Existence theorems for multidimensional generalized moment representations
The conditions of existence of multidimensional generalized moment representations are established.
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1709 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507552042713088 |
|---|---|
| author | Veselovska, G.M. Holub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_facet | Veselovska, G.M. Holub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. |
| author_sort | Veselovska, G.M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | The conditions of existence of multidimensional generalized moment representations are established. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
Г. М. Веселовська, А. П. Голуб (Iн-т математики НАН України, Київ)
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ
МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ
The conditions of existence of multidimensional generalized moment representations are established.
Установлены условия существования многомерных обобщенных моментных представлений.
У 1981 р. В. K. Дзядик [1] запропонував метод узагальнених моментних зображень, що в
подальшому виявився ефективним при побудовi та дослiдженнi рацiональних наближень спе-
цiальних функцiй (див. [2]).
Означення 1 [1]. Узагальненим моментним зображенням числової послiдовностi комплекс-
них чисел \{ sk\} k\in \BbbZ + на добутку лiнiйних просторiв \scrX \times \scrY називається двопараметрична су-
купнiсть рiвностей
sk+j = \langle xk, yj\rangle , k, j \in \BbbZ +, (1)
де \{ xk\} k\in \BbbZ + \subset \scrX , \{ yj\} j\in \BbbZ + \subset \scrY , а \langle ., .\rangle — бiлiнiйна форма, визначена на \scrX \times \scrY .
У [3] було встановлено наступний результат, що стосується умов iснування зображень
вигляду (1).
Теорема 1 [3, 4]. Нехай \scrH — нескiнченновимiрний сепарабельний гiльбертiв простiр та
\{ ek\} k\in \BbbZ + — ортонормований базис у ньому. Тодi для того щоб послiдовнiсть \{ sk\} k\in \BbbZ + мала
узагальнене моментне зображення вигляду (1), де
\langle x, y\rangle =
\infty \sum
m=0
(x, em)(y, em),
а елементи xk, k \in \BbbZ +, та yj , j \in \BbbZ +, мають вигляд
xk =
k\sum
m=0
\alpha (k)
m em, \alpha
(k)
k \not = 0, k \in \BbbZ +; yj =
j\sum
m=0
\beta (j)
m em, \beta
(j)
j \not = 0, j \in \BbbZ +, (2)
необхiдно i достатньо, щоб всi визначники Ганкеля цiєї послiдовностi
HN := H0,N = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \| sk+j\| Nk,j=0, N \in \BbbZ +,
були вiдмiнними вiд нуля.
При цьому будуть виконуватися спiввiдношення
\alpha (p)
p \beta (p)
p =
Hp
Hp - 1
, p \in \BbbZ +, H - 1 := 1, (3)
i якщо зафiксувати послiдовностi ненульових чисел \{ \alpha (p)
p \} p\in \BbbZ + та \{ \beta (p)
p \} p\in \BbbZ + , що задовольня-
ють (3), то решта коефiцiєнтiв у (2) будуть однозначно визначатися за формулами
\alpha (k)
p = \alpha
(k)
k
Sk
\Biggl(
0 1 . . . p - 1 k
0 1 . . . p - 1 p
\Biggr)
Hp
, p = 0, k, k \in \BbbZ +, (4)
c\bigcirc Г. М. ВЕСЕЛОВСЬКА, А. П. ГОЛУБ, 2017
456 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 457
\beta (j)
p = \beta
(j)
j
Sj
\Biggl(
0 1 . . . p - 1 p
0 1 . . . p - 1 j
\Biggr)
Hp
, p = 0, j, j \in \BbbZ +, (5)
де SN
\biggl(
l0 l1 . . . lr
n0 n1 . . . nr
\biggr)
— мiнори матрицi
SN = \| sk+j\| Nk,j=0 =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s0 s1 . . . sN
s1 s2 . . . sN+1
. . . . . . . . . . . .
sN sN+1 . . . s2N
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
, N \in \BbbZ +,
з номерами стовпчикiв l0, l1, . . . , lr i номерами рядкiв n0, n1, . . . , nr, при lm \leq N, nm \leq N,
m = 0, r.
