On the relationship between the multiplicities of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs
It is shown that some results concerning the multiplicities of eigenvalues of the spectral problem that describes small transverse vibrations of a star graph of Stieltjes strings and the multiplicities of the eigenvalues of tree-patterned matrices can be used for the description of possible multipli...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1708 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507552124502016 |
|---|---|
| author | Boyko, O. P. Martinyuk, O. M. Pivovarchik, V. N. Бойко, О. П. Мартинюк, О. М. Пивоварчик, В. Н. |
| author_facet | Boyko, O. P. Martinyuk, O. M. Pivovarchik, V. N. Бойко, О. П. Мартинюк, О. М. Пивоварчик, В. Н. |
| author_sort | Boyko, O. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | It is shown that some results concerning the multiplicities of eigenvalues of the spectral problem that describes small
transverse vibrations of a star graph of Stieltjes strings and the multiplicities of the eigenvalues of tree-patterned matrices
can be used for the description of possible multiplicities of normal eigenvalues (bound states) of the Sturm – Liouville
operator on a star graph. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5+517.43
О. П. Бойко, О. М. Мартинюк, В. М. Пивоварчик
(Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського, Одеса)
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ
У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ ТА НЕСКIНЧЕННОВИМIРНИХ ЗАДАЧАХ
НА ГРАФАХ
It is shown that some results concerning the multiplicities of eigenvalues of the spectral problem that describes small
transverse vibrations of a star graph of Stieltjes strings and the multiplicities of the eigenvalues of tree-patterned matrices
can be used for the description of possible multiplicities of normal eigenvalues (bound states) of the Sturm – Liouville
operator on a star graph.
Показано, что некоторые результаты относительно кратностей собственных значений спектральной задачи, которая
описывает малые поперечные колебания звездного графа из стильтьесовских струн, и кратностей собственных
значений деревоподобных матриц могут быть использованы для описания возможных кратностей нормальных
собственных значений (связанных состояний) оператора Штурма – Лиувилля на звездном графе.
1. Вступ. Скiнченновимiрнi спектральнi задачi виникають у багатьох областях фiзики, таких
як коливання струн, синтез електричних ланцюгiв i т. п. Огляд на цю тему можна знайти,
наприклад, у [3] (див. також [1, 4, 9, 10, 13, 15, 20, 29, 30]). Скiнченновимiрнi прямi та оберненi
задачi на графах, або, бiльш конкретно, на деревах, або, зокрема, на зiркових графах було
розглянуто в [2, 17, 23 – 25].
Необхiдну i достатню умову для двох (скiнченних) послiдовностей того, щоб вони були
спектрами задач Дiрiхле та Неймана, якi породженi рiвняннями малих поперечних коливань
стiльтьєсiвської струни (еластичної нитки, що несе на собi точковi маси), було наведено у [7].
Це умова строгого чергування цих послiдовностей. Останнє, зокрема, означає, що для будь-
якої послiдовностi рiзних додатних чисел iснує струна Стiльтьєса, для якої ця послiдовнiсть є
послiдовнiстю власних значень спектральної задачi Неймана. Проте у випадку спектральних
задач на графах ситуацiя є набагато складнiшою.
Для зiркового графа iз стiльтьєсiвських струн природно розглядати задачу (ми називаємо її
задачею Неймана), в якiй висячi вершини закрiпленi, тодi як у центральнiй вершинi накладено
умови неперервностi i балансу сил. Водночас розглядається задача Дiрiхле, в якiй центральна
вершина є фiксованою. У [25] наведено повний опис вiдповiдних прямих i обернених задач
для випадку, коли числа точкових мас на ребрах не є заданими. Цiкавою особливiстю власних
значень задачi Неймана є те, що з двох сусiдних власних значень одне має бути простим.
У [24] було вивчено задачу, в якiй крiм числа ребер i довжин усiх ребер задано кiлькос-
тi мас на кожному ребрi. Останнє призводить до обмеження на можливi кратностi власних
значень при розв’язаннi обернених задач. У [24] необхiднi (див. нижче теорему 2) i достатнi
умови було знайдено для (скiнченної) послiдовностi \{ \pm \lambda k\} з урахуванням кратностей, щоб
бути спектром задачi Неймана на зiрковому графi. Формулювання необхiдних i достатнiх умов
потребує поняття мажоруючого вектора (див., наприклад, [16]).
Результати, викладенi у [24], узагальнюють результати для деревоподiбних матриць, зокрема
теорему 9 [12] (див. також [5, 21]).
c\bigcirc О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК, 2017
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4 445
446 О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК
Слiд зазначити, що спектральна теорiя зiркового графа з довiльних струн зберiгає багато
алгебраїчних властивостей теорiї для зiркового графа зi стiльтьєсiвських струн (див. [6, 26]).
У пунктi 2 наведено деякi результати з [24] для скiнченновимiрних спектральних задач. Ви-
являється, що цi результати можна використовувати при розглядi нескiнченновимiрних задач,
якi зустрiчаються в теорiї квантових графiв. У пунктi 3 сформульовано цi результати з пункту 2
в такiй формi, що вони можуть бути використанi у квантовiй теорiї графiв. У пунктi 4 пере-
формульованi результати застосовано для встановлення верхнiх границь на можливi кратностi
власних значень спектральних задач, породжених рiвнянням Штурма – Лiувiлля на зiрковому
графi з ребрами скiнченної довжини i на зiрковому графi з ребрами нескiнченної довжини.
