Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators on the 2d -lattice
We consider a system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of nonlinearly coupled nonlinear oscillators on the 2d-lattice. By the method of critical points, we obtain a result on existence of the solitary traveling waves.
Saved in:
| Date: | 2017 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1707 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507549583802368 |
|---|---|
| author | Bak, S. N. Бак, С. Н. |
| author_facet | Bak, S. N. Бак, С. Н. |
| author_sort | Bak, S. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | We consider a system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of nonlinearly coupled
nonlinear oscillators on the 2d-lattice. By the method of critical points, we obtain a result on existence of the solitary
traveling waves. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.97
С. М. Бак (Вiнниц. держ. пед. ун-т iм. М. Коцюбинського)
IСНУВАННЯ ВIДОКРЕМЛЕНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ ДЛЯ СИСТЕМИ
НЕЛIНIЙНО ЗВ’ЯЗАНИХ ОСЦИЛЯТОРIВ НА ДВОВИМIРНIЙ ҐРАТЦI
We consider a system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of nonlinearly coupled
nonlinear oscillators on the 2d-lattice. By the method of critical points, we obtain a result on existence of the solitary
traveling waves.
Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной сис-
темы нелинейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. С помощью метода критических
точек получен результат о существовании уединенных бегущих волн.
1. Вступ. У цiй статтi будемо розглядати рiвняння, якi описують динамiку нескiнченної системи
нелiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциляторiв на плоскiй цiлочисловiй ґратцi. Нехай qn,m(t) —
узагальнена координата (n,m)-го осцилятора в момент часу t. Передбачається, що кожний
осцилятор нелiнiйно взаємодiє з чотирма своїми найближчими сусiдами. Тодi рiвняння руху
системи, що розглядається, мають вигляд
\"qn,m = U \prime (qn+1,m - qn,m) - U \prime (qn,m - qn - 1,m)+
+U \prime (qn,m+1 - qn,m) - U \prime (qn,m - qn,m - 1) - V \prime (qn,m), (n,m) \in \BbbZ 2, (1)
де U, V \in C1(\BbbR ).
Рiвняння (1) — це нескiнченна система звичайних диференцiальних рiвнянь, причому при
V (r) \equiv 0 вони є двовимiрним аналогом системи Фермi – Пасти – Улама, а при V (r) = K(1 -
- \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s} r) — дискретним рiвнянням \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}-Ґордона на двовимiрнiй ґратцi.
Важливим класом розв’язкiв для таких систем є бiжучi хвилi. Досить детальнi результати
про бiжучi хвилi в ланцюгах Фермi – Пасти – Улама можна знайти у працях О. Панкова, зокре-
ма в [15] наведено найбiльш повний огляд результатiв. Результати дослiджень таких систем iз
фiзичної точки зору можна знайти в монографiї [9]. У статтi [6] встановлено умови iснування
перiодичних бiжучих хвиль у системi Фермi – Пасти – Улама на двовимiрнiй ґратцi. Водночас
ланцюги осциляторiв розглядались у кiлькох працях, зокрема у [12] результати отримано мето-
дами теорiї бiфуркацiй, а в [1, 8] встановлено умови iснування перiодичних та вiдокремлених
бiжучих хвиль за допомогою методу критичних точок. У статтях [2, 5, 10, 11] вивчались бiжучi
хвилi для систем лiнiйно зв’язаних осциляторiв, розмiщених на двовимiрних ґратках. Зокре-
ма, в [10] дослiджувалась система iз непарною 2\pi -перiодичною нелiнiйнiстю, а в [11] взагалi
розглядалися лiнiйнi осцилятори. У статтi [2] встановлено умови iснування перiодичних i вi-
докремлених бiжучих хвиль. У статтi [14] вивчались перiодичнi та гомоклiнiчнi бiжучi хвилi
для нескiнченного ланцюга нелiнiйно зв’язаних нелiнiйних частинок. У статтi [7] одержано
c\bigcirc С. М. БАК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4 435
436 С. М. БАК
результат про iснування перiодичних бiжучих хвиль для дискретного рiвняння \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}-Ґордона на
двовимiрнiй ґратцi, у статтi [3] — результат про iснування дозвукових перiодичних бiжучих
хвиль для нескiнченної системи нелiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциляторiв, розмiщених на
двовимiрнiй ґратцi, а у статтi [4] — умови iснування надзвукових хвиль для такої системи.
