On the relationships between the norms of operators with endpoint singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight
We select a special class of operators with endpoint singularities was found. For these operators we establish inequalities connecting the norms in Lebesgue spaces with weight and in H¨older spaces with weight. We describe specific types of operators satisfying the conditions of the main theorem on...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1704 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507543352115200 |
|---|---|
| author | Karelin, O. Tarasenko, A. A. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. |
| author_facet | Karelin, O. Tarasenko, A. A. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. |
| author_sort | Karelin, O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | We select a special class of operators with endpoint singularities was found. For these operators we establish inequalities
connecting the norms in Lebesgue spaces with weight and in H¨older spaces with weight. We describe specific types of
operators satisfying the conditions of the main theorem on the relationship between the norms. These results can be used
to study the operators acting on H¨older spaces with weight on the basis of the well-known results for operators acting on
Lebesgue spaces with weight. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:10:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
А. А. Тарасенко, А. А. Карелин (Отдел мат. исследований при Гос. ун-те штата Идальго, Мексика)
О СВЯЗИ МЕЖДУ НОРМАМИ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ
НА КОНЦАХ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГЕЛЬДЕРА И ЛЕБЕГА
We select a special class of operators with endpoint singularities was found. For these operators we establish inequalities
connecting the norms in Lebesgue spaces with weight and in Hölder spaces with weight. We describe specific types of
operators satisfying the conditions of the main theorem on the relationship between the norms. These results can be used
to study the operators acting on Hölder spaces with weight on the basis of the well-known results for operators acting on
Lebesgue spaces with weight.
Видiлено клас операторiв з особливостями на кiнцях контура, для яких доведено нерiвностi мiж нормами у вагових
просторах Гельдера i Лебега. Наведено конкретнi види операторiв, якi задовольняють умови основної теореми про
зв’язок норм. Отриманi результати можуть використовуватися для дослiдження операторiв у вагових просторах
Гельдера на основi вiдомих результатiв у вагових просторах Лебега.
1. Введение. Напомним определения, которые будем использовать в этой статье. Функции
\varphi (x), определенные на J = [0, 1] и удовлетворяющие условию | \varphi (x1) - \varphi (x2)| \leq C| x1 - x2| \mu ,
x1 \in J, x2 \in J, 0 < \mu < 1, называются функциями Гельдера. Обозначим через H0
\mu (J, h)
банахово пространство, состоящее из функций, которые становятся гельдеровскими, причем с
нулевыми значениями в конечных точках x = 0, x = 1, после умножения их на степенной вес
h(x) = (x - 0)\mu 0(1 - x)\mu 1 , \mu < \mu 0 < 1 + \mu , \mu < \mu 1 < 1 + \mu . Норма в пространстве H0
\mu (J, h) и
H\mu (J) определяется так:
\| f\| H0
\mu (J,h)
= \| hf\| H\mu (J), \| hf\| H\mu (J) = \| hf\| C + \| hf\| \mu ,
где
\| hf\| C = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
x\in J
| h(x)f(x)| , \| hf\| \mu = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1 \not =x2
| h(x)f(x)| \mu ,
| h(x)f(x)| \mu =
| h(x1)f(x1) - h(x2)f(x2)|
| x1 - x2| \mu
.
Обозначим через Lp(J, \rho ) множество функций, которые после умножения на степенной вес
\rho (x) = (x - 0)\alpha (1 - x)\beta , - 1 < \alpha < 1 - p, - 1 < \beta < p - 1, p > 1, становятся интегрируемыми
со степенью p. Норма в пространстве Lp(J, \rho ) задается формулой
\| f\| Lp(J,\rho ) =
\left( \int
J
| f(t)| p\rho (t)dt
\right) 1
p
.
Как мы видим, нормы очень отличаются и трудно ожидать связей между ними. Этим объяс-
няется независимость развития теории разрешимости сингулярных интегральных операторов
со сдвигом в этих столь разных пространствах [1 – 6]. Настоящая статья посвящена описа-
нию операторов с локальными особенностями на концах, для которых находятся связи между
нормами в весовых пространствах Гельдера и Лебега.
Примерами операторов с локальными особенностями на концах являются операторы
c\bigcirc А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3 397
398 А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН
(Vkf)(x) =
1
\pi
1\int
0
f(t)dt
t+ kx
, k > 0; (Wf)(x) =
1
\pi
1\int
0
f(t)dt
t+ x - 2tx
.
Интерес к операторам с локальными особенностями стимулируется развитием теории раз-
решимости операторов со сдвигом, они используются для эффективного построения правых и
левых регуляризаторов, а также при доказательстве принадлежности некоторых операторов к
рассматриваемым алгебрам операторов.