2. Кратнiсть власних значень у скiнченновимiрному випадку. В цьому i наступному
пунктах ми розглянемо плоский зiрковий граф, що складається з g стiльтьєсiвських струн,
g \in \BbbN , g \geq 2, з’єднаних у центральнiй вершинi (цю вершину назвемо коренем), всi висячi
вершини якого закрiпленi. За означенням Гантмахера i Крейна (див. [7]) стiльтьєсiвська струна
є ниткою (тобто пружною струною нульової щiльностi), що несе на собi скiнченне число
точкових мас.
Далi будемо позначати ребра зiркового графа j = 1, 2, . . . , g так, що j -те ребро мiстить
nj > 0 точкових мас m
(j)
k мiж своїми кiнцями (k = 1, 2, . . . , nj ) та n1 \geq n2 \geq . . . \geq ng.
Вважаємо, що маси в центральнiй вершинi немає. Маси m
(j)
k подiляють j -те ребро на nj + 1
iнтервал довжин l(j)k , k = 0, 1, . . . , nj , де ми нумеруємо маси та iнтервали мiж ними у напрямку
вiд висячої вершини до центра. Довжину j -го ребра позначимо як lj :=
\sum nj
k=0
l
(j)
k . Загальну
кiлькiсть мас на зiрковому графi позначимо через n :=
\sum g
j=1
nj .
Ми припускаємо, що ця сiтка розтягнена, i вивчаємо малi поперечнi коливання v(j)k (t) мас
m
(j)
k у двох рiзних випадках:
1) центральна вершина може вiльно рухатися у напрямку, перпендикулярному до рiвноваж-
ного стану сiтки (задача Неймана),
2) центральна вершина закрiплена (задача Дiрiхле).
Згiдно з [7] (роздiл III.1) (див. також [25], роздiл 2), подiл змiнних v(j)k (t) = u
(j)
k ei\lambda t приводить
до рiзницевих рiвнянь для амплiтуд u
(j)
k , k = 0, 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , g, задач Дiрiхле та
Неймана.
Задача Неймана. Якщо центральна вершина може вiльно рухатися, то отримуємо
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj , j = 1, 2, . . . , g, (1)
u
(1)
n1+1 = u
(2)
n2+1 = . . . = u
(g)
ng+1, (2)
g\sum
j=1
u
(j)
nj+1 - u
(j)
nj
l
(j)
nj
= 0, (3)
u
(j)
0 = 0, j = 1, 2, . . . , g. (4)
Задача Дiрiхле. Якщо всi струни закрiпленi в центральнiй вершинi, задача розпадається
на q окремих задач на ребрах з умовами Дiрiхле на обох кiнцях:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ . . . 447
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj , (5)
u
(j)
nj+1 = 0, (6)
u
(j)
0 = 0 (7)
для всiх j = 1, 2, . . . , g.
Далi будемо використовувати наступнi позначення для власних значень спектральних задач
Неймана та Дiрiхле i їх кратностей.
Позначимо через \{ \lambda \pm k\} nk=1 (\lambda - k = - \lambda k, \lambda k \geq \lambda k\prime > 0 для k > k\prime > 0) власнi значення
задачi Неймана (1) – (4) на зiрковому графi, через \{ \zeta \pm k\} nk=1 =
g\bigcup
j=1
\bigl\{
\nu
(j)
\pm \kappa
\bigr\} nj
\kappa =1
(\zeta - k = - \zeta k, \zeta k \geq
\geq \zeta k\prime > 0 для k > k\prime > 0) власнi значення задачi Дiрiхле на зiрковому графi, де \{ \nu (j)\pm \kappa \}
nj
\kappa =1,
\nu
(j)
- \kappa = - \nu (j)\kappa , \nu
(j)
\kappa > \nu
(j)
\kappa \prime > 0 для \kappa > \kappa \prime > 0, — власнi значення задачi Дiрiхле (5) – (7) на j -му
ребрi для j = 1, 2, . . . , q, \{ \~\lambda \pm k\} rNk=1,
\~\lambda - k = - \~\lambda k, \~\lambda k > \~\lambda k\prime > 0 для k > k\prime > 0, — множина
рiзних власних значень Неймана, \{ \~\zeta \pm k\} rDk=1,
\~\zeta - k = - \~\zeta k, \~\zeta k > \~\zeta k\prime > 0 для k > k\prime > 0, —
множина рiзних власних значень Дiрiхле, (pk(N))rNk=1 i (pk(D))rDk=1 — вектори кратностi рiзних
додатних власних значень \~\lambda k i \~\zeta k для k > 0 задач Неймана i Дiрiхле.
Зауваження 1. Число rD рiзних додатних власних значень задачi Дiрiхле задовольняє
умову rD \geq n1, оскiльки n1 — максимальне число мас на однiй струнi, позначенiй як перша,
та \nu (1)1 < \nu
(1)
2 < . . . < \nu
(1)
n1 .
Зазначимо, що оскiльки рiвняння в задачах Неймана i Дiрiхле залежать лише вiд \lambda 2, власнi
значення задач Неймана i Дiрiхле лежать симетрично вiдносно початку координат та кратностi
\~\lambda - k = - \~\lambda k та \~\lambda k, а також \~\zeta - k = - \~\zeta k та \~\zeta k збiгаються. Бiльш того, згiдно з теоремою 2.5 [25],
0 не є власним значенням анi задачi Дiрiхле, анi задачi Неймана.