2. Постановка задачi. Зазначимо, що бiжуча хвиля у двовимiрному випадку має вигляд
qn,m(t) = u(n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi +m \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi - ct),
де функцiя неперервного аргументу u(s) називається профiлем, а константа c \not = 0 — швидкiстю
бiжучої хвилi. Для її профiлю u(s), де s = n \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi +m \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi - ct, рiвняння (1) набирає вигляду
c2u\prime \prime (s) = U \prime (u(s+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi ) - u(s)) - U \prime (u(s) - u(s - \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi ))+
+U \prime (u(s+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ) - u(s)) - U \prime (u(s) - u(s - \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi )) - V \prime (u(s)). (2)
Скрiзь далi пiд розв’язком рiвняння (2) будемо розумiти функцiю u(s) класу C2(\BbbR ), яка задо-
вольняє рiвняння (2) для всiх s \in \BbbR .
Зазначимо, що в рiвняння (2) швидкiсть c входить у квадратi. Звiдси випливає, що якщо
функцiя u(s) задовольняє рiвняння (2), то iснують двi бiжучi хвилi з даним профiлем u та
швидкостями \pm c.
Нас цiкавлять вiдокремленi бiжучi хвилi, профiль яких задовольняє крайову умову
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \pm \infty
u(s) = u(\pm \infty ) = 0. (3)
Зауважимо, що такi хвилi називають ще гомоклiнiчними до нуля.
3. Варiацiйне формулювання задачi. Позначимо через E гiльбертiв простiр H1(\BbbR ) зi
скалярним добутком
(u, v) =
+\infty \int
- \infty
(u(s)v(s) + u\prime (s)v\prime (s))ds
i вiдповiдною нормою \| u\| = (u, u)
1
2 . Нагадаємо, що за теоремою вкладення E \subset Cb(\BbbR ), де
Cb(\BbbR ) — простiр обмежених неперервних функцiй на \BbbR . Бiльш того, функцiї з простору E
мають нульову границю на нескiнченностi.
На просторi E означимо оператори
(Au)(s) := u(s+ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi ) - u(s) =
s+cos\varphi \int
s
u\prime (\tau )d\tau ,
(Bu)(s) := u(s+ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi ) - u(s) =
s+sin\varphi \int
s
u\prime (\tau )d\tau .
Тодi справджується така лема (див. [6]).
Лема 1. Оператори A та B є обмеженими лiнiйними операторами, що задовольняють
нерiвностi
\| Au\| L2(\BbbR ) \leq | \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\varphi | \| u\| ,
\| Bu\| L2(\BbbR ) \leq | \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\varphi | \| u\| .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
IСНУВАННЯ ВIДОКРЕМЛЕНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ ДЛЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНО . . . 437
Скрiзь далi будемо розглядати потенцiали U i V вигляду
(i) U(r) =
c20
2
r2 + f(r), V (r) = - a2
2
r2 + g(r), де c0 \geq 0, a > 0.
Також припускаємо, що неквадратична частина кожного з цих потенцiалiв h \in \{ f ; g\} задо-
вольняє такi умови:
(ii) h(0) = h\prime (0) = 0 i h\prime (r) = o(r) при r \rightarrow 0;
(iii) iснує \mu > 2 таке, що
0 \leq \mu h(r) \leq rh\prime (r), r \not = 0.
Неважко переконатись у тому, що з цих умов випливає iснування таких сталих d > 0 i
d0 > 0, що
h(r) \geq d| r| \mu - d0. (4)
Далi нам знадобиться така лема (див. [4]).
