Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their application in boundary-value problems of mathematical physics
We formulate boundary-value problems for the eigenvalues and eigenfunctions of the Helmholtz equation in simply connected domains by using two complex mutually conjugated variables. The systems of eigenfunctions of these problems are orthogonal in the domain. They are formed by Bessel functions of c...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1703 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507543367843840 |
|---|---|
| author | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. |
| author_facet | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. |
| author_sort | Sukhorolskyi, M. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | We formulate boundary-value problems for the eigenvalues and eigenfunctions of the Helmholtz equation in simply
connected domains by using two complex mutually conjugated variables. The systems of eigenfunctions of these problems
are orthogonal in the domain. They are formed by Bessel functions of complex variables and the powers of conformal
mappings of the analyzed domains onto a circle. The boundary-value problems for the main equations of mathematical
physics are formulated in an infinite cylinder with the use of complex and time variables. The solutions of the boundaryvalue
problems are obtained in the form of series in the systems of eigenfunctions. The Cauchy problem for the main
equations of mathematical physics with three independent variables is also considered. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 539.3
М. А. Сухорольський (Нац. ун-т „Львiв. полiтехнiка”)
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ
ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ У КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ
МАТЕМАТИЧНОЇ ФIЗИКИ
We formulate boundary-value problems for the eigenvalues and eigenfunctions of the Helmholtz equation in simply
connected domains by using two complex mutually conjugated variables. The systems of eigenfunctions of these problems
are orthogonal in the domain. They are formed by Bessel functions of complex variables and the powers of conformal
mappings of the analyzed domains onto a circle. The boundary-value problems for the main equations of mathematical
physics are formulated in an infinite cylinder with the use of complex and time variables. The solutions of the boundary-
value problems are obtained in the form of series in the systems of eigenfunctions. The Cauchy problem for the main
equations of mathematical physics with three independent variables is also considered.
Сформулированы граничные задачи о собственных значениях и собственных функциях для уравнения Гельмгольца
в односвязных областях с использованием двух комплексных взаимно сопряженных переменных. Системы соб-
ственных функций этих задач ортогональны по области и состоят из функций Бесселя комплексных переменных и
степеней конформных отображений рассматриваемых областей на круг. Краевые задачи для основных уравнений
математической физики сформулированы в бесконечном цилиндре с использованием комплексных и временной
переменных. Решения краевых задач получены в виде рядов по собственным функциям. Рассмотрена также задача
Коши для основных уравнений математической физики с тремя независимыми переменными.
Вступ. У роботах [1 – 4] розглянуто ортогональнi та бiортогональнi системи многочленiв двох
i бiльше змiнних. Дослiдження властивостей цих систем ґрунтується на методах контурного
iнтегрування та конформних вiдображень. У роботi [5] сформульовано загальний пiдхiд до по-
будови розв’язкiв крайових задач для рiвняння Гельмгольца в однозв’язнiй областi комплексної
площини. Розв’язки цих задач одержано у виглядi рядiв за системами функцiй, якi сконструйо-
вано з функцiй Бесселя та степенiв конформних вiдображень розглядуваних областей на круг.
У данiй роботi, ґрунтуючись на цих дослiдженнях, побудовано системи функцiй, якi є власними
функцiями вiдповiдних крайових задач для рiвняння Гельмгольца в однозв’язнiй областi комп-
лексної площини i ортогональними по областi. Вони виражаються через функцiї Бесселя та
степенi конформних вiдображень. Розв’язки крайових задач для основних рiвнянь математич-
ної фiзики (гiперболiчного, параболiчного та елiптичного типiв другого порядку) побудовано у
виглядi сум рядiв за ортогональними по областi системами функцiй. Розглянуто також задачу
Кошi для рiвнянь параболiчного та гiперболiчного типiв.
1. Властивостi функцiй Бесселя двох змiнних. Розглянемо функцiї Бесселя [5], залежнi
вiд двох комплексних взаємно спряжених змiнних w = u + iv, \=w = u - iv (w = rei\psi , - \pi \leq
\leq \psi \leq \pi ) комплексної площини Cw,
Jm (w, \=w) =
\infty \sum
n=0
( - 1)nwn+m \=wn
22n+mn! (n+m)!
= wm
\infty \sum
n=0
( - 1)n (w \=w)n
22n+mn! (n+m)!
, (1)
де Jm (w,w) = Jm (w) — функцiї Бесселя першого роду m-го порядку.
1. Безпосередньо з формули (1) випливають формули
c\bigcirc М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ , 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3 381
382 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
Jm (w, \=w) = Jm ( \=w,w) , J - m (w, \=w) = ( - 1)m Jm ( \=w,w) ,
wJm - 1 (w, \=w) + \=wJm+1 (w, \=w) = 2mJm (w, \=w) ,
\partial Jm (w, \=w)
\partial w
=
1
2
Jm - 1 (w, \=w) ,
\partial Jm (w, \=w)
\partial \=w
= - 1
2
Jm+1 (w, \=w) .
(2)
2. З виразу твiрної для системи функцiй Бесселя [6, 7] отримуємо твiрну функцiю для
системи функцiй \{ Jm (w, \=w)\} \infty m= - \infty :
e
wt - \=w/t
2 =
\infty \sum
m= - \infty
Jm (w, \=w) tn =
= J0 (| w| ) +
\infty \sum
m=1
\bigl[
Jm (w, \=w) tm + ( - 1)m Jm ( \=w,w) t - m
\bigr]
.
Звiдси знайдемо такi формули:
\mathrm{c}\mathrm{h}
\biggl(
w - \=w
2
\biggr)
= J0 (| w| ) +
\infty \sum
m=1
[J2m (w, \=w) + J2m ( \=w,w)] ,
\mathrm{s}\mathrm{h}
\biggl(
w - \=w
2
\biggr)
=
\infty \sum
m=1
[J2m - 1 (w, \=w) + J2m - 1 ( \=w,w)] .
3. Формула додавання Графа [6, с. 873] для випадку системи функцiй (1) набирає вигляду
Jm (\eta , \=\eta ) =
\infty \sum
n= - \infty
Jn (\=z, z) Jn+m (w, \=w)
i, зокрема,
J0 (| w - z| ) =
\infty \sum
n= - \infty
Jn (\=z, z) Jn (w, \=w) , (3)
де \eta = z - w, z = \rho \cdot ei\omega , w = r \cdot ei\psi .