Теорема 1 (теорема 2.5 [25]). Власнi значення \{ \lambda k\} nk= - n, k \not =0, \lambda - k = - \lambda k, задачi Неймана
i власнi значення \{ \zeta k\} nk= - n, k \not =0, \zeta - k = - \zeta k, задачi Дiрiхле мають такi властивостi:
1) 0 < \lambda 1 < \zeta 1 \leq . . . \leq \lambda n \leq \zeta n;
2) \zeta k - 1 = \lambda k тодi i тiльки тодi, коли \lambda k = \zeta k, k = 2, 3, . . . , n;
3) кратнiсть \lambda k не перевищує g - 1.
Щоб описати необхiднi умови на кратностi власних значень задач Неймана i Дiрiхле, нам
потрiбне поняття мажоризацiї, яке було запропоноване у [19] для випадку цiлих чисел i уза-
гальнене на невiд’ємнi числа в [11] (2.18).
Означення 1. Нехай x = (xi)
s
i=1 та y = (yi)
t
i=1 — два вектори з невiд’ємними елемента-
ми, упорядкованими за спаданням, xs \geq xs - 1 \geq . . . \geq x1 \geq 0, yt \geq yt - 1 \geq . . . \geq y1 \geq 0. Якщо
s = t, то x називається мажорантою y, коли
x \succ y :\Leftarrow \Rightarrow
t\sum
i=1
xi =
t\sum
i=1
yi,
\tau \sum
i=1
xi \geq
\tau \sum
i=1
yi, \tau = 1, 2, . . . , t - 1.
Якщо s \not = t, ми доповнюємо короткий вектор нулями i покладаємо \~x = (xi)
max\{ s,t\}
i=1 та
\~y = (yi)
max\{ s,t\}
i=1 з xi = 0 для i = s+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} , yi = 0 для i = t+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} . Тодi
x називається мажорантою y, x \succ y, якщо \~x мажорує \~y, \~x \succ \~y.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
448 О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК
У теоремах 4 та 5 (див. нижче) нам потрiбне трохи змiнене поняття мажоризацiї.
Означення 2. Нехай x = (xi)
s
i=1 i y = (yi)
t
i=1 — два вектори з невiд’ємними елементами,
упорядкованими за спаданням, xs \geq xs - 1 \geq . . . \geq x1 \geq 0, yt \geq yt - 1 \geq . . . \geq y1 \geq 0. Якщо
s = t, то x назвемо тильда-мажорантою y, коли
x\~\succ y :\Leftarrow \Rightarrow
\tau \sum
i=1
xi \geq
\tau \sum
i=1
yi, \tau = 1, 2, . . . , t.
Якщо s \not = t, ми доповнюємо короткий вектор нулями i множини \~x = (xi)
max\{ s,t\}
i=1 i \~y =
= (yi)
max\{ s,t\}
i=1 з xi = 0 для i = s+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} , yi = 0 для i = t+ 1, . . . ,\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{ s, t\} . Тодi x
називають тильда-мажорантою y, x \~\succ y, якщо \~x мажорує \~y, \~x \~\succ \~y.
Зауваження 2 (див. зауваження 2.4 [24]). Якщо вектор x = (xi)
s
i=1 мажорує (yi)
t
i=1, то
кiлькiсть ненульових елементiв x менша або дорiвнює числу ненульових елементiв y,
x \succ y \Rightarrow \#
\bigl\{
i \in \{ 1, . . . , s\} : xi > 0
\bigr\}
\leq \#
\bigl\{
i \in \{ 1, . . . , t\} : yi > 0
\bigr\}
.
Для вектора x = (xi)
s
i=1 \in Rs позначимо через x\downarrow = (x\downarrow i )
s
i=1 \in Rs вектор з тими ж самими
елементами, але впорядкованими за спаданням, тобто iснує перестановка \pi в \{ 1, 2, . . . , s\} така,
що
x\downarrow i = x\pi (i), i = 1, 2, . . . , s, x\downarrow 1 \geq x\downarrow 2 \geq . . . \geq x\downarrow s.
Сформулюємо елементарну лему про iнверсiю незростаючої функцiї \{ 1, 2, . . . , q\} \rightarrow N,
j \mapsto \rightarrow nj , яку будемо використовувати у цiй статтi.
Лема 1 (лема 2.6 [24]). Нехай q \in \BbbN , g \geq 2, (nj)
g
j=1 \subset \BbbN з n1 \geq n2 \geq . . . \geq nq i множина
n :=
\sum g
j=1
nj , ng+1 := 0. Для i = 1, 2, . . . , n1 позначимо
Ni := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj \geq i
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj \geq i
\bigr\}
.
Тодi N1 \geq N2 \geq . . . \geq Nn1 i
i)
\sum n1
i=1
Ni = n;
ii) Ni > 1, i = 1, 2, . . . , n2, Ni = 1, i = n2 + 1, n2+2, . . . , n1;
iii) \#\{ i \in \{ 1, 2, . . . , n1\} : Ni = j\} = nj - nj+1, j = 1, 2, . . . , q;
iv) nj = \#
\bigl\{
i \in \{ 1, 2, . . . , n1\} : Ni \geq j
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
i \in \{ 1, 2, . . . , n1\} : Ni \geq j
\bigr\}
, j =
= 1, 2, . . . , g.
Ми також будемо використовувати наступну теорему.
