Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of an entire function of bounded $L$-index in the direction
We establish new criteria of boundedness of the $L$-index in the direction for entire functions in $C^n$. These criteria are formulated as estimate of the maximum modulus via the minimum modulus on a circle and describe the distribution of their zeros and the behavior of the directional logarithmic...
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1706 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507546741112832 |
|---|---|
| author | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. |
| author_facet | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. |
| author_sort | Bandura, A. І. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:16Z |
| description | We establish new criteria of boundedness of the $L$-index in the direction for entire functions in $C^n$. These criteria are formulated as estimate of the maximum modulus via the minimum modulus on a circle and describe the distribution of their
zeros and the behavior of the directional logarithmic derivative. In this way, we prove Hypotheses 1 and 2 from the article
[Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat. Stud. – 2015. – 43,
№ 1. – P. 103 – 109]. The obtained results are also new for the entire functions of bounded index in $C$. They improve the
known results by M. N. Sheremeta, A. D. Kuzyk, and G. H. Fricke. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.555
А. I. Бандура (Iвано-Франк. нац. техн. ун-т нафти i газу),
О. Б. Скаскiв (Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка)
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА ЗА НАПРЯМКОМ ТА РОЗПОДIЛ НУЛIВ
ЦIЛОЇ ФУНКЦIЇ ОБМЕЖЕНОГО \bfitL -IНДЕКСУ ЗА НАПРЯМКОМ
We establish new criteria of boundedness of the L-index in the direction for entire functions in \BbbC n. These criteria are
formulated as estimate of the maximum modulus via the minimum modulus on a circle and describe the distribution of their
zeros and the behavior of the directional logarithmic derivative. In this way, we prove Hypotheses 1 and 2 from the article
[Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat. Stud. – 2015. – 43,
№ 1. – P. 103 – 109]. The obtained results are also new for the entire functions of bounded index in \BbbC . They improve the
known results by M. N. Sheremeta, A. D. Kuzyk, and G. H. Fricke.
Получены новые критерии ограниченности L-индекса по направлению для целых функций в \BbbC n, формулируемые
в терминах оценки максимума модуля через минимум модуля на окружности, а также в терминах ограничений на
распределение их нулей поведение логарифмической производной по направлению. Тем самым доказаны гипотезы 1
и 2 из статьи [Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat.
Stud. – 2015. – 43, № 1. – P. 103 – 109]. Полученные результаты также являются новыми для функций ограниченного
индекса и l-индекса в \BbbC и улучшают известные результаты М. Н. Шереметы, А. Д. Кузыка, Г. Х. Фрике.
1. Вступ. У цiй статтi розглянуто два вiдкритi питання у класi цiлих функцiй обмеженого
L-iндексу за напрямком. Власне, доведемо двi гiпотези про характеризацiю функцiй з цього
класу [1]. Встановленi нами результати є новими навiть в одновимiрному випадку. В достатнiх
частинах наслiдкiв з них про обмеженiсть iндексу та l-iндексу вони покращують вiдповiднi
твердження Ґ. Х. Фрiке (див. теорему 5 у [2] та теорему 2 у [3]), а також М. М. Шеремети,
А. Д. Кузика (див. теореми 1 та 6 у [4]). На вiдмiну вiд останнiх тверджень виявилось, що
у вiдповiдних умовах на цiлу функцiю досить вимагати, щоб вони виконувались лише для
кола з деяким одним значенням радiуса замiсть вимоги їхнього виконання для всiх додатних
значень радiуса. Перейдемо тепер до детального викладу. Насамперед введемо деякi потрiбнi
позначення та поняття. Нехай L : \BbbC n \rightarrow \BbbR + — довiльна фiксована неперервна функцiя. Цiла
функцiя F (z), z \in \BbbC n, називається [1, 5 – 8] функцiєю обмеженого L-iндексу за напрямком
\bfb \in \BbbC n \setminus \{ \bfzero \} , якщо iснує таке m0 \in \BbbZ +, що для кожного m \in \BbbZ + та всiх z \in \BbbC n
1
m!Lm(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial mF (z)
\partial \bfb m
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
1
k!Lk(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial kF (z)
\partial \bfb k
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| : 0 \leq k \leq m0
\biggr\}
, (1)
де
\partial 0F (z)
\partial \bfb 0
:= F (z),
\partial F (z)
\partial \bfb
:=
\sum n
j=1
\partial F (z)
\partial zj
bj = \langle \bfg \bfr \bfa \bfd F,\bfb \rangle , \partial kF (z)
\partial \bfb k
:=
\partial
\partial \bfb
\biggl(
\partial k - 1F (z)
\partial \bfb k - 1
\biggr)
,
k \geq 2.
