Spaces of smooth and generalized vectors of the generator of an analytic semigroup and their applications
For a strongly continuous analytic semigroup $\{ e^{tA}\}_{t\geq 0}$ of linear operators in a Banach space $B$ we investigate some locally convex spaces of smooth and generalized vectors of its generator $A$, as well as the extensions and restrictions of this semigroup to these spaces. We extend Lag...
Gespeichert in:
| Datum: | 2017 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2017
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1711 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860507555669737472 |
|---|---|
| author | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_facet | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. |
| author_sort | Gorbachuk, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2019-12-05T09:24:35Z |
| description | For a strongly continuous analytic semigroup $\{ e^{tA}\}_{t\geq 0}$ of linear operators in a Banach space $B$ we investigate some
locally convex spaces of smooth and generalized vectors of its generator $A$, as well as the extensions and restrictions of this semigroup to these spaces. We extend Lagrange’s result on the representation of a translation group in the form
of exponential series to the case of these semigroups and solve the Hille problem on description of the set of all vectors
$x \in B$ for which there exists $$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}_{n\rightarrow \infty }\biggl( I + \frac{tA}n \biggr)^n x$$
and this limit coincides with etAx. Moreover, we present a short
survey of particular problems whose solutions are necessary for the introduction of the above-mentioned spaces, namely, the
description of all maximal dissipative (self-adjoint) extensions of a dissipative (symmetric) operator; the representation of
solutions to operator-differential equations on an open interval and the analysis of their boundary values, and the existence
of solutions to an abstract Cauchy problem in various classes of analytic vector-valued functions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:11:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. М. Горбачук (Нац. техн. ун-т України „КПI iм. I. Сiкорського”, Київ),
М. Л. Горбачук (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ
ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
For a strongly continuous analytic semigroup \{ etA\} t\geq 0 of linear operators in a Banach space \frakB we investigate some
locally convex spaces of smooth and generalized vectors of its generator A, as well as the extensions and restrictions
of this semigroup to these spaces. We extend Lagrange’s result on the representation of a translation group in the form
of exponential series to the case of these semigroups and solve the Hille problem on description of the set of all vectors
x \in \frakB for which there exists \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) n
x and this limit coincides with etAx. Moreover, we present a short
survey of particular problems whose solutions are necessary for the introduction of the above-mentioned spaces, namely, the
description of all maximal dissipative (self-adjoint) extensions of a dissipative (symmetric) operator; the representation of
solutions to operator-differential equations on an open interval and the analysis of their boundary values, and the existence
of solutions to an abstract Cauchy problem in various classes of analytic vector-valued functions.
Для сильно непрерывной аналитической полугруппы \{ etA\} t\geq 0 линейных операторов в банаховом пространстве
\frakB исследованы некоторые локально-выпуклые пространства гладких и обобщенных векторов ее генератора A, а
также ее расширения и сужения на эти пространства. На такие полугруппы распространен результат Лагранжа о
представлении группы сдвигов экспоненциальным рядом и решена проблема Хилле описания множества элементов
x \in \frakB , для которых существует \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) n
x и этот предел совпадает с etAx. Кроме того, приведен крат-
кий обзор конкретных проблем, решение которых нуждается во введении указанных выше пространств, а имен-
но: описания максимальных диссипативных (самосопряженных) расширений диссипативного (симметрического)
оператора; представления решений дифференциально-операторных уравнений на открытом интервале и изучения
их граничных значений; существования решений абстрактной задачи Коши в различных классах аналитических
вектор-функций.
1. Вступ. Нехай \frakB — банахiв простiр iз нормою \| \cdot \| над полем \BbbC комплексних чисел, E(\frakB )
(L(\frakB )) — множина всiх замкнених (неперервних) лiнiйних операторiв в \frakB , \scrD (\cdot ), \scrR (\cdot ), \rho (\cdot ),
\sigma (\cdot ), \sigma p(\cdot ), \sigma c(\cdot ) i \sigma r(\cdot ) — областi визначення та значень, резольвентна множина, спектр, точ-
ковий, неперервний та залишковий спектри оператора. Нехай також \{ U(t)\} t\geq 0 — C0-пiвгрупа
лiнiйних неперервних операторiв U(t) в \frakB , тобто:
1) U(0) = I (I — тотожний оператор в \frakB );
2) \forall t, s \geq 0 : U(t+ s) = U(t)U(s);
3) \forall x \in \frakB : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow 0 \| U(t)x - x\| = 0.
Позначимо через A генератор цiєї пiвгрупи:
Ax = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
U(t)x - x
t
, \scrD (A) =
\biggl\{
x \in \frakB : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
U(t)x - x
t
iснує
\biggr\}
.
Як вiдомо (див. [1]), оператор A належить E(\frakB ). Вiн є неперервним тодi i тiльки тодi, ко-
ли U(t) \rightarrow I, t \rightarrow 0, в рiвномiрнiй операторнiй топологiї. У подальшому C0-пiвгрупу, що
генерується оператором A, позначатимемо
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
.
Пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
називається аналiтичною з кутом аналiтичностi \theta \in
\Bigl(
0,
\pi
2
\Bigr]
, якщо
etA допускає продовження до оператор-функцiї ezA, аналiтичної в секторi \Sigma (\theta ) = \{ z \in \BbbC :
| \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \theta \} , сильно неперервної вздовж довiльного променя iз \Sigma (\theta ) з початком у точцi 0. За
c\bigcirc В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК , 2017
478 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 479
додаткової умови
\forall \psi \subset (0, \theta ) \forall z \in \Sigma (\psi ) :
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\| \leq M\psi , 0 < M\psi = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t},
пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
називається обмеженою аналiтичною.
Як показано в [1], має мiсце таке твердження.
Твердження 1. Для того щоб пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
була обмеженою аналiтичною, необхiдно
i достатньо, щоб
\forall t > 0 \forall x \in \frakB \forall n \in \BbbN : etAx \in \scrD (An) i
\bigm\| \bigm\| AnetA\bigm\| \bigm\| \leq cnn!
tn
, 0 < c = \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t} . (1)
Зауважимо, що достатньо, аби нерiвнiсть (1) виконувалась лише для t \in (0, 1].
Не зменшуючи загальностi у подальшому вважатимемо
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
пiвгрупою стиску.
Твердження 2. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи i A /\in L(\frakB ).
Тодi
\forall t > 0 : 0 \in \sigma c
\bigl(
etA
\bigr)
.
Доведення. З аналiтичностi пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
i включення \scrR (et
\prime A) \subset \scrR (etA) при t\prime > t
випливає, що 0 /\in \sigma p
\bigl(
etA
\bigr) \bigcup
\sigma r
\bigl(
etA
\bigr)
.
Припустимо тепер, що iснує t0 > 0 таке, що 0 \in \rho
\bigl(
et0A
\bigr)
. Тодi
\forall x \in \frakB \exists \gamma > 0 :
\bigm\| \bigm\| et0Ax\bigm\| \bigm\| \geq \gamma \| x\| .
Звiдси i з (1) одержуємо оцiнку
\forall x \in \scrD (A) : \| Ax\| \leq 1
\gamma
\bigm\| \bigm\| et0AAx\bigm\| \bigm\| \leq c
\gamma t0
\| x\| ,
яка зумовлює включення A \in L(\frakB ), а це суперечить накладенiй на A умовi.
Твердження 2 доведено.
Якщо оператор A належить L(\frakB ), то для будь-якого x \in \frakB вектор-функцiя etAx допускає
продовження до цiлої \frakB -значної функцiї ezAx, z \in \BbbC , експоненцiального типу i цю функцiю
можна визначити за оператором A двома способами:
ezAx =
\infty \sum
n=0
zn
n!
Anx (2)
або
ezAx = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\biggl(
I +
zA
n
\biggr) n
x. (3)
У випадку, коли \frakB = \BbbC , формули (2) i (3) навiв Л. Ейлер [2]. З часом вони були поширенi
багатьма математиками (див. [3 – 6]) на неперервнi оператори у довiльному банаховому прос-
торi, причому збiжнiсть у правих частинах виконується в рiвномiрнiй операторнiй топологiї.
Якщо ж A /\in L(\frakB ), то зображення (2) i (3) мають мiсце не для всiх x \in \frakB . Можна навести
приклад C0-пiвгрупи, для якої вони є правильними лише при x = 0. З огляду на це постає
питання: за яких умов на C0-пiвгрупу iснують локально-опуклi простори X0, X
\prime
0 :
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
480 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
X0 \subset \frakB \subset X \prime
0
такi, що зазначенi вкладення є щiльними i неперервними, на елементах яких права частина в (2)
збiгається у топологiях цих просторiв? Така постановка часто-густо зустрiчається в рiзних ма-
тематичних задачах. Наприклад, якщо \frakB = \widetilde C([0, 2\pi ]) — простiр неперервних 2\pi -перiодичних
функцiй, то зображення
x(t) =
\infty \sum
k= - \infty
ck e
ikt, ck =
1\surd
2\pi
2\pi \int
0
x(t) e - ikt dt,
має мiсце не для всiх x \in \widetilde C([0, 2\pi ]). Але покладаючи X0 = \widetilde D, де \widetilde D — локально-опуклий
простiр нескiнченно диференцiйовних 2\pi -перiодичних функцiй, i X \prime
0 = \widetilde D\prime , де \widetilde D\prime — простiр
2\pi -перiодичних розподiлiв (див. [7]), одержуємо ланцюжок щiльних i неперервних вкладень\widetilde D \subset \widetilde C\bigl( [0, 2\pi ]\bigr) \subset \widetilde D\prime , до того ж тригонометричнi ряди функцiй з \widetilde D i \widetilde D\prime збiгаються в топологiях
цих просторiв вiдповiдно.
Варто також нагадати, що ще у 1772 р. Ж. Лагранж (див. [8]) навiв формулу
x(t+ s) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\biggl(
t
d
ds
\biggr)
x(s) =
\infty \sum
k=0
tk
k!
dkx(s)
dsk
,
з якої видно, що група зсувiв U(t)x(s) = x(s+ t) зображується виразом (2) як експонента вiд її
генератора — оператора диференцiювання. Що ж до надання їй сенсу для довiльної C0-групи,
тобто усвiдомлення, що саме слiд розумiти пiд etA, де A — генератор цiєї групи, то знадо-
билось майже два столiття, щоб з’явилась теорiя пiвгруп лiнiйних неперервних операторiв у
банаховому просторi — одне з найважливiших досягнень математики ХХ столiття. Лагранжеве
обґрунтування наведеного зображення для групи зсувiв випливало iз даного ним означення
функцiї: „Будь-яка функцiя скрiзь, за винятком, можливо, окремих значень аргументу, зобра-
жується рядом Тейлора”.
Якщо розглядати формулу (2) у рiзних функцiональних просторах, таких, наприклад, як
Lp(\BbbR ), Cb(\BbbR ) тощо, то можна переконатись, що її лiва частина визначена на всьому просторi,
а ряд у правiй частинi — лише на певних класах цiлих функцiй, щiльних у розглядуваних
просторах. Тому слушним є питання про те, чи iснує для довiльної C0-пiвгрупи у банаховому
просторi \frakB щiльний у ньому топологiчний пiдпростiр X, на елементах x якого формула (2)
має сенс, тобто її права частина збiгається до etAx у топологiї цього пiдпростору.
Для довiльної унiтарної групи у гiльбертовому просторi \frakH зображення (2) на щiльнiй у \frakH
множинi векторiв випливає з теореми Стоуна [9] про спектральне зображення такої групи. Для
C0-групи у банаховому просторi \frakB проблема про можливiсть її зображення у виглядi (2) на
щiльнiй у \frakB множинi векторiв була поставлена А. М. Колмогоровим i розв’язана I. М. Гельфан-
дом у випадку, коли ця група є обмеженою (див. [10]). Для довiльної C0-групи в \frakB її розв’язок
наведено в [11].
Проблема iснування простору X0 \subset \frakB , на елементах x якого C0-пiвгрупа в \frakB зображується
у виглядi (3), була поставлена Е. Хiлле (1946 р.). Як було зазначено ним у [12], „поширити
формулу (3) на сильний випадок (тобто коли генератор A пiвгрупи не є обмеженим), мабуть,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 481
надзвичайно важко: ймовiрно, що навiть для x \in C\infty (A) =
\infty \bigcap
n=1
\scrD (An) границя (3) не завжди
iснує”. Зауважимо, що в [11] для C0-групи в \frakB встановлено, що така границя iснує тодi i тiльки
тодi, коли x — цiлий вектор її генератора A, тобто X0 є нi чим iншим, як простором цiлих
векторiв оператора A.
Основна мета даної роботи — для аналiтичної C0-пiвгрупи в \frakB вiдшукати топологiчнi
простори X0 та X \prime
0 зi щiльними i неперервними вкладеннями X0 \subset \frakB \subset X \prime
0, на елементах яких
допускається зображення (2), збiжне у топологiях цих просторiв. Подiбне питання розглядалось
у [13], але воно стосувалось лише пiвгруп лiнiйних операторiв, дiя яких не виходить за межi
\frakB , i збiжностi ряду (2) в топологiї пiдпросторiв цiлих векторiв їх генераторiв. Ми також
розв’язуємо проблему Хiлле i, бiльш того, наводимо короткий огляд деяких конкретних проблем
математики, повний розв’язок яких потребував додаткового введення специфiчних локально-
опуклих просторiв.
2. Простори \bffrakB (+) та \bffrakB \{ +\} . У цьому пунктi припускатимемо, що оператор A \in E(\frakB )
задовольняє такi умови:
a) A є генератором обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи стиску
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB ;
b) A /\in L(\frakB );
c) A - 1 \in L(\frakB ).
Iз твердження 2 випливає, що
\forall t > 0 : etAx = 0 =\Rightarrow x = 0 i \scrR (etA) = \frakB ,
а отже, оператор etA має обернений e - tA :=
\bigl(
etA
\bigr) - 1
.
На множинi \frakB t = \scrR
\bigl(
etA
\bigr)
введемо норму \| x\| t =
\bigm\| \bigm\| e - tAx\bigm\| \bigm\| . Оскiльки e - tA \in E(\frakB ) i
\scrR (etA) = \frakB , простiр \frakB t є банаховим вiдносно \| \cdot \| t. Бiльш того, простiр \frakB t, t > 0, щiльно
i неперервно вкладений у \frakB 0 = \frakB . Позначимо через Vs(t) звуження оператора etA на \frakB s :
Vs(t) := etA \upharpoonright \frakB s .