Теорема 2 (теорема 2.7 [24]). Нехай \Lambda N — множина всiх власних значень \lambda \pm k задачi Ней-
мана, \lambda k > 0, \lambda - k = - \lambda k, k > 0, серед яких можуть бути такi, що збiгаються мiж собою.
Позначимо через r число рiзних додатних власних значень \~\lambda k задачi Неймана, через (pi)
rN
i=1
вектор їх кратностей, а через p\downarrow = (p\downarrow i )
rN
i=1 вiдповiдний впорядкований за спаданням вектор
кратностей. Тодi:
1) 0 < \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n - 2 \leq \lambda 2n - 1 \leq \lambda 2n;
2) якщо pi > 1, то pi - 1 = pi+1 = 1, i = 2, . . . , r - 1, а якщо pr > 1, то pr - 1 = 1;
3)
\sum r
i=1
pi = n;
4) rN \geq n1 + n2;
5) \{ N1 - 1, N2 - 1, . . . , Nn1 - 1\} \succ
\bigl\{
p\downarrow 1(N), p\downarrow 2(N), . . . , p\downarrow rN - n1
(N)
\bigr\}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ . . . 449
3. Кратнiсть i розташування власних значень нижче фiксованого значення парамет-
ра \bfitlambda 2 . Результати попереднього пункту можна iнтерпретувати таким чином.
По-перше, зауважимо, що за теоремою 1 \lambda m є власним значенням задачi Неймана кратностi
pm \geq 2 тодi i тiльки тодi, коли \lambda m є власним значенням задачi Дiрiхле кратностi pm + 1. Це
означає, що iснує рiвно pm+1 серед q ребер, для яких \lambda m є власним значенням задачi Дiрiхле –
Дiрiхле на нiй:
u
(j)
k - u
(j)
k+1
l
(j)
k
+
u
(j)
k - u
(j)
k - 1
l
(j)
k - 1
- m
(j)
k \lambda 2u
(j)
k = 0, k = 1, 2, . . . , nj ,
u
(j)
nj+1 = 0,
u
(j)
0 = 0.
Припустимо, що ми знайшли всi власнi значення \{ \nu (j)k \} nj
k= - nj ,k \not =0 задачi Дiрiхле – Дiрiхле
на кожному ребрi (j = 1, 2, . . . , q). Виберемо додатне число E i позначимо через nj(E) число,
для якого \nu (j)nj(E) \leq
\surd
E < \nu
(j)
nj(E)+1. Тодi nj(\infty ) = nj , i ми позначаємо
n(E) :=
q\sum
j=1
nj(E). (8)
Як видно з доведення теореми 2.7 [24], цю теорему можна переформулювати в термiнах nj(E).
З цiєю метою введемо
Ni(E) := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj(E) \geq i
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj(E) \geq i
\bigr\}
. (9)
Тодi N1(E) \geq N2(E) \geq . . . \geq Nn1(E).
Таким чином, справедливою є наступна теорема.
Теорема 3. Нехай \Lambda N — множина всiх власних значень \lambda \pm k задачi Неймана, \lambda k > 0,
\lambda - k = - \lambda k, k > 0. Позначимо через r(E) число рiзних додатних власних значень \~\lambda k задачi
Неймана таких, що \~\lambda k \leq
\surd
E, через (pi)
r(E)
i=1 вектор їх кратностей i через p\downarrow (E) = (p\downarrow i )
r(E)
i=1
вiдповiдний вектор їх кратностей у порядку спадання. Тодi:
1) 0 < \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n(E) - 2 \leq \lambda 2n(E) - 1 \leq \lambda 2n(E) \leq E
або
1\prime ) 0 < \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n(E) - 1 \leq \lambda 2n(E) \leq \lambda 2n(E)+1 \leq E;
2) якщо pi > 1, то pi - 1 = pi+1 = 1, i = 2, . . . , rN (E) - 1, а якщо prN (E) > 1, то
prN (E) - 1 = 1;
3)
\sum rN (E)
i=1
pi = n(E) або
\sum rN (E)
i=1
pi = n(E) + 1;
4) \{ N1(E) - 1, N2(E) - 1, . . . , Nn1(E)(E) - 1\} \succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
rN (E) - n1(E)
\bigr\}
або
4\prime ) \{ N1(E) - 1, N2(E) - 1, . . . , Nn1(E)(E) - 1\} \succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
rN (E) - n1(E) - 1
\bigr\}
.
Доведення. Твердження 1 i 1\prime випливають iз твердження 1 теореми 2 та означення (8).
Твердження 2 та 3 випливають iз тверджень 2 та 3 теореми 2. Твердження 4 i 4\prime випливають iз
твердження 5 теореми 2.
Таким чином, у цiй формi теорема 3 є суто алгебраїчною, не залежить вiд початкового
фiзичного сенсу i, отже, може бути використана при розглядi нескiнченновимiрних задач.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
450 О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК
4. Застосування до задач Штурма – Лiувiлля на зiрковому графi. 4.1. Задача Штурма –
Лiувiлля на зiрковому графi зi скiнченними ребрами. Наступна задача виникає у квантовiй
механицi, а також в теорiї малих поперечних коливань зiркового графа з гладких струн (див. [18,
с. 238]):
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, j = 1, 2, . . . , g, x \in [0, aj ],
yj(
\surd
z, 0) = 0, j = 1, 2, . . . , g,
y1(
\surd
z, a1) = y2(
\surd
z, a2) = . . . = yg(
\surd
z, ag),
(10)
g\sum
j=1
y\prime j(
\surd
z, aj) = 0.