Далi метод узагальнених моментних зображень було поширено на дво- та багатовимiрнi
послiдовностi [5, 6], у зв’язку з чим виникло питання про з’ясування умов iснування багатови-
мiрних узагальнених моментних зображень.
Означення 2 [5]. Узагальненим моментним зображенням двовимiрної числової послiдов-
ностi \{ sk,m\} k,m\in \BbbZ + на добутку лiнiйних просторiв \scrX \times \scrY називається сукупнiсть рiвностей
sk+j,m+n = \langle xk,m, yj,n\rangle , k, j,m, n \in \BbbZ +,
де \{ xk,m\} k,m\in \BbbZ + \subset \scrX , \{ yj,n\} j,n\in \BbbZ + \subset \scrY , a \langle \cdot , \cdot \rangle — бiлiнiйна форма на \scrX \times \scrY .
Перш нiж сформулювати вiдповiдний результат, нагадаємо, що нумеруюча функцiя Кантора
c(x, y) =
(x+ y)2 + x+ 3y
2
взаємно однозначно вiдображає \BbbZ 2
+ на \BbbZ + (див., наприклад, [7, c. 13]), i при цьому iснують
такi оберненi функцiї l, r : \BbbZ + \rightarrow \BbbZ +, що
c(l(n), r(n)) \equiv n, l(c(m,n)) = m, r(c(m,n)) = n \forall m,n \in \BbbZ +.
Отже, за двовимiрною послiдовнiстю \{ sk,m\} k,m\in \BbbZ + можна визначити одновимiрну послi-
довнiсть \{ \~sp\} p\in \BbbZ + таким чином:
sk,m = \~sc(k,m), (k,m) \in \BbbZ 2
+,
\~sp = sl(p),r(p), p \in \BbbZ +.
(6)
Побудуємо послiдовнiсть матриць
\~SN =
\bigm\| \bigm\| sl(k)+l(j),r(k)+r(j)
\bigm\| \bigm\| N
k,j=0
, N \in \BbbZ +. (7)
У вказаних термiнах має мiсце наступний результат.
Теорема 2. Нехай \scrH — нескiнченновимiрний сепарабельний гiльбертiв простiр та \{ ek\} k\in \BbbZ +
— ортонормований базис у ньому. Тодi для того щоб послiдовнiсть \{ sk,m\} k,m\in \BbbZ + мала уза-
гальнене моментне зображення вигляду
sk+j,m+n = \langle xk,m, yj,n\rangle , k, j,m, n \in \BbbZ +, (8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
458 Г. М. ВЕСЕЛОВСЬКА, А. П. ГОЛУБ
де
\langle x, y\rangle =
\infty \sum
m=0
(x, em)(y, em),
а елементи \{ xk,m\} k,m\in \BbbZ + \subset \scrX , \{ yj,n\} j,n\in \BbbZ + \subset \scrX мають вигляд
xk,m =
c(k,m)\sum
p=0
\alpha (k,m)
p ep, \alpha
(k,m)
c(k,m) \not = 0, (k,m) \in \BbbZ 2
+, (9)
yj,n =
c(j,n)\sum
p=0
\beta (j,n)
p ep, \beta
(j,n)
c(j,n) \not = 0, (j, n) \in \BbbZ 2
+, (10)
необхiдно i достатньо, щоб всi визначники \~HN = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \~SN , N \in \BbbZ +, матриць, визначених
формулами (7), були вiдмiнними вiд нуля. При цьому будуть виконуватися спiввiдношення
\alpha
(k,m)
c(k,m)\beta
(k,m)
c(k,m) =
\~Hc(k,m)
\~Hc(k,m) - 1
, (k,m) \in \BbbZ 2
+,
\~H - 1 := 1, (11)
i, якщо зафiксувати послiдовностi ненульових чисел
\Bigl\{
\alpha
(l(p),r(p))
p
\Bigr\}