Теорема 1. Множина \{ Vs(t)\} t\geq 0 утворює обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу у просторi
\frakB s з генератором As = A \upharpoonright \frakB s .
Доведення. Iз включення \scrR
\bigl(
e(s+t)A
\bigr)
\subset \scrR
\bigl(
esA
\bigr)
для довiльних t, s > 0 i нерiвностi\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| e - sAetAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| etAe - sAx\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| e - sAx\bigm\| \bigm\| = \| x\| s
випливає, що \{ Vs(t)\} t\geq 0 — пiвгрупа стиску в \frakB s. Оскiльки y = e - sAx \in \frakB для x \in \frakB s, то
спiввiдношення \bigm\| \bigm\| etAx - x
\bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| e - sA \bigl(
etAx - x
\bigr) \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| etAy - y
\bigm\| \bigm\|
свiдчать про те, що \{ Vs(t)\} t\geq 0 — C0-пiвгрупа у просторi \frakB s, а її генератором As є звуження
A на \frakB s. На пiдставi твердження 1 маємо
\forall x \in \frakB s \exists c > 0 : \| AnsVs(t)x\| s =
\bigm\| \bigm\| AnetAx\bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| e - sAAnetAx\bigm\| \bigm\| \leq cn
tn
n!
\bigm\| \bigm\| e - sAx\bigm\| \bigm\| =
cn
tn
n!\| x\| s,
а отже, пiвгрупа \{ Vs(t)\} t\geq 0 є обмеженою аналiтичною в \frakB s.
Теорему 1 доведено.
Враховуючи, що
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— пiвгрупа стиску, одержуємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
482 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
\forall t \geq 0 \forall s \geq 0 \forall x \in \frakB s : \| x\| s =
\bigm\| \bigm\| e - sAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| etAe - (t+s)Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e - (t+s)Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = \| x\| t+s.
Ця нерiвнiсть i включення \scrR
\bigl(
e(t+s)A
\bigr)
\subseteq \scrR
\bigl(
esA
\bigr)
зумовлюють неперервне вкладення
\forall t \geq 0 \forall s \geq 0 : \frakB s+t \subseteq \frakB s.
Позначимо через \frakB \prime
s простiр, спряжений до \frakB s. Iз пiвгрупової властивостi esA i аналiтич-
ностi пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
випливає, що для довiльного лiнiйного неперервного функцiонала
F \in \frakB \prime
s
F
\bigl(
esAx
\bigr)
= 0 =\Rightarrow F
\bigl(
etAx
\bigr)
= 0 при t \geq s.
Звiдси робимо висновок, що \frakB t щiльно вкладається в \frakB s i
Vs\prime (t) = Vs(t) \upharpoonright \frakB s\prime при s\prime > s > 0. (4)
Покладемо
\frakB (+) =
\bigcap
s\geq 0
\frakB s, \frakB \{ +\} =
\bigcup
s\geq 0
\frakB s
i введемо у цих просторах топологiю проективної та, вiдповiдно, iндуктивної границi банахових
просторiв \frakB s :
\frakB (+) = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow \infty
\frakB s, \frakB \{ +\} = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
s\rightarrow 0
\frakB s.
Оскiльки iндуктивна границя \frakB \{ +\} є регулярною (див. [14]), то збiжнiсть xn \rightarrow x, n \rightarrow \infty ,
у цьому просторi означає збiжнiсть xn \rightarrow x у деякому \frakB s. Що ж до простору \frakB (+), то збiж-
нiсть у ньому рiвносильна збiжностi у кожному \frakB s. Аналогiчно обмеженiсть, неперервнiсть,
диференцiйовнiсть, аналiтичнiсть вектор-функцiї y(t) зi значеннями в \frakB \{ +\} (\frakB (+)) означає
наявнiсть вiдповiдної властивостi у деякому (кожному) просторi \frakB s. Очевидно також, що
\frakB (+) = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\BbbN \ni n\rightarrow \infty
\frakB n, \frakB \{ +\} = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\frakB 1/n.
Таким чином, \frakB (+) — зчисленно-нормований простiр [15].
Теорема 2. Простiр \frakB (+) є щiльним у \frakB , а вкладення \frakB n+1 у \frakB n — строгим для довiль-
ного n \in \BbbN 0 = \BbbN
\bigcup
\{ 0\} .
Доведення. Врахувавши щiльнiсть вкладення \frakB n+1 у \frakB n для будь-якого n \in \BbbN 0, виберемо
за iндукцiєю для довiльного фiксованого x0 \in \frakB та \varepsilon > 0 вектори xn \in \frakB n, n \in \BbbN , такi, що
\| xn+1 - xn\| n \leq \varepsilon
2n+1
. Тодi
\| xn+1 - x0\| \leq \| xn+1 - xn\| n + \| xn - xn - 1\| n - 1 + . . .+ \| x1 - x0\| \leq \varepsilon
2n+1
+ . . .+
\varepsilon
2
< \varepsilon , (5)
до того ж
\forall k \geq 1 \forall m > n \geq k : \| xn+1 - xn\| k + . . .+ \| xm - xm - 1\| k \leq
\leq \| xn+1 - xn\| n + . . .+ \| xm - xm - 1\| m - 1 \leq
\varepsilon
2n+1
+ . . .+
\varepsilon
2m
\leq \varepsilon
2n
.
Таким чином,
\forall k \in \BbbN \exists yk \in \frakB k : \| xn - yk\| k \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 483
Очевидно, що yk не залежить вiд k, тобто yk = y (k \in \BbbN ), а тому y \in
\infty \bigcap
k=1
\frakB k. Переходячи в
(5) до границi при n\rightarrow \infty , одержуємо \| y - x0\| < \varepsilon , а отже, \frakB (+) = \frakB .
Припустимо тепер, що вкладення \frakB n+1 в \frakB n не є строгим. Це означає, що
\exists \gamma > 0 : \| x\| n+1 \leq \gamma \| x\| n \Leftarrow \Rightarrow
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e - (n+1)Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq \gamma
\bigm\| \bigm\| e - nAx\bigm\| \bigm\| .
Оскiльки \scrR (enA) = \frakB , то
\forall y \in \frakB :
\bigm\| \bigm\| e - Ay\bigm\| \bigm\| \leq \gamma \| y\| ,
тобто 0 \in \rho
\bigl(
eA
\bigr)
, що суперечить (див. твердження 2) умовi b) на оператор A.
Теорему 2 доведено.
Твердження 3. Для довiльного x \in \frakB (+) iснують xs, ys \in \frakB (+) (s \geq 0) такi, що
x = esAxs, x = e - sAys.
Доведення. Оскiльки для будь-якого фiксованого t > 0
\forall s \geq 0 : \frakB t+s = \scrR
\bigl(
e(t+s)A
\bigr)
\subset \frakB s,
то
\frakB (+) =
\bigcap
s\geq 0
\frakB s =
\bigcap
s\geq 0
\frakB t+s =
\bigcap
s\geq t
\frakB s - t. (6)
Беручи до уваги взаємну однозначнiсть вiдображення etA : \frakB \mapsto \rightarrow \frakB t (теорема 2) i рiвнiсть (6),
одержуємо
\frakB (+) = etA\frakB (+).
Твердження 3 доведено.
Позначимо через \{ V (t)\} t\geq 0 звуження пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
на простiр \frakB (+) : V (t) = etA \upharpoonright \frakB (+)
.
Неважко переконатись, що його генератор A+ = A \upharpoonright \frakB (+)
. Нагадаємо (див. [1]), що довiльна
пiвгрупа \{ T (t)\} t\geq 0 у локально-опуклому просторi X називається одностайно неперервною,
якщо для будь-якої його пiвнорми p(x) iснує пiвнорма q(x) така, що
\forall x \in X \forall t \geq 0 : p (T (t)x) \leq q(x).
Теорема 3. Нехай
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— обмежена аналiтична C0-пiвгрупа стиску в \frakB . Тодi пiвгрупа
\{ V (t)\} t\geq 0 є одностайно неперервною в \frakB (+), а її генератор A+ — неперервний оператор,
визначений на всьому просторi \frakB (+).
Доведення. Iз твердження 3 випливає, що V (t) взаємно однозначно вiдображає простiр
\frakB (+) сам на себе i \forall x \in \frakB (+) : V - 1(t)x = e - tAx. Неважко бачити, що за теоремою 1 у
локально-опуклому просторi \frakB (+) для V (t) виконуються пiвгруповi властивостi 2 i 3 п. 1. Iз
твердження 3 також отримуємо
\forall x \in \frakB (+) \forall s > 0 : \| V (t)x - x\| s =
\bigm\| \bigm\| \bigl( etA - I
\bigr)
e - sAe2sAx2s
\bigm\| \bigm\| \leq
\leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \Bigl( e(t+s)A - esA
\Bigr)
x2s
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при t\rightarrow 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
484 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
а отже, \{ V (t)\} t\geq 0 — C0-пiвгрупа у просторi \frakB (+). Спiввiдношення
\forall s, t \geq 0 :
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| e - sAetAx\bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| e - sAx\bigm\| \bigm\| = \| x\| s
пiдтверджує одностайну неперервнiсть пiвгрупи \{ V (t)\} t\geq 0 в \frakB (+).
Оскiльки за умовою пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
є обмеженою аналiтичною, то на пiдставi тверджен-
ня 1 маємо
\forall \varepsilon > 0 \forall x \in \frakB (+) : \| Ax\| s =
\bigm\| \bigm\| e - sAAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Ae\varepsilon Ae - (s+\varepsilon )Ax
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c
\varepsilon
\| x\| s+\varepsilon .
Звiдси робимо висновок, що оператор A+ = A \upharpoonright \frakB (+)
є неперервним у просторi \frakB (+). Рiвнiсть\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( V (t) - I
t
- A+
\biggr)
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( V (t) - I
t
- A
\biggr)
e - sAx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| , t > 0,
показує, що A+ — генератор пiвгрупи \{ V (t)\} t\geq 0 в \frakB (+), що й завершує доведення теореми.
Для t \in \BbbR покладемо
\widetilde V (t) =
\left\{ V (t) при t \geq 0,
V - 1( - t) при t < 0.
З доведення теореми 3 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 1. Якщо
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— обмежена аналiтична C0-пiвгрупа у просторi \frakB , то ї ї
звуження
\bigl\{
V (t)
\bigr\}
t\geq 0
на \frakB (+) допускає продовження до C0-групи
\bigl\{ \widetilde V (t)
\bigr\}
t\in \BbbR у цьому просторi.
Твердження 3 i той факт, що
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— пiвгрупа стиску, обумовлюють спiввiдношення
\forall x \in \frakB (+) \forall s\prime > s > 0 \forall k \in \BbbN :\bigm\| \bigm\| \bigm\| Akx\bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e - sAAkes\prime Axs\prime \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e(s\prime - s)AAkxs\prime \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq ckk!
(s\prime - s)k
\| x\| s\prime ,
звiдки для довiльних n,m \in \BbbN , m > n, та z \in \BbbC : | z| < s\prime - s
2c
маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k=n
zk
k!
Akx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
\leq
m\sum
k=n
| z| k
k!
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Akx\bigm\| \bigm\| \bigm\|
s
\leq
m\sum
k=n
| z| k
k!
ckk!
(s\prime - s)k
\| x\| s\prime \leq
1
2n - 1
\| x\| s\prime , x \in \frakB (+).
Отже, послiдовнiсть
Vn(z)x =
n\sum
k=0
zk
k!
Akx при | z| < s\prime - s
2c
є фундаментальною в \frakB (+) i внаслiдок секвенцiальної повноти простору \frakB (+) ряд\sum \infty
k=0
zk
k!
Akx збiгається у цьому просторi. Враховуючи, що s\prime i s можна вибрати так, щоб
величина s\prime - s була як завгодно великою, приходимо до висновку, що послiдовнiсть операто-
рiв
\sum n
k=0
zk
k!
Ak сильно збiгається до оператора \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA) рiвномiрно на кожному компактi з \BbbC ,
а оператор-функцiя \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA) є цiлою у просторi \frakB (+).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 485
Неважко переконатись, що вектор-функцiя y(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA)x є розв’язком задачi Кошi
dy(t)
dt
= Ay(t), t \in (0,\infty ),
y(0) = x,
а оскiльки A генерує C0-пiвгрупу в \frakB , то
y(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA)x = etAx.
Беручи до уваги наслiдок 1, приходимо до такого твердження.
Наслiдок 2. За умов наслiдку 1 V (t) допускає продовження до цiлої оператор-функцiї
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA) у просторi \frakB (+).
3. Простори \bffrakB ( - ) та \bffrakB \{ - \} . У цьому пунктi на оператор A накладаються такi ж умови,
як i в попередньому.
Позначимо через \frakB - t (t > 0) поповнення \frakB за нормою
\| x\| - t =
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\|
i покладемо \frakB 0 = \frakB . При t\prime > t \geq 0 маємо щiльне й неперервне вкладення \frakB - t \subseteq \frakB - t\prime . Щоб
переконатися в цьому, достатньо довести порiвняннiсть i узгодженiсть норм \| \cdot \| - t та \| \cdot \| - t\prime
в \frakB . Оскiльки
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— пiвгрупа стиску, то перша властивiсть випливає iз спiввiдношення
\| x\| - t\prime =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| et\prime Ax\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e(t\prime - t)AetAx\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| = \| x\| - t.
Припустимо тепер, що \frakB \ni xm \rightarrow 0 (m \rightarrow \infty ) у просторi \frakB - t\prime i послiдовнiсть \{ xm\} m\in \BbbN є
фундаментальною в \frakB - t. Останнє означає фундаментальнiсть послiдовностi
\bigl\{
etAxm
\bigr\}
m\in \BbbN в
\frakB , а отже, etAxm збiгається в \frakB до деякого елемента y \in \frakB , звiдки
0 = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
et
\prime Axm = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
m\rightarrow \infty
e(t
\prime - t)AetAxm = e(t
\prime - t)Ay.
На пiдставi твердження 2 робимо висновок, що y = 0.
Таким чином, для довiльних t\prime > t > 0 маємо щiльне i неперервне вкладення
\frakB - t \subset \frakB - t\prime .
Зауважимо, що це вкладення є строгим, оскiльки в протилежному випадку
\forall x \in \frakB - t\prime : \| x\| - t\prime \geq c\| x\| - t =\Rightarrow \forall y \in \frakB :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| e(t\prime - t)Ay\bigm\| \bigm\| \bigm\| \geq c\| y\| ,
а це, за твердженням 2, означало б неперервнiсть оператора A.