В пункте 2 содержатся сведения и результаты, которые будут использоваться при доказа-
тельстве основной теоремы 2. В пункте 3 доказывается основная теорема 2 о связи норм в
весовых пространствах Гельдера и Лебега. В пункте 4 приводится конкретный пример опера-
тора с точечной особенностью, для которого выполняются все требования основной теоремы 2.
2. Неравенства для операторов с точечными особенностями. Пусть (\scrD v)(x) = x(1 -
- x)
d
dx
v(x) и \scrD 0 = I, где I — тождественный оператор, \scrD 1 = \scrD , \scrD n = \scrD n - 1\scrD .
Для функций g(x), определенных на J, введем
\scrK n
\mu (g) =
\Biggl\{
\varphi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
\bigm| \bigm| g(x)(\scrD n\varphi )(x)
\bigm| \bigm|
x\mu (1 - x)\mu
< \infty
\Biggr\}
,
где n — неотрицательное целое число и \scrK \mu (g) = \scrK 0
\mu (g).
Для множества непрерывных функций на сегменте [0, 1] будем, как обычно, использовать
символ C
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
, а для множества дифференцируемых функций на интервале (0, 1) — символ
C1((0, 1)).
Теорема 1. Пусть g(x), f(x) принадлежат C1
\bigl(
(0, 1)
\bigr)
и
f(x) \in \scrK \mu (g) \cap \scrK 1
\mu (g), \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (\scrD g)(x)
g(x)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| < \infty .
Тогда gf и g(\scrD f) принадлежат C
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
с нулевыми значениями на концах x = 0 и x = 1.
Более того, gf принадлежат H\mu (J) и для нормы выполняется неравенство
\| gf\| H\mu (J) \leq C1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)f(x)|
x\mu (1 - x)\mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)(\scrD f)(x)|
x\mu (1 - x)\mu
\biggr)
, (1)
причем постоянная C1 не зависит от функции f.
Доказательство. Из g(x)f(x) =
g(x)f(x)
x\mu (1 - x)\mu
x\mu (1 - x)\mu и f \in \scrK \mu (g) следует
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
g(t)f(t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 1
g(t)f(t) = 0.
Таким образом, gf \in C
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
. Далее, для любой функции f(x) \in C
\bigl(
(0, 1)
\bigr)
выполняется
\scrD f \in \scrK \mu (g) тогда и только тогда, когда f \in \scrK 1
\mu (g). Следовательно, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0 g(x)(\scrD f)(x) =
= \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 1 g(x)(\scrD f)(x) = 0 и g(x)\scrD f \in C
\bigl(
[0, 1]
\bigr)
.
Теперь оценим норму \| gf\| H\mu (J) = \| gf\| C + \| gf\| \mu . Для первого слагаемого имеем
\| gf\| C \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)f(x)|
x\mu (1 - x)\mu
\| x\mu (1 - x)\mu \| C \leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)f(x)|
x\mu (1 - x)\mu
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О СВЯЗИ МЕЖДУ НОРМАМИ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ . . . 399
Второе слагаемое оценивается не столь очевидно. Сначала упорядочим переменные
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2\in J,x1 \not =x2
\bigm| \bigm| g(x1)f(x1) - g(x2)f(x2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| x1 - x2
\bigm| \bigm| \mu = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x1<x2<1
| g(x1)f(x1) - g(x2)f(x2)|
| x1 - x2| \mu
.
Рассмотрим три случая.
Первый случай: 0 < x1 < x2 < 1, x2 \geq 2x1. Из того, что | x2 - x1| \geq 2x1 - x1 = x1 и
| x2 - x1| \geq x2 -
1
2
x2 =
1
2
x2, получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
\bigm| \bigm| g(x1)f(x1) - g(x2)f(x2)
\bigm| \bigm|
| x1 - x2| \mu
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
| g(x1)f(x1)|
| x1 - x2| \mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
| g(x2)f(x2)|
| x1 - x2| \mu
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1
| g(x1)f(x1)|
| x1| \mu
+ 2\mu \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x2
| g(x2)f(x2)|
| x2| \mu
\leq (1 + 2\mu ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)f(x)|
x\mu
.
Второй случай: 0 < x1 < x2 < 1, 1 - x1 \geq 2(1 - x2). Из того, что | x2 - x1| \geq x2 - ( - 1 +
+ 2x2) = 1 - x2 и | x2 - x1| \geq
1
2
(1 + x1) - x1 =
1
2
(1 - x1), имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
\bigm| \bigm| g(x1)f(x1) - g(x2)f(x2)
\bigm| \bigm|
| x1 - x2| \mu
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
| g(x1)f(x1)|
| x1 - x2| \mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
| g(x2)f(x2)|
| x1 - x2| \mu
\leq
\leq 2\mu \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1
| g(x1)f(x1)|
| 1 - x1| \mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x2
| g(x2)f(x2)|
| 1 - x2| \mu
\leq (1 + 2\mu ) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| g(x)f(x)|
| 1 - x| \mu
.
