 1. В цьому випадку показник \theta розглядається як
числовий параметр iнтерполяцiї.
На завершення цього пункту сформулюємо властивiсть iнтерполяцiї, яка буде використана у
п. 6 у доведеннях (див. [17], теорема 1.5). Ця властивiсть дозволяє звести iнтерполяцiю прямих
сум гiльбертових просторiв до iнтерполяцiї їх доданкiв.
Твердження 2. Нехай [X
(j)
0 , X
(j)
1 ], де j = 1, . . . , p, — скiнченний набiр допустимих пар
гiльбертових просторiв. Тодi\biggl[ p\bigoplus
j=1
X
(j)
0 ,
p\bigoplus
j=1
X
(j)
1
\biggr]
\psi
=
p\bigoplus
j=1
\bigl[
X
(j)
0 , X
(j)
1
\bigr]
\psi
з рiвнiстю норм для кожної функцiї \psi \in \scrB .
6. Доведення. Насамперед зазначимо, що у випадку просторiв Соболєва (\varphi \equiv 1) i \sigma =
= 2bl > \sigma 0, де l \in \BbbZ , теорема 1 випливає зi згаданого результату Солоннiкова [3] (теорема 1.2).
Дiйсно, з леми 5.1 [31] випливає, що у цьому випадку функцiональнi простори, що фiгурують
у теоремi 1.2 [3], збiгаються iз просторами з (13).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 375
Тепер покажемо, що вiдображення (6) встановлює взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж
просторами (C\infty
+ (\Omega ))N i (C\infty
+ (\Omega ))N \times (C\infty
+ (S))m, як це стверджувалось у п. 2.
Скористаємось теоремою 1 у випадку, про який щойно йшлося. А саме, \varphi \equiv 1 i \sigma = 2bl >
> \sigma 0, де l \in \BbbZ . За цiєю теоремою вiдображення (6) є iн’єктивним. Залишилось показати, що
(6) є сюр’єктивним. Нехай вектор-функцiя (f, g) належить простору
\bigl(
C\infty
+ (\Omega )
\bigr) N \times
\bigl(
C\infty
+ (S)
\bigr) m
.
Згiдно з цiєю теоремою iснує єдина вектор-функцiя
u \in
\bigcap
l\in \BbbZ , 2bl>\sigma 0
\scrG 2bl,l
+ (\Omega ) (19)
така, що (A,B)u = (f, g). З (19), згiдно з теоремою вкладення Соболєва, маємо u \in (C\infty
+ (\Omega ))N
(детальнiше див. [31], п. 5). Таким чином, (6) є сюр’єктивним. Отже, (6) є бiєкцiєю.
Як зазначалось ранiше, теорему 1 виведемо з результату Солоннiкова [3] (теорема 1.2)
методом iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв Соболєва. У
роботi [31] встановлено, що простори Хермандера, якi фiгурують у (13), можна отримати iн-
терполяцiєю з функцiональним параметром їх соболєвських аналогiв. Для зручностi нагадаємо
необхiдний результат.
Припустимо, що
s, s0, s1, \gamma \in \BbbR , s0 < s < s1, \gamma > 0, i \varphi \in \scrM . (20)
Розглянемо функцiю
\psi (r) :=
\Biggl\{
r(s - s0)/(s1 - s0) \varphi (r1/(s1 - s0)) для r \geq 1,
\varphi (1) для 0 < r < 1.
(21)
За твердженням 1 ця функцiя є iнтерполяцiйним параметром, оскiльки вона є правильно змiн-
ною функцiєю на нескiнченностi порядку \theta := (s - s0)/(s1 - s0) з 0 < \theta < 1. Далi будемо
iнтерполювати пари соболєвських просторiв iз функцiональним параметром \psi .
Твердження 3 (лема 7.3 [31]). Додатково до (20) припустимо, що s0 \geq 0 i
sj\gamma - 1/2 /\in \BbbZ для кожного j \in \{ 0, 1\} . (22)
Тодi правильними є iнтерполяцiйнi формули
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (\Omega ) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma
+ (\Omega ), Hs1,s1\gamma
+ (\Omega )
\bigr]
\psi
(23)
i
Hs,s\gamma ;\varphi
+ (S) =
\bigl[
Hs0,s0\gamma
+ (S), Hs1,s1\gamma
+ (S)
\bigr]
\psi
(24)
з точнiстю до еквiвалентностi норм.