Iз нерiвностi
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\| \leq 1, щiльностi \frakB в \frakB - s i спiввiдношення
\forall t \geq 0 \forall s > 0 \forall x \in \frakB :
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| - s \leq \| x\| - s
випливає, що
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
допускає неперервне продовження до пiвгрупи \{ Us(t)\} t\geq 0 у просторi
\frakB - s, причому
\| Us(t)\| \frakB - s
\leq 1. (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
486 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Теорема 4. Оператор Ut(t) iзометрично вiдображає \frakB - t на \frakB , i для будь-якого фiксова-
ного s > 0 \{ Us(t)\} t\geq 0 є обмеженою аналiтичною C0-пiвгрупою стиску у просторi \frakB - s. Бiльш
того,
\forall s\prime > s > 0 : Us\prime (t) \upharpoonright \frakB - s= Us(t). (8)
Доведення. Припустимо, що x \in \frakB - t. Тодi iснує послiдовнiсть \{ xn \in \frakB \} n\in \BbbN : xn \rightarrow x в
\frakB - t така, що
\| Ut(t)xn - Ut(t)xm\| =
\bigm\| \bigm\| etAxn - etAxm
\bigm\| \bigm\| = \| xn - xm\| - t \rightarrow 0 при n,m\rightarrow \infty .
Оскiльки норми \| \cdot \| та \| \cdot \| - t узгодженi i etA\frakB = \scrR
\bigl(
etA
\bigr)
, то U(t)xn \rightarrow U(t)x в \frakB , тобто
Ut(t)\frakB - t \subseteq \scrR (etA)
(замикання розумiється у просторi \frakB ).
Покажемо, що має мiсце й протилежне включення. Справдi, нехай x \in \scrR (etA). Тодi
\exists yn \in \frakB (n \in \BbbN ) : etAyn \rightarrow x при n\rightarrow \infty .
Iз спiввiдношення
\| yn - ym\| - t =
\bigm\| \bigm\| etAyn - etAym
\bigm\| \bigm\| = \| Ut(t)yn - Ut(t)ym\| \rightarrow 0 при n,m\rightarrow \infty
внаслiдок узгодженостi норм \| \cdot \| та \| \cdot \| - t маємо
\exists y \in \frakB - t : Ut(t)y = x,
тобто
\scrR (etA) \subseteq Ut(t)\frakB - t,
а отже, Ut(t)\frakB - t = \scrR (etA). Враховуючи, що внаслiдок аналiтичностi пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
\scrR (etA) = \frakB , одержуємо
Ut(t)\frakB - t = \frakB .
З того, що \| Ut(t)x\| =
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| = \| x\| - t для довiльного x \in \frakB , i щiльностi \frakB в \frakB - t
випливає, що
\forall x \in \frakB - t : \| Ut(t)x\| = \| x\| - t.
Аналогiчно, внаслiдок щiльностi \frakB в \frakB - s i неперервностi Us(t) в \frakB - s робимо висновок, що
\forall x \in \frakB - s \forall t1, t2 \geq 0 : et1Aet2Ax = e(t1+t2)Ax
i
Us(t)x - x\rightarrow 0 при t\rightarrow 0.
Таким чином, \{ Us(t)\} t\geq 0 — пiвгрупа стиску в \frakB - s. Позначимо через A - s її генератор. Оскiльки
пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
є обмеженою аналiтичною в \frakB , то
\forall x \in \frakB :
\bigm\| \bigm\| An - sUs(t)x\bigm\| \bigm\| - s = \bigm\| \bigm\| AnetAx\bigm\| \bigm\| - s = \bigm\| \bigm\| esAAnetAx\bigm\| \bigm\| \leq cnn!
tn
\bigm\| \bigm\| esAx\bigm\| \bigm\| =
cnn!
tn
\| x\| - s,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 487
звiдки, завдяки щiльностi \frakB в \frakB - s, випливає обмежена аналiтичнiсть пiвгрупи Us(t) у просторi
\frakB - s. Беручи також до уваги, що
\forall s\prime > s > 0 : Us\prime (t) \upharpoonright \frakB = Us(t) \upharpoonright \frakB ,
i неперервнiсть Us\prime (t) в \frakB - s\prime , приходимо до (8).
Теорему 4 доведено.
Тепер покладемо
\frakB \{ - \} = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\frakB - t, \frakB ( - ) = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
\frakB - t.
Очевидно, що
\frakB \{ - \} = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\frakB - n, \frakB ( - ) = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\frakB - 1
n
,
а тому простiр \frakB ( - ) є злiченно-нормованим. Оскiльки оператор A не обмежений, то вкладення
\frakB - t \subset \frakB - t\prime при t < t\prime
є строгим.
У просторi \frakB \{ - \} визначимо пiвгрупу\bigl\{
\v U(t)x = Us(t)x
\bigr\}
t\geq 0
, якщо x \in \frakB - s.
Спiввiдношення (8) гарантує коректнiсть такого означення. За теоремою 4
\bigl\{
\v U(t)
\bigr\}
t\geq 0
є аналi-
тичною C0-пiвгрупою i \v U(t) \upharpoonright \frakB = etA. Генератор \v A цiєї пiвгрупи є розширенням A в \frakB \{ - \} .
У просторi \frakB ( - ) розглянемо пiвгрупу\Bigl\{
\^U(t)x = Us(t)x
\Bigr\}
t\geq 0
\forall s \geq 0.
Завдяки (8) це означення не залежить вiд вибору s, а отже, також є коректним. Згiдно з
теоремою 4,
\bigl\{
\^U(t)
\bigr\}
t\geq 0
— аналiтична C0-пiвгрупа в \frakB ( - ) i \^U(t)\frakB ( - ) \subset \frakB при t > 0. Позначимо
через \^A генератор цiєї пiвгрупи.
Теорема 5. Пiвгрупа
\bigl\{
\^U(t)
\bigr\}
t\geq 0
є одностайно неперервною в \frakB ( - ) i має такi властивостi:
(i) \forall t > 0 : \^U(t)\frakB ( - ) \subset \frakB ;
(ii) \forall t \geq 0 \forall x \in \frakB : \^U(t)x = etAx;
(iii) \forall t, s > 0 \forall x \in \frakB ( - ) : \^U(t+ s)x = etA \^U(s)x = esA \^U(t)x.
Її генератор \^A визначений i неперервний на всьому просторi \frakB ( - ), а також \^A \upharpoonright \scrD (A)= A.
Доведення. Одностайна неперервнiсть
\bigl\{
\^U(t)
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB ( - ), а також властивостi (i) – (iii)
випливають безпосередньо з теореми 4. Крiм того, для будь-якого t > 0 iснує таке t\prime > 0, що
оператор \^A дiє неперервно з \frakB - t\prime в \frakB - t; за t\prime можна взяти будь-яке число з iнтервалу (0, t),
оскiльки
\forall x \in \scrD (A) : \| Ax\| - t =
\bigm\| \bigm\| etAAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Ae(t - t\prime )AeAt\prime x\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c
t - t\prime
\bigm\| \bigm\| \bigm\| et\prime AAx\bigm\| \bigm\| \bigm\| =
c
t - t\prime
\| x\| - t\prime .
Тому оператор A допускає продовження за неперервнiстю \^A на увесь простiр \frakB ( - ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
488 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Доведемо тепер, що \^A \upharpoonright \scrD (A) = A. Справдi,
\forall x \in \scrD (A) : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
e(t+\Delta t)Ax - etAx
\Delta t
iснує у просторi \frakB .
Поготiв, у просторi \frakB ( - ) iснує границя
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\Delta t\rightarrow 0
U(t+\Delta t)x - U(t)x
\Delta t
= \^Ax = Ax.
Теорему 5 доведено.
4. Простори нескiнченно диференцiйовних векторiв замкненого оператора. Нехай A \in
\in E(\frakB ). Припустимо, що 0 \in \rho (A). Не обмежуючи загальностi можемо вважати, що
\forall x \in \scrD (A) : \| Ax\| \geq \| x\| (9)
та
A /\in L(\frakB ). (10)
Позначимо через \frakB n = \frakB n(A) множину \scrD (An). Ця множина утворює банахiв простiр \frakB n
вiдносно норми \| x\| \frakB n = \| Anx\| , вiдомий (див. [16]) як абстрактний соболєвський простiр.
Замкненiсть оператора A i спiввiдношення (9) обумовлюють нерiвнiсть
\| Anx\| \leq
\bigm\| \bigm\| An+1x
\bigm\| \bigm\| \forall x \in \scrD (An+1),
а отже, щiльне й неперервне вкладення
\frakB n+1 \subset \frakB n, n \in \BbbN 0.
Його строгiсть доводиться вiд супротивного. Дiйсно, припустимо, що для деякого n \in \BbbN 0
\frakB n+1 = \frakB n топологiчно. Тодi
\exists cn > 0 \forall x \in \frakB n+1 : \| x\| \frakB n+1 \leq cn\| x\| \frakB n .
Оскiльки \scrR (An) = \frakB , то
\forall y \in \frakB : \| Ay\| \leq cn\| y\| ,
тобто A \in L(\frakB ), що суперечить (10).
Позначимо через \frakB - n поповнення \frakB за нормою
\| x\| \frakB - n =
\bigm\| \bigm\| A - nx
\bigm\| \bigm\| .
Iз спiввiдношень (9), (10) випливає щiльне i неперервне строге вкладення
\frakB - n \subset \frakB - (n+1).
Теорема 6. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB . Тодi
\forall t > 0 \forall n \in \BbbN : \frakB - n \subset \frakB - t
щiльно i неперервно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 489
Доведення. Для пiдтвердження щiльностi й неперервностi зазначеного вкладення достатньо
довести порiвняннiсть i узгодженiсть норм \| \cdot \| \frakB - n та \| \cdot \| - t. Перша з цих властивостей
зумовлюється спiввiдношенням
\| x\| - t =
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| etAAnA - nx
\bigm\| \bigm\| \leq cnn!
tn
\bigm\| \bigm\| A - nx
\bigm\| \bigm\| = cn\| x\| \frakB - n ,
котре є наслiдком твердження 1.
Припустимо тепер, що послiдовнiсть \{ xk\} k\in \BbbN збiгається у просторi \frakB - t до 0 при k \rightarrow \infty
i є фундаментальною в \frakB - n. Тодi послiдовнiсть \{ A - nxk\} k\in \BbbN є фундаментальною в \frakB , а тому
збiгається до деякого вектора y \in \frakB . З iншого боку, завдяки неперервностi оператора etAAn в
\frakB при t > 0 приходимо до висновку, що
AnetAA - nxk \rightarrow AnetAy при k \rightarrow \infty .
Враховуючи, що
AnetAA - nxk = etAxk \rightarrow 0 в \frakB ,
одержуємо AnetAy = 0. Оскiльки 0 \in \rho (A), то etAy = 0. За твердженням 2 y = 0, а тому
норми \| \cdot \| \frakB - n i \| \cdot \| - t узгодженi. Таким чином, \frakB - n \subseteq \frakB - t щiльно i неперервно. Якби
\frakB - n = \frakB - t, то iснувала б така стала dn > 0, що
\forall x \in \frakB : \| x\| \frakB - n \leq dn\| x\| - t.
Тодi, взявши до уваги, що \scrR (An) = \frakB , i можливiсть зображення довiльного елемента y \in \frakB у
виглядi y = Anx, одержали б оцiнку
\| y\| \leq dn
\bigm\| \bigm\| etAA - ny
\bigm\| \bigm\| \forall y \in \frakB ,
з якої випливає, що
\bigl(
etAA - n\bigr) - 1 \in L(\frakB ), що суперечить твердженню 2 i умовi (10).
Теорему 6 доведено.
Покладемо
\frakB \infty = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\frakB n, \frakB - \infty = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\frakB - n.
Виходячи iз викладеного вище, отримуємо ланцюжок попарно неперервних i щiльних вкладень
\frakB (+) \subset \frakB \{ +\} \subset \frakB \infty \subset \frakB \subset \frakB - \infty \subset \frakB \{ - \} \subset \frakB ( - ).
Оскiльки вci банаховi простори \frakB n вiдмiннi один вiд одного у злiченно-нормованому просторi
\frakB \infty , то (див. [15]) для довiльної монотонно неспадної послiдовностi \{ mn\} n\in \BbbN можна пiдiбрати
x \in \frakB \infty так, що
\| x\| \frakB n = \| Anx\| \geq mn.
З огляду на це розглянемо деякi пiдпростори з \frakB \infty , для елементiв x яких послiдовнiсть
\{ Anx\} n\in \BbbN має певний порядок зростання при n \rightarrow \infty , i з’ясуємо їх зв’язок iз просторами
\frakB (+), \frakB \{ +\} ,\frakB ( - ) та \frakB \{ - \} .
Для числа \beta \geq 0 покладемо
\frakG \{ \beta \} = \frakG \{ \beta \} (A) = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\alpha \rightarrow \infty
\frakG \alpha
\beta (A) =
\bigcup
\alpha >0
\frakG \alpha
\beta (A),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
490 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
\frakG (\beta ) = \frakG (\beta )(A) = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\alpha \rightarrow 0
\frakG \alpha
\beta (A) =
\bigcap
\alpha >0
\frakG \alpha
\beta (A),
де
\frakG \alpha
\beta (A) =
\Bigl\{
x \in \frakB \infty \bigm| \bigm| \exists c = c(x) > 0, \forall k \in \BbbN 0 : \| Akx\| \leq c\alpha kkk\beta
\Bigr\}
— банахiв простiр вiдносно норми
\| x\| \frakG \alpha
\beta (A)
= \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
k\in \BbbN 0
\| Akx\|
\alpha kkk\beta
.
Оскiльки \frakG \{ \beta \} є регулярною iндуктивною границею просторiв \frakG \alpha
\beta (A), то збiжнiсть послiдов-
ностi в \frakG \{ \beta \} означає її збiжнiсть в \frakG \alpha
\beta (A) при деякому \alpha > 0, тодi як збiжнiсть в \frakG (\beta )(A)
рiвносильна збiжностi в \frakG \alpha
\beta (A) при кожному додатному \alpha .
Очевидно, що для довiльних \lambda \not = 0, \mu \in \BbbC
\frakG \{ \beta \} (\lambda A+ \mu I) = \frakG \{ \beta \} , \frakG (\beta )(\lambda A+ \mu I) = \frakG (\beta ),
i за умови, що \beta 1 < \beta 2,
\frakG (\beta 1) \subseteq \frakG \{ \beta 1\} \subseteq \frakG (\beta 2) \subseteq \frakG \{ \beta 2\} .