p\in \BbbZ +
та
\bigl\{
\beta
(l(p),r(p))
p
\Bigr\}
p\in \BbbZ +
,
що задовольняють (11), то решта коефiцiєнтiв у (9), (10) будуть однозначно визначатися за
формулами
\alpha (k,m)
p = \alpha
(k,m)
c(k,m)
\~Sc(k,m)
\biggl(
0 1 . . . p - 1 c(k,m)
0 1 . . . p - 1 p
\biggr)
\~Hc(k,m)
, p = 0, c(k,m), (k,m) \in \BbbZ 2
+,
(12)
\beta (j,n)
p = \beta
(j,n)
c(j,n)
\~Sc(j,n)
\Biggl(
0 1 . . . p - 1 p
1 2 . . . p - 1 c(j, n)
\Biggr)
\~Hc(j,n)
, p = 0, c(j, n), (j, n) \in \BbbZ 2
+. (13)
Доведення. Рiвностi (8) з урахуванням (9), (10), як легко бачити, еквiвалентнi рiвностям
sk+j,m+n =
min \{ c(k,m),c(j,n)\} \sum
p=0
\alpha (k,m)
p \beta (j,n)
p , k,m, j, n \in \BbbZ +, (14)
а рiвностi (14), в свою чергу, еквiвалентнi сукупностi матричних рiвностей
\~SN = AN \cdot BN , N = 0,\infty ,
де AN — нижня трикутна матриця вигляду
AN = \| aj,k\| Nk,j=0, aj,k =
\left\{ \alpha
(l(k),r(k))
j при k \geq j,
0 при k < j,
a BN — верхня трикутна матриця вигляду
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 459
BN = \| bj,k\| Nk,j=0, bj,k =
\left\{ 0 при k > j,
\beta
(l(k),r(k))
j при k \leq j.
Тому
\~HN = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \~SN =
N\prod
p=0
\alpha (l(p),r(p))
p \cdot
N\prod
q=0
\beta (l(q),r(q))
q \not = 0.
Звiдси випливає необхiднiсть твердження теореми. Достатнiсть є наслiдком теореми про
розклад невиродженої матрицi на трикутнi спiвмножники (див. [8, c. 50]).
Аналогiчно можна встановити умови iснування d-вимiрних узагальнених моментних зоб-
ражень.
Означення 3 [6]. Узагальненим моментним зображенням d-вимiрної числової послiдовнос-
тi \{ sk\} k\in \BbbZ d
+
на добутку лiнiйних просторiв \scrX \times \scrY називається сукупнiсть рiвностей
sk+j = \langle xk, yj\rangle , \bfk , \bfj \in \BbbZ d
+,
де \{ xk\} k\in \BbbZ d
+
\subset \scrX , \{ yj\} j\in \BbbZ d
+
\subset \scrY , а \langle \cdot , \cdot \rangle — бiлiнiйна форма на \scrX \times \scrY .
Вiдомо (див. [7, c. 14]), що можна визначити функцiю
cd : \BbbZ d
+ \rightarrow \BbbZ +,
яка взаємно однозначно вiдображає \BbbZ d
+ на \BbbZ +, i при цьому однозначно визначаються оберненi
функцiї l1, l2, . . . , ld : \BbbZ + \rightarrow \BbbZ + такi, що
cd
\bigl(
l1(n), l2(n), . . . , ld(n)
\bigr)
\equiv n, li
\bigl(
cd(n1, . . . , ni, . . . , nd)
\bigr)
= ni, i = 1, d, n \in \BbbZ +.
Тому для довiльної d-вимiрної числової послiдовностi \{ sk\} k\in \BbbZ d
+
можна побудувати послi-
довнiсть матриць
\~SN =
\bigm\| \bigm\| sl1(k)+l1(j),l2(k)+l2(j),...,ld(k)+ld(j)
\bigm\| \bigm\| N
k,j=0
, N \in \BbbZ +. (15)
Має мiсце наступний результат.