Доведення теореми 1. Нехай \sigma > \sigma 0 i \varphi \in \scrM . Виберемо цiле \sigma 1 > \sigma так, що \sigma 1/(2b) \in \BbbZ .
Згiдно з результатом В. О. Солоннiкова [3] (теорема 1.2), вiдображення (6) продовжується
єдиним чином (за неперервнiстю) до iзоморфiзмiв
(A,B) : \scrG \sigma k,\sigma k/(2b)+ (\Omega ) \updownarrow \scrH \sigma k,\sigma k/(2b)
+ (\Omega , S), де k \in \{ 0, 1\} . (25)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
376 В. М. ЛОСЬ
(Тут простори означаються, як i у формулi (13) з \sigma := \sigma k i \varphi \equiv 1.)
Означимо iнтерполяцiйний параметр \psi за формулою (21), в якiй s := \sigma , s0 := \sigma 0 i s1 := \sigma 1.
Iнтерполюючи з функцiональним параметром \psi пари просторiв у (25), отримуємо iзоморфiзм
(A,B) :
\bigl[
\scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ),\scrG \sigma 1,\sigma 1/(2b)+ (\Omega )
\bigr]
\psi
\updownarrow
\bigl[
\scrH \sigma 0,\sigma 0/(2b)
+ (\Omega , S),\scrH \sigma 1,\sigma 1/(2b)
+ (\Omega , S)
\bigr]
\psi
. (26)
Вiн є звуженням оператора (25) з k = 0.
Згiдно з твердженнями 2 i 3 можемо записати\bigl[
\scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ),\scrG \sigma 1,\sigma 1/(2b)+ (\Omega )
\bigr]
\psi
=
=
N\bigoplus
k=1
\bigl[
H
\sigma 0+2b\kappa k,(\sigma 0+2b\kappa k)/(2b)
+ (\Omega ), H
\sigma 1+2b\kappa k,(\sigma 1+2b\kappa k)/(2b)
+ (\Omega )
\bigr]
\psi
=
=
N\bigoplus
k=1
H
\sigma +2b\kappa k,(\sigma +2b\kappa k)/(2b);\varphi
+ (\Omega ) = \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi + (\Omega )
i
[\scrH \sigma 0,\sigma 0/(2b)
+ (\Omega , S),\scrH \sigma 1,\sigma 1/(2b)
+ (\Omega , S)]\psi =
=
N\bigoplus
j=1
\bigl[
H
\sigma 0,\sigma 0/(2b)
+ (\Omega ), H
\sigma 1,\sigma 1/(2b)
+ (\Omega )
\bigr]
\psi
\oplus
\oplus
m\bigoplus
j=1
\bigl[
H
\sigma 0 - lj - 1/2,(\sigma 0 - lj - 1/2)/(2b)
+ (S), H
\sigma 1 - lj - 1/2,(\sigma 1 - lj - 1/2)/(2b)
+ (S)
\bigr]
\psi
=
=
\bigl(
H
\sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega )
\bigr) N \oplus
m\bigoplus
j=1
H
\sigma - lj - 1/2,(\sigma - lj - 1/2)/(2b);\varphi
+ (S) =
= \scrH \sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega , S).
Цi рiвностi просторiв є правильними з точнiстю до еквiвалентностi норм. Таким чином, з iзо-
морфiзму (26) отримуємо (13). Цей iзоморфiзм є розширенням за неперервнiстю вiдображення
(6), оскiльки множина
\bigl(
C\infty
+ (\Omega )
\bigr) N
є щiльною у просторi \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi + (\Omega ).
Теорему 1 доведено.
Доведення теореми 2. Насамперед покажемо, що з умови (16) випливає правильнiсть
iмплiкацiї
u \in \scrG \sigma - \lambda ,(\sigma - \lambda )/(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow u \in \scrG \sigma - \lambda +1,(\sigma - \lambda +1)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1) (27)
для кожного цiлого \lambda \geq 1 такого, що \sigma - \lambda + 1 > \sigma 0.