Бiльш того, для будь-якого многочлена P (\lambda )
P (A)\frakG \{ \beta \} (A) \subseteq \frakG \{ \beta \} (A), P (A)\frakG (\beta )(A) \subseteq \frakG (\beta )(A),
i якщо 0 \in \rho (P (A)) , то
P (A)\frakG \{ \beta \} (A) = \frakG \{ \beta \} (A), P (A)\frakG (\beta )(A) = \frakG (\beta )(A).
Простори \frakG \{ 1\} (A), \frakG (1)(A) та \frakG \{ 0\} (A) називають просторами аналiтичних [17], цiлих [18]
та цiлих експоненцiального типу [19] векторiв оператора A. Як показано в [20], має мiсце таке
твердження.
Твердження 4. Нехай генератор A належить E(\frakB ). Тодi для довiльного x \in \frakG (\beta )(A),
0 < \beta \leq 1, ряд
\sum \infty
k=0
zk
k!
Akx збiгається у просторi \frakG (\beta )(A) рiвномiрно на кожному компактi
K \subset \BbbC i вектор-функцiя
\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA)x =
\infty \sum
k=0
zk
k!
Akx
є цiлою в \frakG (\beta )(A). Якщо A генерує обмежену аналiтичну з кутом \theta C0-пiвгрупу, то \frakG (\beta )(A) =
= \frakB при \beta > 1 - 2\theta
\pi
i
\forall t > 0 \forall x \in \frakG (1)(A) : \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA)x =
\left\{ e
tAx при t \geq 0,\bigl(
e - tA
\bigr) - 1
x при t < 0.
(11)
Якщо ж x \in \frakG \{ 1\} (A), то iснує таке r = r(x), що (11) виконується при t \in (0, r).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 491
Теорема 7. Припустимо, що A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB . Тодi
\frakG (1) = \frakB (+), \frakG \{ 1\} = \frakB \{ +\} ,
причому топологiї вiдповiдних пар просторiв є еквiвалентними.
Доведення. Нехай x \in \frakG (1). Тодi за твердженням 4
x = etAxt \forall t > 0, де xt = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - tA)x \in \frakG (1),
тобто
x \in
\bigcap
t>0
\scrR
\bigl(
etA
\bigr)
= \frakB (+)
i
\| x\| t =
\bigm\| \bigm\| e - tAx\bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=0
tk
k!
( - A)kx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\infty \sum
k=0
tk
k!
\bigm\| \bigm\| \bigm\| Akx\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
n\in \BbbN 0
\| Anx\|
\alpha nn!
\infty \sum
k=0
(\alpha t)k \leq 2\| x\| \frakG \alpha
1
\forall \alpha < 1
2t
. (12)
Припустимо тепер, що x \in \frakB (+) =
\bigcap
t>0
\scrR
\bigl(
etA
\bigr)
. Тодi для довiльного t > 0 iснує таке
gt \in \frakB , що x = etAgt. За твердженням 1
\| Anx\| =
\bigm\| \bigm\| AnetAgt\bigm\| \bigm\| \leq cnn!
tn
\bigm\| \bigm\| e - tAx\bigm\| \bigm\| =
cnn!
tn
\| x\| t,
тобто x \in \frakG
c/t
1 i
\| x\|
\frakG
c/t
1
\leq \| x\| t. (13)
Таким чином, \frakB (+) = \frakG (1). Згiдно iз спiввiдношеннями (12) i (13), якi виконуються для до-
вiльного t > 0, топологiї цих просторiв еквiвалентнi.
Якщо x \in \frakG \{ 1\} , то за твердженням 4 \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA)x є локально аналiтичною вектор-функцiєю,
тобто iснує таке r > 0, що ця функцiя є аналiтичною в крузi Or = \{ z \in \BbbC : | z| < r\} . У цьому
випадку спiввiдношення (12), а отже, й (13) виконуються лише для t \in (0, r). Користуючись
ними, неважко помiтити еквiвалентнiсть топологiй просторiв \frakG \{ 1\} та \frakB \{ +\} .
Теорему 7 доведено.
Тепер розглянемо випадок, коли простiр \frakB = \frakH є гiльбертовим зi скалярним добутком
(\cdot , \cdot )\frakH i нормою \| \cdot \| \frakH . При розв’язуваннi багатьох задач математичного аналiзу замiсть пари
просторiв — основного i спряженого до нього — часто-густо звертаються до трiйки щiльно й
неперервно вкладених один в одного гiльбертових просторiв. Наведемо коротку схему побудови
такої трiйки.
Нехай \frakH 0 — гiльбертiв простiр над полем \BbbC комплексних чисел, а \frakH + — щiльна в ньо-
му множина, котра сама утворює гiльбертовий простiр вiдносно iншого скалярного добутку,
причому
\forall f \in \frakH + : \| f\| \frakH 0 \leq \| f\| \frakH + .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
492 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Простiр \frakH + називається позитивним, а його елементи називаються основними векторами. Кож-
ний елемент f \in \frakH 0 породжує антилiнiйний неперервний функцiонал lf над \frakH + за формулою
\forall g \in \frakH + : lf (g) = (f, g)\frakH 0 .
Позначимо через \frakH - поповнення \frakH 0 за новою нормою
\| f\| \frakH - = \| lf\| = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
g\in \frakH +
| (f, g)\frakH 0 |
\| g\| \frakH +
\leq \| f\| \frakH 0 .
Елементи цього простору називаються узагальненими векторами, а сам простiр \frakH - називається
негативним. Як показано в [21], вiн є гiльбертовим i збiгається зi спряженим до \frakH + : \frakH - =
= \frakH
\prime
+. Таким чином, маємо трiйку неперервно i щiльно вкладених один в одного гiльбертових
просторiв
\frakH + \subseteq \frakH 0 \subseteq \frakH - ,
норми яких задовольняють умову
\forall f \in \frakH + : \| f\| \frakH + \geq \| f\| \frakH 0 \geq \| f\| \frakH - . (14)
Для f \in \frakH - i g \in \frakH + визначений „скалярний добуток” (f, g)\frakH 0 — бiлiнiйна форма, яка при
f \in \frakH 0 збiгається зi скалярним добутком в \frakH 0. Для нього також виконується нерiвнiсть Кошi –
Буняковського
| (f, g)\frakH 0 | \leq \| f\| \frakH - \| g\| \frakH + .
Бiльш того, для довiльного антилiнiйного неперервного функцiонала l над \frakH + iснує єдиний
вектор f \in \frakH - , за допомогою якого цей функцiонал набирає вигляду
\forall g \in \frakH + : l(g) = lf (g) = (f, g)\frakH 0 .
Нехай тепер C \in E(\frakH 0) : \scrR (C) = \frakH 0 i
\forall f \in \scrD (C) : \| Cf\| \frakH 0
\geq \| f\| \frakH 0 . (15)
Тодi \frakH + = \scrD (C) є гiльбертовим простором вiдносно скалярного добутку
(f, g)\frakH + = (Cf,Cg)\frakH 0
\bigl(
f, g \in \scrD (C)
\bigr)
,
причому нерiвнiсть (15) означає, що
\forall f \in \scrD (C) : \| f\| \frakH 0 \leq \| f\| \frakH + , (16)
тобто \frakH + = \scrD (C) — позитивний простiр у вкладеннi \frakH + \subseteq \frakH 0. Неважко переконатись, що
в цьому випадку негативний простiр \frakH - є нi чим iншим, як поповненням \frakH 0 за нормою
\| f\| \frakH - =
\bigm\| \bigm\| C - 1f
\bigm\| \bigm\|
\frakH 0
, породженою скалярним добутком
(f, g)\frakH - =
\bigl(
C - 1f, C - 1g
\bigr)
\frakH 0
\bigl(
f, g \in \frakH 0
\bigr)
.
Якщо за оператор C взяти e - tA (t > 0 фiксоване), де A — генератор обмеженої аналiтичної
C0-пiвгрупи в \frakB = \frakH 0, то C = e - tA задовольняє умову (15) i простiр \frakB t є позитивним
вiдносно \frakH 0, а \frakB - t — вiдповiдним негативним.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 493
Розглянемо сiм’ю гiльбертових просторiв \frakH \tau , де \tau перебiгає впорядковану множину T,
щiльно й неперервно вкладених в \frakH 0 i таких, що
\forall f \in \frakH \tau : \| f\| \frakH \tau \geq \| f\| \frakH 0 .
Припустимо також, що при \tau 1 < \tau 2, \frakH \tau 1 \supseteq \frakH \tau 2 (\frakH \tau 1 \subset \frakH \tau 2) , цi вкладення є щiльними й
неперервними i \| \cdot \| \frakH \tau 1
\leq \| \cdot \| \frakH \tau 2
\Bigl(
\| \cdot \| \frakH \tau 1
\geq \| \cdot \| \frakH \tau 2
\Bigr)
.
Покладемо
\frakH pr = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \in T
\frakH \tau , \frakH ind = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \in T
\frakH \tau .
Зауважимо, що iндуктивна границя \frakH ind є регулярною [14]. Як показано в [21], має мiсце таке
твердження.
Твердження 5. Нехай \frakH pr (\frakH ind) — проективна (iндуктивна) границя гiльбертових про-
сторiв \frakH \tau , \tau \in T, пов’язаних з \frakH 0 i \frakH - \tau ланцюжком
\frakH \tau \subseteq \frakH 0 \subseteq \frakH - \tau , \| f\| \frakH \tau \geq \| f\| \frakH 0 \geq \| f\| \frakH - \tau .
Тодi для спряженого до \frakH pr (\frakH ind) простору \frakH \prime
pr (\frakH \prime
ind) виконується топологiчна рiвнiсть
\frakH \prime
pr = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \in T
\frakH - \tau
\biggl(
\frakH \prime
ind = \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{j} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
\tau \in T
\frakH - \tau
\biggr)
(простори \frakH \prime
pr та \frakH \prime
ind надiленi сильною топологiєю спряженого простору).
Як i у випадку гiльбертових просторiв, можна надати сенс виразу (f, g)\frakH 0 для f \in \frakH pr, g \in
\in \frakH \prime
pr (f \in \frakH ind, g \in \frakH \prime
ind) , а саме: якщо f \in \frakH pr, g \in \frakH \prime
pr (f \in \frakH ind, g \in \frakH \prime
ind) , тобто f \in \frakH \tau
при довiльному (деякому) \tau \in T, то (f, g)\frakH 0 слiд розумiти як розширення за неперервнiстю
скалярного добутку з \frakH 0 \times \frakH 0 на \frakH \tau \times \frakH - \tau . Зрозумiло, що (f, g)\frakH 0 — неперервна бiлiнiйна
форма на \frakH pr \times \frakH \prime
pr (\frakH ind \times \frakH \prime
ind) . Виходячи iз викладеного вище i враховуючи твердження 5,
отримуємо таку теорему.
Теорема 8. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи у гiльбертовому
просторi \frakH . Тодi
\frakH \prime
(+) = \frakH \{ - \} , \frakH \prime
\{ +\} = \frakH ( - ).
З теорем 7 i 8 випливає такий наслiдок.
Наслiдок 3. Якщо A генерує обмежену аналiтичну C0-пiвгрупу у гiльбертовому просторi
\frakH , то
\frakG \prime
(1) = \frakH \{ - \} , \frakG \prime
\{ 1\} = \frakH ( - ).
5. Поширення на аналiтичнi \bfitC 0-пiвгрупи зображення Лагранжа для групи зсувiв. Має
мiсце таке твердження.
Теорема 9. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
у банахо-
вому просторi \frakB . Тодi для довiльного x \in \frakB (+) ряд
\infty \sum
k=0
zk
k!
Akx (17)
збiгається у просторi \frakB (+) (а отже, й у просторi \frakB ) до \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA) рiвномiрно на кожному
компактi K \subset \BbbC . Навпаки, якщо ряд (17) збiгається у просторi \frakB рiвномiрно на будь-якому
компактi K \subset \BbbC , то x \in \frakB (+). Для довiльного x \in \frakB цей ряд збiгається рiвномiрно на
кожному K \subset \BbbC до ezAx у просторi \frakB \{ - \} .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
494 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Доведення. Рiвномiрна збiжнiсть у просторi \frakB (+) на будь-якому компактi K \subset \BbbC ряду (17)
до \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA) випливає з твердження 4 i теореми 7. Збiжнiсть цього ряду у просторi \frakB в точцi
z = t \in (0,\infty ) обумовлює оцiнку
\forall k \in \BbbN :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| tkk!Akx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq ct.
Оскiльки t \in (0,\infty ) є довiльним, то x \in \frakG (1) = \frakB (+).
Нехай тепер x \in \frakB . За твердженням 1
AkesAx \in \frakB (s > 0) i
\bigm\| \bigm\| \bigm\| AkesAx\bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq ckk!
sk
.
Тодi
\forall m > n \forall t < s
2c
:
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k=n
tk
k!
Akx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- s
=
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
m\sum
k=n
tk
k!
AkesAx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
m\sum
k=n
\biggl(
| t| c
s
\biggr) k
\leq 1
2n - 1
\rightarrow 0 при n\rightarrow \infty ,
а отже, ряд (17) збiгається у просторi \frakB - s при | z| < s
2c
, i для кожного компакта K \subset \BbbC
можна пiдiбрати s так, щоб цей ряд рiвномiрно збiгався на ньому в \frakB - s, а тому й у просторi
\frakB \{ - \} = \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d} \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}s\rightarrow \infty \frakB - s.
Нехай тепер x \in \frakB . Внаслiдок щiльностi \frakB (+) в \frakB iснує послiдовнiсть xn \in \frakB (+), яка
збiгається до x в \frakB . Для довiльного z : | z| < s
2c
маємо\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=0
zk
k!
Ak(x - xn)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
- s
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\infty \sum
k=0
zk
k!
AkesA(x - xn)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\infty \sum
k=0
\bigm| \bigm| \bigm| zc
s
\bigm| \bigm| \bigm| k \| x - xn\| \leq 2\| x - xn\| .
Беручи до уваги, що
\infty \sum
k=0
tk
k!
Akxn = etAxn,
i неперервнiсть etA в \frakB , робимо висновок, що
\infty \sum
k=0
tk
k!
Akx = etAx.
Теорему 9 доведено.
6. Розв’язок проблеми Хiлле. Має мiсце таке твердження.