Теорема 3. Нехай \scrH — нескiнченновимiрний сепарабельний гiльбертiв простiр та \{ ek\} k\in \BbbZ +
— ортонормований базис у ньому. Тодi для того щоб послiдовнiсть \{ sk\} k\in \BbbZ d
+
мала узагальнене
моментне зображення вигляду
sk+j = \langle xk, yj\rangle , \bfk , \bfj \in \BbbZ d
+, (16)
де
\langle x, y\rangle =
\infty \sum
m=0
(x, em)(y, em),
а елементи \{ xk\} k\in \BbbZ d
+
та \{ yj\} j\in \BbbZ d
+
мають вигляд
xk =
cd(k)\sum
p=0
\alpha (k)
p ep, \alpha
(k)
cd(k)
\not = 0, \bfk \in \BbbZ d
+, (17)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
460 Г. М. ВЕСЕЛОВСЬКА, А. П. ГОЛУБ
yj =
cd(j)\sum
p=0
\beta (j)
p ep, \beta
(j)
cd(j)
\not = 0, \bfj \in \BbbZ d
+, (18)
необхiдно i достатньо, щоб всi визначники \~Hp = \mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t} \~SN , N \in \BbbZ +, матриць \~SN , визначених
формулами (15), були вiдмiнними вiд нуля.
При цьому будуть виконуватися спiввiдношення
\alpha
(k)
cd(k)
\beta
(k)
cd(k)
=
\~Hcd(k)
\~Hcd(k) - 1
, \~H - 1 := 1, \bfk \in \BbbZ d
+, (19)
i якщо зафiксувати послiдовностi ненульових чисел \{ \alpha (l(p))
p \} p\in \BbbZ + та \{ \beta (l(p))
p \} p\in \BbbZ + , де \bfl (p) =
=
\bigl(
l1(p), l2(p), . . . , ld(p)
\bigr)
, що задовольняють (19), то решта коефiцiєнтiв у (17), (18) будуть
однозначно визначатися за формулами
\alpha (k)
p = \alpha
(k)
cd(k)
\~Scd(k)
\Biggl(
0 1 . . . p - 1 cd(\bfk )
0 1 . . . p - 1 p
\Biggr)
\~Hcd(k)
, p = 0, cd(\bfk ), \bfk \in \BbbZ d
+, (20)
\beta (j)
p = \beta
(j)
cd(j)
\~Scd(j)
\Biggl(
0 1 . . . p - 1 p
0 1 . . . p - 1 cd(\bfj )
\Biggr)
\~Hcd(j)
, p = 0, cd(\bfj ), \bfj \in \BbbZ d
+. (21)
Вiдомо (див. [2]), що задача про узагальненi моментнi зображення може бути сформульована
в термiнах лiнiйних операторiв. А саме, якщо має мiсце узагальнене моментне зображення
вигляду (1) i у просторi \scrX iснує лiнiйний оператор A : \scrX \rightarrow \scrX такий, що
Axk = xk+1, k \in \BbbZ +, (22)
а у просторi \scrY iснує лiнiйний оператор A\ast : \scrY \rightarrow \scrY , спряжений до оператора A вiдносно
бiлiнiйної форми \langle \cdot , \cdot \rangle , в тому розумiннi, що
\langle Ax, y\rangle = \langle x,A\ast y\rangle \forall x \in \scrX \forall y \in \scrY ,
то зображення вигляду (1) буде еквiвалентним зображенню
sk = \langle Akx0, y0\rangle , k \in \BbbZ +. (23)
Якщо при цьому простори \scrX та \scrY є банаховими, бiлiнiйна форма \langle \cdot , \cdot \rangle — роздiльно непе-
рервною, а оператор A — обмеженим, то ряд
\infty \sum
k=0
skz
k
буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної функцiї f, яка може бути зображена у
виглядi
f(z) = \langle \scrR z(A)x0, y0\rangle , (24)
де \scrR z(A) = (I - zA) - 1 — резольвентна функцiя оператора A.
У зв’язку з цим виникає питання про iснування зображень вигляду (23), (24). Насправдi вiд-
повiдь на це питання була знайдена в [9] ще до того, як було запропоновано метод узагальнених
моментних зображень.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 461
Теорема 4 [9]. Для довiльної функцiї f, аналiтичної в крузi KR = \{ z : | z| \leq R\} , 0 < R <
< \infty , i довiльного нескiнченновимiрного сепарабельного гiльбертового простору \scrH iснують
елементи x0, y0 \in \scrH та лiнiйний обмежений оператор A : \scrH \rightarrow \scrH , норма якого \| A\| <
1
R
i
такий, що для будь-якого z \in KR
f(z) =
\bigl(
\scrR z(A)x0, y0
\bigr)
. (25)
Зауваження. Зображення (25) буде еквiвалентним зображенню (24), якщо в якостi бiлiнiй-
ної форми взяти
\langle x, y\rangle =
\infty \sum
m=0
(x, em)(y, em),
де \{ ep\} p\in \BbbZ + — ортонормований базис простору \scrH .