Лема 2. У зроблених припущеннях iснує така неперервна монотонно зростаюча функцiя
\sigma (r), r \geq 0, що \sigma (0) = 0, \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}r\rightarrow \infty \sigma (r) = +\infty i
h\prime (r)r \leq \sigma (| r| )r2. (5)
На просторi E розглянемо функцiонал
J(u) :=
+\infty \int
- \infty
\biggl\{
c2
2
| u\prime (s)| 2 - U(Au(s)) - U(Bu(s)) - V (u(s))
\biggr\}
ds.
Безпосереднiми обчисленнями одержуємо наступнi два твердження.
Лема 3. У зроблених припущеннях J — функцiонал класу C1 на E, а його похiдна для
будь-яких u, v \in E виражається формулою
\langle J \prime (u), v\rangle =
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
c2u\prime (s)v\prime (s) - U \prime (Au(s))Av(s) - U \prime (Bu(s))Bv(s) - V \prime (u(s))v(s)
\bigr\}
ds.
Лема 4. Критичнi точки функцiонала J є C2-розв’язками рiвняння (2), що задовольняють
умову (3).
Лема 5. Нехай виконуються умови (i) – (iii). Тодi iснують такi \varepsilon > 0 i \gamma > 0, що для
нетривiальних критичних точок функцiонала J справджуються нерiвностi
\varepsilon 0 \leq \| u\| 2 \leq \gamma J(u). (6)
Доведення. Нехай u \in E — критична точка функцiонала J. Тодi J \prime (u) = 0 i
J(u) = J(u) - 1
\mu
\langle J \prime (u), u\rangle =
=
\biggl(
1
2
- 1
\mu
\biggr) +\infty \int
- \infty
\bigl\{
c2| u\prime (s)| 2 - c20| Au(s)| 2 - c20| Bu(s)| 2 + a2| u(s)| 2
\bigr\}
ds -
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
438 С. М. БАК
-
+\infty \int
- \infty
\biggl\{ \biggl[
f(Au(s)) - 1
\mu
f \prime (Au(s))Au(s)
\biggr]
+
\biggl[
f(Bu(s)) - 1
\mu
f \prime (Bu(s))Bu(s)
\biggr] \biggr\}
ds -
-
+\infty \int
- \infty
\biggl\{
g(u(s)) - 1
\mu
g\prime (u(s))u(s)
\biggr\}
ds \geq
\geq \mu - 2
2\mu
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
c2| u\prime (s)| 2 - c20| Au(s)| 2 - c20| Bu(s)| 2 + a2| u(s)| 2
\bigr\}
ds.
Використовуючи лему 1, маємо
J(u) \geq \mu - 2
2\mu
\left\{ \alpha 0
+\infty \int
- \infty
| u\prime (s)| 2ds+ a2
+\infty \int
- \infty
| u(s)| 2ds
\right\} ,
де \alpha 0 = c2 - c20. Тодi
J(u) \geq \mu - 2
2\mu
\alpha 1
\left\{
+\infty \int
- \infty
| u\prime (s)| 2ds+
+\infty \int
- \infty
| u(s)| 2ds
\right\} =
\mu - 2
2\mu
\alpha 1\| u\| 2,
де \alpha 1 = \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\{ \alpha 0, a
2\} . Звiдси випливає друга з нерiвностей (6).
Доведемо першу з нерiвностей (6). Для критичної точки u \in E маємо \langle J \prime (u), u\rangle = 0, тобто
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
c2| u\prime (s)| 2 - c20| Au(s)| 2 - c20| Bu(s)| 2 + a2| u(s)| 2
\bigr\}
ds =
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
f \prime (u(s) + g\prime (u(s)
\bigr\}
u(s)ds.
Звiдси, як i вище, отримуємо
\alpha 1\| u\| 2 \leq
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
f \prime (u(s) + g\prime (u(s)
\bigr\}
u(s)ds. (7)
За лемою 2, враховуючи нерiвнiсть (5), одержуємо
(f \prime (r) + g\prime (r))r \leq \~\sigma (| r| )r2,
де \~\sigma (r) — монотонно зростаюча неперервна функцiя вiд r \geq 0 i \~\sigma (0) = 0. Тодi з (7) випливає,
що
\alpha 1\| u\| 2 \leq \~\sigma (\| u\| Cb(\BbbR ))
+\infty \int
- \infty
\| u(s)\| 2ds.