Теорема 10. Нехай генератор A належить E(\frakB ). Тодi для довiльного x \in \frakG (1)(A) послi-
довнiсть
\biggl\{ \biggl(
I +
zA
n
\biggr) n
x
\biggr\}
n\in \BbbN
збiгається при n\rightarrow \infty до \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA)x у просторi \frakB (+) рiвномiрно
на кожному компактi K \subset \BbbC . Навпаки, якщо A — генератор C0-пiвгрупи стиску
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB i послiдовнiсть
\biggl\{ \biggl(
I +
zA
n
\biggr) n
x
\biggr\}
n\in \BbbN
, x \in \frakB \infty , збiгається у просторi \frakB рiвномiрно на
будь-якому компактi K \subset \BbbC , то x належить \frakG (1)(A).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 495
Доведення. Припустимо, що x \in \frakG (1) = \frakG (1)(A), де A \in E(\frakB ). Для k \in \BbbN покладемо
cj(k) =
\left\{
k(k - 1) . . . (k - j + 1)
kj
при 1 \leq j \leq k, c0(k) = 1,
0 при k < j.
Тодi cj(k) \leq 1 (j \in \BbbN ), cj(k) \rightarrow 1 при k \rightarrow \infty i
\infty \sum
j=0
cj(k)z
j
j!
Ajx =
\biggl(
I +
zA
k
\biggr) k
x. (18)
Позначимо через Sn(k, z)x частинну суму ряду з (18):
Sn(k, z)x =
n\sum
j=0
cj(k)z
j
j!
Ajx.
Очевидно, що
\| Sn+m(k, z)x - Sn(k, z)x\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n+m\sum
j=n+1
cj(k)z
j
j!
Ajx
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq
n+m\sum
j=n+1
cj(k)| z| j
j!
\bigm\| \bigm\| Ajx\bigm\| \bigm\| \leq
n+m\sum
j=n+1
| z| j
\bigm\| \bigm\| Ajx\bigm\| \bigm\|
j!
.
Оскiльки x — цiлий вектор оператора A, то
\sum n+m
j=n+1
| z| j
\bigm\| \bigm\| Ajx\bigm\| \bigm\|
j!
\rightarrow 0 при n\rightarrow \infty , а тому
\bigm\| \bigm\| Sn+m(k, z)x - Sn(k, z)x
\bigm\| \bigm\| \rightarrow 0 при n\rightarrow \infty .
Рiвномiрна вiдносно k \in \BbbN та z \in K збiжнiсть ряду в (18) дозволяє перейти до границi при
k \rightarrow \infty пiд знаком суми цього ряду, внаслiдок чого одержуємо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\biggl(
I +
zA
n
\biggr) n
x =
\infty \sum
j=0
zj
j!
Ajx = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(zA)x.
Нехай тепер послiдовнiсть
\biggl(
I +
zA
n
\biggr) n
x (n \in \BbbN , x \in \frakB \infty ) збiгається в \frakB при z = t < 0
(t є фiксованим). Тодi
\exists Mt > 0 :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I + tA
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq Mt.
Оскiльки
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
— пiвгрупа стиску, то
\forall k, n \in \BbbN :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) - k
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq 1
при t < 0, а тому для k \leq n маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
496 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) k
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) k - n\biggl(
I +
tA
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I + tA
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq Mt.
Звiдси \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( tAn
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( \biggl( I + tA
n
\biggr)
- I
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
=
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
n\sum
k=0
( - 1)n - kCkn
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) k
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
n\sum
k=0
CknMt = 2nMt,
а отже,
\forall n \in \BbbN : \| Anx\| \leq Mt
\biggl(
2
| t|
\biggr) n
nn.
З формули Стiрлiнга i того, що t < 0 може бути яким завгодно, одержуємо
\forall \alpha > 0 \exists c = c(\alpha ) : \| Anx\| \leq c\alpha nn!,
тобто x \in \frakG (1).
Теорему 10 доведено.
Тепер пiдтвердимо, що гiпотеза Хiлле, яка стверджує, що „навiть при x \in
\infty \bigcap
n=1
\scrD (An) гра-
ниця \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) n
x може не iснувати” є iстинною, i, бiльш того, наведемо приклади
аналiтичних пiвгруп, для яких ця границя не iснує навiть на просторах усiх аналiтичних векто-
рiв генераторiв цих пiвгруп.
Отже, розглянемо пiвгрупу
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
, де A = A\ast , A = - B, B — додатний оператор у
гiльбертовому просторi \frakH . Неважко переконатись, що вектори вигляду x = e - Bg, g \in \frakH , є
аналiтичними для оператора A. Доведемо, що iснують такi вектори g \in \frakH , що для x = e - Bg\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I + tA
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| =
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I - tB
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow \infty при n\rightarrow \infty .
Нехай E\lambda — спектральна функцiя оператора B. Тодi
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I - tB
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 =
\infty \int
0
\biggl(
1 - t\lambda
n
\biggr) 2n
d(E\lambda x, x) \geq
2n\int
n
\biggl(
1 - t\lambda
n
\biggr) 2n
d(E\lambda x, x).
Оскiльки
\forall t > 1 \forall \lambda \in [n, 2n] :
\biggl(
1 - 1
t
\biggr) 2n\biggl( t\lambda
n
\biggr) 2n
\leq
\biggl(
1 - t\lambda
n
\biggr) 2n
,
то для довiльного x = e - Bg, g \in \frakH , маємо
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I - tB
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 \geq
2n\int
n
\biggl(
I - t\lambda
n
\biggr) 2n
d(E\lambda x, x) \geq
\biggl(
1 - 1
t
\biggr) 2n
2n\int
n
\biggl(
t\lambda
n
\biggr) 2n
e - 2\lambda d(E\lambda g, g).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 497
Враховуючи, що функцiя \varphi n(\lambda ) =
\biggl(
t\lambda
n
\biggr) 2n
e - 2\lambda монотонно спадає на (n,\infty ) i \varphi n(2n) =
=
\biggl(
2t
e2
\biggr) 2n
, i пiдбираючи g \in \frakH так, щоб
\int 2n
n
d(E\lambda g, g) >
1
n2
, одержуємо
\forall t > 10 :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I + tA
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 = \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \biggl( I - tB
n
\biggr) n
x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| 2 \geq 1
n2
\biggl(
18
e2
\biggr) 2n
\rightarrow \infty при n\rightarrow \infty ,
що й потрiбно було довести.
7. Застосування до розв’язування задачi Кошi для абстрактного параболiчного рiвнян-
ня. З огляду на застосування зазначений вище результат насправдi вказує шлях побудови
C0-пiвгрупи \{ U(t)\} t\geq 0 за її генератором A, тому що розв’язок задачi Кошi
dy(t)
dt
= Ay(t), t \in (0,\infty ),
y(0) = x \in \frakB
записується у виглядi y(t) = U(t)x, якщо ця проблема поставлена коректно. Є кiлька пiдходiв
до такої побудови. Вкажемо два з них:
a) U(t)x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty
\biggl(
1 - tA
n
\biggr) - n
x, x \in \frakB (Ейлер – Хiлле);
b) U(t)x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\lambda \rightarrow \infty etA\lambda x, etA\lambda x =
\sum \infty
k=0
tk
k!
Ak\lambda x, x \in \frakB , де оператор A\lambda = \lambda 2R\lambda (A) - \lambda I
обмежений i A\lambda \rightarrow A при \lambda \rightarrow \infty (Iосiда).
В усiх тих пiдходах C0-пiвгрупа \{ U(t)\} t\geq 0 вiдновлюється не безпосередньо за її генера-
тором A, а за деякими функцiями вiд нього, такими, наприклад, як резольвента R\lambda (A) (в a))
або наближення A\lambda (в b)), вiдшукання яких часто-густо є нетривiальним. Головною перевагою
пiдходу, запропонованого в теоремах 9, 10, є те, що розв’язки наведеної вище задачi Кошi
з початковими даними x — цiлими векторами оператора A — можна записати за допомогою
степенiв цього оператора. За твердженням 4 множина \frakG (1)(A) є щiльною в \frakB , якщо пiвгру-
па
\bigl\{
U(t) = etA
\bigr\}
t\geq 0
є аналiтичною, тобто розглядуване рiвняння є абстрактним параболiчним.
Тому для довiльного x \in \frakB iснує послiдовнiсть \{ xn \in \frakG (1)(A)\} n\in \BbbN , \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}n\rightarrow \infty xn = x, така, що
\forall t \in [0,\infty ) : U(t)xn \rightarrow U(t)x при n\rightarrow \infty .
Бiльш того, ця збiжнiсть є рiвномiрною на [0,\infty ) i точний розв’язок задачi Кошi може бути
зображений у виглядi
y(t) = U(t)x = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
U(t)xn = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
n\rightarrow \infty
\infty \sum
k=0
tk
k!
Akxn.
У випадку, коли x \in \frakG (1)(A), ми розглядаємо вектор-функцiю
yn(t) =
n\sum
k=0
tk
k!
Akx
як наближений розв’язок цiєї задачi. Беручи до уваги, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
498 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
\forall \alpha > 0 \exists c\alpha > 0 : \| Anx\| \leq c\alpha \alpha
nn!,
одержуємо
\| y(t) - yn(t)\| \leq
\infty \sum
k=n+1
tk
k!
\| Akx\| \leq c\alpha
\infty \sum
k=n+1
tk\alpha k = c\alpha (t\alpha )
n+1
\infty \sum
k=0
(t\alpha )k.
Виберемо \alpha так, щоб t\alpha \leq 1
2
. Тодi
\| y(t) - yn(t)\| \leq c\alpha 2
- n.
Крiм того, yn(0) = x.
Таким чином, yn(t) — наближений розв’язок розглядуваної задачi Кошi на
\biggl[
0,
1
2\alpha
\biggr]
. Оскiль-
ки \alpha може набувати довiльного значення з (0,\infty ), то вектор-функцiя yn(t) є наближеним
розв’язком цiєї задачi на кожному iнтервалi [0, b], 0 \leq b < \infty . Для вiдхилу y\prime n(t) - Ayn(t) на
цьому iнтервалi маємо
\| y\prime n(t) - Ayn(t)\| \leq
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| tnn!An+1x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq c\alpha (n+ 1)tn\alpha n+1 = \alpha c\alpha (n+ 1)2 - n.
Розглянемо тепер випадок, коли x — будь-який вектор з \frakB . Має мiсце таке твердження.
Теорема 11. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
U(t) = etA
\bigr\}
t\geq 0
,
а y(t) — розв’язок задачi Кошi з x \in \frakB . Тодi
\forall \varepsilon > 0 \forall b > 0 \exists n,m \in \BbbN :
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(t) -
n\sum
k=0
tk
k!
Akxm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \varepsilon , t \in [0, b].
Доведення. Оскiльки \frakG (1)(A) = \frakB , то для довiльного x \in \frakB iснує xm \in \frakG (1)(A), m \in \BbbN ,
таке, що
\| x - xm\| <
\varepsilon
2
.
Тодi для t \in [0,\infty ) \bigm\| \bigm\| y(t) - etAxm
\bigm\| \bigm\| \leq \| x - xm\| <
\varepsilon
2
.
З рiвномiрної збiжностi ряду
\sum \infty
k=0
tk
k!
Akxm випливає iснування такого n \in \BbbN , що
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,b]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| etAxm -
n\sum
k=0
tk
k!
Akxm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \varepsilon
2
,
звiдки
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,b]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| y(t) -
n\sum
k=0
tk
k!
Akxm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \leq
\leq \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,b]
\bigm\| \bigm\| y(t) - etAxm
\bigm\| \bigm\| + \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in [0,b]
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| etAxm -
n\sum
k=0
tk
k!
Akxm
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| < \varepsilon .
Теорему 11 доведено.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 499
Зауважимо, що на основi теореми 10 неважко довести, що розв’язок сформульованої вище
задачi Кошi може бути наближений вектор-функцiями
ynm(t) =
\biggl(
I +
tA
n
\biggr) n
xm, xm \in \frakG (1)(A).
8. Питання щiльностi просторiв гладких векторiв замкненого оператора. Введення
локально-опуклих просторiв гладких та узагальнених векторiв замкненого оператора у бана-
ховому просторi пов’язане з необхiднiстю розв’язання конкретних задач, якi не допускали
розв’язання в рамках теорiї банахових просторiв. Для деяких операторiв, таких як, наприклад,
диференцiювання або множення на незалежну змiнну, цi простори були побудованi, головним
чином, у першiй половинi ХХ столiття (простори Жевре, Адамара, Л. Шварца, Гельфанда i
Шилова та iн.). Їх побудова для рiзних класiв абстрактних замкнених операторiв припадає на
другу половину того самого столiття. Однiєю з основних задач, що тут виникає, є доведення
нетривiальностi цих просторiв, а точнiше, їх щiльностi у вихiдному просторi, в якому задано
оператор. Особливий iнтерес у цьому напрямку викликає робота Нельсона [17], де для замкне-
ного оператора у гiльбертовому просторi визначено простiр аналiтичних векторiв i доведено
таке твердження.
Теорема 12. Самоспряженiсть замкненого симетричного оператора A у гiльбертовому
просторi \frakH рiвносильна щiльностi в \frakH простору аналiтичних векторiв цього оператора:
\frakG \{ 1\} (A) = \frakH .
Зазначений результат спричинив потiк рiзноманiтних узагальнень фахiвцями зi спектраль-
ної теорiї операторiв. Так, для напiвобмеженого замкненого оператора A в \frakH було встановлено
(див. [22]) еквiвалентнiсть самоспряженостi A i щiльностi \frakG \{ 2\} (A) в \frakH ; для замкненого секто-
рiального оператора A з числовою областю в секторi
\biggl\{
z \in \BbbC : | \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} z| < \alpha
\pi
2
, 0 \leq \alpha \leq 1
\biggr\}
—
рiвносильнiсть його максимальної секторiальностi зi щiльнiстю в \frakH простору \frakG \{ 2 - \alpha \} (A) (див.