Аналогiчний результат було встановлено в [4] для випадку цiлих функцiй.
Теорема 5 [4]. Для довiльної цiлої функцiї f i довiльного нескiнченновимiрного сепара-
бельного гiльбертового простору \scrH iснують елементи x0, y0 \in \scrH та лiнiйний обмежений
оператор A : \scrH \rightarrow \scrH з нульовим спектральним радiусом такий, що має мiсце зображення
f(z) =
\bigl(
\scrR z(A)x0, y0
\bigr)
. (26)
Якщо при цьому цiла функцiя має порядок \rho > 0, то оператор A можна вибрати так, що
для будь-якого n \in \BbbN
n
\sqrt{}
\| An\| \leq C
n
1
\rho
, (27)
де C — стала.
Цi питання дослiджувалися також у [10], де було розглянуто, зокрема, випадок зображень
вигляду (25) з необмеженими операторами A.
Як i в одновимiрному випадку, у випадку бiльших розмiрностей задача про узагальненi
моментнi зображення також може бути сформульована в термiнах лiнiйних операторiв (див. [5,
6]). А саме, якщо має мiсце узагальнене моментне зображення вигляду (16) i у просторi \scrX
iснують комутуючi мiж собою лiнiйнi оператори Aj : \scrX \rightarrow \scrX , j = 1, d, такi, що
Ajxk = xk+\bfitdelta j , j = 1, d, \bfk \in \BbbZ d
+,
де \bfitdelta j = (\delta j,1, \delta j,2, . . . , \delta j,d), \delta j,k =
\Biggl\{
1, j = k,
0, j \not = k,
а у просторi \scrY iснують лiнiйнi оператори A\ast
j :
\scrY \rightarrow \scrY , j = 1, d, спряженi вiдповiдно до операторiв Aj , j = 1, d, вiдносно бiлiнiйної форми
\langle \cdot , \cdot \rangle , то зображення вигляду (16) буде еквiвалентним зображенню
sk = \langle Ak1
1 Ak2
2 . . . Akd
d x0, y0\rangle , \bfk \in \BbbZ d
+. (28)
Якщо при цьому простори \scrX , \scrY є банаховими, бiлiнiйна форма \langle \cdot , \cdot \rangle — роздiльно неперерв-
ною, а оператори Aj , j = 1, d, — обмеженими, то ряд\sum
k\in \BbbZ d
+
sk\bfz
k =
\sum
k\in \BbbZ d
+
skz
k1
1 zk22 . . . zkdd
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
462 Г. М. ВЕСЕЛОВСЬКА, А. П. ГОЛУБ
буде збiжним в околi початку координат до аналiтичної функцiї f вiд d змiнних, яку можна
записати у виглядi
f(\bfz ) = \langle \scrR z1(A1)\scrR z2(A2) . . .\scrR zd(Ad)x0, y0\rangle .
Теореми 4 та 5 можуть бути поширенi на випадок функцiй кiлькох змiнних.
Теорема 6. Для довiльної функцiї f, аналiтичної в полiкрузi KR = KR1 \times KR2 \times . . .\times KRd
,
0 < Rj < \infty , j = 1, d, i довiльного нескiнченновимiрного сепарабельного гiльбертового прос-
тору \scrH iснують елементи x0, y0 \in \scrH та лiнiйнi обмеженi оператори Aj : \scrH \rightarrow \scrH , що
комутують мiж собою, норми яких \| Aj\| <
1
Rj
, j = 1, d, i такi, що для будь-якого \bfz \in KR
f(\bfz ) = \langle \scrR z1(A1)\scrR z2(A2) . . .\scrR zd(Ad)x0, y0\rangle . (29)
Доведення. Нехай функцiя f в околi початку координат зображується степеневим рядом
f(\bfz ) =
\sum
k\in \BbbZ d
+
skz
k1
1 zk22 . . . zkdd .