За теоремою вкладення
\| u\| Cb(\BbbR ) \leq C\| u\| .
Отже,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
IСНУВАННЯ ВIДОКРЕМЛЕНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ ДЛЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНО . . . 439
\alpha 1\| u\| 2 \leq \~\sigma (C\| u\| )\| u\| 2.
Оскiльки u \not = 0, то
\~\sigma (C\| u\| ) \geq \alpha 1,
звiдки випливає перша з нерiвностей (6) з \varepsilon
1
2
0 = C - 1 \cdot \~\sigma (\alpha 1).
Лему 5 доведено.
4. Основний результат. Для одержання основного результату цiєї статтi нам знадобиться
наступна теорема (див. [4], теорема 2), в якiй встановлено iснування перiодичних бiжучих
хвиль.
Теорема 1. Нехай виконуються умови (i) – (iii). Тодi для будь-яких k \geq 1 i c > c0 рiвнян-
ня (2) має 2k-перiодичний розв’язок. Тим самим iснують двi перiодичнi бiжучi хвилi з профiлем
u i швидкостями \pm c. Бiльш того, iснують такi сталi \varepsilon 0 > 0 i C > 0, якi не залежать вiд k,
що
\varepsilon 0 \leq \| u\| 2k \leq C, \varepsilon 0 \leq Jk(u) \leq C. (8)
Для одержання цього результату на гiльбертовому просторi Ek =
\bigl\{
u \in H1
loc(\BbbR ) : u(s+2k) =
= u(s)
\bigr\}
зi скалярним добутком
(u, v) =
k\int
- k
(u(s)v(s) + u\prime (s)v\prime (s))ds
i вiдповiдною нормою \| u\| k = (u, u)
1
2 було розглянуто функцiонал
Jk(u) :=
k\int
- k
\biggl\{
c2
2
| u\prime (s)| 2 - U(Au(s)) - U(Bu(s)) - V (u(s))
\biggr\}
ds,
критичнi точки якого є шуканими перiодичними розв’язками. Цей функцiонал задовольняє всi
умови теореми про гiрський перевал (див. [15, 16]), яка встановлює iснування його критичних
точок.
Доведемо тепер iснування вiдокремлених бiжучих хвиль з тими ж припущеннями, з якими
встановлено iснування перiодичних хвиль (теорема 1). Бiжучi хвилi в даному випадку знахо-
дяться як критичнi точки функцiонала J. Функцiонал J задовольняє частину умов теореми
про гiрський перевал. Однак умова Пале – Смейла для цього функцiонала не виконується. Тому
критичнi точки в даному випадку будуються iншим способом — за допомогою переходу до
границi в критичних точках функцiонала Jk.
Для доведення основного результату цiєї статтi знадобляться деякi попереднi результати.
Перший з них є вiдомим (див. [13]).
Лема 6. Нехай \nu n — обмежена послiдовнiсть в E. Тодi якщо для деякого r > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
y+r\int
y - r
| \nu n(s)| 2ds \rightarrow 0, (9)
то \nu n \rightarrow 0 в Lp(\BbbR ) для будь-якого p > 2.
Далi знадобиться наступна модифiкацiя цього результату.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
440 С. М. БАК
Лема 7. Нехай un \in Ekn , де kn \rightarrow \infty i \| un\| kn є обмеженою. Тодi якщо для деякого r > 0
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
y+r\int
y - r
| un(s)| 2ds \rightarrow 0, (10)
то \| un\| Lp
( - kn,kn)
\rightarrow 0 для будь-якого p > 2.
Доведення. Це твердження зводиться до попереднього таким чином. Позначимо через \chi
таку неперервну функцiю на \BbbR , що \chi n(s) = 1 при | s| \leq kn, \chi n(s) = 0 при | s| \geq kn +1 i \chi n(s)
є лiнiйною на вiдрiзках [ - kn - 1, - kn] i [kn, kn +1]. Очевидно, функцiя \chi є диференцiйовною
скрiзь, крiм точок s = \pm kn, \pm (kn + 1), i | \chi \prime
n(s)| \leq 1.