Найменше таке цiле число m0 = m0(\bfb ) називається L-iндексом за напрямком \bfb цiлої
функцiї F (z) та позначається через N\bfb (F,L) = m0.
У випадку n = 1 та \bfb = 1 отримуємо означення цiлої у \BbbC функцiї обмеженого l-iндексу
(див. [4, 9]); якщо ж n = 1, \bfb = 1 та L(z) \equiv 1, це означення задає функцiю обмеженого
iндексу, введену Б. Лепсоном [10].
c\bigcirc А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ, 2017
426 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА ЗА НАПРЯМКОМ ТА РОЗПОДIЛ НУЛIВ . . . 427
Для \eta > 0, z \in \BbbC n, \bfb = (b1, . . . , bn) \in \BbbC n \setminus \{ \bfzero \} та додатної неперервної функцiї
L : \BbbC n \rightarrow \BbbR + визначимо
\lambda 1(\eta ) = \lambda \bfb
1 (\eta ) := \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
z\in \BbbC n
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
\bigl\{
L(z + t\bfb )/L(z) : | t| \leq \eta /L(z)
\bigr\}
,
\lambda 2(\eta ) = \lambda \bfb
2 (\eta ) := \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\bigl\{
L(z + t\bfb )/L(z) : | t| \leq \eta /L(z)
\bigr\}
.
Через Qn
\bfb позначимо клас функцiй L, якi задовольняють умову
(\forall \eta \geq 0) : 0 < \lambda \bfb
1 (\eta ) \leq \lambda \bfb
2 (\eta ) < +\infty . (2)
Також використовуємо позначення Q = Q1
1 для класу додатних неперервних функцiй l(z),
якщо z \in \BbbC , \bfb = 1, n = 1, L \equiv l.
Нескладно переконатися, що клас Qn
\bfb можна визначити так:
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC n
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\biggl\{
L(z + t1\bfb )
L(z + t2\bfb )
: | t1 - t2| \leq
\eta
\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ L(z + t1\bfb ), L(z + t2\bfb )\}
\biggr\}
< \infty , (3)
тобто умови (2) та (3) рiвносильнi.
Авторами отримано (див., наприклад, [5, 8]) ряд критерiїв обмеженостi L-iндексу за на-
прямком, що є аналогами одновимiрних критерiїв обмеженостi l-iндексу. Крiм того, виявлено,
що деякi твердження (теореми 2 i 6 з [5]) мають видозмiненi сильнiшi версiї, власне, їхнє
посилення полягає у замiнi кванторiв загальностi на квантори iснування (див. теорему 5 у [6] i
теорему 7 у [5]). Цю обставину iлюструють, зокрема, два наступних твердження. Перше з них
є повним аналогом вiдповiдної теореми Фрiке – Кузика – Шеремети [2, 4].
Теорема 1 [5, 8]. Нехай L належить Qn
\bfb . Цiла в \BbbC n функцiя F має обмежений L-iндекс за
напрямком \bfb тодi i тiльки тодi, коли для кожної пари r1 та r2 такої , що 0 < r1 < r2 < +\infty ,
iснує таке число P1 = P1(r1, r2) \geq 1, що для всiх z0 \in \BbbC n
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r2/L(z
0)
\bigr\}
\leq P1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r1/L(z0)
\bigr\}
. (4)
Виявляється, що умову „для кожної пари r1 та r2” у теоремi 1 можна замiнити умовою
„iснують числа r1 та r2”. На це вказує наступне твердження.
Теорема 2 [5, 8]. Нехай L належить Qn
\bfb . Цiла в \BbbC n функцiя F має обмежений L-iндекс
за напрямком \bfb тодi i тiльки тодi, коли iснують числа r1 та r2, 0 < r1 < 1 < r2 < +\infty , i
P1 \geq 1 такi, що для всiх z0 \in \BbbC n виконується нерiвнiсть (4).
2. Оцiнка максимуму модуля через мiнiмум модуля. Сформульовану нижче теорему
доведено у [5, 8].