4. Використовуючи останнi двi формули з (2), встановлюємо, що функцiї системи
\{ Jm (\lambda w, \lambda \=w)\} \infty m= - \infty задовольняють рiвняння Гельмгольца [5]
4
\partial 2V
\partial w\partial \=w
+ \lambda 2V = 0
\biggl(
\partial 2V
\partial 2u
+
\partial 2V
\partial 2v
+ \lambda 2V = 0
\biggr)
, \lambda \in \BbbR . (4)
Отже, множину розв’язкiв рiвняння (4) у крузi | w| \leq R можна записати у виглядi
V =
\infty \sum
m=0
cmJm (\lambda w, \lambda \=w) +
\infty \sum
m=0
c - mJm (\lambda \=w, \lambda w) , (5)
де cm — комплекснi сталi.
5. З формули для бесселiвської функцiї другого роду (сингулярної в нульовiй точцi) [6]
одержимо вираз вiдповiдної функцiї двох комплексних змiнних \{ Ym (\lambda w, \lambda \=w)\} \infty m= - \infty ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 383
Ym (w, \=w) =
2
\pi
Jm (w, \=w)
\biggl(
\mathrm{l}\mathrm{n}
| w|
2
+ C
\biggr)
- wm
\pi
m\sum
k=1
(k - 1)!
2m+k (m - k) !
1
(w \=w)k
-
- w
m
\pi
\infty \sum
k=1
( - 1) k (w \=w)k
22k+m (m+ k) !k !
\Biggl(
m+k\sum
n=1
1
n
+
k\sum
n=1
1
n
\Biggr)
.
Тодi вiдповiдну множину розв’язкiв рiвняння (4), сингулярних у нульовiй точцi, можна записати
у виглядi
V =
\infty \sum
m=0
cmYm (\lambda w, \lambda \=w) +
\infty \sum
m=1
c - mYm (\lambda \=w, \lambda w) .
6. Нехай [6, с. 218; 7, с. 97]
w = \varphi (z) (6)
— конформне вiдображення однозв’язної областi \=D розширеної комплексної площини Cz, z =
= x+iy (z = \rho ei\omega ) на круг \=K : | w| \leq 1 i z = h (w) — обернене до нього вiдображення; L = \partial D
— жорданова гладка крива, яка вiдображається на коло \partial K.
Перейдемо в (4) до змiнних z = h (w) , \=z = \=h (w) i, оскiльки \varphi \prime (z) \not = 0, z \in D, одержимо
рiвняння [5]
4
| \varphi \prime (z)| 2
\partial 2V
\partial z\partial \=z
= \lambda 2V, z \in D. (7)
Множину розв’язкiв цього рiвняння в областi D знайдемо з (5) i запишемо у виглядi
V =
\infty \sum
m=0
cmJm
\Bigl(
\lambda \varphi (z) , \lambda \varphi (z)
\Bigr)
+
\infty \sum
m=1
c - mJm
\Bigl(
\lambda \varphi (z), \lambda \varphi (z)
\Bigr)
. (8)
7. Знайдемо похiдну вiд функцiї V (z, \=z) за напрямком нормалi до лiнiї L. Спочатку
знайдемо похiдну вiд цiєї функцiї за напрямком нормалi до лiнiї Lr (прообразу кола | w| = r,
0 \leq r \leq 1). Враховуючи формули \partial n\varphi (z) = - i\partial \tau \varphi (z) , r = | \varphi (z)| , h\prime (w)\varphi \prime (z) = 1,
w = rei\psi , де \partial n = \partial /\partial n i \partial \tau = \partial /\partial \tau — похiднi за напрямком нормалi i дотичної до лiнiї Lr,
отримуємо
\partial \varphi (z)
\partial n
= - i\varphi \prime (z)
\partial z
\partial \tau
= -
i\varphi \prime (z) \partial \psi z
| \partial \psi z|
= \varphi \prime (z)
h\prime (w) ei\psi
| h\prime (w)|
=
=
ei\psi
| h\prime (w)|
=
1
| h\prime (w)|
w
r
=
| \varphi \prime (z)|
| \varphi (z)|
\varphi (z) .
Тепер вираз похiдної вiд функцiї (8) за напрямком нормалi до лiнiї Lr з урахуванням цiєї
формули i формул (2) знаходимо у виглядi
\partial V (z, \=z)
\partial n
=
=
| \varphi \prime (z)|
| \varphi (z)|
\infty \sum
m=0
cm
\Bigl[
mJm
\Bigl(
\lambda \varphi (z) , \lambda \varphi (z)
\Bigr)
- \lambda \varphi (z)Jm+1
\Bigl(
\lambda \varphi (z) , \lambda \varphi (z)
\Bigr) \Bigr]
+
+
| \varphi \prime (z)|
| \varphi (z)|
\infty \sum
m=1
c - m
\Bigl[
mJm
\Bigl(
\lambda \varphi (z), \lambda \varphi (z)
\Bigr)
- \lambda \varphi (z) Jm+1
\Bigl(
\lambda \varphi (z), \lambda \varphi (z)
\Bigr) \Bigr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
384 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
Покладаючи | \varphi (z)| = 1 i враховуючи формулу
mJm (\lambda ) - \lambda Jm+1 (\lambda ) = \lambda J \prime
m (\lambda ) ,
отримуємо вираз похiдної за напрямком нормалi до лiнiї L i записуємо вираз функцiї (8) на цiй
лiнiї:
\partial V (z, \=z)
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
L
=
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm|
L
\infty \sum
m=0
cme
im\psi [mJm (\lambda ) - \lambda Jm+1 (\lambda )] +
+
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm|
L
\infty \sum
m=1
c - me
- im\psi [mJm (\lambda ) - \lambda Jm+1 (\lambda )] =
=
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm|
L
\infty \sum
m=0
cm\lambda J
\prime
m (\lambda ) eim\psi +
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm|
L
\infty \sum
m=1
c - m\lambda J
\prime
m (\lambda ) e - im\psi ,
V | L =
\infty \sum
m=0
cme
im\psi Jm (\lambda ) +
\infty \sum
m=1
c - me
- im\psi Jm (\lambda ) .
(9)
Одержанi формули використано для формулювання крайових задач.