Виберемо довiльну функцiю \chi \in C\infty (\Omega ) з supp\chi \subset \omega \cup \pi 1. Для \chi iснує функцiя \eta \in C\infty (\Omega )
така, що supp \eta \subset \omega \cup \pi 1 i \eta = 1 в околi supp\chi . Переставляючи диференцiальний оператор
(A,B) з оператором множення на \chi , можемо записати
(A,B)(\chi u) = (A,B)(\chi \eta u) = \chi (A,B)(\eta u) + (A\prime , B\prime )(\eta u) =
= \chi (A,B)u+ (A\prime , B\prime )(\eta u) = \chi (f, g) + (A\prime , B\prime )(\eta u). (28)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 377
Тут
A\prime := (A\prime
j,k(x, t,Dx, \partial t))
N
j,k=1 i B\prime :=
\bigl(
B\prime
j,k(x, t,Dx, \partial t)
\bigr)
j=1,...,m
k=1,...,N
— матричнi диференцiальнi оператори з компонентами
A\prime
j,k(x, t,Dx, \partial t) :=
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq 2b\kappa k - 1
a\alpha ,\beta j,k,1(x, t)D
\alpha
x\partial
\beta
t , (29)
B\prime
j,k(x, t,Dx, \partial t) :=
\left\{
\sum
| \alpha | +2b\beta \leq lj+2b\kappa k - 1
b\alpha ,\beta j,k,1(x, t)D
\alpha
x\partial
\beta
t , якщо lj + 2b\kappa k - 1 \geq 0,
0, якщо lj + 2b\kappa k - 1 < 0,
(30)
де a\alpha ,\beta j,k,1 \in C\infty (\Omega ) i b\alpha ,\beta j,k,1 \in C\infty (S). Цей оператор неперервно дiє у парi просторiв
(A\prime , B\prime ) : \scrG s,s/(2b);\varphi + (\Omega ) \rightarrow \scrH s+1,(s+1)/(2b);\varphi
+ (\Omega , S) (31)
для кожного s > \sigma 0 - 1. У випадку, коли \varphi \equiv 1 i другi iндекси не є напiвцiлими, це безпо-
середньо випливає з (29), (30), леми 5.1 [31] i вiдомих властивостей анiзотропного простору
Соболєва Hs,s/(2b)(\Omega ) (див., наприклад, [43], гл. I, лема 4, та гл. II, теореми 3 i 7). Обмеже-
нiсть оператора (31) у загальному випадку безпосередньо випливає з цього випадку на пiдставi
твердження 2 та iнтерполяцiйних формул (23) i (24).
З умови (16) маємо включення
\chi (f, g) \in \scrH \sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega , S).
Крiм того, згiдно з (31) з s := \sigma - \lambda , має мiсце iмплiкацiя
u \in \scrG \sigma - \lambda ,(\sigma - \lambda )/(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow (A\prime , B\prime )(\eta u) \in \scrH \sigma - \lambda +1,(\sigma - \lambda +1)/(2b);\varphi
+ (\Omega , S).
Тому, використовуючи (28) i наслiдок 1, можемо записати
u \in \scrG \sigma - \lambda ,(\sigma - \lambda )/(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow
\Rightarrow (A,B)(\chi u) \in \scrH \sigma - \lambda +1,(\sigma - \lambda +1)/(2b);\varphi
+ (\Omega , S) \Rightarrow
\Rightarrow \chi u \in \scrG \sigma - \lambda +1,(\sigma - \lambda +1)/(2b);\varphi
+ (\Omega ).
Зазначимо, що тут наслiдок 1 є застосовним, оскiльки \chi u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) за умовою теореми
i \sigma - \lambda + 1 > \sigma 0. Тим самим iмплiкацiю (27) доведено, якщо зважити на зроблений вибiр
функцiї \chi .
Використаємо цю iмплiкацiю для доведення включення u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1). Розглянемо
окремо випадки \sigma /\in \BbbZ i \sigma \in \BbbZ .