За умов теореми за нерiвнiстю Кошi – Адамара
| sk| \leq
M
(R1 + \varepsilon 1)k1(R2 + \varepsilon 2)k2 . . . (Rd + \varepsilon 1)kd
,
де M = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}z\in KR
| f(\bfz )| , \varepsilon 1, \varepsilon 2, . . . , \varepsilon d > 0 (див. [11, c. 62]).
Зафiксуємо деякi числа \~Rj \in (Rj , Rj + \varepsilon j), j = 1, d, i для довiльного ортонормованого
базису \{ ep\} p\in \BbbZ + простору \scrH розглянемо d-вимiрну послiдовнiсть елементiв
xk =
1
\~Rk1
1
\~Rk2
2 . . . \~Rkd
d
ecd(k), \bfk \in \BbbZ d
+.
Визначимо на елементах базису \{ ep\} p\in \BbbZ + дiю лiнiйних операторiв Aj , j = 1, d,
Ajem =
1
\~Rj
ecd(l1(m),l2(m),...,lj(m)+1,...,ld(m)), m \in \BbbZ +.
Легко бачити, що, по-перше,
Ajxk = xk+\bfitdelta j , \bfk \in \BbbZ d
+,
i, по-друге,
\| Aj\| =
1
\~Rj
<
1
Rj
.
Крiм того, очевидно, що оператори Aj , j = 1, d, комутують мiж собою.
Визначимо тепер елемент y0 \in \scrH у виглядi суми ряду
y0 =
\infty \sum
p=0
\~R
l1(p)
1 . . . \~R
ld(p)
d sl1(p),l2(p),...,ld(p)ep.
Переконаємося, що y0 \in \scrH . Дiйсно,
\| y0\| 2 =
\infty \sum
p=0
\~R
2l1(p)
1 . . . \~R
2ld(p)
d | sl1(p),l2(p),...,ld(p)|
2 < \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 463
З iншого боку,
(xk, y0) =
\left( 1
\~Rk1
1
\~Rk2
2 . . . \~Rkd
d
ecd(k),
\infty \sum
p=0
\~R
l1(p)
1 . . . \~R
ld(p)
d sl1(p),l2(p),...,ld(p)ep
\right) = sk, \bfk \in \BbbZ d
+,
а отже, справедливим є зображення (28).
Приклад. Нехай функцiя f визначається зображенням
f(\bfz ) =
\int
\BbbI d
d\prod
p=1
1
1 - zptp
Rp
d\mu (\bft ), (30)
де \BbbI d = [0, 1]d, а \mu — борелiвська мiра на \BbbI d.
Тодi в якостi операторiв Aj , j = 1, d, можна взяти оператори множення на незалежнi змiннi
(Aj\varphi )(\bft ) =
tj
Rj
\varphi (\bft ),
норми яких вiдповiдно дорiвнюють
\| Aj\| =
1
Rj
.
Теорема 7. Для довiльної цiлої функцiї f d змiнних та будь-якого нескiнченновимiрного
сепарабельного гiльбертового простору \scrH iснують елементи x0, y0 \in \scrH та лiнiйнi обмеженi
комутуючi мiж собою оператори Aj : \scrH \rightarrow \scrH , j = 1, d, з нульовим спектральним радiусом
такi, що
f(\bfz ) =
\bigl(
\scrR z1(A1)\scrR z2(A2) . . .\scrR zd(Ad)x0, y0
\bigr)
.
При цьому якщо порядки зростання функцiї f (див. [11, c. 390]) за змiнними zj , j = 1, d,
дорiвнюють вiдповiдно \rho j > 0, j = 1, d, то оператори Aj , j = 1, d, можна вибрати так, що
для будь-якого p \in \BbbN
p
\sqrt{}
\| Ap
j\| \leq Cj
p
1
\rho j
, j = 1, d, (31)
де Cj , j = 1, d, — сталi.
Доведення. Нехай функцiя f зображується степеневим рядом
f(\bfz ) =
\sum
k\in \BbbZ d
+
sk\bfz
k.