Третий случай: 0 < x1 < x2 < 1, x2 < 2x1, 1 - x1 < 2(1 - x2). Применяя теорему
Лагранжа, получаем
\| gf\| \mu = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
| g(x1)f(x1) - g(x2)f(x2)|
| x1 - x2| \mu
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
(x2 - x1)
1 - \mu
\Biggl( \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl[
d \mathrm{R}\mathrm{e} g(x)f(x)
dx
\biggr]
x=\theta 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| +
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\biggl[
d \mathrm{I}\mathrm{m} g(x)f(x)
dx
\biggr]
x=\theta 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\Biggr)
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (x2 - x1)
1 - \mu
\biggl[
dg(x)f(x)
dx
\biggr]
x=\theta 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
x1,x2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| (x2 - x1)
1 - \mu
\biggl[
dg(x)f(x)
dx
\biggr]
x=\theta 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| ,
где x1 < \theta 1 < x2, x1 < \theta 2 < x2.
Принимая во внимание неравенства x2 - x1 < 2x1 - x1 < \theta j , j = 1, 2, и соотношения
x2 - x1 = (1 - x1) - (1 - x2) < 2(1 - x2) - (1 - x2) < 1 - \theta j , j = 1, 2,
убеждаемся, что и при \theta j \leq 1
2
, и при \theta j >
1
2
имеет место x2 - x1 < 2\theta j
1
2
\leq 2\theta j(1 - \theta j), т. е.
неравенство x2 - x1 \leq 2\theta j(1 - \theta j), j = 1, 2, выполняется для всех значений \theta j , 0 < \theta j < 1.
Итак,
\| gf\| \mu \leq 21 - \mu
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\theta 1<1
\bigl[
\theta 1(1 - \theta 1)
\bigr] 1 - \mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dg(\theta 1)d\theta 1
f(\theta 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\theta 1<1
\bigl[
\theta 1(1 - \theta 1)
\bigr] 1 - \mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g(\theta 1)df(\theta 1)d\theta 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
400 А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН
+21 - \mu
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\theta 2<1
\bigl[
\theta 2(1 - \theta 2)
\bigr] 1 - \mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| dg(\theta 2)d\theta 2
f(\theta 2)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<\theta 2<1
\bigl[
\theta 2(1 - \theta 2)
\bigr] 1 - \mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| g(\theta 2)df(\theta 2)d\theta 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggr) .
Этими случаями исчерпываются все возможные варианты. Отсюда и следует утверждение
теоремы.
3. О связи между нормами операторов с точечными особенностями в весовых про-
странствах Гельдера и Лебега. Обозначим через \scrB (\scrX ) множество линейных ограничен-
ных операторов, действующих на банаховом пространстве \scrX , через \| A\| \scrB (\scrX ) норму оператора
из \scrB (\scrX ), через \chi x(t) характеристическую функцию на сегменте [0, x] \subset J = [0, 1]. Через
C01((0, 1), h) обозначим класс дифференцируемых функций на интервале (0, 1) с нулями на
концах
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
h(t)\varphi (t) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 1
h(t)\varphi (t) = 0.
Теорема 2. Пусть весовые пространства Гельдера
H0
\mu (J, h), h(x) = x\mu +r(1 - x)\mu +s, 0 < \mu < 1, 0 < r < 1, 0 < s < 1,
вложены в весовые пространства Лебега
Lp(J, \rho ), \rho (x) = x\alpha (1 - x)\beta , - 1 < \alpha < p - 1, - 1 < \beta < p - 1 :
0 < r <
1 + \alpha
p
, 0 < s <
1 + \beta
p
. (2)
Пусть линейный оператор B имеет следующие свойства:
1) операторы \scrD nB, n = 0, 1, 2, ограничены в пространствах Lp(J, \rho );
2) выполняются неравенства\bigm\| \bigm\| (\scrD nBt - r
\bigm\| \bigm\|
Lp((0,x),\rho )
\leq C2 x
- r+ 1+\alpha
p
\bigm\| \bigm\| (\scrD nBt - r
\bigm\| \bigm\|
Lp(J,\rho )
, n = 0, 1, 2, (3)
\bigm\| \bigm\| (\scrD nB(1 - t) - s
\bigm\| \bigm\|
Lp((x,1),\rho )
\leq C3(1 - x)
- s+ 1+\beta
p
\bigm\| \bigm\| (\scrD nB(1 - t) - s
\bigm\| \bigm\|
Lp(J,\rho )
, n = 0, 1, 2; (4)
3) для положительного x \in (0, 1) и любой функции \varphi \in H0
\mu (J, h)
\scrD nB\chi x\varphi \in C01((0, 1), h), \scrD nB(1 - \chi x)\varphi \in C01((0, 1), h), n = 0, 1, 2. (5)
Тогда
\| B\| H0
\mu (J,h)
\leq C5
2\sum
n=0
\| \scrD nB\| Lp(J,\rho ), (6)
где C5 — положительная постоянная.