Нехай спочатку \sigma /\in \BbbZ . У цьому випадку iснує цiле число \lambda 0 \geq 1 таке, що
\sigma - \lambda 0 < \sigma 0 < \sigma - \lambda 0 + 1. (32)
Використовуючи iмплiкацiю (27) послiдовно для значень \lambda := \lambda 0, \lambda := \lambda 0 - 1,. . . , \lambda := 1,
виводимо необхiдне включення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
378 В. М. ЛОСЬ
u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) \subset \scrG \sigma - \lambda 0,(\sigma - \lambda 0)/(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow
\Rightarrow u \in \scrG \sigma - \lambda 0+1,(\sigma - \lambda 0+1)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow . . .
. . . \Rightarrow u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1).
Зауважимо, що u \in \scrG \sigma 0,\sigma 0/(2b)+ (\Omega ) за умовою теореми.
Нехай тепер \sigma \in \BbbZ . У цьому випадку не iснує цiлого числа \lambda 0, що задовольняє (32). Але
оскiльки \sigma - 1/2 /\in \BbbZ i \sigma - 1/2 > \sigma 0, то, як доведено у попередньому випадку, має мiсце
включення
u \in \scrG \sigma - 1/2,(\sigma - 1/2)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1).
Звiдси, використовуючи iмплiкацiю (27) з \lambda := 1, виводимо потрiбне включення, а саме
u \in \scrG \sigma - 1/2,(\sigma - 1/2)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1) \subset \scrG \sigma - 1,(\sigma - 1)/(2b);\varphi
+,loc (\omega , \pi 1) \Rightarrow
\Rightarrow u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi +,loc (\omega , \pi 1).
Теорему 2 доведено.
Щоб вивести теорему 3 з теореми 2, скористаємось наступною версiєю теореми вкладення
Хермандера [9] (теорема 2.2.7).
Твердження 4 (лема 8.1 [31]). Нехай p \in \BbbZ , p \geq 0, s := p + b + n/2 та \varphi \in \scrM . Тодi
правильними є такi твердження:
(i) Якщо \varphi задовольняє умову
\infty \int
1
dr
r \varphi 2(r)
<\infty , (33)
то кожна функцiя w \in Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1) має таку властивiсть: всi її узагальненi частиннi
похiднi D\alpha
x\partial
\beta
t w(x, t) з 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq p є неперервними на \BbbR n+1.
(ii) Нехай V — непорожня вiдкрита пiдмножина \BbbR n+1 i цiле k таке, що 1 \leq k \leq n. Якщо
кожна функцiя w \in Hs,s/(2b);\varphi (\BbbR n+1) з \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}w \subset V задовольняє умову \partial jw/\partial xjk \in C(\BbbR n+1)
для кожного j \in \BbbZ з 0 \leq j \leq p, то \varphi задовольняє умову (33).
Доведення теореми 3. Виберемо довiльним чином точку M \in \omega \cup \pi 1. Нехай функцiя
\chi \in C\infty (\Omega ) задовольняє такi умови: supp\chi \subseteq \omega \cup \pi 1 i \chi = 1 в деякому околi V (M) \subseteq \Omega точки
M. Згiдно з теоремою 2 маємо включення \chi u \in \scrG \sigma ,\sigma /(2b);\varphi + (\Omega ), де \sigma = p+ b+ n/2 - 2b\kappa k. Це
включення означає, що \chi uk \in H
\sigma ,\sigma /(2b);\varphi
+ (\Omega ), де \sigma = p + b + n/2. Отже, iснує така функцiя
w \in H\sigma ,\sigma /(2b);\varphi (\BbbR n+1), що w = \chi uk = uk на множинi V (M). Згiдно з твердженням 4(i), кожна
узагальнена частинна похiдна D\alpha
x\partial
\beta
t w(x, t), де 0 \leq | \alpha | + 2b\beta \leq p, є неперервною на \BbbR n+1.
Таким чином, похiдна D\alpha
x\partial
\beta
t uk(x, t) є неперервною в околi V (M) точки M. Оскiльки точка
M \in \omega \cup \pi 1 є довiльною, то ця похiдна є неперервною на \omega \cup \pi 1.