З умов теореми випливає, що
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| k| \rightarrow \infty
| k|
\sqrt{}
| sk| = 0, де | \bfk | = k1 + k2 + . . .+ kd.
Тому можна вибрати монотонно спадну до нуля послiдовнiсть додатних чисел \{ \gamma p\} p\in \BbbZ +
таку, що для будь-якого \bfk \in \BbbZ d
+
| k|
\sqrt{}
| sk| \leq \gamma | k| ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
464 Г. М. ВЕСЕЛОВСЬКА, А. П. ГОЛУБ
i, отже,
| sk| \leq
\bigl(
\gamma | k|
\bigr) | k|
.
Для довiльного ортонормованого базису \{ ep\} p\in \BbbZ + при довiльному \lambda > 1 розглянемо d-
вимiрну послiдовнiсть елементiв
xk =
\bigl(
\lambda \gamma | k|
\bigr) | k|
ecd(k), \bfk \in \BbbZ d
+,
i визначимо на елементах базису \{ ep\} p\in \BbbZ + лiнiйнi оператори Aj , j = 1, d,
Ajep = \lambda
\bigl(
\gamma | l(p)| +1
\bigr) | l(p)| +1\bigl(
\gamma | l(p)|
\bigr) | l(p)| ecd(l(p)+\bfitdelta j). (32)
Тодi будемо мати
Ajxk = xk+\bfitdelta j , \bfk \in \BbbZ d
+, j = 1, d.
З рiвностi (32) отримаємо
Am
j ep = \lambda m (\gamma | l(p)| +m)| l(p)| +m
(\gamma | l(p)| )| l(p)|
ecd(l(p)+m\bfitdelta j),
а отже,
\| Am
j \| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
p\in \BbbZ +
\lambda m (\gamma | l(p)| +m)| l(p)| +m
(\gamma | l(p)| )| l(p)|
\leq (\lambda \gamma m)m
i
m
\sqrt{}
\| Am
j \| \leq \lambda \gamma m \rightarrow 0 при m \rightarrow \infty ,
тобто оператори Aj , j = 1, d, мають нульовий спектральний радiус.
Покладаючи
y0 =
\infty \sum
p=0
1
(\lambda \gamma p)
p sl(p)ep,
отримуємо
\| y0\| 2 =
\infty \sum
p=0
1
(\lambda \gamma p)
2p | sl(p)|
2 \leq
\infty \sum
p=0
1
\lambda 2p
=
\lambda 2
\lambda 2 - 1
< \infty .
Отже, y0 \in \scrH .
З iншого боку,
(xk, y0) =
\left( (\lambda \gamma k)
kecd(k),
\infty \sum
p=0
1
\lambda \gamma p
p sl(p)ep
\right) = sk, \bfk \in \BbbZ d
+,
а тому справедливим є зображення (28).
Якщо порядки зростання функцiї f за змiнними zj , j = 1, d, вiдповiдно дорiвнюють \rho j ,
j = 1, d, то
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ТЕОРЕМИ IСНУВАННЯ БАГАТОВИМIРНИХ УЗАГАЛЬНЕНИХ МОМЕНТНИХ ЗОБРАЖЕНЬ 465
| sk| \leq
Ck
j
| \bfk |
\Bigl(
k1
\rho 1
+
k2
\rho 2
+...+
kd
\rho d
\Bigr) \leq
d\prod
j=1
\left( Cj
k
1
\rho j
j
\right)
kj
, \bfk \in \BbbZ d
+,
де Cj > 0, j = 1, d, — деякi сталi.
Покладемо при деякому фiксованому \lambda > 1
xk = \lambda | k|
d\prod
j=1
\left( 1
k
1
\rho j
j
\right)
kj
ecd(k).
На векторах базису \{ ep\} p\in \BbbZ + покладемо
Ajep = \lambda
\Biggl(
lj(p)
lj(p)
(lj(p) + 1)lj(p)+1
\Biggr) 1
\rho j
ecd(l(p)+\bfitdelta j).