[23]). Детальнiше про застосування цих результатiв див. у [24]. Що ж до щiльностi деяких
просторiв гладких векторiв оператора A \in E(\frakB ), то тут основна увага була придiлена опера-
торам, якi генерують деякi класи C0-пiвгруп у банаховому просторi \frakB . Ще у 1939 р. Гельфанд
[10] довiв щiльнiсть множини всiх аналiтичних векторiв генератора обмеженої C0-групи в \frakB
i показав як побудувати таку групу безпосередньо за її генератором. Для довiльної C0-групи
у банаховому просторi в [11] доведено щiльнiсть у \frakB просторiв \frakG (\beta )(A) з \beta > 0, а також
показано, що iснують C0-групи, для яких \frakG \{ 0\} (A) = \{ 0\} , але за умови неквазiаналiтичностi
групи, тобто
\infty \int
- \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\|
1 + t2
dt <\infty ,
простiр \frakG \{ 0\} (A) є щiльним у \frakB . У 1972 р. Бiлс [25] навiв умови на оператор A \in E(\frakB ) в тер-
мiнах поведiнки його резольвенти, достатнi для того, щоб \frakG \{ \beta \} (A) = \frakB (\beta > 1). Зокрема, цi
умови задовольняють генератори C0-пiвгруп. У роботi [26] наведено умови на резольвенту опе-
ратора A, за яких \frakG \{ \beta \} (A) = \frakB при \beta \geq 0, звiдки, як наслiдок, випливає, що для аналiтичної
пiвгрупи з кутом аналiтичностi \theta рiвнiсть \frakG (\beta )(A) = \frakB виконується при \beta > 1 - 2\theta
\pi
.
Варто зазначити, що простiр \frakG \{ 0\} (A) цiлих векторiв експоненцiального типу оператора
A \in E(\frakB ) вiдiграє важливу роль у теорiї наближень. Вiн є джерелом для наближення три-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
500 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
гонометричними i алгебраїчними полiномами, цiлими функцiями експоненцiального типу, ко-
реневими векторами компактного оператора тощо. Доведення його щiльностi є певною мi-
рою узагальненням класичних теорем Вейєрштрасса про можливiсть наближення неперервних
(неперервних перiодичних) функцiй алгебраїчними (тригонометричними) многочленами. Для
обмеженої C0-групи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\in \BbbR у банаховому просторi \frakB щiльнiсть \frakG \{ 0\} (A) у цьому просторi
було доведено в [19] i, як зазначалось вище, результат був поширений на довiльнi неквазiа-
налiтичнi C0-групи. Що стосується аналiтичних C0-пiвгруп, то, як показано в [27], серед них
iснують пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
з кутом аналiтичностi
\pi
2
, для яких \frakG \{ 0\} (A) = \{ 0\} . Але якщо
1\int
0
\mathrm{l}\mathrm{n} \mathrm{l}\mathrm{n}M(s) ds <\infty , M(s) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
Im\lambda \geq s
\| R\lambda (A)\| ,
то \frakG \{ 0\} (A) = \frakB .
9. Структура розв’язкiв диференцiально-операторних рiвнянь всерединi iнтервалу та
їх поведiнка при наближеннi до його кiнцiв. Однiєю з основних у теорiї диференцiаль-
них рiвнянь є проблема опису всiх розв’язкiв рiвняння всерединi областi та їх дослiдження
при наближеннi до межi. Для звичайних диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами
ця проблема була розв’язана у XVIII столiттi i її розв’язок часто-густо використовується при
постановцi рiзноманiтних задач для таких рiвнянь. Що стосується рiвнянь iз частинними по-
хiдними, то її розв’язання ще далеко не завершене навiть для рiвнянь класичної математичної
фiзики.
В роботi [28] зазначена проблема дослiджується для рiвняння\biggl(
d
dt
- A
\biggr) n\biggl( d
dt
+A
\biggr) m
y(t) = 0, t \in \scrI , n,m \in \BbbN 0, n+m \geq 1, (19)
де \scrI = (0,\infty ) або ( - \infty ,\infty ), A — генератор аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
у банаховому
просторi \frakB . Варто зазначити, що конкретнi реалiзацiї простору \frakB , оператора A та m, n у
рiвняннi (19) мiстять у собi чимало класiв рiвнянь iз частинними похiдними в рiзних функ-
цiональних просторах. Зауважимо, що випадки n = 1, m = 0 та n = m = 1 за умови, що
A — напiвобмежений зверху самоспряжений оператор у гiльбертовому просторi, розглянуто в
[29] i в [30, 31], коли A — генератор обмеженої аналiтичної пiвгрупи у банаховому просторi.
Перш нiж перейти до викладу основних результатiв для рiвняння (19), продемонструємо їх на
рiвняннi \biggl(
d2
dt2
- A2
\biggr)
y(t) = 0, (20)
де A \in E(\frakB ), i покажемо, якi труднощi виникають при вiдшуканнi зображення його загального
розв’язку всерединi iнтервалу (0,\infty ).
Формально довiльний розв’язок рiвняння (20) має вигляд
y(t) = \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA)f1 +
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(tA)
A
f2, (21)
де f1, f2 — довiльнi вектори з \frakB . Щоб надати сенс цьому виразу, потрiбно з’ясувати, що саме
розумiється пiд \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA) та
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(tA)
A
i яку множину F мають перебiгати вектори f1, f2, щоб
одержати всi розв’язки на iнтервалi (0,\infty ).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 501
Якщо A \in L (\frakB ) , то \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(tA) i
\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(tA)
A
можна визначити, наприклад, за допомогою рядiв
\infty \sum
k=0
tkAk
k!
та
\infty \sum
k=0
t2k+1A2k
(2k + 1)!
,
якi збiгаються рiвномiрно на довiльному компактi K \in \BbbC . Тодi неважко довести, що загальний
розв’язок рiвняння (20) задається формулою (21), де f1, f2 \in \frakB .
Якщо ж A не обмежений, то побудова цих функцiй вiд оператора A у загальному випадку
не розв’язана ще й понинi. Це по-перше. А по-друге, якщо навiть у деяких випадках можна
визначити зазначенi функцiї вiд оператора A, то немає гарантiї, що вираз (21) з f1, f2 \in \frakB
дасть усi розв’язки рiвняння (20). Iнодi множина F є вужчою за \frakB , а iнодi потрiбно вийти за
межi простору \frakB .
Випадок, коли в рiвняннi (20) A2 — самоспряжене розширення мiнiмального оператора,
породженого у просторi L2(a, b) виразом
d2
dx2
, уперше був розглянутий Даламбером, Ейлером
та Д. Бернуллi ще в серединi XVIII столiття при описi розв’язкiв рiвняння коливання струни.
Вже тодi постало питання про те, як визначити вiдповiднi функцiї вiд оператора A (формулою
Даламбера або тригонометричним рядом Д. Бернуллi) i що потрiбно взяти за множину F.
Це питання упродовж тривалого часу дискутувалось багатьма математиками, що привело до
виникнення важливих понять аналiзу, таких як, наприклад, функцiя, збiжнiсть, iнтеграл тощо,
i розвитку нових роздiлiв математики — спектральної теорiї операторiв, теорiї пiвгруп.
Iншим вiдомим прикладом, що привернув до себе велику увагу, було рiвняння Лапласа\biggl(
частинний випадок (20), коли за A2 береться самоспряжене розширення мiнiмального опе-
ратора, породженого у просторi L2(a, b) диференцiальним виразом - d2
dx2
\biggr)
, для якого питання
зображення загального розв’язку по сутi еквiвалентне можливостi зображення довiльної гар-
монiчної (аналiтичної) у вiдкритiй областi функцiї iнтегралом Пуассона (Кошi). Оскiльки не
кожна така функцiя має граничне значення у звичайному розумiннi або в Lp, то стало зрозумi-
ло, що множина F повинна бути ширшою за простiр неперервних функцiй або Lp. Пошуки
цiєї множини привели до появи таких понять, як класи Гардi та гiперфункцiя.
Спочатку сформулюємо основнi результати для рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ). Вектор-
функцiя y(t) : (0,\infty ) \mapsto \rightarrow \scrD (An+m) називається розв’язком рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ),
якщо вона є n+m разiв неперервно диференцiйовною на цьому iнтервалi i задовольняє там це
рiвняння. Зауважимо, що жоднi умови на її поведiнку в околi нуля не накладаються. В роботi
[28] встановлено таку теорему.
Теорема 13. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB i
0 \in \rho (A). Вектор-функцiя y(t) є розв’язком рiвняння (19) на (0,\infty ) тодi i тiльки тодi, коли
вона допускає зображення
y(t) =
n - 1\sum
k=0
tk \widehat U(t)fk +
m - 1\sum
k=0
tk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - tA)gk, (22)
де \widehat U(t) визначено в теоремi 5, fk \in \frakB ( - ), gk \in \frakB (+).
З теореми 13, зображення (22) та наслiдку 2 випливають такi твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
502 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Наслiдок 4. Будь-який розв’язок рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ) є аналiтичною вектор-
функцiєю зi значеннями в \frakB \{ +\} .
Наслiдок 5. Кожний розв’язок рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ) i його похiднi довiльного
порядку мають граничнi значення у просторi \frakB ( - ).
Природно постає питання: за яких умов на розв’язок y(t) рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty )
усi fk, k = 0, 1, . . . , n - 1, в його зображеннi (22) належать вихiдному простору \frakB ? Вiдповiдь
дає наступна теорема.
Теорема 14. Якщо простiр \frakB є рефлексивним, то вектори fk, k = 0, 1, . . . , n - 1, у
зображеннi (22) розв’язку y(t) рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ) належать простору \frakB тодi
i тiльки тодi, коли\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\|
\biggl(
d
dt
- A
\biggr) k
y(t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| \bigm\| <\infty при t \in (0, 1), k = 0, 1, . . . , n - 1. (23)
Умова (23) рiвносильна iснуванню граничних значень вектор-функцiй
\biggl(
d
dt
- A
\biggr) k
y(t), k =
= 0, 1, . . . , n - 1, у просторi \frakB . У випадку, коли n = 1,m = 0, а простiр \frakB є рефлексивним,
необхiдною i достатньою умовою iснування граничного значення в точцi 0 розв’язку y(t) в \frakB
є його обмеженiсть в околi нуля, а отже, неперервнiсть в точцi 0. Як показано в [32], це, взагалi
кажучи, не так при n > 1. Наприклад, для бiгармонiчної функцiї
\biggl(
A2 = - d2
dx2
\biggr)
з обмеженостi
в середньому квадратичному ще не випливає iснування її граничного значення.
Оскiльки простiр \frakB ( - ) є злiченно-нормованим, що складається iз строго вкладених один в
одного банахових просторiв, то (див. [15]) для довiльної монотонно неспадної на [0, 1] функцiї
\gamma (t) : \gamma (t) \rightarrow 0 при t\rightarrow 0
\exists x \in \frakB ( - ) : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow 0
\gamma (t)
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \widehat U(t)x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| = \infty ,
тобто
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \widehat U(t)x
\bigm\| \bigm\| \bigm\| \rightarrow \infty як завгодно швидко. Звiдси, а також iз зображення (22) i обмеженостi\bigm\| \bigm\| \bigm\| \sum m - 1
k=0
tk \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}( - tA)gk
\bigm\| \bigm\| \bigm\| в околi нуля робимо висновок, що iснують розв’язки рiвняння (19),
якi при наближеннi до точки 0 мають який завгодно порядок зростання. Тому постає питання
про те, за яких умов на вектори f0, f1, . . . , fn - 1 \in \frakB ( - ) розв’язок вигляду
\sum n - 1
k=0
tk \widehat U(t)fk має
певний порядок зростання при наближеннi до точки 0, точнiше, як саме описуються розв’язки
рiвняння (19) iз наперед заданим порядком зростання в околi нуля.
В роботi [29] для n = 1, m = 0, а також n = 1, m = 1 розглянуто випадок будь-якої
особливостi в нулi розв’язкiв рiвняння (19), коли оператор - A є додатним самоспряженим у
гiльбертовому просторi \frakH . В [30, 31] отриманi результати поширено на випадок, коли A —
генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи лiнiйних операторiв у банаховому просторi.
Варто зазначити, що теореми 13, 14 дають змогу не тiльки одержати як частинний випадок
низку класичних результатiв, що стосуються опису граничних значень аналiтичних i гармонiч-
них функцiй (див. [33]), але й у значнiй мiрi їх уточнити i поширити на iншi об’єкти, зокрема
на розв’язки елiптичних та параболiчних рiвнянь у функцiональних просторах.
Тепер перейдемо до дослiдження поведiнки на нескiнченностi розв’язкiв рiвняння (19) на
iнтервалi (0,\infty ). Для цього покладемо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 503
s = s(A) = \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
\lambda \in \sigma (A)
\mathrm{R}\mathrm{e}\lambda . (24)
Оскiльки за припущенням пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
є аналiтичною i 0 \in \rho (A), то s < 0, s = \omega (A),
де \omega (A) = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}t\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n}
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\|
t
. Має мiсце така теорема (див. [16]).
Теорема 15 (аналог теореми Фрагмена – Лiндельофа). Нехай \gamma < - s i y(t) — розв’язок
рiвняння (19) на iнтервалi (0,\infty ). Тодi
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n} \| y(t)\|
t
< \gamma =\Rightarrow \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n} \| y(t)\|
t
< - \gamma .
Нагадаємо, що класичний принцип Фрагмена – Лiндельофа для гармонiчних функцiй поля-
гає в тому, що якщо гармонiчна в пiвсмузi [0, 1]\times (0,\infty ) функцiя u(x, y), рiвна нулю на частинi
границi цiєї пiвсмуги, утвореної пiвпрямими, тобто
\forall y > 0 : u(0, y) = u(1, y) = 0,
є обмеженою в цiй пiвсмузi, то вона прямує до нуля експоненцiально при y \rightarrow \infty . В роботi
[34] цей принцип був поширений на розв’язки u(x1, . . . , xn, y) у пiвцилiндрi D0 \times (0,\infty )
(D0 — обмежена область у просторi \BbbR n) рiвняння Lu = 0, де L — елiптичний оператор
будь-якого порядку з незалежними вiд y коефiцiєнтами, якi задовольняють нульовi граничнi
умови на частинi границi, що мiститься у пiвпросторi y > 0. Теорема 14 також дає змогу
значно розширити клас диференцiальних рiвнянь i тип граничних умов, на якi можна поширити
зазначений принцип.
Розглянемо тепер рiвняння (19) на всiй осi ( - \infty ,\infty ).
Теорема 16. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-групи i 0 \in \rho (A). Вектор-
функцiя y(t) : ( - \infty ,\infty ) \mapsto \rightarrow \scrD (An+m) є розв’язком рiвняння (19) на ( - \infty ,\infty ) тодi i тiльки
тодi, коли вона допускає зображення вигляду (22), в якому fk, gk \in \frakB (+). Вектори fk, k =
= 0, 1, . . . , n - 1, та gk, k = 0, 1, . . . ,m - 1, визначаються однозначно за y(t).
З цiєї теореми випливає такий наслiдок.