Теорему 3 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ПАРАБОЛIЧНI ЗА ПЕТРОВСЬКИМ СИСТЕМИ У ПРОСТОРАХ ХЕРМАНДЕРА 379
Лiтература
1. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида //
Успехи мат. наук. – 1964. – 19, № 3. – С. 53 – 161.
2. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений
общего вида // Труды Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3 – 163.
3. Солонников В. А. Об оценках в Lp решений эллиптических и параболических систем // Труды Мат. ин-та АН
СССР. – 1967. – 102. – С. 137 – 160.
4. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
5. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Berlin: Springer, 1972. –
Vol. II. – xi+242 p.
6. Ивасишен С. Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – Киев: Вища шк., 1990. – 200 с.
7. Eidel’man S. D. Parabolic equations // Encycl. Math. Sci. Vol. 63. Partial Different. Equat., VI. – Berlin: Springer,
1994. – P. 205 – 316.
8. Eidel’man S. D., Zhitarashu N. V. Parabolic boundary value problems. – Basel: Birkhäuser, 1998. – xii+298 p.
9. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p. (Рус. перевод: Хермандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производными. – М.: Мир, 1965. – 380 с.)
10. Лизоркин П. И. Пространства обобщенной гладкости // Теория функциональных пространств / Х. Трибель. –
М.: Мир, 1986. – С. 381 – 415.
11. Paneah B. The oblique derivative problem. The Poincaré problem.– Berlin: Wiley-VCH, 2000. – 348 p.
12. Triebel H. The structure of functions. – Basel: Birkhäuser, 2001. – xii+425 p.
13. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisations of function spaces of generalized smoothness // Ann. mat. pura ed appl. –
2006. – 185, № 1. – P. 1 – 62.
14. Nicola F., Rodino L. Global pseudodifferential calculas on Euclidean spaces. – Basel: Birkhäuser, 2010. – xi+306 p.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation Hilbert spaces between Sobolev spaces // Res. Math. – 2015. – 67,
№ 1. – P. 135 – 152.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math.
Anal. – 2012. – 6, № 2. – P. 211 – 281.
17. Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. – Berlin: De Gruyter, 2014. –
xiv+297 p.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scales of spaces and elliptic boundary-value problems. I // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 2. – P. 244 – 262.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. II // Ukr. Math. J. –
2006. – 58, № 3. – P. 398 – 417.
20. Mikhailets V. A., Murach A. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary-value problems. III // Ukr. Math. J. –
2007. – 59, № 5. – P. 744 – 765.
21. Murach A. A. Elliptic pseudo-differential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold // Ukr. Math.
J. – 2007. – 59, № 6. – P. 874 – 893.
22. Mikhailets V. A., Murach A. A. An elliptic boundary-value problem in a two-sided refined scale of spaces // Ukr.
Math. J. – 2008. – 60, № 4. – P. 574 – 597.
23. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2008. – 14, № 1. – P. 81 – 100.
24. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. – М.: Наука, 1985. – 144 с.
25. Los V., Murach A. A. Parabolic problems and interpolation with a function parameter // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2013. – 19, № 2. – P. 146 – 160.
26. Лось В. Н., Мурач А. А. Параболические смешанные задачи в пространствах обобщенной гладкости // Доп.
НАН України. – 2014. – № 6. – С. 23 – 31.
27. Los V. M. Mixed problems for the two-dimensional heat-conduction equation in anisotropic Hörmander spaces // Ukr.
Math. J. – 2015. – 67, № 5. – P. 735 – 747.
28. Los V. M. Anisotropic Hörmander spaces on the lateral surface of a cylinder // J. Math. Sci. – 2016. – 217, № 4. –
P. 456 – 467.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
380 В. М. ЛОСЬ
29. Los V., Murach A. Isomorphism theorems for some parabolic initial-boundary value problems in Hörmander spaces
// Open Math. – 2017. – 15. – P. 57 – 76.
30. Los V. M. Theorems on isomorphism for some parabolic initial-boundary-value problems in Hörmander spaces:
limiting case // Ukr. Math. J. – 2016. – 68, № 6. – P. 894 – 909.