Доказательство. Введем обозначение \vargamma (t) = (B\varphi )(t), где \varphi (t) — функция из пространства
H0
\mu (J, h). Чтобы применить теорему 1 к \vargamma (t), покажем принадлежность этой функции классу
\scrK \mu (h) \cap \scrK 1
\mu (h) , для чего докажем конечность супремумов
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
, \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)(\scrD \vargamma )(x)|
x\mu (1 - x)\mu
.
Другие требования теоремы 1 обеспечиваются условиями (5).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О СВЯЗИ МЕЖДУ НОРМАМИ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ . . . 401
Рассмотрим случай 0 < x \leq 1
2
. Выберем положительные числа \varepsilon 1, \varepsilon 2 так, чтобы \varepsilon 1 \geq \mu и
r + \varepsilon 1 - 1 - \alpha
p
> 0, \varepsilon 2 \geq \mu и s+ \varepsilon 2 - 1 - \beta
p
> 0. Тогда
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
1
x\varepsilon 1(1 - x)\varepsilon 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
d
dt
\biggl(
h(t)\vargamma (t)
t\mu - \varepsilon 1(1 - t)\mu - \varepsilon 2
\biggr)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| .
Подсчитаем производную и оценим ее:
d
dt
\biggl(
tr+\mu (1 - t)s+\mu \vargamma (t)
t\mu - \varepsilon 1(1 - t)\mu - \varepsilon 2
\biggr)
=
d
dt
\bigl(
tr+\varepsilon 1(1 - t)s+\varepsilon 2\vargamma (t)
\bigr)
=
=
d
dt
\bigl(
tr+\varepsilon 1(1 - t)s+\varepsilon 2
\bigr)
\vargamma (t) + tr+\varepsilon 1(1 - t)s+\varepsilon 2 d
dt
\vargamma (t) =
= tr+\varepsilon 1 - 1(1 - t)s+\varepsilon 2 - 1
\bigl[
(r + \varepsilon 1)(1 - t) + (s+ \varepsilon 2)t
\bigr]
\vargamma (t) + tr+\varepsilon 1 - 1(1 - t)s+\varepsilon 2 - 1(\scrD \vargamma )(t) \leq
\leq c1t
r+\varepsilon 1 - 1(1 - t)s+\varepsilon 2 - 1
\bigl[
\vargamma (t) +\scrD \vargamma )(t)
\bigr]
,
где c1 = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\Bigl\{
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0<x< 1
2
\bigl[
(r + \varepsilon 1)(1 - t) + (s+ \varepsilon 2)t
\bigr]
, 1
\Bigr\}
.
Таким образом,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
c1
x\varepsilon 1(1 - x)\varepsilon 2
x\int
0
tr+\varepsilon 1 - 1(1 - t)s+\varepsilon 2 - 1\rho
- 1
p (t)\rho
1
p (t)
\bigm| \bigm| \vargamma (t) +\scrD \vargamma )(t)
\bigm| \bigm| dt. (7)
Поскольку \varphi \in H0
\mu (J, h), то из (2) следует, что \varphi \in Lp (J, \rho ) и, значит, \rho
1
p (t)(\scrD n\vargamma )(t) \in
\in Lp (J), n = 0, 1. Отсюда следует, что
\rho
1
p (t)(\scrD n\vargamma )(t) \in Lp((0, x)), 0 < x \leq 1
2
.
Выбор \varepsilon 1, \varepsilon 2 обеспечивает принадлежность функции
tr+\varepsilon 1 - 1(1 - t)s+\varepsilon 2 - 1\rho (t)
- 1
p = t
r+\varepsilon 1 - 1 - \alpha
p (1 - t)
s+\varepsilon 2 - 1 - \beta
p
пространству Lq ((0, x), \rho ), где
1
p
+
1
q
= 1.