Теорема 3 [5, 8]. Нехай L належить Qn
\bfb . Цiла в \BbbC n функцiя F має обмежений L-iндекс за
напрямком \bfb тодi i тiльки тодi, коли для кожного R > 0 iснують P2(R) \geq 1 та \eta (R) \in (0, R)
такi, що для всiх z0 \in \BbbC n i деякого r = r(z0) \in [\eta (R), R] справджується нерiвнiсть
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r
L(z0)
\biggr\}
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r
L(z0)
\biggr\}
. (5)
З урахуванням теорем 1 та 2 в [1] було поставлено таке питання.
Проблема 1 [1]. Чи правильна гiпотеза 1?
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
428 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Гiпотеза 1 [1]. Нехай L належить Qn
\bfb . Цiла в \BbbC n функцiя F має обмежений L-iндекс за
напрямком \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} тодi i тiльки тодi, коли iснують R > 0, P2(R) \geq 1 та \eta (R) \in (0, R)
такi, що для всiх z0 \in \BbbC n i деякого r = r(z0) \in [\eta (R), R] виконується нерiвнiсть (5).
Доведемо цю гiпотезу за припущення, що R \in (0, 1). Чи можна вiдмовитись у достатнiй
частинi наступної теореми вiд обмеження R < 1 — авторам на даний час невiдомо.
Теорема 4. Нехай L належить Qn
\bfb . Цiла в \BbbC n функцiя F має обмежений L-iндекс за
напрямком \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} тодi i тiльки тодi, коли iснують R \in (0, 1), P2 \geq 1 та \eta \in (0, R)
такi, що для кожного z0 \in \BbbC n i деякого r = r(z0) \in [\eta ,R] виконується (5).
Доведення. Необхiднiсть. Якщо F має обмежений L-iндекс за напрямком \bfb , то потрiбне
отримуємо безпосередньо з теореми 3.
Достатнiсть. З огляду на теорему 2 досить довести, що iснує число P1 таке, що для всiх
z0 \in \BbbC n
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = (R+ 1)/L(z0)
\bigr\}
\leq P1\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = R/L(z0)
\bigr\}
. (6)
Припустимо, що iснують R \in (0, 1), P2 \geq 1 та \eta \in (0, R) такi, що для всiх z0 \in \BbbC n i деякого
r = r(z0) \in [\eta ,R] виконується
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r/L(z0)
\bigr\}
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r/L(z0)
\bigr\}
.
Позначимо L\ast = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
L(z0 + t\bfb ) : | t| \leq (2R+ 2)/L(z0)
\bigr\}
, \rho 0 = R/L(z0), \rho k = \rho 0 + k\eta /L\ast ,
k \in \BbbZ +. Тодi
\eta
L\ast <
R
L\ast \leq R
L(z0)
<
2R+ 2
L(z0)
- R+ 1
L(z0)
.
Тому iснує n\ast \in \BbbN , незалежне вiд z0 i таке, що при деякому p = p(z0) \leq n\ast
\rho p - 1 <
R+ 1
L(z0)
\leq \rho p \leq
2R+ 2
L(z0)
,
оскiльки L \in Qn
\bfb . Справдi,\biggl(
2R+ 2
L(z0)
- \rho 0
\biggr) \bigg/ \Bigl( \eta
L\ast
\Bigr)
=
(R+ 2)L\ast
\eta L(z0)
=
=
R+ 2
\eta
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
L(z0 + t\bfb )
L(z0)
: | t| \leq 2R+ 2
L(z0)
\biggr\}
\leq R+ 2
\eta
\lambda 2(2R+ 2).
Можна взяти n\ast =
\biggl[
R+ 2
\eta
\lambda 2(2R+ 2)
\biggr]
, де [a] — цiла частина a \in \BbbR .