2. Перетворення Фур’є — Бесселя функцiї двох змiнних. Нехай функцiя f (r, \psi ) =
= f \{ w, \=w\} розвивається у рiвномiрно збiжний ряд за системою функцiй
\bigl\{
eik\psi
\bigr\} \infty
k= - \infty в областi
[ - \pi ; \pi ] ,
f (w, \vec{}w) =
\infty \sum
n= - \infty
fn (r) e
in\psi , fn (r) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
f (w, \=w) e - in\psi d\psi . (10)
Вважаємо також, що функцiї fn (r) зображуються iнтегралами Фур’є – Бесселя [8]
fn (r) =
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (r\lambda )\lambda d\lambda ,
\frown
f n (\lambda ) =
\infty \int
0
fn (r) Jn (\lambda r) rdr. (11)
Пiдставляючи другу формулу з (10) у другу формулу з (11), одержуємо перетворення функцiї
f (w, \=w):
\frown
f n (\lambda ) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (w, \=w) e - in\psi Jn (\lambda r) rdrd\psi =
=
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (w, \=w) Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi .
Обернене перетворення цiєї функцiї отримуємо з перших формул (10) i (11):
f (w, \vec{}w) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (r\lambda ) e
in\psi \lambda d\lambda =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 385
=
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (w\lambda , \=w\lambda )\lambda d\lambda ,
де J - n (\lambda w, \lambda \=w)
df
= Jn (\lambda \=w, \lambda w) . Отже, маємо такi формули перетворення Фур’є – Бесселя для
функцiї двох змiнних:
\frown
f n (\lambda ) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (w, \=w) Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi ,
f (w, \vec{}w) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (w\lambda , \=w\lambda )\lambda d\lambda .
(12)
Приклад 1. Для функцiї вигляду f (w, \=w) = f (r) eik\psi формули (12) набирають вигляду
\frown
f n (\lambda ) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (r) eik\psi Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi =
=
\infty \int
0
f (r) Jk (\lambda r) rdr, n = k,
\frown
f n (\lambda ) = 0, n \not = k,
f (w, \vec{}w) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (w\lambda , \=w\lambda )\lambda d\lambda =
\infty \int
0
\frown
f k (\lambda ) e
ik\psi Jk (r\lambda )\lambda d\lambda =
= eik\psi
\infty \int
0
\frown
f k (\lambda ) Jk (r\lambda )\lambda d\lambda .
Якщо функцiя залежить тiльки вiд радiальної координати, тобто
f (w, \=w) = f (r) ,
то k = 0 i одержимо звичайне перетворення Фур’є – Бесселя.
3. Ортогональнi по областi системи бесселiвських функцiй двох змiнних. Розглянемо
двi задачi про власнi значення i власнi функцiї :
(А) знайти ненульовий розв’язок рiвняння (7) в областi D \subset Cz за умови V | L = 0;
(Б) знайти ненульовий розв’язок рiвняння (7) в областi D \subset Cz за умови \partial V /\partial n| L = 0.
З умови рiвностi нулю розв’язку або його похiдної (9) на межi областi D одержимо рiвняння
Jm (\lambda ) = 0, J \prime
m (\lambda ) = 0. (13)
Нехай \lambda k(m), k = 1, 2, . . . , — додатнi коренi (власнi числа) першого або другого рiвняння
з (13). Запишемо систему власних функцiй цих задач:\Bigl\{
\Phi m,k(m) (z, \=z) = Jm
\Bigl(
\lambda k(m)\varphi (z) , \lambda k(m)\varphi (z)
\Bigr) \Bigr\}
, k = 1, 2, . . . , m = 0,\pm 1, . . . , (14)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
386 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
де
J - m
\bigl(
\lambda k( - m)w, \lambda k( - m) \=w
\bigr)
= J - m
\bigl(
\lambda k(m)w, \lambda k(m) \=w
\bigr) df
= Jm
\bigl(
\lambda k(m) \=w, \lambda k(m)w
\bigr)
,
\Phi - m,k( - m) (z, \=z)
df
=\Phi m,k(m) (\=z, z) .
Зауважимо, що у вiдповiдностi з (2)
J - m (\lambda w, \lambda \=w) = ( - 1)m Jm (\lambda \=w, \lambda w) ,
тому в (14) маємо символ “df”.
Теорема 1. Система функцiй (14) ортогональна по областi D з вагою | \varphi (z)| 2= \varphi (z)\varphi (z),
\bigm\| \bigm\| \Phi m,k(m)
\bigm\| \bigm\| - 2
\int \int
D
\Phi m,k(m) (z, \=z) \Phi n,l(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy = \delta mn\delta kl, (15)
де \bigm\| \bigm\| \Phi m,k(m)
\bigm\| \bigm\| 2 = \int \int
D
\Phi m,k(m) (z, \=z) \Phi - m,k(m) (z, \=z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy = 2\pi d2k(n),
2\pi d2k(m) = \pi
\bigl[
J \prime
m
\bigl(
\lambda k(m)
\bigr) \bigr] 2
, 2\pi d2k(m) = \pi
\Biggl(
1 - m2
\lambda 2k(m)
\Biggr)
J2
m
\bigl(
\lambda k(m)
\bigr)
— квадрати норм функцiй, що вiдповiдають першiй або другiй задачi.
Доведення. Перетворимо iнтеграл у лiвiй частинi (15) iз використанням формули (6)
i спiввiдношень ортогональностi систем цилiндричних функцiй
\bigl\{
Jm
\bigl(
\lambda k(m)r
\bigr) \bigr\} \infty
k=1
в областi
[0; 1] та ортогональностi системи функцiй
\bigl\{
eik\psi
\bigr\} \infty
k= - \infty в областi [ - \pi ; \pi ] [9]:
1
d2k(m)
1\int
0
Jm
\bigl(
\lambda k(m)r
\bigr)
Jm
\bigl(
\lambda n(m)r
\bigr)
rdr = \delta kn, m = 0, 1, . . . , k, n = 1, 2, . . . ,
1
2\pi
\pi \int
- \pi
eik\psi e - in\psi d\psi = \delta kn, k, n = 0,\pm 1, . . . .
В результатi отримаємо\int \int
D
\Phi m,k(m) (z, \=z) \Phi - n,l(n) (z, \=z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy =
=
\int \int
D
\varphi m (z) Jm
\Bigl(
\lambda k(m)\varphi (z) , \lambda k(m)\varphi (z)
\Bigr)
Jn
\Bigl(
\lambda l(n)\varphi (z), \lambda l(n)\varphi (z)
\Bigr)
\times
\times
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy =
\int \int
| w| \leq 1
Jm
\bigl(
\lambda k(m)w, \lambda k(m) \=w
\bigr)
Jn
\bigl(
\lambda l(n) \=w, \lambda l(n)w
\bigr)
dudv =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 387
=
\int \int
| r| \leq 1
eim\psi Jm
\bigl(
\lambda k(m)r
\bigr)
e - in\psi Jn
\bigl(
\lambda l(n)r
\bigr)
rdrd\psi =
=
1\int
0
Jm
\bigl(
\lambda k(m)r
\bigr)
Jn
\bigl(
\lambda l(n)r
\bigr)
rdr
\pi \int
- \pi
ei(m - n)\psi d\psi = 2\pi d2k(m)\delta mn\delta kl.