31. Los V., Mikhailets V. A., Murach A. A. An isomorphism theorem for parabolic problems in Hörmander spaces and its
applications // Communs Pure and Appl. Anal. – 2017. – 16, № 1. – P. 69 – 97.
32. Лось В. М. Класичнi розв’язки параболiчних початково-крайових задач i простори Хермандера // Укр. мат.
журн. – 2016. – 68, № 9. – С. 1229 – 1239.
33. Лось В. М. Достатнi умови класичностi розв’язкiв загальних параболiчних початково-крайових задач // Укр.
мат. журн. – 2016. – 68, № 11. – С. 1518 – 1527.
34. Los V. M., Mikhailets V. A., Murach A. A. General parabolic initial-boundary value problems in Hörmander spaces //
arXiv:1610.06862.
35. Лось В. М. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в просторах узагальненої гладкостi // Доп.
НАН України. – 2014. – № 10. – С. 24 – 32.
36. Петровский И. Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геомет-
рия. – М.: Наука, 1986. – 504 с.
37. Волевич Л. Р., Панеях Б. П. Некоторые пространства обобщенных функций и теоремы вложения // Успехи мат.
наук. – 1965. – 20, № 1. – С. 3 – 74.
38. Foiaş C., Lions J.-L. Sur certains théorèmes d’interpolation // Acta Sci. Math. Szeged. – 1961. – 22. – P. 269 – 282.
39. Krein S. G., Petunin Yu. L., Semenov E. M. Interpolation of linear operators // Transl. Math. Monogr. – Providence,
R.I.: Amer. Math. Soc., 1982. – 54.
40. Lions J.-L., Magenes E. Non-homogeneous boundary-value problems and applications. – Berlin: Springer, 1972. —
Vol. I.
41. Bergh J., Löfström J. Interpolation spaces // Grundlehren math. Wiss. – Berlin: Springer, 1976. – Bd 223.
42. Karamata J. Sur certains “Tauberian theorems” de M. M. Hardy et Littlewood // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. –
P. 33 – 48.
43. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым задачам для
дифференциальных уравнений в частных производных // Учен. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та. – 1958. – 197. –
С. 54 – 112.
Одержано 26.10.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1702 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:57Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/35/e53cd7c0503436f0962f822572a58735.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17022019-12-05T09:24:16Z Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces Параболічні за Петровським системи у просторах Хермандера Los’, V. M. Лось, В. М. We study a general parabolic initial-boundary-value problem for systems parabolic in Petrovskii’s sense with zero initial Cauchy data in some anisotropic H¨ormander inner-product spaces.We prove that the operators corresponding to this problem are isomorphisms between the appropriate H¨ormander spaces. As an application of this result, we establish a theorem on the local increase in regularity of solutions of the problem. We also obtain new sufficient conditions of continuity for the generalized partial derivatives of a given order of a chosen component of the solution. Исследуется общая начально-краевая задача для параболических по Петровскому систем с нулевыми начальными данными Коши в некотoрых анизотропных пространствах Хермандера. Доказано, что операторы, соответствующие этой задаче, являются изоморфизмами между подходящими пространствами Хермандера. Как применение этого результата доказана теорема о локальном повышении регулярности решения задачи и получены новые достаточные условия непрерывности обобщенных частных производных заданного порядка выбранной компоненты вектор-функции решения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1702 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 365-380 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 365-380 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1702/684 Copyright (c) 2017 Los’ V. M. |
| spellingShingle | Los’, V. M. Лось, В. М. Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title | Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title_alt | Параболічні за Петровським системи у просторах Хермандера |
| title_full | Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title_fullStr | Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title_short | Systems parabolic in Petrovskii's sense in Hörmander spaces |
| title_sort | systems parabolic in petrovskii's sense in hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1702 |
| work_keys_str_mv | AT losvm systemsparabolicinpetrovskii039ssenseinhormanderspaces AT losʹvm systemsparabolicinpetrovskii039ssenseinhormanderspaces AT losvm parabolíčnízapetrovsʹkimsistemiuprostorahhermandera AT losʹvm parabolíčnízapetrovsʹkimsistemiuprostorahhermandera |