Покладемо \nu n(s) = \chi n(s)un(s). Тодi \nu n належить E i маємо носiй на вiдрiзку [ - kn -
- 1, kn + 1]. Крiм того,
\| \nu n\| 2L2(\BbbR ) =
+\infty \int
- \infty
| \chi n(s)un(s)| 2ds \leq
kn+1\int
- kn - 1
| un(s)| 2ds \leq
2kn\int
- 2kn
| un(s)| 2ds \leq 2\| un\| 2L2( - 2kn,2kn)
.
Далi, згiдно з формулою Лейбнiца
\| \nu \prime n\| 2L2(\BbbR ) = \| \chi nu
\prime
n + \chi \prime
nun\| L2(\BbbR ) \leq \| \chi nu
\prime
n\| L2(\BbbR ) + \| \chi \prime
nun\| L2(\BbbR ) \leq
\leq
\left\{
kn+1\int
- kn - 1
| u\prime n(s)| 2ds
\right\}
1
2
+
\left\{
kn+1\int
- kn - 1
| un(s)| 2ds
\right\}
1
2
\leq
\leq
\left\{
2kn\int
- 2kn
| u\prime n(s)| 2ds
\right\}
1
2
+
\left\{
2kn\int
- 2kn
| un(s)| 2ds
\right\}
1
2
=
=
\surd
2
\bigl\{
\| u\prime n\| L2( - 2kn,2kn) + \| un\| L2( - 2kn,2kn)
\bigr\}
.
Звiдси випливає, що послiдовнiсть
\| \nu n\| 2 = \| \nu n\| 2L2(\BbbR ) + \| \nu \prime n\| 2L2(\BbbR )
є обмеженою.
Очевидно також, що iз спiввiдношення (10) для un випливає спiввiдношення (9) для \nu n.
Таким чином, згiдно з лемою 6 \| \nu n\| Lp(\BbbR ) \rightarrow 0. Однак
\| \nu n\| pLp(\BbbR ) =
kn+1\int
- kn - 1
| \chi n(s)un(s)| pds \geq
kn\int
- kn
| un(s)| pds = \| un\| p( - kn,kn)
,
i лему доведено.
Основним результатом цiєї статтi є така теорема.
Теорема 2. Нехай виконуються умови (i) – (iii). Тодi для будь-якого c > c0 рiвняння (2) має
розв’язок u \in E. Тим самим iснують двi вiдокремленi бiжучi хвилi з профiлем u i швидкостя-
ми \pm c.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
IСНУВАННЯ ВIДОКРЕМЛЕНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ ДЛЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНО . . . 441
Доведення. Виберемо довiльну послiдовнiсть kn \rightarrow \infty i позначимо через un \in Ekn 2k-
перiодичний розв’язок рiвняння (2), побудований в теоремi 1 при k = kn.
Переходячи до пiдпослiдовностi, можна вважати, що iснують такi \delta , r > 0 i послiдовнiсть
yn \in \BbbR , що
yn+r\int
yn - r
| un(s)| 2ds \geq \delta . (11)
Дiйсно, нехай це не так. Тодi для будь-якого r > 0
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
y\in \BbbR
y+r\int
y - r
| un(s)| 2ds = 0.
Крiм того, згiдно з нерiвностями (8), послiдовнiсть \| un\| kn є обмеженою. Звiдси, згiдно з
лемою 7, випливає, що
\| un\| Lp( - kn,kn) \rightarrow 0. (12)
Далi, J \prime
k(un) = 0 i, отже, \langle J \prime
k(un), un\rangle = 0, тобто
kn\int
- kn
\bigl\{
c2| u\prime n(s)| 2 - c20| Aun(s)| - c20| Bun(s)| + a2| un(s)|
\bigr\}
ds =
=
kn\int
- kn
\bigl\{
f \prime (Aun(s))Aun(s) + f \prime (Bun(s))Bun(s) + g\prime (un(s))un(s)
\bigr\}
ds.