Наслiдок 6. Будь-який розв’язок рiвняння (19) на ( - \infty ,\infty ) може бути продовжений до
цiлої вектор-функцiї у просторi \frakB (+).
Звiдси приходимо до висновку, що простiр усiх розв’язкiв рiвняння (19) на ( - \infty ,\infty ) є
нескiнченновимiрним i для них здiйснюється аналог принципу Фрагмена – Лiндельофа.
Теорема 17. Нехай y(t) — розв’язок рiвняння (19) на ( - \infty ,\infty ). Якщо iснують число \gamma \in
\in (0, - s) (s визначається формулою (24)) i стала c = c(\gamma ) такi, що
\forall t \in ( - \infty ,\infty ) : \| y(t)\| \leq ce\gamma | t| ,
то y(t) \equiv 0.
Наслiдок 7 (аналог теореми Лiувiлля). Припустимо, що y(t) — розв’язок рiвняння (19) на
( - \infty ,\infty ). Тодi
\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}
t\in ( - \infty ,\infty )
\| y(t)\| <\infty =\Rightarrow y(t) \equiv 0.
Зауважимо, що випадки n = 1, m = 0; n = 0, m = 1; n = m > 1 розглянуто в [35].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
504 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
10. Про аналiтичнi розв’язки диференцiально-операторних рiвнянь у банаховому прос-
торi. Нехай A \in E(\frakB ). Розглянемо задачу Кошi
dy(t)
dt
= Ay(t), t \in (0,\infty ),
y(0) = y0 \in \frakB .
(25)
Вектор-функцiю y(t) : \BbbR + = [0,\infty ) \mapsto \rightarrow \scrD (A) назвемо сильним розв’язком задачi (25), якщо
y(t) \in C1 (\BbbR +,\frakB ) i задовольняє (25). У випадку, коли A \in L(\frakB ), задача (25) є однозначно
розв’язною для будь-якого y0 \in \frakB i її розв’язок
y(t) =
\infty \sum
k=0
tkAky0
k!
(26)
є цiлою \frakB -значною вектор-функцiєю експоненцiального типу. Це, взагалi кажучи, не так, ко-
ли A належить E(\frakB ). У зв’язку з цим виникає потреба описати всi початковi данi y0, для
яких вiдповiднi розв’язки належать до певного класу з множини \frakA loc(\frakB ) всiх аналiтичних в
околi нуля \frakB -значних функцiй (окiл залежить вiд функцiї). При цьому збiжнiсть в \frakA loc(\frakB )
послiдовностi \{ xn(\lambda )\} n\in \BbbN до вектор-функцiї x(\lambda ) означає, що iснує окiл нуля U, в якому всi
вектор-функцiї xn(\lambda ) є аналiтичними, i \| xn(\lambda ) - x(\lambda )\| \rightarrow 0, n \rightarrow \infty , рiвномiрно на кожному
компактi K \subset U. Через \frakA c(\frakB ) позначимо множину всiх цiлих вектор-функцiй iз значеннями в
\frakB . Пiд збiжнiстю в \frakA c(\frakB ) розумiється збiжнiсть в \frakA loc(\frakB ) з тiєю лише вiдмiннiстю, що спiль-
ним околом аналiтичностi для всiх xn(\lambda ) повинна бути вся комплексна площина \BbbC . Символом
\frakA e(\frakB ) позначатимемо пiдмножину з \frakA c(\frakB ) усiх цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу.
Збiжнiсть в \frakA e(\frakB ) — це збiжнiсть в \frakA c(\frakB ) з додатковою умовою обмеженостi послiдовностi
типiв усiх xn(\lambda ).
Нагадаємо, що цiла вектор-функцiя y(\lambda ) має скiнченний порядок, якщо iснує таке число
k \in (0,\infty ), що \| y(\lambda )\| \leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}
\bigl(
| \lambda | k
\bigr)
при достатньо великих | \lambda | . Точна нижня межа p = p(y)
множини таких k називається порядком y(\lambda ). Говорять, що цiла вектор-функцiя y(\lambda ) поряд-
ку p має скiнченний тип, якщо при достатньо великих | \lambda | виконується нерiвнiсть \| y(\lambda )\| \leq
\leq \mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p} (\gamma | \lambda | p) з деяким \gamma \in (0,\infty ). Точна нижня межа таких \gamma називається її типом. Цiла
вектор-функцiя y(\lambda ), що має порядок p < 1 або p = 1 i скiнченний тип, називається цiлою
вектор-функцiєю експоненцiального типу. Тип s = s(y) цiлої вектор-функцiї експоненцiального
типу, на вiдмiну вiд загального випадку, обчислюється за формулою
s = \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
| \lambda | \rightarrow \infty
\mathrm{l}\mathrm{n} \| y(\lambda )\|
| \lambda |
.
Отже, у випадку p < 1 тип такої функцiї завжди вважається рiвним нулевi, тодi як при p = 1
його значення обчислюється так само, як у загальному випадку.
Задачу Кошi (25) назвемо локально розв’язною в класi аналiтичних вектор-функцiй, якщо
iснує вектор-функцiя y(t) з класу \frakA loc(\frakB ), яка є розв’язком цiєї задачi на промiжку [0, b] з
деяким b > 0. Як показано в [35], має мiсце таке твердження.
Теорема 18. Задача (25) є однозначно локально розв’язною в класi аналiтичних вектор-
функцiй тодi i тiльки тодi, коли y0 \in \frakG \{ 1\} (A). Якщо ця умова виконується, то розв’язок y(t)
має вигляд (26). Бiльш того, за цiєї умови задача (25) є не лише розв’язною, але й коректно
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 505
розв’язною в тому розумiннi, що збiжнiсть yi0 \rightarrow y0, i \rightarrow \infty , послiдовностi \{ yi0\} i\in \BbbN почат-
кових даних у просторi \frakG \{ 1\} (A) зумовлює збiжнiсть послiдовностi \{ yi(t)\} i\in \BbbN вiдповiдних
розв’язкiв задачi до y(t) у просторi \frakA loc(\frakB ). Для iснування розв’язку задачi (25) в \frakA c(\frakB )
необхiдно i достатньо, щоб y0 \in \frakG (1)(A), причому збiжнiсть yi0 \rightarrow y0, i \rightarrow \infty , в \frakG (1)(A)
зумовлює збiжнiсть послiдовностi \{ yi(t)\} i\in \BbbN до y(t) у просторi \frakA c(\frakB ).
З’ясуємо тепер, за яких умов розв’язок задачi (25) належить до класу цiлих вектор-функцiй
скiнченного порядку й скiнченного типу.
Будемо говорити, що цiлий вектор x оператора A має скiнченний порядок, якщо
\exists \gamma \in ( - \infty , 1) : \| Anx\| \leq nn\gamma
для достатньо великих n > n0(\gamma ). Точну нижню межу \rho = \rho (x) таких \gamma назвемо порядком
вектора x. Цiлий вектор x оператора A порядку \rho > 0 має, за означенням, скiнченний тип
\sigma = \sigma (x), якщо
\exists \alpha > 0 : \| Anx\| \leq \alpha nn\rho при n > n0(\alpha )
(n0(\alpha ) достатньо велике). Точну нижню межу таких \alpha назвемо типом вектора x порядку \rho .
Має мiсце така теорема (див. [35]).
Теорема 19. Задача (25) є розв’язною в класi цiлих вектор-функцiй скiнченного порядку
p \geq 1 i скiнченного типу s тодi i тiльки тодi, коли порядок \rho i тип \sigma вектора y0 є скiнченними,
причому порядки i типи розв’язку y(t) та його початкового значення y0 пов’язанi мiж собою
формулами
p =
1
1 - \rho
, s =
(\sigma e)p
ep
. (27)
Для того щоб задача (25) мала розв’язок у класi цiлих вектор-функцiй експоненцiального типу,
необхiдно i достатньо, щоб y0 був цiлим вектором експоненцiального типу оператора A, до
того ж тип s розв’язку y(t) збiгається з типом \sigma вектора y0.
Теорема 19 показує, що iснування нетривiального розв’язку рiвняння (25) у класi цiлих
вектор-функцiй скiнченного порядку p i скiнченного типу s рiвносильне спiввiдношенню
\frakG \{ \rho \} (A) \not = \{ 0\} (\rho визначається за формулою (27)).
Проте iснують такi оператори A, для яких \frakG \{ 1\} (A), а отже, i \frakG \{ \rho \} (A) з \rho < 1 складаються
лише з нульового вектора, i серед них є навiть генератори C0-пiвгруп, наприклад, A = iC, де
C — простий максимальний симетричний оператор у гiльбертовому просторi. Для цих пiвгруп
задача (25) є рiвномiрно коректною, тобто однозначно розв’язною для y0 \in \scrD (A) i такою, що
якщо yi0 \rightarrow 0, i \rightarrow \infty , в \frakB , то \| yi(t)\| \rightarrow 0 рiвномiрно на кожному компактi K \subset \BbbR + (yi(t) —
розв’язок, що вiдповiдає початковому значенню yi0). Таким чином, задача (25) може бути рiв-
номiрно коректною, тодi як розглядуване в нiй рiвняння не матиме жодного нетривiального
аналiтичного в околi нуля розв’язку. Трапляються й протилежнi випадки, коли задача (25) не
є рiвномiрно коректною, а будь-який розв’язок зазначеного рiвняння є аналiтичним в околi
нуля, тобто вiдповiдна задача Кошi є локально розв’язною в класi аналiтичних вектор-функцiй,
i навiть, бiльш того, вона є коректною в сенсi теореми 18. Це вiдбувається, наприклад, тодi,
коли оператор - A генерує аналiтичну C0-пiвгрупу. Справа в тiм, що у визначеннi рiвномiрної
коректностi \scrD (A) не є повним нормованим простором вiдносно збiжностi в \frakB , на вiдмiну вiд
теореми 19, де простiр початкових даних є повним вiдносно фiгуруючої там збiжностi.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
506 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Позначимо через S множину всiх розв’язкiв рiвняння в (25), а через Sp, 1 \leq p < \infty , — ту
її частину, яка складається з розв’язкiв, кожен з яких допускає продовження до цiлої вектор-
функцiї порядку не вище p i скiнченного типу. Природно виникає питання про те, за яких умов
на оператор A множина Sp є щiльною в S в тому розумiннi, що для довiльного розв’язку y(t)
цього рiвняння iснує послiдовнiсть \{ yn(t)\} n\in \BbbN розв’язкiв з Sp така, що \| y(t) - yn(t)\| \rightarrow 0,
n\rightarrow \infty , рiвномiрно на кожному компактi K \in \BbbR +. Щодо сформульованого питання має мiсце
така теорема.
Теорема 20. Нехай A — генератор аналiтичної C0-пiвгрупи в \frakB з кутом аналiтичностi
\theta \leq \pi
2
. Тодi при p >
\pi
2\theta
множина Sp є щiльною в S. Що ж до множини S1, то iснують
аналiтичнi C0-пiвгрупи з кутом
\pi
2
, для яких S1 = \{ 0\} .
Теорема 18 дає змогу розглянути з операторної точки зору питання про локальну аналiтичну
розв’язнiсть задачi Кошi для систем диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, коефi-
цiєнти яких так само, як i початковi данi, є аналiтичними функцiями. Ще С. Ковалевська (див.,
наприклад, [36]) показала, що для таких систем, на вiдмiну вiд випадку звичайних диференцi-
альних рiвнянь, зазначена розв’язнiсть не завжди можлива. Нею було знайдено клас локально
розв’язних у класi аналiтичних вектор-функцiй систем (так званих систем Ковалевської). Ви-
являється, що задачу Кошi для системи Ковалевської з коефiцiєнтами, не залежними вiд часу,
можна записати у виглядi (25), де роль A вiдiграє диференцiальний оператор першого порядку
з аналiтичними коефiцiєнтами, для якого аналiтичнi функцiї є його аналiтичними векторами.
Тому теорему Ковалевської у цьому випадку можна розглядати як наслiдок теореми 18 (її до-
статньої частини) при n = 1. Що ж до систем, якi не належать до згаданого вище класу, то
приклад Ковалевської
\partial u(t, x)
\partial t
=
\partial 2u(t, x)
\partial x2
,
u(0, x) =
1
1 - x
демонструє, що теорема Ковалевської, взагалi кажучи, для них не має мiсця. Хоча початкова
функцiя
1
1 - x
у прикладi i є аналiтичною в околi нуля, але вона не є аналiтичним вектором
для оператора A — максимального оператора, породженого у просторi C([ - a, a]), 0 < a < 1,
виразом
d2
dx2
, тобто не виконується необхiдна частина теореми 18. В цьому випадку простiр
аналiтичних векторiв оператора A збiгається з множиною цiлих функцiй порядку не вище 2
(див. [37]).
11. Поведiнка на нескiнченностi розв’язкiв абстрактних параболiчних рiвнянь. Роз-
глянемо рiвняння
dy(t)
dt
= Ay(t), t \in [0,\infty ), (28)
де A \in E(\frakB ) : \scrD (A) = \frakB .
Вектор-функцiя y(t) : [0,\infty ) \mapsto \rightarrow \frakB називається слабким розв’язком рiвняння (28), якщо
y(t) \in C ([0,\infty ),\frakB ) i
\forall t \in [0,\infty ) :
t\int
0
y(s) ds \in \scrD (A) i y(t) - y(0) = A
t\int
0
y(s) ds.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 507
Слабкий розв’язок y(t) рiвняння (28) є сильним тодi i тiльки тодi, коли y(t) \in C1 ([0,\infty ),\frakB ) .
Якщо A — генератор C0-пiвгрупи в \frakB , то, як показано в [38], множина всiх слабких
розв’язкiв рiвняння (28) описується формулою
y(t) = etAy0 \forall y0 \in \frakB . (29)
За умови, що вектор y0 перебiгає множину \scrD (A), вираз (29) дає всi сильнi розв’язки цього
рiвняння.
Будемо говорити, що рiвняння (28) є рiвномiрно стiйким, якщо
\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
y(t) = 0, (30)
i рiвномiрно експоненцiально стiйким, якщо
\exists \omega > 0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
e\omega ty(t) = 0 (31)
для довiльного слабкого розв’язку y(t) цього рiвняння.
У випадку скiнченновимiрного \frakB рiвномiрна й експоненцiальна стiйкостi рiвняння (28)
еквiвалентнi. Це, взагалi кажучи, не так, якщо \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\frakB = \infty . В [39] доведено таке твердження.