Додатково виберемо | F (z0 + t\ast \ast k \bfb )| = \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : t \in ck
\bigr\}
, ck = \{ t \in \BbbC : | t| = \rho k\} ,
та через t\ast k позначимо точку перетину вiдрiзка [0, t\ast \ast k ] з колом ck - 1. Тодi для будь-якого r > \eta
та всiх k \leq n\ast виконується нерiвнiсть | t\ast \ast k - t\ast k| = \eta /L\ast \leq r
L(z0 + t\ast k\bfb )
. Отже, для деякого
r = r(z0 + t\ast k\bfb ) \in [\eta ,R] отримуємо
| F (z0 + t\ast \ast k \bfb )| \leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t - t\ast k| = r/L(z0 + t\ast k\bfb )
\bigr\}
\leq
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t - t\ast k| = r/L(z0 + t\ast k\bfb )
\bigr\}
\leq
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА ЗА НАПРЯМКОМ ТА РОЗПОДIЛ НУЛIВ . . . 429
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t - t\ast k| = r/L(z0 + t\ast k\bfb ), | t - t0| \leq \rho k - 1
\bigr\}
\leq
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : t \in ck - 1
\bigr\}
.
Використовуючи цю оцiнку для всiх кiл ck, послiдовно одержуємо
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = (R+ 1)/L(z0)
\bigr\}
\leq
\leq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : t \in cp
\bigr\}
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : t \in cp - 1
\bigr\}
\leq . . .
. . . \leq (P2)
p\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : t \in c0
\bigr\}
\leq
\leq (P2)
n\ast
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = R/L(z0)
\bigr\}
.
Отже, одержали (6) з P1 = (P2)
n\ast
.
Теорему 4 доведено.
3. Оцiнка логарифмiчної похiдної за напрямком. Нехай
Gr = G\bfb
r (F ) : =
\bigcup
z : F (z)=0
\bigl\{
z + t\bfb : | t| < r/L(z)
\bigr\}
, (7)
a0k — нулi функцiї F (z0 + t\bfb ) при фiксованому z0 \in \BbbC n. Через nz0(r) = n\bfb (r, z
0, 1/F ) :=
:=
\sum
| a0k| \leq r
1 позначимо лiчильну функцiю кiлькостi нулiв a0k функцiї F (z0 + t\bfb ) у крузi
\{ t \in \BbbC : | t| \leq r\} . Якщо F (z0 + t\bfb ) \equiv 0 при всiх t \in \BbbC та заданому z0 \in \BbbC n, то покладемо
nz0(r) = - 1.
Теорема 5 [5, 8]. Нехай F (z) — цiла функцiя в \BbbC n, L \in Qn
\bfb . Для того щоб функцiя F
була функцiєю обмеженого L-iндексу за напрямком \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} , необхiдно i достатньо, щоб
виконувались такi умови:
1) для будь-якого r > 0 iснує таке P = P (r) > 0, що для всiх z \in \BbbC n\setminus GR\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
F (z)
\partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z); (8)
2) для будь-якого r > 0 iснує таке \widetilde n(r) \in \BbbZ +, що для всiх z \in \BbbC n
nz (r/L(z)) \leq \widetilde n(r). (9)
Одновимiрний аналог теореми 5 продемонстрував свою ефективнiсть при дослiдженнi
обмеженостi l-iндексу нескiнченних добуткiв в одновимiрному випадку [11 – 13]. Нами не-
щодавно [7] також використано цей критерiй при встановленнi достатнiх умов обмеженостi
\bfL -iндексу за сукупнiстю змiнних у термiнах обмежень на частиннi логарифмiчнi похiднi та
розподiл нулiв.
З огляду на теореми 1 та 2 виглядає природною така проблема.
Проблема 2 [1]. Чи правильна гiпотеза 2?
Гiпотеза 2 [1]. Нехай F (z) — цiла в \BbbC n функцiя, L \in Qn
\bfb . Функцiя F має обмежений
L-iндекс за напрямком \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} тодi i тiльки тодi, коли виконуються такi умови:
1) iснують такi r > 0, P > 0, що для кожного z \in \BbbC n\setminus Gr виконується нерiвнiсть (8);
2) iснують такi r > 0, \widetilde n \in \BbbZ +, що для кожного z \in \BbbC n виконується нерiвнiсть (9).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
430 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
Накладаючи додаткове обмеження, ми доводимо цю гiпотезу. Позначимо
n(r) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
z\in \BbbC n
nz(r/L(z)).
Теорема 6. Нехай F (z) — цiла в \BbbC n функцiя, L \in Qn
\bfb . F (z) є функцiєю обмеженого
L-iндексу за напрямком \bfb \in \BbbC n \setminus \{ 0\} тодi i тiльки тодi, коли виконуються такi умови:
1) iснують такi r1 > 0, P > 0, що для всiх z \in \BbbC n\setminus Gr1 виконується нерiвнiсть (8);
2) iснує таке r2 \in (0, 1), що n(r2) \in [ - 1;\infty ) та 2r1n(r2) < r2\lambda 1(r2), а r1 вибрано в
умовi 1.