Звiдси
\alpha 1\| un\| 2kn \leq
kn\int
- kn
\bigl\{
f \prime (Aun(s))Aun(s) + f \prime (Bun(s))Bun(s) + g\prime (un(s))un(s)
\bigr\}
ds. (13)
За теоремою вкладення функцiї un(s) неперервнi i рiвномiрно по n обмеженi, тобто iснує
таке R > 0, що | un(s)| \leq R. Зафiксуємо довiльне p > 2. Згiдно з умовою (iii), для будь-якого
\varepsilon > 0 iснує таке C = C\varepsilon , що при | r| \leq R
| h\prime (r)| \leq \varepsilon | r| + C| r| p - 1, h \in \{ f, g\} .
Тодi з нерiвностi (13) маємо
\alpha 1\| un\| 2kn \leq \varepsilon
kn\int
- kn
| un(s)| 2ds+ C
kn\int
- kn
| un(s)| pds =
= \varepsilon \| un\| 2L2( - kn,kn)
+ C\| un\| pLp( - kn,kn)
\leq \varepsilon \| un\| 2kn + C\| un\| pLp( - kn,kn)
.
Вибираючи тут \varepsilon =
\alpha 1
2
, отримуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
442 С. М. БАК
\alpha 1
2
\| un\| 2kn \leq C\| un\| pLp( - kn,kn)
.
Тодi, згiдно з (12), \| un\| kn \rightarrow 0, що суперечить першiй нерiвностi у (8). Таким чином, нерiв-
нiсть (11) доведено.
Рiвняння (2) iнварiантне вiдносно зсувiв. Тому якщо u(s) — його розв’язок, то u(s + y) —
також розв’язок для будь-якого y \in \BbbR . Отже, замiнюючи un(s) на un(s + y), можна вважати,
що (11) виконується з yn = 0.
Оскiльки \| un\| kn обмежена, то, переходячи до пiдпослiдовностi, можна вважати, що un \rightarrow u
слабко в H1
loc(\BbbR ), тобто слабко в H1(a, b) для будь-якого скiнченного iнтервалу (a, b). Згiдно
з теоремою вкладення, un \rightarrow u рiвномiрно на будь-якому скiнченному iнтервалi. Тому в нерiв-
ностi (11) (з yn = 0) можна перейти до границi та отримати
r\int
- r
| u(s)| 2ds \geq \delta .
Це означає, що u \not = 0.
Покажемо, що u належить E. Виберемо довiльно b > 0. Тодi при достатньо великих n
маємо
b\int
- b
\bigl\{
| u\prime n(s)| 2 + | un(s)| 2
\bigr\}
ds \leq
kn\int
- kn
\bigl\{
| u\prime n(s)| 2 + | un(s)| 2
\bigr\}
ds \leq C
внаслiдок обмеженостi \| un\| kn . Оскiльки un \rightarrow u слабко в H1( - b, b), то
b\int
- b
\bigl\{
| u\prime (s)| 2 + | u(s)| 2
\bigr\}
ds \leq \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}
b\int
- b
\bigl\{
| u\prime n(s)| 2 + | un(s)| 2
\bigr\}
ds \leq C.
Далi, оскiльки b є довiльним, то звiдси випливає, що
\| u\| 2 =
\infty \int
- \infty
\bigl\{
| u\prime (s)| 2 + | u(s)| 2
\bigr\}
ds \leq C < \infty ,
тобто u належить E.