Эти соотношения дают возможность применить неравенство Гельдера к (7):
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
c1
x\varepsilon 1(1 - x)\varepsilon 2
\bigm\| \bigm\| tr+\varepsilon 1 - 1 - \alpha
p (1 - t)
s+\varepsilon 2 - 1 - \beta
p
\bigm\| \bigm\|
Lq((0,x))
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \rho 1
p (t)
1\sum
n=0
\scrD n\vargamma
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
Lp((0,x))
. (8)
Теперь избавимся от вспомогательных постоянных \varepsilon 1 и \varepsilon 2. Напомним, что - 1 < r - 1 + \alpha
p
<
< 0. Рассмотрим первую норму с множителем из (8):
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
402 А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН
c1
x\varepsilon 1(1 - x)\varepsilon 2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| t\varepsilon 1+r - 1 - \alpha
p (1 - t)
\varepsilon 2+s - 1 - \beta
p
\bigm| \bigm| \bigm| q dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
q
\leq c1c2
x\varepsilon 1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\bigm| \bigm| \bigm| t\varepsilon 1+r - 1 - \alpha
p
\bigm| \bigm| \bigm| q dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
q
=
= c1c2x
- \varepsilon 1
\biggl(
\varepsilon 1 + r - 1 - \alpha
p
\biggr)
x
\bigl[
(\varepsilon 1+r - 1 - \alpha
p
)q+1
\bigr]
1
q = c1c2
\biggl(
\varepsilon 1 + r - 1 - \alpha
p
\biggr)
x
r - 1+\alpha
p , (9)
где c2 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0<x< 1
2
1
(1 - x)\varepsilon 2
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0<t< 1
2
(1 - t)
\varepsilon 2+s - 1 - \beta
p .
Итак, из (7) – (9) имеем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq c3 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
x
r - 1+\alpha
p
1\sum
n=0
\bigm\| \bigm\| (\scrD n\vargamma )
\bigm\| \bigm\|
Lp((0,x),\rho )
. (10)
Аналогично, для случая
1
2
< x < 1 получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq c4 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
(1 - x)
s - 1+\beta
p
1\sum
n=0
\| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho ). (11)
Из (10) и (11) следует оценка
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq
\leq c7
\Biggl[
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
x
r - 1+\alpha
p
1\sum
n=0
\| \scrD n\vargamma \| Lp((0,x),\rho ) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
(1 - x)
s - 1+\beta
p
1\sum
n=0
\| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho )
\Biggr]
. (12)
Действуя по такой же схеме, оцениваем \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}0<x<1
| h(x)(\scrD \vargamma )(x)|
x\mu (1 - x)\mu
и получаем
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
| h(x)\scrD \vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq c5 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
x
r - 1+\alpha
p
2\sum
n=1
\| \scrD n\vargamma \| Lp((0,x),\rho ),
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
| h(x)\scrD \vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq c6 \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
(1 - x)
s - 1+\beta
p
2\sum
n=1
\| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho ).
Следовательно,
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)(\scrD \vargamma )(x)|
x\mu (1 - x)\mu
\leq
\leq c8
\Biggl[
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
x
r - 1+\alpha
p
2\sum
n=1
\| \scrD n\vargamma \| Lp((0,x),\rho ) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
(1 - x)
s - 1+\beta
p
2\sum
n=1
\| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho )
\Biggr]
. (13)
Покажем, что все супремумы в (12), (13) ограничены.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О СВЯЗИ МЕЖДУ НОРМАМИ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ . . . 403
Действительно, при x \rightarrow 0 первые множители стремятся к бесконечности, в то время как
вторые множители уменьшаются и стремятся к нулю, компенсируя этот рост. Условия (3), (4)
как раз и показывают, каким образом происходит это уменьшение.
Применим эти условия к (12), (13).
Рассмотрим сначала произведение из (12):
x
r - 1+\alpha
p \| \vargamma \| Lp((0,x),\rho ) = x
r - 1+\alpha
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \biggl( Bt\mu (1 - t)\mu
h(t)
h(t)
t\mu (1 - t)\mu
\varphi
\biggr)
(t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| p dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
, 0 < x <
1
2
.
Поскольку \varphi (t) \in H0
\mu (J, h), то выполняется неравенство\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| h(t)\varphi (t)t\mu (1 - t)\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq ((1 - x)\mu + x\mu ) | h(t)\varphi (t) |
x\mu (1 - x)\mu
\leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(t)\varphi (t)|
| x| \mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(t)\varphi (t)|
| 1 - x| \mu
\leq 2\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
,
и мы получаем для этого произведения оценку
x
r - 1+\alpha
p \| \vargamma \| Lp((0,x),\rho ) \leq 21+sx
r - 1+\alpha
p
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| Bt - r
\bigm| \bigm| p dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
\leq
\leq c9x
r - 1+\alpha
p x
- r+ 1+\alpha
p \| Bt - r\| Lp(J,\rho )\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
.
Здесь было использовано условие (3) доказываемой теоремы.