Тут враховано також подання елемента площi dudv=rdrd\psi =| \varphi \prime (z)| 2dxdy. Отже, спiввiдношен-
ня (15) виконуються.
Наслiдок. З теореми 1 випливає, що система
\bigl\{
Jm
\bigl(
\lambda k(m)w, \lambda k(m) \=w
\bigr) \bigr\}
, k = 1, 2, . . . , m =
= 0,\pm 1,\pm 2, . . . , ортогональна по кругу \=K,\bigm\| \bigm\| Jm,k(m)
\bigm\| \bigm\| - 2
\int \int
D
Jm
\bigl(
\lambda k(m)w, \lambda k(m) \=w
\bigr)
Jn
\bigl(
\lambda l(n) \=w, \lambda l(n)w
\bigr)
dudv = \delta mn\delta kl.
Теорема 2. Нехай функцiя f\ast (r, \psi ) = f (w, \=w) розвивається у рiвномiрно збiжний у крузi
\=K ряд
f (w, \=w) =
1
2
\infty \sum
k=1
A0,kJ0
\bigl(
\lambda k(0)r
\bigr)
+
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
\bigl(
An,k \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\psi +Bk(n) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\psi
\bigr)
Jn
\bigl(
\lambda k(n)r
\bigr)
, (16)
де
An,k =
1
2\pi d2k(n)
1\int
0
\pi \int
- \pi
f (r, \psi ) Jn
\bigl(
\lambda k(n)r
\bigr)
\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}n\psi rdrd\psi ,
Bn,k =
1
2\pi d2k(n)
1\int
0
\pi \int
- \pi
f (r, \psi ) Jn
\bigl(
\lambda k(n)r
\bigr)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}n\psi rd\rho d\psi ,
i (6) — конформне вiдображення однозв’язної областi \=D на круг \=K. Тодi функцiя f0 (z, \=z) =
= f
\Bigl(
\varphi (z) , \varphi (z)
\Bigr)
розвивається у рiвномiрно збiжний в областi \=D ряд за системою функцiй
(14),
f0 (z, \=z) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n= - \infty
Cn,k\Phi n,k(n) (z, \=z) , (17)
де
Cn,k =
\bigm\| \bigm\| \Phi n,k(n)\bigm\| \bigm\| - 2
\int \int
D
f0 (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy. (18)
Доведення. Спочатку перетворимо рiвномiрно збiжний у крузi \=K ряд (16) i його коефiцi-
єнти з використанням комплексного зображення тригонометричних функцiй
f (w, \=w) =
\infty \sum
k=1
\Biggl[
1
2
A0,kJ0
\bigl(
\lambda k(0)r
\bigr)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
388 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
+
1
2
\infty \sum
n=1
\Bigl(
(An,k - iBn,k) e
in\psi + (An,k + iBn,k) e
- in\psi
\Bigr)
Jn
\bigl(
\lambda k(n)r
\bigr) \Biggr]
=
=
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=0
(An,k - iBn,k) e
in\psi Jn
\bigl(
\lambda n(k)r, \lambda n(k)r
\bigr)
+
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
(An,k + iBn,k) e
- in\psi Jn
\bigl(
\lambda n(k)r, \lambda n(k)r
\bigr)
=
=
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=0
Cn,kJn
\bigl(
\lambda n(k)w, \lambda n(k) \=w
\bigr)
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
Cn,kJn
\bigl(
\lambda n(k) \=w, \lambda n(k)w
\bigr)
,
Cn,k =
1
2
(An,k - iBn,k) =
=
1
2\pi d2k(n)
\int \int
| w| \leq 1
f (w, \=w) Jn
\bigl(
\lambda n(k)w, \lambda n(k) \=w
\bigr)
rdrd\psi ,
Cn,k =
1
2
(An,k + iBn,k) =
1
2\pi d2k(n)
\int \int
| w| \leq 1
f (w, \=w) Jn
\bigl(
\lambda n(k) \=w, \lambda n(k)w
\bigr)
rdrd\psi .
Отже, функцiя f (w, \=w) розвивається за системою
\bigl\{
Jm
\bigl(
\lambda k(m) \=w, \lambda k(m)w
\bigr) \bigr\}
у рiвномiрно
збiжний ряд у цьому крузi.
Тепер перетворимо одержаний ряд i його коефiцiєнти, замiнивши змiннi з використанням
перетворення (6):
f (w, \=w) = f
\Bigl(
\varphi (z) , \varphi (z)
\Bigr)
=
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=0
Cn,kJn
\bigl(
\lambda n(k)w, \lambda n(k) \=w
\bigr)
+
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
Cn,kJn
\bigl(
\lambda n(k) \=w, \lambda n(k)w
\bigr)
=
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=0
Cn,k\Phi n,k(n) (z, \=z)+
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
Cn,k\Phi n,k(n) (\=z, z) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n= - \infty
Cn,k\Phi n,k(n) (z, \=z) ,
Cn,k =
1
2\pi d2k(n)
\int \int
| w| \leq 1
f (r, \psi ) Jn
\bigl(
\lambda n(k) \=w, \lambda n(k)w
\bigr)
dudv =
=
1
2\pi d2k(n)
\int \int
D
f0 (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dxdy.
Аналогiчно отримаємо вiдповiдний вираз для коефiцiєнтiв Cn,k. Враховуючи тут позначен-
ня C - n,k = Cn,k, \Phi - n,k(n) (z, \=z) = \Phi n,k(n) (\=z, z) , одержуємо ряд (16) у формi (17) i вiдповiднi
зображення його коефiцiєнтiв (18).