Теорема 21. Для того щоб рiвняння (28) було рiвномiрно стiйким, необхiдно, щоб 0 \in
\in \sigma c(A)
\bigcup
\rho (A). Якщо це рiвняння рiвномiрно експоненцiально стiйке, то 0 \in \rho (A). Якщо
ж рiвняння (28) є рiвномiрно, але не рiвномiрно експоненцiально стiйким, то 0 \in \sigma c(A). У
випадку, коли пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
є обмеженою аналiтичною, всi сформульованi вище умови
також є достатнiми.
Виявляється, що коли рiвняння (28) є рiвномiрно, але не рiвномiрно експоненцiально стiй-
ким, його слабкi розв’язки можуть мати який завгодно порядок прямування до нуля на нескiн-
ченностi. Точнiше, має мiсце така теорема.
Теорема 22. Нехай A — генератор C0-пiвгрупи в \frakB i \gamma (t) > 0 — неперервна на [0,\infty )
функцiя така, що \gamma (t) \downarrow 0 при t\rightarrow \infty . Якщо
\forall x \in \frakB \exists c = c(x) > 0 :
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| \leq c\gamma (t), (32)
то рiвняння (28) є рiвномiрно експоненцiально стiйким. За умови аналiтичностi пiвгрупи\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
достатньо, щоб нерiвнiсть (32) виконувалась лише на множинi \frakB \{ +\} аналiтичних
векторiв оператора A.
З цiєї теореми випливає, що якщо
\forall x \in \frakB \exists c = c(x) i \omega x > 0 :
\bigm\| \bigm\| etAx\bigm\| \bigm\| \leq ce - \omega xt,
то
\exists c > 0 \exists \omega > 0 :
\bigm\| \bigm\| etA\bigm\| \bigm\| \leq ce - \omega t,
а отже, рiвняння (28) є рiвномiрно експоненцiально стiйким. Вона також пiдтверджує, що по-
рядок прямування до нуля на нескiнченностi слабких розв’язкiв рiвномiрно, але не рiвномiрно
експоненцiально стiйкого рiвняння (28) може бути довiльним. Оскiльки кожен такий розв’язок
однозначно визначається своїм початковим значенням y(0), то постає питання про те, якi саме
початковi данi вiдповiдають певнiй швидкостi спадання розв’язку на нескiнченностi. Виявля-
ється, що коли пiвгрупа
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
є обмеженою аналiтичною, а рiвняння (28) — рiвномiрно, але
не рiвномiрно експоненцiально стiйким, то 0 \in \sigma c(A) (див. теорему 21), тобто iснує обернений
до A оператор A - 1, який, як показано в [40], також генерує аналiтичну пiвгрупу з тим самим,
що i в A, кутом аналiтичностi. В роботi [41] встановлено таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
508 В. М. ГОРБАЧУК, М. Л. ГОРБАЧУК
Теорема 23. Нехай A — генератор обмеженої аналiтичної C0-пiвгрупи
\bigl\{
etA
\bigr\}
t\geq 0
в \frakB i
0 \in \sigma c(A). Тодi для слабких розв’язкiв рiвняння (28) виконуються такi спiввiдношення еквiва-
лентностi:
\forall n \in \BbbN : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
tny(t) = 0 \Leftarrow \Rightarrow y(0) \in C\infty \bigl(
A - 1
\bigr)
,
\exists a > 0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
ea
\surd
ty(t) = 0 \Leftarrow \Rightarrow y(0) \in \frakB \{ +\}
\bigl(
A - 1
\bigr)
,
\forall a > 0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
ea
\surd
ty(t) = 0 \Leftarrow \Rightarrow y(0) \in \frakB (+)
\bigl(
A - 1
\bigr)
,
\exists a > 0 : \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}
t\rightarrow \infty
eaty(t) = 0 \Leftarrow \Rightarrow y(0) \in \frakG \{ 0\}
\bigl(
A - 1
\bigr)
(\frakG \{ 0\}
\bigl(
A - 1
\bigr)
— простiр цiлих векторiв експоненцiального типу оператора A - 1).
Лiтература
1. Иосида К. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1972. – 740 с.
2. Euler L. Nova methodus innumerabiles aequationes differentiales secundi gradus reducendi ad aequationes differenti-
ales primi gradus // Comment. Acad. Sci. Petropolit. – 1728. – 3. – P. 124 – 137.
3. Peano G. Integrazione per serie delle equazioni differenziali lineari // Atti Reale Acad. Sci. Torino. – 1887. – 22. –
P. 293 – 302.
4. Nathan D. S. One-parameter groups of transformations in abstract vector spaces // Duke Math. J. – 1935. – 1. –
P. 518 – 526.
5. Nagumo M. Einige analitische Untersuchungen in linearen, metrischen Ringen // Jap. J. Math. – 1936. – 13. –
P. 59 – 80.
6. Yosida K. On the group embedded in the metrical complete ring // Jap. J. Math. – 1936. – 13. – P. 7 – 26.
7. Шварц Л. Математические методы для физических наук. – М.: Мир, 1965. – 412 с.
8. Lagrange J. L. Nouvelle espèce de calcul // Nouv. Mém. Acad. Rou. Sci. Bell.-Lett. – 1772. – 3. – P. 185 – 218.
9. Stone M. H. On one-parameter unitary groups in Hilbert space // Ann. Math. – 1932. – 33. – P. 643 – 648.
10. Гельфанд И. М. Об однопараметрических группах операторов в нормированном пространстве // Докл. АН
СССР. – 1939. – 25, № 9. – С. 713 – 718.
11. Горбачук В. М., Горбачук М. Л. Зображення групи лiнiйних операторiв у банаховому просторi на множинi
цiлих векторiв її генератора // Укр. мат. журн. – 2015. – 67, № 5. – С. 584 – 591.
12. Хилле Э., Филлипс Р. С. Функциональный анализ и полугруппы. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 830 с.
13. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. M. The representation of a C0 -semigroup of linear operators in a Banach space on
the set of entire vectors of its generator // Integr. Equat. Oper. Theory. – 2016. – 85, № 4. – P. 497 – 512.
14. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. – М.: Физматгиз,
1959. – 684 с.
15. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – Т. 2. –
307 с.
16. Engel K.-J., Nagel R. One-parameter semigroups for linear evolution equations. – Berlin; New York: Springer, 2000. –
540 p.
17. Nelson E. Analytic vectors // Ann. Math. – 1959. – 70, № 3. – P. 572 – 615.
18. Goodman R. W. Analytic and entire vectors for representation of the Lie groups // Trans. Amer. Math. Soc. – 1969. –
143. – P. 55 – 76.
19. Радыно Я. В. Пространство векторов экспоненциального типа // Докл. АН БССР. – 1983. – 27, № 9. – С. 791 –
793.
20. Gorbachuk V. M. On solutions of parabolic and elliptic type differential equations on ( - \infty ,\infty ) in a Banach space
// Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, № 2. – P. 177 – 183.
21. Березанский Ю. М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. –
Киев: Наук. думка, 1978. – 360 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
ПРОСТОРИ ГЛАДКИХ ТА УЗАГАЛЬНЕНИХ ВЕКТОРIВ ГЕНЕРАТОРА АНАЛIТИЧНОЇ ПIВГРУПИ . . . 509
22. Nussbaum A. E. A note on quasi-analytic vectors // Stud. Math. – 1969. – 33. – P. 305 – 309.
23. Koutry A. El. Vecteurs \alpha -quasi analytiques et semi-groups analytiques // C. r. Acad. sci. Paris. – 1989. – 309, Ser. 1. –
P. 767 – 769.
24. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Гармонический анализ. Самосопряжен-
ность. – М.: Мир, 1978. – 395 с.
25. Beals R. Semigroups and abstract Gevrey spaces // J. Funct. Anal. – 1972. – 10, № 3. – P. 300 – 308.
26. Gorbachuk M. L., Mokrousov Yu. G. On density of some sets of infinitely differentiable vectors of a closed operator
on a Banach space // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2002. – 8, № 1. – P. 23 – 29.
27. Горбачук М. Л. Про аналiтичнi розв’язки диференцiально-операторних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2000. – 52,
№ 5. – С. 596 – 607.
28. Горбачук В. М. Структура розв’язкiв диференцiальних рiвнянь у банаховому просторi на нескiнченному
iнтервалi // Доп. НАН України. – 2016. – № 2. – С. 7 – 12.
29. Горбачук В. И., Горбачук М. Л. Граничные значения решений некоторых классов дифференциальных уравнений
// Мат. сб. – 1977. – 101, № 1. – С. 124 – 150.
30. Князюк А. В. Граничные значения решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Докл.
АН УССР. Сер. А. – 1984. – № 9. – С. 12 – 14.
31. Князюк А. В. Граничные значения решений эволюционных уравнений в банаховом пространстве: Автореф.
дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1985. – 15 с.
32. Михайлов В. П. О существовании предельных значений решений полигармонического уравнения на границе
области // Мат. сб. – 1996. – 187, № 11. – С. 89 – 114.
33. Komatsu H. Ultradistributions. I // J. Facul. Sci. Univ. Tokyo. – 1973. – 20, № 1. – P. 25 – 105.
34. Lax P. D. A Phragmen – Lindelöf theorem in harmonic analysis and its application to some questions in the theory of
elliptic equations // Communs Pure and Appl. Math. – 1957. – 10. – P. 361 – 389.
35. Gorbachuk M., Gorbachuk V. On extensions and restrictions of semigroups of linear operators in a Banach space and
their applications // Math. Nachr. – 2012. – 285, № 14-15. – P. 1860 – 1879.
36. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961. – 400 с.
37. Gorbachuk V. I., Gorbachuk M. L. Boundary value problems for operator differential equations. – Dordrecht etc.:
Kluwer Acad. Publ., 1991. – 347 p.
38. Ball J. M. Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula // Proc. Amer.
Math. Soc. – 1977. – 63. – P. 370 – 373.
39. Горбачук В. М. Поведение на бесконечности решений дифференциально-операторных уравнений // ДАН
СССР. – 1989. – 308, № 1. – С. 23 – 28.
40. Laubenfels R. Powers of generators of holomorphic semigroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1987. – 99. – P. 105 – 108.
41. Gorbachuk M. L., Gorbachuk V. I. On behavior at infinity of solutions of parabolic differential equations in a Banach
space // Meth. Funct. Anal. and Top. – 2014. – 20, № 3. – P. 274 – 283.
Одержано 29.11.16
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2017, т. 69, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-1711 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2026-03-24T02:11:11Z |
| publishDate | 2017 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f1/c4c85621d7d64b6e0dece1d5a0ee30f1.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-17112019-12-05T09:24:35Z Spaces of smooth and generalized vectors of the generator of an analytic semigroup and their applications Простори гладких та узагальнених векторів генератора аналітичної півгрупи та їх застосування Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. For a strongly continuous analytic semigroup $\{ e^{tA}\}_{t\geq 0}$ of linear operators in a Banach space $B$ we investigate some locally convex spaces of smooth and generalized vectors of its generator $A$, as well as the extensions and restrictions of this semigroup to these spaces. We extend Lagrange’s result on the representation of a translation group in the form of exponential series to the case of these semigroups and solve the Hille problem on description of the set of all vectors $x \in B$ for which there exists $$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}_{n\rightarrow \infty }\biggl( I + \frac{tA}n \biggr)^n x$$ and this limit coincides with etAx. Moreover, we present a short survey of particular problems whose solutions are necessary for the introduction of the above-mentioned spaces, namely, the description of all maximal dissipative (self-adjoint) extensions of a dissipative (symmetric) operator; the representation of solutions to operator-differential equations on an open interval and the analysis of their boundary values, and the existence of solutions to an abstract Cauchy problem in various classes of analytic vector-valued functions. Для сильно непрерывной аналитической полугруппы $\{ e^{tA}\}_{t\geq 0}$ линейных операторов в банаховом пространстве $B$ исследованы некоторые локально-выпуклые пространства гладких и обобщенных векторов ее генератора $A$, а также ее расширения и сужения на эти пространства. На такие полугруппы распространен результат Лагранжа о представлении группы сдвигов экспоненциальным рядом и решена проблема Хилле описания множества элементов $x \in B$, для которых существует $$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}_{n\rightarrow \infty }\biggl( I + \frac{tA}n \biggr)^n x$$ и этот предел совпадает с etAx. Кроме того, приведен краткий обзор конкретных проблем, решение которых нуждается во введении указанных выше пространств, а именно: описания максимальных диссипативных (самосопряженных) расширений диссипативного (симметрического) оператора; представления решений дифференциально-операторных уравнений на открытом интервале и изучения их граничных значений; существования решений абстрактной задачи Коши в различных классах аналитических вектор-функций. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2017-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1711 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 69 No. 4 (2017); 478-509 Український математичний журнал; Том 69 № 4 (2017); 478-509 1027-3190 uk https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1711/693 Copyright (c) 2017 Gorbachuk V. M.; Gorbachuk M. L. |
| spellingShingle | Gorbachuk, V. M. Gorbachuk, M. L. Горбачук, В. М. Горбачук, М. Л. Spaces of smooth and generalized vectors of the generator of an analytic semigroup and their applications |
| title | Spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| title_alt | Простори гладких та узагальнених векторів генератора
аналітичної півгрупи та їх застосування
|
| title_full | Spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| title_fullStr | Spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| title_full_unstemmed | Spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| title_short | Spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| title_sort | spaces of smooth and generalized vectors of the generator
of an analytic semigroup and their applications |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/1711 |
| work_keys_str_mv | AT gorbachukvm spacesofsmoothandgeneralizedvectorsofthegeneratorofananalyticsemigroupandtheirapplications AT gorbachukml spacesofsmoothandgeneralizedvectorsofthegeneratorofananalyticsemigroupandtheirapplications AT gorbačukvm spacesofsmoothandgeneralizedvectorsofthegeneratorofananalyticsemigroupandtheirapplications AT gorbačukml spacesofsmoothandgeneralizedvectorsofthegeneratorofananalyticsemigroupandtheirapplications AT gorbachukvm prostorigladkihtauzagalʹnenihvektorívgeneratoraanalítičnoípívgrupitaíhzastosuvannâ AT gorbachukml prostorigladkihtauzagalʹnenihvektorívgeneratoraanalítičnoípívgrupitaíhzastosuvannâ AT gorbačukvm prostorigladkihtauzagalʹnenihvektorívgeneratoraanalítičnoípívgrupitaíhzastosuvannâ AT gorbačukml prostorigladkihtauzagalʹnenihvektorívgeneratoraanalítičnoípívgrupitaíhzastosuvannâ |