Учитывая неравенство \| Bt - r\| Lp(J,\rho ) \leq \| B\| Lp(J,\rho )\| \| t - r\| Lp(J,\rho ), окончательно получаем
x
r - 1+\alpha
p \| \vargamma \| Lp((0,x),\rho ) \leq x
r - 1+\alpha
p \| B\varphi \| Lp((0,x),\rho ) \leq c10\| B\| Lp(J,\rho )\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
. (14)
Остальные произведения из (12), (13) оцениваются по этой же схеме, и они оказываются
ограниченными:
x
r - 1+\alpha
p \| \scrD n\vargamma \| Lp((0,x),\rho ) \leq c11\| \scrD nB\| Lp(J,\rho )\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
, n = 1, 2, (15)
(1 - x)
s - 1+\beta
p \| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho ) \leq c12\| \scrD nB\| Lp(J,\rho )\| \varphi (t)\| H0
\mu (J,h)
, n = 0, 1, 2. (16)
Отметим, что положительные постоянные ci, i = 1, . . . , 12, не зависят от функции \varphi .
Следовательно, функция \vargamma (t) принадлежит классу \scrK \mu (h)
\bigcap
\scrK 1
\mu (h).
Условие (5) теоремы позволяет применить теорему 2 к функции \vargamma (t). Итак,
\| B\varphi \| H0
\mu (J,h)
= \| \vargamma \| H0
\mu (J,h)
= \| h\vargamma \| H\mu (J) \leq
\leq C1
\biggl(
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)\vargamma (x)|
x\mu (1 - x)\mu
+ \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x<1
| h(x)(\scrD \vargamma )(x)|
x\mu (1 - x)\mu
\biggr)
\leq
\leq C4
\Biggl[
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
0<x< 1
2
x
r - 1+\alpha
p
2\sum
n=0
\| \scrD n\vargamma \| Lp((0,x),\rho ) + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
1
2
<x<1
(1 - x)
s - 1+\beta
p
2\sum
n=0
\| \scrD n\vargamma \| Lp((x,1),\rho )
\Biggr]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
404 А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН
Здесь были использованы неравенства (12), (13).
Учитывая (14) – (16), получаем неравенство
\| B\varphi \| H0
\mu (J,h)
\leq C5
2\sum
n=0
\| \scrD nB\| Lp(J,\rho )\| \varphi \| H0
\mu (J,h)
.
Положительные постоянные Ci, i = 1, . . . , 5, не зависят от функции \varphi .
Теорема 2 доказана.
4. Пример оператора с точечными особенностями. Покажем, что оператор (V1f)(x) =
=
1
\pi
\int 1
0
f(t)dt
t+ x
имеет все свойства, указанные в теореме 2.
Ограниченность оператора \scrD nV1, n = 0, 1, в пространстве Lp(J, \rho ), 1 < p < +\infty , \rho (x) =
= x\alpha (1 - x)\beta , - 1 < \alpha < p - 1, - 1 < \beta < p - 1, следует из оценок
\bigm| \bigm| (\scrD V1\varphi )(x)
\bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrD 1
\pi i
\int
J
\varphi (t)dt
t+ x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| - 1
\pi i
\int
J
x(1 - x)\varphi (t)dt
(t+ x)2
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi i
\int
J
x(1 - x)
t+ x
\varphi (t)dt
t+ x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1\pi i
\int
J
| \varphi (t)| dt
t+ x
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| =
=
\bigm| \bigm| CJQ\scrJ S\scrJ E\scrJ \setminus J | \varphi (t)|
\bigm| \bigm| ,
(17)
\bigm\| \bigm\| (\scrD V1\varphi )(x)
\bigm\| \bigm\|
Lp(J,\rho )
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
J
\rho (x) | (\scrD V1\varphi )(x)| p dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
\leq
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
\int
J
\rho (x)
\bigm| \bigm| CJQ\scrJ S\scrJ E\scrJ \setminus J | \varphi (t)|
\bigm| \bigm| p dx
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
\leq
\leq
\bigm\| \bigm\| Q\scrJ S\scrJ
\bigm\| \bigm\|
Lp(\scrJ ,\~\rho )
\| \varphi \| Lp(J,\rho ).
Здесь CJ — оператор сужения на контур J для функций, заданных на \scrJ = [ - 1, 1], и E\scrJ \setminus J —
оператор расширения значением нуль на контур [ - 1, 0] для функций, заданных на J. Вес \~\rho
выбирается так, чтобы оператор отражения (Q\scrJ f)(x) = f( - x) был ограничен в пространстве
Lp(\scrJ , \~\rho ), где \~\rho (x) = (x - 0)\alpha (1 - x)\beta (1 + x)\beta , - 1 < \alpha < 1 - p, - 1 < \beta < p - 1. Через
(S\scrJ f)(x) =
1
\pi i
\int
\scrJ
f(t)dt
t - x
, \scrJ = ( - 1, 1), обозначен сингулярный интегральный оператор Коши.