Ряд (17) рiвномiрно збiгається в областi \=D, оскiльки вiн одержаний iз рiвномiрно збiжного
в областi \=K ряду (16) замiною w = \varphi (z) , \=w = \varphi (z).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 389
Приклад 2. Знайдемо розвинення аналiтичної в областi \=D функцiї G (z) в ряд за системою
функцiй (14). Вважаємо, що функцiя G (z) розвивається [5] у рiвномiрно збiжний у цiй областi
ряд за системою функцiй \{ 1, \varphi n (z)\} \infty n=1 ,
G (z) = G0 +
\infty \sum
n=1
Gn\varphi
n (z) . (19)
Використаємо [9, с. 292] розвинення функцiї | w| n = rn, 0 \leq r \leq 1, n > 0, у рiвномiрно
збiжний ряд за системою власних функцiй задачi (Б),
rn =
\infty \sum
k=1
\Lambda n,k(n)Jn
\bigl(
\lambda k(n)r
\bigr)
, де \Lambda n,k(n) =
2\lambda k(n)Jn+1
\bigl(
\lambda k(n)
\bigr) \Bigl(
\lambda 2k(n) - n2
\Bigr)
J2
n
\bigl(
\lambda k(n)
\bigr) .
Звiдси одержимо
wn = rnein\psi =
\infty \sum
k=1
\Lambda n,k(n)Jn
\bigl(
\lambda k(n)w, \lambda k(n) \=w
\bigr)
,
\varphi n (z) =
\infty \sum
k=1
\Lambda n,k(n)\Phi n,k(n) (z, \=z) .
(20)
Враховуючи формули (20) у виразi функцiї G (z) , отримуємо подвiйний ряд за системою
функцiй (14):
G (z) = G0 +
\infty \sum
n=1
\infty \sum
k=1
Gn\Lambda n,k(n)\Phi n,k(n) (z, \=z) , (21)
який внаслiдок рiвномiрної збiжностi рядiв (19), (20) збiгається в \=D.
4. Задача Кошi. Розглянемо задачу Кошi
4a2
\partial 2U
\partial w\partial \=w
= \alpha 1
\partial 2U
\partial t2
+ \alpha 2
\partial U
\partial t
+Q (w, \=w, t) , (w, t) \in Cw \times (0, \infty ) ,
U | t=0 = f (w, \=w) ,
\partial U
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g (w, \=w) , w \in Cw, (22)
де Q (w, \=w, t) , f (w, \=w) , g (w, \=w) — дiйснi функцiї; a \not = 0, \alpha 1, \alpha 2 — дiйснi сталi, якi одночасно
не дорiвнюють нулю.
Рiвняння (22) описує коливання мембрани (\alpha 1 = 1, \alpha 2 = 0) , поширення тепла (дифузiю) в
цилiндричному тiлi (\alpha 1 = 0, \alpha 2 = 1) , електромагнiтнi коливання в цилiндричному провiднику
та iн.
Вважаємо, що iснують [10] узагальнений розв’язок задачi (22), а також функцiя U (w, \=w, t)
та вiдповiднi її частиннi похiднi i функцiї Q (w, \=w, t) , f (w, \=w) , g (w, \=w) зображуються рiвно-
мiрно збiжними рядами (12):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
390 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
U (u, v, t) = U (w, \=w, t) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
un (\lambda , t) Jn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda ,
Q (w, \=w, t) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
q n (\lambda , t) Jn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda ,
f (w, \=w) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) Jn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda ,
g (w, \=w) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
g n (\lambda ) Jn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda ,
(23)
де
\frown
q n (\lambda , t) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
Q (w, \=w, t) Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi ,
\frown
f n (\lambda ) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (w, \=w) Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi ,
\frown
g n (\lambda ) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
g (w, \=w) Jn (\lambda \=w, \lambda w) rdrd\psi .
Пiдставляючи формули (23) в рiвняння й умови (22), одержуємо такi задачi:
\alpha 1
d2
\frown
un (\lambda , t)
dt2
+ \alpha 2
d
\frown
un (\lambda , t)
dt
+ a2\lambda 2
\frown
un (\lambda , t) = -
\frown
q n (\lambda , t) ,
\frown
un (\lambda , 0) =
\frown
f n (\lambda ) ,
\partial
\frown
un (\lambda , 0)
\partial t
=
\frown
g n (\lambda ) .
(24)
Розв’язки крайових задач (24) отримаємо операцiйним методом i запишемо їх для окремих
випадкiв фiзичних задач:
a) коливання мембрани (\alpha 1 = 1, \alpha 2 = 0)
\frown
un (\lambda , t) =
\frown
f n (\lambda ) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} a\lambda t+
\frown
g n (\lambda )
\lambda
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda t - 1
a\lambda
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda (t - \tau )
\frown
q n (\lambda , \tau ) d\tau , (25)
б) плоска задача дифузiї (\alpha 1 = 0, \alpha 2 = 1)
\frown
un (\lambda , t) =
\frown
f n (\lambda ) e - a
2\lambda 2t -
t\int
0
e - a
2\lambda 2(t - \tau ) \frown
q n (\lambda , \tau ) d\tau . (26)
Розв’язки задачi (22) для розглянутих окремих випадкiв одержимо пiдстановкою виразiв
(25), (26) у першу формулу (23).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 391
Приклад 3. Знайдемо розв’язок задачi Кошi для рiвняння коливань
4
\partial 2U
\partial w\partial \=w
=
\partial 2U
\partial t2
, (w, t) \in Cw \times (0 < t <\infty ) ,
U | t=0 = 0,
\partial U
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g (w, \=w) , w \in Cw.
Вважаємо, що функцiя g (w, \=w) зображується рiвномiрно збiжним рядом (23). Пiдставляючи
вiдповiдний вираз (25) у першу з формул (23), одержуємо розв’язок
U (w, \=w, t) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
g n (\lambda )
\lambda
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda tJn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda .
Перетворимо вираз цього розв’язку з урахуванням формули Графа i iнтеграла Вебера [6, 7]
U (w, \=w, t) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
g n \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda tJn (\lambda w, \lambda \=w) d\lambda =
=
1
2\pi
\infty \int
0
\pi \int
- \pi
g (z, \=z) \rho d\rho d\omega
\infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda t
\Biggl( \infty \sum
n= - \infty
Jn (\lambda \=z, \lambda z) Jn (\lambda w, \lambda \=w)
\Biggr)
d\lambda =
=
1
2\pi
\infty \int
0
\pi \int
- \pi
g (z, \=z) \rho d\rho d\omega
\infty \int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda t J0 (\lambda | w - z| ) d\lambda =
=
1
2\pi
\infty \int
0
\pi \int
- \pi
\theta (t - | w - z| )\sqrt{}
t2 - | w - z| 2
g (z, \=z) \rho d\rho d\omega ,
де \theta (\xi ) = 0, \xi < 0; \theta (\xi ) = 1, \xi > 0.