Ми припускаємо, що qj(x), j = 1, 2, . . . , n, є дiйсними функцiями з L2(0, aj) i qj(x)
м.c.
\geq Qj , де
Qj \in \BbbR . Цю задачу ми називаємо задачею Неймана.
Паралельно з цим ми розглянемо вiдповiдну задачу Дiрiхле
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, j = 1, 2, . . . , g, x \in [0, aj ],
yj(
\surd
z, 0) = 0, j = 1, 2, . . . , g, (11)
y1(
\surd
z, a1) = y2(
\surd
z, a2) = . . . = yg(
\surd
z, ag) = 0.
Позначимо через \~nj(E) число власних значень (\nu
(j)
k )2 задачi Дiрiхле – Дiрiхле
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, x \in [0, aj ],
yj(
\surd
z, 0) = yj(
\surd
z, aj) = 0
на j -му ребрi таких, що \nu 2k \leq E, де E — деяке дiйсне число. Зрозумiло, що
\~nj(E) \leq nj(E) :=
\left\{
\Bigl\lfloor aj
\pi
\sqrt{}
E - Qj
\Bigr\rfloor
, якщо E > Qj ,
0, якщо E \leq Qj ,
(12)
де \lfloor b\rfloor означає цiлу частину невiд’ємного числа b.
Нехай \{ p1, p2, . . . , p\~r(E)\} — вектор кратностей, а \{ p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
\~r(E)\} — упорядкований вектор
кратностей рiзних додатних власних значень \~\lambda k задачi (10) таких, що \~\lambda 2k \leq E.
Теорема 4. Нехай Nj(E) — заданi рiвнянням (9) числа, де nj(E) заданi у (12). Тодi власнi
значення задачi (10) такi, що \lambda 2k \leq E, задовольняють умови:
1) \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2\~n(E,N) - 2 \leq \lambda 2\~n(E,N) - 1 \leq \lambda 2\~n(E,N) \leq E < \lambda 2\~n(E,N)+1, де визначене
вказаним способом число \~n(E,N) таке, що
\~n(E,N) \leq n(E) + 1 :=
q\sum
j=1
nj(E) + 1; (13)
2) якщо pi > 1, то pi - 1 = pi+1 = 1, i = 2, . . . , r(E) - 1, а якщо pr(E) > 1, то pr(E) - 1 = 1;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ . . . 451
3)
\bigl\{
N1(E) - 1, N2(E) - 1, . . . , Nn1(E)(E) - 1
\bigr\}
\~\succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
\~r(E) - n1(E) - 1
\bigr\}
.
Доведення твердження 2 вiдоме з [22] (теорема 3.17).
Також вiдомо (див. [22], наслiдок 3.16 та теорему 3.17), що
\lambda 21 < \zeta 21 \leq \lambda 22 \leq \zeta 22 \leq . . . \leq \lambda 2k - 1 \leq \zeta 2k - 1 \leq \lambda 2k \leq . . . , (14)
де \{ \zeta 2k\} \infty k=1 =
q
\cup
j=1
\{ (\nu (j)k )2\} \infty k=1. Кiлькiсть \zeta 2k з урахуванням кратностей таких, що \zeta 2k \leq E, є
\~n(E,D) :=
\sum q
j=1
\~nj(E). Тодi з (14) випливає, що або \~n(E,N) = \~n(E,D), або \~n(E,N) =
= \~n(E,D) + 1. Таким чином, з огляду на (12)
\~n(E,N) \leq \~n(E,D) + 1 =
q\sum
j=1
\~nj(E) + 1 \leq
q\sum
j=1
nj(E) + 1.
Твердження 1 доведено.
Доведемо третє твердження теореми. Позначимо через \{ p\downarrow 1(D), p\downarrow 2(D), . . . , p\downarrow \~rD(E) - n1(E)(D)\}
упорядкований вектор кратностей задачi Дiрiхле (11). Оскiльки спектр цiєї задачi \{ \zeta 2k\} \infty k=1 =
=
q
\cup
j=1
\{ (\nu (j)k )2\} \infty k=1 складається зi спектрiв \{ (\nu (j)k )2\} \infty k=1 задач Дiрiхле – Дiрiхле на ребрах, ми
можемо оцiнити \{ p\downarrow 1(D), p\downarrow 2(D), . . . , p\downarrow \~rD(E) - n1(E)(D)\} таким чином:\bigl\{
N1(E), N2(E), . . . , Nn1(E)(E)
\bigr\}
\~\succ
\bigl\{
p\downarrow 1(D), p\downarrow 2(D), . . . , p\downarrow \~rD(E) - n1(E)(D)
\bigr\}
, (15)
де \~rD(E) — число рiзних власних значень задачi Дiрiхле (11), якi меншi або дорiвнюють E.
Нехай \lambda m є таким власним значенням задачi (10) кратностi pm > 1, що \lambda 2m \leq E. Тодi
згiдно з другим твердженням теореми воно є елементом \{ \zeta k\} \infty k=1 кратностi pm+1. Це означає,
що з (15) випливає\bigl\{
N1(E) - 1, N2(E) - 1, . . . , Nn1(E)(E) - 1
\bigr\}
\~\succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
\~r(E) - n1(E) - 1
\bigr\}
.
Теорему 4 доведено.