Залишилося перевiрити, що u — розв’язок рiвняння (2). Нехай \phi (s) — довiльна нескiнченно
диференцiйовна функцiя з компактним носiєм supp\phi (s) \subset [ - b, b]. При достатньо великому n
iнтервал ( - kn + 1, kn - 1) мiстить [ - b, b] i, отже, коректно визначено функцiю \phi n \in Ekn , яка
збiгається з \phi на ( - kn, kn). Оскiльки un — критична точка функцiонала Jk, то
0 = \langle J \prime
k(un), \phi n\rangle =
=
kn\int
- kn
\bigl\{
c2u\prime n(s)\phi
\prime
n(s) - c20Aun(s)A\phi n(s) - c20Bun(s)B\phi n(s) + a2un(s)\phi n(s)
\bigr\}
ds -
-
kn\int
- kn
\bigl\{
f \prime (Aun(s))A\phi n(s) + f \prime (Bun(s))B\phi n(s) + g\prime (un(s))\phi n(s)
\bigr\}
ds =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
IСНУВАННЯ ВIДОКРЕМЛЕНИХ БIЖУЧИХ ХВИЛЬ ДЛЯ СИСТЕМИ НЕЛIНIЙНО . . . 443
=
b\int
- b
\bigl\{
c2u\prime n(s)\phi
\prime (s) - c20Aun(s)A\phi (s) - c20Bun(s)B\phi (s) + a2un(s)\phi (s)
\bigr\}
ds -
-
b\int
- b
\bigl\{
f \prime (Aun(s))A\phi (s) + f \prime (Bun(s))B\phi (s) + g\prime (un(s))\phi (s)
\bigr\}
ds.
У першому iнтегралi правої частини цiєї рiвностi можна перейти до границi при n \rightarrow \infty ,
оскiльки un \rightarrow u слабко в H1( - b, b). Згiдно з теоремою вкладення, un \rightarrow u рiвномiрно на
[ - b, b]. Тому i в другому iнтегралi можна перейти до границi. Отже,
0 =
b\int
- b
\bigl\{
c2u\prime (s)\phi \prime (s) - c20Au(s)A\phi (s) - c20Bu(s)B\phi (s) + a2u(s)\phi (s)
\bigr\}
ds -
-
b\int
- b
\bigl\{
f \prime (Au(s))A\phi (s) + f \prime (Bu(s))B\phi (s) + g\prime (u(s))\phi (s)
\bigr\}
ds =
=
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
c2u\prime (s)\phi \prime (s) - c20Au(s)A\phi (s) - c20Bu(s)B\phi (s) + a2u(s)\phi (s)
\bigr\}
ds -
-
+\infty \int
- \infty
\bigl\{
f \prime (Au(s))A\phi (s) + f \prime (Bu(s))B\phi (s) + g\prime (u(s))\phi (s)
\bigr\}
ds = \langle J \prime (u), \phi \rangle .
Оскiльки \phi — довiльна нескiнченно диференцiйовна функцiя з компактним носiєм i мно-
жина таких функцiй є щiльною в E, то J \prime (u) = 0. Це означає, що u — критична точка
функцiонала J i, отже, є розв’язком задачi, що розглядається.
Теорему 2 доведено.
Лiтература
1. Бак С. М. Бiжучi хвилi в ланцюгах осциляторiв // Мат. студ. – 2006. – 26, № 2. – С. 140 – 153.
2. Бак С. Н., Панков А. А. Бегущие волны в системах осцилляторов на двумерных решетках // Укр. мат. вiсн. –
2010. – 7, № 2. – С. 154 – 175.
3. Бак С. М. Iснування дозвукових перiодичних бiжучих хвиль в системi нелiнiйно зв’язаних нелiнiйних осциля-
торiв на двовимiрнiй ґратцi // Мат. та комп’ютер. моделювання. Сер. Фiз.-мат. науки: зб. наук. праць. – 2014. –
Вип. 10. – С. 17 – 23.
4. Бак С. М. Iснування надзвукових перiодичних бiжучих хвиль в системi нелiнiйно зв’язаних нелiнiйних
осциляторiв на двовимiрнiй ґратцi // Мат. та комп’ютер. моделювання. Сер. Фiз.-мат. науки: зб. наук. праць. –
2015. – Вип. 12. – С. 5 – 12.
5. Бак С. М. Iснування перiодичних бiжучих хвиль в системi нелiнiйних осциляторiв на двовимiрнiй ґратцi //
Мат. студ. – 2011. – 35, № 1. – С. 60 – 65.