Приклад 4. Знайдемо розв’язок задачi Кошi для рiвняння дифузiї (теплопровiдностi)
4
\partial 2U
\partial w\partial \=w
=
\partial U
\partial t
+Q (w, \=w, t) , (w, t) \in Cw \times (0 < t <\infty ) ,
U | t=0 = f (w, \=w) , w \in Cw.
Вважаємо, що функцiї f (w, \=w) , Q (w, \=w, t) зображуються рiвномiрно збiжними рядами (23).
Пiдставляючи (26) у першу з формул (23), отримуємо розв’язок
U (w, \=w, t) =
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
f n (\lambda ) e - \lambda
2tJn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda -
-
t\int
0
d\tau
\infty \sum
n= - \infty
\infty \int
0
\frown
q n (\lambda , \tau ) e - \lambda
2(t - \tau )Jn (\lambda w, \lambda \=w)\lambda d\lambda . (27)
Перетворимо пiдiнтегральнi вирази у (27):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
392 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
U (w, \=w, t) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (z, \=z) \rho d\rho d\omega \times
\times
\infty \int
0
e - \lambda
2t
\Biggl( \infty \sum
n= - \infty
Jn (\lambda w, \lambda \=w) Jn (\lambda \=z, \lambda z)
\Biggr)
\lambda d\lambda -
- 1
2\pi
t\int
0
d\tau
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
Q (z, \=z, \tau ) \rho d\rho d\omega \times
\times
\infty \int
0
e - \lambda
2(t - \tau )
\Biggl( \infty \sum
n= - \infty
Jn (\lambda w, \lambda \=w) Jn (\lambda \=z, \lambda z)
\Biggr)
\lambda d\lambda .
Враховуючи тут формулу Графа (3) i iнтеграл Вебера [6, 7], одержуємо
U (w, \=w, t) =
1
2\pi
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
f (z, \=z) \rho d\rho d\omega
\infty \int
0
e - \lambda
2tJ0 (\lambda | w - z| )\lambda d\lambda -
- 1
2\pi
t\int
0
d\tau
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
Q (z, \=z, \tau ) \rho d\rho d\omega
\infty \int
0
e - \lambda
2(t - \tau )J0 (\lambda | w - z| )\lambda d\lambda =
=
1
4\pi t
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
e -
| w - z| 2
4t f (z, \=z) \rho d\rho d\theta -
- 1
2\pi
t\int
0
d\tau
t - \tau
\pi \int
- \pi
\infty \int
0
Q (z, \=z, \tau ) e
- | w - z| 2
4(t - \tau ) \rho d\rho d\omega =
=
1
4\pi t
\int \int
E2
e -
| w - z| 2
4t f (z, \=z) dxdy - 1
4\pi
t\int
0
d\tau
t - \tau
\int \int
E2
e
- | w - z| 2
4(t - \tau )Q (z, \=z, \tau ) dxdy.
Ядра iнтегралiв, одержаних у прикладах 3 i 4, є фундаментальними розв’язками оператора
коливань i оператора теплопровiдностi [10].
5. Крайовi задачi. Диференцiальне рiвняння (22) справедливе також у крузi K : | w| < 1.
Переходячи в ньому до нових змiнних z = h (w) , \=z = \=h (w) , z \in D, отримуємо рiвняння
4a2
| \varphi \prime (z)| 2
\partial 2U
\partial z\partial \=z
= \alpha 1
\partial 2U
\partial t2
+ \alpha 2
\partial U
\partial t
+Q (z, \=z, t) , (z, t) \in D \times (0, \infty ) , (28)
де a \not = 0, \alpha 1, \alpha 2 — дiйснi сталi.
Розглянемо крайовi задачi про вiдшукання розв’язкiв рiвняння (28) за виконання умов
U | z\in L = 0
\biggl(
або
\partial U
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\in L
= 0
\biggr)
, (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 393
U | t=0 = f (z, \=z) ,
\partial U
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= g (z, \=z) , z \in \=D, (30)
де f (z, \=z) , g (z, \=z) i Q (z, \=z, t) = Q
\Bigl(
\varphi (z) , \varphi (z), t
\Bigr)
— дiйснi функцiї, визначенi вiдповiдно в
областi \=D i цилiндрi D\times (0, \infty ) . Якщо \alpha 1 = 0, \alpha 2 \not = 0, то формулюється тiльки перша умова
з (30).
Вважаємо, що iснує [10] узагальнений розв’язок задачi (28) – (30) i функцiї U (z, \=z, t) ,
F (z, \=z, t) та вiдповiднi похiднi функцiї U (z, \=z, t) розвиваються за системою функцiй (14) у
рiвномiрно збiжнi ряди в областi \=D \times (0 \leq t \leq T <\infty ) , а функцiї f (z, \=z) , g (z, \=z) — у рiвно-
мiрно збiжнi ряди в \=D:
U (z, \=z, t) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
uk(m) (t) \Phi m,k(m) (z, \=z) ,
Q (z, \=z, t) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
qk(m) (t) \Phi m,k(m) (z, \=z) ,
f (z, \=z) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
fk(m)\Phi m,k(m) (z, \=z) ,
g (z, \=z) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
gk(m)\Phi m,k(m) (z, \=z) ,
(31)
де
qk(n) (t) =
1
2\pi d2k(m)
\int \int
D
Q (z, \=z, t) \Phi n,k(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dx dy,
fk(n) =
1
2\pi d2k(m)
\int \int
D
f (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dx dy,
gk(n) =
1
2\pi d2k(m)
\int \int
D
g (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z, z)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z)
\bigm| \bigm| 2 dx dy.
Пiдставляючи вирази функцiй (31) у рiвняння (28) i умови (29), (30) та враховуючи, що функцiї
системи (14) задовольняють рiвняння (7) i, вiдповiдно, умови (13), зводимо задачу до таких
задач:
\alpha 1
d2uk(m) (t)
dt2
+ \alpha 2
duk(m) (t)
dt
+ a2\lambda 2k(m)uk(m) (t) = - qk(m) (t) ,
uk(m)
\bigm| \bigm|
t=0
= fk(m),
duk(m)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= gk(m).