Оператор S\scrJ ограничен [3] в пространстве Lp(\scrJ , \~\rho ), p > 1.
Ограниченность оператора \scrD 2V1 в пространстве Lp(J, \rho ) доказывается аналогично. Теперь
покажем выполнение условий (5) теоремы 2.
Рассмотрим оператор V1 в весовом пространстве Гельдера H0
\mu (J, h). Поскольку функция
\omega (x) =
1
\pi
1\int
0
\varphi (t)dt
t+ x
, x \in (0, 1),
дифференцируема, то остается убедиться, что \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 0 h(x)\omega (x) = 0 и \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 1 h(x)\omega (x) = 0.
Выберем число \gamma так, чтобы r < \gamma < \mu + r, и подсчитаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
О СВЯЗИ МЕЖДУ НОРМАМИ ОПЕРАТОРОВ С ОСОБЕННОСТЯМИ . . . 405
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
h(x)\omega (x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
h(x)x - \gamma 1
\pi
1\int
0
\biggl(
x
t+ x
\biggr) \gamma h(t)\varphi (t)
t\mu (1 - t)\mu
t\mu (1 - t)\mu
h(t)(t+ x)1 - \gamma
dt.
Здесь \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 0 h(x)x
- \gamma = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x\rightarrow 0 x
\mu +r(1 - x)\mu +sx - \gamma = 0, поскольку
\biggl(
x
t+ x
\biggr) \gamma
< 1.
Неравенства
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| h(t)\varphi (t)t\mu (1 - t)\mu
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq 2\mu \| h\varphi \| H\mu (J) выполняются, а особенность сомножителя
t\mu (1 - t)t\mu
h(t)(t+ x)1 - \gamma
=
1
(t)r(1 - t)s(t+ x)1 - \gamma
меньше 1, поскольку
1
(t)r(t+ x)1 - \gamma
\leq 1
tr(t+ 0)1 - \gamma
=
= t\gamma - r - 1 и r < \gamma .
Из
(DV1\varphi )(x) = - x(1 - x)
\pi
1\int
0
\varphi (t)dt
(t+ x)2
,
(D2V1\varphi )(x) =
x(1 - x)
\pi
\left[ (2x - 1)
1\int
0
\varphi (t)dt
(t+ x)2
+ 2x(1 - x)
1\int
0
\varphi (t)dt
(t+ x)3
\right]
следует, что \omega 1(x) = (\scrD V1\varphi )(x), \omega 2(x) = (\scrD 2V1\varphi )(x) дифференцируемы в (0, 1) и
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 0
h(x)\omega j(x) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
x\rightarrow 1
h(x)\omega j(x) = 0, j = 1, 2.
Доказательство проводится так же, как и в случае функции \omega (x).
Случай, когда x стремится к 1, является более простым, так как функция
1
t+ x
в точке
x = 1 не имеет особенностей.
Осталось проверить выполнение условия (3). Сформулируем это в виде утверждения.
Утверждение. Для оператора V1 при 0 < x \leq 1
2
имеет место неравенство
\bigm\| \bigm\| \scrD nV1t
- r
\bigm\| \bigm\|
Lp((0,x),\rho )
\leq C6 x
- r+ 1+\alpha
p
\bigm\| \bigm\| \scrD nV1t
- r
\bigm\| \bigm\|
Lp(J,\rho )
n = 0, 1, 2,
где положительная постоянная C6 не зависит от функции \varphi .
Доказательство. Чтобы оценить норму
\bigm\| \bigm\| \scrD nV1t
- r
\bigm\| \bigm\|
Lp((0,x),\rho )
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| \scrD nV1t
- r
\bigm| \bigm| p dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \scrD n
1\int
0
\tau - rd\tau
\tau + t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
,
выделим особенности в интеграле
\int 1
0
\tau - rd\tau
\tau + t
dt, для чего выполним замену переменной \tau = ut.
В результате получим t - r
\int 1
t
0
du
ur(u+ 1)
.
Установим оценку для случая n = 0, случаи n = 1, 2 рассматриваются аналогично, с учетом
переходов (17) от (\scrD V1\varphi )(x) к (V1\varphi )(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
406 А. А. ТАРАСЕНКО, А. А. КАРЕЛИН
Функция \Pi (t) = | 1 - t| \beta
\Biggl( \int 1
t
0
du
ur(u+ 1)
\Biggr) p
, 0 < t < x \leq 1
2
, отделена от нуля положитель-
ной постоянной \Pi
\biggl(
1
2
\biggr)
и ограничена сверху конечной постоянной \Pi (0) =
\biggl( \int \infty
0
du
ur(u+ 1)
\biggr) p
<
< \infty .