Доведення. Необхiднiсть. Нехай F — функцiя обмеженого L-iндексу за напрямком \bfb . Тодi
безпосередньо з теореми 5 випливає, що виконуються умови 1 i 2 теореми 6.
Достатнiсть. Навпаки, вважаємо, що умови 1 та 2 виконуються.
Спочатку розглянемо випадок, коли n(r2) \in [ - 1; 0]. Тодi функцiя F може лише тотожно
дорiвнювати нулю на променi z\ast + t\bfb для деяких z\ast \in \BbbC n, тобто F (z\ast + t\bfb ) \equiv 0. Для всiх
точок з таких променiв нерiвнiсть (5) є очевидною. Звiдси за умовою 1 для всiх z \in \BbbC n \setminus Gr1\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z)| F (z)| .
Нехай z0 \in \BbbC n \setminus Gr1 . Для будь-яких точок t1 та t2 таких, що | tj | =
r1
L(z0)
, j \in \{ 1, 2\} ,
виконується
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| F (z0 + t2\bfb )
F (z0 + t1\bfb )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
F (z0 + t\bfb )
\partial F (z0 + t\bfb )
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | dt| \leq
\leq P
t2\int
t1
L(z0 + t\bfb )| dt| \leq P\lambda 2(r1)L(z
0)
\pi r1
L(z0)
\leq \pi r1P\lambda 2(r1).
Звiдси
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r1
L(z0)
\biggr\}
\leq P2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t| = r2
L(z0)
\biggr\}
,
де P2 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\pi r1 P\lambda 2(r1)
\bigr\}
. Тому за теоремою 4 функцiя F має обмежений L-iндекс за на-
прямком \bfb .
Нехай тепер r2 \in (0, 1) є таким, що n(r2) \in (0;\infty ) та 2n(r2)r1 < r2\lambda 1(r2). Покладемо
c =
r2\lambda 1(r2)
2r1
- n(r2) > 0. Зрозумiло, що тодi r1 = r2\lambda 1(r2)/(2(n(r2) + c)). За умовою 2 у
кожнiй множинi K =
\biggl\{
z0 + t\bfb : | t| \leq r2
L(z0)
\biggr\}
число нулiв функцiї F, де F (z0 + t\bfb ) \not \equiv 0, не
перевищує n(r2).
За умовою 1 iснує таке P > 0, що
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (z)
\partial \bfb
1
F (z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z) для кожного z \in \BbbC n\setminus Gr1 , тобто
для всiх z \in K, якi лежать зовнi таких множин
\biggl\{
z0 + t\bfb : | t - a0k| <
r1
L(z0 + a0k\bfb )
\biggr\}
, де a0k \in K
є нулями функцiї F (z0 + t\bfb ) \not \equiv 0. За означенням \lambda 1 отримуємо
\lambda 1(r2)L(z
0) \leq L(z0 + a0k\bfb ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
ЛОГАРИФМIЧНА ПОХIДНА ЗА НАПРЯМКОМ ТА РОЗПОДIЛ НУЛIВ . . . 431
Тодi
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
F (z)
\partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z) для кожної точки z \in \BbbC n, що лежить зовнi множин
c0k =
\biggl\{
z0 + t\bfb : | t - a0k| \leq
r1
\lambda 1(r2)L(z0)
=
r2
2(n(r2) + c)L(z0)
\biggr\}
.
Сума дiаметрiв множин c0k не перевищує значення
r2n(r2)
(n(r2) + c)L(z0)
<
r2
L(z0)
. Отже, iснує
множина \widetilde c 0 = \biggl\{
z0 + t\bfb : | t| = r
L(z0)
\biggr\}
, де
r2\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ 1, c\}
2(n(r2) + c)
= \eta < r < r2, така, що для всiх z \in \widetilde c0
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
F (z)
\partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z) \leq P\lambda 2(r)L(z
0) \leq P\lambda 2 (r2)L(z
0).