(32)
Розв’язки задач (32) побудовано операцiйним методом. Запишемо розв’язки цих задач i
крайових задач (28) – (30), що вiдповiдають окремим фiзичним процесам:
a) коливання мембрани (\alpha 1 = 1, \alpha 2 = 0)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
394 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
uk(m) = fk(m) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} a\lambda k(m)t+
gk(m)
\lambda k(m)
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda k(m)t -
- 1
a\lambda k(m)
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda k(m) (t - \tau ) qk(m) (\tau ) d\tau ,
(33)
U (z, \=z, t) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
fk(m)\Phi m,k(m) (z, \=z) \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} a\lambda k(m)t+
+
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
gk(m)
\lambda k(m)
\Phi m,k(m) (z, \=z) \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda k(m)t -
-
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
\Phi m,k(m) (z, \=z)
a\lambda k(m)
t\int
0
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n} a\lambda k(m) (t - \tau ) qk(m) (\tau ) d\tau ;
б) плоска задача теплопровiдностi (\alpha 1 = 0, \alpha 2 = 1)
uk(m) = fk(m)e
- a2\lambda 2
k(m)
t -
t\int
0
e
- a2\lambda 2
k(m)
(t - \tau )
qk(m) (\tau ) d\tau ,
(34)
U (z, \=z, t) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
fk(m)\Phi m,k(m) (z, \=z) e
- a2\lambda 2
k(m)
t -
-
\infty \sum
k=1
\infty \sum
m= - \infty
\Phi m,k(m) (z, \=z)
t\int
0
e
- a2\lambda 2
k(m)
(t - \tau )
qk(m) (\tau ) d\tau ;
в) прогин мембрани (стацiонарна задача, \alpha 1 = 0, \alpha 2 = 0) i, вiдповiдно, qk(m) (t) = qk(m)
uk(m) = -
qk(m)
a2\lambda 2k(m)
, U (z, \=z) = -
\infty \sum
k=1
qk(m)
a2\lambda 2k(m)
\Phi m,k(m) (z, \=z) .
Розв’язки часткових випадкiв розглянутих задач при D = K збiгаються з розв’язками вiд-
повiдних задач для кругового цилiндра [7, 9].
Приклад 5. Нехай M — множина функцiй, якi зображуються збiжними в областi D рядами
за системою функцiй (14). Дельта-функцiєю вiдносно множини M називається граничний
елемент слабко збiжної вiдносно множини M дельтоподiбної послiдовностi функцiй [8, с. 185].
Виходячи iз спiввiдношень (17), (18) та властивостей узагальнених функцiй, одержуємо
\delta (z - z0, \=z - \=z0) =
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n= - \infty
\bigm\| \bigm\| \Phi n,k(n)\bigm\| \bigm\| - 2
\Phi n,k(n) (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z0, z0) . (35)
Легко переконатися, що члени ряду (35) є дiйсними функцiями
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ФУНКЦIЇ БЕССЕЛЯ ДВОХ КОМПЛЕКСНИХ ВЗАЄМНО СПРЯЖЕНИХ ЗМIННИХ . . . 395
\delta (z - z0, \=z - \=z0) =
\infty \sum
k=1
\bigm\| \bigm\| \Phi 0,k(0)
\bigm\| \bigm\| - 2
\Phi 0,k(0) (z, \=z) \Phi 0,k(0) (\=z0, z0)+
+2
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n=1
\bigm\| \bigm\| \Phi n,k(n)\bigm\| \bigm\| - 2
\mathrm{R}\mathrm{e}
\bigl[
\Phi n,k(n) (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z0, z0)
\bigr]
.
Розглянемо задачу про дiю (на пластинку) миттєвого точкового джерела тепла iнтенсивностi
A, розмiщеного в момент часу t0 у точцi z0 \in D. Формулюємо задачу таким чином:
4
| \varphi \prime (z)| 2
\partial 2U
\partial z\partial \=z
=
\partial U
\partial t
+Q (z, \=z, t) , (z, t) \in D \times (0,\infty ) ,
U | z\in L = 0, t \geq 0, U | t=0 = 0, z \in \=D,
де Q (z, \=z, t) = A\delta (z - z0, \=z - \=z0) \delta (t - t0) , t \geq t0, — узагальнена функцiя.
Коефiцiєнти розвинення функцiї Q (z, \=z, t) в ряд за системою функцiй (14) для випадку
задачi (А) отримаємо iз (31) i (35) у виглядi
qk(n) (t) =
\bigm\| \bigm\| \Phi n,k(n)\bigm\| \bigm\| - 2
\Phi n,k(n) (\=z0, z0) \delta (t - t0) .
Тодi формальний розв’язок задачi, який є узагальненим її розв’язком [10], одержимо з другого
спiввiдношення (34):
U (z, \=z, z0, \=z0, t - t0) =
= -
\infty \sum
k=1
\infty \sum
n= - \infty
e
- a2\lambda 2
k(n)
(t - t0)\bigm\| \bigm\| \Phi n,k(n)\bigm\| \bigm\| 2 \Phi n,k(n) (z, \=z) \Phi n,k(n) (\=z0, z0) , t > t0.
Подвiйний ряд у цьому виразi внаслiдок обмеженостi бесселiвських функцiй i наявностi
експоненцiального множника збiгається в D \times (0 < t <\infty ) .
Якщо в областi D\prime \subset D дiють джерела iнтенсивностi q (z, \=z, t) , то розподiл температури є
таким:
U (z, \=z, t) =
t\int
0
\int \int
D\prime
U (z, \=z, z0, \=z0, t - t0) q (z0, \=z0, t0)
\bigm| \bigm| \varphi \prime (z0)
\bigm| \bigm| 2 dx0dy0dt0.
Вважаємо, що q (z, \=z, t) — неперервна функцiя.
Приклад 6. Знайдемо розв’язок однорiдного рiвняння (28) в областi D \times (0 < t <\infty ):
4
| \varphi \prime (z)| 2
\partial 2U
\partial z\partial \=z
=
\partial 2U
\partial t2
за виконання умов
\partial U
\partial n
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
z\in L
= 0, t \geq 0, U | t=0 = 0,
\partial U
\partial t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
t=0
= \mathrm{R}\mathrm{e}G (z) , z \in \=D,
де G (z) = \varphi p (z) - \varphi q (z) , p, q = 1, 2, . . . (p \not = q) .