4.2. Задача Штурма – Лiувiлля на зiрковому графi з нескiнченними ребрами. Розглянемо
зiрковий граф з g нескiнченними ребрами. Нехай рiвняння Штурма – Лiувiлля буде визначене
на ребрах цього графа. У центральнiй вершинi ми накладемо умови неперервностi та Кiрхгофа.
Таким чином, маємо
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, j = 1, 2, . . . , g, x \in [0,\infty ], (16)
y1(
\surd
z, 0) = y2(
\surd
z, 0) = . . . = yg(
\surd
z, 0), (17)
g\sum
j=1
y\prime j(
\surd
z, 0) = 0, (18)
де qj , j = 1, 2, . . . , g, — дiйснi неперервнi на (0,\infty ) функцiї, що задовольняють нерiвностi\int \infty
0
x| qj(x)| dx < \infty , j = 1, 2, . . . , g . Така задача має iстотний (неперервний) спектр, який
заповнює пiввiсь [0,\infty ) i може мати скiнченну кiлькiсть нормальних (iзольованих фредголь-
мових) власних значень рiзної геометричної кратностi на ( - \infty , 0) (див. [8]). З фiзичної точки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
452 О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК
зору цi власнi значення є зв’язаними станами у квантово-механiчних задачах. Ми називаємо
систему (16) – (18) задачею Неймана.
Розглянемо також допомiжну задачу, яку можна назвати задачею Дiрiхле:
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, j = 1, 2, . . . , g, x \in [0,\infty ), (19)
y1(
\surd
z, 0) = y2(
\surd
z, 0) = . . . = yg(
\surd
z, 0) = 0. (20)
Задача (19), (20) складається з задач Дiрiхле на ребрах:
y\prime \prime j + zyj - qj(x)yj = 0, x \in [0,\infty ), (21)
yj(
\surd
z, 0) = 0. (22)
Позначимо через ej(
\surd
z, x) розв’язок Йоста рiвняння (21), що визначається умовою
ej(
\surd
z, x)e - i
\surd
z,x =
x\rightarrow +\infty
1 + o(1).
Вiдповiдна функцiя Йоста ej(
\surd
z, 0) аналiтична у \BbbC \setminus [0,\infty ) (див., наприклад, [28], теоре-
ма XI.58). Функцiя e\prime j(
\surd
z, 0) також аналiтична у \BbbC \setminus [0,\infty ). Нормальнi власнi значення зада-
чi (21), (22) (їх кiлькiсть скiнченна) збiгаються з нулями характеристичної функцiї ej(
\surd
z, 0), якi
лежать на ( - \infty , 0), нормальнi власнi значення задачi (16) – (18) — з нулями характеристичної
функцiї
\phi :=
g\sum
j=1
e\prime j(
\surd
z, 0)
g\prod
m \not =j
em(
\surd
z, 0), (23)
що лежать на ( - \infty , 0), а нормальнi власнi значення задачi (19), (20) — з нулями характеристич-
ної функцiї
\psi :=
g\prod
j=1
ej(
\surd
z, 0),
що лежать на ( - \infty , 0).
Вiдомо, що функцiї
ej(
\surd
z, 0)
e\prime j(
\surd
z, 0)
є R-функцiями в термiнах [14]. Це означає, що
\mathrm{I}\mathrm{m} z \mathrm{I}\mathrm{m}
ej(
\surd
z, 0)
e\prime j(
\surd
z, 0)
\geq 0
при \mathrm{I}\mathrm{m} z \not = 0. Крiм того,
ej(
\surd
z, 0)
e\prime j(
\surd
z, 0)
> 0 при \lambda \rightarrow - \infty . Тому
\psi (z)
\phi (z)
=
\left( g\sum
j=1
e\prime j(
\surd
z, 0)
ej(
\surd
z, 0)
\right) - 1
також стає R-функцiєю пiсля скорочення спiльних множникiв (якщо такi є) у чисельнику i
знаменнику. Нулi R-функцiї на ( - \infty , 0) чергуються з її полюсами (див. [14]), отже,
\lambda 21 \leq \zeta 21 \leq \lambda 22 \leq . . . \leq \zeta 2n < 0 (24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ . . . 453
або
\lambda 21 \leq \zeta 21 \leq \lambda 22 \leq . . . \leq \zeta 2n \leq \lambda 2n+1 < 0, (25)
де \{ \zeta 2k\} nk=1 =
g
\cup
j=1
\{ (\nu (j)k )2\} nj
k=1 — об’єднання множин нулiв функцiй Йоста ej(
\surd
z, 0), j =
= 1, 2, . . . , g, що лежать на ( - \infty , 0), а \{ \lambda 2k\} nk=1 або \{ \lambda 2k\}
n+1
k=1 — множина нулiв функцiї \phi ,
що лежать на ( - \infty , 0).
Вiдомо, що для задачi Дiрiхле (21), (22) число негативних власних значень можна оцiнити
за нерiвнiстю Баргмана (див., наприклад, [27], теорема XIII.9)
nj(D) < nj :=
\infty \int
0
| q - j (x)| xdx, (26)
де q - j (x) =
\Biggl\{
qj(x), якщо qj(x) < 0,
0, якщо qj(x) \geq 0.
Нехай \{ p1, p2, . . . , pr\} — вектор кратностей, а
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
r
\bigr\}
— упорядкований вектор
кратностей рiзних власних значень задачi (16) – (18).
Теорема 5. Нехай
Ni := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj(D) \geq i
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj(D) \geq i
\bigr\}
.