Для довiльних точок z1 = z0 + t1\bfb та z2 = z0 + t2\bfb з \widetilde c0 маємо
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| F (z0 + t2\bfb )
F (z0 + t1\bfb )
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq
t2\int
t1
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| 1
F (z0 + t\bfb )
\partial F (z0 + t\bfb )
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| | dt| \leq
\leq P\lambda 2(r2)L(z
0)
\pi r
L(z0)
\leq \pi r2 P (r1)\lambda 2(r2).
Звiдси
\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t - t0| =
r
L(z0)
\biggr\}
\leq P2 \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}
\biggl\{
| F (z0 + t\bfb )| : | t - t0| =
r
L(z0)
\biggr\}
, (10)
де P2 = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl\{
\pi r2 P (r1)\lambda 2 (r2)
\bigr\}
. Якщо F (z0 + t\bfb ) \equiv 0, то нерiвнiсть (10) очевидна. За теоре-
мою 4 функцiя F (z) має обмежений L-iндекс за напрямком \bfb .
Теорему 6 доведено.
Зауваження 1. Якщо \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}r\in (0,1) n(r) \geq 1 (тобто F має деякi нулi) та \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r\in (0,1)
r\lambda 1(r)
2n(r)
> r1,
то iснує таке r2 > 0, що r1 <
r2\lambda 1(r2)
2n(r2)
.
Зауваження 2. Ми довели гiпотезу 2 за додаткового обмеження 2r1n(r2) < r2\lambda 1(r2). На-
разi невiдомо, чи ця умова є iстотною. Тому виникає така проблема.
Проблема 3. Позначимо r0 = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}r\in (0,1)
r\lambda 1(r)
2n(r)
. Чи iснують цiла у \BbbC n функцiя F та
неперервна функцiя L : \BbbC n \rightarrow \BbbR + з такими властивостями:
1)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \leq PL(z)| F (z)| для деяких r1 \in (r0, 1), P > 0 та всiх z \in \BbbC n\setminus Gr1 ;
2) \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in \BbbC n\setminus Gr2
1
| F (z)| L(z)
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| \partial F (z)
\partial \bfb
\bigm| \bigm| \bigm| \bigm| = +\infty для будь-якого r2 \in (0; r0) та n(r2) \in (0;+\infty )?
Зауважимо, що теореми 4 та 6 є новими навiть для цiлих в \BbbC функцiй (порiвн. з [2 – 4]).
Зокрема, для n = 1 та цiлих функцiй обмеженого l-iндексу з теореми 6 випливає такий наслiдок.
Наслiдок. Нехай l \in Q, f — цiла у \BbbC функцiя. Функцiя f має обмежений l-iндекс тодi i
тiльки тодi, коли:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
432 А. I. БАНДУРА, О. Б. СКАСКIВ
1) iснують такi r1 > 0, P > 0, що для кожного t \in \BbbC \setminus Gr1 виконується нерiвнiсть
| f \prime (t)|
| f(t)|
\leq Pl(t);
2) iснує r2 \in (0, 1), для якого n(r2) \in [0;\infty ) та 2r1n(r2) < r2\lambda 1(r2), а r1 вибрано у
попереднiй умовi.
Лiтература
1. Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat. Stud. – 2015. –
43, № 1. – P. 103 – 109.
2. Fricke G. H. Entire functions of locally slow growth // J. Anal. Math. – 1975. – 28, № 1. – P. 101 – 102.
3. Fricke G. H. Functions of bounded index and their logarithmic derivatives // Math. Ann. – 1973. – 206. – P. 215 – 223.
4. Шеремета М. Н., Кузык А. Д. О логарифмической производной и нулях целой функции ограниченного
l-индекса // Сиб. мат. журн. – 1992. – 33, № 2. – С. 142 – 150.
5. Бандура А. I., Скаскiв О. Б. Цiлi функцiї обмеженого L-iндексу за напрямком // Мат. студ. – 2007. – 27, № 1. –
С. 30 – 52.
6. Bandura A. I. A modified criterion of boundedness of L-index in direction // Mat. Stud. – 2013. – 39, № 1. –
P. 99 – 102.
7. Bandura A. I., Bordulyak M. T., Skaskiv O. B. Sufficient conditions of boundedness of L-index in joint variables //
Mat. Stud. – 2016. – 45, № 1. – P. 12 – 26.
8. Bandura A., Skaskiv O. Entire functions of several variables of bounded index. – Lviv: Publ. I. E. Chyzhykov, 2016. –
128 p.