Тодi отримаємо
Ajxk = xk+\bfitdelta j , \bfk \in \BbbZ d
+, j = 1, d,
Am
j ep = \lambda m
\Biggl(
lj(p)
lj(p)
(lj(p) +m)lj(p)+m
\Biggr) 1
\rho j
ecd(l(p)+m\bfitdelta j)
i, отже,
\| Am
j \| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
p\in \BbbZ +
\lambda m
\Biggl(
lj(p)
lj(p)
(lj(p) +m)lj(p)+m
\Biggr) 1
\rho j
\leq
\biggl(
\lambda
m\rho j
\biggr) m
,
звiдки i випливає нерiвнiсть (31).
Лiтература
1. Дзядик В. К. Про узагальнення проблеми моментiв // Доп. АН УРСР. – 1981. – № 6. – С. 8 – 12.
2. Голуб А. П. Узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде. – Київ: Iн-т математики НАН України,
2002. – 222 с.
3. Дзядык В. К., Голуб А. П. Обобщенная проблема моментов и аппроксимация Паде. – Киев, 1981. – С. 3–15. –
(Препринт/ АН УССР. Ин-т математики; 81.58).
4. Голуб А. П. Теоремы существования обобщенных моментных представлений // Укр. мат. журн. – 2003. – 55,
№ 7. – С. 881 – 888.
5. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Двовимiрнi узагальненi моментнi зображення та рацiональнi апроксимацiї функцiй
двох змiнних // Укр. мат. журн. – 2013. – 65, № 8. – С. 1035 – 1058.
6. Голуб А. П., Чернецька Л. О. Багатовимiрнi узагальненi моментнi зображення та апроксимацiї Паде для функцiй
багатьох змiнних // Укр. мат. журн. – 2014. – 66, № 9. – С. 1166 – 1174.
7. Ершов Ю. Л. Теория нумераций. – М.: Наука, 1977. – 416 с.
8. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
9. Аров Д. З. Пассивные линейные стационарные динамические системы // Сиб. мат. журн. – 1979. – 20, № 2. –
С. 211 – 228.
10. Радзиевский Г. В. Теоремы существования обобщенных по Дзядыку моментных представлений // Мат. замет-
ки. – 2004. – 75, № 2. – С. 253 – 260.
11. Фукс Б. А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. – М.: Физматгиз,
1962. – 420 с.
12. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. – М.: Мир, 1989. – 348 с.
Одержано 21.12.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1709 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:07Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4c/667f739ec96c14f6742e0f16a5fc5e4c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17092019-12-05T09:24:35Z Existence theorems for multidimensional generalized moment representations Теореми існування багатовимірних узагальнених моментних зображень Veselovska, G.M. Holub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. The conditions of existence of multidimensional generalized moment representations are established. Установлены условия существования многомерных обобщенных моментных представлений. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1709 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 456-465 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 456-465 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1709/691 Copyright (c) 2017 Veselovska G.M.; Holub A. P. |
| spellingShingle | Veselovska, G.M. Holub, A. P. Веселовська, Г. М. Голуб, А. П. Existence theorems for multidimensional generalized moment representations |
| title | Existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| title_alt | Теореми існування багатовимірних узагальнених моментних зображень |
| title_full | Existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| title_fullStr | Existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| title_full_unstemmed | Existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| title_short | Existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| title_sort | existence theorems for multidimensional generalized moment
representations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1709 |
| work_keys_str_mv | AT veselovskagm existencetheoremsformultidimensionalgeneralizedmomentrepresentations AT holubap existencetheoremsformultidimensionalgeneralizedmomentrepresentations AT veselovsʹkagm existencetheoremsformultidimensionalgeneralizedmomentrepresentations AT golubap existencetheoremsformultidimensionalgeneralizedmomentrepresentations AT veselovskagm teoremiísnuvannâbagatovimírnihuzagalʹnenihmomentnihzobraženʹ AT holubap teoremiísnuvannâbagatovimírnihuzagalʹnenihmomentnihzobraženʹ AT veselovsʹkagm teoremiísnuvannâbagatovimírnihuzagalʹnenihmomentnihzobraženʹ AT golubap teoremiísnuvannâbagatovimírnihuzagalʹnenihmomentnihzobraženʹ |