Власнi значення \lambda 2j задачi (16) – (18) задовольняють такi умови:
1) \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n - 2 \leq \lambda 2n - 1 \leq \lambda 2n < 0 або \lambda 21 < \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n - 2 \leq \lambda 2n \leq
\leq \lambda 2n+1 < 0, де n =
\sum g
j=1
nj(D);
2) якщо pi > 1, то pi - 1 = pi+1 = 1, i = 2, . . . , r - 1, а якщо pr > 1, то pr - 1 = 1, де r —
кiлькiсть рiзних власних значень задачi (16) – (18);
3)
\bigl\{
N1 - 1, N2 - 1, . . . , Nn1 - 1
\bigr\}
\~\succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
r - n1 - 1
\bigr\}
.
Доведення. Нерiвностi \lambda 21 \leq \lambda 22 \leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n - 2 \leq \lambda 2n - 1 \leq \lambda 2n < 0 або \lambda 21 \leq \lambda 22 \leq
\leq \lambda 23 \leq . . . \leq \lambda 2n - 2 \leq \lambda 2n \leq \lambda 2n+1 < 0 випливають з (24), (25).
Якщо \phi (z) = \psi (z) = 0, то iснує таке m, що em(
\surd
z, 0) = 0, i з (23) випливає
e\prime m(
\surd
z, 0)
q\prod
j \not =m
ej(
\surd
z, 0) = 0.
Це означає, що em\prime (
\surd
z, 0) = 0 для деякого m\prime \not = m. Звiдси випливає твердження 2 i нерiвнiсть
\lambda 21 < \lambda 22. Доведення твердження 3 аналогiчне доведенню твердження 3 теореми 4.
Наслiдок. 1) n =
\sum g
j=1
nj(D) < \~n :=
\sum g
j=1
nj ,
2)
\bigl\{
\~N1 - 1, \~N2 - 1, . . . , \~N\~n1 - 1
\bigr\}
\~\succ
\bigl\{
p\downarrow 1, p
\downarrow
2, . . . , p
\downarrow
r - \~n1 - 1
\bigr\}
, де
\~Ni := \#
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj \geq i
\bigr\}
= \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}
\bigl\{
j \in \{ 1, 2, . . . , g\} : nj \geq i
\bigr\}
.
Цей наслiдок випливає з твердження 3 теореми 5 i нерiвностi (26).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
454 О. П. БОЙКО, О. М. МАРТИНЮК, В. М. ПИВОВАРЧИК
Приклад. Нехай qj(x) = - \gamma je - \alpha jx з \alpha j > 0, \gamma j > 0 для j = 1, 2, . . . , g. Тодi
\infty \int
0
x| q - j (x)| dx = \gamma j\alpha
- 2
j .
Позначимо
nj := \lfloor \gamma j\alpha - 2
j \rfloor . (27)
Тодi наслiдок справедливий з nj , заданими формулою (27), i число власних значень (з ураху-
ванням кратностей) не перевищує \~n+ 1 =
\sum g
j=1
nj + 1 =
\sum g
j=1
\lfloor \gamma j\alpha - 2
j \rfloor + 1.
Лiтература
1. Boyko O., Pivovarchik V. The inverse three-spectral problem for a Stieltjes string and the inverse problem with
one-dimensional damping // Inverse Problems. – 2008. – 24, № 1. – 13 p.
2. Boyko O., Pivovarchik V. Inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes strings // Meth. Funct. Anal. and Top. –
2008. – 14, № 2. – P. 159 – 167.
3. Cox S. J., Embree M., Hokanson J. M. One can hear the composition of a string: experiments with an inverse
eigenvalue problem // SIAM Rev. – 2012. – 54, № 1. – P. 157 – 178.
4. Cox S. J., Henrot A. Elasticity harmonics of strings // ESAIM Contr. Optim. Calc. Var. – 2008. – 14, № 4. –
P. 657 – 677.
5. Leal Duarte A. Construction of acyclic matrices from spectral data // Linear Algebra and Appl. – 1989. – 113. –
P. 173 – 182.
6. Eckhardt J. An inverse problem for a star graph of Krein strings // J. reine und angew. Math. – 2016. – 715. –
S. 189 – 206.
7. Гантмахер Ф. Р., Крейн M. Г. Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем. –
М.; Л.: Гостехтеориздат, 1950.
8. Герасименко Н. И. Обратная задача рассеяния на некомпактном графе // Teoр. и мaт. физика. – 1988. – 75,
№ 2. – С. 187 – 200.
9. Gladwell G. Inverse problems in vibration. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2004.
10. Gladwell G. Matrix inverse eigenvalue problems // Dynamical Inverse Problems: Theory and Applications / Eds G.
Gladwell, A. Morassi: CISM Courses and Lect. – 2011. – 529. – P. 1 – 29.
11. Hardy G. H., Littlewood J. E., Pólya G. Inequalities. – Second ed. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1952. –
xii + 324 p.
12. Johnson C. R., Leal Duarte A. On the possible multiplicities of the eigenvalues of a Hermitian matrix whose graph
is a tree // Linear Algebra and Appl. – 2002. – 348. – P. 7 – 21.
13. Law C.-K., Pivovarchik V., Wang W. A polynomial identity and its applications to inverse spectral problems in Stieltjes
strings // Operators and Matrices. – 2013. – 7, № 3. – P. 603 – 617.