9. Кузык А. Д., Шеремета М. Н. Целые функции ограниченного l-распределения значений // Мат. заметки. –
1986. – 39, № 1. – С. 3 – 13.
10. Lepson B. Differential equations of infinite order, hyperdirichlet series and entire functions of bounded index // Proc.
Symp. Pure Math. – 1968. – 2. – P. 298 – 307.
11. Бордуляк М. Т., Шеремета М. Н. О существовании целых функций ограниченного l-индекса и l-регулярного
роста // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 9. – С. 1166 – 1182.
12. Бордуляк М. Т., Шеремета М. М. Обмеженiсть l-iндексу цiлих функцiй Лагерра – Пойа // Укр. мат. журн. –
2003. – 55, № 1. – С. 91 – 99.
13. Шеремета М. М. Уточнення однiєї теореми Фрiке про цiлi функцiї обмеженого iндексу // Укр. мат. журн. –
1996. – 48, № 3. – С. 412 – 417.
Одержано 20.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-1706 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:02Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/b4/fca45b488e5e76c7f68baac399a8c8b4.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17062019-12-05T09:24:16Z Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of an entire function of bounded $L$-index in the direction Логарифмічна похідна за напрямком та розподіл нулів цілої функції обмеженого $L$-індексу за напрямком Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. We establish new criteria of boundedness of the $L$-index in the direction for entire functions in $C^n$. These criteria are formulated as estimate of the maximum modulus via the minimum modulus on a circle and describe the distribution of their zeros and the behavior of the directional logarithmic derivative. In this way, we prove Hypotheses 1 and 2 from the article [Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat. Stud. – 2015. – 43, № 1. – P. 103 – 109]. The obtained results are also new for the entire functions of bounded index in $C$. They improve the known results by M. N. Sheremeta, A. D. Kuzyk, and G. H. Fricke. Получены новые критерии ограниченности $L$-индекса по направлению для целых функций в $C^n$, формулируемые в терминах оценки максимума модуля через минимум модуля на окружности, а также в терминах ограничений на распределение их нулей поведение логарифмической производной по направлению. Тем самым доказаны гипотезы 1 и 2 из статьи [Bandura A. I., Skaskiv O. B. Open problems for entire functions of bounded index in direction // Mat. Stud. – 2015. – 43, № 1. – P. 103 – 109]. Полученные результаты также являются новыми для функций ограниченного индекса и $l$-индекса в $C$ и улучшают известные результаты М. Н. Шереметы, А. Д. Кузыка, Г. Х. Фрике. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1706 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 3 (2017); 426-432 Український математичний журнал; Том 69 № 3 (2017); 426-432 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1706/688 Copyright (c) 2017 Bandura A. І.; Skaskiv O. B. |
| spellingShingle | Bandura, A. І. Skaskiv, O. B. Бандура, А. І. Скасків, О. Б. Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title | Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title_alt | Логарифмічна похідна за напрямком та розподіл нулів цілої функції обмеженого $L$-індексу за напрямком |
| title_full | Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title_fullStr | Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title_full_unstemmed | Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title_short | Directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $L$-index in the direction |
| title_sort | directional logarithmic derivative and the distribution of zeros of
an entire function of bounded $l$-index in the direction |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1706 |
| work_keys_str_mv | AT banduraaí directionallogarithmicderivativeandthedistributionofzerosofanentirefunctionofboundedlindexinthedirection AT skaskivob directionallogarithmicderivativeandthedistributionofzerosofanentirefunctionofboundedlindexinthedirection AT banduraaí directionallogarithmicderivativeandthedistributionofzerosofanentirefunctionofboundedlindexinthedirection AT skaskívob directionallogarithmicderivativeandthedistributionofzerosofanentirefunctionofboundedlindexinthedirection AT banduraaí logarifmíčnapohídnazanaprâmkomtarozpodílnulívcíloífunkcííobmeženogolíndeksuzanaprâmkom AT skaskivob logarifmíčnapohídnazanaprâmkomtarozpodílnulívcíloífunkcííobmeženogolíndeksuzanaprâmkom AT banduraaí logarifmíčnapohídnazanaprâmkomtarozpodílnulívcíloífunkcííobmeženogolíndeksuzanaprâmkom AT skaskívob logarifmíčnapohídnazanaprâmkomtarozpodílnulívcíloífunkcííobmeženogolíndeksuzanaprâmkom |