6. Бак С. М. Iснування перiодичних бiжучих хвиль в системi Фермi – Пасти – Улама на двовимiрнiй ґратцi // Мат.
студ. – 2012. – 37, № 1. – С. 76 – 88.
7. Бак С. М. Перiодичнi бiжучi хвилi в дискретному рiвняннi sin-Ґордона на двовимiрнiй ґратцi // Мат. та
комп’ютер. моделювання. Сер. Фiз.-мат. науки: зб. наук. праць. – 2013. – Вип. 9. – С. 5 – 10.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
444 С. М. БАК
8. Bak S. M. Peridoc traveling waves in chains of oscillators // Communs Math. Anal. – 2007. – 3, № 1. – P. 19 – 26.
9. Gallavotti G. The Fermi – Pasta – Ulam problem. A status report // Lect. Notes Phys. – Berlin: Springer, 2008. –
302 p.
10. Feckan M., Rothos V. Traveling waves in Hamiltonian systems on 2D lattices with nearest neighbour interactions //
Nonlinearity. – 2007. – 20. – P. 319 – 341.
11. Friesecke G., Matthies K. Geometric solitary waves in a 2D math-spring lattice // Discrete and Contin. Dynam.
Systems. – 2003. – 3, № 1. – P. 105 – 114.
12. Ioos G., Kirchgässner K. Traveling waves in a chain of coupled nonlinear oscillators // Communs Math. Phys. –
2000. – 211. – P. 439 – 464.
13. Lions P. L. The concentration-compactness principle in the calculus of variation. The locally compact case, part 2 //
Ann. Inst. H. Poincaré, Anal. Non Lineaire. – 1984. – 1, № 4. – P. 223 – 283.
14. Makita P. D. Periodic and homoclinic travelling waves in infinite lattices // Nonlinear Anal. – 2011. – 74. – P. 2071 –
2086.
15. Pankov A. Traveling waves and periodic oscillations in Fermi – Pasta – Ulam lattices. – London; Singapore: Imperial
College Press, 2005. – 196 p.
16. Willem M. Minimax theorems. – Boston: Birkhäuser, 1996. – 162 p.
Одержано 12.05.15,
пiсля доопрацювання — 05.03.17
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1707 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:05Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/13/5fcc3b229aefb371b9e5de570d2cf713.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17072019-12-05T09:24:35Z Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators on the 2d -lattice Існування відокремлених біжучих хвиль для системи нелінійно зв’язаних осциляторів на двовимірній ґратці Bak, S. N. Бак, С. Н. We consider a system of differential equations that describes the dynamics of an infinite system of nonlinearly coupled nonlinear oscillators on the 2d-lattice. By the method of critical points, we obtain a result on existence of the solitary traveling waves. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику бесконечной системы нелинейно связанных нелинейных осцилляторов на двумерной решетке. С помощью метода критических точек получен результат о существовании уединенных бегущих волн. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1707 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 435-444 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 435-444 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1707/689 Copyright (c) 2017 Bak S. N. |
| spellingShingle | Bak, S. N. Бак, С. Н. Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators on the 2d -lattice |
| title | Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| title_alt | Існування відокремлених біжучих хвиль для системи нелінійно зв’язаних осциляторів на двовимірній ґратці |
| title_full | Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| title_fullStr | Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| title_full_unstemmed | Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| title_short | Existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| title_sort | existence of the solitary traveling waves for a system of nonlinearly coupled oscillators
on the 2d -lattice |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1707 |
| work_keys_str_mv | AT baksn existenceofthesolitarytravelingwavesforasystemofnonlinearlycoupledoscillatorsonthe2dlattice AT baksn existenceofthesolitarytravelingwavesforasystemofnonlinearlycoupledoscillatorsonthe2dlattice AT baksn ísnuvannâvídokremlenihbížučihhvilʹdlâsisteminelíníjnozvâzanihoscilâtorívnadvovimírníjgratcí AT baksn ísnuvannâvídokremlenihbížučihhvilʹdlâsisteminelíníjnozvâzanihoscilâtorívnadvovimírníjgratcí |