14. Kac I. S., Krein M. G. R-functions. Analytic functions mapping the upper half plane into itself // Amer. Math. Soc.
Transl. Ser. 2. – 1974. – 103. – P. 1 – 18.
15. Maрченко В. A. Введение в теорию обратных задач спектрального анализа. – Харьков: Aкта, 2005.
16. Marshall A., Olkin I., Arnold B. Inequalities: theory of majorization and its applications. – Second ed. – New York:
Springer, 2011. – xxviii + 909 p.
17. Möller M., Pivovarchik V. Damped star graphs of Stieltjes strings // Proc. Amer> Math. Soc. – 2017. – 145, № 4. –
P. 1717 – 1728.
18. Möller M., Pivovarchik V. Spectral theory of operator pencils, Hermite – Biehler functions, and their applications. –
Cham: Birkhäuser, 2015.
19. Muirhead R. F. Some methods applicable to identities and inqualities of symmetric algebraic functions of n letters //
Proc. Edinburgh Math. Soc. – 1903. – 21. – P. 144 – 157.
20. Martynyuk O., Pivovarchik V., Tretter C. Inverse problem for a damped Stieltjes string from parts of spectra // Appl.
Anal. – 2015. – 94, № 12. – P. 2605 – 2619.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРО ЗВ’ЯЗОК МIЖ КРАТНIСТЮ ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ У СКIНЧЕННОВИМIРНИХ . . . 455
21. Nylen P., Uhlig F. Realization of interlacing by tree patterned matrices // Linear and Multilinear Algebra. – 1994. –
38. – P. 13 – 37.
22. Pivovarchik V. Inverse problem for the Sturm – Liouville equation on a star-shaped graph // Math. Nachr. – 2007. –
280, № 13-14. – P. 1595 – 1619.
23. Pivovarchik V. Existence of a tree of Stieltjes strings corresponding to two given spectra // J. Phys. A: Math. Theor. –
2009. – 42. – Article 375213. – 16 p.
24. Pivovarchik V., Tretter C. Location and multiples of eigenvalues for a star graph of Stieltjes strings // J. Difference
Equat. and Appl. – 2015. – 21, № 5. – P. 383 – 402.
25. Pivovarchik V., Rozhenko N., Tretter C. Dirichlet – Neumann inverse spectral problem for a star graph of Stieltjes
strings // Linear Algebra and Appl. – 2013. – 439, № 8. – P. 2263 – 2292.
26. Pivovarchik V., Woracek H. Sums of Nevanlinna functions and differential equations on star-shaped graphs // Operators
and Matrices. – 2009. – 3, № 4. – P. 451 – 501.
27. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of operators. – New York etc.: Acad.
Press, 1978.
28. Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. III: Scattering theory. – New York etc.: Acad. Press,
1979.
29. Veselic K. On linear vibrational systems with one-dimensional damping // Appl. Anal. – 1988. – 29. – P. 1 – 18.
30. Veselic K. On linear vibrational systems with one-dimensional damping. II // Integral Equat. Operator Theory. –
1990. – 13. – P. 883 – 897.
Одержано 13.07.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1708 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:07Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/18/3cc32de0a9e2ff6f8d0f33e0212a0118.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17082019-12-05T09:24:35Z On the relationship between the multiplicities of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs Про зв’язок між кратністю власних значень у скінченновимірних та нескінченновимірних задачах на графах Boyko, O. P. Martinyuk, O. M. Pivovarchik, V. N. Бойко, О. П. Мартинюк, О. М. Пивоварчик, В. Н. It is shown that some results concerning the multiplicities of eigenvalues of the spectral problem that describes small transverse vibrations of a star graph of Stieltjes strings and the multiplicities of the eigenvalues of tree-patterned matrices can be used for the description of possible multiplicities of normal eigenvalues (bound states) of the Sturm – Liouville operator on a star graph. Показано, что некоторые результаты относительно кратностей собственных значений спектральной задачи, которая описывает малые поперечные колебания звездного графа из стильтьесовских струн, и кратностей собственных значений деревоподобных матриц могут быть использованы для описания возможных кратностей нормальных собственных значений (связанных состояний) оператора Штурма – Лиувилля на звездном графе. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1708 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 445-455 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 445-455 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1708/690 Copyright (c) 2017 Boyko O. P.; Martinyuk O. M.; Pivovarchik V. N. |
| spellingShingle | Boyko, O. P. Martinyuk, O. M. Pivovarchik, V. N. Бойко, О. П. Мартинюк, О. М. Пивоварчик, В. Н. On the relationship between the multiplicities of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title | On the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title_alt | Про зв’язок між кратністю власних значень у скінченновимірних та нескінченновимірних задачах на графах |
| title_full | On the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title_fullStr | On the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title_full_unstemmed | On the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title_short | On the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| title_sort | on the relationship between the multiplicities
of eigenvalues in finite- and infinite-dimensional problems on graphs |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1708 |
| work_keys_str_mv | AT boykoop ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT martinyukom ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT pivovarchikvn ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT bojkoop ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT martinûkom ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT pivovarčikvn ontherelationshipbetweenthemultiplicitiesofeigenvaluesinfiniteandinfinitedimensionalproblemsongraphs AT boykoop prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah AT martinyukom prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah AT pivovarchikvn prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah AT bojkoop prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah AT martinûkom prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah AT pivovarčikvn prozvâzokmížkratnístûvlasnihznačenʹuskínčennovimírnihtaneskínčennovimírnihzadačahnagrafah |