Функцiю у другiй початковiй умовi цiєї задачi запишемо з урахуванням формули (20) у
виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
396 М. А. СУХОРОЛЬСЬКИЙ
\mathrm{R}\mathrm{e}G (z) =
1
2
\Bigl[
G (z) +G (z)
\Bigr]
=
1
2
\Bigl[
\varphi p (z) - \varphi q (z) + \varphi p (z) - \varphi q (z)
\Bigr]
=
=
1
2
\infty \sum
k=1
\Lambda p,k(p)
\bigl[
\Phi p,k(p) (z, \=z) + \Phi p,k(p) (\=z, z)
\bigr]
-
- 1
2
\infty \sum
k=1
\Lambda q,k(q)
\bigl[
\Phi q,k(q) (z, \=z) + \Phi q,k(q) (\=z, z)
\bigr]
.
Пiдставляючи коефiцiєнти розвинення функцiй \mathrm{R}\mathrm{e}G (z) у першу з формул (31), отримуємо
розв’язок задачi
U (z, \=z, t) =
1
2
\infty \sum
k=1
\Lambda p,k(p)
\lambda k (p)
\bigl[
\Phi p,k(p) (z, \=z) + \Phi p,k(p) (\=z, z)
\bigr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k (p) t -
- 1
2
\infty \sum
k=1
\Lambda q,k(q)
\lambda k (q)
\bigl[
\Phi q,k(q) (z, \=z) + \Phi q,k(q) (\=z, z)
\bigr]
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\lambda k (q) t.
Ряди, якими задається розв’язок, внаслiдок рiвномiрної збiжностi ряду (20) збiгаються у роз-
глядуванiй в областi.
Висновки. Формулювання задачi Кошi для основних рiвнянь математичної фiзики з ви-
користанням взаємно спряжених комплексних змiнних та зображення їх розв’язкiв рядами за
iнтегралами Фур’є – Бесселя суттєво спрощує побудову самих розв’язкiв, однак не розширює
класи розв’язуваних задач. Застосування цього пiдходу до розв’язання крайових задач для
рiвнянь з частинними похiдними дозволяє поєднати метод розвинення функцiй в ряди за влас-
ними функцiями крайових задач для рiвняння Гельмгольца з методом конформних перетворень
областей, в яких шукаються розв’язки, на круг i отримати аналiтичнi розв’язки широкого класу
нових задач.
Розглянутий у роботi пiдхiд до розв’язування крайових задачi для однозв’язних областей
можна поширити на випадок двозв’язних областей, оскiльки функцiї Бесселя другого роду
також виражаються через комплекснi змiннi. Цей пiдхiд також може бути поширений на задачi,
що використовують власнi функцiї граничних задач рiвнянь (4), (7), якщо параметр \lambda набуває
комплексних значень.
Лiтература
1. Суетин П. К. Ортогональные многочлены по двум переменным. – М.: Наука, 1988. – 384 с.
2. Koornwinder T. H. Two-variable analogues of the classical orthogonal polynomials // Theory and Appl. Spac. Funct. –
New York, 1875. – P. 435 – 495.
3. Dunkl C. F., Xu Y. Orthogonal polynomials of several variables. – Cambridge Univ. Press, 2014. – 426 p.
4. Сухорольський М. А. Розвинення функцiй за системою полiномiв, бiортогональних на замкненому контурi з сис-
темою регулярних у нескiнченно вiддаленiй точцi функцiй // Укр. мат. журн. – 2010. – 62, № 2. – С. 238 – 254.
5. Сухорольський М. А. Граничнi задачi для рiвняння Гельмгольца в областях комплексної площини // Укр. мат.
журн. – 2016. – 68, № 3. – С. 364 – 377.
6. Korn G. A., Korn T. M. Mathematical handbook for scientists and engineers. – Mineola, New York: Dover Publ., INC,
2000. – 1130 p.
7. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. –
698 с.
8. Положий Г. Н. Уравнения математической физики. – М.: Высш. шк., 1964. – 560 с.
9. Толстов Г. П. Ряды Фурье. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
10. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
Одержано 28.01.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1703 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/3c/1b2e856a62671cba10b93638fd39683c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17032019-12-05T09:24:16Z Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their application in boundary-value problems of mathematical physics Функції Бесселя двох комплексних взаємно спряжених змінних та їх застосування у крайових задачах математичної фізики Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. We formulate boundary-value problems for the eigenvalues and eigenfunctions of the Helmholtz equation in simply connected domains by using two complex mutually conjugated variables. The systems of eigenfunctions of these problems are orthogonal in the domain. They are formed by Bessel functions of complex variables and the powers of conformal mappings of the analyzed domains onto a circle. The boundary-value problems for the main equations of mathematical physics are formulated in an infinite cylinder with the use of complex and time variables. The solutions of the boundaryvalue problems are obtained in the form of series in the systems of eigenfunctions. The Cauchy problem for the main equations of mathematical physics with three independent variables is also considered. Сформулированы граничные задачи о собственных значениях и собственных функциях для уравнения Гельмгольца в односвязных областях с использованием двух комплексных взаимно сопряженных переменных. Системы собственных функций этих задач ортогональны по области и состоят из функций Бесселя комплексных переменных и степеней конформных отображений рассматриваемых областей на круг. Краевые задачи для основных уравнений математической физики сформулированы в бесконечном цилиндре с использованием комплексных и временной переменных. Решения краевых задач получены в виде рядов по собственным функциям. Рассмотрена также задача Коши для основных уравнений математической физики с тремя независимыми переменными. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1703 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 381-396 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 381-396 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1703/685 Copyright (c) 2017 Sukhorolskyi M. A. |
| spellingShingle | Sukhorolskyi, M. A. Сухорольський, М. А. Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title | Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title_alt | Функції Бесселя двох комплексних взаємно спряжених змінних та їх
застосування у крайових задачах математичної фізики |
| title_full | Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title_fullStr | Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title_full_unstemmed | Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title_short | Bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| title_sort | bessel functions of two complex mutually conjugated variables and their
application in boundary-value problems of mathematical physics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1703 |
| work_keys_str_mv | AT sukhorolskyima besselfunctionsoftwocomplexmutuallyconjugatedvariablesandtheirapplicationinboundaryvalueproblemsofmathematicalphysics AT suhorolʹsʹkijma besselfunctionsoftwocomplexmutuallyconjugatedvariablesandtheirapplicationinboundaryvalueproblemsofmathematicalphysics AT sukhorolskyima funkcííbesselâdvohkompleksnihvzaêmnosprâženihzmínnihtaíhzastosuvannâukrajovihzadačahmatematičnoífíziki AT suhorolʹsʹkijma funkcííbesselâdvohkompleksnihvzaêmnosprâženihzmínnihtaíhzastosuvannâukrajovihzadačahmatematičnoífíziki |