Итак,
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
\tau - rd\tau
\tau + t
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
=
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
\rho (t)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| t - r
1
t\int
0
du
ur(u+ 1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
p
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
\leq
\leq \Pi (0)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
x\int
0
t - rp+\alpha dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
= \Pi (0)x - rp+1+\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
t - rp+\alpha \Pi (t)
\Pi (t)
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
\leq
\leq \Pi (0)
\Pi
\biggl(
1
2
\biggr) x - rp+1+\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
t - rp+\alpha (1 - t)\beta
\left(
1
t\int
0
du
ur(u+ 1)
\right)
p
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
=
=
\Pi (0)
\Pi
\biggl(
1
2
\biggr) x - rp+1+\alpha
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1\int
0
\rho (t)
\left( t - r
1
t\int
0
du
ur(u+ 1)
\right)
p
dt
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \bigm|
1
p
.
От переменной u возвращаемся к переменной \tau и получаем требуемую оценку (3).
Утверждение доказано.
Поскольку ядро оператора V1 не имеет особенностей в точке x = 1, то при проверке
условия (4) трудности не возникают.
Литература
1. Дудучава Р. В. Одномерные сингулярные интегральные операторные алгебры в пространствах Гельдера с
весом // Труды Тбил. мат. ин-та АН ГССР. – 1963. – 43. – С. 19 – 52.
2. Дудучава Р. В. Интегральные уравнения в свертках с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные
уравнения и их приложения к задачам механики // Труды Тбил. мат. ин-та АН ГССР. – 1979. – 60. – С. 2 – 136.
3. Gohberg I., Krupnik N. One-dimensional linear singular integral equations // Operator Theory: Adv. and Appl. –
Basel etc.: Birkhäuser, 1992. – 53.
4. Karlovich Yu. I., Kravchenko V. G. Singular integral equations with non-Carleman shift on an open contour //
Different. Equat. – 1981. – 17. – P. 1408 – 1417.
5. Litvinchuk G. S. Solvability theory of boundary value problems and singular integral equations with shift. – Dordrecht
etc.: Kluwer Acad. Publ., 2000.
6. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singular integral operators. – Berlin: Akad.-Verl., 1986.
Получено 27.08.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1704 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus |
| last_indexed | 2026-03-24T02:10:59Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/88/2713a00121ec18b61aa8c8f586a84688.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17042019-12-05T09:24:16Z On the relationships between the norms of operators with endpoint singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight О связи между нормами операторов с особенностями на концах в весовых пространствах Гельдера и Лебега Karelin, O. Tarasenko, A. A. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. We select a special class of operators with endpoint singularities was found. For these operators we establish inequalities connecting the norms in Lebesgue spaces with weight and in H¨older spaces with weight. We describe specific types of operators satisfying the conditions of the main theorem on the relationship between the norms. These results can be used to study the operators acting on H¨older spaces with weight on the basis of the well-known results for operators acting on Lebesgue spaces with weight. Видiлено клас операторiв з особливостями на кiнцях контура, для яких доведено нерiвностi мiж нормами у вагових просторах Гельдера i Лебега. Наведено конкретнi види операторiв, якi задовольняють умови основної теореми про зв’язок норм. Отриманi результати можуть використовуватися для дослiдження операторiв у вагових просторах Гельдера на основi вiдомих результатiв у вагових просторах Лебега. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1704 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 397-406 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 397-406 1027-3190 rus https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1704/686 Copyright (c) 2017 Karelin O.; Tarasenko A. A. |
| spellingShingle | Karelin, O. Tarasenko, A. A. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. Карелин, А. А. Тарасенко, А. А. On the relationships between the norms of operators with endpoint singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title | On the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title_alt | О связи между нормами операторов с особенностями на
концах в весовых пространствах Гельдера и Лебега |
| title_full | On the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title_fullStr | On the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title_full_unstemmed | On the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title_short | On the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in Lebesgue and Hölder spaces with weight |
| title_sort | on the relationships between the norms of operators with endpoint
singularities in lebesgue and hölder spaces with weight |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1704 |
| work_keys_str_mv | AT karelino ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT tarasenkoaa ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT karelinaa ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT tarasenkoaa ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT karelinaa ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT tarasenkoaa ontherelationshipsbetweenthenormsofoperatorswithendpointsingularitiesinlebesgueandholderspaceswithweight AT karelino osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega AT tarasenkoaa osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega AT karelinaa osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega AT tarasenkoaa osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega AT karelinaa osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega AT tarasenkoaa osvâzimeždunormamioperatorovsosobennostâminakoncahvvesovyhprostranstvahgelʹderailebega |